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2020年高考数学新题型汇总人教版

2020年高考数学新题型汇总

1、已知函数y ＝f(x)的定义域为[a ，b]，}0|),{(}),(|),{(=?≤≤=x y x b x a x f y y x 只

有一个子集，则（）

A 、ab ＞0

B 、ab ≥0

C 、ab ＜0

D 、ab ≤0

答：A 依题意φ==?≤≤=}0|),{(}),(|),{(x y x b x a x f y y x ，故函数y ＝f(x)（x ∈ [a ，b]）与y 轴不相交，所以ab ＞0。

2、坐标平面上一点P 到点A （12,0）,B(a,2)及到直线x=1

2-的距离都相等。如果这样的点

P 恰好只有一个，那么实数a 的值是（）

A 12

B 32

C 12或32

D 12或-1

答：D 平面上到点A （12,0）及到直线x=12-的距离相等的点的轨迹是抛物线y 2

=4x 。

本题实质上就是该抛物线上有且只有一个点到点A （12,0）,B(a,2)的距离相等，有两种情况：一是线段AB 的垂直平分线与抛物线相切，一是线段AB 的垂直平分线与抛物线的对称轴

平行。可得结果实数a 的值为12或-12。

3、定义在R 上的函数f(x)的图像过点M （－6，2）和N （2，－6），且对任意正实数k ，有f(x+k)< f(x)成立，则当不等式| f(x-t)+2|<4的解集为(－4,4)时，实数t 的值为（）（A ）-1 (B) 0 (C) 1 (D)2

答：D 由对任意正实数k ，有f(x+k)< f(x)成立，所以函数f(x)是R 上的减函数，由不等式| f(x-t)+2|<4，得-4

又 f(x)的图像过点M （－6，2）和N （2，－6），所以-6

又不等式| f(x-t)+2|<4的解集为(－4,4)，所以t ＝2.

4、直线y = a (a 为常数)与正切曲线y = tan x ω(ω为常数，且ω＞0) 相交的相邻两点间的距离是( )． A ．π B ．

ωπ

2 C ．

D ．与a 值有关

答：C 利用图象，直线y = a 与正切曲线y = tan x ω相交，知两相邻交点的距离，

就是此正切曲线的一个周期，因此可得

π。 5、连接平行四边形ABCD 的一个顶点至AD 、DC 边中点E 、F ，BE 、BF 分别与AC 交于R 、T 两点，研究性学习小组在几何画板上拖动平行四边形的顶点时动态观察发现： ①AR =RT =保持不变；②EF =

（AB +）③△BRT 是等边三角形

上述观察对任意平行四边形成立的是（）A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．① 答：A

不论平行四边形的形状如何改变，

①②对任意平行四边形均成立，③不成立

6、一条走廊宽2m 、长6m ，用6种不同颜色、大小均为11?2

m 的整块单色地砖来铺设，要求相邻的两块地砖颜色不同，假定每种颜色的地砖都足够多，那么不同的铺设方法共有 ( ) A ．630种 B ．53025?种 C ．53021?种 D ．53020?种

答:C 若与第一列两块颜色均相同，只有1种，故铺第二列共有128121++=种方法；铺第三列只需考虑与前一列(即第二列)的关系，同样有21种方法，以此类推，以后每一列有21种方法，故铺设完毕总共有53021?种.

7、已知f(x)=

21,0,3

x x ax m a -++>其中如果存在实数t 使导函数12()0,(2)()3

f x f t f +'''<+则的值

（A ）比为正数 (B)比为负数 (C) 可能为零 (D)可正答:B

2121212()2,0(0)0()1,(0)(2)0()0,02,()0,,

f x x x a a f f x x f f a f x x x x x t f t x t x '''''=-+>∴>=∴==>''<<<<∴<

1212t 12t 12t

(2)(2)0,()0(2)()0

333

f t f x x f f t f +++'''''+>><<∴<+

8、设函数f(x )＝|x －a |－|x －a 2

|，若f(1)＜0，则f(0)的范围是

( )

Α.(－∞，－2)∪(0， 1 4) Β.(－∞， 1

4) C.(－∞，0) D.(－∞，0)∪(0，

) 答:D 由f(1)＜0得|1－a |－|1－a 2

|＜0，所以1－|1＋a |＜0且a ≠1，即有a ＜－2或a ＞0且a ≠1，则|a |＞0且a ≠1．因f(0)＝|a |－|a |2

＝－(|a |－ 1 2)2＋ 1 4，则f(0)∈(－

∞，0)∪(0， 1

)．

9、设x 、y 满足?

????y －2x ≤2

y ≥04x ＋3y ≤12 且z ＝|2x ＋ay ＋6|取得最大值的最优解有无数个，则a= ( )

Α.2 B. 3 2 C. 2 3 D. 1

F A B

D E

－1 －3 2

2x +ay+6＝0 4x +3y ＝12 y －2x ＝2

答:B z=|2x +ay +6|4+a 2

·4+a 2

表示可行域内的点到直线2x ＋ay ＋6＝0的距离的4+a 2

倍．而直线2x ＋ay ＋6＝0过（0，－3），由最大值的最优解有无数个（如右图）知，直线2x ＋ay ＋6＝0平行直线4x ＋3y ＝12，所以a ＝ 3 2

．

10、如右图所示的几何体ABCDEF 中，ABCD 是平行四边形且AE ∥CF ，六个顶点任意两点连线能组成异面直线的对数是 ( ) Α.45 B.42 C.39 D.36

答:C 每个三棱锥中有三对异面直线，则异面直线的对数是3(C 46－2)＝39．

11、如图，小正六边形沿着大正六边形的边，按顺时针方向滚动.小正六边形的边长是大正六边形边长的一半，如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中向量OA 围绕着点O 旋转了θ角，其中O 为小正六边形的中心，则=+6

cos 6sin

答：-1 从第一图的开始位置变化到第二图时，向量OA 绕点O 旋转了3

（注意OA 绕点O 是顺时针方向旋转），从第二图位置变化到第三图时，向量OA 绕点O 旋转了3

2π

-，

则从第一图的位置变化到第三图位置时，正好小正六边形滚过大正六边形的一条边，向量

OA 绕点O 旋转了π-.则小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，

向

量

绕点

共旋转了

6-，即

θ6-=，因而

1)sin()cos(6

cos 6sin

-=-+-=+ππθ

θ。

12、一杯浓度为b a 的糖水，加一点糖m ，其浓度会变大，即b a ＜m

b m

a ++感觉会甜一点；如

果将两杯浓度不一样甜的糖水b a ＜d c

倒在一起，甜度会怎样？请你写出一个不等关系说明

其甜度关系_________

D E

甜度在原来两种甜度之间，即

b a ＜d b

c a ++＜d

c ，答案：b a ＜

d b c a ++＜d c ，此题具有开放性问题答案也可以是b a ＜

c b

d c

a +

＜d c 或b a ＜bd bc ad 2+＜d

等 13、P(x,y)是由y=x ，y=－x ，x=2三条直线所围成的三角形内部一个动点，且P 到这三条直

线的距离依次为|PE|、|PF|、|PH|，且|PE|·|PF|=|PH|2

，则P 的轨迹方程是____________. 解：设P 点的坐标为P(x,y)，依题意|PE|=

|y x - ∵P(x,y)在直线y=x 的下方

∴x －y>0 ∴|PE|=

y x -；同理|PF|=

y x +，|PH|=2－x

又|PE|·|PF|=|PH|2

∴

))((y x y x +-=(2－x)2，整理得y 2+(x －4)2

(4－222≤≤x )

14、（本小题满分14分）如图，ABCD 是边长为2的正方形纸片，沿某动直线l 为折痕将正方形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点B 都落在边AD 上，记为B '；折痕l 与AB 交于点E ，点M 满足关系式B E '+=。

（Ⅰ）建立适当的直角坐标系，求点M 的轨迹方程；

（Ⅱ）若曲线C 是由点M 的轨迹及其关于边AB 对称的曲线组成的，F 是边

AB 上的一点，

4=BF

，

过点F 的直线交曲线C 于P 、Q 两点，且FQ PF λ=，求实数λ的取值范围。

解答：(1)建立如图所示坐标系，设E(0,t),B ’(x 0,2)，M(x,y),则在'

AB E ?中可求得

B '

C 'C

'21AB t =-，∴021x t =-

()()

'(,),0,,21,2EM x y t EB t EB t t =-=-=--u u u r u u u u r u u u r

又B E EB EM '+=，代入可得：()21

122x t t y t

?=-?≤≤?=-??

消去t 得：14

=x y （0≤x ≤2）

（8分）

(2)如图，显然PQ 与x 轴垂直时不符合题意，故可以设直线PQ 的方程

为：1

y kx =+，()()1122,,,P x y Q x y

由211412

y x y kx ?=-+????=+??，整理得：()2420x kx +-=* ∴12124,2x x k x x +=-=-（1）且21680k ?=+>

又1211221211,,,11222

2x x PF x y FQ x y y y λλ=-??????=--=-∴??

? ? ?-=-???

? ?????u u u r u u u r ，即12x x λ=-（2）

代入（1）得：()22

2142

x k x λλ-=-???-=-??，消去2x ，得()2

18k λλ-= 又根据图像可知，当且仅当11

x -≤≤时，直线与曲线C 有两个交点，

∴21

016k ≤≤，∴()2

211082

k λλ-≤

=≤，解之得21≤λ≤2（6分） 14、邻居老李今年45岁，因精简机构被裁员买断。按规定，凡买断者根据工龄及业绩一次性给予补贴。若有返聘者，则给予原工资的 0070 薪酬，其余福利一概不计。已知老李月工资3000元，这次买断可一次性补贴10万元，家中原有积蓄5万元。现在老李需拟定

一个五年计划，有三个设想方案：

其一：返聘。将所有资金存入银行（年息 003 ）。

-2

P Q

其二：开店。将全部资金投入运营。预测前3年每年盈余的数据如表：

其三：注册公司。将已有资金另加贷款（年息 005 ）共计30万元全部投入运营。预

已知银行以复利计息。在不考虑任何其他因素的前提下，请你为老李作出一个最佳选择，并完成上两表空格（注：工资和盈余均以不存入银行计）。

解：方案（一）：返聘。

五年盈余：S 1 = 0.3×0.7×12×5＋15 (1＋003 ) 5

－15 = 14.98 (万

元)

：开店。

y = a x 2

＋bx ＋c 代入已知数

据，

y = －(x －3)2

＋9 ( x ∈N + ，且1≤ x ≤5 )

S 2 = y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5－15 (1＋003 ) 5

＋8＋9＋8＋5－15 (1＋003 ) 5

= 17.62 (万元)

方案（三）：注册公司。

y = kx ＋b 代入已知数据，

可得模拟函数解析式：y= 3x ＋2 ( x ∈N + ，且1 ≤ x ≤ 5 )

五年盈余：S 3 = y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5－15 (1＋003 ) 5

－15(1＋005)5

＋8＋11＋14＋17－15×1.03 5

－15×1.05 5

万元)

因为 S 1 < S 2 < S 3 所以在不考虑任何其他因素的前提下，选择第三种方案好。 15、在平面直角坐标系内，已知三个点列{},{},{},n n n A B C 其中(,),n n A n a (,),n n B n b

(1,0),n C n -1//,n n n n A A B C +u u u u u u r u u u u u r

且点列{}n B 在斜率为6的直线上。

（1）试用11,a b 与n 表示(2);n a n ≥

（2）设11,,a a b a ==-在6a 与7a 两项中至少有一项是数列{}n a 的最小项，试求a

的取值范围；

（3）设*

,a N ∈在（2）的条件下，证明：数列{}n a 中，最小项为6a 与最小项为7

a 的概率相等。

解析：（1）∵11(1,),(1,),n n n n n n n A A a a B C b ++=-=--u u u u u u r u u u u u r

又∵1//,n n n n A A B C +u u u u u u r u u u u u r

∴11()1(),n n n b a a +?-=-?-即1,n n n b a a +=-

∵点列{}n B 在斜率为6的直线上，∴1

6,n n B B k +=即

16,(1)n n

b b n n

+-=+-

∴16,n n b b +-=即数列{}n b 是首项为1,b 公差为6的等差数列， ∴16(1),n b b n =+-

故121321112()()()n n n n a a a a a a a a a b b b -=+-+-++-=++++L L

2111111

(1)(1)(2)63(9)6(2).2

a n

b n n n b n a b n =+-+--=+-++-≥g

（2）由11,a a b a ==-及（1），得2

3(9)62,n a n a n a =-+++

因为二次函数2

()3(9)62f x x a x a =-+++是开口向上，

对称轴为直线9

a x +=

的抛物线，在6a 与7a 两项中至少有一项是数列{}n a 的最小项，则11915

,2436.262

a a +≤≤∴≤≤

（3）证明：∵16(6),n n a a n a +-=-+又30642.a ≤+≤

若630,n ≤即5n ≤时，有1,n n a a +≤从而有123456,a a a a a a >>>>≥ 若642,n ≥即7n ≥时，有1,n n a a +≥从而有78910,a a a a ≤<<

,a N ∈ 故当a 取24，25，26，27，28，29时，6a 为最小项；当a 取30时，67a a =为最小项；

当a 取31，32，33，34，35，36时7a 为最小项。

故数列{}n a 中6a 为最小项的概率为17,13P =

7a 为最小项的概率为27

.13

P = ∴最小项为6a 与最小项为7a 的概率相等。

16、（本小题满分12分）如图，已知棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱CC 1上的一

点，且异面直线BE 与A 1C 1

．

（1）求异面直线BE 与AC 的距离；（2）求直线BE 与平面ACC 1所成的角；

（3）（仅理科学生做）求平面ABE 与平面AB 1D 1所成的锐二面角．

[解答]方法一：

取AF=CE x =，F ∈AA 1，连结EF 、BF ，则EF // AC ， ∴∠BEF 为BE 与AC

所成的角，且BE BF EF ==

∴222cos 2EF BE BF BEF EF BE +-====?

∴2111

,().933

x x x =

==-舍去（1）取AC 、EF 中点O 、O ′，∵AC ∥EF ，∴AC ∥平面BEF ，即AC 与BE 的距离为AC 与平面BEF 的距离，连结OO ′、O ′B 、OB ， ∵EF ⊥OO ′，EF ⊥OB ，∴EF ⊥平面BOO ′，平面BEF ⊥平面BOO ′，作OG ⊥BO ′于G ，则OG ⊥平面BEF ，∴OG 为O 到平面BEF 的距离，

∴111OO BO OG BO ?

'?=

==' （2）BO ⊥平面ACC 1，∴∠BEO 为异面直线BE 与AC 所成角，

∴sin 33

BO BEO BE ======

，∴所求角为； D 1 C 1

A 1

B 1

D C

A B

（3）作EP//DC ，交DD 1于P ，连结AP ，作A 1H ⊥AP 于H ，交AD 于I ，

则由平面几何知识易证得I 满足条件AI 1

AD =，且由AB ⊥平面ADD 1，∴AB ⊥A 1H ， ∴A 1H ⊥平面ABE ，

即A 1H 是平面ABE 的一个法向量，

又易知对角线A 1C 是平面AB 1D 1的一个法向量，

∴A 1C 与B 1H 所成的角即为平面ABE 与平面AB 1D 1所成的角．

在1A IC ?中

有2221

11cos 215AC A I IC IAC AC A I

+-==?，

∴所求的二面角为．

方法二：

以D 点为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则A （1，0，0）、B （1，1，0）、C （0，1，0）、 D （0，0，1）、E （0，1，z ）

∴(1,0,)BE z =-u u u r ，(1,1,0)AC =-u u u r

，

∴

cos ,BE AC <>==

u u u r u u u r ，

解得13z =，即1(1,0,)3BE =-u u u r .

（1）设111(,,)n x y z =r ，且n BE ⊥r u u u r ，n AC ⊥r u u u r ，则111110

30x z x y ?-+=???-+=?，取11x =得(1,1,3)n =r ，

∴||n n =r

r ，而(1,0,0)BC =-u u u r ， D 1 C 1

A 1

B 1

E O /

F D

G C O

A B

D 1 C 1

A 1

B 1

E P

H D C I

所以异面直线BE 与AC

的距离||||BC n d n ?===

u u u r r r （2）易知平面ACC 1的一个法向量是(1,1,0)DB =u u u r

，

∴cos ,DB BE <>==u u u r u u u r ，

即直线DB 与AC

所成的角为

从而直线BE 与平面ACC 1

所成的角2

θ=

-= （3）设平面ABE 的一个法向量是///1(,,)n x y z =u u r

，则1n AB ⊥u u r u u u r ，且1n BE ⊥u u r u u u r ，同（2）理可取1(1,0,3)n =u u r

，

又易知向量1(1,1,1)A C =--u u u u r

是平面AB 1D 1的一个法向量，

∵111111cos ,||||

n A C n A C n A C ?<>==?u u r u u u u r

u u r u u u u r u

u r u u u u r ∴平面AB 1D 1与平面ABE

所成的锐角θ= 17、设数列{a n }、{b n }满足a n ＞0、b n ＞0且a n ＋b n ＝n （n ∈N *

）．①求M ＝ 1 a n ＋ 4n

b n

的最小值

（用n 表示）．②设S n ＝a 1＋a 2＋……＋a n ，当M 取得最小值时，求证：S n ＜2．③设T n ＝b 1＋b 2＋……＋b n ，当M 取得最小值时，求证：T n >

n 2＋n －4

．

解：①由已知 1 n (a n ＋b n )＝1，则M ＝( 1 a n ＋ 4n

b n )· 1 n (a n ＋b n )＝ 1 n (1＋4n ＋4n · a n b n ＋b n a n

)

≥ 1 n (1＋4n ＋2·2n )＝ (2n +1)2

．当且仅当b n ＝2n ·a n 时取等号．

②当M 取最小值时，a n ＋2n

·a n ＝n ，此时a n ＝ n 2n +1＜ n 2n ．因此S n ＝a 1＋a 2＋……＋a n ＜ 1 2＋

2 22＋……＋ n 2n ．令S ＝

1 2＋

2 22＋……＋ n 2n ，则 1 2S ＝ 1 22＋ 2 23＋……＋ n

2n ＋1．两式相减得 1 2S ＝ 1 2＋ 1 22＋ 2 23＋……＋ 1 2n － n 2n ＋1＜ 1 2＋ 1 22＋ 123＋……＋ 1 2n ＝1－ 1

n ＜1．所以S ＜2即S n ＜2．

③S n ＋T n ＝1＋2＋…＋n ＝

n (n +1)2，则T n ＝n (n +1)2－S n >n (n +1)2 －2＝n 2＋n －4

．

18、（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p 的最小值；

（2）若三角形有一个内角为9

arccos ，周长为定值p ，求面积S 的最大值；（3）为了研究边长c b a ,,满足3489≥≥≥≥≥≥c b a 的三角形其面积是否存在最大值，现有解法如下：

))()()((162c b a c b a c b a c b a S ++-+--+++=

22222242222)()(2])(][)[(b a c b a c b a c c b a --++-=---+= 2222224)]([b a b a c ++--=

而64,81,0)]([2

≤≤≤+--b a b a c ，则36≤S ，但是，其中等号成

立的条件是

8,9,222==+=b a b a c ，于是1452=c 与43≤≤c 矛盾，所以，此三角形

的面积不存在最大值。

以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案。

（注：))()()((162

c b a c b a c b a c b a S ++-+--+++=称为三角形面积的海伦公式，它已经被证明是正确的）

解：（1）设直角三角形两直角边长为x 、x -12，斜边长为y ，则

()()267262122

2≥+-=-+=x x x y

∴两直角边长为6时，周长p 的最小值为2612+。

（2）设三角形中边长为x 、y 的两边所夹的角为9

arccos

，则周长p 9

722

-+++=xy y x y x ∴xy xy xy xy p 3891422=-

+≥，即2

9p xy ≤ 又S 232292297arccos sin 21p xy xy ≤=??? ?

，∴面积S 的最大值为2322p 。（3）不正确。))()()((162

c b a c b a c b a c b a S ++-+--+++=

22222242222)()(2])(][)[(c b a c b a c b a a c b --++-=---+=

4)]([c b c b a ++--=

而16,64,0)]([2

≤≤≤+--c b c b a ，则16≤S ，

其中等号成立的条件是 4,8,2

22==+=c b c b a ，则54=a

∴当三角形的边长为4,8,54的直角三角形时，其面积取得最大值16。（另法：1690sin 482

sin 21=????≤=

A bc S ） 19、现在要对某个学校今年将毕业的900名高三毕业生进行乙型肝炎病毒检验，可以利

用两种方法：①对每个人的血样分别化验，这时共需要化验900次；②把每个人的血样分成两份，取其中m 个人的血样的各一份混合在一起作为一组进行化验，如果结果为阴性，那么对这m 个人只需这一次检验就够了；如果结果为阳性，那么再对m 个人的另一份血样逐个化验，这时对这m 个人一共需要m+1次检验，据统计报道，对所有人来说，化验结果为阳性的概率为0.1。

（1）求当m ＝3时，一个小组经过一次检验就有确定化验结果的概率是多少？（2）试比较在第二种方法中，m ＝4和m ＝6哪种分组方法所需要的化验次数更少一些？（1）729.0)1.01(3=-=P （2）M ＝4时，

1η

45 P

0.9

9.01-

59.0)9.01(4

9.041441≈-+?=

ηE (次) m ＝6时

2η

61 6

7 P 0.9

69.01-

64.0)9.01(6

9.061662≈-+?=

ηE （次）

20、如图：在边长为1的正方形ABCD 中，以对角线AC 为半径作圆弧（图1），再以D 为一个顶点在圆弧内作内接正方形DEFG ，以对角线DF 为半径作圆弧（图2），以G 为一个顶点在圆弧内作内接正方形GHIJ ，以对角线GI 为半径做圆弧（图3），……，如此一直作下去．

图1

图2

图

J A

（1）请你在以上一系列图中确定一个无穷数列}{n a ，求出数列}{n a 的通项公式；（2）记你所给出的数列}{n a 的前n 项和为n S ，n n S ∞

→lim 是否存在？若存在，求出极限的值；

若不存在，请说明理由．解：（1）可以确定正方形的边长、面积、对角线等都是无穷递缩等比数列，弧长也构成无穷

递缩等比数列。（以下仅举一例，其它请对照给分）

连接AF ，记AD =1b ，DG =2b ，在ADF ?中，1b AD =，

12b AF =，22b DF =，4

3π=

∠ADF 由余弦定理：4

3cos

2222212

2212

1πb b b b b ?-+=，0222

22121=--b b b b 得出：

312-=

b b ． 4分。第n 个图中，同理可得：相邻正方形的边长之比

31-=

-n n b b 为定值，6分。所以正方形面积所成的数列为首项11=a 、公比2

2)213(

2-=-=q 的等比数列，通项1

32(

--=n n a 8分。（2）因为公比|12

2|<-=

q ， 10分。所以n n S ∞

→lim 存在．n n S ∞

→lim =

3211=

-- 14分。 21、如图，已知平面内两定点(1,0)A -、(1,0)B 与动点Q 满足条件4AQ =，且线段BQ 的

垂直平分线l 与AQ 交于点P ．

（Ⅰ）求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）求AQB ∠的最大值，并求此时AQB ?的面积；（Ⅲ）当1

tan 2

AQB ∠=且点Q 在第一象限时，求直线l 的解析式．

解:（Ⅰ）连结PB ，∵直线l 是线段BQ 的垂直平分线且与AQ 交于点P ，∴

PQ PB =，从而4PA PB PA PQ AQ +=+==，

由椭圆定义可得，P 点轨迹是以(1,0)A -、(1,0)B 为焦点的椭圆2222

1x y a b +=(0)

a b >>，且2a =，1c =，

∴b =P 点的轨迹方程为：22

143

x y +=．（Ⅱ）连结PO

，得到椭圆的参数方程：2cos x y θθ

=??

?=??

（[0,2)θπ∈）．

故(12cos ,)PA θθ=--u u u r ，

(12cos ,)PB θθ=-u u u r

，

∴PA =u u u r 2cos θ=+，

PB =u u u r

2cos θ=-

∴cos PA PB APB PA PB

?∠=?u u u r u u u r 224cos 13sin (2cos )(2cos )θθθθ-+=+-222cos 4cos θθ+=-2

14cos θ=-+- 由cos [1,1]θ∈-得2

611[,1]4cos 2θ-+

∈-，即1

cos [,1]2

APB ∠∈， ∵[0,]APB π∠∈，∴cos APB ∠的最小值为12，即APB ∠的最大值为3

．

又由于PQ PB =，∴12AQB APB ∠=∠，从而得AQB ∠的最大值为6

．

此时cos 0θ=即2πθ=，于是P

点为P ，故AQB ?是含6

的直角三角形且P

点为斜边AQ 的中点，∴AQB ?的面积2AQB APB S S ??=1

AB OP =

?=．

（Ⅲ）当1

tan 2AQB ∠=

时，可得cos AQB ∠=，

∴cos APB ∠cos 2AQB =

∠2

21=-??

5=，即2

6314cos 5θ-+=-2

1cos 4

θ?=．又点Q 在第一象限，而3cos 5APB ∠=1cos 23π>=，∴3

APB π

∠<，即点P 必在第

一象限，因此取1cos 2θ=．此时2cos 1x θ==

，32y θ==，即P 点为3

(1,)2

P ．

对半椭圆函数y =

求导数得13()

x y ?-'==，∴过点

(1,)2

P 的直线l 的斜率为1

12x k y ='

==-，∴直线l 为：31(1)22

y x -=--．即：240x y +-=．

22、有两个质点的运动轨迹是在同一个平面的以定点C 为公共焦点的双曲线，开始它们分别

在双曲线的顶点A 与B 处，且AB=2，两双曲线对称于AB 的中垂线（如图），它们在点D 处会合时，DC=4。（1）求双曲线的离心率；

（2）当一质点沿BD 的轨迹前进到点P 时，2

=PA ，求

（1）3=e （2）2

11=

PC 23、（1）若直角三角形两直角边长之和为12，求其周长p （2）若三角形有一个内角为9

arccos ，周长为定值p （3）为了研究边长c b a ,,满足3489≥≥≥≥≥≥c b a 值，现有解法如下：

))()()((162c b a c b a c b a c b a S ++-+--+++=

22222242222)()(2])(][)[(b a c b a c b a c c b a --++-=---+= 2222224)]([b a b a c ++--=

而64,81,0)]([2

≤≤≤+--b a b a c ，则36≤S ，但是，其中等号成

立的条件是

8,9,222==+=b a b a c ，于是1452=c 与43≤≤c 矛盾，所以，此三角形

的面积不存在最大值。

以上解答是否正确？若不正确，请你给出正确的答案。

（注：))()()((162

c b a c b a c b a c b a S ++-+--+++=称为三角形面积的海伦公式，它已经被证明是正确的）

解：（1）设直角三角形两直角边长为x 、x -12，斜边长为y ，则

()()267262122

2≥+-=-+=x x x y

∴两直角边长为6时，周长p 的最小值为2612+。

（2）设三角形中边长为x 、y 的两边所夹的角为9

arccos

，则周长

p 9

722

-+++=xy y x y x ∴xy xy xy xy p 3891422=-

+≥，即2

9p xy ≤ 又S 232292297arccos sin 21p xy xy ≤=??? ?

，∴面积S 的最大值为2322p 。（3）不正确。))()()((162

c b a c b a c b a c b a S ++-+--+++=

22222242222)()(2])(][)[(c b a c b a c b a a c b --++-=---+=

4)]([c b c b a ++--=

而16,64,0)]([2

≤≤≤+--c b c b a ，则16≤S ，

其中等号成立的条件是 4,8,2

22==+=c b c b a ，则54=a

∴当三角形的边长为4,8,54的直角三角形时，其面积取得最大值16。（另法：1690sin 482

sin 21=????≤=A bc S ）

高考数学大题经典习题(2020年九月整理).doc

1. 对于函数()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-。（1）若()f x 在13x x ==和处取得极值，且()f x 的图像上每一点的切线的斜率均不超过 22sin cos t t t -+t 的取值范围；（2）若()f x 为实数集R 上的单调函数，设点P 的坐标为(),a b ，试求出点P 的轨迹所形成的图形的面积S 。 1. （1）由()3 2 1(2)(2)3 f x a x bx a x =-+-+-，则 ()2'(2)2(2)f x a x bx a =-+-+- 因为()13f x x x ==在和处取得极值，所以()13'0x x f x ===和是的两个根 22 1(2)121(2)02 (2)323(2)0a a b a b a b a ?=--+?-?+-=????=--+?-?+-=?? ()2 '43f x x x ∴=-+- 因为()f x 的图像上每一点的切线的斜率不超过2 2sin cos t t t -+ 所以()2 '2sin cos f x t t t x R ≤-∈恒成立，而()()2 '21f x x =--+，其最大值为1．故2 2sin cos 1t t t -≥ 72sin 21,3412t k t k k Z πππππ? ??-≥?+≤≤+∈ ?? ? （2）当2a =-时，由()f x 在R 上单调，知0b = 当2a ≠-时，由()f x 在R 上单调()'0f x ?≥恒成立，或者()'0f x ≤恒成立． ∵()2 '(2)2(2)f x a x bx a =-+-+-， 2244(4)0b a ∴?=+-≤可得224a b +≤ 从而知满足条件的点(),P a b 在直角坐标平面aob 上形成的轨迹所围成的图形的面积为 4S π= 2. 函数cx bx ax x f ++=2 3 )(（0>a ）的图象关于原点对称，))(,(ααf A 、)) (,(ββf B

高考数学新题型测试研究

第24卷第1期数学教育学报 Vol.24, No.1 2015年2月 JOURNAL OF MATHEMATICS EDUCATION Feb., 2015 收稿日期：2014–10–18 基金项目：全国教育科学规划教育部重点课题——高考能力考查与内容改革创新研究（GFA111006）高考数学新题型测试研究任子朝，章建石，陈昂（教育部考试中心，北京 100084）摘要：为深化高考内容和形式改革，数学科研制了5种新题型：多选题、逻辑题、数据分析题、举例题和开放题．从中国东部、中部、西部省份中各选取一省，每个省抽取省重点、市重点和普通中学3个层次学校的高三学生进行试测，各省抽样一千多人，总共有4 205人参加测试．试测统计数据、问卷调查和考后座谈表明：数学科开发的题型新颖别致，能有效考查数学能力，区分度良好，促进中学教学方式的转变，受到学生和教师的欢迎．关键词：高考；新题型；试测中图分类号：G420 文献标识码：A 文章编号：1004–9894（2015）01–0021–05 1 研究背景 1.1 问题提出党的十八届三中全会提出“推进考试招生制度改革”的目标：“探索全国统考减少科目、不分文理科”．改革的出发点主要有两方面：首先是更好地体现高考的选拔功能．高考选拔的目标发生了巨大转变，已经从对学科知识的全面评价向学习能力的重点测量转变，高考成为有力推动选拔有创造力的高素质人才的重要途径．其次是有利于推进素质教育、促进学生全面发展、个性发展和可持续发展．高考科目的设置主要着眼于在高校人才选拔中发挥基础性和通用性的作用，这样的科目设置模式可以为学生个性潜能和学科特长发展提供更大的空间．数学作为高考中重要的基础学科，要积极进行考试内容和形式的改革，发挥基础学科的重要作用． 1.2 题型试测题型是题目的呈现方式，是实现考查目的的重要手段．高考的考查目标和考查重点进行改革以后，需要新的题型呈现考查要求，实现考查目的．为更好地考查考生的数学能力，高考数学科进行了题型创新设计的专题研究，开发了5种新题型．为检验新题型的考查效果，抽取考生进行试测． 2 研究方法 2.1 样本的选取试测的考生为当年参加高考高三学生，考虑到中国教育地区之间存在差异，不同学校的学生之间也存在差异，为了检测新题型的效果，选取不同地区的学生作为被试．根据被试样本的抽样原则，从东部、中部、西部省份中各选取一省进行试测，每个省抽取省重点、市重点和一般学校的高三学生进行试测，每省抽样一千多人，样本基本代表了中国高三学生的平均水平．这次试测总共发放试卷4 205份，其中有效试卷3 800份，有效率90.36%．试卷不分文理科，所有考生使用相同的试卷，试测考生中文科考生占38%，理科考生占62%． 2.2 研究内容这次试测研究的主要内容包括：试题的难度[1]、区分度[1]，新题型与传统题型的相关性[1]，学生对新题型的适应程度，教师和学生对新题型的接受程度和改进建议． 2.3 研究工具 2.3.1 试测试卷数学科开发了5种新题型（参见附录），分别是： 1. 多项选择题：选择题的答案不唯一，存在多个正确选项． 2. 逻辑题：以日常生活的语言和情景考查推理、论证、比较、评价等逻辑思维能力． 3. 数据分析题：给出一些材料背景以及相关数据，要求考生自己读懂材料，获取信息，根据材料给出的情境、原理以及猜测等，自主分析数据，得出结论，并解决问题． 4. 举例题：要求考生通过给出已知结论、性质和定理等条件，从题干中获取信息，整理信息，写出符合题干的结论或是具体实例． 5. 开放题：试题开放设问，答案并不唯一，要求考生能综合运用所学知识，进行探究，分析问题并最终解决问题．试测试卷将新题型和高考中现有的题型组合成卷，测试时长60分钟，满分75分，时间和满分都是正式高考的一半．高考中现有题型选取了单项选择题，目的是为和新题型进行对比，测试新题型的考查效果．试卷测试结构如表1所示． 1 需要指出的是，有些新题型是在现有题型的基础上发展

2021届新高考高三数学新题型专题01三角函数解答题开放性题目第三篇(原卷版)

第三篇备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径专题01 三角函数解答题

1. 已知OA ＝(2asin 2x ，a)，(1,cos 1)OB x x =-+，O 为坐标原点，a≠0，设f(x)＝OA OB ?＋b ，b>a. (1)若a>0，写出函数y ＝f(x)的单调递增区间； (2)若函数y ＝f(x)的定义域为[ 2 π ，π]，值域为[2,5]，求实数a 与b 的值． 2. 已知直线12,x x x x ==分别是函数()2sin(2)6f x x π=-与3()sin(2)2g x x π=+图象的对称轴. （1）求12()f x x +的值；（2）若关于x 的方程()()1g x f x m =+-在区间[0,]3π 上有两解，求实数m 的取值范围. 3. 已知函数f （x ），g （x ）满足关系g （x ）=f （x ）?f （x +α），其中α是常数．

（1）设()cos sin f x x x =+，2 πα=，求g （x ）的解析式；（2）设计一个函数f （x ）及一个α的值，使得()()2g x cosx cosx =+；（3）当()sin cos f x x x =+，2π α=时，存在x 1，x 2∈R ，对任意x ∈R ，g （x 1）≤g （x ）≤g （x 2）恒成立，求|x 1-x 2|的最小值． 4. 已知函数()21111cos cos sin ,2222f x x x x x x R ??=-+∈ ???. （1）求函数()f x 的值域；（2）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()2,f B b ==ABC S ?=，求a c +的值；（3）请叙述余弦定理（写出其中一个式子即可）并加以证明. 5. 已知函数()2sin cos sin .f x x x x =- (1)求()f x 的最小正周期； (2)设ABC ?为锐角三角形,角A 角B 若()0f A =，求ABC ?的面积. 6. 已知函数()sin cos f x a x b x =+，其中a 、b 为非零实常数. (1)若4f π??= ??? ()f x ，求a 、b 的值. (2)若1a =，6x π =是()f x 图像的一条对称轴，求0x 的值，使其满足0()f x =0[0,2]x ∈π. 7. 已知函数()2sin 2sin 2cos2f x x x x =-. （1）化简函数()f x 的表达式，并求函数()f x 的最小正周期；（2）若点()00,A x y 是()y f x =图象的对称中心，且00,2x π??∈???? ，求点A 的坐标. 8. 已知函数21()2cos 22 f x x x x R =--∈，．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）设△ABC 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，且c =，()0f C =，若sin 2sin B A =，求a b ，的

高考数学新题型归纳

2019年高考数学新题型归纳（一）解析几何中的运动问题解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的很多思想，加上题目中所给信息相融合。在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。（二）新距离近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要懂得坐标系中坐标差的原理，对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，可是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情况下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2019年压轴题，对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情况均相同，故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中

笔者会详细叙述。（三）新名词对于题目中出现了新名词新性质，考生完全可以从新性质本身出发，从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述，即不会给学生思维断层、非生活常规思路（北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路）。比如2009年北京卷文科填空压轴题，就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元，这样肯快就可以得到答案。（四）知识点性质结合此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2019年高考北京卷填空压轴题，需要考生掌握轨迹与方程思想，方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。再比如2009年北京卷填空压轴题，就是对数列递推关系进行了简单的扩展，考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题，而是上升的数学思维方法的层次。

高考数学题型归纳完整版

第一章集合与常用逻辑用语第一节集合题型1-1 集合的基本概念题型1-2 集合间的基本关系题型1-3 集合的运算第二节命题及其关系、充分条件与必要条件题型1-4 四种命题及关系题型1-5 充分条件、必要条件、充要条件的判断与证明题型1-6 求解充分条件、必要条件、充要条件中的参数取值范围第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词题型1-7 判断命题的真假题型1-8 含有一个量词的命题的否定题型1-9 结合命题真假求参数的取值范围第二章函数第一节映射与函数题型2-1 映射与函数的概念题型2-2 同一函数的判断题型2-3 函数解析式的求法第二节函数的定义域与值域（最值）题型2-4 函数定义域的求解题型2-5 函数定义域的应用题型2-6 函数值域的求解第三节函数的性质——奇偶性、单调性、周期性题型2-7 函数奇偶性的判断题型2-8 函数单调性（区间）的判断题型2-9 函数周期性的判断题型2-10 函数性质的综合应用第四节二次函数题型2-11 二次函数、一元二次方程、二次不等式的关系题型2-12 二次方程的实根分布及条件题型2-13 二次函数“动轴定区间” “定轴动区间”问题第五节指数与指数函数题型2-14 指数运算及指数方程、指数不等式题型2-15 指数函数的图象及性质题型2-16 指数函数中恒成立问题第六节对数与对数函数题型2-17 对数运算及对数方程、对数不等式题型2-18 对数函数的图象与性质题型2-19 对数函数中恒成立问题第七节幂函数题型2-20 求幂函数的定义域题型2-21 幂函数性质的综合应用第八节函数的图象题型2-22 判断函数的图象题型2-23 函数图象的应用第九节函数与方程题型2-24 求函数的零点或零点所在区间题型2-25 利用函数的零点确定参数的取值范围题型2-26 方程根的个数与函数零点的存在性问题第十节函数综合题型2-27 函数与数列的综合题型2-28 函数与不等式的综合题型2-29 函数中的信息题第三章导数与定积分第一节导数的概念与运算题型3-1 导数的定义题型3-2 求函数的导数第二节导数的应用题型3-3 利用原函数与导函数的关系判断图像题型3-4 利用导数求函数的单调性和单调区间题型3-5 函数的极值与最值的求解题型3-6 已知函数在区间上单调或不单调，求参数的取值范围题型3-7 讨论含参函数的单调区间题型3-8 利用导数研究函数图象的

高考数学常见题型汇总(经典资料)

一、函数 1、求定义域（使函数有意义）分母 ≠0 偶次根号≥0 对数log a x x>0，a>0且a ≠1 三角形中 060，最小角<60 2、求值域判别式法 V ≥0 不等式法 222321111 33y x x x x x x x x =+ =++≥??= 导数法特殊函数法换元法题型：题型一： 1y x x =+ 法一： 111 (,222同号)或y x x x x x x y y =+ =+≥∴≥≤- 法二：图像法（对(0) b y ax ab x =+>有效 2 -2 -1 1

题型二： ()1 (1,9) y x x x =-∈ ()/ 2(1)(9)110 1 80,,0,9导数法：函数单调递增即y x y x x y f f y =+>∴=-?? ∴∈∈ ? ?? 题型三： 2sin 1 1sin 1sin ,1, 2112化简变形又sin 解不等式，求出，就是要求的答案y y y y y y θθ θθ-= ++=≤-+∴ ≤- 题型四： 22 2 2sin 11cos 2sin 1(1cos ),2sin cos 114sin()1,sin()41sin()11 4化简变形得即又由知解不等式，求出，就是要求的答案 y y y y y y x y x y y x y y θθ θθθθθθθ-= +-=+-=++++=++= +++≤≤+ 题型五

222233 3(3),(3)30(3)430化简变形得由判别式解出x x y x x x y x x y x y y y y += -+=-+-+==--?≥V 反函数 1、反函数的定义域是原函数的值域 2、反函数的值域是原函数的定义域 3、原函数的图像与原函数关于直线y=x 对称题型 1 ()(2)32,2322,2已知求解：直接令，解出就是答案 x x f f x x x x --=+-=+ 周期性 ()()()(2)()()(2)0 0(2，函数 -)式相减）是一个周期是2t 的周期函数 x x t x t x t x x x t f f f f f f f +++++=+== 对称

2021届新高考版高考数学专项突破训练：专项4 新高考·新题型专练

2021届新高考版高考数学专项突破训练专项4 新高考·新题型专练一、多项选择题:在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求. 1.已知集合M={0,1,2},N={x||x - 1|≤1},则() A.M=N B.N?M C.M∩N=M D.(?R M)∪N=R 2.已知i为虚数单位,则下列结论正确的是() A.复数z=的虚部为 B.复数z=的共轭复数= - 5 - 2i C.复数z=i在复平面内对应的点位于第二象限 D.若复数z满足∈R,则z∈R 3.采购经理指数(简称PMI)是国际上通行的宏观经济监测指标体系之一,对国家经济活动的监测和预测具有重要作用.制造业PMI在50%以上,通常反映制造业总体扩张,低于50%,通常反映制造业总体衰退.如图1 - 1是2018年10月到2019年10月我国制造业PMI的统计图,下列说法正确的是() 图1 - 1 A.大部分月份制造业总体衰退 B.2019年3月制造业总体扩张最大 C.2018年11月到2019年10月中有3个月的PMI比上月增长 D.2019年10月的PMI为49.3%,比上月下降0.5个百分点 4.已知函数f (x)=则下列结论中正确的是() A.f ( - 2)=4 B.若f (m)=9,则m=±3

C.f (x)是偶函数 D.f (x)在R上单调递减 5.已知(ax2+)n(a>0)的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,且展开式中各项系数之和为1 024,则下列说法正确的是() A.展开式中奇数项的二项式系数之和为256 B.展开式中第6项的系数最大 C.展开式中存在常数项 D.展开式中含x15项的系数为45 6.已知向量a=(1,2),b=(m,1)(m<0),且满足b·(a+b)=3,则() A.|b|= B.(2a+b)∥(a+2b) C.向量2a- b与a- 2b的夹角为 D.向量a在b方向上的投影为 7.已知函数f (x)=sin(2x - ),下列结论正确的是() A.f (x)的最小正周期是π B.f (x)=是x=的充分不必要条件 C.函数f (x)在区间(,)上单调递增 D.函数y=|f (x)|的图象向左平移个单位长度后所得图象的对称轴方程为x=π(k∈Z) 8.同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有1,2,3,4的正四面体一次,记事件A={第一个四面体向下的一面出现偶数},事件B={第二个四面体向下的一面出现奇数},事件C={两个四面体向下的一面同时出现奇数,或者同时出现偶数}.则下列说法正确的是() A.P(A)=P(B)=P(C) B.P(AB)=P(AC)=P(BC) C.P(ABC)= D.P(A)P(B)P(C)=

高中数学新题型选编(共70个题)(一)

高中数学新题型选编（共70个题）（一） 1、（Ⅰ）已知函数：1()2()(),([0,),)n n n f x x a x a x n N -*=+-+∈+∞∈求函数()f x 的最小值; （Ⅱ）证明:()(0,0,)22 n n n a b a b a b n N *++≥>>∈；（Ⅲ）定理:若123,,k a a a a L 均为正数,则有123123()n n n n n k k a a a a a a a a k k ++++++++≥L L 成立 (其中2,,)k k N k *≥∈为常数．请你构造一个函数()g x ，证明：当1231,,,,,k k a a a a a +L 均为正数时，1231 1231()11 n n n n n k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L ．解：（Ⅰ）令111'()2()0n n n f x nx n a x ---=-+=得11(2)()2n n x a x x a x x a --=+∴=+∴=…2分当0x a ≤≤时，2x x a <+ '()0f x ∴≤ 故()f x 在[0,]a 上递减．当,'()0x a f x >>故()f x 在(,)a +∞上递增．所以，当x a =时，()f x 的最小值为()0f a =.….4分（Ⅱ）由0b >，有()()0f b f a ≥= 即1()2()()0n n n n f b a b a b -=+-+≥ 故 ()(0,0,)22 n n n a b a b a b n N *++≥>>∈．………………………………………5分（Ⅲ）证明:要证： 1231 1231()11 n n n n n k k a a a a a a a a k k ++++++++++≥++L L 只要证：112311231(1)()()n n n n n n k k k a a a a a a a a -+++++++≥++++L L 设()g x =11 23123(1)()()n n n n n n k a a a x a a a x -+++++-++++L L …………………7分则11112'()(1)()n n n k g x k nx n a a a x ---=+?-++++L 令'()0g x =得12k a a a x k +++= L …………………………………………………….8分当0x ≤≤12k a a a k +++L 时，1112'()[(]()n n k g x n kx x n a a a x --=+-++++L ≤111212()()0n n k k n a a a x n a a a x --++++-++++=L L 故12()[0, ]k a a a g x k +++L 在上递减，类似地可证12()(,)k a a a g x k ++++∞L 在递增所以12()k a a a x g x k +++=L 当时，的最小值为12()k a a a g k +++L ………………10分而11212121212()(1)[()]()n n n n n n k k k k k a a a a a a a a a g k a a a a a a k k k -+++++++++=+++++-++++L L L L L =1121212(1)[()()(1)()]n n n n n n n k k k n k k a a a a a a k a a a k -++++++++-++++L K L

高考数学经典选择题(含答案)

高考数学经典选择题(含答案) 1、点O 在ABC ?内部且满足23OA OB OC O ++=，则AOB ?面积与AOC ?面积之比为 A 、 2 B 、 3 2 C 、 3 D 、 53 2、已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3,04??- ???成中心对称图形，且满足 3()()2f x f x =-+，(1)1f -=，(0)2f =-则(1)(2)(2006)f f f ++???+的值为 A 、1 B 、2 C 、 1- D 、2- 3、椭圆1:C 22 143x y +=的左准线为l ，左右焦点分别为12,F F 。抛物线2C 的准线为l ，焦点是 2F ，1C 与2C 的一个交点为P ，则2PF 的值为 A 、4 3 B 、83 C 、 4 D 、8 4、若正四面体的四个顶点都在一个球面上，且正四面体的高为4，则该球的体积为 A 、 16(12)- B 、 18π C 、 36π D 、 64(6)- 5、设32 ()f x x bx cx d =+++，又k 是一个常数，已知当0k <或4k >时，()0f x k -=只有一个实根；当04k <<时，()0f x k -=有三个相异实根，现给出下列命题：（1）()40f x -=和()0f x '=有一个相同的实根，（2）()0f x =和()0f x '=有一个相同的实根（3）()30f x +=的任一实根大于()10f x -=的任一实根（4）()50f x +=的任一实根小于()20f x -=的任一实根其中错误命题的个数是 A 、 4 B 、 3 C 、 2 D 、 1 6、已知实数x 、y 满足条件2040250x y x y x y -+≥??+-≥??--≤?则 24z x y =+-的最大值为 A 、 21 B 、 20 C 、 19 D 、 18 7、三棱锥P ABC -中，顶点P 在平面ABC 的射影为O ，满足0OA OB OC ++=，A 点在侧面PBC 上的射影H 是PBC ?的垂心，6PA =，则此三棱锥体积的最大值为 A 、 36 B 、 48 C 、 54 D 、 72 8、已知函数()f x 是R 上的奇函数，且 ()0,+∞在上递增，(1,2)A -、(4,2)B 是其图象上两点，则不等式(2)2f x +<的解集为 A 、 ()(),44,-∞-?+∞ B 、 ()(){}4,11,40--??

高考数学新题型分类

2019年高考数学新题型分类新课标以来，高考数学中出现了创新题型，以第8、14、20题为主，创新题型是建立在高中数学思维体系之上的一中新数学题型。2019年高考数学新题型分类为以下几点： (一)解析几何中的运动问题解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的很多思想，加上题目中所给信息相融合。在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。 (二)新距离近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要懂得坐标系中坐标差的原理，对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，可是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情况下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2019年压轴题，对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情况均相同，故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中笔者

会详细叙述。 (三)新名词对于题目中出现了新名词新性质，考生完全可以从新性质本身出发，从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述，即不会给学生思维断层、非生活常规思路(北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路)。比如2009年北京卷文科填空压轴题，就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元，这样肯快就可以得到答案。 (四)知识点性质结合此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2019年高考北京卷填空压轴题，需要考生掌握轨迹与方程思想，方程与曲线关于变量与坐标的一一对应关系。再比如2009年北京卷填空压轴题，就是对数列递推关系进行了简单的扩展，考生只要严格按照题目的规则代入就可得到答案。此类题型需要考生对于知识点的原理、思维方法有深层次的理解才能够很快做出答案。上面提到的两道题均没有考对应知识点的细节处理问题，而是上升的数学思维方法的层次。(五)情境结合题要练说，得练看。看与说是统一的，看不准就难以说得好。练看，就是训练幼儿的观察能力，扩大幼儿的认知范围，让幼儿在观察事物、

例谈近几年高考题中的新题型

例谈近几年高考题中的新题型江苏省泰州市民兴实验中学丁益民（225300）综观这两年各地高考数学试题便会发现几乎每份试卷,都有一定量的新定义题.这类题目的特点是命题者通过文字或图表等给出了中学数学内容中没有遇到过的新知识,这些新知识可以是新概念、新定义、新定理、新规则或新情境,并且这些解题的信息有可能不是直接给出的,要求解题者通过观察、阅读、归纳、探索进行迁移,即读懂新概念,理解新情境,获取有用的新信息,然后运用这些有用的信息进一步演算和推理,从而考察学生在新的情景下,独立获取和运用新信息的能力,综合运用数学知识解决问题的能力和探索能力. 就这两年高考题型的走势来看，高考新题型的结构形式大约有以下的7种。一、情境新颖型新的立意，新的背景，新的表述，新的设问都能创设试题的新颖情境. 【例1】（2020年全国卷Ⅲ）计算机中常用的十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9 十六进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十进制0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=【】 A.6E B.72 C.5F D.B0 【点示】情境新颖有三：（1）数符新颖，除熟悉的0，1，…，9这10个数字之外，还有新数字A、B、C、D、E、F. （2）数制新颖，16进制. （3）数意新颖，16进制中的数11，如果说个位数上的1与10进制中的1“数意”相同的话，那么十位数上的1则是另外一种“数意”了；自然，F1这个数在10进制中已经不是两位数了. 【解答】我们用符号［x］(10) ，［y］ (16) 分别表示10进制和16进制中的数. 依题意，有［16］(10)=［10］(16) 则有A×B=［10×11］(10) =［110］(10)=［6×16+14］(10)=［6×10+E］(16) =6E. 答案为A. 二、研究学习型【例2】(2020年江苏卷)相同的正四棱锥组成如图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点．．．均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（A）1个（B）2个（C）3个（D）无穷多个【点示】研究有三：（1）正方体内接几何体的空间模型；（2）截面图形；（3）新课标要求的三视图. 【解答】法一：本题可以转化为一个正方形可以有多少个内接正方形，显然有无穷多个.

2021届新高考高三数学新题型专题03 三角形解答题开放性题目第三篇(原卷版)

第三篇备战新高考狂练新题型之高三数学提升捷径专题03 三角形解答题在①ABC ?面积2ABC S ?=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34 ABC π∠= ，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .

1. 在ABC ?中，7,5,8a b c ===. ()1求sin A 的值； ()2若点P 为射线AB 上的一个动点（与点A 不重合），设AP k PC =. ①求k 的取值范围；

②直接写出一个k 的值，满足：存在两个不同位置的点P ，使得AP k PC =. 2. cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin sin 2 A C b A += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题. 在ABC ?中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，b =4a c +=，求ABC ?的面积. 3. 在①34asinC ccosA =;②22 B C bsin +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题. 在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知，a =. (1)求sinA ; (2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π =∠=，求ABC 的面积 4. 在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满()(sin sin )sin )b a B A c B C -+=-. （1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π =，③=c 这三个条件中，选出两个使ABC 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC 的面积. 5. 在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a B b A π=+，③sin sin 2 B C b a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，6b c +=，a =， . 求ABC ?的面积. 6. 某地计划在一处海滩建造一个养殖场.

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案

高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

函数与方程【知识梳理】 1、函数零点的定义（1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。（2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点（3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0?

高考数学新题型

2019高考数学新题型人类的每一次重大进步背后都是数学在后面强有力的支撑。查字典大学网为大家推荐了高考数学新题型，请大家仔细阅读，希望你喜欢。 (一)解析中的运动问题解析几何中的创新小题是新课标高考中出现频率最高的题型，09、10、11年高考数学选择填空压轴题都出现了运动问题。即新课标高考数学思维从传统分析静态模型转变为分析动态模型。因此考生需要掌握在运动过程中对于变量与不变量的把握、善于建立运动过程中直接变量与间接变量的关系、以及特殊值情境分析、存在问题与任意问题解题方法的总结。在解此类创新题型时，往往需要融入生活中的很多思想，加上题目中所给信息相融合。在数学层面上，需要考生善于从各个角度与考虑问题，将思路打开，同时善于用数学思维去将题目情境抽象成数学模型。 (二)新距离

近几年兴起的关于坐标系中新距离d=|X1-X2|+|Y1-Y2|的问题，考生需要懂得坐标系中坐标差的原理，对于对应两点构成的矩形中坐标差的关系弄清楚就行了。近两年高考大题中均涉及到了新距离问题，可是高考所考察的内容不再新距离本身，而在于建立新的数学模型情况下，考生能否摸索出建立数学模型与数学思维的关系。比如2019年压轴题，对于一个数列各个位做差取绝对值求和的问题，由于每个位取值情况均相同，故只需考虑一个位就行了。在大题具体解题中笔者会详细叙述。 (三)新名词对于题目中出现了新名词新性质，考生完全可以从新性质本身出发，从数学思维角度理解新性质所代表的数学含义。此类创新题型就像描述一幅画一样去描述一个数学模型，然后描述的简洁透彻，让考生通过此类描述去挖掘性质。新课标数学追求对数学思维的自然描述，即不会给学生思维断层、非生活常规思路(北京海淀区2019届高三上学期期末考试题的解析几何大题属于非常规思路)。比如2009年北京卷文科填空压轴题，就是让学生直观形象的去理解什么叫做孤立元，这样肯快就可以得到答案。 (四)知识点性质结合此类题型主要结合函数性质、图象等知识点进行出题，此类题一般只要熟悉知识点网络结构与知识点思维方式就没有问题。比如2019年高考北京卷填空压轴题，需要考生掌握轨迹与

数学高考大题题型归纳必考

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数学高考大题题型归纳必考题型例题 1数学高考大题题型有哪些必做题： 1.三角函数或数列（必修4，必修5） 2.立体几何（必修2） 3.统计与概率（必修3和选修2-3） 4.解析几何（选修2-1） 5.函数与导数（必修1和选修2-2）选做题： 1.平面几何证明（选修4-1） 2.坐标系与参数方程（选修4-4） 3.不等式（选修4-5） 2数学高考大题题型归纳一、三角函数或数列数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。二、立体几何高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的课程改革的进一步

历届高考数学压轴题汇总及答案

历届高考数学压轴题汇总及答案一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分）已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈．（1）若120,3 a d π ==，求集合S ；（2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素；（3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的值．二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数.

设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值；（2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围．

专题11 高考新题型(原卷版)

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