人教版数学高一学案2.1平面向量的实际背景及基本概念
学习目标 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念.
知识点一向量的概念
思考1在日常生活中有很多量，如面积、质量、速度、位移等，这些量有什么区别？
思考2两个数量可以比较大小，那么两个向量能比较大小吗？
梳理向量与数量
(1)向量：既有________，又有________的量叫做向量.
(2)数量：只有________，没有________的量称为数量.
知识点二向量的表示方法
思考1向量既有大小又有方向，那么如何形象、直观地表示出来？
思考2 0的模长是多少？0有方向吗？
思考3 单位向量的模长是多少？
梳理 (1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示.带有________的线段叫做有向线段，它包含三个要素：________、________、________，如图所示.
以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →
.
(2)向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c ，…表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用a →，b →
，c →).
(3)向量AB →的大小，也就是向量AB →的长度(或称模)，即有向线段AB →
的长度，记作________.________________的向量叫做零向量，记作________；____________________的向量，叫做单位向量.
知识点三 相等向量与共线向量
思考1 已知A ，B 为平面上不同两点，那么向量AB →和向量BA →
相等吗？它们共线吗？
思考2 向量平行、共线与平面几何中的直线、线段平行、共线相同吗？
思考3 若a ∥b ，b ∥c ，那么一定有a ∥c 吗？
梳理 (1)相等向量：______________且______________的向量叫做相等向量. (2)平行向量：方向________________的________向量叫做平行向量. ①记法：向量a 平行于b ，记作________. ②规定：零向量与________________平行.
(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以________向量也叫做共线向量.也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.
类型一 向量的概念
例1 下列说法正确的是( ) A.向量AB →与向量BA →
的长度相等
B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C.零向量没有方向
D.任意两个单位向量都相等
反思与感悟 解决向量概念问题一定要紧扣定义，对单位向量与零向量要特别注意方向问题. 跟踪训练1 下列说法正确的有________. (1)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；
(2)向量AB →与CD →
是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上； (3)向量AB →与BA →
是平行向量. 类型二 共线向量与相等向量
例2 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点.
(1)写出与EF →
共线的向量； (2)写出与EF →
的模大小相等的向量； (3)写出与EF →
相等的向量.
反思与感悟 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反.(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线.
跟踪训练2 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心.
(1)与OA →
的模相等的向量有多少个？
(2)是否存在与OA →
长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？ (3)与OA →
共线的向量有哪些？
类型三 向量的表示及应用
例3 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100km 到达D 点. (1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.
反思与感悟 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点.
跟踪训练3 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.
(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；
(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？
1.下列结论正确的个数是( )
①温度含零上和零下温度，所以温度是向量； ②向量的模是一个正实数；
③向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量； ④若|a |>|b |，则a >b . A.0B.1C.2D.3
2.下列说法错误的是( ) A.若a ＝0，则|a |＝0 B.零向量是没有方向的 C.零向量与任一向量平行 D.零向量的方向是任意的
3.如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →
的关系是( )
A.AB →＝DC →
B.|AB →|＝|DC →|
C.AB →>DC →
D.AB → 4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中. (1)写出与AF →、AE → 相等的向量； (2)写出与AD → 模相等的向量. 1.向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用. 2.共线向量与平行向量是一组等价的概念.两个共线向量不一定要在一条直线上.当然，同一直线上的向量也是平行向量. 3.注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆. 答案精析 问题导学 知识点一 思考1 面积、质量只有大小，没有方向；而速度和位移既有大小又有方向. 思考2 数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小. 梳理 (1)大小 方向 (2)大小 方向 知识点二 思考1 可以用一条有向线段表示. 思考2 0的模长为0，方向任意. 思考3 单位向量的模长为1个单位长度. 梳理 (1)方向 起点 方向 长度 (3)|AB → | 长度为0 0 长度等于1个单位 知识点三 思考1 因为向量AB →和向量BA → 方向不同，所以二者不相等.又表示它们的有向线段在同一直线上，所以两向量共线. 思考2 不相同，由相等向量定义可知，向量可以任意移动.由于任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.因此共线向量所在的直线可以平行，也可以重合. 思考3 不一定.因为当b ＝0时，a ，c 可以是任意向量. 梳理 (1)长度相等 方向相同 (2)相同或相反 非零 ①a ∥b ②任一向量 (3)平行 题型探究 例1 A 跟踪训练1 (3) 例2 解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点， 所以EF 綊1 2 BC .又因为D 是BC 的中点， 所以与EF →共线的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB → . (2)与EF →模相等的向量有FE →，BD →，DB →，DC →，CD →. (3)与EF →相等的向量有DB →与CD →. 跟踪训练2 解 (1)与OA → 的模相等的线段是六条边和六条半径(如OB )，而每一条线段可以有两个向量，所以这样的向量共有23个. (2)存在.由正六边形的性质可知，BC ∥AO ∥EF ，所以与OA →的长度相等、方向相反的向量有AO → ，OD →，FE →，BC → ，共4个. (3)由(2)知，BC ∥OA ∥EF ，线段OD ，AD 与OA 在同一条直线上，所以与OA →共线的向量有BC → ，CB →，EF →，FE →，AO →，OD →，DO →，AD →，DA → ，共9个. 例3 解 (1)向量AB →、BC →、CD → 如图所示. (2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD → 共线， ∵|AB →|＝|CD →|， ∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC → |＝200km. 跟踪训练3 解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略). (2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略). 当堂训练 1.B 2.B 3.B 4.(1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD → (2)DA →，CF →，FC →