5重积分

重积分

一、二重积分的概念及性质

定义 设f （x ，y ）是有界闭区域D 上的有界函数，将闭区域D 任意分成几个小闭区域 1σ?，2σ?，……，n σ? 其中i σ?表示第i 个小闭区域，也表示它的面积。

在i σ?上任取一点（i i ,ηξ），作乘积 f （i i ,ηξ）i σ?（i=1，2，…，n ），并作和

i n

1

i i i ),(f σ?ηξ∑=，

如果当各小闭区域的直径中最大值λ趋于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f （x ，y ）在闭区域D 上的二重积分，记作

??D

d )y ,x (f σ

即

i i i n

1

i D

0),(f d )y ,x (f lim σ?ηξσλ∑??=→=

其中f （x ，y ）叫做被积函数，f （x ，y ）d σ叫做被积表达式，d σ叫做面积元素，x ，y 叫积分变量，D 叫积分区域，

i n

1

i i i ),(f σ?ηξ∑= 叫做积分和。

特别i σ?为边长是j x ?和k y ?的矩形闭区域，则

k j i y x ??σ??=

因此，在直角坐标系中，有时也把面积元素σd 记作dxdy 性质：

性质1

????=D

D

d )y ,x (f k d )y ,x (kf σσ

（k 为常数）

性质2 加减性

??????±=±D

D

d )y ,x (g d )y ,x (f d )y ,x (g )y ,x (f σ

σσ

性质 3 可加性 D 分为两个闭区域D 1与D 2则

??????+=D

D D 1

2

d )y ,x (f d )y ,x (f d )y ,x (f σσσ

性质4 若在D 上，f （x ，y ）=1，σ为D 的面积，则

????==D

D

d d σσσ

性质5 保序性

若在D 上，f （x ，y ）≤g （x ，y ），则

????≤D

D

d )y ,x (g d )y ,x (f σσ

性质6 有界性

M )y ,x (f m ≤≤

??≤≤D

M d )y ,x (f m σσσ

性质7 二重积分的中值定理

设函数f （x ，y ）在闭区域D 上连续，σ是D 的面积，则在D 上至少至在一点（ξ，η）使得下式成立：

σηξσ,),(f d )y ,x (f D

??=

二、二重积分的计算

设积分区域D 可以用不等式 )x (y )x (21??≤≤，

b x a ≤≤

来表示，如图

其中)x (),x (21??在区间[a ，b]上连续 则

[

]

????=

D

b a )x ()x (dx dy )y ,x (

f d )y ,x (f 21??σ

先对y ，后对x 的二次积分。

类似地，如果积分区域可用不等式。

)y (x )y (21??≤≤， d y c ≤≤

来表示，如图

其中)y (1?，)y (2?在区间[c ，d]上连续，

则 ??????????=D

d

c y y dy

dx y x f d y x f )

()(21),(),(??σ

先对x ，后对y 的二次积分。

注：二重积分化为二次积分，关键在于确定积分限

例1计算

xydσ

??

D

其中D是由直线y=1，x=2，y=x 所围成的闭区域。

解：确定积分区域D（如图）

x的变动范围是区间[1，2]；

确立的x，y的变动范围从y=1到y=x

所以

[

]

????=D

21x

1

dx

xydy xyd σ

dx

2y x x

1

212

???

???

??

=

????

?

??-=

213

dx 2x 2x 81

1

=

例2 计算

??D

xyd σ

其中D 是由抛物线

x y 2

=及直线

2x y -=所围成的闭区域。

解：画出积分区域D （如下图） y 的变动范围是[－1，2]

固定y ，x 以y 2

变到y+2，所以

[

]

????-+=D

212

y y dy

xydx xyd 2

σ

dy x y y y 2

2

1

2

2

2+-????

????= []

?--+=215

2dy y )2y (y 21

8

55=

注：若先确定x 的变化范围是[0，4]

则

21D D D +=

{}

1x 0,x y x |)y ,x (D 1≤≤≤≤-=

{}4x 1,x y 2x |)y ,x (D 2

≤≤≤

≤-=

由性质3来计算

??????+=D

D D xyd xyd xyd 1

2

σσσ

利用极坐标计算重积分

????=D

D

rdrdQ Q r Q r f dxdy y x f )sin ,cos (),(

设积分区域D 可用不等式 )Q (r

)Q (21??≤≤，

βα≤≤Q

来表示（如图）

其中)Q (),Q (21??在区间[α，β]上连续。

二重积分化为二次积分。

??D

rdrdQ )Q sin r ,Q cos r (f

??=βα??dQ ]rdr )Q sin r ,Q cos r (f [)

Q ()Q (21

??=

βα??)

Q ()Q (21rdr )Q sin r ,Q cos r (f dQ

例 计算

??--D

y

x dxdy

e 2

2

其中D 是由中心在原点，半径为a 的为圆周

所围成的闭区域

解：在极坐标系中，闭区域D 可表为 a r 0

≤≤， π2Q 0≤≤

从而

??--D

y

x dxdy

e 2

2

??-=D

r rdrdQ

e

2

[]?

?-=

π20a 0

r dQ

rdr e 2

dQ e 21a

20

r 2???????-=

-π

?--=π20a dQ )e 1(212

)e

1(2

a --=π

三、二重积分的应用 1. 曲面的面积 设曲面的面积方程

)y ,x (f z =

D 为曲面s 在xoy 面上的投影区域，函数f （x ，y ）在D 上有连续的偏导数，f x （x ，y ）及f y （x ，y ），则曲面的面积为

σ

d )y ,x (f )y ,x (f 1A D

2

y 2

x ??++=

或

??

???

?

????+??? ????+=D

d y z x z A σ2

2

1 例 求球面

2

2

2

2

a

z y x =++

含在圆柱面

ax y x 2

2=+

内部的那部分面积。

解： 取上半球面

2

22y

x a z --=

则含在圆柱面

ax y x 2

2=+

在xoy 区域的投影D 为

22

22

2

)2

a (y )2a x (ax y x ≤+-=-+

由对称性只考察在xoy 的第一象限，其

总面积为这个面积的4倍。

由

2

2

2

y x a x

x

z ---=??

222y

x a y y z ---=

?? 得

2

2

2

2

2

1y x a a y z x z --=???

?

????+??? ????+

由于在D 上无界，取

)a b (bx y x :D 2

21→≤+

??

--=D

2

2

2

1dxdy

y

x a a A

利用极坐标考察。

由于在第一象限

??????∈2,0πQ

又由于

bx y x 2

2≤+

有

Q cos br Q sin r Q cos r 2

222≤+

得出 Q cos b r

≤

??

-=∴D

2

2

1rdrdQ

r

a a A

??

-=20Q

cos b 0

22

r

a ardr dQ π

dQ r a a Q

cos b 0

2022

?--=π

?-=20QdQ sin b a a π

[]20Q cos b aQ a π

+= ab a 2

2

-=π

2

21424lim a a A A a

b -==∴→π

平面薄片的重心

设一平面薄片，占有xoy 面上的闭区域D ，在点（x ，y ）处的面密度D 为)y ,x (ρ，假定)y ,x (ρ在D 上连续，其重心坐标为

????=

D

D

d )y ,x (d )y ,x (x x σρσ

ρ

????=

D

D

d )y ,x (d )y ,x (y y σρσ

ρ

平面薄片的转动惯量 设有一薄片，占有xoy 面上的闭区域D ，在点（x ，y ）处的面密度为)y ,x (ρ，假定)y ,x (ρ在D 是连续。 该薄片对于x 轴的转动惯量。

??=D

2

x d )y ,x (y I σρ

对于y 轴的转动惯量为

??=D

2

y d )y ,x (x I σρ

三重积分的概念及计长

定义 设f （x ，y ，z ）是空间有界闭域Ω上的有界函数，将Ω任意分成n 个小闭区域。

n 21v ,,v ,v ???

其中i v ?表示第i 个小闭区域，也表示它的体积，在每个i v ?上任取一点

（ζi ，ηi ，ξi ），作乘积

i i i i v ),,(f ?ξη?

（i=1，2，…，n ）

并作和

∑=n

1

i i i i i v ),,(f ?ξη?

如果当各小闭区域直径中最大值λ趋

于零时，这和的极限总存在，则称此极限为函数f （x ，y ，z ）在闭区域Ω上的三重积分。

记作

???Ω

dv )z ,y ,x (f

即

∑???=→=n

1

n i i i i 0v ),,(f dv )z ,y ,x (f lim ?ξη?Ω

λ

其中dv 叫体积元素

可以看作 dv=dx ·dydz 三重积分可化为三次积分来计算 ??????=

Ω

b a )x (y )x (y )y ,x (z )y ,x (z 2121dz )z ,y ,x (

f dy dx dv )z ,y ,x (f

关键在于找出积分区域

例 计算三重积分

???Ω

dxdydz z 2

其中Ω是由椭球面 1

c

z

b

y

a

x

2

2

2

22

2=+

+

围成的空间闭区域。

解：空间闭域Ω可表示为

?

?????≤≤--≤+c z c ,c 2z 1b y a x )z ,y ,x (22222

（如图）

得

??????-=Ω

c c D 2

2

z

dxdy dz z dxdydz z

?--=c

c 2

2

2dz z )c

z 1(ab π

3abc 15

4π= 例 计算

???

+++Ω

3

)z y x 1(dxdydz

其中Ω为平面x=0，y=0，z=0，x+y+z=1所围成的四面体。

解：确定x 的范围[0，1]

固定x ，确定y ，从y=0变到y=1-x 。 固定x ，y ，确定z ，z 从z=0变到z=1-x-y

???

+

++∴Ω

3)

z y x 1(dxdydz

???---+++=10x 10y x 10

3

dz )

z y x 1(1

dy dx

??

---+++?-=10

10

10

2)

1(121dy

z y x dx x

y

x

??-++--

=

x 10210dy ])

y x 1(141[21dx ?-????

??++?--

=10x

10

dx y x 1121y 8

1 ?---+=10

dx 4

1

)x 1(81x 1121

1

2x 161x 83)x 1ln(21+-+= 165

2ln 21-=

城市运营管理平台领导驾驶舱设计

城市运营管理平台领导驾驶舱设计 通过多维度、多类型、深层钻取的各种综合的图表，形象展示城市运行的关键指标（KPI）, 直观的监测城市运营情况，并可以对关键指标实现预警和下钻挖掘，为城市主管领导和个部门分管领导提供辅助决策支持，包括市领导驾驶舱和委办局驾驶舱。 1.综合门户 1、基础门户 基础门户首页主要包括重点时政要闻、任务提醒、资源指标、领导简报等基础功能清单项。同时为基础功能、综合应用、专题服务以及其它功能系统提供入口管理服务。 （1）领导简报 领导简报模块面向市领导和委办局领导提供报告订阅功能，接受市领导及各业务部门提交报告的下派与订阅指令，提供报告所含的内容选项，包括指标范围、关心事项、时间范围等。并按照领导关注点，定制生成周报以及月报，提供城市运行状态的报告订阅、编辑、管理、查询及推送能力，为市领导和委办局领导提供辅助决策支撑。 （2）任务提醒 提供领导活动行程安排服务，支持新增、修改、删除、提醒等功能，以及提供行程概要说明功能。 （3）人员机构管理 结合协同办公通讯录，按照组织架构进行人员通讯录梳理，具备关联语音、视频、短信、邮件等通信功能，同时具备块组组织相关机

构、人员参与到会议中。 （4）时政要闻 包括政府会议精神传达、经济发展概述、城市事件头条、城市资源建设等时政要闻。 2、综合查询 综合查询支持通过关键字、日期、部门等多种方式查询事件信息，信息类别包括文字信息、图片信息、视频信息等多种格式，信息内容包括城市重大新闻活动信息、重要政策法规信息、城市各类事件信息、重大工程进展信息等相关内容。 3、信息管理 支持对任务、通知、公告、会议、汇报等信息的发送接收，同时基于工作流可对接收到的信息进行反馈、回执。 主要设计内容包括如下功能项： (1)信息导入：该功能模块实现对城市日常信息，重点信息进行录入，包括计划信息的基本情况等。 (2)信息发布：该功能模块提供城市重大信息的统一发布功能，包括短信发布、APP发布等多种方式。信息内容包括城市重大活动、重要通知、灾害预防等信息。 (3)信息修改：该功能模块提供对录入信息的修改功能。 (4)信息删除：该功能模块提供对录入信息的删除功能。 (5)信息搜索：该功能模块提供对录入信息的快速搜索功能，支持按照日期、关键字、标题等多种方式进行搜索。

三重积分n重积分简介

§５ 三重积分 一、 三重积分的概念 1 三重积分的物理解释 设非均匀物体A 内分布着一种物质，其密度为(,,)x y z ρ，并假定ρ在A 上连续，那么怎样定义和计算这个物体的质量呢？我们的办法还是通过“分割，近似求和，取极限”这三个 步骤得到A 的质量是 (,,)A m x y z dxdydz ρ=??? 2 三重积分的定义 P243-244 3 三重积分的性质、可积条件 与二重积分类似 线性性，单调性，可加性，绝对可积性，乘积可积性，中值定理等. 二、三重积分的计算---化三重积分为累次积分 1 长方体],[],[],[h k d c b a ??上的积分 定理21.15设[,][,][,]A a b c d e f =??，f 是A 上的连续函数，那么f 在A 上的三重积分 可以化为先对z ，后对y,x 的积分：(,,)A f x y z dxdydz ???=(,,)b d f a c e dx dy f x y z dz ???， 或先y x z →→： (,,)A f x y z dxdydz ??? = (,,)f b d e a c dz dx f x y z dy ??? 等等（共6种），并且此时（f 连续时），各个三次积分的值与积分次序无关，他们都相等。 ??? ???=V b a d c h k dz z y x f dy dx dxdydz z y x f ),,(),,(. 2. 一般区域上的三重积分、简单区域上的三重积分 一般区域上的三重积分、可以分解有限个简单区域上的三重积分 简单区域（典型区域）的定义 }),( , ),(),(|),,( {21D y x y x z z y x z z y x V ∈≤≤=, 其中D 为V 在XY 平面上的投影， {})()(,),(21x y y x y b x a y x D ≤≤≤≤= 或者 {})()(,),(21y x x y x d y c y x D ≤≤≤≤=

高斯积分点

单元节点和积分点有什么区别 学过数值积分的应该知道，有限元中的积分点指高斯积分点，因为这些点的收敛性好，精度高。 1、节点 在单元内，采用形函数来表述单元内变量的分布规律。而节点值是在节点处的对应物理量。 以简单矩形单元的温度为例： 四个节点i,j,m,n的温度分别为Ti,Tj,Tm,Tn. 则以单元内自然坐标(x,y),(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1)分别为四个节点，单元内温度分布为： T={Si, Sj, Sm, Sn} {Ti, Tj, Tm, Tn} Si=1/4(1-x)(1-y) Sj=1/4(1+x)(1-y) Sm=1/4(1+x)(1+y) Sn=1/4(1-x)(1+y) (单元的形函数我们可以从手册中查到) 从而我们知道了温度在单元内的分布。 2、积分节点 我们需要对温度在单元内的面积上进行积分时，因为节点的温度显然与x,y无关，我们只需要考虑对形函数积分。 采用Gauss_Legendre多项式计算积分时，我们只需要计算根据特定积分点的值（在自然坐标系下是固定的，可以查手册，这些点也叫高斯点、积分点）并加以权重就可以。这就把复杂的积分问题变成了简单的代数问题。因为形函数只有单元有关，所以积分点也只与单元形状有关。 3.应力一般采用多个积分点的相互插值或外延来计算节点应力。这只是为了减少误差。因为在积分点应力比节点具有更高阶的误差。 从理论上说，形函数已知后，用Maple或者Mathematic等软件进行符号积分的话，是可以精确计算出刚度矩阵和质量矩阵，但是这样做的话，对于工程实际应用来说并不合适（ 原因：1，费时；2，Mindlin中厚板有剪力锁死问题，有时候需要采用缩聚积分），所以有些书上会把2节点梁单元的刚度阵直接写出来，但是再复杂点的单元，就使用数值积分（Newton-Cotes积分和高斯积分） 高斯积分的话，积分点不在节点上 牛顿-科斯的积分点就是节点，这样得到的质量矩阵是集中质量阵形式 个人理解： 1.节点作用构造形函数，节点的多少描述规则形状单元内的应力的近似分布情况，并获取节点上的位移值

第五级领导力

第五级领导力：谦逊与坚毅的胜利 作者:吉姆·柯林斯（Jim Collins） 在这个明星辈出的时代，商界也俨然成了明星的天下。人们津津乐道的，往往是商海里的风云人物。公司董事会一门心思要寻找的，也正是这些个性鲜明的强势管理者。不过，这些个人魅力十足、自信得近乎自负的经理人，真的能引领企业建立不朽的基业吗？如果他们不能，什么样的经理人才能？看完管理大师吉姆·柯林斯的这篇文章，你会恍然大悟。 柯林斯带领22名研究人员，历时5年，付出了约15,000个小时的辛勤努力，揭开了企业如何取得并保持卓越业绩的谜团。他们从1965年到1995年间名列《财富》500强的1,435家公司入手，经过重重筛选，最后锁定了11家公司作为研究对象。 这些公司实现了从优秀到卓越的转变：在转变之前的15年内，其股票的累积收益率还不如大盘，在转变之后的15年内却达到了大盘的6.9倍。即使是被业界奉若神明的杰克·韦尔奇，在1986到2000年执掌通用电气的15年间，公司股票的回报率也仅为大盘的2.8倍。 柯林斯认为，一个公司要想从优秀转变为卓越，有7项因素是至关重要的。它们分别是：1）先人后事。 2）斯托克代尔悖论。 3）累积与突破的“飞轮”。 4）刺猬理念。 5）技术加速器。 6）训练有素的文化。 7）第五级领导者。其中，第五级领导者是重中之重。。 所谓第五级领导者，是一位集谦逊的性格与坚强的职业意志于一身的高级经理人。他们具有典型的双重性格：谦逊而坚定，腼腆但无畏。他们给人的感觉是性格温和而内向，在职业意志上则表现出铜铁般的坚强。在他们平静的外表下，隐藏着一股强大的内在热情，一种将自己接手的任何事情都做到最好的执著精神。

考研试题分析十(重积分的应用)

考研试题分析十（重积分的应用） 例1.(1989年高数一) 设半径为R 的球面的球心在定球面上,问当R 取何值时,球面在定球面内部的那部分面积最大? Σ)0(2222>=++a a z y x Σ[答案]a R 3 4=. [分析] 球面在定球面内部的那部分面积属于曲面面积。欲求空间曲面面积， 必须建立曲面方程， 并且明确曲面在坐标面上的投影区域。球面Σ在定球面内部的那部分可视为球面Σ0),,(=z y x F Σ与定球面相交而成，因此明确所求曲面在xoy 坐标面上的投影区域，必须考察球面Σ与定球面的交线。 [解答] 设球面方程为：两球面的交线在xoy 面上的投影为Σ.)(2222R a z y x =?++?????=?=+0 )4(42222 22z R a a R y x 设投影曲线所围平面区域为，球面xy D Σ在定球面内部的那部分方程为： 222y x R a z ???=，这部分的面积为 ∫∫∫∫∫∫??=??=++= 224202*********)(R a a R D D y x dr r R rR d dxdy y x R R dxdy z z R S xy xy πθ )20(,23 2a R a R R <0） ，求球体的重心。 0P 0P [答案] 重心为)4 ,0,0(R 。

重积分的计算方法

重积分的计算方法 重积分包括二重积分和三重积分，它是定积分的推广；被积函数由一元函数f（x）推广为二元函数f（x,y），三元函数（fx,y,z）;积分围由数轴上的区域推广为平面域（二重积分）和空间域（三重积分）。我个人在学习与复习多重积分这一块时，感到多重积分的计算比较繁琐，而在日常生活中多重积分有着很多的应用。通过在图书馆查阅资料、以及老师的指点，重积分的计算方法还是有规律可循的。为了更好的应用重积分，本人结合前人的经验，在这里介绍几种常用的重积分计算方法，以及一些小技巧。着重介绍累次积分的计算与变量代换。 一．二重积分的计算 1．常用方法 （1）化累次积分计算法 对于常用方法我们先看两个例子

对于重积分的计算主要采用累次积分法，即把一个二重积分表达为一个二次积分，通过两次定积分的计算求得二重积分值，分析上面的例子累次积分法其主要步骤如下： 第一步：画出积分区域D的草图； 第二步：按区域D和被积函数的情况选择适当的积分次序，并确定积分的上、下限； 第三步：计算累次积分。 需要强调一点的是，累次积分要选择适当的积分次序。积分次序的不同将影响计算的繁简，有些题这两种次序的难易程度可以相差很大，甚至对一种次序可以“积出来”，而对另一种次序却“积不出来”。所以，适当选择积分次序是个很重要的工作。 选择积分次序的原则是：尽可能将区域少分块，以简化计算过程；第一次积分的上、下限表达式要简单，并且容易根据第一次积分的结果作第二次积分。 （2）变量替换法 着重看下面的例子：

在计算定积分时，求积的困难在于被积函数的原函数不易求得。从而适当地在计算重积分时，求积的困难来自两个方面，除了被积函数的原因以外还在而且，有时候其积分区域往往成为困难的主要方面。 利用换元法的好处是可以把被积函数的形状进行转化，以便于用基本求积公式。 于积分区域的多样性。为此，针对不同的区域要讨论重积分的各种不同算法。 （3）极坐标变换公式（主要是∫∫f(x,y)dxdy=∫∫f(pcosθ,psinθ)pdpdθ）

一维、二维、三维高斯积分点及权重-Gauss integrations and weights

Gauss integrations and weights (Containing the program) 高斯积分点以及权重 目录 1.1D bar element(p181 computation mechanics) (2) 2.2D triangle element(p230 computation mechanics) (12) 3.2D quadrilateral element(p182 computation mechanics) (15) 4.3D tetrahedron element(p231 computation mechanics) (17) 5.3D hexahedron element (p187 computation mechanics) (19)

1.1D bar element(p181 computation mechanics)

root3 = 1./sqrt(3.) ; r15 = .2*sqrt(15.) nip = ubound( s , 1 ) w = (/5./9.,8./9.,5./9./); v=(/5./9.*w,8./9.*w,5./9.*w/) select case (element) case('line') select case(nip) case(1) s(1,1)=0. ; wt(1)=2. case(2) s(1,1)=root3 ; s(2,1)=-s(1,1) ; wt(1)=1. ; wt(2)=1. case(3) s(1,1)=r15 ; s(2,1)=.0 ; s(3,1)=-s(1,1) wt = w case(4) s(1,1)=.861136311594053 ; s(2,1)=.339981043584856 s(3,1)=-s(2,1) ; s(4,1)=-s(1,1) wt(1)=.347854845137454 ; wt(2)=.652145154862546 wt(3)=wt(2) ; wt(4)=wt(1) case(5) s(1,1)=.906179845938664 ; s(2,1)=.538469********* s(3,1)=.0 ; s(4,1)=-s(2,1) ; s(5,1)=-s(1,1) wt(1)=.236926885056189 ; wt(2)=.478628670499366 wt(3)=.568888888888889 ; wt(4)=wt(2) ; wt(5)=wt(1) case(6) s(1,1)=.932469514203152 ; s(2,1)=.661209386466265;s(3,1)=.238619186083197 s(4,1)=-s(3,1) ; s(5,1)=-s(2,1) ; s(6,1)=-s(1,1) wt(1)=.171324492379170 ; wt(2)=.360761573048139;wt(3)=.467913934572691 wt(4)=wt(3); wt(5)=wt(2) ; wt(6)=wt(1) case default print*,"wrong number of integrating points for a line" end select

如何当好领导的助手和参谋

如何当好领导的助手和参谋 办公室处于承上启下、协调左右、联系内外的枢纽位置，当好领导的助手参谋作用，是办公室工作重要的要求。衡量办公室工作质量和工作水平如何，不仅要看日常工作运转的效果，还要看对领导决策的参与程度和切入深度，看关键问题、关键环节、关键时刻能不能当好领导的助手参谋。 根据单位的实际情况，如何做好领导的助手参谋作用，就其基本要求而言主要是：一是思想重视，扎实苦干，做好本职工作;二是收集信息，掌握信息，为领导提供及时、准确、全面的信息，进而为领导决策提供超前性、科学性和可操作性的建议和对策；三是为领导的重要活动和会议提供具体的方案，帮助领导处理日常性工作事务，使领导能够集中精力处理大事。 一、思想重视，扎实苦干，做好本职工作 （一）思想重视，培养做好领导助手参谋的意识。当好领导的助手和参谋是我们作为办公室人员的重要职责，首先我们应该在思想上重视，培养做好助手参谋的意识，把工作的重心放在如何协调领导做好工作，协助领导做好决策方面上。没有了这个意识，就很难当好领导的助手参谋，也失去了作为助手参谋的重要意义。 培养助手参谋的意识，要有以“领导为核心”的思想。领导是单位的核心，决策者和责任承担者，处于主导地位。办公室人员则是单位组成的必备元素，具体行为的实施者和操作者。我们要从单位的利益出发，紧紧围绕在领导这个中心，维护领导权力地位，自觉服从领导的安排，同时发挥自己的主观能动性，积极地开展工作，营造一个团结、和谐的上下级关系。 （二）立足本职，不断提高胜任工作能力。做好职责工作，是衡量我们是否称职的主要标志，也是我们能力、水平的体现。领导根据工作需要和我们的实际工作能力水平，分配好个自的工作职责。我们就要认真履行职责，立足本职，不断提高胜任工作能力，对自己、对领导、对单位负责，重点抓好以下几点： 1、明确自己分内职责的内容、范围、权限。从单位的人事安排中，明确自己应该做什么，以什么为工作中心，从中树立全心全意地工作的责任态度，同时明确职责内容与权限的协调关系：一是对文书、档案、人事、政务等自己分内的职责要认真履行；二是对涉及到其他同事业务的，要做好协调步骤。比如，单位对外业务较多，渔政渔港监督科的任务较重，这就需要我们做好协调工作，充分利用人力资源，协助他们把工作做好；三是对可能涉及到领导工作范围的，要善于掌握一个“度”，即是多请示、多汇报，对领导没有授权的，不能轻易越权处理、说话表态。 2、具备“合—分—群”的意识，提高工作效率。对于工作完成的结果，没有最好只有更好。但是人受到能力、精力、经验等因素的限制，无法面面俱到。这就要求我们既要独立自主又要团结一致，具备“合—分—群”的意识。所谓的“合”就是指办公室内部之间是必须一个整体，相互间要协调互助。“分”是指对个人的职责工作要独立自主，按时完成工作。“群”则是指单位是一个群体，合理分配资源，齐心协力，才能把工作做得更好，提高工作效率。 3、积极主动，刻苦工作。刻苦工作是做好分内职责的根本途径，对分内职责的、领导布置的工作一定要在要求的时限内有落实、结果，不怕困难，发扬刻苦工作的优良传统。同时在处理某些日常工作时，应该克服对领导依赖性，不能什么事情都要等领导拿主意，做决定。要培养自己独立处理能力，积极主动，勇于向领导提供切实可行地意见，发挥自己的作用。 4、谦逊好学，与时俱进。谦逊好学是自古以来推崇地美德，一个人的知识和见识都是有限的，要适用社会的竞争，就要做到与时俱进，以虚心、诚心的态度，善于学习和借鉴他人的经验和成功之处，高瞻远瞩，寻求效率最高的方法、技巧和途径。单位刚刚升了级别，扩大了人员编制，出现了新老交接、文化素质参差不齐的局面，这就要求我们必须谦逊好学，学习领导处理工作的思维方法和领导艺术，学习老同志的经验和方法，与时俱进，在交流中总结出更好地方法和对策，达到提高自身素质和工作效率的目的。 5、全面发展，联系实际。单位的业务种类繁多，互相联系，密不可分。作为一个办公室人员，如果单一地掌握本职工作知识是远远不够的，不但会阻滞工作的开展，更无法对工作提出更高的要求和创新的建议。只有全面发展，了解各个科室的基本业务知识，熟悉海洋监察执法的过程，才能在头脑中对单位的业

重积分及其应用

重积分及其应用： ?????? ?????????????? ????++-=++=++==>=== = == ? ?? ? ????+??? ????+===' D z D y D x z y x D y D x D D y D x D D D a y x xd y x fa F a y x yd y x f F a y x xd y x f F F F F F a a M z xoy d y x x I y d y x y I x d y x d y x y M M y d y x d y x x M M x dxdy y z x z A y x f z rdrd r r f dxdy y x f 2 3 22 2 2 3 22 2 2 3 22 2 22D 2 2 ) (),() (),() (),(},,{)0(),,0,0(),(,),(),(),(,),(),(1),()sin ,cos (),(σ ρσ ρσ ρσρσρσ ρσ ρσ ρσ ρθ θθ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心：的面积曲面 柱面坐标和球面坐标： ????????????????????????????????????Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ω ΩΩ+=+=+==== = = ===???=?? ???=====??? ??===dv y x I dv z x I dv z y I dv x M dv z M z dv y M y dv x M x dr r r F d d d drd r r F dxdydz z y x f d drd r dr d r rd dv r z r y r x z r r f z r F dz rdrd z r F dxdydz z y x f z z r y r x z y x r ρρρρρρρ?θ?? θθ??θ?θ ??θ???θ?θ?θθθθθθθπ πθ?)()()(1,1,1sin ),,(sin ),,(),,(sin sin cos sin sin cos sin ) ,sin ,cos (),,(,),,(),,(,sin cos 22222220 ) ,(0 2 2 2 ， ， 转动惯量：， 其中 重心：， 球面坐标：其中： 柱面坐标： 曲线积分： ?? ?==<'+'=≤≤? ? ?==? ?)()()()()](),([),(),(,)()(),(22t y t x dt t t t t f ds y x f t t y t x L L y x f L ?βαψ?ψ?βαψ?β α 特殊情况： 则： 的参数方程为：上连续，在设长的曲线积分）： 第一类曲线积分（对弧

多重积分的方法总结

多重积分的方法总结 引言： 高等数学是一门严密的学科，在学习高数过程中，我认为应用最为广泛的是积分，高数中积分包含了曲面积分、曲线积分、二重积分和三重积分等，它们在许多学科中、生活中应用比较广泛，比如，要计算某个不规则物体的体积就可以运用积分来求解，很多方面均可以转化成微积分的面积，体积的思维来求，这就是它的优点，这种面积和体积是一种抽像的概念了，到了更多重积分又会有更多和意义。那么，下面我将以二重积分和三重积分的定义、计算方法、主要应用公式和二重积分与三重积分的关系为核心来介绍多重积分。（其中计算方法将通过例题来解释） 二重积分 定义： 设二元函数z=f(x,y)定义在有界闭区域D 上,将区域D 任意分成n 个子域Δδi(i=1,2,3,…,n)，并以Δδi 表示第i 个子域的面积.在Δδi 上任取一点(ξi,ηi),作和lim n →+∞ (n/i=1 Σ(ξi,ηi)Δδi).如果当各个子域的直径中的最大值λ趋于零时,此和式的极限存在,则称此极限为函数f(x,y)在区域D 上的二重积分,记为∫∫f(x,y)d δ,即 ∫∫f(x,y)d δ=lim n →+∞ （Σf(ξi,ηi)Δδi ） 这时,称f(x,y)在D 上可积,其中f(x,y)称被积函数,f(x,y)d δ称为被积表达式,d δ称为面积元素, D 称为积分域,∫∫称为二重积分号. 同时二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。 二重积分的计算方法 1直角坐标系中累次积分法 对于直角坐标系下的二重积分主要是对于区域的划分，可以分为如下两类区域来计算。平面点集D={}(,)|1()2(),x y y x y y x a x b ≤≤≤≤为x 型区域；平面点集D= {}(,)|1()2(),x y x y x x y c y d ≤≤≤≤为y 型区域。 x 型区域:若(,)f x y 在x 型区域D 上连续，其中[]1(),2(),y x y x a b 在上连续，则 ??D d y x f σ),(=2()(,)1()b y x dx f x y dy a y x ?? 试计算：I= 2 2y D x e d σ-??的值。 解：画出区域图1只能用先对x 后先对积y 分，则 I=21200y y dy x e dx -??=21 30 13y y e dy -? 由分部积分法，即可算得：

第五级领导者

第五级领导者是指拥有极度的个人谦逊和强烈的职业意志的领导者。拥有这种看似矛盾的复合特性的领导者往往在一个企业从平凡到伟大的飞跃中起着催化剂似的促进作用。第五级领导者位于能力层次的顶部。任何人并不需要从下往上依次经过每一个阶层才能到达顶部，但一名真正意义上的第五级领导者必须具备其他四个更低层次的技能和能力。 第五级领导（Level 5 Leadership）所依据的理论思想是，一个品行无私的、尊重下属、且具有顽强意志的领导者，必能带领同仁勇往直前，实现最佳的组织绩效。第五级领导是谦逊的个性（Personal Humility）与强烈的专业意志（Professional Will）看似矛盾的混合，他们是顽固的、无情的，然而，他们又是谦逊的。他们对自己的公司充满热情，雄心勃勃，但是又绝不允许丝毫个人的自负成为公司发展的桎梏。对于公司来说他们功勋卓著，但是，他们自己却将所有的贡献归功于同仁、属下以及外部帮助，或者用他们的话说，“纯粹是运气”。第五级领导率领的是一支训练有素的队伍，在这支队伍中，员工们思想统一，行动一致，积极配合他的决策和领导。 [编辑] 第五级领导理论的研究发展轨迹是相当独立的，吉姆·柯斯林（Collins）与他的研究人员通过对有15年持续成长历史的公司进行研究，最终“发现”了它。比 较：Servant-Leadership仆人式领导 [编辑] 合适人选（文化背景以及人格特征，而非个人能力）+ 谦逊+ 强烈的专业意志（结合组织目标）= 成功 [编辑] 通过试用与实践发现，第五级领导的作用是明显的。它强调更多的是领导者的人格特征，而不是个人能力。能力并非成功的绝对因素，但是，在成功面前，优秀的品质是不能打折扣的。 [编辑] 1. 发现、雇用合时的人选。

重积分的应用word版

第四节 重积分的应用 1 求半径为a 的球的表面积。 解 取上半球面方程为z=222y x a --，则它在x0y 面上的投影区域D=(){}222,a y x y x ≤+。 由 x z ??=222y x a x --- , x z ??=222y x a y --- 得 2 2 1??? ? ????+??? ????+y z x z = 2 2 2 y x a a --- 因为这函数在闭区域D 上无界，我们不能直接应用曲面面积公式。所以先取区域D 1=(){}222,b y x y x ≤+(0

6400km ） 解 取低心为坐标原点，低心到通讯卫星中心的连线为z 轴，建立坐标系，如图9-40所示。 通讯卫星覆盖的曲面∑是上半球面被半顶角为a 的圆锥面所截得的部分。 的方程为 ????--=? ??? ????+??? ????+=xy D Dxy dxdy yy x R R dxdy y z x z A 2222 2 1 其中∑是曲面在xOy 面上的投影区域，(){}α2222sin ,R y x y x D xy ≤+= 利用极坐标 得 () απρ ρ ρ πρρρ θπ α α cos 122220sin 0 sin 0 2 2 2 2 -=-=-=?? ? R d R R d R R d A R R 由于h R R += αcos ，代入上式 得 h R h R h R R R A +? =??? ? ?+- =2 2212ππ 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 ()()5.42104.63621036246 6 2≈?+?=+=h R h R A π% 又以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔π3 2 角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面。 3．求位于两圆θρsin 2=和θρsin 4=之间的均匀薄片的质心（图9-41） 解 因为闭区域D 对称于y 轴，所以质心C ()y x ,必位于y 轴上，于是

三重积分n重积分简介

§5 二重积分 一、三重积分的概念 1三重积分的物理解释 设非均匀物体A内分布着一种物质，其密度为，(x,y,z)，并假定T在A上连续，那么怎样定义和计算这个物体的质量呢？我们的办法还是通过“分割，近似求和，取极限”这三个步骤得到A的质量是 m= ?(x, y, z)dxdydz A 2三重积分的定义 P243-244 3三重积分的性质、可积条件 与二重积分类似 线性性，单调性，可加性，绝对可积性，乘积可积性，中值定理等? 二、三重积分的计算---化三重积分为累次积分 1长方体[a,b] [c,d] [k,h]上的积分 定理21.15设A二[a,b] [c,d] [e, f]，f是A上的连续函数，那么f在A上的三重积分 b d f 可以化为先对z，后对y,x的积分：丨丨丨f (x, y, z)dxdydz= dx dy f (x, y,z)dz， -a c e A 或先y > x > z: f b d II .1 f (x, y, z)dxdydz= dz dx f(x,y,z)dy e a c A 等等(共6种)，并且此时(f连续时)，各个三次积分的值与积分次序无关，他们都相等。 b d h III f (x, y,z)dxdyd^ dx dv f (x, y,z)dz. ack V 2. 一般区域上的三重积分、简单区域上的三重积分 一般区域上的三重积分、可以分解有限个简单区域上的三重积分简单区域(典型区域)的定义V 二{(x,y,z)|Z i(x,y)乞z ^Z2(x,y), (x,y) D},其中D 为V 在XY 平面上的投影， D =《x, y)|a 兰b, y i(x)兰y 兰y2(x)> 或者D ={(x,y) ^d,x1 (y)兰x2(y)}

领导类型

这种类型的老板具备高支配型特质，竞争力强、好胜心盛、积极自信，是个有决断力的组织者。他胸怀大志、勇于冒险、分析敏锐，主动积极且具极为强烈的企图心，只要认定目标就勇往直前，不畏反抗与攻讦，誓要取得目标的家伙。 因为外向、直觉和判断方面具有与生俱来的优势，他们是典型的领导型人格。他们的心中总是有更高的目标，所以他们永远不会满足已有的成绩。他们喜欢做“领袖”的感觉，说话常以命令式的语气，要求令出即行，不容置疑。他们大都对自己的能力高度自信，喜欢挑战并且有必胜的决心。当然，当有人敢于触犯他们认为合理工作准则时，老虎型老板“发威”的情势也可想而知——办公室里的咆哮声往往来自这种类型的老板。总之，老虎型老板会时时刻刻让人感受到他们的权威。 孔雀型老板：社交与关系导向特质 真面目：热心、乐观、善于言辞、交游广泛 孔雀型老板具有孔雀一样美丽的“羽毛”值得展示，这些包括他们的成功经历，包括他们结交的有名望或者财富的朋友，也包括天文地理经济娱乐体育文学等他们哪怕是粗浅涉猎的知识领域，孔雀型老板并非都华而不实，他们只是找到一种“优雅”的工作方式。从容不迫地工作，热情的对待所有人（当然也包括他们的员工），孔雀型老板具有高度的表达能力，他的社交能力极强，有流畅无碍的口才和热情幽默的风度，在公众场合喜欢侃侃而谈，在团体或社群中容易广结善缘、建立知名度。 孔雀型领导人天生具备乐观与和善的性格，有真诚的同情心和感染他人的能力，即使员工触犯规章，他们也会尽可能平心静气地解决。他们乐于交游，在任何团体内，都是人缘最好的人和最受欢迎的人，是最能吹起领导号角的人物。在以团队合作为主的工作环境中，会有最好的表现。 因此朋友遍布天下，他们乐观积极，哪怕对方接电话会反问一句“您哪位”。他也会继续告诉对方他需要帮助，他们的交际手段往往技术含量很高（这很容易看出），所以虽然对客户彬彬有礼，但是对自己的下属，他们常显得虚伪。 无尾熊型老板：稳健与关系导向特质

重积分的应用

重积分的应用

为了研究重积分的应用，以及重积分在学习生活中的应用，运用重积分的基本概念和应用解决问题. 通过探索重积分在各个领域中的应用,提高解题的效率,改进用基本方法解重积分问题的思想,和处理重积分在各个领域的应用能力．结果表明,重积分的应用非常广泛,不仅在数学的相关领域有重要的应用,而且在实际问题中也发挥着重要作用．由于重积分的重要地位,进而对重积分及其应用进行更深层次的研究和探讨是十分必要的． 关键词: 重积分；转动惯量；不等式 Abstract In order to research the applications of multiple integral，and the applications in learning and life，use the concept and application to solve the problem．Through exploring the various methods of multiple integral in various areas of application, improve the efficiency of the problem solving, improve the basic ways to solve problems with the thought of multiple integral, and processing multiple integral application in all fields ability. The results show that the application of multiple integral is very wide, not only in the related fields of mathematics has an important application, but in the actual problem also plays a role． Because of the important role of the multiple integral, and multiple integral and its application in a better research and discussion is very necessary． Keywords: multiple integral; moment of inertia; inequality 引言 重积分在数学中是一个知识独特、应用广泛的重要内容,是近代数学的 重要基础,是高等数学最基本的内容,也是高等院校其它专业知识联系紧密的部分,它的引入为解决数学中的问题提供了新的视野．

公司领导人简介

团队介绍 全家福酒业主要领导介绍 林国正全家福酒业公司董事长 人生充斥着各种“可能”。如果不是因为有许多可能,我们就不会有许多成功。 真诚地对待每一位朋友，乐于助人.或许您会付出很多，但您已经拥有了诚信，它是迈向一切成功之路的坚强铸石。古往今来，信誉是至高无上的，拥有了信誉，就拥有了成功和财富。只有学会分享与合作才能获得成功与快乐，这也是一个企业领头人海纳百川的博大胸襟。 认真地对待每一位客户，给大家创造一个最好的舞台，每一位渴望成功的朋友都可以通过营运总部这个平台来改善生活甚至改变命运，让任何背景的人们通过自己的努力获得成功和富足，实现心中的梦想，这是我们共同的追求和期盼。乘风破浪会有时，直挂云帆济沧海。 何宗蔚全家福酒业公司总经理 中共党员、武汉大学获《市场营销与公共关系》资格证、系留美复旦大学教授Tina老师的得意门生。他接受过演讲界泰斗--景克林、营销界领袖--路长全、企业管理实战派领袖--李践、大爱天下的慈善家--姜岚昕等多位大师的熏陶和引领，在外企和集团公司的营销领域做出过卓越的贡献。在上海工作八年，养成“务实、高效、率性”的工作风格，0八年转战成都； 从二0一0年五月五日起，他带领着众位同仁，每一天都全身心的投入，无任何杂念的聚焦在公司，让营业额快速大幅递增，造福了更多的人，成就了更多的生命，进一步在实现着公司崇高的使命和宏伟的愿望！ 纵观古今，那些卓有成就的人至少具备：大爱天下、对自己要求狠、思想觉悟高、聚焦当下、诚实守信，您若做到相信生活从此更美满幸福！让我们共同进行精神与物质层面的修炼！ 全家福公司骨干团队 全家福总经理助理兼督查部主管王静姝 全家福中国南区营销总监唐潮 全家福中国北区营销总监都封疆 全家福财务主管刘小玲 全家福生产物流部主管巫小菲 全家福网络负责人张红雷 湖北大区预备主管李泽辉 四川大区预备主管廖波 内蒙大区预备主管邹文军 京津大区预备主管李雨洁 山西大区预备主管陈祖平 市场助销预备主管李骆

二重积分及三重积分的计算

第一部分 定积分的计算 一、定积分的计算 例1 用定积分定义求极限. )0(21lim 1>++++∞→a n n a a a a n . 解 原式=?∑=??? ? ??=∞→1011lim a a n i n x n n i dx = a a x a += ++11 11 1. 例2 求极限 ? +∞→10 2 1lim x x n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知n n x x x ≤+≤ 2 10，于是? +≤1 2 10x x n ?≤1 n x dx dx . 而?1 0n x ()∞→→+=+= +n n n x dx n 01111 01，由夹逼准则得?+∞→1021lim x x n n dx =0. 解法2 利用广义积分中值定理 ()()x g x f b a ? ()()?=b a x g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号） ， ().101111 2 1 02 ≤≤+= +? ? n n n n dx x dx x x ξξ 由于11102≤+≤ n ξ ，即 211n ξ +有界， ()∞→→+=?n n dx x n 0111 0，故?+∞→1021lim x x n n dx =0. 注 （1）当被积函数为( )22,x a x R +或() 22,a x x R -型可作相应变换. 如对积分() ?++3 1 2 2 112x x dx ，可设t x tan =； 对积分 ()0220 2>-? a dx x ax x a ，由于 () 2 222a x a x ax --=-，可设 t a a x s i n =-. 对积分dx e x ? --2 ln 0 21，可设.sin t e x =- （2）()0,cos sin cos sin 2 ≠++=?d c dt t d t c t b t a I π 的积分一般方法如下：

领导要如何虚心听取下属的意见

领导要如何虚心听取下属的意见 [来源：管理沟通] [作者：领导听取下属意见] [日期：12-02-17] 作为领导，只有谦虚才会被你的下属接受，你的下属才会尽心的工作，领导如果在公司中作威作福，不可一世，不听取下属的意见，不能容忍别人左右自己的意见，那么企业肯定会慢慢衰退，甚至退出商业舞台。 不少领导不愿听取下属的意见，大致原因是认为下属能力不足，意见不具备参考价值，这实际上是个误区。下属能力较你弱或许是事实，但并非他们的每个意见都不高明，有些意见可能对方案有补充作用，或者可以通过这些意见了解下属在执行中会有什么心态及要求。那么，领导者该如何保持低调，虚心的听取下属的意见呢？ 首先、鼓励下属提出不同意见 作为领导要让下属经常有提供反馈意见的机会。要让自己的下属清楚的知道，你不仅允许，而且鼓励他们提出自己的看法和批评意见。 下属们经常不愿意表示出与领导者不同的意见，领导者要明确的向下属们说明，领导欢迎不同的看法，而且会认真对待这些意见。 如果领导倾听并考虑了下属的想法，下属们会更加服从指挥，更加拥护决策。如果不鼓励下属思考，下属们会懒得开动脑筋，而是按照领导者的旨意低效率的去执行一项工作。

在工作中，须知倾听、留意下属转达的意见是领导者和下属之间沟通的最有效方法。也是获得正确行动方式的有效方法。 其次、不要给下属泼冷水 尽管下属的意见不可取，领导者也不能当头泼冷水，而是应该诚恳的说：“你的意见我很了解，但是，有些地方显然还需多斟酌，所以目前还无法采用，但我还是很感谢你，今后如果有别的意见，希望你多多提供。”或者说：“以目前的情形，这恐怕不是适当的时机，请你在考虑一下。” 如果领导的措词这么客气的话，尽管意见不被采纳，下属心理也会觉得很舒坦。同时也会仔细检讨自己议案中所忽略的事，然后再提出更完整的构想。像这样激励，就是下属获得成长的原动力。 再次、对不同的异议保持宽容的态度 领导在倾听意见时不要当场作出反应。阻止别人提出异议的最有效方法是坚持固执己见。尤其是当你作为领导时，固执己见是一个明确的信号，表示你不是真正对反馈的意见感兴趣。如果能对异议保持宽容的态度，下属们就会比较自由的提出自己的意见，或是对别人的看法进行发挥。 作为领导对每一种观点都要加以考虑，并认真给予评论。对别人的观点，无论有多愚蠢，多繁琐，都不要置之不理。 最后、对下属提出的意见表示感谢 在接受了一项意见，并按意见执行之后，一定要对提出这条意见的下属表示感谢。这样能让下属觉得自己和自己提出的意见被领导所重视，进而以后会更加积极的提出宝贵的意见。 总之无论从哪个角度将都有必要认真倾听不同意见，因为一个人考虑问题不可能十全十美，况且，就怎么做成一件事来说也很少有标准答案，我们要的是结果。如果大家齐心协力共同完成一个任务，这不是很开心的一件事吗？所以说，大凡英明的领导者都会虚心听取下属的意见和建议。 抓住员工的心理进行沟通 [来源：管理沟通] [作者：管理沟通] [日期：12-02-13] 人的心理很微妙，每个员工都有自己的思想，带着情绪的工作效率一定不会高到哪里去，所以及时沟通便成为每一个优秀管理者的重要的艺术必修课。