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概率统计公式大全(复习重点)

概率统计公式大全(复习重点)
概率统计公式大全(复习重点)

第一章随机事件和概率

(1)排列组合公式

)!

(

!

n

m

m

P n

m-

=从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。

)!

(!

!

n

m

n

m

C n

m-

=从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。

(2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事):m+n

某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n 种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。

乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n

某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。

(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)

顺序问题

(4)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。

(5)基本事件、样本空间和事件在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质:

①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;

②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用ω来表示。

基本事件的全体,称为试验的样本空间,用Ω表示。

一个事件就是由Ω中的部分点(基本事件ω)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是Ω的子集。

Ω为必然事件,?为不可能事件。

不可能事件(?)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。

(6)事件的关系与运算①关系:

如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):B

A?

如果同时有B

A?,A

B?,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。

A、B中至少有一个发生的事件:A B,或者A+B。

属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者B

A,它表示A发生而B不发生的事件。

A、B同时发生:A B,或者AB。A B=?,则表示A与B不可能同时发生,

称事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

Ω-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为A。它表示A不发生的

事件。互斥未必对立。

②运算:

结合率:A(BC)=(AB)C A∪(B∪C)=(A∪B)∪C

分配率:(AB)∪C=(A∪C)∩(B∪C) (A∪B)∩C=(AC)∪(BC)

德摩根率:

=

=

=

1

1i

i

i

i A

A

B

A

B

A

=,B

A

B

A

=

(7)概率的公理化定义

设Ω为样本空间,A为事件,对每一个事件A都有一个实数P(A),若满足下列三个条件:

1°0≤P(A)≤1,

2°P(Ω) =1

3°对于两两互不相容的事件1A,2A,…有

∑∞

=

=

=

??

?

?

?

?

1

1

)

(

i

i

i

i A

P

A

P

常称为可列(完全)可加性。

则称P(A)为事件A的概率。

(8)古典概型

1°{}nω

ω

ω

2

1

,

=

Ω,

n

P

P

P

n

1

)

(

)

(

)

(

2

1

=

=

ω

ω 。

设任一事件A,它是由m

ω

ω

ω

2

1

,组成的,则有

P(A)={})

(

)

(

)

(

2

1m

ω

ω

ω

=)

(

)

(

)

(

2

1m

P

P

ω

ω+

+

+

n

m

=

基本事件总数

所包含的基本事件数

A

=

(9)几何概型若随机试验的结果为无限不可数并且每个结果出现的可能性均匀,同时样本空间中的每一个基本事件可以使用一个有界区域来描述,则称此随机试验为几何概型。对任一事件A,

)

(

)

(

)

(

Ω

=

L

A

L

A

P。其中L为几何度量(长度、面积、体积)。

(10)加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

当P(AB)=0时,P(A+B)=P(A)+P(B)

(11)减法公式P(A-B)=P(A)-P(AB)

当B?A时,P(A-B)=P(A)-P(B) 当A=Ω时,P(B)=1- P(B)

(12)条件概率定义设A、B是两个事件,且P(A)>0,则称

)

(

)

(

A

P

AB

P

为事件A发生条件下,事件B发生的条件概率,记为=

)

/

(A

B

P

)

(

)

(

A

P

AB

P

条件概率是概率的一种,所有概率的性质都适合于条件概率。

例如P(Ω/B)=1?P(B/A)=1-P(B/A)

(13)乘法公式乘法公式:)

/

(

)

(

)

(A

B

P

A

P

AB

P=

更一般地,对事件A1,A2,…A n,若P(A1A2…A n-1)>0,则有

2

1

(A

A

P…)n A)

|

(

)

|

(

)

(2

1

3

1

2

1A

A

A

P

A

A

P

A

P

= (2)

1

|

(A

A

A

P n…)1-n A。

(14)独立性①两个事件的独立性

设事件A、B满足)

(

)

(

)

(B

P

A

P

AB

P=,则称事件A、B是相互独立的。

若事件A、B相互独立,且0

)

(>

A

P,则有

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

|

(B

P

A

P

B

P

A

P

A

P

AB

P

A

B

P=

=

=

若事件A、B相互独立,则可得到A与B、A与B、A与B也都相互独立。

必然事件Ω和不可能事件?与任何事件都相互独立。

?与任何事件都互斥。

②多个事件的独立性

设ABC是三个事件,如果满足两两独立的条件,

P(AB)=P(A)P(B);P(BC)=P(B)P(C);P(CA)=P(C)P(A)

并且同时满足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互独立。

对于n个事件类似。

(15)全概公式设事件n

B

B

B,

,

,2

1 满足

1°n B

B

B,

,

,2

1 两两互不相容,)

,

,2,1

(0

)

(n

i

B

P i

=

>,

n

i

i

B

A

1=

?

则有

)

|

(

)

(

)

|

(

)

(

)

|

(

)

(

)

(2

2

1

1n

n B

A

P

B

P

B

A

P

B

P

B

A

P

B

P

A

P+

+

+

= 。

(16)贝叶斯公式

设事件1

B,2B,…,n B及A满足

1°1B,2B,…,n B两两互不相容,)

(Bi

P>0,=

i1,2,…,n,2°

n

i

i

B

A

1=

?

,0

)

(>

A

P,

=

=

n

j

j

j

i

i

i

B

A

P

B

P

B

A

P

B

P

A

B

P

1

)

/

(

)

(

)

/

(

)

(

)

/

(,i=1,2,…n。

此公式即为贝叶斯公式。

)

(

i

B

P,(1

=

i,2,…,n),通常叫先验概率。)

/

(A

B

P

i

,(1

=

i,2,…,n),通常称为后验概率。贝叶斯公式反映了“因果”的概率规律,并作出了“由果朔因”的推断。

(17)伯努利概型

我们作了n次试验,且满足

◆每次试验只有两种可能结果,A发生或A不发生;

◆n次试验是重复进行的,即A发生的概率每次均一样;

◆每次试验是独立的,即每次试验A发生与否与其他次试验A发生与否

是互不影响的。

这种试验称为伯努利概型,或称为n重伯努利试验。

用p 表示每次试验A 发生的概率,则A 发生的概率为q p =-1,用)(k P n 表示n 重伯努利试验中A 出现)0(n k k ≤≤次的概率,

k n k k

n n q p k P C -=)(,n k ,,2,1,0 =。 第二章 随机变量及其分布

概率统计公式、符号汇总表

《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点 (共3页) 第一章 第二、三章 一维随机变量及分布:X , i P , )(x f X , )(x F X 二维随机变量及分布:),(Y X , ij P , ),(y x f , ),(y x F *注意分布的非负性、规范性 (1)边缘分布:∑=j ij i p P ,? +∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()( (2)独立关系:J I IJ P P P Y X =?独立与 或)()()(y f x f y x f Y X =, ),,(11n X X Λ与),,(21n Y Y Λ独立),,(11n X X f Λ?与),,(21n Y Y g Λ独立 (3)随机变量函数的分布(离散型用列表法) 一维问题:已知X 的分布以及)(X g Y =,求Y 的分布-------连续型用分布函数法 二维问题:已知),(Y X 的分布,求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、{}Y X N ,m in =的分布- M 、N 的分布---------连续型用分布函数法 第四章 (1)期望定义:离散:∑=i i i p x X E )( 连续:???+∞∞-+∞ ∞-+∞∞-==dxdy y x xf dx x xf X E ),()()( 方差定义:)()(]))([()(222X E X E X E X E X D -=-= 离散:∑-=i i i p X E x X D 2))(()( 连续:?+∞ ∞--=dx x f X E x X D X )())(()(2 协方差定义:)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E V X COV -=--= 相关系数定义:) ()(),(Y D X D Y X COV XY = ρ

概率论与数理统计公式大全

第1章 随机事件及其概率 例1.16 设某人从一副扑克中(52张)任取13张,设A 为“至少有一张红桃”,B 为“恰有2张红桃”,C 为“恰有5张方块”,求条件概率P (B |A ),P (B |C )解 13 52 1339 1352135213391)(1)(C C C C C A P A P -=-=-=13 52 11 39 213)(C C C AB P ?=13 39 135211392131352 13 39135213521139 213)() ()(C C C C C C C C C C A P AB P A B P -=-==1352 839 513)(C C C C P =13 52626213513)(C C C C BC P =8 39 6262131352 8395131352626 213513)() ()(C C C C C C C C C C C P BC P C B P === 某种动物出生后活到20岁的概率为0.7,活到25岁的概率为0.56,求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率. 解设A 表示事件“活到20岁以上”,B 表示事件“活到25岁以上”,显然A B ?7.0)(=A P 56.0)(=B P 56 .0)()(==B P AB P 8.07 .056 .0)()()(=== A P A B P A B P

例1.21 某工厂生产的产品以100件为一批,假定每一批产品中的次品最多不 超过4件,且具有如下的概率:一批产品中的次品数0 1 2 3 4 概率0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 现进行抽样检验,从每批中随机抽取10件来检验,若发现其中有次品,则认 为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。4 ()()() k k k P B P A P B A == ∑解设B 表示事件“一批产品通过检验”,A i (i =0,1,2,3,4)表示“一批产品含有i 件次品”,则A 0,A 1, A 2, A 3, A 4组成样本空间的一个划分, 00()0.1,()1 P A P B A ==1099 1110100 ()0.2,()0.900 C P A P B A C ===1098 2210100 ()0.4,()0.809 C P A P B A C ===1097 3310100 ()0.2,()0.727 C P A P B A C ===1096 4410100 ()0.1,()0.652 C P A P B A C ===814.0652 .01.0727.02.0809.04.0900.0.021.0≈?+?+?+?+=顾客买到的一批合格品中,含次品数为0的概率是 0004 ()(|) 0.11(|)0.123 0.814 ()(| ) i i i P A P B A P A B P A P B A =??= = ≈?∑类似可以计算顾客买到的一批合格品中,含次品数为1、2、3、4件的概率分别约 为0.221、0.398、0.179、0.080。 贝叶斯公式(Bayes) 1 ()() ()1,2,,()() k k k n i i i P A P B A P A B k n P A P B A =?= =∑L 第二章 随机变量及其分布 1离散型 随机变量 P(X=x k )=p k ,k=1,2,…, (1)0≥k p , (2)∑∞ ==1 1 k k p 2连续 型随机变量概 ? ∞-=x dx x f x F )()( (1)0)(≥x f ;(2) ? +∞ ∞ -=1 )(dx x f 。 ()=()F x f x '? =-=≤

概率统计公式大全(复习重点)

第一章随机事件和概率 (1)排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 (2)加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。 (3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个) 顺序问题 (4)随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。试验的可能结果称为随机事件。 (5)基本事件、样本空间和事件在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质: ①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; ②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用ω来表示。 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点(基本事件ω)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是Ω的子集。 Ω为必然事件,?为不可能事件。 不可能事件(?)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。 (6)事件的关系与运算①关系: 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):B A? 如果同时有B A?,A B?,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。 A、B中至少有一个发生的事件:A B,或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者B A,它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生:A B,或者AB。A B=?,则表示A与B不可能同时发生,称 事件A与事件B互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。 Ω-A称为事件A的逆事件,或称A的对立事件,记为A。它表示A不发生的

概率论与数理统计公式定理全总结

第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地,当A 、B 互斥时, P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式:从原因计算结果 Bayes 公式:从结果找原因 第二章 二项分布(Bernoulli 分布)——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系: 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量,数学期望定义 连续型随机变量,数学期望定义 ● E(a)=a ,其中a 为常数 ● E(a+bX)=a+bE(X),其中a 、b 为常数 ● E(X+Y)=E(X)+E(Y),X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 ) () ()|(B P AB P B A P =)|()()(B A P B P AB P =) |()(A B P A P =∑ ==n k k k B A P B P A P 1)|()()(∑ ==n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 )|()()|()()|() ,...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-,,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ,λλ 1)(=? +∞ ∞ -dx x f )(b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()() 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()() ,(y x f ),(y x F 0 ),(≥y x f 1),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f 1),(0≤≤y x F },{),(y Y x X P y x F ≤≤=?+∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()(?+∞ ∞ -=dx y x f y f Y ),()(} {}{},{j Y P i X P j Y i X P =====) ()(),(y f x f y x f Y X =∑+∞ -∞ =?= k k k P x X E )(? +∞ ∞ -?=dx x f x X E )()(∑ =k k k p x g X g E )())((∑∑=i j ij i p x X E )(dxdy y x xf X E ??=),()() (1 )(b x a a b x f ≤≤-= ) ()('x f x F =

概率统计公式大全汇总

第一章
n Pm ?
随机事件和概率
(1)排列 组合公式
n Cm ?
m! (m ? n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。
m! 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。 n!(m ? n)!
(2)加法 和乘法原 理
加法原理(两种方法均能完成此事) :m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由 m 种方法完成,第二种方法可由 n 种 方法来完成,则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事) :m×n 某件事由两个步骤来完成, 第一个步骤可由 m 种方法完成, 第二个步骤可由 n 种 方法来完成,则这件事可由 m×n 种方法来完成。 重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个) 顺序问题 如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但 在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如 下性质: ①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; ②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用 ? 来表示。 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用 ? 表示。 一个事件就是由 ? 中的部分点(基本事件 ? )组成的集合。通常用大写字母 A, B,C,…表示事件,它们是 ? 的子集。 ? 为必然事件,? 为不可能事件。 不可能事件(?)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理, 必然事件(Ω )的概率为 1,而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。 ①关系: 如果事件 A 的组成部分也是事件 B 的组成部分, (A 发生必有事件 B 发生) :
(3)一些 常见排列 (4)随机 试验和随 机事件
(5)基本 事件、样本 空间和事 件
(6)事件 的关系与 运算
A? B
如果同时有 A ? B , B ? A ,则称事件 A 与事件 B 等价,或称 A 等于 B:A=B。 A、B 中至少有一个发生的事件:A ? B,或者 A+B。 属于 A 而不属于 B 的部分所构成的事件,称为 A 与 B 的差,记为 A-B,也可表 示为 A-AB 或者 A B ,它表示 A 发生而 B 不发生的事件。
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最新统计概率知识点归纳总结大全

统计概率知识点归纳总结大全 1.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义. 2.了解等可能性事件的概率的意义,会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率. 3.了解互斥事件、相互独立事件的意义,会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率. 4.会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率. 5. 掌握离散型随机变量的分布列. 6.掌握离散型随机变量的期望与方差. 7.掌握抽样方法与总体分布的估计. 8.掌握正态分布与线性回归. 考点1. 求等可能性事件、互斥事件和相互独立事件的概率 解此类题目常应用以下知识: (1)等可能性事件(古典概型)的概率:P (A )=) ()(I card A card =n m ; 等可能事件概率的计算步骤: (1) 计算一次试验的基本事件总数n ; (2) 设所求事件A ,并计算事件A 包含的基本事件的个数m ; (3) 依公式()m P A n =求值; (4) 答,即给问题一个明确的答复. (2)互斥事件有一个发生的概率:P (A +B )=P (A )+P (B ); 特例:对立事件的概率:P (A )+P (A )=P (A +A )=1. (3)相互独立事件同时发生的概率:P (A ·B )=P (A )·P (B ); 特例:独立重复试验的概率:P n (k )=k n k k n p p C --)1(.其中P 为事件A 在一次试验中发生的概率,此式为二项式[(1-P)+P]n 展开的第k+1项.

(4)解决概率问题要注意“四个步骤,一个结合”: ① 求概率的步骤是: 第一步,确定事件性质???? ???等可能事件 互斥事件 独立事件 n 次独立重复试验 即所给的问题归结为四类事件中的某一种. 第二步,判断事件的运算?? ?和事件积事件 即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件. 第三步,运用公式()()()()()()()()(1) k k n k n n m P A n P A B P A P B P A B P A P B P k C p p -? =???+=+? ??=??=-??等可能事件: 互斥事件: 独立事件: n 次独立重复试验:求解 第四步,答,即给提出的问题有一个明确的答复. 考点2离散型随机变量的分布列 1.随机变量及相关概念 ①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示. ②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量. ③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量. 2.离散型随机变量的分布列 ①离散型随机变量的分布列的概念和性质 一般地,设离散型随机变量ξ可能取的值为1x ,2x ,……,i x ,……,ξ取每一个值i x (=i 1,2,……)的概率P (i x =ξ)=i P ,则称下表.

概率论与数量统计-公式

第1章随机事件及其概率 (1)排列组合公式 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 (2)加法和乘法原理 加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m 种方法完成,第二种方法可由n 种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m 种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。(3)一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个)顺序问题 (4)随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 (5)基本事件、样本空间和事件 在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质: ①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件;②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用来表示。 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用表示。 一个事件就是由中的部分点(基本事件)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是的子集。为必然事件,?为不可能事件。 不可能事件(?)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。(6)事件的关系与运算 ①关系: 如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分,(A 发生必有事件B 发生):如果同时有, ,则称事件A 与事件B 等价,或称A 等于B : A=B 。 A、B 中至少有一个发生的事件:A B ,或者A +B 。 属于A 而不属于B 的部分所构成的事件,称为A 与B 的差,记为A-B ,也 可表示为A-AB 或者 ,它表示A 发生而B 不发生的事件。 A、B 同时发生:A B ,或者AB 。A B=?,则表示A 与B 不可能同时发 生,称事件A 与事件B 互不相容或者互斥。基本事件是互不相容的。

《概率统计》公式符号汇总表及复习策略

《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点及复习策略 (共4页) 第一章均独立。 与与与此时独立与B A B A B A B P A P AB P B A B P AB P B A P ,,);()()( )()()( (1)?=?= )() ()()( ) ()()()()( )3() (1)( ) ()( A B )()()( ) ()()()()( ) ()()()( )2(11A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P A P A P A P B P A P AB P A P B A P A P A B P B P B A P AB P AB P B P A P B A P i i i n n ?=?++?=-=-?-=-?=?=-+= 第二、三章 一维随机变量及分布:X , i P , )(x f X , )(x F X 二维随机变量及分布:),(Y X , ij P , ),(y x f , ),(y x F *注意分布的非负性、规范性 (1)边缘分布:如:∑=j ij i p P ,?+∞ ∞-=dy y x f x f X ),()( (2)独立关系:J I IJ P P P Y X =?独立与 或)()()(y f x f y x f Y X =, ),,(11n X X 与),,(21n Y Y 独立),,(11n X X f ?与),,(21n Y Y g 独立 (3)随机变量函数的分布(离散型用点点对应法、连续型用分布函数法) 一维问题:已知X 的分布以及)(X g Y =,求Y 的分布 二维问题:已知),(Y X 的分布,求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、{}Y X N ,m in =的分布- *??+∞∞-+∞ ∞--=-=dy y y z f dx x z x f z f Z ),(),()( M 、N 的分布--------离散型用点点对应法、连续型用分布函数法 第四章 (1)期望定义:离散:∑= i i i p x X E )( 连续:? ??+∞∞-+∞∞-+∞ ∞-==dxdy y x xf dx x xf X E ),()()( 方差定义:)()(]))([()(222X E X E X E X E X D -=-= 离散:∑-= i i i p X E x X D 2))(()( 连续:?+∞ ∞--=dx x f X E x X D X )())(()(2 协方差定义:)()()())]())(([(),(Y E X E XY E Y E Y X E X E V X COV -=--=

概率计算方法总结3

概率计算方法总结 在新课标实施以来,中考数学试题中加大了统计与概率部分的考查,体现了“学以致用”这一理念. 计算简单事件发生的概率是重点,现对概率计算方法阐述如下: 一.公式法 P(随机事件)= 的结果数 随机事件所有可能出现果数 随机事件可能出现的结.其中P(必然事件)=1,P (不可能事 件)=0;0

概率论公式总结

概率论公式总结 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.

第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地,当A 、B 互斥时, P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式:从原因计算结果 Bayes 公式:从结果找原因 第二章 二项分布(Bernoulli 分布)——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机 变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系: 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度 函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 )(b X a P ≤≤∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(?∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f ),(y x F 1),(0≤≤y x F

离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量,数学期望定义 连续型随机变量,数学期望定义 E(a)=a ,其中a 为常数 E(a+bX)=a+bE(X),其中a 、b 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y),X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 方差 定义式 常用计算 式 常用公式 当X 、Y 相互独立时: 方差的性质 D(a)=0,其中a 为常数 D(a+bX)=b2D(X),其中a 、b 为常数 当X 、Y 相互独立时,D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数 协方差的性质 独立与相关 独立必定不相关 ∑+∞-∞=?=k k k P x X E )([]22)()()(X E X E X D -=

概率统计公式大全

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第1章随机事件及其概率 (1) 排列组合公式 )! ( ! n m m P n m- =从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 )! (! ! n m n m C n m- =从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。 (2) 加法和乘法原理加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m种方法完成,第二种方法可由n 种方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m×n 种方法来完成。 (3) 一些常见排列重复排列和非重复排列(有序)对立事件(至少有一个) 顺序问题 (4) 随机试验和随机事件如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 (5) 基本事件、样本空间和事件在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质: ①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; ②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用ω来表示。 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用Ω表示。 一个事件就是由Ω中的部分点(基本事件ω)组成的集合。通常用大写字母A,B,C,…表示事件,它们是Ω的子集。 Ω为必然事件,?为不可能事件。 不可能事件(?)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。 (6) 事件的关系与运算①关系: 如果事件A的组成部分也是事件B的组成部分,(A发生必有事件B发生):B A? 如果同时有B A?,A B?,则称事件A与事件B等价,或称A等于B:A=B。 A、B中至少有一个发生的事件:A B,或者A+B。 属于A而不属于B的部分所构成的事件,称为A与B的差,记为A-B,也可表示为A-AB或者B A,它表示A发生而B不发生的事件。 A、B同时发生:A B,或者AB。A B=Φ,则表示A与B不可能同时发

概率和统计公式大全

第一章 随机事件和概率 (1)排列组合公式 从m 个人中挑出n 个人进行排列的可能数。 从m 个人中挑出n 个人进行组合的可能数。 (2)加法和乘法原理 加法原理(两种方法均能完成此事):m+n 某件事由两种方法来完成,第一种方法可由m 种方法完成,第二种方法可由n 种 方法来完成,则这件事可由m+n 种方法来完成。 乘法原理(两个步骤分别不能完成这件事):m ×n 某件事由两个步骤来完成,第一个步骤可由m 种方法完成,第二个步骤可由n 种方法来完成,则这件事可由m ×n 种方法来完成。 (3)一些常 见排列 重复排列和非重复排列(有序) 对立事件(至少有一个) 顺序问题 (4)随机试验和随机事件 如果一个试验在相同条件下可以重复进行,而每次试验的可能结果不止一个,但在进行一次试验之前却不能断言它出现哪个结果,则称这种试验为随机试验。 试验的可能结果称为随机事件。 (5)基本事件、样本空间和事件 在一个试验下,不管事件有多少个,总可以从其中找出这样一组事件,它具有如下性质: ①每进行一次试验,必须发生且只能发生这一组中的一个事件; ②任何事件,都是由这一组中的部分事件组成的。 这样一组事件中的每一个事件称为基本事件,用 来表示。 基本事件的全体,称为试验的样本空间,用 表示。 一个事件就是由 中的部分点(基本事件 )组成的集合。通常用大写字母A ,B ,C ,…表示事件,它们是 的子集。 为必然事件,?为不可能事件。 不可能事件(?)的概率为零,而概率为零的事件不一定是不可能事件;同理,必然事件(Ω)的概率为1,而概率为1的事件也不一定是必然事件。 (6)事件的 关系与运算 ①关系: 如果事件A 的组成部分也是事件B 的组成部分,(A 发生必有事件B 发生): 如果同时有 , ,则称事件A 与事件B 等价,或称A 等于B :A=B 。 A 、 B 中至少有一个发生的事件:A B ,或者A +B 。 属于A 而不属于B 的部分所构成的事件,称为A 与B 的差,记为A-B ,也可表示

概率论公式总结

概率公式整理 1.随机事件及其概率吸收律:A AB A A A A =?=??Ω =Ω?)( A B A A A A A =???=??=Ω?)()(AB A B A B A -==- 反演律: B A B A =? B A A B ?= n i i n i i A A 1 1 === n i i n i i A A 1 1 === 2.概率的定义及其计算:)(1)(A P A P -= 若B A ? )()()(A P B P A B P -=-? 对任意两个事件A , B , 有 )()()(AB P B P A B P -=- 加法公式:对任意两个事件A , B , 有 )()()()(AB P B P A P B A P -+=? )()()(B P A P B A P +≤? )() 1()()()()(211 111 1 n n n n k j i k j i n j i j i n i i n i i A A A P A A A P A A P A P A P -≤<<≤≤<≤==-+++ - = ∑∑∑ 3.条件概率 ()=A B P ) ()(A P AB P 乘法公式 ())0)(()()(>=A P A B P A P AB P ()() ) 0)(()()(12112112121>=--n n n n A A A P A A A A P A A P A P A A A P 全概率公式 ∑ == n i i AB P A P 1 ) ()( ) ()(1 i n i i B A P B P ?= ∑ =Bayes 公式 ) (A B P k ) ()(A P AB P k = ∑== n i i i k k B A P B P B A P B P 1 ) ()() ()( 4.随机变量及其分布 分布函数计算)()() ()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤< 5.离散型随机变量 (1) 0 – 1 分布1,0,)1()(1=-==-k p p k X P k k (2) 二项分布 ),(p n B 若P ( A ) = p n k p p C k X P k n k k n ,,1,0, ) 1()( =-==- *Possion 定理 0lim >=∞ →λn n np 有 ,2,1,0! ) 1(lim ==---∞ →k k e p p C k k n n k n k n n λ λ (3) Poisson 分布 ) (λP ,2,1,0,! )(===-k k e k X P k λ λ 6.连续型随机变量 (1) 均匀分布 ),(b a U ?? ? ??<<-=其他 ,0,1 )(b x a a b x f ??? ?? ??--=1, ,0)(a b a x x F (2) 指数分布 )(λE ???? ?>=-其他 , 00, )(x e x f x λλ ???≥-<=-0 , 10, 0)(x e x x F x λ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 ) +∞ <<∞-= -- x e x f x 22 2)(21)(σ μσ π ? ∞ --- = x t t e x F d 21)(2 2 2)(σ μσ π *N (0,1) — 标准正态分布 +∞ <<∞-= - x e x x 2 2 21)(π ?

概率论公式总结

概率论公式总结

第一章 P(A+B)二P(A)+P(B)- P(AB) 特别地,当A 、B 互斥时,P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 P(AB) P(B)P(A| B) P(A)P(B| A) 全概率公式:从原因计算结果 n P(A) P(B k )P(A|B k ) k 1 Bayes 公式:从结果找原因 P(B k |A) P(B i )P(A|B i ) n P(B k )P(A|B k ) k 1 第二章 二项分布(Bernoulli 分布) ------- X~B(n,p) P(X k) C k p k (1 p)nk ,(k 01 …n) 泊松分布一一X~P(入) P(A|B) P(AB) P(B) F(x) P(X x) P(X k) k x

概率密度函数 P(a X b) 怎样计算概率 b P(a X b) f (x)dx a 均匀分布 X~U(a,b) f(x) (a x b) 指数分布X~Exp () x 对连续型随机F(x) P(X x) f(t)dt变量 分布函数与密度函数的重要关系: x F(x) P(X x) f (t)dt 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法联合密度f(x,y)函数联合分F(x,y)布函数 f(x, y) 0 f(x,y)dxdy 1

联合密度与边缘密度 f x (x) f(x,y)dy f Y (y) f(x,y)dx 离散型随机变量的独立性 P{X i,Y j} P{X i}P{Y j} 连续型随机变量的独立性 f(x, y) f x (x)f Y (y) 第三章 数学期望 离散型随机变量,数学期望定义 E(a)=a ,其中a 为常数 E(a+bX)二a+bE(X),其中 a 、b 为常数 E(X+Y)二E(X)+E(Y) ,X 、丫为任意随机变量 常用公式 E(X) X k P k k 连续型随机变量,数学期望定义 E(X) x f(x)dx 随机变量g(X)的数学期望 E(g(X)) g(xQP k k

《概率统计》公式、符号汇总表

《概率统计》公式、符号汇总表

《概率统计》公式、符号汇总表及各章要点 (共3页) 第一章 均独立。 与与与此时独立与B A B A B A B P A P AB P B A B P AB P B A P ,,);()()( ) ()()( (1)?=?= ) () ()()( )()()()()( )3() (1)( )()( A B )()()( )()()()()( )()()()( )2(11A P B P B A P A B P B P B A P B P B A P A P A P A P B P A P AB P A P B A P A P A B P B P B A P AB P AB P B P A P B A P i i i n n ?= ?++?=-=-?-=-?=?=-+= 第二、三章 一维随机变量及分布:X , i P , ) (x f X , ) (x F X 二维随机变量及分布:),(Y X , ij P , ) ,(y x f , ) ,(y x F *注意分布的非负性、规范性 (1)边缘分布:∑=j ij i p P ,? +∞ ∞ -=dy y x f x f X ),()( (2)独立关系:J I IJ P P P Y X =?独立与 或) ()()(y f x f y x f Y X =, ) ,,(11n X X 与),,(2 1 n Y Y 独立),,(1 1 n X X f ?与),,(2 1 n Y Y g 独立 (3)随机变量函数的分布(离散型用列表法) 一维问题:已知X 的分布以及)(X g Y =,求Y 的分布-------连续型用分布函数法 二维问题:已知),(Y X 的分布,求Y X Z +=、{}Y X M ,m ax =、 {} Y X N ,m in =的分布- ? ? +∞ ∞ -+∞ ∞ --=-=dy y y z f dx x z x f z f Z ),(),()( M 、N 的分布---------连续型用分布函数法 第四章

概率论公式总结

概率论公式总结 集团文件发布号:(9816-UATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DQQTY-

第一章 P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地,当A 、B 互斥时, P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式:从原因计算结果 Bayes 公式:从结果找原因 第二章 二项分布(Bernoulli 分布)——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) 分布函数 对离散型随机 变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系: 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 )(b X a P ≤≤∑≤==≤=x k k X P x X P x F )()()(?∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(1),(0≤≤y x F

联合密度 函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性 第三章 数学期望 离散型随机变量,数学期望定义 连续型随机变量,数学期望定义 E(a)=a ,其中a 为常数 E(a+bX)=a+bE(X),其中a 、b 为常数 E(X+Y)=E(X)+E(Y),X 、Y 为任意随机变量 随机变量g(X)的数学期望 常用公式 方差 定义式 常用计算 式 常用公式 当X 、Y 相互独立时: 方差的性质 D(a)=0,其中a 为常数 D(a+bX)=b2D(X),其中a 、b 为常数 ),(y x f ),(y x F ∑+∞-∞=?=k k k P x X E )([]22)()()(X E X E X D -=

(完整版)概率论与数理统计知识点总结(免费超详细版)

《概率论与数理统计》 第一章 概率论的基本概念 §2.样本空间、随机事件 1.事件间的关系 B A ?则称事件B 包含事件A ,指事件A 发生必然导致事件B 发生 B }x x x { ∈∈=?或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件,指当且仅当A ,B 中至少有一个发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ∈∈=?且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件,指当A ,B 同时发生时,事件B A ?发生 B }x x x { ?∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件,指当且仅当A 发生、B 不发生时,事件B A —发生 φ=?B A ,则称事件A 与B 是互不相容的,或互斥的,指事件A 与事件B 不能同时发生,基本事件是两两互不相容的 且S =?B A φ=?B A ,则称事件A 与事件B 互为逆事件,又称事件A 与事件B 互为对立事件 2.运算规则 交换律A B B A A B B A ?=??=? 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ?=???=?? 分配律 )()B (C A A C B A ???=??)( ))(()( C A B A C B A ??=?? 徳摩根律B A B A A B A ?=??=? B — §3.频率与概率 定义 在相同的条件下,进行了n 次试验,在这n 次试验中,事件A 发生的次数A n 称为事 件A 发生的频数,比值n n A 称为事件A 发生的频率 概率:设E 是随机试验,S 是它的样本空间,对于E 的每一事件A 赋予一个实数,记为P (A ),称为事件的概率 1.概率)(A P 满足下列条件: (1)非负性:对于每一个事件A 1)(0≤≤A P (2)规范性:对于必然事件S 1)S (=P

概率论公式总结70877

P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB) 特别地,当A 、B 互斥时, P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式 概率的乘法公式 全概率公式:从原因计算结果 Bayes 公式:从结果找原因 ) ()()|(B P AB P B A P = )|()()(B A P B P AB P =)|()(A B P A P =∑==n k k k B A P B P A P 1) |()()(∑== n k k k i i k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|(∑≤==≤=x k k X P x X P x F ) ()()(1),(0≤≤y x F } ,{),(y Y x X P y x F ≤≤=

二项分布(Bernoulli 分布)——X~B(n,p) 泊松分布——X~P(λ) 概率密度函数 怎样计算概率 均匀分布X~U(a,b) 指数分布X~Exp (θ) ),...,1,0()1()(n k p p C k X P k n k k n =-==-,,...) 1,0(! )(== =-k e k k X P k ,λλ1)(=? +∞ ∞ -dx x f ) (b X a P ≤≤?=≤≤b a dx x f b X a P )()()(1)(b x a a b x f ≤≤-=

分布函数 对离散型随机变量 对连续型随机变量 分布函数与密度函数的重要关系: 二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度 ) 0(1 )(/≥= -x e x f x θ θ ?∞-=≤=x dt t f x X P x F )()()(? ∞ -=≤=x dt t f x X P x F )()()(),(y x f ) ,(y x F 0 ),(≥y x f 1 ),(=?? +∞∞-+∞ ∞ -dxdy y x f ) ()('x f x F =

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