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七年级数学下-等式的性质与方程的简单变形-华师大版

七年级数学下-等式的性质与方程的简单变形-华师大版
七年级数学下-等式的性质与方程的简单变形-华师大版

七年级数学导学稿(2)

主备人:卢苏婷审核:杨杰

学习内容:等式的性质与方程的简单变形

学习目标:

1.理解并掌握方程的两个变形规则;

2.使学生了解移项法则,即移项后变号,并且能熟练运用移项法则解方程;

3.运用方程的两个变形规则解简单的方程.

学习过程

一、自主学习

我们来做这样一个实验,测一个物体的质量(设它的质量为x).首先把这个物体放在天平的左盘内,然后在右盘内放上砝码,并使天平处于平衡状态,此时两边的质量相等,那么砝码的质量就是所要称的物体的质量.

请同学来做这样一个实验,如何移动天平左右两盘内的砝码,测物体的质量.

实验1:如图(1)在天平的两边盘内同时取下2个小砝码,天平依然平衡,所测物体的质量等于3个小砝码的质量.

实验2:如图(2)在天平的两边盘内同时取下2个所测物体,天平依然平衡,所测物体的质量等于2个小砝码的质量.

实验3:如图(3)将天平两边盘内物体的质量同时缩少到原来的二分之一,天平依然平衡,所测物体的质量等于3个小砝码的质量.

上面的实验操作过程,反映了等式基本性质:

1、

2、

由等式的基本性质可得方程的变性规则:

方程的两边都加上或都减去,方程的解不变.

方程两边都乘以或都除以,方程的解不变.

请同学们回忆等式的性质和方程的变形规律有何相同之处?并请思考为什么它们有相同之处?

总结:通过实验操作,可求得物体的质量,同样通过对方程进行适当的变形,可以求得方程的解.

二、合作探究

1、解下列方程.

(1)x-5 = 7; (2)4x = 3x-4.

问题:什么是移项?

总结(1)上面两小题方程变形中,均把含未知数x 的项,移到方程的左边,而把常数项移到了方程的右边.

(2)移项需变号,即:跃过等号,改变符号.

三、成果展示

2 、解下列方程:

(1)-7x = 2; (2)

22

3 x ;

注:1.上面两题的变形通常称作“将未知数的系数化为1” .

2.上面两个解方程的过程,都是对方程进行适当的变形,得到x = a 的形式.

四、精讲点拨

3、下面是方程x + 3 = 8的三种解法,请指出对与错,并说明为什么?

(1)x + 3 = 8 = x = 8-3 = 5;

(2)x + 3 = 8,移项得x = 8 + 3,所以x = 11;

(3)x + 3 = 8移项得x = 8-3 , 所以x = 5.

五、当堂检测

1.判断下列方程的解法对不对?如果不对,应怎样改正.

(1)9x = -4,得x = 4

9; (2)

3

553=x ,得x = 1; (3)02

=x ,得x = 2; (4)152+=y y ,得y =53; (5)3 + x = 5,得x = 5 + 3;

(6)3 = x -2,得x = -2-3 .

2.(口答)求下列方程的解.

(1)x -6 = 6; (2)7x = 6x -4;

(3)-5x = 60; (4)2

141=y . 3.下面的移项对不对?如果不对,错在哪里?应当怎样改正?

(1)从7 + x = 13,得到x = 13 + 7;

(2)从5x = 4x + 8,得到5x - 4x = 8 4.用方程的变形解方程:44x + 64 = 328.

课后反思:

华师版七年级下册数学知识点总结.

七年级数学下期期末复习提纲 第六章 一元一次方程 一、基本概念 (一)方程的变形法则 法则1:方程两边都 或 同一个数或同一个 ,方程的解不变。 例如:在方程7-34左右两边都减去7,得到新方程:-33=4-7。 在方程626左右两边都加上4x ,得到新方程:86。 移项:将方程中的某些项改变符号后,从方程的一边移动到另一边,这样的变形叫做移项,注意移项要变号。例如:(1)将方程x -5=7移项得:x =7+5 即 x =12 (2)将方程4x =3x -4移项得:4x -3x =-4即 x =-4 法则2:方程两边都除以或 同一个 的数,方程的解不变。 例如: (1)将方程-5x =2两边都除以-5得:52 (2)将方程x =两边都乘以32得:9 2 这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。 注意: (1)如遇未知数的系数为整数,“系数化为1”时,就要除以这

个整数;如遇到未知数的系数为分数,“系数化为1”时,就要乘以这个分数的倒数。 (2)不论上一乘以或除以数时,都要注意结果的符号。 方程的解的概念:能够使方程左右两边都相等的未知数的值,叫做方程的解。 求不方程的解的过程,叫做解方程。 (二)一元一次方程的概念及其解法 1.定义:只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是,未知数的次数是,这样的方程叫做一元一次方程。 例如:方程7-34、626都是一元一次方程。 而这些方程5x2-31=0、2=l-3y、=5就不是一元一次方程。2.一元一次方程的一般式为:0(其中a、b为常数,且a≠0)一元一次方程的一般式为:(其中a、b为常数,且a≠0)3.解一元一次方程的一般步骤 步骤:去分母,去括号,移项,合并同类项,未知数的系数化为1。注意:(1)方程中有多重括号时,一般应按先去小括号,再去中括号,最后去大括号的方法去括号,每去一层括号合并同类项一次,以简便运算。

均值不等式的4种变形及应用yqh

均值不等式的四种变形及其应用 定理:如果,a b R ∈,那么22 2a b ab +≥(当且仅当a b =取等号)。 这个定理至少有四种变式。 例如 一 第一种变式为2 2 2 2()()a b a b +≥+ 它是怎样用定理“如果,a b R ∈,那么22 2a b ab +≥(当且仅当a b =取等号),”推导 出来的呢?只要在么222a b ab +≥的两边同时加上22 a b +可推出为2 2 2 2()() a b a b +≥+它可以用中文数学语言叙述成“两个非负数的平方和的2倍不小于这两个非负数的和的平方。”什么时候用这一均值不等式的变式呢?凡带有根号形式的不等式证明题可用此第一种变式。 例1设0,0a b >>,1a b +=≤ 证明:2 2(2121)22(1)8a b a b ≤+++=?++= ≤ 例2设x,y 均为正数,10=- y x 且,求证:x-2y 200 ≤(1987年列宁格勒数学奥林匹克试题).证明:用均值不等式的变形公式()(2)2 2 2 b a b a +≤+ y y y x y x y x 2200)100(2)10(10102+=+≤+=?+=?=- 移项得x-2y 200≤. 例3 若a,b,c + ∈R 且a+b+c=1,求证:21141414≤++++ +c b a . 证明:用三元均值不等式的变形公式)(3)(2 2 2 2 c b a c b a ++≤++ .21)141414(3)141414(2=+++++≤+++++c b a c b a 两边开方得出21141414≤++++ +c b a 例4 若a,b,c,d +∈R 且a+b+c+d=1求证:2414141414≤++++++ +d c b a 证明: 用四个变量均值不等式的变形公式)(4)(2 2 2 2 2 d c b a d c b a +++≤+++ 32]4)(4[4)14141414(2=++++≤+++++++d c b a d c b a . 两边开方得出所要证的结果.

最新华师大版七年级数学下册单元测试题全套及答案

最新华师大版七年级数学下册单元测试题全套及答案 第6章综合能力检测题 时间:120分钟 满分:120分 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.已知下列方程:①9x +2;②x 2-5x =2;③1x =3;④13x -15x =1 2(x -3);⑤x +2+y =0.其中一元一次方程有( A ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 2.一元一次方程4x +1=0的解是( B ) A .x =14 B .x =-1 4 C .x =4 D .x =-4 3.下列解方程的过程中,变形正确的是( D ) A .由2x -1=3,得2x =3-1 B .由2x 4-5=5x 3-1,得6x -5=20x -1 C .由-5x =4,得x =-54 D .由x 3-x 2=1,得2x -3x =6 4.若代数式1-x 2与1-x +1 3的值相等,则x 的值是( A ) A .-1 B .1 C .2 D .-2 5.若代数式2x 3n -5与-3x 2(n - 1)是同类项,则n 的值为( C ) A .1 B .2 C .3 D .4 6.某同学在解方程■x +2 3+1=x 时,不小心将■处的数字用墨水弄脏了,于是他看后 面的答案,得知方程的解是x =5,那么■处的数字是( D ) A .5 B .4 C .3 D .2 7.某车间原计划13小时生产一批零件,后来每小时多生产10件,用了12小时,不但完成任务,而且还多生产60件.设原计划每小时生产x 个零件,则所列方程为( B ) A .13x =12(x +10)+60 B .12(x +10)=13x +60 C.x 13-x +60 12=10 D.x +6012-x 13 =0 8.某种商品每件的标价是330元,按标价的八价销售,仍可获利10%,则这种商品每件的进价为( A ) A .240元 B .250元 C .280元 D .300元 9.桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子,杯深均为15公分,各装有10公分高的水,下表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积.今小明将甲、乙两杯内一些水倒入丙杯,过程中水没溢出,使得甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3∶4∶5.若不计杯子厚度,则甲杯内水的高度变为多少公分?( C )

完整word版华东师大版数学七年级下册导学案全册

米易县第二初级中学校导学案学科:数学(华东师大版)年级:七年级(下) 学生姓名:班级:学号: 第1页共48页第6章一元一次6.1从实际问题到方程 学习目的 1.通过对多个实际问题的分析,使学生体会到一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。 2.使学生会列一元一次方程解决一些简单的应用题。 3.会判断一个数是不是某个方程的解。 学习重点、难点 1.重点:会列一元一次方程解决一些简单的应用题。 2.难点:弄清题意,找出“相等关系”。 学习过程 一、复习与预习 小学里已经学过列方程解简单的应用题,让我们回顾一下,如何列方程解应用题? 例如:一本笔记本1.2元。小红有6元钱,那么她最多能买到几本这样的笔记本呢? 解:设小红能买到工本笔记本,那么根据题意,得 1.2x=6 因为1.2×5=6,所以小红能买到5本笔记本。 二、新知: 我们再来看下面一个例子: 问题1:某校初中一年级416名师生乘车外出春游,已有2辆校车可以乘坐64人,还需租用44座的客车多少辆? 问:你能解决这个问题吗? 有哪些方法? 算术法: 列方程解应用题: 设需要租用x辆客车,那么这些客车共可乘44x人,加上乘坐校车的 64人,就是全体师生416人,可得(1)。 解这个方程,就能得到所求的结果。 问:你会解这个方程吗?试试看? 问题2:在课外活动中,张老师发现同学们的年龄大多是13岁,就问同学:“我今年45岁,几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?” 小敏同学很快说出了答案。“三年”。他是这样算的: 1年后,老师46岁,同学们的年龄是14岁,不是老师的三分之一。 2年后,老师47岁,同学们的年龄是15岁,也不是老师的三分之一。 3年后,老师48岁,同学们的年龄是16岁,恰好是老师的三分之一。 你能否用方程的方法来解呢? 通过分析,列出方程:(2) 问:你会解这个方程吗?你能否从小敏同学的解法中得到启发?

均值不等式求最值的常用技巧及习题

利用基本不等式求最值的常用技巧及练习题(含解答)(经典) 一.基本不等式的常用变形 1.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” );若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当 _____________时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当____________时取“=”) 2.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当____________时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当_________时取“=” ) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们和的最小值,当两个正数的和为定植时, 可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的重要条件“一正,二定,三取等” 二、利用基本不等式求最值的技巧: 技巧一:直接求: 例1 已知,x y R + ∈,且满足 134 x y +=,则xy 的最大值为 ________。 解:因为x >0,y>0 ,所以 34x y +≥=当且仅当34x y =,即x=6,y=8时取等 号) 1, 3.xy ∴≤,故xy 的最大值3. 变式:若44log log 2x y +=,求11 x y +的最小值.并求x ,y 的值 解:∵44log log 2x y += 2log 4=∴xy 即xy=16 2 1211211==≥+∴xy y x y x 当且仅当x=y 时等号成立 技巧二:配凑项求 例2:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。

华师大版七年级数学下册单元测试题及答案

华师大版七年级数学下册单元测试题及答案 第6章检测题 时间:120分钟 满分:120分 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.下列各式是一元一次方程的是( D ) A.12x -1=4 5-y B .-5-3=-8 C .x +3 D.x +4-3x 4 =x +1 2.(2017·杭州)设x 、y 、c 是有理数,则下列正确的是( B ) A .若x =y ,则x +c =y -c B .若x =y ,则xc =yc C .若x =y ,则x c =y c D .若x 2c =y 3c ,则2x =3y 3.下列解方程移项正确的是( C ) A .由3x -2=2x -1,得3x +2x =1+2 B .由x -1=2x +2,得x -2x =2-1 C .由2x -1=3x -2,得2x -3x =1-2 D .由2x +1=3-x ,得2x +x =3+1 4.若关于x 的方程2x -4=3m 的解满足方程x +2=m ,则m 的值为( D ) A. 10 B. 8 C. -10 D. -8 5.下列方程的变形正确的是( D ) A .方程3x -2=2x +1,移项,得3x -2x =-1+2 B .方程3-x =2-5(x -1),去括号,得3-x =2-5x -1 C .方程23t =3 2,未知数系数化为1,得t =1 D .方程x -10.2-x 0.5 =1,去分母,得5(x -1)-2x =1 6.解方程2x +13-10x +1 6=1时,去分母后,正确的结果是( C ) A .4x +1-10x +1=1 B. 4x +2-10x -1=1 C. 4x +2-10x -1=6 D. 4x +2-10x +1=6 7.小明在做解方程作业时,不小心将方程2y -12=1 2y -■中的一个常数污染了看不清楚,怎么办呢? 小明想了一想,便翻看书后答案,得到此方程的解是y =-5 3,他很快补好了这个常数,并迅速地完成了作 业,同学们,你们能补出这个常数吗?它应是( C ) A .1 B .2 C .3 D .4 8. 当x =1时,式子1 2 ax 3-3bx +4的值是7,当x = -1时,这个式子的值是( C ) A .7 B .3 C .1 D .-7 9. 某企业组织员工外出旅游,原计划租用28座客车若干辆,但有4人没座位;若租用同样数量的33座客车,只有一辆空余了16个座位,其他车辆都坐满.该企业外出旅游的员工有( D ) A .108人 B .112人 C .120人 D .116人 10.某商场出售甲、乙、丙三种型号的电动车,已知甲型车在第一季度的销售额占这三种车总销售额的56%,第二季度乙、丙两种型号的车的销售额比第一季度减少了a%,但该商场电动车的总销售额比第一季增加了12%,且甲型车的销售额比第一季度增加了23%,则a 的值为( D ).

最新人教版初中七年级上册数学《等式的性质》练习题

第三章一元一次方程 3.1 从算式到方程 3.1.2 等式的性质 1.在4x-2=1+2x两边都减去_______,得2x-2=1,两边再同时加上________,得2x=3,变形依据是________. 2.在1 4 x-1=2中两边乘以_______,得x-4=8,两边再同时加上4,得x=12,变形依据分别是 ________. 3.一件羽绒服降价10%后售出价是270元,设原价x元,得方程() A.x(1-10%)=270-x B.x(1+10%)=270 C.x(1+10%)=x-270 D.x(1-10%)=270 4.甲班学生48人,乙班学生44人,要使两班人数相等,设从甲班调x人到乙班,?则得方程()A.48-x=44-x B.48-x=44+x C.48-x=2(44-x)D.以上都不对 5.为确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文→密文(加密),按收方由密文→明文(解密),已知加密规则为明文a,b,c对应的密文a+1,2b+4,3c+9,例如明文1,2,3对应的密文为2,8,18,如果接收的密文7,18,15,?则解密得到的明文为() A.4,5,6 B.6,7,2 C.2,6,7 D.7,2,6 6.用等式的性质解下列方程: (1)4x-7=13;(2)1 2 x-2=4+ 1 3 x. 7.只列方程,不求解. 某制衣厂接受一批服装订货任务,按计划天数进行生产,如果每天平均生产20套服装,就比订货任务少100套,如果每天平均生产32套服装,就可以超过订货任务20套,问原计划几天完成? 8.某校一间阶梯教室,第1排的座位数为12,从第2排开始,?每一排都比前一排增加a个座位.(1)请在下表的空格里填写一个适当的代数式.

(完整版)均值不等式常考题型

均值不等式及其应用 一.均值不等式 1.(1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤(当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈,则ab b a 2≥+(当且仅当b a =时取“=” ) (3)若* ,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”) 3.若0x >,则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”);若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”) 若0ab ≠,则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ) 4.若R b a ∈,,则2 )2( 2 22b a b a +≤ +(当且仅当b a =时取“=”) 注:(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和为定植时,可以求它们的 积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y =3x 2+12x 2 (2)y =x +1 x 解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧: 技巧一:凑项 例1:已知5 4x < ,求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x --g 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴->Q ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。

最新人教版初中七年级上册数学《等式的性质》教案

3.1.2等式的性质 【知识与技能】 1.了解等式的两条性质. 2.会用等式的性质解简单的(用等式的一条性质)一元一次方程. 【过程与方法】 1.渗透“化归”的思想. 2.培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力. 【情感态度】 培养言必有据的思维能力和良好的思维品质. 【教学重点】 理解和应用等式的性质. 【教学难点】 应用等式的性质把简单的一元一次方程化成“x=a”. 一、情境导入,初步认识 用估算的方法我们可以求出简单的一元一次方程的解.你能用这种方法求出下列方程的解吗? (1)3x-5=22;(2)0.28-0.13y=0.27y+1. 【教学说明】第(1)题要求学生给出解答,第(2)题较复杂,估算比较困难,此时教师提出:我们必须学习解一元一次方程的其他方法. 二、思考探究,获取新知 1.实验演示: 教师先提出实验的要求:请同学们仔细观察实验的过程,思考能否从中发现规律,再用自己的语言叙述你发现的规律,然后按教科书第81页图3.1-1的方法演示实验. 教师可以进行两次不同物体的实验. 2.归纳: 请几名学生回答前面的问题. 在学生叙述发现的规律后,教师进一步引导:等式就像平衡的天平,它具有与上

面的事实同样的性质.比如“8=8”,我们在两边都加上6,就有“8+6=8+6”;两边都减去11,就有“8-11=8-11”. 3.表示: 问题1你能用文字来叙述等式的这个性质吗? 在学生回答的基础上,教师必须说明:等式两边加上的可以是同一个数,也可以是同一个式子. 问题2等式一般可以用a=b来表示.等式的性质1怎样用式子的形式来表示? 4.观察教科书第81页图3.1-2,你又能发现什么规律?你能用实验加以验证吗? 在学生观察图3.1-2时,必须注意图上两个方向的箭头所表示的含义.观察后再请一名学生用实验验证. 然后让学生用两种语言表示等式的性质2. 问题3你能再举几个运用等式性质的例子吗? 如:用5元钱可以买一支钢笔,用2元钱可以买一本笔记本,那么用7元钱就可以买一支钢笔和一本笔记本,15元钱就可以买3支钢笔.相当于: “5元=买1支钢笔的钱;2元=买1本笔记本的钱. 5元+2元=买1支钢笔的钱+买1本笔记本的钱. 3×5元=3×买1支钢笔的钱.” 问题4方程是含有未知数的等式,我们怎样运用上面等式的性质来解方程呢? 我们来看一下教科书第82页例2中的第(1)、(2)题. 通过分析,我们知道所谓“解方程”,就是要求出方程的解“x=?”因此我们需要把方程转化为“x=a(a为常数)”的形式. 设问1:怎样才能把方程x+7=26转化为x=a的形式? 学生回答,教师板书: 解:两边减7,得: x+7-7=26-7, x=19. 设问2:式子“-5x”表示什么?我们把其中的-5叫做这个式子的系数.你能运用

华东师范大学出版社七年级下册数学知识点总结

华东师范大学出版社七年级下册数学知识点总 结 集团文件版本号:(M928-T898-M248-WU2669-I2896-DQ586-M1988)

七年级数学下期期末复习提纲 第六章一元一次方程 一、基本概念 (一)方程的变形法则 法则1:方程两边都或同一个数或同一个,方程的解不变。 例如:在方程7-3x=4左右两边都减去7,得到新方程:-3x+3=4-7。 在方程6x=-2x-6左右两边都加上4x,得到新方程:8x=-6。 移项:将方程中的某些项改变符号后,从方程的一边移动到另一边,这样的变形叫做移项,注意移项要变号。 例如:(1)将方程x-5=7移项得:x=7+5 即 x=12 (2)将方程4x=3x-4移项得:4x-3x=-4即 x=-4 法则2:方程两边都除以或同一个的数,方程的解不变。 例如: (1)将方程-5x=2两边都除以-5得:x=- 5 2 (2)将方程3 2 x= 1 3 两边都乘以 3 2 得:x= 9 2 这里的变形通常称为“将未知数的系数化为1”。 注意: (1)如遇未知数的系数为整数,“系数化为1”时,就要除以这个整数;如遇到未知数的系数为分数,“系数化为1”时,就要乘以这个分数的倒数。 (2)不论上一乘以或除以数时,都要注意结果的符号。 方程的解的概念:能够使方程左右两边都相等的未知数的值,叫做方程的解。 求不方程的解的过程,叫做解方程。 (二)一元一次方程的概念及其解法 1.定义:只含有一个未知数,并且含有未知数的式子都是,未知数的次数是,这样的方程叫做一元一次方程。 例如:方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。 而这些方程5x2-3x+1=0、2x+y=l-3y、 1 x-1 =5就不是一元一次方程。

均值不等式公式完全总结归纳(非常实用)

均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,,则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,,则2 2 2b a ab +≤ (当且仅当b a =时取“=”) 2. (1)若*,R b a ∈,则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈,则ab b a 2≥+ (当且仅当b a =时取“=”) (3)若* ,R b a ∈,则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”) 3.若0x >,则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”) 若0x <,则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”) 若0x ≠,则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 4.若0>ab ,则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”) 若0ab ≠,则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”) 5.若R b a ∈,,则2 )2 (22 2b a b a +≤+(当且仅当b a =时取“=”) 『ps.(1)当两个正数的积为定植时,可以求它们的和的最小值,当两个正数的和 为定植时,可以求它们的积的最小值,正所谓“积定和最小,和定积最大”. (2)求最值的条件“一正,二定,三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』

应用一:求最值 例1:求下列函数的值域 (1)y=3x 2+1 2x 2(2)y=x+ 1 x

解:(1)y =3x 2+1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 = 6 ∴值域为[ 6 ,+∞) (2)当x >0时,y =x +1 x ≥2 x ·1 x =2; 当x <0时, y =x +1x = -(- x -1 x )≤-2 x ·1 x =-2 ∴值域为(-∞,-2]∪[2,+∞) 解题技巧 技巧一:凑项 例 已知5 4 x <,求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解:因450x -<,所以首先要“调整”符号,又1 (42)45 x x -- 不是常数,所以对42x -要进行拆、凑项, 5,5404x x <∴-> ,11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -,即1x =时,上式等号成立,故当1x =时,max 1y =。 评注:本题需要调整项的符号,又要配凑项的系数,使其积为定值。 技巧二:凑系数 例1. 当时,求(82)y x x =-的最大值。 解析:由 知, ,利用均值不等式求最值,必须和为定值或积为 定值,此题为两个式子积的形式,但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值,故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当 ,即x =2时取等号 当x =2时,(82)y x x =-的最大值为8。

七年级数学等式的基本性质

3.4等式的基本性质 一、教学目标 1、知识目标: (1)通过天平实验让学生探索等式具有的性质并予以归纳。 (2)能利用等式的性质解一元一次方程。 2、能力目标:通过实验培养学生探索能力、观察能力、归纳能力和应用新知的能力。 3、情感目标:通过实验操作增强合作交流的意识。 二、教材分析: 1、地位与作用:在掌握了一元一次方程的概念及其初步应用后,需要解决的是一元一次方程的解法,借助于等式的性质来解一元一次方程。为下几节的学习铺平道路.首先通过天平的实验操作,使学生学会观察、尝试分析、归纳等式的性质。然后,利用等式的基本性质解一元一次方程。通过解方程的学习提高了学生观察问题、解决问题的能力. 2、重点:利用等式的性质解方程。 3、难点:对等式的性质的理解及应用。 三、教学准备:天平,砝码. 四、教学过程: 活动(一):温故知新: 实验一:天平一边放重300克的一本书,另一边放50克的砝码多少各个才能使天平保持平衡?准备天平,让学生边做边观察边思考 活动(二):提出问题、解决问题: 问题一:你能解决这个问题吗?在天平平衡后,两边分别同时放上两个砝码,天平还能保持平衡吗?试一试。 问题二:如果把天平看成等式,你能得到什么规律,试一试用文字语言叙述后再用字母表示 先合作、交流,后找多名学生归纳规律,在学生都理解后教师出示: 等式两边同时加上(或减去)同一个代数式,所得结果仍是等式。 设x=y, 则:X+c=y+c x-c=y-c(c为一个代数式) 问题三:如果天平两边砝码的质量同时扩大相同的倍数或同时缩小为原来的几分之一,那么天平还保持平衡吗?你能得到什么规律?并用字母表示。 小组进行实验,总结规律。 等式两边同时乘同一个数(或除以同一个不为0的数),所得结果仍是等式。 设x=y, 则:cx=cy x/c=y/c (c为一个不为零的数) 活动(三)拓展运用: 例1 解下列方程: (1)X+2=5 (2)3=X-5 第一题教师领学生完成,给出解方程的完整步骤,逐步培养学生推理能力。第二题学生口答,教师板书,锻炼学生组织语言能力。 例2 解下列方程: (1)-3X=15 (2)-N/3-2=10 学生独立完成(两生黑板练习),后两生给与评价。 活动(四):议一议: 通过对以上两个方程的求解,请你思考一下,用什么方法可以知道你的解对不对? 合作交流并回答

人教版-数学-七年级上册-《等式的性质》教案1

3.1.2 等式的性质 一、内容及其分析 (一)内容: 第三章第二节,等式的两条性质,解简单的一元一次方程。 (二)分析: 了解和掌握等式的两条性质是掌握一元一次方程的解法的关键。借助天平直观图示归纳得出等式的性质,应用等式的性质解简单的一元一次方程。 二、目标及其分析 1、了解等式的两条性质。 2、会用等式的性质解简单的一元一次方程。 分析: 等式的性质在解方程过程中是依据和关键,但是后面还要学移项、合并等方法,所以两条性质只定为了解,重要的是要学会应用等式性质渗透“”化归的思想解一元一次方程,把方程化归为X=a 的形式。 三、问题诊断分析 同学们在应用等式的性质把简单的方程化归为X=a 形式的过程可能会遇到困难,特别在减法或(除法上有困难)是加(减)含字母的式子;符号遇到负号变换有难点。 解决方法:组织学生认真观察分析、概括,让学生在已有的合并同类项,有理数的加减乘除认知的基础上,从具体例子出发,将新知识转化为已学过的知识。 四、教学过程设计 (一)教学的基本流程 (二)教学情景 问题及例题 1、本节课的学习导入 观察下面方程,你能求出它们的解吗? (1)3X-5=22 (2)0.28-0.13y=0.27y+1 上节课方程的解都是估算出来,但仅靠估算来解比较复杂的方程很有困难,因此我们还 本节课的学习导 入 等式性质的导出及其表示(到用直观天平稠示) 等式的性质的应用(解议程) 目标检测 小结配餐作业

要讨论怎样解方程,因为方程是含有未知数的等式,所以我们先来研究等式具有什么性质? 设计意图:(1)题为了复习,第(2)题用观察比较困难,以引起学生认知冲突,从而引出新课。 2、等式性质的导出及其表示 问题2:观察本图3.1-2你能发现什么规律? 生:从左往右看,发现如果在天平的两边都加上同样的量,天平保持平衡。 从右往左看,发现如果在天平的两边都减去同样的量,天平保持平衡。 师:等式就像平衡天平;具有上面事实同样的性质。 例:2=2 1+3=4 反例:1+2+5≠3+2 2+1=2+1 1+3+5=4+5 2+0=2+0 1+3-5=4-5 2+(-3)=2+(-3) 生:等式的性质1、等式两边加(或减)同一个数(或式子)结果仍相等。 师:用式子形式怎样表示? 生:如果a=c,那么a±c=b±c 问题3、观察课本图3.1-3,你能发现什么规律? 类似可以发现:如果把平衡的天平两边的量都乘以(或除以)同一个量,天平还保持平衡。 类似可以得出等式的性质2:等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数,结果仍相等。 怎样用式子形式表示? 如果a=b,那么ac=bc 如果a=b(c≠0)那么a b c c 问题1、2设计意图:培养学生的看图能力,直观地归纳等式的性质,培养学生语言,概括能力和表达能力。 问题4:你能举几个运用等式性质的例子吗? 设计意图:学会初步应用 3、等式性质的巩固及应用(解方程) 例1:利用等式的性质解下列方程

华师大版七年级数学下册全册教案

华师大版七年级数学下册全册教案 第6章一元一次方程教案 6.1从实际问题到方程 教学目的 1.通过对多个实际问题的分析,使学生体会到一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。 2.使学生会列一元一次方程解决一些简单的应用题。 3.会判断一个数是不是某个方程的解。 重点、难点 1.重点:会列一元一次方程解决一些简单的应用题。 2.难点:弄清题意,找出“相等关系”。 教学过程 一、复习提问 小学里已经学过列方程解简单的应用题,让我们回顾一下,如何列方程解应用题? 例如:一本笔记本1.2元。小红有6元钱,那么她最多能买到几本这样的笔记本呢? 解:设小红能买到工本笔记本,那么根据题意,得 1.2x=6 因为1.2×5=6,所以小红能买到5本笔记本。 二、新授: 我们再来看下面一个例子: 问题1:某校初中一年级328名师生乘车外出春游,已有1辆校车可以乘坐64人,还需租用44座的客车多少辆? 问:你能解决这个问题吗?有哪些方法?

(让学生思考后,回答,教师再作讲评) 算术法:(328-64)÷44=264÷44=6(辆) 列方程解应用题: 设需要租用x 辆客车,那么这些客车共可乘44x 人,加上乘坐校车的64人,就是全体师生328人,可得。 44x+64=328 (1) 解这个方程,就能得到所求的结果。 问:你会解这个方程吗?试试看? (学生可能利用逆运算求解,教师加以肯定,同时指出本章里我们将要学习解方程的另一种方法。) 问题2:在课外活动中,张老师发现同学们的年龄大多是13岁,就问同学:“我今年45岁,几年以后你们的年龄是我年龄的三分之一?” 小敏同学很快说出了答案。“三年”。他是这样算的: 1年后,老师46岁,同学们的年龄是14岁,不是老师的三分之一。 2年后,老师47岁,同学们的年龄是15岁,也不是老师的三分之一。 3年后,老师48岁,同学们的年龄是16岁,恰好是老师的三分之一。 你能否用方程的方法来解呢? 通过分析,列出方程:13+x =3 1(45+x ) (2) 问:你会解这个方程吗?你能否从小敏同学的解法中得到启发? 这个方程不像例l 中的方程(1)那样容易求出它的解,小敏同学的方法启发了我们,可以用尝试,检验的方法找出方程(2)的解。也就是只要将x =1,2,3,4,……代人方程(2)的两边,看哪个数能使两边的值相等,这个数就是这个方程的解。 把x =3代人方程(2),左边=13+3=16,右边=(45+3)=×48=16, 因为左边=右边,所以x =3就是这个方程的解。

(完整版)常用均值不等式及证明证明

2 常用均值不等式及证明证明 Hn n 概念: 1、调和平均数: 1 1 1 a 1 a 2 a n 2、几何平均数: Gn a 1 a 2 1 a n n 3 、算术平均数: An a 〔 a ? a n n 4 、平方平均数: Qn 2 2 a 1 a 2 2 a n n 这四种平均数满足 Hn Gn An Qn 1 r 0 时); D x a i a ; a n n (当 r 0 时)(即 i D 0 a i a ; a n n 则有:当 r=-1、1、0、2 注意到 Hn w Gn< An w Qn 仅是上述不等式的特殊情 形,即 D(-1) w D(0) w D(1) w D(2) 由以上简化,有一个简单结论,中学常用 2 、ab 1 1 a b 均值不等式的变形: (1)对实数a,b ,有a 2 b 2 2ab (当且仅当a=b 时取“=”号),a 2,b 2 0 2ab 对非负实数a,b ,有a a 1> a 2、 、a n R ,当且仅当 a 1 a 2 a n 时取“=”号 均值不等式的一般形式:设函数 D x a i r a ; a n a b a 2 b 2 2 \ 2

⑶ 对负实数a,b ,有 a b -^ ab 0 ⑷ 对实数a,b ,有 a a - b b a - b 2 2 ⑸ 对非负实数a,b ,有 a b 2ab 0 均值不等式的证明: 方法很多,数学归纳法(第一或反向归纳) 、拉格朗日乘数 法、琴生不等式 法、排序 不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明,需要一个辅助结论。 引理:设 A >0, B >0,则 A B n A n nA n-i B 注:引理的正确性较明显,条件 A > 0, B > 0可以弱化为 A > 0, A+B> 0 (用数学归纳法)。 当n=2时易证; 假设当n=k 时命题成立,即 ⑹ 2 . 2 对实数a,b ,有a b a b 2 2 ⑺ 2 对实数a,b,c ,有a b 2 2 c (8) 2 对实数a,b,c ,有 a b 2 c 2 (9) 2 对非负数a,b ,有a ab b 2 a b c (i0) 对实数a,b,c ,有 3 2ab abc 2 ab bc ac 3a b 2 3 abc 原题等价于: n a n a i a 2 a n k a k a i a 2 a k 那么当n=k+i 时,不妨设 a k i 是a i , a 2, ,a k i 中最大者, 则 ka k i a k 1 设 s a i a 2 a k

北师大版七年级数学上等式的基本性质

初中数学试卷 等式的基本性质 知识点1 等式的性质 1.下列变形依据等式性质2的是( ) A .2x =0,则x =0 B .x -3=1,则x =4 C.x 0.1-1=0,则x 0.1 =1 D .m =n ,则m +x =n +x 2.下列变形正确的是( ) A .若3x -1=2x +1,则x =0 B .若ac =bc ,则a =b C .若a =b ,则a c =b c D .若y 5=x 5 ,则y =x 3.用适当的数或式子填空,使得结果仍为等式: (1)若x +5=3,则x =3+____________; (2)若2x =6-3x ,则2x +____=6; (3)若0.2x =1,则x =____;

(4)若-2x =8,则x =_______ 4.用适当的数或式子填空,使所得结果仍是等式,并说明根据的是哪一条性质以及怎样变形的. (1)若2x +7=10,则2x =10-7; (2)若5x =4x +13,则5x -4x =13; (3)若-3x =-18,则x =____; (4)若3(x -2)=-6,则x -2=_______,∴x =____. 知识点2 利用等式的性质解方程 5.利用等式性质解下列方程: (1)8+x =-5; (2)-3x +7=1; (3)-y 2 -3=9. 6.下列方程变形正确的是( ) A .由4x +2=3x +1,得4x +3x =3+1 B .由7x =5,得x =57 C .由y 2 =0,得y =2 D .由x 5 -1=1,得x -5=1 7.根据等式性质,方程5x -1=4x 变形正确的是( ) A .5x +4x =-1

均值不等式常见题型整理

均值不等式 一、 基本知识梳理 1.算术平均值:如果a﹑b ∈R +,那么 叫做这两个正数的算术平均值. 2.几何平均值:如果a ﹑b ∈R+,那么 叫做这两个正数的几何平均值 3.重要不等式:如果a ﹑b ∈R,那么a 2+b 2 ≥ (当且仅当a=b时,取“=”) 均值定理:如果a ﹑b ∈R +,那么 2 a b +≥ (当且仅当a=b 时,取“=”) 均值定理可叙述为: 4.变式变形: ()()() ()()() 22 2 2 1;2 2; 230;425a b ab a b b a ab a b a b +≤ +??≤ ??? +≥>+?? ≤ ??? ≤; 5.利用均值不等式求最值,“和定,积最大;积定,和最小”,即两个正数的和为定值,则 可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值。 注意三个条件:“一正,二定,三相等”即:(1)各项或各因式非负;(2)和或积为定值; (3)各项或各因式都能取得相等的值。 6.若多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“=”号的一致性。 有时为了达到利用均值不等式的条件,需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段,创设一个应用均值不等式的情景。 二、 常见题型: 1、分式函数求最值,如果)(x f y =可表示为B x g A x mg y ++ =) ()(的形式,且)(x g 在定义域内恒正或恒负,,0,0>>m A 则可运用均值不等式来求最值。 例:求函数)01(11 2>->+++= a x x x ax y 且的最小值。 解:1 )1(11112++-+=++-+=+++=x a a ax x x ax ax x x ax y

(完整版)华东师大版七年级下册数学教学计划

华东师大版七年级下册数学教学计划 一、指导思想 为了顺利完成七年级下册数学教学任务,全面贯彻党的教育方针,积极落实《数学新课程标准》的改革观。在教育教学过程中,结合学生的知识水平与能力进行解释与应用,使学生获得对数学知识理解的同时,强化基本计算能力和归纳的能力。培养其探索精神和创新思维。同时提高知识应用的能力,使学生的综合能力得到较大的提升。 二、班情分析 本学期带七年级两个班,共100人,其中男51人,女生49人。通过上学期的教学,学生的计算能力、阅读理解能力、实践探究能力得到了发展与培养,对图形及图形间数量关系有初步的认识,逻辑思维与逻辑推理能力得到了发展与培养,学生由形象思维向抽象思维转变,抽象思维得到了较好的发展,但部分学生没有达到应有的水平,学生课外自主拓展知识的能力几乎没有,很少有学生具有课外阅读相关数学书籍的习惯,没有形成对数学学习的浓厚兴趣,不能自行拓展与加深自己的知识面; 通过教育与训练培养,绝大部分学生能够认真对待每次作业并及时纠正作业中的错误,课堂上能专心致志的进行学习与思考,学生的学习兴趣得到了激发和进一步的发展,课堂整体表现较为活跃,积极开动脑筋,乐于合作学习和善于分享交流在学习中的发现与体会,喜欢动手实践。本学期将继续促进学生自主学习,让学生亲身参与活动,进行探索与发现,以自身的体验获取知识与技能;努力实现基础性与现代性的统一,提高学生的创新精神和实践能力;体现现代信息社会的发展要求,通过各种教学手段帮助学生理解概念,操作运算,扩展思路。 三、教学内容及重难点: 第六章:一元一次方程:本章主要学习一元一次方程及其解的概念和解法与应用。 本章重点:一元一次方程的解法及实际应用。 本章难点:列一元一次方程组解决实际问题。 第七章:二元一次方程组:本章主要学习二元一次议程(组)及其解的概念和解法与应用。 本章重点:二元一次方程组的解法及实际应用。 本章难点:列二元一次方程组解决实际问题。 第八章:不等式与不等式组:本章主要内容是一元一次不等式(组)的解法及简单应用。 本章重点:不等式的基本性质与一元一次不等式(组)的解法与简单应用。 本章难点:不等式基本性质的理解与应用、列一元一次不等式(组)解决简单的实际问题。 第九章:多边形:本章主要学习与三角形有关的线段、角及多边形的内角和等内容。 本章重点:三角形有关线段、角及多边形的内角和的性质与应用。 本章难点:正确理解三角形的高、中线及角平分线的性质并能作图,及三角形内角和的证明与多边形内角和的探究。 第十章:轴对称图形是通过观察与操作,让学生感知确认最为简单的变换——轴对称中隐含着的数学不变量关系,同时辅以数学说理,给学生一定的理性训练与图形 变换的思想。 本章重点:轴对称中隐含着的数学不变量关系,同时辅以数学说理 本章难点:数学说理。 第十一章:机会的均等和不等。简要地介绍了统计数据分析问题时所采用的一种重要的

均值不等式常见题型整理

均值不等式 一、 基本知识梳理 1.算术平均值:如果a ﹑b ∈R +,那么 叫做这两个正数的算术平均值. 2.几何平均值:如果a ﹑b ∈R +,那么 叫做这两个正数的几何平均值 3.重要不等式:如果a ﹑b ∈R ,那么a 2+b 2≥ (当且仅当a=b 时,取“=”) 均值定理:如果a ﹑b ∈R +,那么 2 a b +≥ (当且仅当a=b 时,取“=”) 均值定理可叙述为: 4.变式变形: ()()() ()()() 22 2 2 1;2 2; 230;425a b ab a b b a ab a b a b +≤ +??≤ ??? +≥>+?? ≤ ??? ≤; 5.利用均值不等式求最值,“和定,积最大;积定,和最小”,即两个正数的和为定值,则可求其积的最大值;积为定值,则可求其和的最小值。 注意三个条件:“一正,二定,三相等”即:(1)各项或各因式非负;(2)和或积为定值; (3)各项或各因式都能取得相等的值。 6.若多次用均值不等式求最值,必须保持每次取“=”号的一致性。 有时为了达到利用均值不等式的条件,需要经过配凑﹑裂项﹑转化﹑分离常数等变形手段,创设一个应用均值不等式的情景。

二、 常见题型: 1、分式函数求最值,如果)(x f y =可表示为B x g A x mg y ++ =) ()(的形式,且)(x g 在定义域内恒正或恒负,,0,0>>m A 则可运用均值不等式来求最值。 例:求函数)01(11 2>->+++= a x x x ax y 且的最小值。 解:1 )1(11112++-+=++-+=+++=x a a ax x x ax ax x x ax y 1212211 )1(=-+≥-+++ +=a a a x a x a 当1 )1(+= +x a x a 即x=0时等号成立,1min =∴y 2、题在给出和为定值,求和的最值时,一般情况都要对所求式子进行变形,用已知条件进行代换,变形之后再利用均值不等式进行求最值。 例:已知19 1,0,0=+>>b a b a 且 ,求b a +的最小值。 解法一:169210991=+≥+++=+b a a b b a 思路二:由19 1=+b a 变形可得,9,1,9)9)(1(>>∴=-- b a b a 然后将b a +变形。 解法二:16109210)9)(1(210)9()1(=+=+--≥+-+-=+b a b a b a 可以验证:两种解法的等号成立的条件均为12,4==b a 。 此类题型可扩展为: 设321a a a 、、均为正数,且m a a a =++321,求3 21111a a a S ++= 的最小值。 )111)((13 21321a a a a a a m S ++++= )]()()(3[1 3 22331132112a a a a a a a a a a a a m ++++++= m m 9 )2223(1=+++≥ ,等号成立的条件是321a a a ==。

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