集合与简易逻辑、函数与导数测试题(含答案)
集合与简易逻辑、函数与导数测试题
1．若集合{}8,7,6,5,4,3,2,1=U ，{}8,5,2=A ，{}7,5,3,1=B ，那么(
A U
)B 等于
（ ）A.{}5 B . {}7,3,1 C .{}8,2 D. {}8,7,6,5,4,3,1
2．
函数()2()log 6f x x =-的定义域是（ ）
A ．{}|6x x >
B ．{}|36x x -<<
C ．{}|3x x >-
D ．{}|36x x -<≤ 3．已知23:,522:≥=+q p ,则下列判断中，错误的是 （ ）
A ．p 或q 为真，非q 为假
B ． p 或q 为真，非p 为真
C ．p 且q 为假，非p 为假
D ． p 且q 为假，p 或q 为真 4．下列函数中,既是偶函数又在)0,(-∞上单调递增的是 ( ) A ．3y x = B ．y cos x = C ．y ln x = D ．2
1
y x = 5．对命题”“042,02
00≤+-∈?x x R x 的否定正确的是 （ ） A ．042,02
00>+-∈?x x R x B ．042,2≤+-∈?x x R x C ．042,2>+-∈?x x R x D ．042,2≥+-∈?x x R x
6．为了得到函数x y )3
1
(3?=的图象，可以把函数x y )31(=的图象
A ．向左平移3个单位长度
B ．向右平移3个单位长度
C ．向左平移1个单位长度
D ．向右平移1个单位长度 7．如图是函数)(x f y =的导函数)(x f '的图象，则下面判断正确的是
A ．在区间（－2,1）上)(x f 是增函数
B ．在（1,3）上)(x f 是减函数
C ．在（4,5）上)(x f 是增函数 8. 若函数)
)(12()(a x x x
x f -+=
为奇函数，则a 的值为 （ ）
A ．21
B ．32
C ．4
3
D ．1
9.已知定义域为R 的函数f (x )在区间(4,+∞)上为减函数，且函数y =f (x +4)为偶函数，则（ ）
A ．f (2)>f (3)
B ．f (3)>f (6)
C ．f (3)>f (5)
D ． f (2)>f (5) 10.已知a >0且a ≠1，若函数f （x ）= log a （ax 2 –x ）在[3，4]是增函数，则a 的取
值范围是（ ）
A ．（1，+∞）
B ．11
[,)(1,)
64
+∞
C ．11[,)(1,)
84
+∞
D ．11[,)
64
11. 用},,min{c b a 表示c b a ,,三个数中的最小值，}102,2min{)(x x x f x -+=，, (x ≥0) , 则)(x f 的最大值为 （ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
12. 若函数f (x )=???>+≤0)
( 1)ln(0)( x x x x ,若f (2-x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是
A ．（-∞，-1）∪（2，+∞）
B ．（-2,1）
C ．（-∞，-2）∪（1，+∞）
D ．（-1,2）
13．设全集U 是实数集R ，{}24M x |x >＝，{}|13N x x =<<，则图中阴影部分所表示的集合是___________。 14．函数x
x
y sin =
的导数为_ _______。 15. 设()f x 是周期为2的奇函数，当10≤≤x 时，()f x =2(1)x x -，
5
()2
f -=______.
16. 函数f (x )的定义域为A ，若x 1，x 2∈A 且f (x 1)＝f (x 2)时总有x 1＝x 2，则称f (x )
为单函数．例如，函数f (x )＝2x ＋1(x ∈R )是单函数．下列命题：
①函数f (x )＝x 2(x ∈R )是单函数；②若f (x )为单函数，x 1，x 2∈A 且x 1≠x 2，则f (x 1)≠f (x 2)；③若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象；④函数f (x )在某区间上具有单调性，则f (x )一定是单函数． 其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)
集合与简易逻辑、函数与导数测试题答题卡
13、 14、
15、 16、
17. 已知A ＝{x |92≥x }，B ＝{x |71≤<-x }，C ＝{x ||x －2|<4}．
(1)求A ∩B 及A ∪C ； (2)若U ＝R ，求)(C B C A U
18. 命题p :“0],2,1[2≥-∈?a x x ”，命题q :“022,02
00=-++∈?a ax x R x ”，
若“p 且q ”为假命题，求实数a 的取值范围。
19. 已知1
:123
x p --
≤，()22:2100q x x m m -+-≤>，若p ?是q ?的充分而不必要条件，求实数m 的取值范围．
20. 已知a 为实数，函数2()(1)()f x x x a =++，若(1)0f '-=，求函数()f x 在
]1,2
3
[-
上的最大值和最小值。
21. 已知函数3233y x ax bx c =+++在x ＝2处有极值，且其图象在x ＝1处的切线
与直线6x ＋2y ＋5＝0平行．
(1)求函数的单调区间； (2)求函数的极大值与极小值的差
22. 设关于x 的函数22()(241)(2)ln f x mx m m x m x =-++++，其中m 为实数集
R 上的常数，函数()f x 在1x =处取得极值0.
（1）已知函数()f x 的图象与直线y k =有两个不同的公共点，求实数k 的取值范围；
（2）设函数2
()(2)p g x p x x
+=-+
， 其中0p ≤，若对任意的[1,2]x ∈，总有22()()42f x g x x x ≥+-成立，求p 的取值范围.
答 案
13、 ( 1 , 2 ] 14、2
'sin cos x x
x x y -=
15、 2
1
- 16、 ②③
17、A ＝{x |x ≥3，或x ≤－3}． B ＝{x |－1＜x ≤7}．
又由|x －2|＜4，得－2＜x ＜6，∴C ＝{x |－2＜x ＜6}．
(1)A ∩B ＝{x |3≤x ≤7}，如图(甲)所示．A ∪C ＝{x |x ≤－3，或x ＞－2}，如图(乙)所示．
(2)∵U ＝R ，B ∩C ＝{x |－1＜x ＜6}， ∴?U (B ∩C )＝{x |x ≤－1或x ≥6}， ∴A ∩?U (B ∩C )＝{x |x ≥6或x ≤－3}．
18. 解:若P 是真命题．则a ≤x 2,∵x ∈[1,2],∴a ≤1; 若q 为真命题,则方程x 2+2ax +2-a =0有实根, ∴⊿=4a 2-4(2-a )≥0,即,a≥1或a ≤-2, p 真q 也真时 ∴a ≤-2,或a =1
若“p 且q ”为假命题 ，即 ),1()1,2(+∞-∈ a
19、解：由22210x x m -+-≤得()110m x m m -+>≤≤．
所以“q ?”：{
}110A x x m x m m =∈>+<->R 或，．
由1
123
x --
≤得210x -≤≤，所以“p ?”
：{}102
B x x x =∈><-R 或．
由p ?是q ?的充分而不必要条件知
01203110.m B A m m m >??
?--?
，
，?≥≤≤故m 的取值范围为03m <≤
20、由已知的1)(2)(2'+++=x a x x x f 由f'(-1)=0 得a =2
即2)1)(()(2++=x x x f 所以1)1)((3)('++=x x x f
f '(x )=0时，即
1
-=x 或1-=x 时，f (x )有极值
最大值为(1)=6f ；最小值为313
28(-)=f
21、(1)∵2363y x ax b '=++，
由题意得，
{
12+1230
3633a b a b +=++=-
解得a ＝－1，b ＝0，
则323y x x c =-+，236y x x '=- 解236y x x '=->0，得x <0或x >2； 解236y x x '=-<0，得0 ∴函数的单调递增区间是(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)． (2)由(1)可知函数在x ＝0时取得极大值c ，在x ＝2时取得极小值c －4， ∴函数的极大值与极小值的差为c －(c －4)＝4. 22（Ⅰ）22 ()2(241)m f x mx m m x +'=-+++ 因为函数()f x 在1x =处取得极值0 得：22 22 (1)2(241)2210(1)(241)2310 f m m m m m m f m m m m m '?=-++++=--+=??=-++=---=??解得1m =-… 则(21)(1)()((0,))x x f x x x ---'= ∈+∞令()0f x '=得1x =或1 2 x =-（舍去） 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<. 所以函数()f x 在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减. 所以当1x =时，函数()f x 取得极大值，即最大值为2(1)ln1110f =-+= 所以当0k <时，函数()f x 的图象与直线y k =有两个交点 （Ⅱ）设22 ()2()()422ln p F x f x g x x x x px x +=--+=-- 若对任意的[1,2]x ∈，22()()42f x g x x x ≥+-恒成立， 则()F x 的最小值min ()0F x ≥ (*) 2' 22 222(2) ()p px x p F x p x x x +-+++=-+= （1）当0p =时,'2 22 ()0x F x x +=>,()F x 在[1,2]递增 所以()F x 的最小值(1)20F =-<，不满足(*)式 所以0p =不成立 （2）当0p ≠时'2 2 (1)()()p p x x p F x x +-+- = ①当10p -<<时，2 11p + <-，此时()F x 在[1,2]递增，()F x 的最小值(1)220F p =--<，不满足(*)式 ②当1p <-时，2 111p -<+ ≤，()F x 在[12]， 递增， 所以min ()(1)220F x F p ==--≥，解得1p ≤- ，此时1p <-满足(*)式 ③当1p =-时，()F x 在[12]， 递增，min ()(1)0F x F ==，1p =-满足(*)式 综上，所求实数p 的取值范围为1p ≤- 导数与三角函数压轴题归纳总结 近几年的高考数学试题中频频出现含导数与三角函数零点问题，内容主要包括函数零点个数的确定、根据函数零点个数求参数范围、隐零点问题及零点存在性赋值理论.其形式逐渐多样化、综合化. 一、零点存在定理 例1.【2019全国Ⅰ理20】函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数．证明： （1）()f x '在区间(1,)2 π -存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点． 【解析】（1）设()()g x f x '=,则()()() 2 11 cos ,sin 11g x x g x x x x '=- =-+++. 当1,2x π??∈- ?? ?时,()g'x 单调递减,而()00,02g g π?? ''>< ???, 可得()g'x 在1,2π?? - ?? ?有唯一零点,设为α. 则当()1,x α∈-时,()0g x '>；当,2x πα?? ∈ ??? 时,()0g'x <. 所以()g x 在()1,α-单调递增,在,2πα?? ???单调递减,故()g x 在1,2π?? - ???存在唯一极大 值点,即()f x '在1,2π?? - ?? ?存在唯一极大值点. （2）()f x 的定义域为(1,)-+∞. （i ）由（1）知, ()f x '在()1,0-单调递增,而()00f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点. （ii ）当0,2x π?? ∈ ???时,由（1）知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ?? ??? 单调递减,而 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率 B ．在x 0处的变化率 C ．在x 1处的变化量 D ．在区间[x 0，x 1]上的导数 2．已知函数y ＝f (x )＝x 2 ＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 3．函数f (x )＝2x 2－1在区间(1,1＋Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A ．4 B ．4＋2Δx C ．4＋2(Δx )2 D ．4x 4．如果质点M 按照规律s ＝3t 2 运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ． 6 B ．18 C ．54 D ．81 5．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3 C ． 2 D ．－2 6．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( ) A ．不存在 B ．与x 轴平行或重合 C ．与x 轴垂直 D ．与x 轴相交但不垂直 7．曲线y ＝－1 x 在点(1，－1)处的切线方程 为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x C ．y ＝x ＋ 2 D ．y ＝－x －2 8．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( ) A ．4 B ．16 C ．8 D ．2 9．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，1 16) D ．(12，1 4) 10．若曲线y ＝x 2＋ax ＋b 在点(0，b )处的切线方程是x －y ＋1＝0，则( ) A ．a ＝1，b ＝ 1 B ．a ＝－1，b ＝1 C ．a ＝1，b ＝－ 1 D ．a ＝－1，b ＝－1 11．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( ) A ．0 B ．2x C ． 6 D ．9 12．已知函数f (x )＝1 x ，则f ′(－3)＝( ) A ． 4 B.1 9 C ．－14 D ．－1 9 13．函数y ＝x 2 x ＋3 的导数是( )高考数学导数与三角函数压轴题综合归纳总结教师版
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