第9章 第6节
一、选择题
1.已知四边形ABCD 满足:AB →·BC →>0,BC →·CD →>0,CD →·DA →>0,DA →·AB →
>0,则该四边形为( )
A .平行四边形
B .梯形
C .平面四边形
D .空间四边形
[答案] D
[解析] ∵AB →·BC →>0,∴∠ABC >π2,同理∠BCD >π2,∠CDA >π2,∠DAB >π2,由内角和定
理知,四边形ABCD 一定不是平面四边形,故选D.
2.如图,点P 是单位正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中异于A 的一个顶
点,则AP →·AB →
的值为
( )
A .0
B .1
C .0或1
D .任意实数 [答案] C
[解析] AP →
可为下列7个向量:
AB →,AC →,AD →,AA 1→,AB 1→,AC 1→,AD 1→,其中一个与AB →重合,AP →·AB →=|AB →|2=1;AD →,AD 1→,AA 1→与AB →垂直,这时AP →·AB →=0;AC →,AB 1→与AB →的夹角为45°,这时AP →·AB →=2×1×cos π4=1,
最后AC 1→·AB →
=3×1×cos ∠BAC 1=3×13
=1,故选C.
3.如图,在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为AC 与BD 的交点,N 为BB 1的靠近B 的三等分点,若A 1B 1→=a ,A 1D 1→=b ,A 1A →
=c ,则MN →
等于( )
A .-12a +12b +13c
B.12a +12b -13c
C.12a -12b -13
c
D .-12a -12b +23c
[答案] C
[解析] MN →=MB →+BN →=12D 1B 1→
+13BB 1→
=12(A 1B 1→-A 1D 1→
)-13A 1A →=12a -12b -13
c . 4.已知A (2,-5,1),B (2,-2,4),C (1,-4,1),则AC →与AB →
的夹角为( ) A .30° B .45° C .60°
D .90°
[答案] C
[解析] AB →=(0,3,3),AC →=(-1,1,0).设〈AB →,AC →
〉=θ,则cos θ=AB →·AC →
|AB →|·|AC →|=332·2=
1
2
,∴θ=60°. 5.已知a =(2,-1,3),b =(-1,4,-2),c =(7,5,λ),若a ,b ,c 三向量共面,则实数λ等于( )
A.62
7 B.63
7 C.64
7
D.657
[答案] D
[解析] ∵a ,b ,c 三向量共面, ∴存在实数m ,n 使c =m a +n b , 即(7,5,λ)=(2m -n ,-m +4n,3m -2n ), ∴????
?
2m -n =7-m +4n =5λ=3m -2n
,∴λ=65
7
.
6.(2010·山东青岛)在空间四边形ABCD 中,AB →·CD →+AC →·DB →
+
AD →·BC →的值为( )
A .0 B.3
2
C .1
D .无法确定
[答案] A
[解析] AB →·CD →+AC →·DB →+AD →·BC →
=AB →·(BD →-BC →)+(BC →-BA →)·DB →+(BD →-BA →)·BC →
=AB →·BD →-AB →·BC →+BC →·DB →-BA →·DB →+BD →·BC →-BA →·BC →=0,故选A.
7.△ABC 的顶点分别为A (1,-1,2),B (5,-6,2),C (1,3,-1),则AC 边上的高BD 等于( )
A .5 B.41 C .4
D .2 5
[答案] A
[解析] 设AD →=λAC →
,D (x ,y ,z ),则(x -1,y +1,z -2)=λ(0,4,-3), ∴x =1,y =4λ-1,z =2-3λ. ∴BD →
=(-4,4λ+5,-3λ), 又AC →=(0,4,-3),AC →⊥BD →, ∴4(4λ+5)-3(-3λ)=0, ∴λ=-45,∴BD →
=????-4,95,125, ∴|BD →
|=
(-4)2+????952+????1252
=5. 8.已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1,AM →=12MC →
,点N 为B 1B 的中点,则线段
MN 的长度为( )
A.216
B.66
C.
156
D.153
[答案] A
[解析] MN →=AN →-AM →=AN →-13AC →
=AB →+BN →-13
()
AB →+AD →+AA 1→ =23AB →+16AA 1→-13AD →. ∴MN =|MN →|=
49|AB →|2+136|AA 1→|2+19|AD →|2=216
. 9.设空间四点O 、A 、B 、P 满足OP →=OA →+tAB →
,其中0 D .点P 不一定在直线AB 上 [答案] A [解析] ∵OP →=OA →+tAB →,∴AP →=tAB → , ∵0 10.在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 、N 分别为A 1B 1 和BB 1的中点,那么直线AM 与CN 所成角的余弦值等于( ) A.3 2 B.1010 C.35 D.25 [答案] D [解析] AM →=AA 1→+A 1M →=AA 1→+12AB →,CN →=CB →+BN →=-AD →+12AA 1→ , AM →·CN →=-AA 1→·AD →-12AB →·AD →+12|AA 1→|2+14AA 1→·AB →=1 2, |AM →|2=|AA 1→|2+14|AB →|2+AA 1→·AB →=5 4, |CN →|2=|AD → |2+14|AA 1|2-12AD →·AA 1→=54, ∴cos 〈AM →,CN → 〉=AM →·CN → |AM →|·|CN →|=25,故选D. 二、填空题 11.已知a =(1,2x -1,-x ),b =(x +2,3,-3),若a ∥b ,则x =________. [答案] 1 [解析] ∵a ∥b ,∴1x +2=2x -13=-x -3,由1 x +2=2x -13得,2x 2+3x -5=0,∴x =1或 -5 2 , 由 2x -13=-x -3 得x =1,∴x =1. 12.设向量a =(-1,3,2),b =(4,-6,2),c =(-3,12,t ),若c =m a +n b ,则m +n =________. [答案] 11 2 [解析] m a +n b =(-m +4n,3m -6n,2m +2n ), ∴(-m +4n,3m -6n,2m +2n )=(-3,12,t ). ∴???? ? -m +4n =-33m -6n =122m +2n =t ,解得????? m =5, n =12, t =11. ∴m +n =11 2 . 13.若|a |=17,b =(1,2,-2),c =(2,3,6),且a ⊥b ,a ⊥c ,则a =________. [答案] (-185,2,15)或(185,-2,-1 5) [解析] 设a =(x ,y ,z ), ∵a ⊥b ,∴x +2y -2z =0.① ∵a ⊥c ,∴2x +3y +6z =0.② ∵|a |=17.∴x 2+y 2+z 2=17.③ ∴联立①②得x =-18z ,y =10z . 代入③得425z 2=17,∴z =±1 5. ∴a =(-185,2,15)或(185,-2,-1 5 ). 14.直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,∠ACB =90°,∠BAC =30°,BC =1,AA 1=6,M 是CC 1的中点,则异面直线AB 1与A 1M 所成角为________. [答案] π 2 [解析] 由条件知AC 、BC 、CC 1两两垂直,以C 为原点,CB ,CA ,CC 1分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,则B (1,0,0),A (0,3,0),B 1(1,0,6),M (0,0,6 2 ),A 1(0,3 ,6), ∴AB 1→=(1,-3,6),A 1M → =(0,-3,-62), cos 〈AB 1→,A 1M → 〉=AB 1→·A 1M →|AB 1→|·|A 1M →|=0, ∴〈AB 1→,A 1M → 〉=π2 , 即直线AB 1与A 1M 所成角为π 2. 三、解答题 15.已知向量b 与向量a =(2,-1,2)共线,且满足a ·b =18,(k a +b )⊥(k a -b ),求向量b 及k 的值. [解析] ∵b ≠0,a ,b 共线,∴存在实数λ,使a =λb , ∵a =(2,-1,2),∴|a |=3, ∴a ·b =λa 2=λ|a |2=9λ=18, ∴λ=2.∴b =(4,-2,4). ∵(k a +b )⊥(k a -b ),∴(k a +b )·(k a -b )=0. ∴(k a +2a )·(k a -2a )=0. ∴(k 2-4)|a |2=0.∴k =±2. 16.(2010·上海松江区模拟)设在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,AB =AC =AA 1=2,∠BAC =90°,E ,F 依次为C 1C ,BC 的中点. (1)求异面直线A 1B 、EF 所成角θ的大小(用反三角函数值表示); (2)求点B 1到平面AEF 的距离. [解析] 以A 为原点建立如图所示空间直角坐标系,则各点坐标为A 1(0,0,2),B (2,0,0),B 1(2,0,2),E (0,2,1),F (1,1,0), (1)A 1B →=(2,0,-2),EF → =(1,-1,-1), cos θ=A 1B →·EF →|A 1B →|·|EF →|=422×3=6 3, ∴θ=arccos 6 3 . (2)设平面AEF 的一个法向量为n =(a ,b ,c ), ∵AE →=(0,2,1),AF → =(1,1,0), 由????? n ·AE →=0n · AF →=0得,????? 2b +c =0a +b =0, 令a =1可得n =(1,-1,2), ∵AB 1→ =(2,0,2),∴d =|AB 1→ ·n ||n |=66= 6. ∴点B 1到平面AEF 的距离为 6. 17.如图,平面ABEF ⊥平面ABCD ,四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形,∠BAD =∠F AB =90°,BC 綊12AD ,BE 綊1 2 F A , G 、 H 分别为F A 、FD 的中点. (1)证明:四边形BCHG 是平行四边形; (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面?为什么? (3)设AB =BE ,证明:平面ADE ⊥平面CDE . [解析] 由题设知,F A 、AB 、AD 两两互相垂直.如图,以A 为坐标原点,射线AB 为x 轴正半轴,建立如图所示的直角坐标系A -xyz . (1)设AB =a ,BC =b ,BE =c ,则由题设得A (0,0,0),B (a,0,0),C (a ,b,0),D (0,2b,0),E (a,0,c ),G (0,0,c ),H (0,b ,c ),F (0,0,2c ). 所以,GH →=(0,b,0),BC → =(0,b,0), 于是GH →=BC → .又点G 不在直线BC 上, 所以四边形BCHG 是平行四边形. (2)C 、D 、F 、E 四点共面.理由如下: 由题设知,F (0,0,2c ),所以 EF →=(-a,0,c ),CH →=(-a,0,c ),EF →=CH →, 又C ?EF ,H ∈FD ,故C 、D 、F 、E 四点共面. (3)由AB =BE ,得c =a ,所以CH →=(-a,0,a ),AE → =(a,0,a ) 又AD →=(0,2b,0),因此CH →·AE →=0,CH →·AD →=0 即CH ⊥AE ,CH ⊥AD , 又AD ∩AE =A ,所以CH ⊥平面ADE . 故由CH ?平面CDFE ,得平面ADE ⊥平面CDE . [点评] 如果所给问题中存在两两垂直的直线交于一点,容易将各点的坐标表示出来时,可用向量法求解.如果其所讨论关系不涉及求角,求距离或所求角、距离比较容易找(作)出时,可不用向量法求解,本题解答如下: (1)由题设知,FG =GA ,FH =HD ,所以GH 綊12AD . 又BC 綊1 2AD ,故GH 綊BC , 所以四边形BCHG 是平行四边形. (2)C 、D 、F 、E 四点共面.理由如下: 由BE 綊1 2AF ,G 是F A 的中点知,BE 綊GF , 所以EF ∥BG , 由(1)知BG ∥CH ,所以EF ∥CH ,故EC 、FH 共面. 又点D 直线FH 上, 所以C 、D 、F 、E 四点共面. (3)连结EG ,由AB =BE ,BE 綊AG ,及∠BAG =90°知ABEG 是正方形, 故BG ⊥EA .由题设知,F A 、AD 、AB 两两垂直,故AD ⊥平面F ABE , 因此EA 是ED 在平面F ABE 内的射影,∴BG ⊥ED . 又EC ∩EA =E ,所以BG ⊥平面ADE . 由(1)知,CH ∥BG ,所以CH ⊥平面ADE .由(2)知F ∈平面CDE ,故CH ?平面CDE ,得平面ADE ⊥平面CDE . 2019年高三数学知识点总结:立体几何 由查字典数学网高中频道提供,2019年高三数学知识点总结:立体几何,因此老师及家长请认真阅读,关注孩子的成长。 立体几何初步 (1)棱柱: 定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所围成的几何体。 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示:用各顶点字母,如五棱柱或用对角线的端点字母,如五棱柱 几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 (2)棱锥 定义:有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示:用各顶点字母,如五棱锥 几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 (3)棱台: 定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分 分类:以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示:用各顶点字母,如五棱台 几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点 (4)圆柱: 定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。 (5)圆锥: 定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。 (6)圆台: 定义:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分 几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。 2019年高考数学一轮复习立体几何知识点数学上,立体几何是3维欧氏空间的几何的传统名称,查字典数学网小编整理了2019年高考数学一轮复习立体几何知识点,希望对考生复习有帮助。 1.平面的基本性质:掌握三个公理及推论,会说明共点、共线、共面问题。 能够用斜二测法作图。 2.空间两条直线的位置关系:平行、相交、异面的概念; 会求异面直线所成的角和异面直线间的距离;证明两条直线是异面直线一般用反证法。 3.直线与平面 ①位置关系:平行、直线在平面内、直线与平面相交。 ②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。 ③直线与平面垂直的证明方法有哪些? ④直线与平面所成的角:关键是找它在平面内的射影,范围是 ⑤三垂线定理及其逆定理:每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定理主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如:证明异面直线垂直,确定二面角的平面角,确定点到直线的垂线. 4.平面与平面 (1)位置关系:平行、相交,(垂直是相交的一种特殊情况) (2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。 (3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理。尤其是已知两平面垂直,一般是依据性质定理,可以证明线面垂直。 (4)两平面间的距离问题点到面的距离问题 (5)二面角。二面角的平面交的作法及求法: ①定义法,一般要利用图形的对称性;一般在计算时要解斜三角形; 要练说,得练看。看与说是统一的,看不准就难以说得好。练看,就是训练幼儿的观察能力,扩大幼儿的认知范围,让幼儿在观察事物、观察生活、观察自然的活动中,积累词汇、理解词义、发展语言。在运用观察法组织活动时,我着眼观察于观察对象的选择,着力于观察过程的指导,着重于幼儿观察能力和语言表达能力的提高。②垂线、斜线、射影法,一般要求平面的垂线好找,一般在计算时要解一个直角三角形。 这个工作可让学生分组负责收集整理,登在小黑板上,每周一换。要求学生抽空抄录并且阅读成诵。其目的在于扩大学生的知识面,引导学生关注社会,热爱生活,所以内容要尽量广泛一些,可以分为人生、价值、理想、学习、成长、责任、友谊、爱心、探索、环保等多方面。如此下去,除假期外,一年便可以积累40多则材料。如果学生的脑海里有了 第八章《立体几何》综合检测试题 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.每小题中只有一项符合题目要求) 1、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体可以是( ) A .棱柱 B .棱台 C .圆柱 D .圆台 2、一个简单几何体的主视图,左视图如图所示,则其俯视图不可能为 ①矩形;②直角三角形;③圆;④椭圆.其中正确的是 A.① B.② C.③ D.④ 3 .设m.n 是两条不同的直线,α.β是两个不同的平面, ( ) A .若m∥α,n∥α,则m∥n B .若m∥α,m∥β,则α∥β C .若m∥n,m⊥α,则n⊥α D .若m∥α,α⊥β,则m⊥β 4.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是 ( ) A . 1 6 B . 13 C . 23 D .1 2 5 .在空间,下列命题正确的是 ( ) A .平行直线在同一平面内的射影平行或重合 B. 垂直于同一平面的两条直线平行 C. 垂直于同一平面的两个平面平行 D. 平行于同一直线的两个平面平行 6、一个四棱锥的侧棱长都相等,底面是正方形,其正(主)视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是 ( ) A .45,8 B .8 45, 3 C .84(51), 3 + D .8,8 7、如图所示,正四棱锥P -ABCD 的底面积为3,体积为2 2 ,E 为侧棱PC 的中点,则PA 与BE 所成的角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 8、如图是不锈钢保温饭盒的三视图,根据图中数据(单位:cm ), 则 该饭盒的表面积为 A .1100π2cm B .900π2cm C .800π2cm D .600π2cm 9、已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==,, AB AC ⊥,112AA =,则球O 的半径为 ( ) A . 317 2 B .210 C 132 D .310 10.圆台上、下底面面积分别是π、4π,侧面积是6π,这个圆台的体积是( ) A 、233π B 、23π C 、736π D 、733 π 2015届高三数学(文)立体几何训练题 1、如图3,AB 是⊙O 的直径,PA 垂直于⊙O 所在的平面,C 是圆周上不同于A 、B 的一点. ⑴求证:平面PAC ⊥平面PBC ; ⑵若PA=AB=2,∠ABC=30°,求三棱锥P -ABC 的体积. 2、如图,已知P A ?⊙O 所在的平面,AB 是⊙O 的直径,AB =2,C 是⊙O 上一点,且AC =BC =P A ,E 是PC 的中点,F 是PB 的中点. (1)求证:EF 3、如图,四棱柱1111D C B A ABCD -中,A A 1?底面ABCD ,且41=A A . 梯 形ABCD 的面积为6,且AD 平面DCE A 1与B B 1交于点E . (1)证明:EC D A 111A ABB 4、如图,已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1,AA 1=AB =2a ,D 、E 分别为CC 1、A 1B 的中 点. (1)求证:DE ∥平面ABC ; (2)求证:AE ⊥BD ; (3)求三棱锥D —A 1BA 的体积 . 5.如图,矩形ABCD 中,3AB =,4=BC .E ,F 分别在线段BC 和AD 上,EF ∥AB , 将矩形ABEF 沿EF 折起.记折起后的矩形为MNEF ,且平面⊥MNEF 平面ECDF . (Ⅰ)求证:NC ∥平面MFD ; P A B C O E F A B C D E A 1 B 1 C 1 D 1 A D F F E A (Ⅱ)若3EC =,求证:FC ND ⊥; (Ⅲ)求四面体CDFN 体积的最大值. 6、如图,在三棱锥P ABC -中,PA ⊥底面ABC,090=∠BCA ,AP=AC, 点D ,E 分别在棱,PB PC 上,且BC (Ⅰ)求证:D E ⊥平面PAC ; (Ⅱ)若PC ⊥AD ,且三棱锥P ABC -的体积为8,求多面体ABCED 的体积。 7、如图:C 、D 是以AB 为直径的圆上两点,==AD AB 232,BC AC =,F 是AB 上一点, 且AB AF 3 1 =,将圆沿直径AB 折起,使点C 在平面ABD 的射影E 在BD 上,已知2=CE . (1)求证:⊥AD 平面BCE ; (2)求证://AD 平面CEF ; (3)求三棱锥CFD A -的体积. 8、如图甲,在平面四边形ABCD 中,已知45,90,105,o o o A C ADC ∠=∠=∠=A B BD =,现将四边 形ABCD 沿BD 折起,使平面ABD ⊥平面BDC (如图乙),设点E 、F 分别为棱AC 、AD 的中点. (1)求证:DC ⊥平面ABC ; 2015届高三数学立体几何专题训练 1.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ) A .16+8π B .8+8π C .16+16π D .8+16π 解析:选A. 原几何体为组合体:上面是长方体,下面是圆柱的一半(如图所示),其体积为V =4×2×2+1 2 π×22×4=16+8π. 2.(2013·高考新课标全国卷Ⅰ)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8 cm ,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ,如果不计容器厚度,则球的体积为( ) A.500π3 cm 3 B.866π3 cm 3 C.1 372π3 cm 3 D.2 048π3 cm 3 解析:选A. 如图,作出球的一个截面,则MC =8-6=2(cm), BM =12AB =1 2 ×8=4(cm). 设球的半径为R cm ,则R 2=OM 2+MB 2=(R -2)2+42,∴R =5, ∴V 球=43π×53=500π 3 (cm 3). 3.(2013·高考新课标全国卷Ⅱ)已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ,l ⊥n ,l ?α,l ?β,则( ) A .α∥β且l ∥α B .α⊥β且l ⊥β C .α与β相交,且交线垂直于l D .α与β相交,且交线平行于l 解析:选D. 根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知α与β相交,且交线平行于l ,故选D. 4.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 C.23 D.13 解析:选A.法一: 如图,连接AC ,交B D 于点O ,由正四棱柱的性质,有AC ⊥B D.因为CC 1⊥平面ABC D ,所以CC 1⊥B D.又CC 1∩AC =C ,所以B D ⊥平面CC 1O .在平面CC 1O 内作CH ⊥C 1O ,垂足为H ,则B D ⊥CH .又B D ∩C 1O =O ,所以CH ⊥平面B D C 1,连接D H ,则D H 为C D 在平面B D C 1上的射影,所以∠C D H 为C D 与平面B D C 1所成的角.设AA 1=2AB =2.在Rt △COC 1中,由 等面积变换易求得CH =23.在Rt △C D H 中,s in ∠C D H =CH CD =2 3 . 法二: 以D 为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,设AA 1=2AB =2,则D(0,0,0),C (0,1,0), B (1,1,0), C 1(0,1,2),则DC →=(0,1,0),DB →=(1,1,0),DC 1→ =(0,1,2). 设平面B D C 1的法向量为n =(x ,y ,z ),则 n ⊥DB →,n ⊥DC 1→ ,所以有????? x +y =0,y +2z =0, 令y =-2,得平面B D C 1的一个法向量为n =(2, -2,1). 设C D 与平面B D C 1所成的角为θ,则s in θ=|co s n ,DC → =???? ??n ·DC →|n ||DC →|=23. 5.(2013·高考大纲全国卷)已知正四棱柱ABC D-A 1B 1C 1D 1中,AA 1=2AB ,则C D 与平面B D C 1所成角的正弦值等于( ) A.23 B.33 高中课程复习专题——数学立体几何 一空间几何体 ㈠空间几何体的类型 1 多面体:由若干个平面多边形围成的几何体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶点。 2 旋转体:把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体。其中,这条直线称为旋转体的轴。 ㈡几种空间几何体的结构特征 1 棱柱的结构特征 棱柱的定义:有两个面互相平行,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面所 围成的几何体叫做棱柱。 棱柱的分类 棱柱的性质 ⑴侧棱都相等,侧面是平行四边形; ⑵两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; ⑶过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; ⑷直棱柱的侧棱长与高相等,侧面的对角面是矩形。 长方体的性质 ⑴长方体的一条对角线的长的平方等于一个顶点上三 条棱的平方和:AC12 = AB2 + AC2 + AA12 ⑵长方体的一条对角线AC1与过定点A的三条棱所成图1-2 长方体 的角分别是α、β、γ,那么: cos2α + cos2β + cos2γ = 1 sin2α + sin2β + sin2γ = 2 ⑶ 长方体的一条对角线AC1与过定点A的相邻三个面所组成的角分别为α、β、γ,则: cos2α + cos2β + cos2γ = 2 sin2α + sin2β + sin2γ = 1 棱柱的侧面展开图:正n棱柱的侧面展开图是由n个全等矩形组成的以底面周长和侧棱为邻边的矩形。 棱柱的面积和体积公式 S直棱柱侧面 = c·h (c为底面周长,h为棱柱的高) S直棱柱全 = c·h+ 2S底 V棱柱 = S底·h 2 圆柱的结构特征 2-1 圆柱的定义:以矩形的一边所在的直线 为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成 的几何体叫圆柱。 图1-3 圆柱 2-2 圆柱的性质 ⑴上、下底及平行于底面的截面都是等圆; ⑵过轴的截面(轴截面)是全等的矩形。 2-3 圆柱的侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的矩形。 2-4 圆柱的面积和体积公式 S圆柱侧面= 2π·r·h (r为底面半径,h为圆柱的高) S圆柱全= 2π r h + 2π r2 V圆柱 = S底h = πr2h 3 棱锥的结构特征 3-1 棱锥的定义 ⑴棱锥:有一个面是多边形,其余各面是 有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成 的几何体叫做棱锥。 江苏省徐州市贾汪区建平中学高三数学一轮复习教案:立体几 何 第节 教学目标平面基本性质及公理 直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系 教学重难点 平面基本性质及公理的运用 直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系的判断,异面直线所成的角 教学参考教材,教参,学案,优化探究 授课方法自学引导,讲练结合教学辅助手段多媒体 专用教室 教学过程设计教学二次备课 一、主干知识梳理 1.平面的基本性质: 公理1:文字语言描述为______________________,符号语言表示为___________________; 公理2:文字语言描述为____________________,符号语言表示为___________________; 公理3: 推论1 推论2 推论3 2.空间两条直线的位置关系有________、_________、_________. 3.公理4:_______________________________;等角定理:_____________________.4.异面直线判定定理: 5.异面直线所成的角的定义: ,范围是 二、基础自测自评 1.棱柱的侧面是________形,棱锥的侧面是_________形,棱台的侧面是____________形. 2.圆柱、圆锥、圆台的轴截面形状分别是______、_______、________. 3.用符号表示“点A在直线l上,l在平面 外”为_____________________. 学生课前预习 师生共同回顾 主干知识 通过小题巩固公式的记忆及使用 4.与长方体的某一条棱平行的棱有______条,与它相交的棱有_______条,与它异面的棱有_______条. 5.与正方体的某条面对角线异面的棱有_______条. 6.三条直线两两相交,它们可以确定的平面有________个. 高三文科数学专题复习:立体几何平行、垂直问题 【基础知识点】 一、平行问题 1.直线与平面平行的判定与性质 定义判定定理性质性质定理 图形 条件a∥α 结论a∥αb∥αa∩α=a∥b 2. 面面平行的判定与性质 判定 性质 定义定理 图形 条件α∥β,a?β 结论α∥βα∥βa∥b a∥α 平行问题的转化关系: 二、垂直问题 一、直线与平面垂直 1.直线和平面垂直的定义:直线l与平面α内的都垂直,就说直线l与平面α互相垂直.2.直线与平面垂直的判定定理及推论 文字语言图形语言符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平 面垂直 推论 如果在两条平行直线中,有一条垂直于平面,那么另一条直线也垂直这个平面 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 垂直于同一个平面的 两条直线平行 4.直线和平面垂直的常用性质 ①直线垂直于平面,则垂直于平面内任意直线. ②垂直于同一个平面的两条直线平行. ③垂直于同一条直线的两平面平行. 二、平面与平面垂直 1.平面与平面垂直的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平 面的垂线,则这两个平 面垂直 2.平面与平面垂直的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 性质定理 两个平面垂直,则一个 平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平 面 类型一、平行与垂直 例1、如图,已知三棱锥A BPC -中,,,AP PC AC BC ⊥⊥M 为AB 中点,D 为PB 中点, 且△PMB 为正三角形。(Ⅰ)求证:DM ∥平面APC ; (Ⅱ)求证:平面ABC ⊥平面APC ; (Ⅲ)若BC 4=,20AB =,求三棱锥D BCM -的体积。 M D A P B C高三数学知识点总结:立体几何
高考数学一轮复习立体几何知识点
高三第一轮复习:《立体几何》综合检测试题
届高三文科数学立体几何专题训练
2015届高三数学立体几何专题训练及详细答案
高中数学立体几何专题
高三数学一轮复习 立体几何(1)教案
高三文科数学立体几何平行垂直问题专题复习(含答案)
2020高考数学专题复习----立体几何专题