微分几何复习

一、填空题

1. 曲线x =cos t ，y=sin t , z=t 在t =0处的切线方程是_____ X-1/0=Y -0/1=Z-0/1_____。

2. 曲面上曲线的弧长，交角，曲面域的面积等都是_____等距_____不变量。

3. 若点(u 0, v 0)为曲面的正常点，则u v r r ? 在(u 0, v 0)满足_____不等于零_____。

4. 两个曲面之间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的__第一基本形式成比例________。

5. 若向量函数()r t 满足()()0r t r t '?= ，则()r t 具有固定的____方向______ .

6. 曲线()r r t = 的正常点是指满足___r ’(t0)不等于0_______ 的点.

7. 椭圆点对应的杜邦指标线是椭圆,双曲点对应的是一对共轭双曲线,抛物点对应的是 ___

一对平行直线_______ .

8. 平均曲率H =0的曲面称为 ____极小______ 曲面.

9. 曲面上的直线必是_____曲面的渐近_____曲线.

10.向量函数()r t 具有固定方向的充要条件是 r(t)*r ’(t)=0 .

11.曲线的主法向量的正向总是指向 曲线凹侧 .

12.在曲面上圆点，其第一、第二类基本量满足关系 E/L=F/M=G/N L,M,N 不同时为

零 .

13.曲面三个基本形式之间有关系式 III-2HII+KI=0 .

14.曲线()r r s = 的曲率定义是___k(s)=lrl__________。

15.空间曲线为一般螺线的充要条件是它的副法向量_与一个固定方向作固定角__________。

16.曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件是___M=0__________。

17.曲线()r t ={t 3-t 2-t , t 2-2t +2, 2}上的点不是正常点的是t =____1_________。

18.曲面的曲纹坐标网是渐进网的充分必要条件是___L=N=0__________。

19.极小曲面是指____平均曲率H=0_________的曲面。

20.向量函数()r t 具有固定长的充要条件是__对于t 的每一个值，r ’(t)都与r(t)垂直_________。

21.曲线()r r t = 的挠率是__τ=（r ’,r ”,r ’’’）/(r ’xr ”)平方___________。

22.曲面上曲纹坐标网是渐近网的充要条件____ L=N=0_________。

23.向量函数()r t 平行于固定平面的充要条件是___（r,r ’,r ’’）=0__________.

24.以杜邦(Dupin)指标线为分类标准,曲面上的点分为椭圆点,双曲点,____抛物点_________,平点.

25.曲面上一点的主曲率是曲面在这点所有方向的___法曲率中_________的最大值和最小值.

26.球面r

={a cos v cos u , a cos v sin u , a sin v } 的坐标曲线就是____经纬线_________。

27.曲面上曲纹坐标网是正交网的充要条件是___F=0__________。

28.两个曲面之间的变换是保角变换的充要条件是__它们的第一基本形式成比例_______。

29.在曲面的椭圆点处，高斯曲率____大于零________。(这个空填符号，即填“大于零”、“等于零”、“小于零”)

30.一般螺线的曲率和挠率的关系是__曲率和绕率之比为定值，既k/τ=常数_____。

31.曲面上曲线的交角作为曲面的内蕴量是_EFG______参数变换下的不变量。

32. 曲面域的面积作为曲面的内蕴量是__EFG___参数变换下的不变量。

33. 设曲面在点P处有两个同号的主曲率，则按高斯曲率的符号分类，此点是曲面的__椭圆点___。

34. 曲面的曲纹坐标网是渐近网的充分必要条件是_L=N=0____。

35. 法曲率的最大值和最小值正好是曲面的__主___曲率, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是曲面的__主___方向.

36. 距离单位球面球心距离为d(0

37. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是F=0 , 坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是F=M=0 .

38. 曲率为0的曲线是__直线____________, 挠率为0的曲线是______平面曲线__________.

39. 半径为R的圆的曲率为_____1/R______, 半径为R的球面的法曲率为___+-__1_______.

40. 曲面的坐标曲线网正交的充要条件是____F=0_________, 坐标曲线网成为曲率线网

的充要条件是______F=M=0_____________.

41. 圆柱面的高斯曲率为___0________, 极小曲面的平均曲率为___0_________.

42. 在脐点处曲面的第一, 第二类基本量满足__E/L=F/M=G/N____________, 把第二类基本量L=M=N=0的脐点称为______平点______.

43. 法曲率的最大值和最小值正好是____曲面的主曲率____, 使法曲率达到最大值和最小值的方向是_______主_________方向.

二、单项选择题

1. 下面各量中, 不是内蕴量的是( )

A. 曲面上曲线的曲率

3. 曲面上一点处的两个主方向之间的夹角θ为( )

4. 等距等价的两曲面上，对应曲线在对应点具有相同的( )

C. 法曲率

5. 过空间曲线C上点P（非逗留点）的切线和P点的邻近点Q的平面π，当Q沿曲线C趋于点P 时，平面π的极限位置称为曲线C在P点的( )

B. 密切平面

6. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 ( )

C. 圆柱螺线

7. 下面关于曲面上主方向的说法，不正确的一项是 ( )

C. 脐点处，无主方向

8. 下面各量中, 不是内蕴量的是 ( )

A. 曲面上曲线的曲率

9. 下面说法不正确的是 ( )

B. 保角变换一定是等距变换

10. 平面曲线的密切平面与曲线所在平面 （ ）

C. 重合

11. 两个曲面等距等价的充要条件是经过适当的参数选择后， （ ）

A. 第一基本型相同

12. 在选取曲率线网作为参数曲线网时，曲面的两个主曲率k 1, k 2为 （ ）

13. 设曲面:(,),(,)S r r u v u v D =∈ 的第一、二类基本量为,,E F G 和,,L M N ，则曲面的面积为

A. D σ=??

；

14. 下面曲线中是一般螺线的是 （ ）

B. 圆柱螺线

15. 下列关于主方向, 正确的说法是 ( )

D . 以上全正确

16. 下面各量中, 不是内蕴量的是 ( )

A. 曲面上曲线的曲率

17. 曲率和挠率均为非零常数的曲线是 ( )

C . 圆柱螺线

18. 在椭圆点处，曲面的第二类基本量满足 ( )

19. 在不含脐点的曲面上，坐标曲线网成为曲率线网的充要条件是 （ ）

20．反映法曲率随方向而变化的变化规律的欧拉(Euler)公式是 （ ）

三、判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。

1. 曲线上的正常点是指曲率不为零的点。( × )

2. 如果两条曲线在对应点的主法线互相平行，则在对应点处的切线互相平行。( × )

3. 高斯曲率和平均曲率都是曲面的内蕴量。( √ )

4. 密切面固定的曲线是挠率等于零的曲线。( √ )

5. 若给出闭区间上的任意两个连续函数(),()s s ?ψ,则必存在曲线以(),()s s ?ψ分别为它的曲率和挠率.( × )

6. 曲面上的曲纹坐标网为曲率线网的充要条件为F =M =0.( √ )

7. 若曲线的主法线与固定方向成定角,则该曲线为一般螺线。 ( × )

8. 空间曲线穿过法平面和从切平面,不穿过密切平面。( × )

9. 如果所有法平面互相平行,那么这曲线是直线。( × )

10. 曲面上抛物点对应的杜邦指标线是一条抛物线。( × )

11. 曲面上的曲纹坐标网为渐进网的充要条件为L =N =0。( √ )

12. 在空间曲线的非逗留点处，密切平面存在且唯一。( √ )

13. 空间曲线的曲率与挠率完全确定了空间曲线的形状与位置。( × )

14. 在曲面的非脐点处，最多有二个渐近方向。( √ )

15.曲线的主法向量正向总是指向曲线的凹侧。( √ )

16.曲面上平点对应的杜邦指标线是一条直线。( × )

17.在光滑曲线的正常点处，切线存在而且唯一。( √ )

18.圆的曲率、挠率特征是：k =常数，τ=0。( √ )

19.在曲面的非脐点处，有且仅有二个主方向。( √ )

20.若曲线的所有切线都经过定点,则该曲线一定是直线.( √ )

21.球面曲线的主法线必过球心.( √ )

22.曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为L =N =0.( × )

23.平面曲线挠率特征为τ=0。( √ )

24.如果曲面上有直线，则它一定是曲面的渐近曲线。( √ )

25.设曲面的第一基本形式为I=Edu 2+Gdv 2，则u 曲线和v 曲线的位置关系为正交。( √ )

26. 圆的曲率和挠率特征是k =常数，τ=0。( √ )

27. I=2du 2+6dudv +3dv 2可以作为曲面的第一基本形式。( × )

28.一般螺线的主法线与固定直线一定垂直.( × )

29. 曲面的第一基本型是正定的. (√ )