几何图形初步讲义

???几何图形初步讲义

知识要点1．几何图形的分类

2．立体图形与平面图形的相互转化

（1）立体图形的平面展开图：

把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．

（2）从不同方向看：

主（正）视图---------从正面看

几何体的三视图（左、右）视图-----从左（右）边看

俯视图---------------从上面看

（3）几何体的构成元素及关系

几何体是由点、线、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.

要点二、直线、射线、线段

1.直线，射线与线段的区别与联系

立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.

?

?

?

平面图形：三角形、四边形、圆等.

几何图形

2. 基本性质

(1)直线的性质:两点确定一条直线． (2)线段的性质:两点之间，线段最短． 3.画一条线段等于已知线段

（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段. （2）用尺规作图法：用圆规在射线AC 上截取AB=ａ，如下图：

4．线段的比较与运算 （1）线段的比较：

比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.

（2）线段的和与差：

如下图，有AB+BC=AC ，或AC=a+b ；AD=AB-BD 。

（3）线段的中点：

把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：

要点三、角 1．角的度量

（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.

(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：

1

2

AM MB AB =

=b

a M

B

A

（3）角度制及角度的换算

1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. （4）角的分类

5）画一个角等于已知角

（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.

（2）借助量角器能画出给定度数的角.

（3）用尺规作图法.

2．角的比较与运算

（1）角的比较方法: ①度量法；②叠合法.

（2）角的平分线：

从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.

类似地，还有角的三等分线等.

3．角的互余互补关系

余角补角

（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.:

1

2

（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角. （3）结论: 同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等 4．方位角

以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.

知识结构图

基础巩固

1.

在右面的图形中是正方体的展开图的有（ ） （A ）3种 （B ）4种 （C ）5种 （D ）6种 2．下图中, 是正方体的展开图是( )

A B C D

3．如图四个图形都是由6个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（ ）

A ．①②③

B ．②③④

C ．①③④

D ．①②④

4．由下列条件一定能得到“P 是线段AB 的中点”的是（ ） （A ）AP=

21AB （B ）AB ＝2PB （C ）AP ＝PB （D ）AP ＝PB=2

1AB

5．若点B 在直线AC 上，下列表达式：①AC AB 2

1

；②AB=BC ；③AC=2AB ；④AB+BC=AC ． 其中能表示B 是线段AC 的中点的有（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 6.如果点C 在线段AB 上,下列表达式①AC=

1

2

AB;②AB=2BC;③AC=BC;④AC+BC=AB 中, 能表示C 是AB 中点的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

7．已知线段MN ，P 是MN 的中点，Q 是PN 的中点，R 是MQ 的中点，那么MR = ______ MN ．

8．如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ，BC=b ，则线段AD 的长是（ ）

A 2（a-b ） B2a-b C a+b D a-b 9．如图，BO 、CO 分别平分∠ABC 和∠AC

B ， （1）若∠A = 60°，求∠O ；

（2）若∠A =100°，∠O 是多少？若∠A =120°，∠O 又是多少？

（3）由（1）、（2）你又发现了什么规律？当∠A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三角形的内角和等于180°）

10．如图，O 是直线AB 上一点,OC 、OD 、OE 是三条射线,则图中互补的角共有（ ）对 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

11．互为余角的两个角 （ ）

（A ）只和位置有关 （B ）只和数量有关 （C ）和位置、数量都有关 （D ）和位置、数量都无关

A

D

B

M

C

N

12．已知∠1、∠2互为补角，且∠1＞∠2，则∠2的余角是（）

A.1

2

（∠1＋∠2） B.1

2

∠1 C.1

2

（∠1－∠2） D.1

2

∠2

典型例题

例1.下列判断错误的有( )

①延长射线OA；②直线比射线长，射线比线段长；③如果线段PA＝PB，则点P是线段AB的中点；④连接两点间的线段，叫做两点间的距离．

A．0个B．2个C．3个D．4个

举一反三：

【变式】下列说法正确的个数有( )

①若∠1+∠2+∠3＝90°，则∠1，∠2，∠3互余．②互补的两个角一定是一个锐角和一个钝角．③因为钝角没有余角，所以，只有当角为锐角时，“一个角的补角比这个角的余角大”这个说法才正确．

A．0个B．1个C．2个D．3个

例2．如图所示，它们的平面展开图是由5个大小相同的正方形组成，其中沿正方形的边不能折成无盖小方盒的是()．

举一反三：

【变式】已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面圆上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，

回到P点时，所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展平，所得侧面展开图(如图)是()．

例3. (河北)将正方体骰子(相对面上的点数分别为1和6，2和5，3和4)放置于水平桌面上，如图1所示．在图

2中，将骰子向右翻滚90°，然后在桌面上按逆时针方向旋转90°，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是()．

A ．6

B ．5

C ．3

D ．2

例4.(安徽芜湖)如图所示的4×4正方形网格中，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7等于()

A ．330°

B ．315°

C ．310°

D ．320° 举一反三：

【变式】如图所示，AB 和CD 都是直线，∠AOE ＝90°，∠3＝∠FOD ，∠1＝27°20′，求∠2，∠3．

例5.(山东潍坊)用A 、B 、C 分别表示学校、小明家、小红家，已知学校在小明家的南偏东，小红家在小明家正东，小红家在学校北偏东35°，则∠ACB 等于() A ．35° B ．55° C ．60° D ．84° 例6. 如图所示，B 、C 是线段AD 上的两点，且，AC ＝35cm ，BD ＝44cm ，求线段AD 的长．

25°3

2

CD AB

例7. 同一直线上有A 、B 、C 、D 四点，已知AD ＝

DB ，AC ＝CB ，且CD ＝4cm ，求AB 的长．

例8. 如图所示，时钟的时针由3点整的位置(顺时针方向)转过多少度时，与分针第一次重合．

例9．（1）如图，已知∠AOB 是直角，∠BOC =30°，OM 平分∠AOC,ON 平分∠BOC ，求 ∠MON 的度数；

（2）在（1）中∠AOB= ，其它条件不变，求∠MON 的度数；

（3）你能从（1）、（2）中发现什么规律？

599

5

A

M

B

N C

例10．将两个三角板两个直角的顶点O 重合在一起，放置成如图所示的位置． （1）如果重叠在一起40,BOC ∠=?猜想AOD ∠=； （2）如果重叠在一起50,BOC ∠=?，猜想AOD ∠=； （3）在（1）、（2）中，计算AOD BOC ∠+∠=；

（4）由此可知，三角板AOB 绕重合点O 旋转，不论旋转到任何位置，AOD ∠

与BOC ∠始终满足的关系； （5）图中AOC ∠与BOD ∠满足的关系．

例11、如图，,,A O E 三点在同一直线上，20,DOE OB ∠=?平分,AOC ∠且:2:3,COD BOC ∠∠=求AOC ∠的度数.

作业

1．分析下列说法，正确的有（ ）

①长方体、正方体都是棱柱；②三棱柱的侧面是三角形；③圆锥的三视图中：主视图、左视图是三角形，俯视图是圆；④球体的三种视图均为同样大小的图形；⑤直六棱柱有六个侧面、侧面为长方形． A ．2种 B ．3种 C ．4种 D ．5种

2.在4个图形中，只有一个是由如图所示的纸板折叠而成，请你选出正确的一个（ ）．

D

C

B

O E

A

3.下面说法错误的是( )

A.M 是线段AB 的中点，则AB=2AM

B.直线上的两点和它们之间的部分叫做线段

C.一条射线把一个角分成两个角，这条射线叫做这个角的平分线

D.同角的补角相等

4.从点O 出发有五条射线，可以组成的角的个数是( ) A. 4个 B. 5个 C. 7个 D. 10个

5.用一副三角板画角，下面的角不能画出的是（） A ．15°的角

B ．135°的角

C ．145°的角

D ．150°的角

6．如图所示，已知射线OC 平分∠AOB ，射线OD ，OE 三等分∠AOB ，又OF 平分∠AOD ，则图中等于∠BOE 的角共有()．

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

7.已知：线段AC 和BC 在同一条直线上，如果AC=5cm ，BC=3cm ，线段AC 和BC 中点间的距离是（ ）

A ．6

B ．4

C ．1

D ．4或1

8. 平面内两两相交的6条直线，其交点个数最少为m 个，最多为n 个，则m+n 等于（）

A.12

B.16

C.20

D.以上都不对

9．若∠α是它的余角的2倍，∠β是∠α的2倍，那么把∠α和∠β拼在一起(有一条边重合)组成的角是________度． 10．如图是用一样的小立方体摆放的一组几何体，观察该组几何体并探索：照这样摆下去，第五个几何体中共有_______个小立方体，第n 个几何体中共有_______个小立方体．

11、如图，已知20,AB cm D =是AB 上一点，且6,BD cm C =是AD 的中点.

（1） 以点A 为端点的线段有多少条？ （2） 求图中所有线段长度的和.

12、如图，C 是线段AB 上的一点，D 是AC 的中点，E 是BC 的中点， （1）若AC =10cm ，6BC cm =，求线段DE 的长.

（2）若16,AB cm =求线段DE 的长.

（3）若C 是线段AB 延长线上的一点，D 是AC 的中点，E 是BC 的中点，16,AB cm =求线段DE 的长.（提示：根据题意画出示意图）

B

C D A B

E C D A

13、操作：如图1，直线l 上有,A B 两点，线段10,AB cm C 是线段AB 上一点，取AC 中点M 与BC 中点N .

探究：（1）图1中MN 的长度是cm ；

（2）小明作了进一步思考：若C 沿直线l 向线段AB 外运动，仍然取AC 的中点M 与BC 的中点N ，MN 的长度有没有变化呢？你能帮助小明解决这个问题么，试试看.(请选择图2或图3中一种情况进行求解)

14、如图所示，B 、C 是线段AD 上任意两点，M 是AB 的中点，N 是CD 中点，若MN=a ，BC=b ，则线段AD 的长是（ ）

A 2（a-b ）

B 2a-b

C a+b

D a-b

15、拿一张长方形纸片，按图中所示的方法折叠一角，得到折痕EF ，如果∠DFE=36o,

则∠DFA=__________.

16、如图，将长方形的纸片的一角折叠，使顶点A 落在A′处，EF

为折痕，再将另一角折叠，使顶点B 落在EA′

上的B′点处，折痕为EG ，则∠FEG 等于．

图1

l B

N

C

M

A 图3

图2

l

A C N B

l

A M C N B

17、已知：，

，

，求

的大小．

18、如图，将两块直角三角板的直角顶点C 叠放在一起. （1） 若30,DCE ∠=?求ACB ∠的度数； （2） 若140,ACB ∠=?求DCE ∠的度数；

（3） 猜想ACB ∠与DCE ∠的关系，并说明理由.

19、如图，已知OD 是AOC ∠的平分线，BOD ∠=21?，且2BOC AOB ∠=∠，求AOB ∠的度数.

O C

D

B

A

A

C

B

D

E