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同济高数上册公式大全

第一章函数与极限

一. 函数的概念

1. 两个无穷小的比较

设 lim f(x) 0, limg(x) 0 且血丄凶 l g(x)

(1) l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[ g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。

(2) l 工0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。

(3) l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2. 常见的等价无穷小当x - 0时

1 - cos.L X — sin x ~ x ，tan x

~ x ， arcsinx ~ x ， arccosx ~ x ，

1- cos x ~ x A 2/2 ， e -1 ~ x ， ln(1 x) ~ x ， (1 x) 1~ x

求极限的方法

1 ?两个准则

准则1.单调有界数列极限一定存在

准则2.(夹逼定理)设g(x) < f (x) < h(x) 若 lim g(x) A,lim h(x) A ，则 lim f(x) A 2 ?两个重要公式 sin x 彳公式1 lim 1 x 0

x 公式 2lim (1 x)1/x e

x 0

3 ?用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4?用泰勒公式

当x 0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次

sin x

cosx

2! 3!

x x 3!

x x

n! OX 〉

2n 1

1)n

/ 2n 1

、

o(x )

x x

同样适用.

使用洛必达法则时必须注意以下几点：

(1) 洛必达法则只能适用于“ 0

”和“一”型的未定式，其它的未定式须

先化简变形成“

”或“一”型才能运用该法则；

(2) 只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；

(3) 洛必达法则的条件是充分的，但不必要.因此，在该法则失效时并不能断

In(1 x)

f...

(

n n 1 x

/ n

o(x )

(1 x)

(1) 2!

x 2 (1)-(

(n 1))x n

o(x n )

arcta n x

2n 1

n 1

X 2n 1

o(x )

2n 1

5 ?洛必达法

则定理1

(1) f(x)、F(x)满足下列条件: lim F(x) 0 ;

x x o

(2) (3) 设函数 lim f (x) 0 , x x

f(x)与F(x)在X 。的某一去心邻域内可导，且上存在(或为无穷大)，则im 丄? -■ ■ x x

0 F(x)

3存在时，佃出

x x

0 F(x) lim

x x

F (x)

F (x) 0 ;

..f (x) lim x x

0 F (x) 这个定理说明：当匕为无穷大时, lim

冷 F (x)

lim 卫勺也是无穷大. x X o F(x)

也存在且等于lim x x 0

F (x)

f (x).当

lim x x

o F (x)

这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达(L H ospital )法则.

一型未定式 X o

定理2设函数f(x)、

lim f(x)

x X 0

f(x)与F(x)在X 。的某一去心邻域内可导，且 F(x) 0 ;

..f (x) lim

F (x) (1) (2) F(x)满足下列条件:

,lim F(x) ;

x x o

存在(或为无穷大)，则叫鵲

注：上述关于x x 0时未定式一型的洛必达法则，对于x

(3) ..f (x) lim x x

o F (x)

时未定式一型

定原极限不存在.

6. 利用导数定义求极限

基本公式lim f(X0—X) f(X0) f'(X0)(如果存在)

7. 利用定积分定义求极限

三. 函数的间断点的分类

函数的间断点分为两类： (1)第一类间断点

设X o 是函数y = f (x)的间断点。如果f (x)在间断点X o 处的左、右极限都存在, 则称x o 是f (x)的第一类间断点。左右极限存在且相同但不等于该点的函数值为可去间断点。左右极限不存在为跳跃间断点。第一类间断点包括可去间断点和跳跃间断点。 (2)第二类间断点

第一类间断点以外的其他间断点统称为第二类间断点。常见的第二类间断点有无穷间断点和振荡间断点。

四. 闭区间上连续函数的性质

在闭区间［a,b ］上连续的函数f (x)，有以下几个基本性质。这些性质以后都要用至V 。

定理1.(有界定理)如果函数f (x)在闭区间［a,b ］上连续，则f (x)必在［a,b ］上有界。

定理2.(最大值和最小值定理)如果函数f (x)在闭区间［a,b ］上连续，则在这个区间上一定存在最大值M 和最小值m 。

定理3.(介值定理)如果函数f (x)在闭区间［a,b ］上连续，且其最大值和最小值分别为M 和m ，则对于介于m 和M 之间的任何实数c,在［a,b ］上至少存在一个E 使得f ( E ) = c

推论：如果函数f (x)在闭区间［a,b ］上连续，且f (a)与f (b)异号，则在(a,b) 内至少存在一个点E ，使得f (E ) = 0这个推论也称为零点定理

1 n k

基本格式lim -

f(—) n

n k i n

f(x)dx (如果存在)

第二章导数与微分

一.基本概念

1 ?可微和可导等价，都可以推出连续，但是连续不能推出可微和可导

.求导公式

⑴

⑵

（才丫二弊旧卫

⑶ (sin 功'=ws x 』

⑷ (cos 剪‘ =「sin

⑸ (tan x)r = sec* x

⑹

(cot x)r = - CSC X ⑺ (sec^' = sec xtan

(8)

(esc

= —cscxcot

⑼

(10)

Oog fl ^)，

Onxy = -

⑴

）

xln a

(12)

fitrcstfi —―.

(arcccs x)1 - --y=L=

(13)

(14)

(ar:tan x)r = ―!-n-

(arccotx)r = ------ 1

(15)

1 +x 中

(16)

1 +x* +、

设—町“心>都可导，则4

⑴

5土*"±*口

<2） ?rW 是當数心

三.常见求导

1. 复合函数运算法则

2. 由参数方程确定函数的运算法则

设x = (t) , - (t)确定函数y = y(x)，其中'(t), '(t)存在，且'(t)工0,则3 ―包

dx '(t) 3. 反函数求导法则

设y = f (x)的反函数x = g(y)，两者皆可导，且f ' (x)工0

4. 隐函数运算法则

设y = y(x)是由方程F(x, y) = 0所确定，求y '的方法如下：

把F(x, y) = 0两边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计

算，然后再解出y的表达式(允许出现y变量)

5. 对数求导法则(指数类型如y x sinx) 先两边取对数，然后再用隐

函数求导方法得出导数 y '。

对数求导法主要用于：①幕指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数(注意定义域。关于幕指函数y = [ f (x)] g (x)常用的一种方法，y = e g(x)lnf(x)这样就可以直接用复合函数运算法则进行。

6. 求n阶导数(n》2，正整数)

先求出y' , y,……,总结出规律性，然后写出y(n),最后用归纳法证明。有一些常用的初等函数的n阶导数公式

(1) y x (n)

e , y x

(2) y x (n)

a , y x a (ln a)n

(3) y

sin

x ,

y(n)sin(x J

(4) y cosx, y(n)cos(x

⑸y In x, y(n)( n 1

1) (n

1)! x

肆牡)皿)

则g'(y)

f'(g(y))

(f'(x) 0) H屮

第三章微分中值定理与导数应用

一.罗尔定理

设函数f (x)满足

(1)在闭区间［a,b ］上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；(3) f (a) = f (b) 则存在E € (a,b)，使得f ' ( E ) = 0

拉格朗日中值定理

设函数f (x)满足(1)在闭区间［a,b ］上连续；(2)在开区间(a,b)内可导；

则存在E € (a,b)，使得丄辺血 f'()

b a

推论1 ?若f (x)在(a,b)内可导，且f ' (x) = 0,则f (x)在(a,b)内为常数。推论2.若f(x) , g(x)在(a,b)内皆可导，且f ' (x) = g' (x)，则在(a,b)内f (x) =g(x)+ c ，其中c 为一个常数。

三.柯西中值定理

设函数f (x)和g(x)满足：(1)在闭区间［a,b ］上皆连续；(2)在开区间(a,b)内皆可导；且g

'(x)

’0

则存在

E €(a

,b)使得册詈

(注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形 g( x) = x 时，柯西

中值定理就是拉格朗日中值定理。)

四.泰勒公式(① 估值 ② 求极限(麦克劳林))

定理1.(皮亚诺余项的n 阶泰勒公式)

设f (x)在0 x 处有n 阶导数，则有公式

，称为皮亚诺余项

定理2 (拉格朗日余项的n 阶泰勒公式)

设f (x)在包含0 x 的区间(a,b)内有n+1阶导数，在［a,b ］上有n 阶连续导数，则对x

/(j)?/li D

-r J--xj 1

+A 丄一二2|—珀°&闵

€ ［ a,b ］，有公式

，

其'I 1

(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)

福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4 适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。（三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。

二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。【教学重点与难点】本章重点是求函数极限的方法（极限运算法则、两个重要极限、无穷小的比较、初等函数的连续性）。难点是数列、函数极限的证明方法。【教学内容】第一节映射与函数一、映射 1.映射概念

同济高数上册公式大全

第一章函数与极限一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次

) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）) ()(lim x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则这个定理说明：当) ()(lim x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)() (lim 0x F x f x x ''→；当 ) ()(lim x F x f x x ''→为无穷大时，)() (lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ； )() (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→) ()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→

同济大学高等数学教学大纲

《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题的能力。二、总学时与学分本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。三、课程教学基本要求及基本内容说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。

7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。

同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点一、函数与极限（一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二）极限 1、定义 1）数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2）函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当左极限：)(lim )(0 0x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x + →+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2） a z y n n n n ==→∞ →∞lim lim a x n n =∞→lim 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量 1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则； 3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5）无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章函数与极限一. 函数的概念 1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =) () (lim （1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2.常见的等价无穷小当x →0时 sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ， 1? cos x ~ 2/2^x ， x e ?1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α 二．求极限的方法 1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x ) 若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim 2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x x x 公式2e x x x =+→/10 )1(lim 3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 ) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(! 2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! ))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 121 2153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则

大一同济上册高数(一些重要公式及知识点)

同济上册高数总结微分公式与积分公式三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

同济高等数学公式大全

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

同济高等数学公式大全

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高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(2 21 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

高数上册公式大全(同济六版)

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

同济大学2016-2017学年高等数学(B)上期末考试试卷

本资料仅供参考复习练手之用，无论是重修只求及格，还是为了拿优保研，复习课本上的基础知识点和例题、课后习题才是重中之重，作为一个重修过高数的学长，望大家不要舍本求末，记住这样一句话，只有当你付出了，你才可能有收获。同济大学2016-2017学年第一学期高等数学B(上)期终试卷一. 选择填空题(3'824'?=) 1. ()y f x =具有二阶导数, 且'()0f x ≠. 若曲线()y f x =在00(,)x y 的曲率为0k ≠, 其反函数1()x f y -=所表示的曲线在对应点的曲率为'k , 则有【A 】 ()'A k k = ; 1 ()'B k k =; ()C 'k k >; ()'D k k <. 2. 已知函数()y f x =满足(0)1f =, 如果在任意点x 处, 当x ?充分小时都有 2 ()1x y x o x x ?= ?+?+, 则有【C 】 2 22 1()()(1)x A f x x -=+; 2()()11x B f x x =++; () C ()l 1 f x =+; ()D 题中所给的条件无法得到确定的函数()f x . 3. 下面的极限式中哪项等于连续函数()f x 的定积分 2 ()f x dx ? . 【D 】 12()l i m ()n n k k A f n n →∞=∑; 121()lim ()n n k k B f n n →∞=∑; 11()lim ()n n k k C f n n →∞=∑; 1 1 ()lim 2()n n k k D f n n →∞=∑. 4. 要使反常积分 +∞ ? 收敛, 则实数p 的取值范围是【C 】 ()1A p >; ()1B p <; ()2C p >; ()2D p <. 5. 如果作换元sin x t =, 则积分3 (sin )f x dx π = ? .

同济高数上册公式大全

第一章函数与极限一. 函数的概念 1. 两个无穷小的比较设 lim f(x) 0, limg(x) 0 且血丄凶 l g(x) (1) l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[ g(x)]，称g(x) 是比f(x)低阶的无穷小。 (2) l 工0,称f (x)与g(x)是同阶无穷小。 (3) l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x) 2. 常见的等价无穷小当x - 0时 a 1 - cos.L X — sin x ~ x ，tan x ~ x ， arcsinx ~ x ， arccosx ~ x ， x 1- cos x ~ x A 2/2 ， e -1 ~ x ， ln(1 x) ~ x ， (1 x) 1~ x 求极限的方法 1 ?两个准则准则1.单调有界数列极限一定存在准则2.(夹逼定理)设g(x) < f (x) < h(x) 若 lim g(x) A,lim h(x) A ，则 lim f(x) A 2 ?两个重要公式 sin x 彳公式1 lim 1 x 0 x 公式 2lim (1 x)1/x e x 0 3 ?用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4?用泰勒公式当x 0时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次 sin x cosx 2 x 3 x 2! 3! 3 5 x x 3! 5! 2 4 x x 2! 4! n! OX 〉 2n 1 1)n A / 2n 1 、 o(x ) 2n n x 2n x x

同样适用. 使用洛必达法则时必须注意以下几点： (1) 洛必达法则只能适用于“ 0 ”和“一”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“ ”或“一”型才能运用该法则； (2) 只要条件具备，可以连续应用洛必达法则； (3) 洛必达法则的条件是充分的，但不必要.因此，在该法则失效时并不能断 In(1 x) 3 f... ( 1) n n 1 x / n o(x ) n (1 x) (1) 2! x 2 (1)-( (n 1))x n n! o(x n ) arcta n x 2n 1 n 1 X 2n 1 1) o(x ) 2n 1 5 ?洛必达法则定理1 (1) f(x)、F(x)满足下列条件: lim F(x) 0 ; x x o (2) (3) 设函数 lim f (x) 0 , x x f(x)与F(x)在X 。的某一去心邻域内可导，且上存在(或为无穷大)，则im 丄? -■ ■ x x 0 F(x) 3存在时，佃出 x x 0 F(x) lim x x o F (x) F (x) 0 ; ..f (x) lim x x 0 F (x) 这个定理说明：当匕为无穷大时, lim x 冷 F (x) lim 卫勺也是无穷大. x X o F(x) 也存在且等于lim x x 0 F (x) f (x).当 lim x x o F (x) 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达(L H ospital )法则. 一型未定式 X o 定理2设函数f(x)、 lim f(x) x X 0 f(x)与F(x)在X 。的某一去心邻域内可导，且 F(x) 0 ; ..f (x) lim x x F (x) (1) (2) F(x)满足下列条件: ,lim F(x) ; x x o 存在(或为无穷大)，则叫鵲注：上述关于x x 0时未定式一型的洛必达法则，对于x (3) ..f (x) lim x x o F (x) 时未定式一型

同济高等数学公式大全

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高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限： ? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222?????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 2 2)ln(221 cos sin 22 2222 2222222 22222 2 22 2 ππa x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '

高等数学(同济第七版)上册-知识点总结

) ()! 12()1(...!5!3sin ) (! ...!3!211 2125332++++-+++-=++++++=n n n n n x x o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n n n x o n x x x x x +-++-=++ )(! )) 1()...(1(...! 2) 1(1)1(2n n x o x n n x x x +---+ +-+ +=+ααααααα )(1 2)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0 =→x f x x ，0)(lim 0 =→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于) () (lim 0x F x f x x ''→；当 )()(lim 0x F x f x x ''→为无穷大时，) () (lim 0x F x f x x →也是无穷大．这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则. ∞ ∞ 型未定式定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0 x f x x ，∞=→)(lim 0 x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）) () (lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则注：上述关于0x x →时未定式∞∞ 型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞ ∞ 型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00 ”和“∞ ∞ ”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00 ”或“ ∞ ∞ ”型才能运用该法则；) () (lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→

同济大学---高数上册知识点

高等数学上册复习要点」、函数与极限 (一)函数 1、函数定义及性质(有界性、单调性、奇偶性、周期性)； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幕函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、函数的连续性与间断点；函数f(x)在X o连续> lim f(x)二f(x°) X T X o ‘第一类：左右极限均存在? 间断点可去间断点、跳跃间断点 .第二类：左右极限、至少有一个不存在? 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. (二)极限 1、定义 1)数列极限 limX n=a= PEA。，m N EN,x/n>N, x^ a < s n T°o 2)函数极限 lim f (x) = A= * > 0,我> 0, %,当0^|x-x°|"时，f(x)-A —X r X o

左极限：f(X0) = lim f (X) 右极限：f(X。)= lim f (x) X T X o I X o

lim f (x)二 A 存在二 f (x0) = f(x 0 ) X _；Xo 2、极限存在准则 1) 夹逼准则: 1) y^ X^ Z n ( n - n °) 2) 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小(大)量 1) 定义：若lim 〉二0则称为无穷小量；若lim 〉八：则称为无穷大量 2) 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、 k 阶无穷小 2 ) lim y n = lim z n = a 丿 n ^^ n -^c lim x n 二 a n 》：： Th1 ：~ ：二： o(： ) ? Th2 -?：，? ,lim 一存在， a r lim —= a lim —(无穷小代换) 4、求极限的方法 1) 单调有界准则； 2) 夹逼准则； 3) 极限运算准则及函数连续性; 4) 两个重要极限：「 sin x 彳 a) li 叫 1 b) X r ° x 1 lim (1 x)x X r 0 lim (V -)^ e x 』： x a) x ~ si n x ?tan x ?arcs in x ?arcta nx

高数公式大全

高等数学公式 (tanx) sec2 x 2 (arcsin x) 1 1 x2 (cot x) csc (secx) secx x tanx (arccos x) 1 1 x2 (cscx) cscx cot x 1 (a x) a x ln a (arctan x) 2 1 x (log a x) 1 x ln a (arccot x) 1 1 x2 导数公式：基本积分表： kdx kx C （k 为常数）x u dx x u 1 C u 1 1 dx x ln x C 1 1 x2 dx arctan x C 1 dx 1 x2 arcsin x C cosxdx sin x C sin xdx cosx C 1 cos2 x dx sec2 xdx tan x C 1 2 dx sin x 2 csc xdx cot x C secx tan xdx secx C cscxcot xdx cscx C e x dx e x C a x a x dx C ln a 两个重要极限： lim sin x 1 x 0 x lim(1 1 x e x x )

三角函数公式： sin 2 2sin cos cos 2 2cos 2 1 1 2sin 2cos2sin2 2 2 sin cos 1 2 2 sec 1 tan 零点定理：设函数 f x 在闭区间a, b 上连续，且 f a f b 0 ，那么在开区间a, b 上至少一点，使f 0 。（考点：利用定理证明方程根的存在性。当涉及唯一根时，还需证明方程对应的函数的单调性）罗尔定理：如果函数 f x 满足三个条件：（1 ）在闭区间a, b 上连续；（2 ）在开区间a, b 内可导；（3 ）在区间端点处的函数值相等，即 f a f b ，那么在a, b 内至少有一点 a b ，使得f0 。（选择题：选择符合罗尔定理条件的函数；证明题）拉格朗日中值定理：如果函数 f x 满足（1 ）在闭区间a,b 上连续；（2 ）在开区间a,b 内可导，那么在a, b 内至少有一点 a b ，使等式 f b f a f b a 成立。（证明题）定积分应用相关公式 1 b 函数的平均值y f x dx b a a 空间解析几何和向量代数：空间两点的距离 d M 1 M 2 2 x2 x1 2 y1 y2 2 z1z2 '

同济大学---高数上册知识点

高等数学上册复习要点一、函数与极限（一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、函数的连续性与间断点；函数在连续第一类：左右极限均存在. 间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二）极限 1、定义 1）数列极限 2）函数极限左极限：右极限：

2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1） 2） 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量 1）定义：若则称为无穷小量；若则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、阶无穷小 1 ; 2 （无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则； 3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a)b) 5）无穷小代换：（） a) b)

c)（） d)（） e) 二、导数与微分（一）导数 1、定义：左导数：右导数：函数在点可导 2、几何意义：为曲线在点处的切线的斜率. 3、可导与连续的关系： 4、求导的方法 1）导数定义； 2）基本公式； 3）四则运算； 4）复合函数求导（链式法则）； 5）隐函数求导数； 6）参数方程求导； 7）对数求导法. 5、高阶导数

1）定义： 2）公式：（二）微分 1）定义：，其中与无关. 2）可微与可导的关系：可微可导，且三、微分中值定理与导数的应用（一）中值定理 1、罗尔定理：若函数满足： 1）；2）；3）；则. 2、拉格朗日中值定理＊：若函数满足： 1）；2）；则. 3、柯西中值定理：若函数满足： 1）；2）；3）则（二）洛必达法则

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