09高等数学(上)习题册
第一章 函数、极限、连续
一、函数： 1、求函数x
x y 1
arctan
3+-=
的自然定义域。
2、下列各题中，函数f(x)和g(x)是否相同？为什么？
;lg 2)(,
lg )()
1(2x x g x x f ==
.)(,)()
2(x x g x x f ==
3、 求函数1
22+=x x
y 的反函数。
4.设??
?
??>-=<=1,11,01,1)(x x x x f ，x e x g =)(，
求)]([x f g 并画出)]([x f g 的图象。
二、极限： （一）、填空：
1．=--→2
4
lim
22x x x ____________。 2．极限x x
x arctan lim ∞→＝__________。
3．1
293lim 33+-+∞→x x x
x x ＝___________。
4．x
x
x sin lim ∞→＝___________。
5．若,)1(lim 3
2
e ax x
x =+→ 则a=_____________。
（二）、选择：
１．观察一般项n x 如下的数列}x {n 的变化趋势，收敛的数列是（ ）
A ．n n x )1(-=；
B ．n n x 2=；
C ．n
x n
n 1)1(-=； D ．12+=n x n 。 ２．数列n x 与n y 的极限分别为a 与b ，且b a ≠，则数列 1x ,1y ,2x ,2y ,…,n x ,n y … 的极限为（ ）
A ．a ；
B ．b ；
C ．b a +；
D ．不存在。
３．下列运算过程正确的是( )
A ．∞==-=-→→→0
1
1lim lim 1lim 21
121x x x x x x x ；
B ．01
sin lim 01sin lim lim 1sin
lim 0000=?=?=?→→→→x
x x x x x x x x ；
C ．0lim 1lim )1(lim =∞-∞=-+=-+∞
→∞
→∞
→x x x x x x x ；
D ．42)4(cos cos lim cos lim 33
434==???
? ??=→→πππx x x x 。
４．若0)14()
5)(4)(3)(2)(1(lim >=------∞→βα
x x x x x x x ，则α ,β是
（ ）．
A ．1=α，51=β；
B ．1=α，41=β；
C ．5=α，54=β；
D ．5=α，5
4-=β．
（三）、计算： （１）求极限h
x
h x x 3
30)(lim -+→
（２）求极限)11
13(
lim 31
x
x x ---→
（３）求极限2
2312lim
4
---+→x x x
（４）求极限x
x
x x 3
sin sin tan lim
-→
（５）求极限5
)1(
lim +∞
→+x x x
x
（6）求极限5030
20)
16()23()32(lim ++-∞→x x x x
（四） 、无穷小的比较
1、当1→x 时，无穷小 2
11x x --和 是否同阶？是否等价？
2
、利用等价无穷小的性质，求极限x →
三、函数的连续性：
1、设???≥-<+=时当，时当1231,3)(x x x x x f ，求)x (f lim 1x -→、)x (f lim 1x +→及)x (f lim 1x →，并作出)x (f 的图形。
2、研究函数?
??>-<≤≤-=.11,1;
11,)(x x x x x f 或的连续性，并画出该函数的图
形。
3、函数2
31
22+--=x x x y 在点x=1及点x=2 处是否间断？如果间断，
这些点分别属于哪类间断点？若是可去间断点，请补充或改变函数的定义使它连续。
4、 证明：方程 x 5
― 3x = 1至1和2之间。
第二章 一元函数的微分学
一、填空：
1．设2ln ln -=x y ，则函数在0x x =处的改变量
=?y _______________，
=??x
y
_______________。 2．曲线2322-+=x x y 上点(0,-2)处切线的斜率是______，切线的方程是______________。
3．设22)12(+=x y ，则='y _______________。 4．)1
(
'x
=_________________。
5．设x x x f ln )(=，则)1(f '=________________。 6．设5
2)11(
x
x y ++=，则y '=_____________。 7．设x
y 1
cos ln =，则y '=________________。
二、选择：
1．若)x (f 在点x=1处可导，则=?-?-→?x
f x f x )
1()21(lim 0（ ）
A ．)1('f ；
B ．)1(2'f ；
C ．)1('f -；
D ．)1(2'
f -。
2．若曲线)21ln(
x y +=在点0x x =处的切线平行与直线y-2x+3=0，则0x =( )。
A ．-1；
B ．0；
C ．1；
D ．2。 3．已知x
x
x f +-=
11)(，则=')4(f （ ）
A ．181；
B ．161；
C ．181-；
D ．16
1-。
4．设122)(-=x e x f ，则)1(f '= （ ） A ．2e ； B ．4e ； C ．e ； D ．1。 三、计算： （1）求函数5
1cos y x
=+的导数y '。
（2）求2log tan 3a x x y ++=的导数y '。
（3）设)1
5)(1()(23
x
x x f -+=，求)1(f '。
（4）设ln tan 2
x
y =，求y '。
（5）设y xe y +=1，求y '。
（6）设3
2
22)1x ()
1x (x y -+=，求y '。
四、问a ，b 取何值时，才能使函数???>+≤=2
x ,b ax 2
x ,x )x (f 2在x=2处
连续且可导?
五、（一）、求下列函数的微分：
x e x y 22)1(=
2(2)arctan(1)y x =-
（二）、将适当的函数填入下列括号内，使等式成立（C 为任意常数）：
dx x d 3)()1(=
dx x d +=11
)(
)2(
dx x
d 1)(
)3(=
dx x d 3sec )(
)4(2=
（三）、计算根式：665 的近似值。 第三章 微分学的应用
一、填空：
1、函数
()()
x x x f 2ln 2
-=在0>x 上的单调区间为__________。 2、已知()4313lim 1
=+-+++→x x b x b a x ，则=a _______，=b _______。
二、选择：
1、已知2)15(lim 2
=++-∞
→bn an n n 则（a,b ）为（ ）
A （5 ，4）
B （25，20）
C （25，-20）
D （5，20） 2、下面四种说法正错的是（ ）
A 函数的微分仅与x 有关
B 函数的微分仅与x ?有关
C 函数的微分与x 和x ?都有关
D 上述说法都不对
3、由方程22ln arctan y x x
y
+=所确定的隐函数的微分dy 是（ ） A
dx y
x y
x -+ B dx y x y x +- C dx y x y +-1 D dx x y x --1 三、计算：
（1）x x
x 5sin 2sin lim 0→ （2）1lim 30--→x x e x x
（3）)1ln 1(lim 1
--→x x
x x
（4）x e e x
x x tan lim 0--→
（5）x a a
x a x --→arctan arctan lim
（6）x
x x ??
? ??+∞→arctan 2lim π
（7）1
11
lim -→x x x
四、若函数()()()()()2121--++=x x x x x f ，则()0='x f 有几个实
根，它们分别在哪些区间？
五、填空：
1．函数()3129223-+-=x x x x f 的单调区间为______________。
2．函数()21x x x f +=的极值点为_______________。 3．函数()x x f 2=在[]22-∈x 上的最大值为_______________。 六、选择：
1．若函数23mx nx y +=的拐点是)3,1(，则)(m n 为（ ）
A 、??? ??41543
B 、??? ??-41543
C 、??? ??--
4154
3 D 、??? ??-41543 2．函数x x y 2142+=在区间???
???-1,41上的最大值与最小值（ ） A 、
21,43 B 、0,21 C 、21,34 D 、 0,34 3．函数2
x e y -=在区间()0,∞-和()+∞,1内分别为（ ）
A 单调增加，单调增加
B 单调增加，单调减少
C 单调减少，单调增加
D 单调减少，单调减少
七、计算：
1．求函数()x x x f ln 1
=的极值点及对应的极值。
2．已知半径为R 的球，问内接直圆柱的底半径与高各为多少时能使直圆柱体积最大。
3．有一长方形的铁片，长为8米，宽为5米，在各个角上去掉同样
大小的正方形，问正方形的边长为多大时，才能使剩下的铁片折起来作成的开口盒子的容积最大。
4．判断函数1322+-=x x x f 的凹凸性及拐点。
第四章 一元函数积分学
一、填空： 1．函数()323+-=x x x f 的一个原函数为_______________。
2．函数
()[]=?dx x f d
_______________。
3．若函数()x F 是()x f 的一个原函数，则
()=?dx x f 3_________。
4．=?
xdx x 2
3ln _________。
二、选择：
1.可导函数()=x f （ ） A
()[]?dx x f dx
d B ()()?dx x f d C ()?x df D ()dx x f ?'
2.下列答案正确的是（ ）
A c x xdx +=?
cos ln tan
B
c x a x dx a x +++=-?
222
2ln 1
C
c a x a dx x a +=-?arcsin 11
22 D c a x
a dx x
a +=+?arctan 112
2
3．=?-dx e x x
3
2（ ）
A c e x +--231
B c e x +-231
C c e x +-31
D c e x +--3
1
三、求下列不定积分： （1）dx x x ?
3
（2）dx x ?2sin 2
（3）dx e e x
x
?--11
3
（4） dx x x
????? ??+-cos 9922
（5）dx x x
x ??-?23223
（6）dx x ?+251
（7）dx
e x ?
-21
（8）dx x x ?
-12
（9）
()dx
x x
?+2
2tan 1sec
（10）dx
x x ?
?2sec
（11）dx
x e x ?
2sin
（12）dx xe x ?
3
（13）dx x x
?ln ln
（14）dx
x x ?
arctan 2
第五章 定积分及其应用
一、 填空： 1.设x dt t g x f x -==?
-10
2
)()(，则=)3(g ________________
2.设)(x f 为连续函数，则=++???
dt t f du u f dx x f 2
1
13
32
)()()(
3.设
405)(3+=?
x dt t f x C
,则C = ,)(x f =
二、选择： 1. 若
?+1
d )2(x k x = 2，则k =（ ）
． A ．1 B ．-1 C ．0 D ．
2
1
2.设?
-+=x x
dt t x f sin 2)1arctan()(，则=)0('
f （ ）
A ．π
B ．2
π
C ．0
D ．
4
π
3.?
-4
2)3(dx x =（ ）
A ． 2
B ．
2
5
C ．4
D ． 5 四、计算： 1、估计积分?20
sin π
dx e
x
2、计算极限： （1）20
cos lim
x
x t dt x
→?
（2）3
00
sin lim
x tdt
t x
x ?→
3、利用微积分学基本公式计算下列积分： ⑴?
+
2
1
42)1
(dx x
x
⑵?π20sin dx
x
（3）
2
()
f x dx
?，其中2,01
()
,12
2
x
x
f x
x
x
≤≤
?
=?
<≤
-
?
（4）
4
1)d x
+
?
（5
）
1
dx
?
（6）?+20
3
1
dx
x
x
（7）?-
2
0sin
cos
2
cos
π
dx
x
x
x
4.设)(x y 是由方程
cos()0y x t e dt t dt +=?
?
所确定的隐函数，求
dx
dy
5．求函数?+-+=Φx
dt t t t x 021
1
3)(在区间]1,0[上的最大值和最小值
五、填空：
1.=+?10
22d )1(x x x
2.
dx x x x )cos 1sin (22++?-π
π = .
3.若0)1(,1)]()([10
'==+?f dx e x f x f x 且，则)0(f =______________ 六、选择：
1.下列定积分中积分值为0的是（ ）．
A ．x x
x d 2
e e 1
1?--- B ．x x
x d 2e e 11?--+ C ．
x x x
d )cos (3
?-
+π
π D ．x x x d )sin (2?-+π
π
2.
()2d cos x (e sin x x )x π
π
+-
+=?
3π.A 3
3π2.B 3 32π2e .C 3-1+ 32πe-e .D 3-1+ 3.
()20
1d x x -=?
A.0
B.1
C.2
D.-2
七、计算： ⑴?
-π
3)sin 1(dx x
⑵?
--1
1
45dx x
x
⑶ ?
+2
1
ln 11
e dx x
x
⑷1
2120
(2)x x dx -?
（5
）0
a
x ?
（6）4
sin x
xdx π
π-
?
（7）
π
?
（8）?
-1
dx xe x
（9） ?
4
1
ln dx x
x
(10) 10
arctan x xdx ?
（11）1ln e
e
x dx ?
八、填空： 1. ?
∞
-0
2d e x x = 2.
=+?
∞
+0
2
d )1(1
x x
__
九、选择：
1.?+-2023
4x x dx =( )
A.3ln 1-
B.3
2
ln 21
C.3ln
D.发散
2.若2
1
0=?∞-dx e kx 则k =（ ）
A. 1
B. 2
1
C. 2
D. -1
十、计算：
1.dx x x
?-21
1
2.
dx x ?-1
141
十一、填空：
1.由曲线x y x y cos ,sin ==及直线2
,0π
==x x 所围成平面图形
面积的积分表达式是 __
2.曲线83ln ≤≤=x x y 相应于的一段弧长为_____________
3.平面图形由22x x y -=和0=y 围成，则该图形绕x 轴旋转所得旋转体的体积为_____________ 十二、选择：
1.半径为R 的半球形水池已装满水,要将水全部吸出水池,需要做功W 为( ). A.
?
-R dy y R 0
22)(π
B. ?R dy y 02π
C.
?
-R
dy y R y 0
2
2)(π
D.
?
R dy y 0
3π
2.曲线x y sin =及直线2
π
-
=x ，2
π
=
x 与x 轴所围平面图形的面积
是（ ）．
A. 2
B. 1
C. 0
D. 4
十三、计算题
1. 求由曲线2
y x =与直线2x y +=所围成的面积。
2.求曲线x
y 1
=
及直线3,==x x y 所围平面图形的面积及该平面图形绕x 轴旋转所成的旋转体的体积。 3.有一等腰梯形闸门，两条底边长各为10m 和6m ，高为20m ，较长的底边与水面相齐，计算闸门的一侧所受水压力。
第六章 常微分方程
一、1.微分方程0)()(432=+'''+'xy y y y 的阶数是（ ）.
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
2.已知曲线通过点)2,1(，且在该曲线上任一点),(y x P 处的切线的斜率为23x ，求此曲线的方程。 二、（一）、填空：
1.微分方程0122=-
'+x
y e y
y 的通解是 2. 的通解为y y x y ln tan ='
（二）、选择：
1.微分方程y y ='的通解是=y （ ）． A. c x +2
5.0 B. x
c e C. x
c -e D. c y x +=e
2.微分方程0=+ydx xdy 的通解是（ ）
A.1=xy
B. c xy =
C. 122=+y x D c y x =+22
3.微分方程0132
=+'+x y e y y 的通解是（ ）
A. c e y x =+2
3e 23 B. c e y x =+-2
3e 23 C. c e y x
=-2
3e 23 D. c e y x
=-2
3e （三）、求下列微分方程满足所给初始条件的特解 1．e y y y x y x ===
2
'|
,ln sin π
2．2|,12
2'
=+==x y xy
y x y ,
三、（一）、下列微分方程中（ ）是一阶线性微分方程。
sinx xy y .A =+' 0y y .B ='+''
()1y y .C 2
=+' 0x cos y sin y .D =++'
（二）、计算： 1. 求2x y dx
dy
x =+的通解。