2017年中考数学专题复习 新定义问题

新定义问题

【专题点拨】

新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模；

3.解决数模，回顾检查．“新概念”试题，其设计新颖，构思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能 .

【解题策略】

具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决

【典例解析】

类型一：规律题型中的新定义

例题1：（2015?永州，第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（）

A．[x]=x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1

C．[x+y]≤[x]+[y]D．[n+x]=n+[x]（n为整数）

【解析】：根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算

【解答】：解：A、∵[x]为不超过x的最大整数，

∴当x是整数时，[x]=x，成立；

B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立；

C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10，

∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]，

∴[x+y]≤[x]+[y]不成立，

D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立；

故选：C．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年中考常考的题型．

变式训练1：

（2015?山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为( )

A．(—2012,2) B．（一2012，一2）

C. (—2013,—2)

D. (—2013,2)

类型二：运算题型中的新定义

例题2：（2016·四川宜宾）规定：log a b（a＞0，a≠1，b＞0）表示a，b之间的一种运算．

现有如下的运算法则：log n a n=n．log N M=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，M＞0）．

例如：log223=3，log25=，则log1001000= ．

【解析】实数的运算．先根据log N M=（a＞0，a≠1，N＞0，N≠1，

M＞0）将所求式子化成以10为底的对数形式，再利用公式进行计算．

【解答】解：log1001000===．故答案为：．

变式训练2：

(2016四川省乐山市第16题)在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y′），给出如下定义：若(0)

(0)

y x y y x ≥?'=?

-

例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．

（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数3y x =+图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为 ；

（2）若点P 在函数2

16y x =-+（5x a -≤≤）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是1616y '-≤≤，则实数a 的取值范围是 ．

类型三： 探索题型中的新定义

例题3：(2016山西省第10题)宽与长的比是

2

1

-5（约为0．618）的矩形叫做黄金矩形．黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形ABCD ，分别取AD ，BC 的中点E ，F ，连接EF ；以点F 为圆心，以FD 为半径画弧，交BC 的延长线与点G ；作AD GH ⊥，交AD 的延长线于点H ．则图中下列矩形是黄金矩形的是（ ）

A ．矩形ABFE

B ．矩形EFCD

C ．矩形EFGH

D ．矩形DCGH

【解析】考点：黄金分割的识别

【解答】：由作图方法可知DF=5CF ，所以CG=CF )15(-，且GH=CD=2CF ，从而得出黄金矩形

CG=CF )15(-，GH=2CF ∴

2

1

52)15(-=

-=CF CF GH CG ∴矩形DCGH 是黄金矩形。 变式训练3：（2014?山东济南，第14题，3分）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S 0，将其中的每个数换成该数在S 0中出现的次数，可得到一个新序列S 1，例如序列S 0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S 1：（2，2，1，2，2），若S 0可以为任意序列，则下面的序列可作为S 1的是（ ）

A ．（1，2，1，2，2）

B ．（2，2，2，3，3）

C ．（1，1，2，2，3）

D ．（1，2，1，1，2）

类型四： 开放题型中的新定义

例题4：(2016山西省第19题)（本题7分）请阅读下列材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理

阿基米德（Archimedes ，公元前287~公元212年，古希腊）是有史以来最伟大的数学家之一．他与牛顿、高斯并称为三大数子．

阿拉伯Al-Biruni （973年~1050年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al-Biruni 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理．

阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是O 的两条弦（即折线ABC 是圆的一条折弦），BC>AB ，M 是ABC 的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD=AB+BD ．

下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD 的部分证明过程．

证明：如图2，在CB 上截取CG=AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC 的中点， ∴MA=MC ．．．

任务：

（1）请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；

（2）填空：如图（3），已知等边△ABC内接于O，AB=2，D为O上一点，?

ABD，

∠45

=

AE⊥BD与点E，则△BDC的长是．

【答案】(1)、证明过程见解析；(2)、2+22

【解析】考查了圆的证明。（1）已截取CG=AB ∴只需证明BD=DG

且MD⊥BC，所以需证明MB=MG

故证明△MBA≌△MGC即可

（2）AB=2，利用三角函数可得

由阿基米德折弦定理可得BE=DE+DC

则△BDC周长=BC+CD+BD=BC+DC+DE+BE

=BC+（DC+DE）+BE

=BC+BE+BE

=BC+2BE

然后代入计算可得答案

∠=∠，

【解答】：(1)证明：又∵A C

∴△MBA≌△MGC．

∴MB=MG．

又∵MD⊥BC，∵BD=GD．

∴CD=CG+GD=AB+BD．

(2)、2+．

变式训练4：（2015?浙江嘉兴，第24题14分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有

一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.

（1）概念理解

如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.

（2）问题探究

①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由。

②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC 沿

∠ABC的平分线BB＇方向平移得到△A＇B＇C＇，连结AA＇，BC＇.小红要是平移后的四边形ABC＇A＇是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB＇的长）？

（3）应用拓展

如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD==90°，AC，BD为对角线，AC=AB.试探究BC，CD，BD的数量关系.

类型五：阅读材料题型中的新定义

例题5：（2016·浙江省湖州市·3分）定义：若点P（a，b）在函数y=的图象上，将

以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y=ax2+bx称为函数y=的一个“派生函

数”．例如：点（2，）在函数y=的图象上，则函数y=2x2+称为函数y=的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：

（1）存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧

（2）函数y=的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，下列判断正确的是（）A．命题（1）与命题（2）都是真命题

B．命题（1）与命题（2）都是假命题

C．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题

D．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题

【解析】命题与定理．（1）根据二次函数y=ax2+bx的性质a、b同号对称轴在y轴左侧，a、b异号对称轴在y轴右侧即可判断．

（2）根据“派生函数”y=ax2+bx，x=0时，y=0，经过原点，不能得出结论．

【解答】解：（1）∵P（a，b）在y=上，

∴a和b同号，所以对称轴在y轴左侧，

∴存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧是假命题．

（2）∵函数y=的所有“派生函数”为y=ax2+bx，

∴x=0时，y=0，

∴所有“派生函数”为y=ax2+bx经过原点，

∴函数y=的所有“派生函数”，的图象都进过同一点，是真命题．

故选C．

变式训练5：

（2016·重庆市A卷·10分）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：

n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对

值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6

或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．

（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；

（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．

【能力检测】

1.（2015?甘肃天水，第10题，4分）定义运算：a?b=a（1﹣b）．下面给出了关于这种运算的几种结论：①2?（﹣2）=6，②a?b=b?a，③若a+b=0，则（a?a）+（b?b）=2ab，④若a?b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（）

A．①④ B．①③ C．②③④ D．①②④

2.（2013浙江台州，16，5分）任何实数a，可用[]a表示不超过a的最大整数，如[]4=4，[]

3=1，现对72进行如下操作：72 第1次[72=2第372只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行次操作后变为1；②只需进行

3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．

3.（2016·重庆市B卷·10分）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对

值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6

或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；

（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．

4.（2015?江苏盐城，第27题12分）知识迁移

我们知道，函数y=a（x﹣m）2+n（a≠0，m＞0，n＞0）的图象是由二次函数y=ax2的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到；类似地，函数y=+n（k≠0，m＞0，n ＞0）的图象是由反比例函数y=的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为（m，n）．

理解应用

函数y=+1的图象可由函数y=的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．

灵活应用

如图，在平面直角坐标系xOy中，请根据所给的y=的图象画出函数y=﹣2的图象，并根据该图象指出，当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？

实际应用

某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为y1=；若在x=t（t≥4）时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为y2=，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？

5.（2014?吉林，第26题10分）如图①，直线l：y=mx+n（m＞0，n＜0）与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做l的关联抛物线，而l叫做P的关联直线．

（1）若l：y=﹣2x+2，则P表示的函数解析式为；若P：y=﹣x2﹣3x+4，则l表示的函数解析式为．

（2）求P的对称轴（用含m，n的代数式表示）；

（3）如图②，若l：y=﹣2x+4，P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；

（4）如图③，若l：y=mx﹣4m，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，直接写出l，P表示的函数解析式．

【参考答案】

变式训练1：

（2015?山东潍坊，第12题3分）如图，已知正方形ABCD，顶点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．规

定“把正方形ABCD 先沿x 轴翻折，再向左平移1个单位”为一次变换．如此这样，连续经过2014次变换后，正方形ABCD 的对角线交点M 的坐标变为( )

A ．(—2012,2)

B ．（一2012，一2） C. (—2013,—2) D. (—2013,2)

【解答】：∵正方形ABCD ，点A(1，3)、B(1,1)、C(3,1)．∴M 的坐标变为(2,2) ∴根据题意得：第1次变换后的点M 的对应点的坐标为（2－1，－2），即（1，－2）， 第2次变换后的点M 的对应点的坐标为：（2－2，2），即（0，2）， 第3次变换后的点M 的对应点的坐标为（2－3，－2），即（－1，－2）， 第2014次变换后的点M 的对应点的为坐标为（2－2014， 2），即（－2012， 2） 故答案为A ．

变式训练2：

(2016四川省乐山市第16题)在直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y′），给出如下定义：若(0)

(0)y x y y x ≥?'=?

-

，则称点Q 为点P 的“可控变点”．

例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．

（1）若点（﹣1，﹣2）是一次函数3y x =+图象上点M 的“可控变点”，则点M 的坐标为 ；

（2）若点P 在函数2

16y x =-+（5x a -≤≤）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′的取值范围是1616y '-≤≤，则实数a 的取值范围是 ．

【答案】（1） （﹣1，2）；（2） 0≤a≤．

【解析】考查的考点：1．二次函数图象上点的坐标特征；2．一次函数图象上点的坐标特征；3．新定义．

【解答】（1）根据“可控变点”的定义可知点M 的坐标为（﹣1，2）；

（2）依题意，2

16y x =-+图象上的点P 的“可控变点”必在函数

22

16 (0)

16 (50)

x x y x x ?-+≥?=?--≤

21616x =-+或21616x =-，∴x=0或x=，当y′=﹣16时， 21616x -=-+或

21616x -=-，∴x=或x=0，∴a 的取值范围是0≤a≤故答案为：（1）（﹣1，2）；

（2）0≤a≤

变式训练3：（2014?山东济南，第14题，3分）现定义一种变换：对于一个由有限个数组成的序列S 0，将其中的每个数换成该数在S 0中出现的次数，可得到一个新序列S 1，例如序列S 0：（4，2，3，4，2），通过变换可生成新序列S 1：（2，2，1，2，2），若S 0可以为任意序列，则下面的序列可作为S 1的是（ ）

A ．（1，2，1，2，2）

B ．（2，2，2，3，3）

C ．（1，1，2，2，3）

D ．（1，2，1，1，2）

【解答】：A 、∵2有3个，∴不可以作为S 1，故选项错误；

B、∵2有3个，∴不可以作为S1，故选项错误；

C、3只有1个，∴不可以作为S1，故选项错误

D、符合定义的一种变换，故选项正确．

故选：D．

变式训练4：（2015?浙江嘉兴，第24题14分）类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.

（1）概念理解

如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.

（2）问题探究

①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由。

②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC 沿

∠ABC的平分线BB＇方向平移得到△A＇B＇C＇，连结AA＇，BC＇.小红要是平移后的四边形ABC＇A＇是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB＇的长）？

（3）应用拓展

如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD==90°，AC，BD为对角线，AC=AB.试探究BC，CD，BD的数量关系.

【解答】：（1）AB=BC或BC=CD或CD=AD或AD=AB（任写一个即可）；

（2）①正确，理由为：

∵四边形的对角线互相平分，∴这个四边形是平行四边形，

∵四边形是“等邻边四边形”，∴这个四边形有一组邻边相等，

∴这个“等邻边四边形”是菱形；

②∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，

∴AC=，

∵将Rt△ABC平移得到△A′B′C′，

∴BB′=AA′，A′B′∥AB，A′B′=AB=2，B′C′=BC=1，A′C′=AC=，（I）如图1，当AA′=AB时，BB′=AA′=AB=2；

（II）如图2，当AA′=A′C′时，BB′=AA′=A′C′=；

（III）当A′C′=BC′=时，

如图3，延长C′B′交AB于点D，则C′B′⊥AB，

∵BB′平分∠ABC，

∴∠ABB′=∠ABC=45°，

∴∠BB′D=′∠ABB′=45°，

∴B′D=B，

设B′D=BD=x，

则C′D=x+1，BB′=x，

∵在Rt△BC′D中，BD2+（C′D）2=（BC′）2

∴x2+（x+1）2=（）2，

解得：x1=1，x2=﹣2（不合题意，舍去），

∴BB′=x=，

（Ⅳ）当BC′=AB=2时，如图4，

与（Ⅲ）方法一同理可得：BD2+（C′D）2=（BC′）2，

设B′D=BD=x，

则x2+（x+1）2=22，

解得：x1=，x2=（不合题意，舍去），

∴BB′=x=；

（3）BC，CD，BD的数量关系为：BC2+CD2=2BD2，如图5，

∵AB=AD，

∴将△ADC绕点A旋转到△ABF，连接CF，

∴△ABF≌△ADC，

∴∠ABF=∠ADC，∠BAF=∠DAC，AF=AC，FB=CD，

∴∠BAD=∠CAF，==1，

∴△ACF∽△ABD，

∴==，∴BD，

∵∠BAD+∠ADC+∠BCD+∠ABC=360°，

∴∠ABC+∠ADC﹣360°﹣（∠BAD+∠BCD）=360°﹣90°=270°，

∴∠ABC+∠ABF=270°，

∴∠CBF=90°，

∴BC2+FB2﹣CF2=（BD）2=2BD2，

∴BC2+CD2=2BD2．

变式训练5：

（2016·重庆市A卷·10分）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对

值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6

或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．

（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；

（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．

【解析】（1）根据题意可设m=n2，由最佳分解定义可得F（m）==1；

（2）根据“吉祥数”定义知（10y+x）﹣（10x+y）=18，即y=x+2，结合x的范围可得2位数的“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的F（t），比较后可得最大值．

【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），

∵|n﹣n|=0，

∴n×n是m的最佳分解，

∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；

（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，

∵t为“吉祥数”，∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18，

∴y=x+2，

∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，

∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，

∴F（13）=，F（24）==，F（35）=，F（46）=，F（57）=，F（68）=，

F（79）=，

∵＞＞＞＞＞，

∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．

【点评】本题主要考查实数的运算，理解最佳分解、“吉祥数”的定义，并将其转化为

实数的运算是解题的关键．

【能力检测】

1.（2015?甘肃天水，第10题，4分）定义运算：a?b=a（1﹣b）．下面给出了关于这种

运算的几种结论：①2?（﹣2）=6，②a?b=b?a，③若a+b=0，则（a?a）+（b?b）=2ab，④若

a?b=0，则a=0或b=1，其中结论正确的序号是（）

A．①④ B．①③ C．②③④ D．①②④

【解答】：根据题意得：2?（﹣2）=2×（1+2）=6，选项①正确；

a?b=a（1﹣b）=a﹣ab，b?a=b（1﹣a）=b﹣ab，不一定相等，选项②错误；

（a?a）+（b?b）=a（1﹣a）+b（1﹣b）=a+b﹣a2﹣b2≠2ab，选项③错误；

若a?b=a（1﹣b）=0，则a=0或b=1，选项④正确，

故选A

2.（2013浙江台州，16，5分）任何实数a，可用[]a表示不超过a的最大整数，如[]4=4，[]

3=1，现对72进行如下操作：72 第1次[72=2第372只需进行3次操作后变为1，类似地，①对81只需进行次操作后变为1；②只需进行

3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是．

【解析】①首先理解[]a的意义，它表示不超过a的最大整数，然后仿照“72”的操作，

81 第1次=9第2次=3第3次=1，，所以对81只需进行 3次操作后变为1；

②只需进行3次操作后变为1的所有正整数中找出最大的，需要进行逆向思维，若

=1，则a可以取的最大整数为3；若=3，则a可以取的最大整数为15；若=15，则a可以取的最大整数为255，∴最大为255.

【答案】：3；255．

3.（2016·重庆市B卷·10分）我们知道，任意一个正整数n都可以进行这样的分解：

n=p×q（p，q是正整数，且p≤q），在n的所有这种分解中，如果p，q两因数之差的绝对

值最小，我们就称p×q是n的最佳分解．并规定：F（n）=．例如12可以分解成1×12，2×6

或3×4，因为12﹣1＞6﹣2＞4﹣3，所有3×4是12的最佳分解，所以F（12）=．（1）如果一个正整数a是另外一个正整数b的平方，我们称正整数a是完全平方数．求证：对任意一个完全平方数m，总有F（m）=1；

（2）如果一个两位正整数t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y为自然数），交换其个位上的数与十位上的数得到的新数减去原来的两位正整数所得的差为18，那么我们称这个数t为“吉祥数”，求所有“吉祥数”中F（t）的最大值．

【考点】实数的运算．

【解析】新定义．（1）根据题意可设m=n2，由最佳分解定义可得F（m）==1；

（2）根据“吉祥数”定义知（10y+x）﹣（10x+y）=18，即y=x+2，结合x的范围可得2位数的“吉祥数”，求出每个“吉祥数”的F（t），比较后可得最大值．

【解答】解：（1）对任意一个完全平方数m，设m=n2（n为正整数），

∵|n﹣n|=0，

∴n×n是m的最佳分解，

∴对任意一个完全平方数m，总有F（m）==1；

（2）设交换t的个位上的数与十位上的数得到的新数为t′，则t′=10y+x，

∵t为“吉祥数”，

∴t′﹣t=（10y+x）﹣（10x+y）=9（y﹣x）=18，

∴y=x+2，

∵1≤x≤y≤9，x，y为自然数，

∴“吉祥数”有：13，24，35，46，57，68，79，

∴F（13）=，F（24）==，F（35）=，F（46）=，F（57）=，F（68）=，

F（79）=，

∵＞＞＞＞＞，

∴所有“吉祥数”中，F（t）的最大值是．

【点评】本题主要考查实数的运算，理解最佳分解、“吉祥数”的定义，并将其转化为实数的运算是解题的关键．

4.（2015?江苏盐城，第27题12分）知识迁移

我们知道，函数y=a（x﹣m）2+n（a≠0，m＞0，n＞0）的图象是由二次函数y=ax2的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到；类似地，函数y=+n（k≠0，m＞0，n ＞0）的图象是由反比例函数y=的图象向右平移m个单位，再向上平移n个单位得到，其对称中心坐标为（m，n）．

理解应用

函数y=+1的图象可由函数y=的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到，其对称中心坐标为．

灵活应用

如图，在平面直角坐标系xOy中，请根据所给的y=的图象画出函数y=﹣2的图象，并根据该图象指出，当x在什么范围内变化时，y≥﹣1？

实际应用

某老师对一位学生的学习情况进行跟踪研究，假设刚学完新知识时的记忆存留量为1，新知识学习后经过的时间为x，发现该生的记忆存留量随x变化的函数关系为y1=；若在x=t（t≥4）时进行第一次复习，发现他复习后的记忆存留量是复习前的2倍（复习的时间忽略不计），且复习后的记忆存留量随x变化的函数关系为y2=，如果记忆存留量为时是复习的“最佳时机点”，且他第一次复习是在“最佳时机点”进行的，那么当x为何值时，是他第二次复习的“最佳时机点”？

【解答】：理解应用：根据“知识迁移”易得，函数y=+1的图象可由函数y=的图象向右平移 1个单位，再向上平移 1个单位得到，其对称中心坐标为（1，1）．故答案是：1，1，（1，1）

灵活应用：将y=的图象向右平移2个单位，然后再向下平移两个单位，即可得到函数y=﹣2的图象，其对称中心是（2，﹣2）．图象如图所示：

由y=﹣1，得﹣2=﹣1，

解得x=﹣2．

由图可知，当﹣2≤x＜2时，y≥﹣1

实际应用：

解：当x=t时，y1=，

则由y1==，解得：t=4，

即当t=4时，进行第一次复习，复习后的记忆存留量变为1，

∴点（4，1）在函数y2=的图象上，

则1=，解得：a=﹣4，

∴y2=，

当y2==，解得：x=12，

江苏省南京市2017年中考数学模拟试卷(1)及答案

南京市中考数学模拟试卷1 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1.全面贯彻落实“大气十条”，抓好大气污染防治，是今年环保工作的重中之重．其中推进燃煤电厂脱硫改造15000 000千瓦是《政府工作报告》中确定的重点任务之一．将数据15 000 000用科学记数法表示为( ) A．15×106B． 1.5×107C．1.5×108D．0.15×108 2.﹣4的绝对值是（） A．B．C． 4 D．﹣4 3.下列计算结果正确的是（） A．（﹣2x2）3=﹣6x6 B．x2?x3=x6 C．6x4÷3x3=2x D．x2+x3=2x5 4.下列长度的各种线段，可以组成三角形的是（） A． 1，2，3 B． 1，5，5 C． 3，3，6 D． 3，5，1 5.如图，△ABC内接于⊙O，∠OBC=40°，则∠A的度数为（） A．80°B．100°C．110°D．130° 6.下列数据是某班六位同学定点投篮（每人投10个）的情况，投进篮筐的个数为6，9，8， 4，0，3，这组数据的平均数、中位数和极差分别是( ) A．6，6，9 B．6，5，9 C．5，6，6 D．5，5，9 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7.的算术平方根为． 8.代数式有意义时，实数x的取值范围是__________．

9.分解因式：x2﹣y2﹣3x﹣3y=__________． 10.比较大小：25（填“＞，＜，=”）． 11.化简：﹣= 12.若一元二次方程x2+4x+c=0有两个不相等的实数根，则c的值可以是（写出一个即可）． 13.如图，已知C，D是以AB为直径的半圆周上的两点，O是圆心，半径OA=2，∠COD=120°， 则图中阴影部分的面积等于_____________________. 14.如图，∠B=∠D=90°，BC=DC，∠1=40°，则∠2=______度． 15.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=16cm，AD为BC边上的高．动点P从点A出发， 沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动．设△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，运动时间为t秒（0＜t＜8），则t= 秒时，S1=2S2． 16.如图，在正方形网格中有一个边长为4的平行四边形ABCD （Ⅰ）平行四边形ABCD的面积是； （Ⅱ）请在如图所示的网格中，将其剪拼成一个有一边长为6的矩形，画出裁剪线（最多两条），并简述拼接方法．

2017年中考数学易考知识点总结

2017年中考数学易考知识点总结 知识点1：一元二次方程的基本概念 1、一元二次方程3x2+5x-2=0的常数项是-2。 2、一元二次方程3x2+4x-2=0的一次项系数为4，常数项是-2。 3、一元二次方程3x2-5x-7=0的二次项系数为3，常数项是-7把方程3x(x-1)-2=-4x化为一般式为3x2-x-2=0。 知识点2：直角坐标系与点的位置 1、直角坐标系中，点A(3，0)在y轴上。 2、直角坐标系中，x轴上的任意点的横坐标为0。 3、直角坐标系中，点A(1，1)在第一象限直角坐标系中，点A(-2，3)在第四象限。 5、直角坐标系中，点A(-2，1)在第二象限。 知识点3：已知自变量的值求函数值 1、当x=2时，函数y=的值为1。 2、当x=3时，函数y=的值为1。 3、当x=-1时，函数y=的值为1。 知识点4：基本函数的概念及性质 1、函数y=-8x是一次函数。 2、函数y=4x+1是正比例函数。 3、函数是反比例函数抛物线y=-3(x-2)2-5的开口向下。 5、抛物线y=4(x-3)2-10的对称轴是x=3。 6、抛物线的顶点坐标是(1，2)。 7、反比例函数的图象在第一、三象限。

知识点5：数据的平均数中位数与众数 1、数据13，10，12，8，7的平均数是10。 2、数据3，4，2，4，4的众数是4。 3、数据1，2，3，4，5的中位数是3。 知识点6：特殊三角函数值 1.cos30°=*。 2.sin260°+cos260°=1。 3.2sin30°+tan45°=2。 4.tan45°=1。 5.cos60°+sin30°=1。 知识点7：圆的基本性质 1、半圆或直径所对的圆周角是直角。 2、任意一个三角形一定有一个外接圆。 3、在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。 5、同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。 6、同圆或等圆的半径相等。 7、过三个点一定可以作一个圆。 8、长度相等的两条弧是等弧。 9、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等。 10、经过圆心平分弦的直径垂直于弦。 知识点8：直线与圆的位置关系 1、直线与圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切。

(完整版)2017中考数学压轴题解题技巧

中考数学压轴题解题技巧 解中考数学压轴题秘诀（一） 数学综合题关键是第22题和23题，我们不妨把它分为函数型综合题和几何型综合题。 （一）函数型综合题：是先给定直角坐标系和几何图形，求（已知）函数的解析式（即在求解前已知函数的类型），然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。初中已知函数有：①一次函数（包括正比例函数）和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线； ③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法（图形法）和代数法（解析法）。此类题基本在第22题，满分12分，基本分2－3小题来呈现。 （二）几何型综合题：是先给定几何图形，根据已知条件进行计算，然后有动点（或动线段）运动，对应产生线段、面积等的变化，求对应的（未知）函数的解析式(即在没有求出之前不知道函数解析式的形式是什么)和求函数的定义域，最后根据所求的函数关系进行探索研究，一般有：在什么条件下图形是等腰三角形、直角三角形、四边形是菱形、梯形等或探索两个三角形满足什么条件相似等或探究线段之间的位置关系等或探索面积之间满足一定关系求x的值等和直线（圆）与圆的相切时求自变量的值等。求未知函数解析式的关键是列出包含自变量和因变量之间的等量关系（即列出含有x、y的方程），变形写成y ＝f（x）的形式。一般有直接法（直接列出含有x和y的方程）和复合法（列出含有x和y和第三个变量的方程，然后求出第三个变量和x之间的函数关系式，代入消去第三个变量，得到y＝f（x）的形式），当然还有参数法，这个已超出初中数学教学要求。找等量关系的途径在初中主要有利用勾股定理、平行线截得比例线段、三角形相似、面积相等方法。求定义域主要是寻找图形的特殊位置（极限位置）和根据解析式求解。而最后的探索问题千变万化，但少不了对图形的分析和研究，用几何和代数的方法求出x的值。几何型综合题基本在第23题做为压轴题出现，满分14分，一般分三小题呈现。 在解数学综合题时我们要做到：数形结合记心头，大题小作来转化，潜在条件不能忘，化动为静多画图，分类讨论要严密，方程函数是工具，计算推理要严谨，创新品质得提高。 解中考数学压轴题秘诀（二） 具有选拔功能的中考压轴题是为考察考生综合运用知识的能力而设计的题目，其特点是知识点多，覆盖面广，条件隐蔽，关系复杂，思路难觅，解法灵活。解数学压轴题，一要树立必胜的信心，二要具备扎实的基础知识和熟练的基本技能，三要掌握常用的解题策略。现介绍几种常用的解题策略，供初三同学参考。 1、以坐标系为桥梁，运用数形结合思想： 纵观最近几年各地的中考压轴题，绝大部分都是与坐标系有关的，其特点是通过建立点与数即坐标之间的对应关系，一方面可用代数方法研究几何图形的性质，另一方面又可借助几何直观，得到某些代数问题的解答。 2、以直线或抛物线知识为载体，运用函数与方程思想： 直线与抛物线是初中数学中的两类重要函数，即一次函数与二次函数所表示的图形。因此，无论是求其解析式还是研究其性质，都离不开函数与方程的思想。例如函数解析式的确定，往往需要根据已知条件列方程或方程组并解之而得。 3、利用条件或结论的多变性，运用分类讨论的思想： 分类讨论思想可用来检测学生思维的准确性与严密性，常常通过条件的多变性或结论的不确定性来进行考察，有些问题，如果不注意对各种情况分类讨论，就有可能造成错解或漏解，纵观近几年的中考压轴题分类讨论思想解题已成为新的热点。 4、综合多个知识点，运用等价转换思想： 任何一个数学问题的解决都离不开转换的思想，初中数学中的转换大体包括由已知向未知，由复杂向简单的转换，而作为中考压轴题，更注意不同知识之间的联系与转换，一道中考压轴题一般是融代数、几

中考数学新定义题型专题复习

新定义型专题 （一）专题诠释 所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力 （二）解题策略和解法精讲 “新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法；二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移． 的差倒数是 111(1)2 =--． 已知a 1＝－1 3，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2009＝ ． 考点二：运算题型中的新定义 例2.对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，*0a b a b a b = +（＞）﹣，如： 3*2= =6*（5*4）= ． 例3.我们定义ab ad bc cd =-，例如23 45 =2×5﹣3×4=10﹣12=﹣2，若x ，y 均为整数，且满足1＜ 14x y ＜3，则x+y 的值是 ． 考点三：探索题型中的新定义 例4.定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点．如图 1，PH=PJ ，PI=PG ，则点P 就是四边形ABCD 的准内点． （1）如图2，∠AFD 与∠DEC 的角平分线FP ，EP 相交于点P ．求证：点P 是四边形ABCD 的准内点． （2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点．（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明） （3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”． ①任意凸四边形一定存在准内点．（ ） ②任意凸四边形一定只有一个准内点．（ ） ③若P 是任意凸四边形ABCD 的准内点，则PA+PB=PC+PD 或PA+PC=PB+PD ．（ ） 考点四：阅读材料题型中的新定义 阅读材料 我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物； 比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形；

2017年广东省深圳市中考数学模拟试卷(二)及答案

2017年广东省深圳市中考数学模拟试卷（二）及答案 1.9的平方根是（） A.±3 B.3 C.﹣3 D.81 2.支付宝与“快的打车”联合推出优惠，“快的打车”一夜之间红遍大江南北，据统计，2016年“快的打车”账户流水总金额达到147.3亿元，147.3亿用科学记数法表示为（） A.1.473×1010 B.14.73×1010 C.1.473×1011 D.1.473×1012 3.下列各图是一些常用图形的标志，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（） A. B. C.

D. 4.下列运算正确的是（） A.3ab﹣2ab＝1 B.x4?x2=x6 C.(x2)3=x5 D.3x2÷x=2x 5.如图，已知a∥b，∠1＝50°，则∠2＝（） A.40° B.50° C.120° D.130° 6.一家商店将某种商品按进货价提高100%后，又以6折优惠售出，售价为60元，则这种商品的进货价是（） A.120元 B.100元 C.72元 D.50元 7.由几个大小相同的正方形组成的几何图形如图，则它的左视图是（）

(1) A. B. C. D. (a≠0)在同一直角坐标系中的图象可能是8.若ab＞0，则函数y＝ax+b与y=b x （） A.

B. C. D. 9.已知不等式组{x ?a

[全]中考数学创新型与新定义型压轴题解析

中考数学创新型与新定义型压轴题解析 近年来，各地中考数学试题不断呈现出新颖、灵活的特征，特别是在压轴题中，更富有挑战性和创新理念。 本节例举两例，分析在解决此类问题过程中的思路与方法。 一、几何综合探究类阅读理解问题 【例题1】如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形。 （1）概念理解：如图2，在四边形ABCD 中，AB = AD , CB = CD , 问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由； （2）性质探究：如图1，四边形ABCD 的对角线AC、BD 交于点O，AC⊥BD。 试证明：AB2 + CD2 = AD2 + BC2； （3）解决问题：如图3，分别以Rt△ACB 的直角边AC 和斜边AB 为边向外作正方形ACFG 和正方形ABDE，连接CE、BG、GE。 已知AC = 4 , AB = 5 , 求GE 的长。

【解析】 （1）四边形ABCD 是垂美四边形。 理由如下： ∵AB = AD , ∴点A 在线段BD 的垂直平分线上， ∵CB = CD , ∴点C 在线段BD 的垂直平分线上， ∴直线AC 是线段BD 的垂直平分线， ∴AC⊥BD，即四边形ABCD 是垂美四边形；（2）如图1， ∵AC⊥BD，

∴∠AOD = ∠AOB = ∠BOC = ∠COD = 90°， 由勾股定理得： AB2 + CD2 = AO2 + BO2 + DO2 + CO2 = AD2 + BC2，（3）如图3，连接CG、BE， ∵∠CAG = ∠BAE = 90°， ∴∠CAG + ∠BAC = ∠BAE + ∠BAC，即∠GAB = ∠CAE，在△GAB 和△CAE 中， AG = AC , ∠GAB = ∠CAE，AB = AE， ∴△GAB ≌△CAE（SAS）， ∴∠ABG = ∠AEC，又∠AEC + ∠AME = 90°， ∴∠ABG + ∠AME = 90°，即CE⊥BG， ∴四边形CGEB 是垂美四边形， 由（2）得，CG2 + BE2 = CB2 + GE2，

2017年中考数学冲刺模拟卷(1)及答案

2017年中考数学冲刺模拟卷（1）一、单选题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分） 1．-9的相反数是（） A. 1 9 B. 9 C. 1 9 D. -9 2．在如图的图案中可以看出由图案自身的部分经过平移而得到的是（） A. B. C. D. 3．随着行政区划调整，2017年我区计划新建续建主次干道项目25个，全年计划完成交通投资19.79亿元，其中19.79亿元用科学记数法可表示为（） A. 1.979×107元 B. 1.979×108元 C. 1.979×109元 D. 1.979×1010元 4．下列语句中错误的是() A. 数字0是单项式 B. 的系数是 C. 单项式xy的次数是2 D. 单项式﹣a的系数和次数都是1 5．不透明袋子中有2个红球、3个绿球，这些球除颜色外其它无差别．从袋子中随机取出1个球，则（） A．能够事先确定取出球的颜色B．取到红球的可能性更大 C．取到红球和取到绿球的可能性一样大D．取到绿球的可能性更大 6．下列计算中，正确的是（） A．a0=1 B．a﹣1=﹣a C．a3?a2=a5 D．2a2+3a3=5a5 7．已知a﹣b=3，则代数式a2﹣b2﹣6b的值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 8．Rt△ABC中，AB=AC=2，点D为BC中点．∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）=BC；②S△AEF≤S△ABC；③S四边形AEDF=AD?EF；

④AD≥EF；⑤点A 到线段EF 的距离最大为1，其中正确结论的个数是（） A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 9．分式3 3x x -+的值为零，则x = ____________． 10．因式分解：24xy x -=________． 11．如果点P （﹣2，b ）和点Q （a ，﹣3）关于x 轴对称，则a+b 的值是. 12．按照如图所示的操作步骤，若输入的值为2，则输出的值为__________. 13．初四二班的“精英小组”有男生4人，女生3人，若选出一人担任组长，则组长是男生的概率为__________． 14．已知关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋1＝0的两个实数根为1x 、2x ,则()()1211x x --的值为_________． 15．若关于x 的反比例函数1m y x -=的图象位于第二、四象限内，则m 的取值范围是____ 16．已知直角三角形的两条直角边长为3，4，那么斜边上的中线长是________． 17．一个圆锥的高为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是_________ 18．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，A 、B 、C 30）、（30）、（0，5），点D 在第一象限，且∠ADB ＝60o，则线段CD 的长的最小值为______. 三、解答题（本大题76分）

中考数学压轴题(最新整理)百度文库

一、中考数学压轴题 1．如图，正方形ABCD 的边长为8，M 是AB 的中点，P 是BC 边上的动点，连结PM ，以点P 为圆心，PM 长为半径作⊙P ． （1）当BP ＝ 时，△MBP ～△DCP ； （2）当⊙P 与正方形ABCD 的边相切时，求BP 的长； （3）设⊙P 的半径为x ，请直接写出正方形ABCD 中恰好有两个顶点在圆内的x 的取值范围． 2．如图，已知抛物线()2 y ax bx 2a 0=+-≠与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点， 直线BD 交抛物线于点D ，并且()D 2,3，()B 4,0-． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M 为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B 、M 、C ，求BMC 面积的最大值； （3）在（2）中BMC 面积最大的条件下，过点M 作直线平行于y 轴，在这条直线上是否存在一个以Q 点为圆心，OQ 为半径且与直线AC 相切的圆？若存在，求出圆心Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知抛物线217 22 2 y x mx m 的顶点为点C ． （1）求证：不论m 为何实数，该抛物线与x 轴总有两个不同的交点； （2）若抛物线的对称轴为直线3x =，求m 的值和C 点坐标； （3）如图，直线1y x =-与（2）中的抛物线并于A B 、两点，并与它的对称轴交于点D ，

直线x k =交直线AB 于点M ，交抛物线于点N ．求当k 为何值时，以C D M N 、、、为顶点的四边形为平行四边形． 4．如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AD//BC ，AD=16，BC=21，CD=13． （1）求直线AD 和BC 之间的距离； （2）动点P 从点B 出发，沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动，动点Q 从点A 出发，在线段AD 上以每秒1个单位长度的速度运动，点P 、Q 同时出发，当点Q 运动到点D 时，两点同时停止运动，设运动时间为t 秒．试求当t 为何值时，以P 、Q 、D 、C 为顶点的四边形为平行四边形？ （3）在（2）的条件下，是否存在点P ，使△PQD 为等腰三角形？若存在，请直接写出相应的t 值，若不存在，请说明理由． 5．如图，在菱形ABCD 中，AB a ，60ABC ∠=?，过点A 作AE BC ⊥，垂足为E ， AF CD ⊥，垂足为F ． （1）连接EF ，用等式表示线段EF 与EC 的数量关系，并说明理由； （2）连接BF ，过点A 作AK BF ⊥，垂足为K ，求BK 的长(用含a 的代数式表示)； （3）延长线段CB 到G ，延长线段DC 到H ，且BG CH =，连接AG ，GH ，AH ． ①判断AGH 的形状，并说明理由； ②若1 2,(33)2 ADH a S == +，求sin GAB ∠的值． 6．问题提出 （1）如图①，在ABC 中，2,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积． 问题探究

2019-2020年中考数学专题复习新定义问题

2019-2020年中考数学专题复习新定义问题【专题点拨】 新定义运算、新概念问题一般是介绍新定义、新概念，然后利用新定义、新概念解题，其解题步骤一般都可分为以下几步：1.阅读定义或概念，并理解；2.总结信息，建立数模； 3.解决数模，回顾检查．“新概念”试题，其设计新颖，构思独特，思维容量大，既能考查学生的阅读、分析、推理、概括等能力，又能考查学生知识迁移的能力和数学素养，同时还兼具了区分选拔的功能 . 【解题策略】 具体分析新颖问题→弄清问题题意→向已知知识点转化→利用相关联知识查验→转化问题思路解决 【典例解析】 类型一：规律题型中的新定义 例题1：（2015?永州，第10题3分）定义[x]为不超过x的最大整数，如[3.6]=3，[0.6]=0，[﹣3.6]=﹣4．对于任意实数x，下列式子中错误的是（） A．[x]=x（x为整数） B．0≤x﹣[x]＜1 C．[x+y]≤[x]+[y]D．[n+x]=n+[x]（n为整数） 【解析】：根据“定义[x]为不超过x的最大整数”进行计算 【解答】：解：A、∵[x]为不超过x的最大整数， ∴当x是整数时，[x]=x，成立； B、∵[x]为不超过x的最大整数，∴0≤x﹣[x]＜1，成立； C、例如，[﹣5.4﹣3.2]=[﹣8.6]=﹣9，[﹣5.4]+[﹣3.2]=﹣6+（﹣4）=﹣10，∵﹣9＞﹣10， ∴[﹣5.4﹣3.2]＞[﹣5.4]+[﹣3.2]， ∴[x+y]≤[x]+[y]不成立， D、[n+x]=n+[x]（n为整数），成立； 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是理解新定义．新定义解题是近几年中考常考的题型．

2017中考数学模拟卷及答案

2017中考数学模拟卷及答案 2017中考数学模拟卷及答案 A级基础题 1.要使分式1x-1有意义，则x的取值范围应满足() A.x=1 B.x≠0 C.x≠1 D.x=0 2.(2013年贵州黔西南州)分式x2-1x+1的值为零，则x的值为() A.-1 B.0 C.±1 D.1 3.(2013年山东滨州)化简a3a，正确结果为() A.a B.a2 C.a-1 D.a-2 4.约分：56x3yz448x5y2z=________;x2-9x2-2x-3=________. 5.已知a-ba+b=15，则ab=__________. 6.当x=______时，分式x2-2x-3x-3的值为零. 7.(2013年广东汕头模拟)化简：1x-4+1x+4÷2x2-16. 8.(2012年浙江衢州)先化简x2x-1+11-x，再选取一个你喜欢的数代入求值. 9.先化简，再求值：m2-4m+4m2-1÷m-2m-1+2m-1，其中m=2. B级中等题 10.(2012年山东泰安)化简：2mm+2-mm-2÷mm2-4=________. 11.(2013年河北)若x+y=1，且x≠0，则x+2xy+y2x÷x+yx的

值为________. 12.(2013年贵州遵义)已知实数a满足a2+2a-15=0，求1a+1-a+2a2-1÷a+1a+2a2-2a+1的值. C级拔尖题 13.(2012年四川内江)已知三个数x，y，z满足xyx+y=-2，yzz+y=34，zxz+x=-34，则xyzxy+yz+zx的值为________. 14.先化简再求值：ab+ab2-1+b-1b2-2b+1，其中b-2+36a2+b2-12ab=0. 分式 1.C 2.D 3.B 4.7z36x2yx+3x+1 5.32 6.-1 7.解：原式=x+4+x-4x+4x-4?x+4x-42 =x+4+x-42=x. 8.解：原式=x2-1x-1=x+1，当x=2时，原式=3(除x=1外的任何实数都可以). 9.解：原式=m-22m+1m-1?m-1m-2+2m-1=m-2m+1+2m-1=m-2m-1+2m+1m+1m-1=m2-m+4m+1m-1，当m=2时，原式=4-2+43=2. 10.m-611.1 12.解：原式=1a+1-a+2a+1a-1?a-12a+1a+2=1a+1-a-1a+12=2a+12， ∵a2+2a-15=0，∴(a+1)2=16. ∴原式=216=18.

2017年中考数学方程专题训练含答案解析

.. 《方程》 一、选择题 22x1=0xkxk1的取值范围是的一元二次方程﹣．若关于有两个不相等的实数根，则﹣（） Ak1 Bk1k0 Ck1 Dk1k0≠且＜≠．＜＞﹣．．＞﹣．且 2mx5=01x2x=的一个解，则方程的另一个解是（ +．已知）﹣﹣是一元二次方程A1 B5 C5 D4．﹣．．﹣． 3“”“10把你珠子的一半给我，我就有．小龙和小刚两人玩游戏，小龙对小刚说：打弹珠x”“10”颗，只要把你的给我，我就有颗珠子，如果设小刚的弹珠数为．小刚却说：颗y）颗，则列出的方程组正确的是（小龙的弹珠数为 B A．． D C．． ba5）的值为（的解，则是二元一次方程组．已知﹣ 1 A1 2 D3BC．．﹣．． 22x=065x）﹣．一元二次方程的解是（ = x=Cx=0xxDx=0= =0xAx=0= Bx，，，．，．．．212211127）的解是（．一元一次方程 2x=x= AB1 Cx=1 D﹣．．．﹣． 2anx1=08bxx则式子﹣，的一元二次方程的两实数根，+的值是（）．已知是关于 22222nCn2

nAn2 BD2 ﹣．．﹣．++﹣．﹣ =2x9），那么方程的解是（．已知方程| | x=4=2xxD=2 2 BAx=2 x=C．，．．．﹣﹣212221β2009βα11=0xβ10α9x2009α） +）的值是（．设，是方程则++的两根，（++）（+ 4 000 0001 0 ABD2000 C．．．． 11．用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的）图象（如图所示），则所解的二元一次方程组是（ ;. .. BA．． DC．． 2xaxbxc=0a0x12，则两根与方程系≠++，（．阅读材料：设一元二次方程）的两根为212x6x3=0xx=x?x=xx，+已知．+数之间有如下关系：是方程﹣，根据该材 料填空：+112221）的两实数根，则的值为（ + 8 CD6 A4 B10．．．． 3200413月份的日历表，任意圈出一竖列上相邻的三个数，请你运．右边给出的是年）用方程思想来研究，发现这三个数的和不可能是

2017年广东省深圳市中考数学模拟试卷(一)及答案

2017年广东省深圳市中考数学模拟试卷(一)及答案 1.-3的倒数是() A.?1 3 B.1 3 C.-3 D.3 2.石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00 000 000 034m，这个数用科学记数法表示正确的是() A.3.4×10?9 B.0.34×10?9 C.3.4×10?10 D.3.4×10?11 3.下列四个几何体中，主视图是三角形的是() A. B. C.

D. 4.下列运算中，正确的是() A.4x-x=2x B.2x?x4=x5 C.x2y÷y=x2 D.(?3x)3=?9x3 5.一条葡萄藤上结有五串葡萄，每串葡萄的粒数如图所示(单位：粒)．则这组数据的中位数为() (1) A.37 B.35 C.33.8 D.32 6.掷一质地均匀的正方体骰子，朝上一面的数字，与3相差1的概率是() A.1 2 B.1 6 C.1 5 D.1 3 7.下列美丽的图案，不是中心对称图形的是()

A. B. C. D. 8.如图，已知AD∥BC，∠B=32°，DB平分∠ADE，则∠DEC=() (1) A.64° B.66° C.74° D.86°

9.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ①分别以B，C为圆心，以大于1 2 ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若CD=AC，∠A=50°，则∠ACB的度数为() (1) A.90° B.95° C.100° D.105° 10.观察如图所示前三个图形及数的规律，则第四个□的数是 () (1) A.√3 B.3 C.√3 2 D.3 2 11.点A，B的坐标分别为(-2，3)和(1，3)，抛物线y=a x2+bx+c(a<0)的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点(C在D的左侧)，给出下列结论：①c<3；②当x<-3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则

中考数学基础知识测试

2017年中考数学基础知识测试 一．选择题（共10小题） 1．如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位：mm），其中不合格的是（） A．Φ45.02B．Φ44.9C．Φ44.98D．Φ45.01 2．下列运算中，正确的是（） A．3a+2b=5ab B．2a3+3a2=5a5C．3a2b﹣3ba2=0 D．5a2﹣4a2=1 3．一个长方形的周长为30cm，若这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm就可成为一个正方形，设长方形的长为xcm，可列方程为（） A．x+1=（30﹣x）﹣2 B．x+1=（15﹣x）﹣2 C．x﹣1=（30﹣x）+2 D．x﹣1=（15﹣x）+2 4．如图是一个正方体纸盒的外表面展开图，则这个正方体是（） A．B．C．D． 5．如图，直线m∥n，∠1=70°，∠2=30°，则∠A等于（） A．30°B．35°C．40°D．50° 6．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有（） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 7．如图，不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C D．

8．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A=（） A．35°B．95°C．85°D．75° 9．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（） A．10 B．7 C．5 D．4 10．如图，在△ABC中，∠B=55°，∠C=30°，分别以点A和点C为圆心，大于AC 的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（） A．65°B．60°C．55°D．45° 二．填空题（共10小题） 11．当a=﹣1时，代数式的值是． 12．如图，O为数轴原点，A，B两点分别对应﹣3，3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为． 13．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，M、N分别是AB、AC的中点，延长BC至点D，使CD=BD，连接DM、DN、MN．若AB=6，则DN=． 14．已知等腰三角形的一边长为9，另一边长为方程x2﹣8x+15=0的根，则该等

压轴题——新定义

压轴题——新定义 1.在平面直角坐标系xOy中，对于两点A，B，给出如下定义：以线段AB为边的正方形称为点A，B的“确 定正方形”． 如右图为点A，B 的“确定正方形”的示意图．（1）如果点M的坐标为（0，1），点N的坐标为（3，1） 的“确定正方形”的面积为_____________； （2）已知点O的坐标为（0，0），点C为直线y x b =+ C的“确定正方形”的面积最小，且最小面积为2时，求 （3）已知点E在以边长为2 标轴平行，对角线交点为P（m，0），点F在直线y x =- 所有点E，F的“确定正方形”的面积都不小于2 范围． 2.在平面直角坐标系中，过一点分别作x轴，y轴的垂线，如果由这点、原点及两个垂足为顶点的矩形的周 长与面积相等，那么称这个点是平面直角坐标系中的“巧点”．例如，图1中过点P（4，4）分別作x 轴，y轴的垂线，垂足为A，B，矩形OAPB的周长为16，面积也为16，周长与面积相等，所以点P是巧点．请根据以上材料回答下列问题： 图1 （1）已知点C（1，3），D（-4，-4），E（5， 10 3 -），其中是平面直角坐标系中的巧点的是________； （2）已知巧点M（m，10）（m＞0）在双曲线=k y x （k为常数）上，求m，k的值；（3）已知点N为巧点，且在直线y＝x+3上，求所有满足条件的N点坐标．

3.在平面直角坐标系xOy 中，点P 和图形W 的“中点形”的定义如下：对于图形W 上的任意一点Q ，连结PQ ，取PQ 的中点，由所以这些中点所组成的图形，叫做点P 和图形W 的“中点形”． 已知C （-2，2），D （1，2），E （1，0），F （-2，0）． （1）若点O 和线段CD 的“中点形”为图形G ，则在点1(1,1)H -，2(0,1)H ，3(2,1)H 中，在图形G 上的 点是； （2）已知点A （2，0），请通过画图说明点A 和四边形CDEF 的“中点形”是否为四边形？若是， 写出四边形各顶点的坐标，若不是，说明理由； （3）点B 为直线y =2x 上一点，记点B 和四边形CDEF 的中点形为图形M ，若图形M 与四边形 CDEF 有公共点，直接写出点B 的横坐标b 的取值范围． 4.对于一次函数b kx y +=）（0≠k ，我们称函数[]=m y ???>--≤+） （） （m x b kx m x b kx 为它的m 分函数（其中m 为 常数）． 例如，23+=x y 的4分函数为：当4≤x 时，[]234+=x y ；当4>x 时，[]234--=x y ． （1）如果1+=x y 的－1分函数为[]1-y ， ①当4=x 时，[]=-1y —————— ；当[]31-=-y 时，=x ——————． ②求双曲线x y 2 = 与[]1-y 的图象的交点坐标； （2）如果2+-=x y 的0分函数为[] 0y ， 正比例函数）（0≠=k kx y 与2+-=x y 的0分函数[]0y 的图象无交点时，直接写出k 的取值范围．

中考数学新定义型专题

第一部分 讲解部分 （一）专题诠释 所谓“新定义”型问题，主要是指在问题中定义了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新定义进行运算、推理、迁移的一种题型.“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力 （二）解题策略和解法精讲 “新定义型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； 2的差倒数是 1112=--，－1的差倒数是111(1)2 =--．已知a 1＝－13，a 2是a 1的差倒数，a 3是a 2的差倒数，a 4是a 3的差倒数，…，依此类推，a 2009＝ ． 【分析】：理解差倒数的概念，要根据定义去做．通过计算，寻找差倒数出现的规律，依据规律解答即可． 【解】：解：根据差倒数定义可得：21113 114 13 a a = ==-+， 3211 43 114 a a = ==-- 43111 1143 a a = ==---． 显然每三个循环一次，又2009÷3＝669余2，故a 2009和a 2的值相等． 【评注】：此类题型要严格根据定义做，这也是近几年出现的新类型题之一，同时注意分析循环的规律． 考点二：运算题型中的新定义 例2.（2011毕节地区，18，3分）对于两个不相等的实数a 、b ， 定义一种新的运算如下， *0 a b a b a b = +（＞）﹣，如：3*2== 那么6*（5*4）= ． 【分析】：本题需先根据已知条件求出5*4的值，再求出6*（5*4）的值即可求出结果． 【解】：∵ *0a b a b a b = +（＞）﹣， ∴=3， ∴6*（5*4）=6*3，

2017初中数学知识点中考总复习总结归纳

2017年中考数学总复习资料 第一章数与式 考点一、实数的概念及分类 1、 实数的分类 厂正有理数「 厂有理数2零 卜有限小数和无限循环小数 实数2 L 负有理数J 厂正无理数「 ■-无理数"； 炉 无限不循环小数 L 负无理数」 2、 无理数：在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类： 一 一 n (1 )开方开不尽的数，如 J 7,Q 2等； (2)有特定意义的数，如圆周率 n 或化简后含有 n 的数，如一+8等； 3 (3 )有特定结构的数，如 0.1010010001…等； (4)某些三角函数，如 sin60o 等 考点二、实数的倒数、相反数和绝对值 1、 相反数 实数与它的相反数是一对数(只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零) ，从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称， 如果a 与b 互为相反数，则有 a+b=0 , a= — b ，反之亦成立。 2、 绝对值 一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离， |a|%。零的绝对值时它本身，也可看成它的相反数， 若|a|=a ，则a%;若|a|=-a ，则a 切。正数大于零，负数 小于零，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小。 3、 倒数：如果a 与b 互为倒数，则有 ab=1，反之亦成立。倒数等于本身的数是 1和-1。零没有倒数。 考点三、平方根、算数平方根和立方根 1、平方根：如果一个数的平方等于 a ,那么这个数就叫做 a 的平方根(或二次方跟)。 (1) 一个数有两个平方根，他们 互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 (2)正数a 的平方根记做“ ,a ”。 2、算术平方根：正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作“ Va ”。 正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 ?、a 0 a b 0 a b, a b 0 a b, 考点六、实数的运算 考点七、整式的有关概念 1、 代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。 2、 单项式：只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。 4-a 2b ，这种表示就是错误的，应写成 13 a a 2 ；注意a 的双重非负性：Y '--a ( a <0) 3、立方根：如果一个数的立方等于 a ,那么这个数就叫做 a 的立方根(或a 的三次方根)。 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。 Q - v a ，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。 考点四、科学记数法和近似数 1、有效数字：一个近似数四舍五入到哪一位， 就说它精确到哪一位， 这时，从左边第一个不是零的数字起到右边精确的数位止的所有数字, 都叫做这个数的有效数字。 2、科学记数法：把一个数写做 a 10n 的形式，其中1 a 10 , n 是整数，这种记数法叫做科学记数法。 考点五、实数大小的比较 1、 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴(画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可) 解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。 2、 实数大小比较的几种常用方法 (1) 数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。 a 、 (2)求差比较：设a 、 b 是实数, (3) 求商比较法：设 a a 、 b 是两正实数， b;； 1 b ； 绝对值比较法：设 a 、 b 是两负实数，则 a (5)平方法：设 a 、 b 是两负实数，则a 2 b 2 a b 。 1、加法交换律：a b 2、加法结合律: (a b) c (b c) 3、乘法交换律：ab ba 4、乘法结合律: (ab)c a(bc) 5、乘法对加法的分配律 a(b c) ab ac 6、实数的运算顺序先算乘方，再算乘除, 最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。 注意：单项式是由系数、字母、字母的指数构成的，其中系数不能用带分数表示，如 2 b 。一个单项式中，所有字母

2017年中考数学模拟试卷二(哈尔滨市南岗区附答案和解释)

2017年中考数学模拟试卷二（哈尔滨市南岗区附答案和解释）2017年中考数学模拟试卷二（哈尔滨市南岗区附答案和解释） 2017年黑龙江省哈尔滨市南岗区中考数学模拟试卷（二）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（3分）若实数a、b互为相反数，则下列等式中成立的是（） A．a?b=0 B．a+b=0 C．ab=1 D．ab=?1 2．（3分）分式可变形为（） A． B．?C． D．?3．（3分）下面的每组图形中，左右两个图形成轴对称的是（）A． B． C． D． 4．（3分）已知反比例函数的图象过点P（1，3），则该反比例函数图象位于（） A．第一、二象 B．第一、三象限C．第二、四象限 D．第三、四象限 5．（3分）若一个机器零件放置位置如图1所示，其主（正）视图如图2所示，则其俯视图是（）A． B． C． D． 6．（3分）一辆模型赛车，先前进1m，然后沿原地逆时针方向旋转，旋转角为α（0＜α＜90°），被称为一次操作，若五次操作后，发现赛车回到出发点，则旋转角α为（） A．108° B．120° C．36° D．72° 7．（3分）一个不透明的盒子中，放着编号为1到10的10张卡片（编号均为正整数），这些卡片除了编号以外没有任何其他区别．盒中卡片已经搅匀，从中随机的抽出一张卡片，则“该卡片上的数字大于”的概率是（） A． B． C． D． 8．（3分）若关于x的一元二次方程x2?2kx?k=0有两个相等的实数根，则k的值是（） A．k=0 B．k=2 C．k=0或k=?1 D．k=2或k=?1 9．（3分）如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC 上的一点，∠BEG＞60°，连接EG．现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角（不包括本身）的个数为（） A．4 B．3 C．2 D．1 10．（3分）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，沿同一条公路相向而行，相遇时甲、乙所走路程的比为2：3，甲、乙两车离AB中点C路程y（千米）与甲车出发时间t（小时）的关系图象如图所示，则下列说法：①A、B两地之间的距离为180千米；②乙车的速度为36千米/小时；③a=3.75； ④当乙车到达终点时，甲车距离终点还有30千米．其中正确的结论有（） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题（共9小题，每小题3分，满分27分） 11．（3分）将数字82000000000