北师大数学必修四新素养同步练习：第一章 角的概念的推广 含解析

[A基础达标]

1．下列说法正确的是()

A．终边相同的角都相等

B．钝角比第三象限角小

C．第一象限角都是锐角

D．锐角都是第一象限角

解析：选D.终边相同的角相差360°的整数倍，并不一定相等，故A错误；钝角并不一定比第三象限角小，如－135°是第三象限角，显然－135°比钝角小，故B错；锐角一定是第一象限角，但第一象限角未必都是锐角，故D正确，C错误．

2．某市绿化委员会为了庆祝国庆节，要在道路的两侧摆放花卉，其中一侧需摆放红、黄、紫、白四种颜色的花，并且按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白……的顺序摆放，那么第2 016盆花的颜色为()

A．红B．黄

C．紫D．白

解析：选D.因为按红、黄、紫、白、红、黄、紫、白…的顺序摆放，所以以4为一个周期，则2 016÷4＝504，所以第2 016盆花为白色．

3．集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°＜β＜180°}，则A∩B等于() A．{－36°，54°}

B．{－126°，144°}

C．{－126°，－36°，54°，144°}

D．{－126°，54°}

解析：选C.令k＝－1，0，1，2，则A，B的公共元素有－126°，－36°，54°，144°.

4．终边与坐标轴重合的角α的集合是()

A．{α|α＝k·360°，k∈Z}

B．{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}

C．{α|α＝k·180°，k∈Z}

D．{α|α＝k·90°，k∈Z}

解析：选D.终边落在x轴上的角α的集合为S1＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，终边落在y轴上的角α的集合为S2＝{α|α＝90°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边落在坐标轴上的角α的集合为S ＝S1∪S2＝{α|α＝k·90°，k∈Z}．

5．如果角α与角γ＋45°的终边重合，角β与角γ－45°的终边重合，那么角α与角β的关系为()

A．α＋β＝0°

B．α－β＝90°

C．α＋β＝2k·180°(k∈Z)

D．α－β＝2k·180°＋90°(k∈Z)

解析：选D.由条件知α＝γ＋45°＋k1·360°(k1∈Z)，

β＝γ－45°＋k2·360°(k2∈Z)．

将两式相减消去γ，得α－β＝(k1－k2)·360°＋90°，

即α－β＝2k·180°＋90°(k∈Z)．

6．今天是星期二，从今天算起，27天后的那一天是星期________，第50天是星期________．解析：每周有7天，27＝3×7＋6，故27天后的那一天是星期一；50＝7×7＋1，故第50天是星期二．

答案：一二

7．若角α与角β终边相同，则α－β＝________．

解析：根据终边相同的角的定义，可知α－β＝k·360°(k∈Z)．

答案：k·360°(k∈Z)

8．有一个小于360°的正角，这个角的6倍的终边与x轴的非负半轴重合，则这个角为________．

解析：由题意知，6α＝k·360°，k∈Z，

所以α＝k·60°，k∈Z.

又因为α是小于360°的正角，所以满足条件的角α的值为60°，120°，180°，240°，300°.

答案：60°，120°，180°，240°，300°

9．如图，写出阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．

解：阴影部分(包括边界)的角的范围是k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z，

所求集合为{α|k·360°≤α≤k·360°＋125°，k∈Z}，

因为－950°12′＝－3×360°＋129°48′，

所以－950°12′不是该集合中的角．

10．已知角β的终边在直线3x－y＝0上．

(1)写出角β的集合S；

(2)写出S中适合不等式－360°<β<720°的元素．

解：(1)因为角β的终边在直线3x－y＝0上，且直线3x－y＝0的倾斜角为60°，

所以角β的集合S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}．

(2)在S＝{β|β＝60°＋k·180°，k∈Z}中，

取k＝－2，得β＝－300°，

取k＝－1，得β＝－120°，

取k＝0，得β＝60°，

取k＝1，得β＝240°，

取k＝2，得β＝420°，

取k＝3，得β＝600°.

所以S中适合不等式－360°<β<720°的元素分别是－300°，－120°，60°，240°，420°，600°.

[B能力提升]

11．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是()

A．第一象限角B．第一、二象限角

C．第一、三象限角D．第一、四象限角

解析：选C.由题意知k·360°＜2α＜180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°＜α＜90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．

当k＝2n(n∈Z)时，n·360°＜α＜90°＋n·360°(n∈Z)，

所以α在第一象限；

当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°＜α＜270°＋n·360°(n∈Z)，

所以α在第三象限．故α在第一或第三象限．

12．如图，终边落在OA的位置上的角的集合是____________________；终边落在OB的位置上，且在－360°～360°内的角的集合是__________________．

解析：终边落在OA的位置上的角的集合是{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB的位置上的角的集合是{α|α＝315°＋k·360°，k∈Z}(或{α|α＝－45°＋k·360°，k∈Z})，取k＝0，－1，得α＝315°，－45°，所求的集合是{－45°，315°}．

答案：{α|α＝120°＋k·360°，k∈Z}{－45°，315°}

13．已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．

解：由题意可知，

α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，

因为α，β都是锐角，

所以0°＜α＋β＜180°.

取k＝1，得α＋β＝80°.①

因为α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.

因为α，β都是锐角，

所以－90°＜α－β＜90°.

取k＝－2，得α－β＝－50°.②

由①②，得α＝15°，β＝65°.

14.(选做题)如图，点A在半径为1且以原点为圆心的圆上，∠AOx＝45°.

点P从点A出发，按逆时针方向匀速地沿单位圆周旋转．已知点P在1 s

内转过的角度为θ(0°<θ<180°)，经过2 s到达第三象限，经过14 s后又回

到出发点A，求角θ并判定其终边所在的象限．

解：由题意，得14θ＋45°＝45°＋k·360°，k∈Z，

则θ＝k·180°

，k∈Z.

7

又180°<2θ＋45°<270°，

即67.5°<θ<112.5°，

则67.5°

<112.5°，k ∈Z ， 所以k ＝3或k ＝4.

故θ＝540°7或θ＝720°7

. 易知0°<540°7<90°，90°<720°7

<180°， 故角θ的终边在第一或第二象限．