小学奥数平面几何五种面积模型(等积_鸟头_蝶形_相似_共边)

小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）

目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共边（含燕尾模型和风筝模型）， 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨

一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等；

②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比； S 1 S 2

A

B 两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；

a b

C

D

如右图 S 1 : S 2 = a : b

③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图 S △ACD =

S △BCD ；反之，如果 S △ACD = S △BCD ，则可知直线 AB 平行于

CD ．

④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)；

⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；

⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；三两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比． 二、鸟头定理

两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形． 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比． 如图在△ABC 中，D , E 分别是 AB , AC 上的点如图 ⑴(或 D 在 BA 的延长线上，E 在 AC 上)， 则 S △ABC : S △ADE = ( AB ? AC ) : ( AD ? AE ) D

A

A

D

E

E

B

C B

C

图⑴ 图⑵

三、蝶形定理

任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”)：

① S 1 : S 2 = S 4 : S 3 或者 S 1 ? S 3 = S 2 ? S 4 ② AO : OC = ( S 1 + S 2 ): (S 4 + S 3 )

D

A

S 1

S 4

S 2

O

S 3

B C

蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模

型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；

1

另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．

梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：

A

a D

S 1

S 2 O

S 4

① S 1 : S 3 = a 2 : b 2

S 3

② S 1 : S 3 : S 2 : S 4 = a 2 : b 2 : ab : ab ； B

b

C

③ S 的对应份数为 (a + b )2 ．

四、相似模型

(一)金字塔模型

(二) 沙漏模型

A E

F D

A

D

F

E

B

G C

B

G

C

① AD

= AE = DE = AF ；

AB AC

BC AG

② S ：S

= AF 2

: AG 2

．

△ADE

△ABC

所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改

变，不论大小怎样改变它们都相似)，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：

⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；

⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；

⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半．

相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具．

在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形．五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）

在三角形 ABC 中， AD ， BE ， CF 相交于同一点 O ，那么 A S ?ABO : S ?ACO = BD : DC ．

上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因 F E

为 ?ABO 和 ?ACO 的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称

为燕尾定理．该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用， O

它的特殊性在于，它可以存在于任何一个三角形之中，为 B

D C

三角形中的三角形面积对应底边之间提供互相联系的途径.

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典型例题

【例 1】如图，正方形ABCD的边长为6，AE=1.5，CF=2．长方形EFGH的面积为．

H H

A D A D

E E

G G

B B

F C F C

【解析】连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍．三角形DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积，

S△DEF=6?6-1.5?6÷2-2?6÷2-4.5?4÷2=16.5,所以长方形EFGH 面积为 33．

【巩固】如图所示，正方形 ABCD 的边长为8厘米，长方形 EBGF 的长 BG 为10厘米，那么长方形的宽为几厘米？

E E

A B A B

F F

D G C D G C

【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形)．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．

证明：连接 AG ．(我们通过△ABG 把这两个长方形和正方形联系在一起)．

∵在正方形 ABCD 中，S

△AB G =

1

2?AB?AB边上的高，

∴S

△ABG =

1

2 S ABCD(三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积

的一半)

同理， S

△ABG =

1

2 S EFGB．

∴正方形A B C D与长方形 E F G B面积相等．长方形的

宽

= 8 ? 8 ÷ 1 0 =(6 厘.4米)．

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【例 2】 长方形 ABCD 的面积为 36 cm 2

，E 、F 、G 为各边中点，H 为 AD 边上任

意一点，问阴影部分面积是多少？

A

H

D

E

G

B

F

C

【解析】 解法一：寻找可利用的条件，连接 BH 、 HC ，如下图：

A

H D

E

G

B

F

C

可 得 ：

S ?EHB

= 1

S ?AHB 、 S ?FHB = 1

S ?CHB 、 S ?DHG = 1

S ?DHC ， 而

2 2 2 S ABCD = S ?AHB + S ?CHB + S ?CHD = 36

即 S ?EHB + S ?BHF + S ?DHG = 1 ( S ?AHB + S ?CHB + S ?CHD ) = 1

? 36 =18 ； 2 2

而

S ?EHB + S ?BHF + S ?DHG = S 阴影 + S ?EBF ，

S ?EBF = 1 ? BE ? BF = 1 ? ( 1 ? AB ) ? ( 1 ? BC ) = 1

? 36 = 4.5 ．

2

2

2

2

8

所以阴影部分的面积是： S 阴影 = 18 - S ?EBF = 18 - 4.5 =13.5

解法二：特殊点法．找 H 的特殊点，把 H 点与 D 点重合，

那么图形就可变成右图：

A

D (H )

E

G

B

F

C

这样阴影部分的面积就是 ?DEF 的面积，根据鸟头定理，则有：

S 阴影 = S ABCD - S ?AED - S ?BEF - S ?CFD = 36 -

12 ?

12 ? 36 -

12 ?

12 ?

12 ? 36 -

12 ? 1

2 ? 36 =13.5 ．

【巩固】在边长为 6 厘米的正方形 ABCD 内任取一点 P ，将正方形的一组对边二

等分，另一组对边三等分，分别与 P 点连接,求阴影部分面积．

4

A

D

P B C A (P )

D

B C

A

D

P

B C

【解析】 （法 1）特殊点法．由于 P 是正方形内部任意一点，可采用特殊点法，

假设 P 点与 A 点重合，则阴影部分变为如上中图所示，图中的两个阴影

三角形的面积分别占正方形面积的 14 和 1

6 ，所以阴影部分的面积为

6 2

? ( 14 + 16) =15 平方厘米． （法 2）连接 PA 、 PC ．

由于 ?PAD 与 ?PBC 的面积之和等于正方形 ABCD 面积的一半，所以上、

下两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD 面积的 1

4 ，同理可知

左、右两个阴影三角形的面积之和等于正方形 ABCD 面积的 1

6 ，所以

阴影部分的面积为 6 2 ? ( 14 + 1

6) =15 平方厘米．

【例 3】 如图所示，长方形 ABCD 内的阴影部分的面积之和为 70， AB = 8 ，

AD = 15 ，四边形 EFGO 的面积为

．

A

D

O G

E

B

F

C

【解析】 利用图形中的包含关系可以先求出三角形 AOE 、DOG 和四边形 EFGO

的面积之和，以及三角形 AOE 和 DOG 的面积之和，进而求出四边形 EFGO 的面积．

由于长方形 ABCD 的面积为 15 ? 8 =120 ，所以三角形 BOC 的面积为 1 2 0? 14 = 3 ，0所以三角形 AOE 和 DOG 的面积之和为120 ? 34 - 70 = 20 ；

? 1

1 ?

又三角形 AOE 、 DOG 和四边形 EFGO 的面积之和为120 ?

-

? = 30

，所以

? 2

4 ?

四边形 EFGO 的面积为30 - 20 =10 ．

另解：从整体上来看，四边形 EFGO 的面积 = 三角形 AFC 面积 + 三角形

BFD 面积 - 白色部分的面积，而三角形 AFC 面积 + 三角形 BFD 面积为长方形面积的一半，即 60，白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部

5

分的面积，即120 - 70 = 50 ，所以四边形的面积为 60 - 50 =10 ．

【巩固】如图，长方形 ABCD 的面积是36，E是AD的三等分点，AE=2ED，则阴影部分的面积为．

A E D

O

B C A E D

M

N

O

B C

【解析】如图，连接 OE ．

根据蝶形定理， ON : ND = S ?COE: S ?CDE= 1 S

?CAE

:S

?CDE

=1:1

，所以2

S = 1 S ；

?O ?

E N 2 O E D OM : MA = S ?BOE: S ?BAE= 1 S

?BDE

:S

?BAE =1: 4 ，所以S?OEM=

1

S

?OEA ．

2 5

又 S = 1 ? 1 S = 3 ，S = 2S = 6 ，所以阴影部分面积为：?OED 3 4矩形ABCD ?OEA ?OED

3 ? 1 + 6 ? 1 = 2.7 ．

2 5

【例 4】已知ABC为等边三角形，面积为400，D、E、F分别为三边的中点，已知甲、乙、丙面积和为143，求阴影五边形的面积．(丙是三角形

HBC )

A

甲乙

D I J F

M N

H 丙

B E C

【解析】因为 D 、E 、F 分别为三边的中点，所以 DE 、DF 、EF 是三角形ABC的中位线，也就与对应的边平行，根据面积比例模型，三角形 ABN 和三角形 AMC 的面积都等于三角形 ABC 的一半，即为200．

根据图形的容斥关系，有 S ?ABC- S丙= S ?ABN+ S ?AMC- S AMHN，

即400 -S丙= 200 + 200 -S AMHN，所以S丙=S AMHN．

又S阴影+ S ?ADF= S甲+ S乙+ S AMHN，所以

S阴影= S甲+ S乙+ S丙- S?ADF=143-1

4?400=43．

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