第一节课 第24章相似三角形
三角形相似复习
24.1放缩与相似形
教学目标
能用图形的放缩运动观点理解相似形的意义，知道相似形的概念，理解相似多边形的意义. 教学重点及难点
通过对图形放缩运动的探究，认识放缩运动中的不变量，知道相似多边形的特征及相似形与全等形的关系.
一、
1．概念辨析
（1）图形的放大或缩小称为图形的放缩运动. （2）把形状相同的两个图形称为相似形.
（3）如果两个多边形是相似图形，那么这两个多边形的对应角相等，各对应边的长度成比例（或各对应边长度的比值是相等的） 2．例题分析
例题 如图，△ABC 与△DEF 是相似图形，且点A 与点D 对应，点B 与E 对应，点C 与点F 对应AB =1.7cm ,BC =2.9cm ,AC =3.7cm ,DE =3.4cm ,
50,70A B ??
∠=∠=求DF ,EF 的长度,并求∠C , ∠D , ∠E , ∠F 的度
数.
3．问题拓展
A
B
C
E
D
F
两个矩形、两个等腰三角形、两个正方形、两个等腰直角三角形一定是相似图形吗？为什么呢？
三、巩固练习
（一）、判断题：
1、两个直角三角形一定是相似图形……………………（）
2、两个等边三角形一定是相似图形……………………（）
3、有一个角是30度的等腰三角形一定是相似图形……（）
4、对于任意两个边数大于3的相似图形，它们的各对应边相等、对应
角也相等…………………………………………………（）
5、两个图形全等也可以说这两个图形式相似的………（）
二、某两地的实际距离是5000米，画在地图上的距离是20厘米，求图
距与实际距离之比是多少？
四、教学设计说明
本课目的是完成相似图形的概念教学；通过例题教学解决了如何寻找对应角和对应边及相关计算；理解放缩是对应角度不变化而对应各边的长
度“同样程度”地放缩.
24.2（1）比例线段
教学内容分析
本课主要由两部分组成.第一部分是有关线段比例的基本概念和性质及相关的计算.第二部分是比例的拓展性质.
教学目标设计
1.知道两条线段比的意义.
2.理解比例线段及其有关概念.
3.知道比例线段的性质.
4. 掌握合比和等比性质,能结合具体图形进行简单的比例线段变形. 教学重点及难点
重点:比例线段的概念及它的初步应用; 难点:合比、等比性质的运用.
2．思考
在学习新知识之前，我们先回想一下两条线段比的定义及求法，请同学们求下面两条线段的比.引例：如图：AB =50，BC =25，''20A B =, ''
10B C =. 求
'
'''
,AB A B
BC B C
.
D
A
B
C
[说明]两个数相除又叫做两数的比，记作a
b
或:a b ，其中a 叫比的前
项，b 叫比的后项. 解：∵50225
AB BC
=
=,
'''
'
20210
A B B C
=
=,
∴ C B B A BC
AB '
'''=
.
二、学习新课
1．概念辨析
在同一长度单位下，两条线段长度的比就是两条线段的比．
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =c
d
，
那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.线段d 是a 、
D '
B '
A '
C '
b 、
c 的第四比例项.
提问：比例的基本性质是什么？
——两个外项的积等于两个内项的积.
（1）请同学们想一想，由::a b c d =能否得到ad bc =？为什么？ 反过来，若a d=bc ，那么能否得到a ：b=c ：d 呢？ （2）由a ：b=b ：c 可得b 2= a c
由b 2= a c 可得a ：b=b ：c ，线段 b 叫a 、c 的比例中项. （3）由此可以看出：
利用比例的基本性质，可以实现比例式与等积式的互化. [说明]
（1）定义告诉我们判定四条线段成比例线段的方法： （其中的一个比例式）
?
=d c b a a 、b 、c 、d 四条线段成比例；
（2）定义告诉我们若已知四条线段成比例，则一定有比例式， a 、b 、c 、d 四条线段成比例d
c b
a =
?
（3）因为两条线段的比是它们的长度的比，实质上就是两个数的比.由于成比例的数具有比例的基本性质，所以成比例的四条线段也具有比例的基本性质. 2．例题分析
例题1 已知a 、b 、c 、d 是四条线段，它们的长度如下，试判断它们是不是成比例线段？
⑴a =1mm , b=0.8cm , c=0.02cm , d=4cm;
⑵7
11
=a
cm , b=0.4cm , c=40cm , cm
d
2
13
=.
[说明] 解题小结：
①统一单位；
②从大到小（从小到大）排列； ③通过求比例或求积判断.
⑴方法二、利用比例的基本性质 ∵dc=4×0.02=0.08, a b=0.1×0.8=0.08, ∴a b=dc,
∴a 、b 、c 、d 四条线段成比例. 第⑵小题让学生练习. 补充练习：
（1）已知线段a ＝30mm ，b ＝2cm ，c ＝4
5
cm ，d ＝12mm ，试判断a 、b 、
c 、
d 是否成比例线段.
（2）已知a 、b 、c 、d 是比例线段，其中a ＝6cm ，b ＝8cm ，c ＝24cm,则线段d 的长度是多长？
学生练习：
判断下列四条线段是否成比例
⑴ a =2, b=5 , c=15 , d=32; ⑵ a =2 , b=3, c=2 , d=3; ⑶ a =4, b=6 , c=5, d=10; ⑷ a =12, b=8, c=15, d=10. 3．问题拓展 合比性质：
引导学生运用类似的方法推导出比例的等比性质: 如果
a c
b d
=,那么
a c a c k
b d
b
d
+=
=
=+
等比性质可以推广到任意有限多个相等的比的情况： 如果,那么 . 证明：设 ；则
, ∴
.
等比性质的证明思路及思想非常重要，它是解决数学中连比问题的通法，希望同学们认真体会，务必掌握.
三、巩固练习
例题2（1）已知： ，求证： .
证明：方法一：∵ ，∴
方法二：∵
，∴
即11811,8
a a
b b
=∴=
（2）（拓展）已知：
()0a c b d
b
d
=
±≠ ，求证： .
证明：a c b
d
=
，a b c
d
∴
=
a c
b d
c
d ++∴
=
（1） 同理
a c
b d c
d
--=
（2）
由（1）÷（2）得：
a c
b d a c
b d
++=
--.
例题3 已知：
EC
AE DB
AD =
求证：（1）
EC
AC DB
AB =
；
（2）AE
AC AD
AB =
拓展练习（1）求
A
B
C
D
E
① ② ③
（2）求下列各式中的x . ① ②
③ ④
（3）把cd
ab 2
1=写成比例式，下列写法不正确的是
A 、b d c a 2=
B 、
b
d c
a =2 C 、
b
d c
a =
2 D 、
b
c d
a =
2
24.2比例线段（2）
教学目标
1. 会运用同高(或等高)的两个三角形的面积之比等于对应底边的比,进行三角形的面积比与线段比的转化.
2. 在比例线段性质的证明与运用过程中,体会方程思想的作用.
3. 会找出一条线段的黄金分割点，找出一个图形中的黄金分割点.
4.经历黄金分割点的探索过程，从中体会转化、分类讨论的思想方法. 教学重点及难点
重点：黄金分割的意义.
难点：熟练并灵活运用黄金分割的意义解题． 教学过程、
1．概念辨析
例题1 如图，线段AB 的长度是l ，点P 为线段AB 上的一点，
AB
AP AP
PB =，
求线段AP 的长.
如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP>PB ）两段，其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点AP 与AB 的比值为2
15-，近似值为0.618，这个比值称做黄金分割
数（简称黄金数）.
矩形的宽与长的比为黄金比，这样的矩形称之为黄金矩形.
2．例题分析
问题一
（1） 线段AB 有没有除点P 以外的黄金分割点呢？
（2） 点D 应满足怎样的条件？ （3） 在五角星中点D 是线段AB 的黄金分割点吗？ （4） 你还发现了什么？
[说明]（这四个问题是有层次性的，问题（1）的结论是显然的，但学生得到的方法却是多样的，有的是凭直觉，有的是利用轴对称得到的，有的是采用旋转方法得到的；问题（2）进一步强化了黄金分割的概念；有了问题1的铺垫，问题（3）、（4）的结论很容易得出，这时学生就真正体会到了五角星确实是一个完美的图形，进一步感受到了黄金分割的美.） 3．问题拓展
例题2 已知：如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AO D BO C
S S ??=
求证：OA
CO OB
DO =
.
证略 尝试：
（1）作顶角为036的等腰三角形ABC; （2）分别量出底边BC 与腰AB 的长度;
（3）作B ∠的平分线，交AC 于点D ，量出BCD ?的底边CD 的长度.
最后，分别求出ABC ?与BCD ?的底边与腰的长度的比值（精确到0.001）问：比值是多少？
所以我们把顶角为o 36的三角形称为黄金三角形.它具有如下的性质：
（1）
618
.0≈AB
BC ;
（2）设BD 是ABC ?的底角的平分线，则BCD ?也是黄金三角形，且点D 是线段AC 的黄金分割点;
（3）如再作C ∠的平分线，交BD 于点E ，则CDE ?也是黄金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形.
A P B
D O
A
B
D
C
巩固练习
已知点C 是线段AB 的黄金分割点AC ＝5
55-，且AC ＞BC ，求线段
AB 与BC 的长.
24.3（1）三角形一边的平行线
教学目标
1.通过对三角形中位线的概念与性质的分析,从特殊到一般，提出关于三角形一边平行线的研究问题；
2.经历运用分类思想针对图形运动的不同位置分别探究的过程,初步领略运用运动观点、化归和分类讨论等思想进行数学地思考的策略；
3.掌握三角形一边的平行线性质定理的应用. 教学重点及难点
三角形一边的平行线性质定理的理解和应用. 成比例的线段中，对应线段的确认. 教学过程
一、复习
1、同底等高的三角形的面积比是多少？ （1：1）
2、等底不等高的三角形的面积比是多少？（高之比）
3、等高不等底的三角形的面积比是多少？（底之比）
4、若cd
ab
=，（,,
a b c d 均不为零）则把这个乘积式化成比例式可以写成哪
几种形式： ， （ 让学生知道等积式转化到比例式可以有多种形式.）
5、三角形的中位线有什么性质？（平行于底边且等于底边的一半）
,,,,,,,.
a d a c c
b b d b
c
d b c a d a
c
b d
b a
d
c
a d
a a
c b
d
b
c
========
问题1：如图若D E ∥B C ，
1
A D
B D
=，能否得到
1A E E C
=?
问题
2：若将DE
向下平行移动能否得到 ？ 已知：A B C ?,直线l 与边AB 、AC 分别相交于点D 、E ，且l ∥B C .
求证： .
议一议：利用比例的性质，还可以得到哪些成比例线段？ 今后常用的有三个比例式： E
D
A
B
C
A
E
D
C
B
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E A D
A E D
B E C
=A D A E D B
E C
=
,
,
A D
A E A D A E D
B E
C
D B
E C
A B
A C
A B
A C
=
=
=
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
D
E
D
E
讨论：若DE 截在AB ,AC 的延长线上，或DE 截在BA ,CA 的延长线上，如上图，上面的三个比例式还成立吗？
三角形一边的平行线性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例.
符号语言：∵DE ∥BC , A D A E B D
E C
∴
=,
用?符号书写：DE ∥BC ? 强调在同一条线段上的比例关系. 2．例题分析
例题1如图,已知DE ∥BC,AB=15,AC=10,BD=6.求CE.
三、巩固练习：
1、在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 与AB 相交于D ，与AC 相交于E . （1）已知4,3,5===AE DB AD ，求EC 的长.
（2）已知5,4,12===DB EC AC
求AD
的长.
（3）已知=
BD AD ：3：2，10
=AC
，求AE 的长.
2、 如图， 在⊿ABC 中，DE ∥BC ， S ⊿BCD ：S ⊿ABC =1：4，若AC =2，求EC 的长.
A B
A D
B C
D E
=
A
B
C
D
E A
B
C
D
E
B O
E
F
A C D A
B
C D E
3、如图，已知，AB ∥CD ∥EF ，OA =14，AC =16，CE =8，BD =12，求OB 、DF 的长.
4、如图，在⊿ABC, DG ∥EC ,EG ∥BC ,求证：2AE =AB · AD.
A B
C
D E G
24.3（3）三角形一边的平行线
三角形一边的平行线性质定理推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.
1．证明定理推论
A
B
C
D
E
F
分析：
D E B C
中的DE 不在△ABC 的边BC 上，但从比例
A D A E A B
A C
=
可以看出，除DE 外，其它线段都在△ABC 的边上，因此我们只要将DE 移到BC 边上去得CF=DE ，然后再证明
A D C F A B
B C
=就可以了，这只要过D 作DF
∥AC 交BC 于F ，CF 就是平移DE 后所得的线段. 已知：DE ∥BC ，求证
BC
DE AC
AE AB
AD ==.
证明：作DF ∥EC 交BC 于F ,
DE
∥BC ,
∴四边形DFCE
为平行四边形，得FC =DE ,
∵DF ∥EC ,
∴AB AD BC FC
=
, ∴
D E A D B C
A B
=
.
DE
∥BC 得
A D A E A
B A C
=,
∴AC
AE AB
AD BC DE
=
=.
E
D
A
B C E
D
A
B C
如上图，当的延长线上时
的延长线上或在CA BA AC AB DE ,,结论同样成立
2．例题分析
例题1 如图，线段BD 与CE 相交于点A , DE ∥BC ,已知2BC =3ED ,AC =8, 求AE 的长.
A
D
B E
C
，
例题2 已知：如图CF BE ,是ABC ?的中线，交于点G
求证：
2
1==GC
GF GB
GE .
G
A
B C
E
F
重心的性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到对边中点的距
离的两倍.
例题3 已知：在Rt ABC ?中，∠0
90=C
，AE
BD AB ,,12=是中线交于G 点，
求
的长.
例题4 已知：在Rt ABC ?中，∠0
90
=C
，G
BC AB
,4,5==是重心，GH
AB
⊥于H ，求GH 的长.
重心要掌握三点：1、定义：三角形三条中线相交于一点，这个交点叫做
三角形的重心.
2、作法：两条中线的交点.
3 、性质：三角形的重心到一个顶点的距离，等于它
到对边中点的距离的两倍.
三、巩固练习
1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AE=2，EC=3，DE=4，求BC 的长.
2.如图：BD ∥AC ，CE=3，CD=5，AC=5，求BD 的长.
3.已知，△ABC 中，∠C=090，G 是三角形的重心，AB=8， 求：① GC 的长；
② 过点G 的直线MN ∥AB ，交AC 于M ，BC 于N ， 求MN 的长.
N
M G
C
A
B
G
B
C
A
4.已知，△ABC 中，G 是三角形的重心，AG ⊥GC ，AG=3，GC=4，求BG 的长.
E
B
C
A
D
B
E
A
C
D
第3题
第4题
24.3（3）三角形一边的平行线
教学内容分析
本节课是三角形一边平行线的判定定理，是第一节课性质定理的逆定理，第二节课的推论没有逆定理，学生很容易混淆. 教学目标
掌握三角形一边的平行线的判定定理； 能运用该定理证明有关两直线平行的问题. 教学重点及难点
三角形一边的平行线的判定定理；
三角形一边的平行线的判定定理的应用.
一、学习新课
1.证明定理 已知 ：
EC
AE DB
AD =，求证：DE ∥BC .
证明：联结DC EB , 作BG 垂直直线DE 于点G ， 作CH 垂直直线DE 于点H . 则：
,EAD EAD ED B ED C EAD EAD ED B
ED C
ED B ED C
S S AD AE
S D B S EC AD AE D B
EC S S S S S S ??????????===
∴=∴=
∴CH
BG
=
∵B G ∥C H
G H
A
B C
D
E
∴四边形GBCH 是平行四边形 ∴∥BC 根据比例的基本性质
EC
AE DB
AD =，
AC
EC AB
DB AC
AE AB
AD ==,.
知其一可推其二.所以，以上三个比例式知道任何一个都可以推出
DE
∥BC .
三角形一边平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
E
D
A
B
C
A
E
D C
B
如果D ,E 分别在AB ,AC 的延长线上时，或在反向延长线上时，以上结论同样成立.
三角形一边的平行线判定定理推论 如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边.
A B
C
D
E
如图，
AB
AD BC
DE =
能否推出DE ∥BC ，为什么？（不能）
2．例题分析
1.已知：如图，点D ,F 在ABC ?的边AB 上，点E 在边AC 上，且DE //BC
AB
AD AD
AF = 求证： E F ∥DC .
B
C
D
E
F
A
2. 如图，已知：AC ∥A ′C ′，BC ∥B ′C ′;
求证：AB ∥A ′B ′.
把上图中的四边形OABC 绕O 点旋转180°得下图，而已知的条件不变，结论还成立吗？(用口答形式)
三、巩固练习
判断题:
1.如图（1），在△ABC 中,点D 与点E 分别在AB 、AC 上, AD =3cm, DB =4cm,AE =1.8cm,CE =
2.4cm,则DE //BC. ( ) 2.如图（2），已知:BD 与EC 相交于点A ,AB =8,AE =6,AC =12,AD =9. 则DE ∥BC . ( )
3.如图(3),若
DF
DE AC
AB =,则L 1//L 2//L
3. ( )
图（1） 图（2） 图（3）
第1题是正确的，因为4
3=
=CE AE DB
AD
，所以DE ∥BC .第2题是错误的，因
为,
9
8=
AD
AB
而,
6
12=
AE
AC
则AE
AC AD
AB
≠
；所以DE 与BC 不平行.第3题是错误的，
因为这个定理是判定与三角形的一边平行的判定定理.
24.3三角形一边的平行线（4）
教学内容分析
本节课是三角形一边平行线的最后两个定理，而平行线分线段成比例定理的图形有很多变形，这节课我把几种变形列举出来，让学生学会识图.
教学目标
本节课主要讲平行线分线段成比例定理和它的推论的证明和应用，要使学生学会并且不要和前面的定理混淆. 教学重点及难点
平行线分线段成比例定理及其合适的定理解决问题.
1．平行线分线段成比例定理：
两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例.
F
E D C
B A F
E
D C
B A
用符号语言表示：
AD ∥BE ∥CF, ,,A B D E B C E F A B D E B C
E F
A C
D F
A C
D F
∴===.
2．平行线等分线段定理：两条直线被三条平行的直线所截，如果在一直线上所截得的线段相等，那么在另一直线上所截得的线段也相等.
用符号语言表示：AD BE C F AB BC
D E D F ?
?=?=?
.
熟悉定理的几种变形
井字型 A 字型 X 字型 倒 A 字型 畸形(O 无用)
O
人教版九年级数学下册第二十七章相似三角形知识点总结无答案
相似三角形基本知识 知识点一：相似图形 1.__________________的两个图形说成是相似的图形。 注意：（1） 我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形______________得到的．（2）全等形是相似图形的一种____________． 2.相似多边形：如果两个多边形 _____________,对应角__________，对应边___________________,则这两个多边形是相似多边形。________________________记为相似比。 3.相似多边形的性质：对应角_________，对应边______________________。 注意：当两个相似的多边形是全等形时，他们的相似比是_________. 练习1、在比例尺为1：8000000的“中国政区”地图上，量得甲市与乙市之间的距离是6.5cm ，则这两市之间的实际距离为 km ； 知识点二：平行线分线段成比例定理 (一)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比. 已知l 1∥l 2∥l 3 ,可得 _____________,_______________，_________________ 2.推论:平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长 线)所得的对应线段成比例. ∵ DE ∥BC ∴_______________________________. 3、判定三角形相似定理:平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 即： ∵ DE ∥BC ∴________________. 练习1、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点， 连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形 （ ） A 1对 B 2对 C 3对 D 4对 练习2、如图，△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，下列结论不正确的是（ ） A.BC=2DE B. △ADE ∽△ABC C. AC AB AE AD = D. ADE ABC S S ??=3 练习3、在菱形ABCD 中，E 是BC 边上的点，连接AE 交BD 于点F, 若EC =2BE , 则 FD BF 的值是（ ） A.21 B.31 C.41 D.51 8、如图小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离 网6米的位置上，则球拍击球的高度h 为（ ） A C D F E 0.8 h
初中数学相似三角形练习题附参考答案
经典练习题相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD 的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC．
求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD． 5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN．
6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明． 7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC=_________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论．
8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm．某一时刻，动点M从A点出发沿AB 方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的 （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似若存在，求t的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．
相似三角形证明的方法与技巧
相似三角形的判定和应用 一、判定相似三角形的基本思路: 1.找准对应关系：两个三角形的三个对应顶点、三个对应角、三条对应边不能随便写，一般说来，相等的角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角。 2.记住五个判定定理：判定相似三角形依据是五个定理，即预备定理、判定定理一、判定定理二、判定定理三、直角三角形相似的判定定理。 二、相似形的应用： 1.证比例式； 2.证等积式； 3.证直线平行； 4.证直线垂直； 5.证面积相等； 三、经典例题： 例1.如图，在ΔABC 中，D 是BC 的中点，E 是AC 延长线上任意一点，连接DE 与AB 交于F ，与过A 平行于BC 的直线交于G 。 求证： CE AE BF AF = . 变式1：如图，在ΔABC 中，A ∠与B ∠互余，CD ⊥AB ，DE//BC ，交AC 于点E ，求证： AD:AC=CE:BD. 例2：如图：已知梯形ABCD 中，AD//BC ，?=∠90ABC ，且BD ⊥CD 于D 。 求证：①DCB ABD ??~ ；②BC AD BD ?=2
例3.如图，在ΔABC 中，?=∠90BAC ，M 是BC 的中点，DM ⊥BC 交BA 的延长线于D ，交AC 于E 。 求证：ME MD MA ?=2 例4.已知：在ΔABC 中，AD 是BAC ∠的平分线，点E 在AD 上，点F 在AD 的延长线 上，且 AC AB DF ED = 求证：BE//FC 。 例5.如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别为AB 、AC 上一点，切BE=BF ，BP ⊥CE ，垂足为P 。 求证：PD ⊥PF.
初三数学相似三角形练习题集
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相似三角形练习题 1．如图所示，给出下列条件： ①；②；③；④． 其中单独能够判定的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，已知，那么下列结论正确的是（） A．B．C．D． 3. 如图，已知等边三角形ABC的边长为2，DE是它的中位线，则下面四个结论： （1）DE=1，（2）△CDE∽△CAB，（3）△CDE的面积与△CAB的面积之比为 1：4.其中正确的有：（） A．0个B．1个C．2个D．3个 4.若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为１∶2，则△ABC与△DEF的周长比为（） A．1∶4B．1∶2C．2∶1D．１∶ 5.如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（） D B C A N M O
A．只有1个 B．可以有2个 C．有2个以上但有限 D．有无数个 6.如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，M、N分别是边AB、AD 的中点，连接OM、ON、MN，则下列叙述正确的是（） A．△AOM和△AON都是等边三角形 B．四边形MBON和四边形MODN都是菱形 C．四边形AMON与四边形ABCD是位似图形 D．四边形MBCO和四边形NDCO都是等腰梯形 7.如图，在方格纸中，将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置，与三角形乙拼成一个矩形，那么，下面的平 移方法中，正确的是（） A．先向下平移3格，再向右平移1格 B．先向下平移2格，再向右平移1格 C．先向下平移2格，再向右平移2格 D．先向下平移3格，再向右平移2格 8.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（） A．12.36cm B.13.6cm C.32.36cm D.7.64cm 9.小明在一次军事夏令营活动中，进行打靶训练，在用枪瞄准目标点B 时，要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上，如图4所示，在射击时，小明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′，若OA=0.2米，OB=40米， AA′=0.0015米，则小明射击到的点B′偏离目标点B的长度BB′为 （） A．3米B．0.3米C．0.03米D．0.2米 10、在比例尺为1︰10000的地图上，一块面积为2cm2的区域表示的实际面积是（）
初中数学相似三角形六大证明技巧(推荐)
相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法 相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A”型与“反X”型.
“旋转相似”与“一线三等角” 反A 型与反X 型 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =?
通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 技巧二：等线段代换 技巧三：等比代换 技巧四：等积代换 技巧五：证等量先证等比 技巧六：几何计算 【例1】 如图，平行四边形ABCD 中，E 是AB 延长线上的一点，DE 交BC 于F ，求证： DC CF AE AD =． A B C F D E 【例2】 如图，ABC △中，90BAC ∠=?，M 为BC 的中点，DM BC ⊥交CA 的延长线于 D ，交AB 于 E ．求证：2AM MD ME =? C B A E D M 【例3】 如图，在Rt ABC △中，AD 是斜边BC 上的高，ABC ∠的平分线BE 交AC 于E ， 交AD 于F ．求证： BF AB BE BC =． D B A C F E 技巧一：三点定型 比例式的证明方法
第二十四章 相似三角形概念总汇
第二十四章 相似三角形 我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形. 相似的图形，它们的大小不一定相同，大小相同的两个相似形，就是全等形. 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例. 当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值都是1. 一般来说，两个数或两个同类的量a 和b 相除，叫做a 与b 的比，记作a :b (或b a )，其中 b ≠0. a 除以b 所得的商叫做比值.如果a :b 的比值等于k ，那么a =kb . 如果a :b =c :d (或d c b a =)，那么就说a 、b 、c 、 d 成比例. 两条线段的长度的比叫做两条线段的比. 在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 如果a 、b 、c 、d 是比例线段，即d c b a =，那么线段a 、 d 是比例外项，线段b 、c 是比例内项. 如果c b b a =(或b 2=a c )，那么b 叫做a 、c 的比例中项. 比例线段的基本性质: ①两个外项的积等于两个内项的积. 即如果d c b a =，那么ad=bc . ②如果 d c b a =，那么c d a b =，d b c a =，b d a c =，…. ③合比性质:如果d c b a =，那么d d c b b a +=+，d d c b b a －－= ④等比性质: 如果d c b a ==k ，那么k d c b a d b c a ===++ 等比性质推论：如果k n m f e d c b a ===== ，那么k n m f e d c b a n f d b m c b a ======++++++++ 如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB (AP >PB )两段，其中AP 是AB 和PB 的比例中项(即AP 2 =AB ·PB )，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点.较长的线段PA =215-AB ，较短的线段PB = 253-AB .其中215-称为黄金分割数(简称黄金数)，2 15-是一个无理数，在应用时常取它的近似值0.618. 三角形的三条中线交于一点，这个交点叫三角形的重心. 三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点距离的2倍. 三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例. 已知：如图，△ABC 中，DE//BC 求证：AC AE AB AD = 三角形一边的平行线性质定理 推论 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 已知：如图，△ABC 中，DE//BC 求证：AC AE BC DE AB AD == 三角形一边的平行线判定定理 如果一条直线截三角形的两边或两边的延长线(这两边的延长C B E D A A B C D E E D C B A C B E D A A B C D E E D C B A
相似三角形练习题精选
# 相似三角形练习题精选 相似三角形 例题： 1、（2007杭州）如图，用放大镜将图形放大，应该属于（ ） Ａ．相似 Ｂ．平移 Ｃ．对称 Ｄ．旋转 # 2、(2008天津)如图，已知△ABC 中，EF ∥GH ∥IJ ∥BC ，则图中相似三角形共有 对． 跟踪练习： 1、（2007韶关）如图1，CD 是Rt △ABC 斜边上的高，则图中相似三角形的对数有（ ） 对 对 C. 2对 对 2、（2007上海）如图2，E 为平行四边形ABCD 的边BC 延长线上一点，连结AE ，交边CD 于点F ．在不添加辅助线的情况下，请写出图中一对相似三角形： ． 相似三角形的判定 例题： 1.下列各组图形有可能不相似的是( ). A ．各有一个角是50°的两个等腰三角形 B ．各有一个角是100°的两个等腰三角形 C ．各有一个角是50°的两个直角三角形 D ．两个等腰直角三角形 ~ 2、（2007永州）如图，添上条件：_______，则△ABC ∽△ADE 。 3. （2009新疆）如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与ABC △相似的是（ ） 4．（2010临沂） 如图，12∠=∠，添加一个条件使 得ADE ?∽ACB ? . 跟踪练习： 1．（2010陕西西安）如图，在ABC ?中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使ADC ?与 ~ ABC ?相似，应添加的条件是 。 （只需写出一个条件即可） 2、（2008 江西南昌）下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（ ） 2 1E D C B A A. 图1 D C B A A B D \ F
相似三角形证明技巧_专题
相似三角形解题方法、技巧、步骤、辅助线解析 一、相似、全等的关系 全等和相似是平面几何中研究直线形性质的两个重要方面，全等形是相似比为1的特殊相似形，相似形则是全等形的推广．因而学习相似形要随时与全等形作比较、明确它们之间的联系与区别；相似形的讨论又是以全等形的有关定理为基础． 二、相似三角形 (1)三角形相似的条件： ①；②；③. 三、两个三角形相似的六种图形： 只要能在复杂图形中辨认出上述基本图形，并能根据问题需要舔加适当的辅助线，构造出基本图形，从而使问题得以解决. 四、三角形相似的证题思路：判定两个三角形相似思路： 1）先找两对内角对应相等(对平行线型找平行线)，因为这个条件最简单； 2）再而先找一对内角对应相等，且看夹角的两边是否对应成比例； 3）若无对应角相等，则只考虑三组对应边是否成比例； 找另一角两角对应相等，两三角形相似 找夹边对应成比例两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找夹角相等两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 找第三边也对应成比例三边对应成比例，两三角形相似 找一个直角斜边、直角边对应成比例，两个直角三角形相似 找另一角两角对应相等，两三角形相似 找两边对应成比例判定定理1或判定定理4 找顶角对应相等判定定理1 找底角对应相等判定定理1 找底和腰对应成比例判定定理3 e)相似形的传递性若△1∽△2，△2∽△3，则△1∽△3 五、“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不 同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。 有些学生在寻找条件遇到困难时，往往放弃了基本规律而去乱碰乱撞，乱添辅助线，这样反而使问题复杂化，效果并不好，应当运用基本规律去解决问题。 例1、已知:如图,ΔABC中,CE⊥AB,BF⊥AC. b)己知两边对应成比 c)己知一个直 角 d)有等腰关 a)已知一对等
初中数学相似三角形专项练习题
初中数学相似三角形专项练习题 1 / 3 第18.1课时 相似三角形 一．填空题（基础） 1． 如图，ABC ?∽MNP ?，则它们的对应角分别是A ∠与∠___M__,∠B 与∠___N__， C ∠与∠___P__；对应边成比例的是________=_________=_________;若AB =2.7cm,cm MN 9.0=,cm MP 1=,则相似比=_________,=BC _________cm . B A G F E D C B A N P M （第2题） （第1题） 2． 如图,四边形ABCD 中,AD ∥EF ∥BC ,AC 交EF 于G .图中能相似的三角形共有 _______对,它们分别是_________、___________,小明通过这两对相似三角形推出了比例 式： AB BE AD FG =，对不对，为什么？ 二．填空题 3． 如图，ABC ?和DEF ?的三边长分别为7、2、6和12、4、14，且两三角形相似，则A ∠与∠_____,∠B 与∠_____，C ∠与∠_____， ) ()()(AC DF AB ==。 （第5题） （第4题） （第3题） C G F E D C B A F E B A E F D C B A 4． 如图，ABC ?∽AEF ?，写出三对对应角：_________=_________,_________=________, ________=_________,并且 ) () ()()()(==AF ,若ABC ?与AEF ?的相似比是3：2，cm EF 8=，则________=BC 。 5． 如图，ABC ?中，点D 在BC 上，EF ∥BC ，分别交AB 、AC 、AD 于点E 、F 、 G ， 图中共有______对相似三角形，它们是______________________________________.
沪教新版九年级上学期 中考题单元试卷：第24章 相似三角形(08)
沪教新版九年级（上）中考题单元试卷：第24章相似三角形（08）一、选择题（共11小题） 1．如图，AB∥CD，＝，则△AOB的周长与△DOC的周长比是（） A．B．C．D． 2．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，且，则S△ADE：S四边形BCED的值为（） A．1：B．1：2C．1：3D．1：4 3．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD相交于O，AD＝1，BC＝4，则△AOD 与△BOC的面积比等于（） A．B．C．D． 4．如图，∠BAC＝∠DAF＝90°，AB＝AC，AD＝AF，点D、E为BC边上的两点，且∠DAE＝45°，连接EF、BF，则下列结论： ①△AED≌△AEF；②△ABE∽△ACD；③BE+DC＞DE；④BE2+DC2＝DE2，其中正确 的有（）个．
A．1B．2C．3D．4 5．如图，在?ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S ＝4：25，则DE：EC＝（） △ABF A．2：5B．2：3C．3：5D．3：2 6．如图，Rt△ABC中，∠A＝90°，AD⊥BC于点D，若BD：CD＝3：2，则tan B＝（） A．B．C．D． 7．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BC＝2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿着A→B→A的方向运动，设E点的运动时间为t秒（0≤t＜6），连接DE，当△BDE是直角三角形时，t的值为（） A．2B．2.5或3.5 C．3.5或4.5D．2或3.5或4.5 8．已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻的两条平行直线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB＝4，BC＝6，则tanα的值等于（）
相似三角形六大证明技巧(提高类技巧训练)
回顾相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5. 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 模型一：反A 型： 如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) 试一试写出具体证明过程 模型二：反X 型： 如图，已知角∠BAO =∠CDO ，若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . 试一试写出具体证明过程 应用练习： 1. 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ， ∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB 相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法之反A 型与反X 型 O F E C B A E D C B A O D C B A
2.已知在 △ABC 中 ,∠ABC =90°,AB =3,BC =4. 点 Q 是线段 AC 上的一个动点 , 过点 Q 作 AC 的垂线交线段 AB ( 如图 1) 或线段 AB 的延长线 ( 如图 2) 于点 P . (1)当点 P 在线段 AB 上时 , 求证： △APQ ∽ △ABC ； (2)当 △PQB 为等腰三角形时，求 AP 的长。 模型三：射影定理 如图已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，，2 H C H AH B =?，试一试写出具体证明过程 模型四：类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证：BD AB BC AC =，试一试写出具体证明过程 相似三角形证明方法之射影定理与类射影 C A B H A B C D
相似三角形性质及其应用练习题
相似三角形性质及其应用 1.掌握相似三角形对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方等性质，能应用他们进行简单的证明和计算。 2.掌握直角三角形中成比例的线段：斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项；每一条直角边是则条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项，会用他们解决线段成比例的简单问题。 考查重点与常见题型 1． 相似三角形性质的应用能力，常以选择题或填空形式出现，如： 若两个相似三角形的对应角的平分线之比是1∶2，则这两个三角形的对应高线之比是---------，对应中线之比是------------，周长之比是---------，面积之比是-------------，若两个相似三角形的面积之比是1∶2，则这两个三角形的对应的角平分线之比是----------，对应边上的高线之比是-------- 对应边上的中线之比是----------，周长之比是--------------， 2． 考查直角三角形的性质,常以选择题或填空题形式出现，如： 如图，在Rt ΔABC 中，∠ACB=90°, CD ⊥AB 与D ，AC=6，BC=8， 则AB=--------，CD=---------， AD=---------- ，BD=-----------。， 3． 综合考查三角形中有关论证或计算能力，常以中档解答题形式出现。 预习练习 1． 已知两个相似三角形的周长分别为8和6，则他们面积的比是（ ） 2． 有一张比例尺为1 4000的地图上，一块多边形地区的周长是60cm ，面积是250cm 2，则这个地区的实际周长-------- m ，面积是----------m 2 3． 有一个三角形的边长为3，4，5，另一个和它相似的三角形的最小边长为7，则另一个 三角形的周长为----------，面积是------------- 4． 两个相似三角形的对应角平分线的长分别为10cm 和20cm ，若它们的周长的差是60cm ， 则较大的三角形的周长是----------，若它们的面积之和为260cm 2，则较小的三角形的面积为 ---------- cm 2 5． 如图，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，若BE=4，DE=9,则矩形的面积是----------- 6.已知直角三角形的两直角边之比为12，则这两直角边在 斜边上的射影之比------------- 考点训练 1．两个三角形周长之比为95，则面积比为（ ） （A ）9∶5 （B ）81∶25 （C ）3∶ 5 （D ）不能确定 2．Rt ΔABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，DE ⊥AC 于E ，那么和ΔABC 相似但不全等的三角形共有（ ） (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个 3．在Rt ΔABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB 于D ，下列等式中错误的是（ ） （A ）AD ? BD=CD 2 （B ）AC ?BD=CB ?AD （C ）AC 2 =AD ?AB （D ）AB 2 =AC 2 +BC 2 4．在平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，EF 交AC 于G ，交AD 于F ，AF FD =13 则CG GA 的比值 是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 5．在Rt ΔABC 中，AD 是斜边上的高，BC=3AC 则ΔABD 与ΔACD 的面积的比值是（ ） （A ）2 （B ）3 （C ）4 （ D ）8
经典相似三角形练习题附参考答案(供参考)
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 相似三角形 一．解答题（共30小题） 1．如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC． 2．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，点F在BC上，连DF与AB的延长线交于点G．（1）求证：△CDF∽△BGF； （2）当点F是BC的中点时，过F作EF∥CD交AD于点E，若AB=6cm，EF=4cm，求CD的长． 3．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC． 求证：△ABC∽△FDE． 4．如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD．5．已知：如图①所示，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且点B，A，D在一条直线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点． （1）求证：①BE=CD；②△AMN是等腰三角形； （2）在图①的基础上，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°，其他条件不变，得到图②所示的图形．请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立； （3）在（2）的条件下，请你在图②中延长ED交线段BC于点P．求证：△PBD∽△AMN． 6．如图，E是?ABCD的边BA延长线上一点，连接EC，交AD于点F．在不添加辅助线的情况下，请你写出图中所有的相似三角形，并任选一对相似三角形给予证明．7．如图，在4×3的正方形方格中，△ABC和△DEF 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上． （1）填空：∠ABC= _________ °，BC= _________ ； （2）判断△ABC与△DEC是否相似，并证明你的结论． 8．如图，已知矩形ABCD的边长AB=3cm，BC=6cm． 某一时刻，动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动；同时，动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动，问： （1）经过多少时间，△AMN的面积等于矩形ABCD面积的？ （2）是否存在时刻t，使以A，M，N为顶点的三角形与△ACD相似？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 9．如图，在梯形ABCD中，若AB∥DC，AD=BC，对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形．（1）列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况，并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少；（注意：全等看成相似的特例） （2）请你任选一组相似三角形，并给出证明． 10．如图△ABC中，D为AC上一点，CD=2DA，∠BAC=45°，∠BDC=60°，CE⊥BD于E，连接AE． （1）写出图中所有相等的线段，并加以证明； （2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对； 若没有，请说明理由； （3）求△BEC与△BEA的面积之比． 11．如图，在△ABC中，AB=AC=a，M为底边BC上的任意一点，过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P，交AB于Q． （1）求四边形AQMP的周长； （2）写出图中的两对相似三角形（不需证明）； （3）M位于BC的什么位置时，四边形AQMP为菱形并证明你的结论． 12．已知：P是正方形ABCD的边BC上的点，且BP=3PC，M是CD的中点，试说明：△ADM∽△MCP． 13．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，AB=BC=8，CD=10． （1）求梯形ABCD的面积S； （2）动点P从点B出发，以1cm/s的速度，沿B?A?D?C方向，向点C运动；动点Q从点C出发，以1cm/s的速度，沿C?D?A方向，向点A运动，过点Q作QE⊥BC 于点E．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．问： ①当点P在B?A上运动时，是否存在这样的t，使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由； ②在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由； ③在运动过程中，是否存在这样的t，使得以P、D 、Q 为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的t 的值；若不存在，请说明理由． 14．已知矩形ABCD，长BC=12cm，宽AB=8cm，P、Q分别是AB、BC上运动的两点．若P自点A出发，以1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动，问经过几秒，以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似？
第27章_相似三角形测试题(人教版)
A B E 第 27 章 相似三角形测试题 (满分：120 分) 班级： 姓名： 成绩： 一、选择题:（每小题 3 分共 30 分） 1、下列命题中正确的是 （ ） ①三边对应成比例的两个三角形相似 ②二边对应成比例且一个角对应相等的两个三角形相 似 ③一个锐角对应相等的两个直角三角形相似 ④一个角对应相等的两个等腰三角形相似 A 、①③ B 、①④ C 、①②④ D 、①③④ 2、用一个 2 倍的放大镜照一个ΔABC，下列命题中正确的是（ ） A.ΔABC 放大后角是原来的 2 倍 B.ΔABC 放大后周长是原来的 2 倍 C.ΔABC 放大后面积是原来的 2 倍 D.以上的命题都不对 3、如图，D 、E 分别是 AB 、AC 上两点，CD 与 BE 相交于点 O ，下列条件中不能使ΔABE 和ΔACD 相似的是（ ） A. ∠B=∠C B. ∠ADC=∠AEB C. BE=CD ，AB=AC D. AD∶AC=AE∶AB 4、如图，E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 的延长线上的一点， 连结 AE 交 CD 于 F ，则图中共有相似三角形（ ） A ． 1 对 B ． 2 对 C ． 3 对 D ． 4 对 5、在矩形 ABCD 中，E 、F 分别是 CD 、BC 上的点， 若∠AEF=90°，则一定有 （ ） A ΔADE∽ΔAEF B ΔECF∽ΔAEF C ΔADE∽ΔECF D ΔAEF∽ΔABF C 、 0.1 ㎝，0.2 ㎝，0.3 ㎝，0.4 ㎝ D 、 12 ㎝，16 ㎝，45 ㎝，60 ㎝ 9、在相同时刻，物高与影长成正比。如果高为 1.5 米的标杆影长为 2.5 米，那么影长为 30 米的旗杆的高为( ) A 20 米 B 18 米 C 16 米 D 15 米 10、如图所示，△ABC 中，AD⊥BC 于 D ，对于下列中的每一个条件 ①∠B ＋∠DAC ＝90° ②∠B ＝∠DAC ③CD ：AD ＝AC ：AB ④AB 2 ＝BD ·BC 其中一定能判定△ABC 是直角三角形的共有( ) A ．3 个 B ．2 个 C ．1 个 D ．0 个 二、填空题: （每小题 4 分，共 32） 11、已知 x = 3 ,则 x - y = . y 4 y 12、两个相似三角形的面积之比为 4:9，则这两个三角形周长之比为 ； 13、如图，在△ABC 中，D 为 AB 边上的一点，要使△ABC～△AED 成立，还需要添加一个条件为 ； 14、下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有的等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形 都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正确的是 ； 15、等腰三角形 ⊿ABC 和⊿DEF 相似，其相似比为 3：4，则它们底边上对应高线的比为 ； 16、如图，为了测量水塘边 A 、B 两点之间的距离，在可以看到的 A 、B 的点 E 处，取 AE 、BE 延长线上的 C 、D 两点,使得 CD∥AB，若测得 CD ＝5m ，AD ＝15m ，ED=3m,则 A 、B 两点间的距离为 ； A D 6、如图， ?ADE ∽ ?ABC ，若 AD = 2, BD = 4 ，则?ADE 与?ABC 的相似比是（ ） E A ．1：2 B ．1：3 C ．2：3 D ．3：2 7、一个三角形三边的长分别为 3，5，7，另一个与它相似的三角形的最长 B C 第 13 题 C D 第 16 题 第 17 题 第 18 题 边是 21，则其它两边的和是（ ） A ．19 B ．17 C ．24 D ．21 8、下列各组线段中，能成比例的是（ ） A 、 1 ㎝，3 ㎝，4 ㎝，6 ㎝ B 、 30 ㎝，12 ㎝，0.8 ㎝，0.2 ㎝ 17、如图，矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于 E ，若 BE=4，DE=9,则矩形的面积是 . 18、如图，这是圆桌正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射到桌面后在地面上形成（圆形） 的示意图. 已知桌面直径为 1.2 米，桌面离地面 1 米. 若灯泡离地面 3 米，则地面上阴影部分的面积为 （结果保留π） 第 6 题
相似三角形六大证明技巧
相似三角形的判定方法总结： 1. 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2. 三边成比例的两个三角形相似.（SSS ） 3. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. (SAS) 4. 两角分别相等的两个三角形相似.(AA) 5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似(HL) 相似三角形的模型方法总结： “反A ”型与“反X ”型. 示意图 结论 E D C B A 反A 型： 如图，已知△ABC ，∠ADE =∠C ，则△ADE ∽△ACB （AA ），∴AE · AC =AD ·AB. 若连CD 、BE ，进而能证明△ACD ∽△ABE (SAS) O D C B A 反X 型： 如图，已知角∠BAO =∠CDO ，则△AOB ∽△DOC （AA ），∴OA ·OC =OD ·OB . 若连AD ，BC ，进而能证明△AOD ∽△BOC . 示意图 结论 A B C D 类射影： 如图，已知△ABC ，∠ABD =∠C ，则△ABD ∽△ACB （AA ），∴2AB =AD · AC. C A B H 射影定理 如图，已知∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，则222,,AC AH AB BC BH BA HC HA HB =?=?=? 示意图 结论 相似三角形6大证明技巧 相似三角形证明方法
A B C D E 旋转相似： 如图，已知△ABC ∽△ADE ，则 AB AD AC AE =，∠BAC =∠DAE ，∴∠BAD =∠CAE ， ∴△BAD ∽△CAE （SAS ） C B A E D 一线三等角： 如图，已知∠A =∠C =∠DBE ，则△DAB ∽△BCE （AA ） 反A 型与反X 型 已知△ABC 中，∠AEF=∠ACB ，求证：（1）AE AB AF AC ?=?（2）∠BEO=∠CFO ，∠EBO=∠FCO （3）∠OEF=∠OBC ，∠OFE=∠OCB O F E C B A 类射影 如图，已知2AB AC AD =?，求证： BD AB BC AC = A B C D 射影定理 已知△ABC ，∠ACB =90°，CH ⊥AB 于H ，求证：2AC AH AB =?，2BC BH BA =?，2HC HA HB =? 通过前面的学习，我们知道，比例线段的证明，离不开“平行线模型”（A 型，X 型，线束型），也离不开上述的6种“相似模型”. 但是，王老师认为，“模型”只是工具，怎样选择工具，怎样使用工具，怎样用好工具，取决于我们如何思考问题. 合理的思维方法，能让模型成为解题的利刃，让复杂的问题变简单。 在本模块中，我们将学比例式的证明中，会经常用到的思维技巧. 技巧一：三点定型法 比例式的证明方法
相似三角形练习题(解析)
相似三角形练习题 一、选择题 1、下列各组图形中不是位似图形的是（） A．B． C．D． 2、若2：3=7：x，则x=（） A．2B．3C．3.5D．10.5 3、两个相似三角形的一组对应边分别为5cm和3cm，如果它们的面积之和为136cm2，则较大三角形的面积是（） A．36cm2B．85cm2C．96cm2D．100cm2 4、如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∠OCD=90°，CO=CD，若B（1，0），则点C的坐标为（） A．（1，-2）B．（-2，1）C．（）D．（1，-1）
5、如图，已知点A在反比例函数y=(x < 0)上，作Rt△ABC，点D是斜边AC的中点，连DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为8，则k的值为( ) A .8 B .12 C .16 D .20 6、如图，平面直角坐标系中，直线y=-x+a与x、y轴的正半轴分别交于点B和点A，与反比例函数y=-的图象交于点C，若BA：AC=2：1，则a的值为（） A．2B．-2C．3D．-3 7、如图，△ABC与△DEF是位似图形，位似比为2：3，已知AB=4，则DE的长等于( )
A .6 B .5 C .9 D . 8、如图，已知在△ABC中，点D、E、F分别是边AB、AC、BC上的点， DE∥BC，EF∥AB，且AD：DB=3：5，那么CF：CB等于( ) A .5∶8 B .3∶8 C .3∶5 D .2∶5 9、如图所示，给出下列条件：①∠B=∠ACD；②∠ADC=∠ACB；③=； ④=AD?AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为( )
新人教第27章相似三角形全章测试题
新人教第27章相似三角形全章测试题 一、选择题 1．如图所示，在△中，∥，若＝1，＝2，则BC DE 的值为( ) 第1题图 A ．3 2 B ．4 1 C ．3 1 D ．2 1 2．如图所示，△中∥，若∶＝1∶2，则下列结论中正确的是( ) 第2题图 A ．2 1=BC DE B ．2 1 =??的周长的周长ABC ADE C ． 的面积的面积ABC ADE ??31 = D ． 的周长的周长ABC ADE ??3 1 = 3．如图所示，在△中∠＝90°，D 是中点，⊥交延长线于E 点，则下列结论正确的是( )
第3题图 A ．△∽△ B ．△∽△ C ．△∽△ D ．△∽△ 4．如图所示，在△中D 为边上一点，若∠＝∠A ，6= BC ， ＝3，则长为( ) 第4题图 A ．1 B ．2 3 C ．2 D ．2 5 5．若P 是△的斜边上异于B ，C 的一点，过点P 作直线截△， 截得的三角形与原△相似，满足这样条件的直线共有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 6．如图所示，△中若∥，∥，则下列比例式正确的是( ) 第6题图 A ．BC DE DB AD = B ． AD EF BC BF =
C ．FC BF EC AE = D ．BC DE AB EF = 7．如图所示，⊙O 中，弦，相交于P 点，则下列结论正确的是( ) 第7题图 A ．·＝· B ．·＝· C ．·＝· D ．∶＝∶ 8．如图所示，△中，⊥于D ，对于下列中的每一个条件 第8题图 ①∠B ＋∠＝90° ②∠B ＝∠ ③：＝： ④2 ＝· 其中一定能判定△是直角三角形的共有( ) A ．3个 B ．2个 C ．1个 D ．0个 二、填空题 9．如图9所示，身高1.6m 的小华站在距路灯杆5m 的C 点 处，测得她在灯光下的影长为2.5m ，则路灯的高度为．