初等数论教案 第四节 素数、整数的唯一分解定理
第四节素数、整数的唯一分解定理
第五节Eratosthenes筛法
教学目的：1、掌握素数的一系列性质；
2、理解并掌握唯一分解定理.
教学重点：素数的性质及唯一分解定理的证明及应用
教学难点：唯一分解定理的证明及应用
教学课时：4课时
教学过程
一、素数
1、定义1 大于1的整数，如果只有平凡因子，就叫素数，否则叫合数.
2、引理1 设a是任意大于1的整数，则a除1以外的最小正因子p是素数，并且当a是合数时，则a
p≤.
3、引理2 设p是素数，a是任意整数，则a
a
p.
(=
,
)
p|或1
4、引理3 设p是素数，p|ab , 则p|a或p|b.
5、定理1素数有无穷多个.
6、定理2形如4n-1型的素数有无穷多个.
例1 写出不超过100的所有的素数。
解将不超过100的正整数排列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
按以下步骤进行：
(ⅰ) 删去1，剩下的后面的第一个数是2，2是素数；
(ⅱ) 删去2后面的被2整除的数，剩下的2后面的第一个数是3，3是素数；
(ⅲ) 再删去3后面的被3整除的数，剩下的3后面的第一个数是5，5是素数；
(ⅳ) 再删去5后面的被5整除的数，剩下的5后面的第一个数是7，7是素数；
照以上步骤可以依次得到素数2, 3, 5, 7, 11, .
由引理1可知，不超过100的合数必有一个不超过10的素约数，因此在删去7后面被7整除的数以后，就得到了不超过100的全部素数. 例1中所使用的寻找素数的方法，称为Eratosthenes筛法. 它可以用来求出不超过任何固定整数的所有素数. 在理论上这是可行的；但在实际应用中，这种方法需要大量的计算时间，是不可取的.
曾经有人希望找到一个表示素数的方便的公式，例如，是否存在一个不是常数的整系数多项式f(x)，当x ≥0x 时，f(x)都表示素数？
7、定理3 对于任意给定的整数0x ，不存在整系数多项式
∑==n
i i i x a x f 0)(，其中 0,0>≠n a n ,
使得当x ≥0x 时，f(x)都表示素数.
二、整数唯一分解定理（算术基本定理）
1、引理1 任何大于1的正整数n 可以写成素数之积，即
n = p 1p 2 p m ， (1)
其中p i （1 ≤ i ≤ m ）是素数.
证明：当n = 2时，结论显然成立.
假设对于2 ≤ n ≤ k ，式(1)成立，我们来证明式(1)对于n = k + 1也成立，从而由归纳法推出式(1)对任何大于1的整数n 成立.
如果k + 1是素数，式(1)显然成立.
如果k + 1是合数，则存在素数p 与整数d ，使得k + 1 = pd . 由于2 ≤ d ≤ k ，由归纳假定知存在素数q 1, q 2, , q l ，使得d = q 1q 2 q l ，从而k + 1 = pq 1q 2 q l . 证毕
2、定理1(算术基本定理) 任何大于1的整数n 可以唯一地表示成
n =k k p p p ααα 2121， (2)
其中p 1, p 2, , p k 是素数，p 1 < p 2 < < p k ，α1, α2, , αk 是正整数.
证明 由引理1，任何大于1的整数n 可以表示成式(2)的形式，因此，只需证明表示式(2)的唯一性.
假设p i （1 ≤ i ≤ k ）与q j （1 ≤ j ≤ l ）都是素数，
p 1 ≤ p 2 ≤ ≤ p k ，q 1 ≤ q 2 ≤ ≤ q l ， (3)
并且
n = p 1p 2 p k = q 1q 2 q l ， (4)
则必有某个q j （1 ≤ j ≤ l ），使得p 1∣q j ，所以p 1 = q j ；又有某个p i （1 ≤ i ≤ k ），使得q 1∣p i ，所以q 1 = p i . 于是，由式(3)可知p 1 = q 1，从而由式(4)得到
p 2 p k = q 2 q l .
重复上述这一过程，得到
k = l ，p i = q i ，1 ≤ i ≤ k . 证毕
3、定义1 使用定理1中的记号，称
n =k k p p p ααα 2121
是n 的标准分解式，其中p i （1 ≤ i ≤ k ）是素数，p 1 < p 2 < < p k ，α i （1 ≤ i ≤ k ）是正整数.
推论1 使用式(2)中的记号，有
(ⅰ) n 的正因数d 必有形式
d =k k
p p p γγγ 2121，γi ∈Z ，0 ≤ γi ≤ α i ，1 ≤ i ≤ k ； (ⅱ) n 的正倍数m 必有形式
m =k k p p p βββ 2121M ，M ∈N ，βi ∈N ，βi ≥ α i ，1 ≤ i ≤ k .
证明：留作习题.
推论2 设正整数a 与b 的标准分解式是
s k l k s k l k r r p p b q q p p a δδββγγαα 11111111==，，
其中p i （1 ≤ i ≤ k ），q i （1 ≤ i ≤ l ）与r i （1 ≤ i ≤ s ）是两两不相同的素数，αi ，βi （1 ≤ i ≤ k ），γi （1 ≤ i ≤ l ）与δi （1 ≤ i ≤ s ）都是非负整数，则(a , b ) =k k p p λλ
11， λi = min{αi , δi }，1 ≤ i ≤ k ， [a , b ] =s l k s l k r r q q p p γγββμμ 111111，μi = max{αi , δi }，1 ≤ i ≤ k . 证明：留作习题.
为了方便，推论2常叙述为下面的形式：
推论2 ' 设正整数a 与b 的标准分解式是
k k k k p p p b p p p a βββα
αα 11212121==，，
其中p 1, p 2, , p k 是互不相同的素数，αi ，βi （1 ≤ i ≤ k ）都是非负整数，则
k i p p p b a k i p p p b a i i i k i i i k k k ≤≤==≤≤==1},max{],[1},min{),(11112121，，，
，，βαμβαλμμμλλλ .
推论3 设a ，b ，c ，n 是正整数，
ab = c n ，(a , b ) = 1， (5)
则存在正整数u ，v ，使得
a = u n ，
b = v n ，
c = uv ，(u , v ) = 1.
证明: 设c =k k
p p p γγγ 1121，其中p 1, p 2, , p k 是互不相同的素数，γi （1 ≤ i ≤ k ）是正整数.又设
k k k k p p p b p p p a βββα
αα 11212121==，，
其中αI ，βi （1 ≤ i ≤ k ）都是非负整数. 由式(5)及推论2 '可知
min{αi , βi } = 0，αi + βi = n γi ，1 ≤ i ≤ k ，
因此，对于每个i （1 ≤ i ≤ k ），等式
αi = n γi ，βi = 0与αi = 0，βi = n γi
有且只有一个成立.这就证明了推论. 证毕
例1 写出51480的标准分解式.
解: 我们有
51480 = 2?25740 = 22?12870 = 23?6435
= 23?5?1287 = 23?5?3?429
= 23?5?32?143 = 23?32?5?11?13.
例2 设a ，b ，c 是整数，证明：
(ⅰ) (a , b )[a , b ] = ab ；
(ⅱ) (a , [b , c ]) = [(a , b ), (a , c )].
解：为了叙述方便，不妨假定a ，b ，c 是正整数.
(ⅰ) 设
k k k k p p p b p p p a βββα
αα 11212121==，，
其中p 1, p 2, , p k 是互不相同的素数，αi ，βi （1 ≤ i ≤ k ）都是非负整数.由定理1推论2 '，有
。，，，
，，k i p p p b a k i p p p b a i i i k i i i k k k ≤≤==≤≤==1},m ax{],[1},m in{),(11112121βαμβαλμμμλλλ
由此知
(a , b )[a , b ] =∏∏∏=+=+=+==k i i k i i k i i i i i i i i i
i p p p 11},max{},min{1βαβαβαμλ=ab ；
(ⅱ) 设
∏∏∏======k i i k i i k i i i
i i p c p b p a 111γβα，，，
其中p 1, p 2, , p k 是互不相同的素数，αi ，βi ，γi （1 ≤ i ≤ k ）都是非负整数.由定理1推论2 '，有
∏∏====k i i k i i i
i p c a b a p c b a 11)],(),,[(]),[,(μλ，，
其中，对于1 ≤ i ≤ k ，有
λi = min{αi , max{βi , γi }}，
μi = max{min{αi , βi }, min{αi , γi }}，
不妨设βi ≤ γi ，则
min{αi , βi } ≤ min{αi , γi }，
所以
μi = min{αi , γi } = λi ，
即(a , [b , c ]) = [(a , b ), (a , c )].
注：利用定理1可以容易地处理许多像例2这样的问题. 例3 证明：1
2151311-++++=n N （n ≥ 2）不是整数. 解：设3k ≤ 2n - 1 < 3k + 1. 对于任意的1 ≤ i ≤ n ，2i - 1 ≠ 3k ，记
2i - 1 =i β3Q i ，Q i ∈Z ，
从而知i β≤ k - 1. 因为3k - 1Q 1Q 2 Q 2n - 1是整数，所以，如果N 是整数，则存在整数Q ，使得
3k - 1Q 1Q 2 Q 2n - 1N = Q + 3k - 1Q 1Q 2 Q 2n -1k 31.
由于3|/Q 1Q 2 Q 2n -1，所以上式右端不是整数，这个矛盾说明N 不能是整数.
三、小结
四、作业 25页ex17、ex18、ex22、ex23
26页ex32
2020小学数学教师线上教学工作计划5篇
2020小学数学教师线上教学工作计划（一）当前，小学数学教学正处在一个大的变革之中，作为教师，我们要努力探讨如何在数学教学中进行教学质量的提升和差生的转化工作。为了全面激发三（4）、三（5）班学生学习的主动性和积极性，通过培优补差使学生认真对待学习，发展智力，实行以点带面，全面提高，因此，特制订有关的数学教学计划。一、情况分析三（4）、三（5）两个班共有学生104人，每班都有52人。从两班学生的学习情况、知识技能掌握情况以及日常行为规范情况来看，大部分同学学习积极性高，学习目的明确，上课能够比较认真听讲。但同时，仍然有大部分学生学习不够认真，对数学课的学习兴趣不浓厚、动手能力不强，纪律生活方面比较懒散，自我控制力不强，经常出现上课讲小话、搞小动作、不做作业等现象，特别是班干部不能起到很好的模范作用，自我要求不严格。两个班学生在上学期二年级期末考试中，数学成绩都是比较差，其中三（5）班的差生落后面大，有4名学生的数学成绩仅仅及格，优生很少，全班的数学三率综合值居全级倒数最后一名。二、工作目标1、加强常规教学的管理，努力提高学生学习成绩。2、做好差生辅导的工作，尽量减少学生落后层次。三、具体措施1、狠抓班风、学风的管理，为提高教学质量保驾护航。 ①注重发挥班干部的带头作用，促进浓厚学风的形成。平时经常教育学生要有明确的学习目的，端正学习态度，遵守学习纪律，指导学生选择好适合自己的学习方法，提高学习的自觉性，养成良好的学习习惯，提高学习成绩。②让每位同学都成为班风、学风建设的主人。尽早和每位学生促膝谈心，仔细观察他们的言行及对人、处事的态度，特别注意了解他们平坦喜欢哪些活动，结交什么朋友，从而掌握他们的思想、情绪及心理特点，对症下药；公平对待每位学生，在某些方面给予“偏爱”，如上课多注意他们、多提问他们，多加鼓励，树立信心，为他们创设成功的机会。2、规范课堂教学，全面提升教学质量。①认真备课，努力上好每节课。集体备课的时候，细心分析好每个单元的教学目标、重点、难点、教学方法和作业布置等内容，充分发挥集体的力量，提高课堂教学效率。②课堂上，坚持以培养学生学习兴趣和发展学生思维能力作为出发点，力求课上“四让”：课本让学生读，问题让学生议，思路让学生讲，小结让学生作，同时实施“三讲五给”：讲重点、难点、方法；给学生动脑想、动眼看、动耳听、动口讲，动手做，使学生积极主动参与教学的全过程。 ③努力提高学生的计算能力，让学生偿试成功。（1）培养一看、二想、三算、四演的习惯。计算时，要求学生看清题目中的数字和符号，再想一想用什么方法或简便方法以及计算时应注意什么，先算什么，后算什么等，进行计算后发现问题及时纠正。（2）养成
初等数论教案
厦门大学教案 学年度第学期 院（系）数学科学学院 任课教师祝辉林 课程名称初等数论 授课章节：第4.3节一次同余方程组和孙子定理 授课教材：《初等数论》，北京大学出版社 授课对象：数学类专业一年级本科生 【教学要求】 1. 了解孙子定理的历史背景和起源出处，理解用孙子定理求解一次同余方程组的思想方法和公式，掌握求解一次同余方程组的计算步骤； 2. 掌握一次同余方程组的模两两不互素时，应当如何转化成模两两互素时的等价一次同余方程组，再用孙子定理求解； 3. 理解一次同余方程组的意义，并能用孙子定理的方法解决一些实际应用问题。 【教学重点】 1. 孙子定理的思想方法和计算步骤； 2. 如何应用孙子定理解决实际应用问题。 【教学难点】 理解孙子定理的思想方法。 【教学内容】 第三节一次同余方程组和孙子定理 本节主要讨论一次同余方程组的解法。为了解决这类同余方程组，我们需要弄清楚剩余系的结构。孙子定理(又称中国剩余定理)就是解决这类实际问题的有力工具。 一、“物不知其数”问题及其解法 1.1问题的提出
例1：（“物不知其数”问题） 大约在公元四世纪，我国南北朝时期有一部著名的算术著作《孙子算经》，其中就有一个“物不知其数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？答曰：二十三”。 1.2 问题的解法及理由 明朝程大位编著的《算法统宗》里记载了此题的解法，他是用一首歌谣叙述出来的： 三人同行七十稀，五树梅花廿一枝。七子团圆正月半，除百零五便得知。 这首诗翻译成数学算式就是：702213152233?+?+?=，233105223-?=。 解题步骤及理由如下： （1）先在5和7的公倍数中找除以3余1的数，进而找到除3余2的数。 因为[5,7]35=，35311÷=(余2)，(352)323?÷=(余1)，而(702)346?÷=(余2)，所以140符合条件。 （2）在3和7的公倍数中找除以5余1的数，进而找到除5余3的数。 因为[3,7]21=，2154÷=(余1)，(213)512?÷=(余3)， 所以63就是符合条件的数。 （3）在3和5的公倍数中找除以7余1的数，进而找到除7余2的数。 因为[3,5]15=，1572÷=(余1)，(152)74?÷=(余2)，所以30就是符合条件的数。 （4）将上面得到的分别符合上面三个条件的三个数相加：702213152233?+?+?=。 因为70(或140)是5和7的倍数，而3除余1(或余2)的数。21(或63)是3和7的倍数，而5除余1(或余3)的数。15(或30)是3和5的倍数，而7除余1(或余2)的数。 所以233是除以3余2、除以5余3和除以7余2的数。 又因为[357]105=，，，233210523-?=也是它的解，而且23105<， 所以23是最小解，其所有解为10523x k =+(k =0,1,2,???)。
因式分解定理
§5 因式分解定理 一、不可约多项式 C on i x i x x x R on x x x Q on x x x )2)(2)(2)(2() 2)(2)(2() 2)(2(42224+-+-=++-=+-=-. 1．定义8 数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为域P 上的不可约多项式 (irreducible polynomical)，如果它不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 的次数低的多项式的 乘积. 2．注：1）、根据定义，一次多项式总是不可约多项式； 2）、一个多项式是否可约是依赖于系数域的； 3）、零多项式与零次多项式不说可约或不可约； 4）、不可约多项式)(x p 的因式只有非零常数（0c ≠） 与它自身的非零常数倍)0)((≠c x cp 这两种，此外就没有了。 反过来，具有这个性质的次数1≥的多项式一定是不可约的 证：若1)(=?x f ，结论显然成立。 1)(>?x f ，假设)(x f 可约， 则)()(),()( ),()()(x f x h x f x g x h x g x f ?
人教版五年级数学下册整册教案(修改_非表格版)
五年级数学下册教学计划 一、学情分析： 学生的基础参差不齐，两级分化现象严重。学习的主动性远远不够。当然，班上也有很多积极向上的学生，也有很多思维活跃、善于思考的学生。 二、教学内容： 图形的变换，因数与倍数，长方体和正方体，分数的意义和性质，分数的加法和减法，统计，数学广角和综合应用等。 在数与代数方面，这一册教材安排了因数与倍数、分数的意义和性质，分数的加法和减法。因数与倍数，在前面学习整数及其四则运算的基础上教学初等数论的一些基础知识，包括因数和倍数的意义，、、的倍数的特征，质数和合数。教材在三年级上册分数的初步认识的基础上教学分数的意义和性质以及分数的加法、减法，结合约分教学最大公因数，结合通分教学最小公倍数。 在空间与图形方面，这一册教材安排了图形的变换、长方体和正方体两个单元。在已有知识和经验的基础上，通过丰富的现实的数学活动，让学生获得探究学习的经历，认识图形的轴对称和旋转变换；探索并体会长方体和正方体的特征、图形之间的关系，及图形之间的转化，掌握长方体、正方体的体积及表面积公式，探索某些实物体积的测量方法，促进学生空间观念的进一步发展。 在统计方面，本册教材让学生学习有关众数和复式折线统计图的知识。在学习平均数和中位数的基础上，本册教材教学众数。平均数、中位数和众数都是反映一组数据集中趋势的特征数。平均数作为一组数据的代表，
比较稳定、可靠，但易受极端数据的影响；中位数作为一组数据的代表，可靠性比较差，但不受极端数据的影响；众数作为一组数据的代表，也不受极端数据的影响。当一组数据中个别数据变动较大时，适宜选择众数或中位数来表示这组数据的集中趋势。 在用数学解决问题方面，教材一方面结合分数的加法和减法、长方体和正方体两个单元，教学用所学的知识解决生活中的简单问题；另一方面，安排了“数学广角”的教学内容，引导学生通过观察、猜测、实验、推理等活动向学生渗透优化的数学思想方法，体会解决问题策略的多样性及运用优化的方法解决问题的有效性，感受数学的魅力。 本册教材根据学生所学习的数学知识和生活经验，安排了两个数学综合应用活动，让学生通过小组合作的探究活动或有现实背景的活动，运用所学知识解决问题，体会探索的乐趣和数学的实际应用，感受用数学的愉悦，培养学生的数学意识和实践能力。 三、教学目标： .理解分数的意义和基本性质，会比较分数的大小，会把假分数化成带分数或整数，会进行整数、小数的互化，能够比较熟练地进行约分和通分。 . 掌握因数和倍数、质数和合数、奇数和偶数等概念，以及、、的倍数的特征；会求以内的两个数的最大公因数和最小公倍数。 . 理解分数加、减法的意义，掌握分数加、减法的计算方法，比较熟练地计算简单的分数加、减法，会解决有关分数加、减法的简单实际问题。 . 知道体积和容积的意义及度量单位，会进行单位之间的换算，感受有关体积和容积单位的实际意义。 . 结合具体情境，探索并掌握长方体和正方体的体积和表面积的计算方
最精确素数定理的发现及证明
最精确素数定理的发现及证明 山东章丘一职专马国梁 大家知道：素数的序列曲线是一条单调增长的不规则连线。而关于究竟有没有一条能够贯穿始终的中轴线及方程的问题，多少年来人们一直在进行苦苦的探索。虽然曾有人根据统计规律进行归纳推测，也有人利用其它方程的曲线向其靠近，但皆由于证据不足而难以令人信服。所以至今竟使不少人怀疑中轴线的存在，更谈不上写出它的方程。 笔者经过长时间的分析研究后认为：之所以至此，是因为在研究方向上发生了偏差。素数本身是没有规律的，它的统计规律只是一种表面现象，而不是其内在本质。所以要想弄清它的根本原因，我们必须从素数的产生机制上着手，才能有所突破。幸运的是：笔者沿着这个正确的方向，终于取得了成功。虽然研究过程十分艰难，好多次试探都归于失败。也曾几度走投无路，意欲放弃，但不想又峰回路转，绝路逢生。整个过程一波三折，思想左右摇摆。因为笔者也不知这条中轴线究竟是否存在。如果它根本就不存在，那笔者的研究岂不成了捕风捉影？毫无成功的可能！但幸好实际情况不是这样。下面笔者就将自己的研究结果做如下介绍。 我们知道：“埃氏筛法”是寻找素数最基本最有效的方法。其实这个方法不光适用整个自然数轴，它也适用于局部范围。所以在任一素数Pi之后的一段长度里（P i+1 - P i），当它被前面的所有素数筛漏的只剩下1个单位时，那么就要产生新的素数了。 当然这种筛选我们没有必要用上P i之前所有的素数，而是只用sqrt(P i) 前面的所有素数就可以了。其中最大的素数为P r P r≈sqrt(P i) 这样当[P i+1 - P i ][1/2] [2/3] [4/5] ……[(P r– 1)/P r ] = 1 时 将会有P i+1 = P i + [2/1] [3/2] [5/4] ……[P r /( P r - 1) ] 其中从2开始到P r的筛剩率连乘积的倒数就是新素数的理论间距。其大小为 ΔP r = [2/1] [3/2] [5/4] ……[P r /( P r - 1) ] = ΔP r -1 [P r /(P r– 1) ] 将素数间距改写成连续的方程y r = y r -1[x r /(x r–1)] 那么其平均导数是dy/dx = (y r /y r -1) -1 = 1/(x r–1)] = 1/(x –1) 从而得dy = dx/(x –1) 将两边积分得y = ln(x-1) + C 当积分区间是从2开始到x的定积分时，积分常数C 将被消去。 并且当x很大时，x – 1 项中的1可以略去，因而得 y = ln(x) y r = ln(x r) 可是实际验算证明：用这个公式计算的只是从3/2开始一直到P r /( P r - 1) 连乘积，所以若算ΔP r必须对其加倍，即 ΔP r = 2y r = 2 ln(x r) ≈ln(P i) 这个结果早期的理论推导也已经证明。现在大家也都知道：当x →∞时，素数的间距确实是趋于ln(P i) .由此得素数系列的递推式是 P i+1 = P i + ln(P i) 其中P1 = 2 我们可以利用这个式子将数据推算到无限远处，并把它的序列曲线画出来，这条曲线就是黎曼曲线。但是在P ～i 坐标系中我们发现：黎曼曲线总是在真实的素数曲线之下，且相距越来越远。所以同样的P 值，黎曼曲线将需要更大的序号。这就说明真实的素数平均增长幅度是大于ln(P i) 的，原先的素数定理是不准确的。 那么究竟应该怎样进行修正呢？笔者为此曾经绞尽脑汁，多方进行试探。在经过一系列失败后，笔者才终于醒悟到：原来我们忽略了一个重要乘项——尾倍率。 我们知道：P i是素数，所以它的平方根不可能是整数，更不可能是素数，所以进行筛选的最大素数P r肯定小于sqrt(P i) . 并且sqrt(P i) 的位置不是固定不变的，而是随机的。它可能略大于P r，也可能略小于P r+1 .虽然P r和P r+1的平均距离并不大，但是对于P i之后的素数增幅却影响很大。 P i+1的增幅是lnP i，而P i后面最大的增幅则是 ln[(P r+1)^2] = 2 ln(P r+1) = 2 ln[sqrt(P i) + ln(sqrt(P i))] ≈lnP i [1+1/sqrt(P i)] 前后的平均增幅是lnP i [1+0.5/sqrt(P i)]
因式分解公式大全
公式及方法大全 待定系数法(因式分解) 待定系数法是数学中的一种重要的解题方法，应用很广泛，这里介绍它在因式分解中的应用． 在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程(或方程组)，解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法． 常用的因式分解公式：
例1 分解因式：x2+3xy+2y2+4x+5y+3． 分析由于 (x2+3xy+2y2)=(x+2y)(x+y)， 若原式可以分解因式，那么它的两个一次项一定是 x+2y+m和x+y+n的形式，应用待定系数法即可求出m和n，使问题得到解决． 解设 x2+3xy+2y2+4x+5y+3 =(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn，
比较两边对应项的系数，则有 解之得m=3，n=1．所以 原式=(x+2y+3)(x+y+1)． 说明本题也可用双十字相乘法，请同学们自己解一下．例2 分解因式：x4-2x3-27x2-44x+7． 分析本题所给的是一元整系数多项式，根据前面讲过的求根法，若原式有有理根，则只可能是±1，±7(7的约数)，经检验，它们都不是原式的根，所以，在有理数集内，原式没有一次因式．如果原式能分解，只能分解为 (x2+ax+b)(x2+cx+d)的形式． 解设 原式=(x2+ax+b)(x2+cx+d) =x4+(a+c)x3+(b+d+ac)x2+(ad+bc)x+bd， 所以有 由bd=7，先考虑b=1，d=7有 所以 原式=(x2-7x+1)(x2+5x+7)．
《初等数论》教学大纲
《初等数论》教学大纲 课程编码：110823 课程名称：初等数论 学时/学分：54/3 先修课程：《数学分析》、《高等代数》 适用专业：信息与计算科学 开设教研室：代数与几何教研室 一、课程性质与任务 1．课程性质：初等数论是信息与计算科学专业的一门专业必修课程。该课程是研究整数性质和方程（组）整数解的一门学科，也是一个古老的数学分支。初等数论是现代密码学的一门基础课程，也是高等学校信息安全专业的一门重要的基础课。初等数论在计算技术、通信技术等技术学科中也得到了广泛的应用。 2．课程任务：初等数论是信息与计算科学专业的一门重要的专业必修课，开设的目的在于使学生熟悉和掌握数论的基础知识，基本理论和基本的解题技能技巧，培养学生的逻辑思维能力，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系，为进一步学习信息安全领域的其它学科打下坚实的基础。 二、课程教学基本要求 初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。本课程的目的是简单介绍在初等数论研究中经常用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。 通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的关系。 1. 有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解和理解”三个层次要求；有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”三个层次要求。 2. 本课程开设在第5学期，总学时54，其中课堂讲授54学时，课堂实践0学时。教学环节以课堂讲授为主，研制电子教案和多媒体幻灯片以及CAI课件，在教学方法和手段上采用现代教育技术。 3. 成绩考核形式：期终成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作业、课堂提问、课堂讨论等）（30％）。成绩评定采用百分制，60分为及格。
华罗庚证明的哥德巴赫猜想与三素数定理、陈氏定理的比较
华罗庚证明的哥德巴赫猜想与三素数定理、陈氏定理的比 童信平 1742年6月7日，时任普鲁士派往俄罗斯的公使、数学业余爱好者哥德巴赫写 信给欧拉。同年的6月30日，欧拉回了信。这二封信确立了下面的二个哥德巴赫 猜想: 哥德巴赫猜想(A): “大于 4 的偶数可以写成二个奇素数相加。”又称为偶数哥 德巴赫猜想。简称“ 1+1” 哥德巴赫猜想(B): “大于7 的奇数可以写成三个奇素数相加。”又称为奇数哥 德巴赫猜想。 20 世纪20 年代，哈代和李特伍德二人进一步提出了这二个猜想的表法个数( 答案数量)的猜想:公式(1) 是偶数哥德巴赫猜想的表法个数(答案数量)的计算公式， 称为哈代-李特伍德猜想(A) 。公式(2) 是奇数哥德巴赫猜想的表法个数计算公式， 称为哈代-李特伍德猜想(B) 。参照素数定理的证明过程，需要通过公式(1a) 、(2a) 来证明公式(1) 、(2) ，条件是找到公式中前面的那些参变量和后面的0(1)并证 明，N??寸， 0(1)?0。 p-1N1 [1][2](1) r(n) ，2c(n) 【其中，c(n)(=c(N))= ? (1- ) ? 。】 222(p-1)p-2lnN 3?p?N p|N 3?p?N N[1][2](1a) r(n)(= r(N)) ，2c(N)(1+ 0(1)) 【要求找到前面的参变量和0(1) 并证明，N??寸，0(1)?0。】2221nN NNNl nInNNInIn N[3](1b) ①(N)= S(N)+ 0()=2 c(N) + 0() 1985 年，华罗庚指出，r(N)(= 15/25/222(lnN)(lnN)lnNlnN
人教版五年级下册《因数和倍数》说课稿
《因数和倍数》说课稿 一、说教材 《因数和倍数》是小学人教版课程标准实验教材五年级下册第二单元的内容，也是小学阶段“数与代数”部分最重要的知识之一。《因数和倍数》的学习，是在初步认识自然数的基础上，探究其性质。其中涉及到的内容属于初等数论的基本内容，相当抽象。在这一内容的编排上与以往教材不同，没有数学化的语言给“整除”下定义，而是在本课时通过乘法算式借助整除的模式na=b直接给出因数与位数的概念。这节课是因数与倍数的概念的引入，为本单元最后的内容，以及第四单元的最大公因数，最小公倍数提供了必须且重要的铺垫。 二、说教学目标： 知识、技能方面： 让学生理解倍数和因数的意义，掌握找一个数的倍数和因数的方法，发现一个数的倍数、因数中最大的数、最小的数及其个数方面的特征。 情感、价值方面： 让学生初步意识到可以从一个新的角度来研究非零自然数的特征及其相互关系，培养学生的观察、分析和抽象概括能力，体会教学内容的奇妙、有趣，产生对数学的好奇心。 三、说教学重点：理解倍数和因数的含义与方法 难点：掌握找一个数的倍数和因数的方法。 四、说教法学法：
1、遵循学生主体，老师主导，自主探究，合作交流为主线的理念，利用学生对乘法的运算理解概念。 2、小组合作讨论法。以学生讨论，交流，互相评价，促成学生对找一个数的因数和倍数的方法进行优化处理，提升。巩固学生方法表达的完整性，有效性，避免学生只掌握方法的理解，而不能全面的正确的表达。 五、说教学过程： （一）激发兴趣，引入新课：让学生针对12个正方形的摆法讨论，激发学生兴趣，引入数学中自然数和自然数之间也有各种关系，初步体会数和数的对应关系，既拉近了数学和生活的联系，又培养了学生的兴趣。 （二）情境体验，理解概念：分三个层次进行教学。（1）情境体验，初步感知倍数和因数的意义。让学生根据12个正方形的不同摆放方式写出算式，让学生充分经历了“由形到数、再由数到形”的过程，既为倍数和因数概念的提出积累了素材，又初步感知倍数和因数的关系，为正确理解概念提供了帮助。（2）在具体的乘法算式中，理解倍数和因意义。这样做不仅降低了难度，而且为学生的后续学习拓展了空间。根据算式介绍倍数和因数的意义，然后让学生根据其余两道乘法算式模仿的说一说，充分的读一读，在通过“能说4是因数，36是倍数吗？这一反例的教学，充分感受倍数和因数是相互依存的。 明确：倍数和因数表示的是两个数之间的关系，所以不能单说谁是倍数，谁是因数。
因式分解的16种方法
因式分解的16种方法 因式分解没有普遍的方法，初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法。而在竞赛上，又有拆项和添减项法，分组分解法和十字相乘法，待定系数法，双十字相乘法，对称多项式轮换对称多项式法，余数定理法，求根公式法，换元法，长除法，除法等。 注意三原则 1 分解要彻底 2 最后结果只有小括号 3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：()1332--=+-x x x x ） 分解因式技巧 1.分解因式与整式乘法是互为逆变形。 2.分解因式技巧掌握： ①等式左边必须是多项式；②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示； ③每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数； ④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止。 注：分解因式前先要找到公因式，在确定公因式前，应从系数和因式两个方面考虑。 基本方法 ⑴提公因式法 各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式。 如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。 具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的。 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“-”号，使括号内的第一项的系数成为正数。提出“-”号时，多项式的各项都要变号。 提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的 一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同。 口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶。 例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)； a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。 注意：把22a +21变成2(2a +4 1)不叫提公因式 ⑵公式法 如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法。 平方差公式：2a 2b -=(a+b)(a-b)； 完全平方公式：2a ±2ab ＋2b ＝()2b a ± 注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的
整数的整除性与同余(教案)
整数的整除性与同余（教案） 教学内容 整除与同余 教学目标 1 让学生初步学习整除与同余的概念及基本性质; 2 能够简单的应用整除与同余的知识处理一些初等数论问题. 教学过程 一、整数的整除性 1、整除的定义： 对于两个整数a 、b （b ≠0），若存在一个整数m ，使得b m a ?=成立，则称b 整除a ，或a 被b 整除，记作b|a. 2、整除的性质 1）若b|a,则对于任意非0整数m 有bm|am; 2) 若b|a ，c|b ，则c|a 3) 若b|ac ，而（a ，b ）=1（（a ，b ）=1表示a 、b 互质，则b|c ； 4) 若b|ac ，而b 为质数，则b|a ，或b|c ； 5) 若c|a ，c|b ，则c|（ma+nb ），其中m 、n 为任意整数（这一性质还可以推广到更多项的和） 6）连续整数之积的性质 任意两个连续整数之积必定是一个奇数与一个偶数之一积，因此一定可被2整除；任意三个连续整数之中至少有一个偶数且至少有一个是3的倍数，所以它们之积一定可以被2整除，也可被3整除，所以也可以被2×3=6整除 例1 （1987年北京初二数学竞赛题）x ，y ，z 均为整数，若11｜（7x+2y-5z ），求证：11｜（3x-7y+12z ）。 证明∵4(3x -7y+12z)+3(7x+2y-5z)=11(3x-2y+3z) 而 11｜11(3x-2y+3z),且 11｜(7x+2y-5z),∴ 11｜4(3x-7y+12z)又 (11,4)=1 ∴ 11｜(3x-7y+12z) 例2（1980年加拿大竞赛题）设72｜b 679a 试求a,b 的值。 解：∵72=8×9，且（8，9）=1，∴只需讨论8、9都整除b 679a 时a,b 的值。若8｜b 679a ，则8｜b 79，由除法可得ｂ＝２若9｜b 679a ，则9｜（a+6+7+9+2），得a=3 例3（1956年北京竞赛题）证明：1n 2 1n 23n 23-++对任何整数n 都为整数，且用3除时余2。
费马小定理 素数判定 蒙哥马利算法
费马小定理素数判定蒙哥马利算法(强烈推荐） 2009-11-07 12:42 费马小定理素数判定蒙哥马利算法 约定： x%y为x取模y，即x除以y所得的余数，当x §5 因式分解定理 §6 重因式 教学目的：把多项式分解为不可约因式的乘积 教学重点：不可约多项式 重因式 课时：4 教学方式：讲授式 教学内容： 一、不可约多项式 1、定义：数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为不可约多项式，如果)(x p 不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 低的多项式的乘积。 问：为什么一定要强调数域P 呢 例： 上不可分了 在复数域上不可分了在实数域上不可分了 在有理数域C i x i x x x R x x x Q x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224+-+-=++-=+-=- 注：1、不可约多项式)(x p ，的因式只有非零常数c 与自身的非零常数倍。 2、)(x p 与任意多项式)(x f 之间的关系只可能有两种关系：或者)(|)(x f x p ，或者1))(),((=x f x p 。事实上，若)())(),((x d x f x p =，那么)(|)(x p x d ，所以1)(=x d 或者)()(x cp x d =。 2、重要性质（定理5）： （1）)()()()(),()()(],[)(),(,)(x g x p x f x p x g x f x p x P x g x f x p 或则若对不可约若∈? （2）{}s i x f x p x f x f x f x p x p i s ,,2,1,)()(),()()()(,)(21 ∈对某个则若不可约 二、因式分解及唯一性定理 数域P 上每一个次数1≥的多项式)(x f 均可分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性是指，如果)(x f 有两个分解式 )()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s == 数论教案 §1整数的整除 带余除法 1 整数的整除 设a,b 是整数,且b ≠0,如果有整数q,使得a=bq,则称b 整除a,记为b|a,也称b 是a 的因数,a 是b 的倍数. 如果没有整数q,使得a=bq,则称b 不能整除a,记为b?a.例如 2|4, 4|-12, -5|15; 2?3， -3?22. 在中小学数学里,整除概念中的整数是正整数,今天讲的整除中的整数可正可负. 判断是否b|a 当a,b 的数值较大时,可借助计算器判别. 如果b 除a 的商数是整数,说明b|a;如果b 除a 的商不是整数,说明b?a. 例1判断下列各题是否b|a(1) 7|127 (2) 11|129 (3) 46|9529 (4) 29|5939 整除的简单性质 (1)如果c|b,b|a,那么c|a; (2)如果d|a,d|b,那么对任意整数m,n,都有d|ma+nb. (3)如果 12,,,n a a a L 都是m 的倍数,12,,,n q q q L 是任意整数,那么 1122n n q a q a q a +++L 是m 的倍数. (4)如果c|a,d|b,那么cd|ab 。 例如： 2|4,2|(-6),那么2|4+(-6),2|4-(-6). 2|4,3|(-6),那么2×3|4×(-6). 例2证明任意2个连续整数的乘积,一定可被2整除. 练习 证明任意3个连续整数的乘积,一定可被3整除. 2.带余除法 设a,b 是整数,且b>0,那么有唯一一对整数q,r 使得 a=bq+r,0≤r ＜ b . (1) 这里q 称为b 除a 的商,r 称为b 除a 的余数. 例如-5=3×(-2)+1 5=3×1+2 -5=(-3)×2+1 5=(-3)×(-1)+2 15=(-5)×(-3), -24=(-2)×12. 事实上,以b 除a 的余数也可以是负的.例如 -5=3×(-1)-2=3×(-2)+1. 求b 除a 的余数,也称为模运算(取余):mod.可用计算器进行. 具体操作:输入a-按mod(取余)键-输入b-按=键得出余数.如果b 除a 的余数=0,则b|a;如果b 除a 的余数≠0,则b?a. 例3 利用计算器求余数: (1) 7除127;(2)11除-129 ;(3)46除-9529;(4)-29除5939 奇数、偶数及性质 备注：纯手写代码，注释。 数论 1、素数 （1）暴力求解法 根据素数的概念，没有1和其本身没有其他正因数的数。所以只需枚举比这个数小的数，看能整除即可； C++代码： #include //去掉了偶数的判断，效率提高一倍 /*如果number整除以i，那么会得到两个的因数， 而较小的那个因数不会超过number的二分之一次方； 所以只需判断到number的平方根向上取整即可；*/ if(number%i); else return false; return true; } int main() { int sum; cin>>sum; if(determine(sum)) cout<<"YES!"; else cout<<"NO!"; return 0; } 时间复杂度：o(sqrt(n)/2); 空间复杂度：几乎没有； （2）一般线性筛法： 因为任何一个合数都能分解成几个素数相乘的形式； 所以可以做一个表，首先把2设为质数，然后将2的倍数设为合数，剩下的数就是新得到的质数，然后重复这个过程，直到筛到合 适的范围即可； 但是这个算法有缺陷： 1、同一个数可能被筛多次，这就产生了多余的步骤。 2、占用空间很大，如果使用bool数组的话，只能筛到1e9； 3、从1-n筛，不能从m-n开始筛； C++代码： #include 求素数的算法及其复杂度分析2008-04-05 17:46关于搜寻一定范围内素数的算法及其复杂度分析 ——曾晓奇 关于素数的算法是信息学竞赛和程序设计竞赛中常考的数论知识，在这里我跟大家讲一下寻找一定范围内素数的几个算法。看了以后相信 对大家一定有帮助。 正如大家都知道的那样，一个数 n 如果是合数，那么它的所有的因子不超过sqrt(n)--n的开方,那么我们可以用这个性质用最直观的方法 来求出小于等于n的所有的素数。 num = 0; for(i=2; i<=n; i++) { for(j=2; j<=sqrt(i); j++) if( j%i==0 ) break; if( j>sqrt(i) ) prime[num++] = i; //这个prime[]是int型，跟下面讲的不同。 } 这就是最一般的求解n以内素数的算法。复杂度是o(n*sqrt(n))，如果n 很小的话，这种算法（其实这是不是算法我都怀疑，没有水平。当然没 接触过程序竞赛之前我也只会这一种求n以内素数的方法。-_-~）不会耗时很多. 但是当n很大的时候，比如n=10000000时，n*sqrt(n)>30000000000,数量级相当大。在一般的机子它不是一秒钟跑不出结果，它是好几分钟都跑不 出结果，这可不是我瞎掰的，想锻炼耐心的同学不妨试一试~。。。。 在程序设计竞赛中就必须要设计出一种更好的算法要求能在几秒钟甚至一秒钟之内找出n以内的所有素数。于是就有了素数筛法。 （我表达得不清楚的话不要骂我，见到我的时候扁我一顿我不说一句话。。。） 素数筛法是这样的： 1.开一个大的bool型数组prime[]，大小就是n+1就可以了.先把所有的下标为奇数的标为true,下标为偶数的标为false. 2.然后： for( i=3; i<=sqrt(n); i+=2 ) { if(prime[i]) for( j=i+i; j<=n; j+=i ) prime[j]=false; } 3.最后输出bool数组中的值为true的单元的下标，就是所求的n以内的素数了。 原理很简单，就是当i是质(素)数的时候，i的所有的倍数必然是合数。如果i已经被判断不是质数了，那么再找到i后面的质数来把这个质 数的倍数筛掉。 一个简单的筛素数的过程：n=30。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 因式分解是中学数学中最重要地恒等变形之一,它被广泛地应用于初等数学之中,是我们解决许多数学问题地有力工具．因式分解方法灵活,技巧性强,学习这些方法与技巧,不仅是掌握因式分解内容所必需地,而且对于培养学生地解题技能,发展学生地思维能力,都有着十分独特地作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上,又有拆项和添项法,待定系数法,双十字相乘法,轮换对称法等． ⑴提公因式法①公因式：各项都含有地公共地因式叫做这个多项式各项地～. ②提公因式法：一般地,如果多项式地各项有公因式,可以把这个公因式提到括号外面,将多项式写成因式乘积地形式,这种分解因式地方法叫做提公因式法. am＋bm＋cm＝m 第六节 孙子定理及其应用举例 教学目的：1、熟练掌握孙子定理内容及证明； 2、会用孙子定理求解一次同余方程式组. 教学重点：用孙子定理求解一次同余方程式组. 教学课时：4课时 教学过程 在我国古代《孙子算经》中有： 今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问：物有几何？ 对于“物不知其数”问题，程大位在《直指算法统宗》(《算法统宗》1593年)一书中给出了如下的求解歌诀： 三人同行七十稀， 五树梅花卄一枝， 七子团圆正半月， 除百零五便得知. 如果我们设所求的物为x 个，则“物不知其数”等价于求解下面的同余式组 ?? ? ??≡≡≡)7(mod 2) 5(mod 3)3(mod 2x x x . 将上面的同余式组推广，我们可得 ??? ????≡≡≡) (mod )(mod )(mod 2211k k m a x m a x m a x (1) 本节主要讨论同余方程组(1)的解问题. 定理1(孙子定理) 设m 1, m 2, , m k 是正整数， (m i , m j ) = 1，1 ≤ i , j ≤ k ，i ≠ j . (2) 记 m = m 1m 2 m k ，M i = i m m ，1 ≤ i ≤ k ， 则存在整数M i '（1 ≤ i ≤ k ），使得 M i M i ' ≡ 1 (mod m i )， (3) M i M i ' ≡ 0 (mod m j )，1 ≤ j ≤ k ，i ≠ j ， (4) 并且 i k i i i M M a x '≡ ∑=1 0(mod m ) (5) 是同余方程组(1)对模m 的唯一解，即若有任意的x 使方程组(1)成立，则 x ≡ x 0 (mod m ). (6) 继《孙子算经》之后，南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数”的问题. 德国数学家高斯﹝K.F. Gauss.公元1777-1855年﹞于公元1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理. 公元1852年，英国基督教士伟烈亚士﹝Alexander Wylie 公元1815-1887年﹞将《孙子因式分解定理
初等数论期末复习资料
初等数论c++
求素数的算法及其复杂度分析
因式分解是中学数学中最重要恒等变形之一
初等数论教案9