高考第一轮复习数学：7.4 圆的方程 答案

7.4 圆的方程 答案

●知识梳理 1.圆的方程

（1）圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程

二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*） 将（*）式配方得

（x +2D ）2+（y +2

E ）2=4422

F E D -+.

当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－

2D ，－2

E

），半径r =

21F E D 422-+的圆，把方程

x 2+y 2+Dx +Ey +F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程.

说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点： a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项.

（2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－

2D ，－2

E ），当D 2+E 2－4

F ＜0时，方程（*）不表示任何图形.

（3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程 ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ，

y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ，

y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.

2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件

若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分.

在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +A

F

=0， 仅当（

A D ）2+（A E ）2－42A

F

＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0.

●点击双基

1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 A.－1

1 C.－

7

1

0，得7t 2－6t －1<0，

（θ为参数）

. ① （θ为参数）

. ②

即－

7

1

2.点P （5a +1，12a ）在圆（x －1）2+y 2=1的内部，则a 的取值范围是 A.｜a ｜＜1 B.a ＜13

1 C.｜a ｜＜

51 D .｜a ｜＜13

1 解析：点P 在圆（x －1）2+y 2=1内部

?（5a +1－1）2+（12a ）2＜1

? ｜a ｜＜

13

1. 答案：D

3.已知圆的方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2（r >0），下列结论错误的是 A.当a 2+b 2=r 2时，圆必过原点 B.当a =r 时，圆与y 轴相切 C.当b =r 时，圆与x 轴相切 D .当b

解析：已知圆的圆心坐标为（a ，b ），半径为r ，当b

答案：D

4.（北京海淀区期末练习）将圆x 2+y 2=1按向量a 平移得到圆（x +1）2+（y －2）2

=1，则a 的坐标为____________. 解析：由向量平移公式即得a =（－1，2）. 答案：（－1，2）

5.已知P （1，2）为圆x 2+y 2=9内一定点，过P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点B 、C ，则BC 中点M 的轨迹方程为____________.

解析：Rt △OMC 中，|MP |=

2

1

|BC |（直角三角形斜边上的中线是斜边的一半）

. 故所求轨迹方程为x 2+y 2－x －2y －2=0. 答案：x 2+y 2－x －2y －2=0 ●典例剖析

【例1】 （春季北京）设A （－c ，0）、B （c ，0）（c >0）为两定点，动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a （a >0），求P 点的轨迹.

剖析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题.

解：设动点P 的坐标为（x ，y ），由|||

|PB PA =a （a >0）得2222)()(y

c x y c x +-++=a ，化简，得

（1－a 2）x 2+2c （1+a 2）x +c 2（1－a 2）+（1－a 2）y 2=0.

当a =1时，方程化为x =0.

当a ≠1时，方程化为（x －1

122

-+a a c ）2+y 2=（122-a ac ）2.

所以当a =1时，点P 的轨迹为y 轴；

当a ≠1时，点P 的轨迹是以点（1

1

22-+a a c ，0）为圆心，|122-a ac |为半径的圆.

评述：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代

数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.

【例2】 一圆与y 轴相切，圆心在直线x －3y =0上，且直线y =x 截圆所得弦长为27，求此圆的方程. 剖析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.

解：因圆与y 轴相切，且圆心在直线x －3y =0上，故设圆方程为（x －3b ）2+（y －b ）2=9b 2. 又因为直线y =x 截圆得弦长为27， 则有（

2

|

3|b b -）2+（7）2=9b 2，

解得b =±1.故所求圆方程为

（x －3）2+（y －1）2=9或（x +3）2+（y +1）2=9.

评述：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a 、b 、r 或D 、E 、F ；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数.

【例3】 已知⊙O 的半径为3，直线l 与⊙O 相切，一动圆与l 相切，并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径，求动圆圆心的轨迹方程.

剖析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？ 解：取过O 点且与l 平行的直线为x 轴，过O 点且垂直于l 的直线为y 轴，建立直角坐标系. 设动圆圆心为M （x ，y ），

⊙O 与⊙M 的公共弦为AB ，⊙M 与l 切于点C ，则|MA |=|MC

|.

∵AB 为⊙O 的直径， ∴MO 垂直平分AB 于O .

由勾股定理得|MA |2=|MO |2+|AO |2=x 2+y 2+9，而|MC |=|y +3|， ∴922++y x =|y +3|.

化简得x 2=6y ，这就是动圆圆心的轨迹方程.

评述：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”. ●闯关训练 夯实基础

1.方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0（D 2＋E 2－4F ＞0）表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形，则

A.D +E =0

B. B.D +F =0

C.E +F =0

D. D +E +F =0 解析：曲线关于x +y =0成轴对称图形，即圆心在x +y =0上. 答案：A

2.（全国Ⅱ，8）在坐标平面内，与点A （1，2）距离为1，且与点B （3，1）距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D .4条

解析：分别以A 、B 为圆心，以1、2为半径作圆，两圆的公切线有两条，即为所求. 答案：B

3.（黄冈市调研题）圆x 2+y 2+x －6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx －y +4=0对称，则k =____________. 解析：圆心（－

2

1

，3）在直线上，代入kx －y +4=0，得k =2. 答案：2 4.（全国卷Ⅲ，16）设P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则点P 到直线3x －4y －10=0的 距离的最小值为____________. 解析：圆心（0，0）到直线3x －4y －10=0的距离d =

5

|

10|-=2. 再由d －r =2－1=1，知最小距离为1. 答案：1

5.（启东市调研题）设O 为坐标原点，曲线x 2+y 2+2x －6y +1=0上有两点P 、Q ，满足关于直线x +my +4=0对称，又满足2=0.

（1）求m 的值；

（2）求直线PQ 的方程. 解：（1）曲线方程为（x +1）2+（y －3）2=9表示圆心为（－1，3），半径为3的圆. ∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称， ∴圆心（－1，3）在直线上.代入得m =－1. （2）∵直线PQ 与直线y =x +4垂直， ∴设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），PQ 方程为y =－x +b .

将直线y =－x +b 代入圆方程，得2x 2+2（4－b ）x +b 2－6b +1=0. Δ=4（4－b ）2－4323（b 2－6b +1）>0，得2－32

由韦达定理得x 1+x 2=－（4－b ），x 12x 2=2

1

62+-b b .

y 12y 2=b 2

－b （x 1+x 2）+x 12x 2=2

162+-b b +4b .

∵2OQ =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0， 即b 2－6b +1+4b =0.

解得b =1∈（2－32，2+32）. ∴所求的直线方程为y =－x +1.

6.已知实数x 、y 满足x 2+y 2+2x －23y =0，求x +y 的最小值.

解：原方程为（x +1）2+（y －3）2=4表示一个圆的方程，可设其参数方程为 x =－1+2cos θ，

（θ为参数，0≤θ<2π），则x +y =3－1+2（sin θ+cos θ）=3－+1

y =3+2sin θ 22sin （θ+

4π），当θ=4

π5，即x =－1－2，y =3－2时，x +y 的最小值为3－1－22. 培养能力

7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2－4x +1=0.求 （1）

x

y

的最大值和最小值； （2）y －x 的最小值；

（3）x 2+y 2的最大值和最小值.

解：（1）如图，方程x 2+y 2－4x +1=0表示以点（2，0）为圆心，以3为半径的圆

.

设

x

y

=k ，即y =kx ，由圆心（2，0）到y =kx 的距离为半径时直线与圆相切，斜率取得最大、最小值.由1

|02|2

+-k k =3，

解得k 2=3.

所以k max =3，k min =－3.

（也可由平面几何知识，有OC =2，OP =3，∠POC =60°，直线OP 的倾斜角为60°，直线OP ′的倾斜角为120°解之）

（2）设y －x =b ，则y =x +b ，仅当直线y =x +b 与圆切于第四象限时，纵轴截距b 取最小值.由点到直线的距离公式，得

2

|

02|b +-=3，即b =－2±6，

故（y －x ）min =－2－6.

（3）x 2+y 2是圆上点与原点距离之平方，故连结OC ，与圆交于B 点，并延长交圆于C ′，则（x 2+y 2）max =｜OC ′｜=2+3，

（x 2+y 2）min =｜OB ｜=2－3.

8.（文）求过两点A （1，4）、B （3，2），且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1（2，3），M 2

（2，4）与圆的位置关系.

解：根据圆的标准方程，只要求得圆心坐标和圆的半径即可.

因为圆过A 、B 两点，所以圆心在线段AB 的垂直平分线上.由k AB =

3

12

4--=－1，

AB 的中点为（2，3），

故AB 的垂直平分线的方程为y －3=x －2， 即x －y +1=0.

又圆心在直线y =0上， 因此圆心坐标是方程组

x －y +1=0，

y =0 半径r =22)40()11(-+--=20， 所以得所求圆的标准方程为（x +1）2+y 2=20.

因为M 1到圆心C （－1，0）的距离为22)03()12(-++=18，|M 1C |20，所以M 2在圆C 外.

（理）已知动圆M ：x 2+y 2－2mx －2ny +m 2－1=0与圆N ：x 2+y 2+2x +2y －2=0交于A 、B 两点，且这两点平分圆N 的圆周.

（1）求动圆M 的圆心的轨迹方程； （2）求半径最小时圆M 的方程. 解：（1）如图所示（坐标系省略了），圆心N （－1，－1）为弦AB 的中点，在Rt △AMN 中，

|AM |2=|AN |2+|MN |2，

∴（m +1）2=－2（n +2）.（*）

故动圆圆心M 的轨迹方程为（x +1）2=－2（y +2）. （2）由（*）式，知（m +1）2=－2（n +2）≥0， 于是有n ≤－2.

而圆M 半径r =12+n ≥5，

∴当r =5时，n =－2，m =－1，所求圆的方程为（x +1）2+（y +2）2=5.

探究创新

9.（黄冈市调研考试题）如图，在平面斜坐标系xOy 中，∠xOy =60°，平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：

若OP =x e 1+y e 2（其中e 1、e 2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量），则P 点斜坐标为（x ，y ）.

（1）若P 点斜坐标为（2，－2），求P 到O 的距离|PO |； （2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 解：（1）∵P 点斜坐标为（2，－2），

的解，即圆心坐标为（－1，0）.

∴OP =2e 1－2e 2.

∴||2=（2e 1－2e 2）2=8－8e 12e 2=8－83cos60°=4. ∴||=2，即|OP |=2.

（2）设圆上动点M 的斜坐标为（x ，y ），则OM =x e 1+y e 2.

∴（x e 1+y e 2）2=1. ∴x 2+y 2+2xy e 12e 2=1. ∴x 2+y 2+xy =1.

故所求方程为x 2+y 2+xy =1. ●思悟小结

1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（a 、b 、r 或D 、E 、F ）的值需要确定，因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a 、b 、r （或D 、E 、F ）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值.

2.求圆的方程的一般步骤：

（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；

（2）根据所给条件，列出关于D 、E 、F 或a 、b 、r 的方程组；

（3）解方程组，求出D 、E 、F 或a 、b 、r 的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程. 3.解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质帮助解题.

●教师下载中心 教学点睛

1.在二元二次方程中x 2和y 2的系数相等并且没有x 、y 项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.

2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时，一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标，一般用一般方程.

3.在一般方程中，当D 2+E 2－4F =0时，方程表示一个点（－

2D ，－2

E ），当D 2+E 2－4

F <0时，无轨迹. 4.在解决与圆有关的问题时，要充分利用圆的特殊几何性质，这样会使问题简单化.

5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用，应熟练掌握. 拓展题例

【例1】 圆x 2+y 2=1内有一定点A （2

1

，0），圆上有两点P 、Q ，若∠P AQ =90°，求过点P 和Q 的两条切线的交点M 的轨迹方程.

分析：先求出PQ 中点E 的轨迹方程为x 2+y 2－

21x －8

3

=0. 再求切点弦PQ 所在直线的方程.

解：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则过P 、Q 的切线方程分别是 x 1x +y 1y =1，x 2x +y 2y =1.

又M （m ，n ）在这两条切线上，有mx 1+ny 1=1，mx 2+ny 2=1，

∵P 、Q 两点的坐标满足方程mx +ny =1，又两点确定唯一一条直线， ∴PQ 所在直线的方程是mx +ny =1.

又∵E 为直线OM 与PQ 之交点，解方程组

mx +ny =1 y =

m

n x ?x =

22n m m +，y =2

2n m n

+.

将（22n m m +，22n m n +）代入中点E 的轨迹方程得x 2+y 2+34x －38=0. 这就是要求的过P 、Q 两点的切线交点M 的轨迹方程.

【例2】 如图，过原点的动直线交圆x 2+（y －1）2=1于点Q ，在直线OQ 上取点P ，使P 到直线y =2的距离等于|PQ |，求动直线绕原点转一周时P 点的轨迹方程.

解：设P （x ，y ），圆O 1：x 2+（y －1）2=1与直线y =2切于点A ，连结AQ ，易知|AQ |=|AR |=|x |， 又|PQ |=|PR |=2－y ，

∴在Rt △OQA 中，|OA |2=|AQ |2+|OQ |2， 即22=|x |2+［22y x +－（2－y ）］2， 化简整理得x 2（x 2+y 2－4）=0， ∴x =0或x 2+y 2=4为所求的轨迹方程.

高考数学复习圆的方程专题练习(附答案)

高考数学复习圆的方程专题练习（附答案）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。 一、填空题 1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0 和x轴都相切，则该圆的标准方程是________. [解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1. 又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1， 解得a=2或a=-(舍). 所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. [答案] (x-2)2+(y-1)2=1 2.(2019南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________. [解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上， 该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0， 因此-+1-1=0，解得a=0，所以圆心坐标为(0,1). [答案] (0,1) 3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________. [解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x

联立可求得圆心为(1，-4). 半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. [答案] (x-1)2+(y+4)2=8 4.(2019江苏常州模拟)已知实数x，y满足 x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y|的最小值为________. [解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令 x=2+cos ， y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin | =|7-sin (-7-(tan =2). [答案] 7- 5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________. [解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，所以a+b=2.所以+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b=时取等号. [答案] 9 6.(2019南京市、盐城市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________. [解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，所以kOP==1，kAB=-1， 而直线AB过P点，所以直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即

全国高考数学直线与圆的方程试题汇编

全国高考数学直线与圆的方程试题汇编 一、选择题： 1．（全国Ⅱ卷文科3）原点到直线052=-+y x 的距离为 （ D ） A ．1 B ．3 C ．2 D ．5 2．（福建文科2）“a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的 （ C ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．（四川理科4文科6）将直线3y x =绕原点逆时针旋转90?，再向右平移1个单位，所得到的直线 为 （ A ） A ．1133 y x =- + B ．1 13 y x =- + C ．33y x =- D ．1 13 y x = + 解析：本题有新意，审题是关键．旋转90?则与原直线垂直，故旋转后斜率为13 -．再右移1得 1 (1)3 y x =--． 选A ．本题一考两直线垂直的充要条件，二考平移法则．辅以平几背景之旋转变换． 4．（全国I 卷理科10）若直线 1x y a b +=通过点(cos sin )M αα，，则 （ B ） A ．2 2 1a b +≤ B ．22 1a b +≥ C ．22111a b +≤ D ． 2 211 1a b +≥ 5．（重庆理科7）若过两点P 1(-1,2),P 2(5,6)的直线与x 轴相交于点P ，则点P 分有向线段12PP 所成的 比λ的值为 （ A ） A ．－ 13 B ．－ 15 C ． 15 D ． 13 （重庆文科4）若点P 分有向线段AB 所成的比为－ 1 3，则点B 分有向线段PA 所成的比是（ A ） A ．－ 32 B ．－ 12 C ．12 D ．3 6．（安徽理科8文科10）若过点(4,0)A 的直线l 与曲线2 2 (2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率 的取值范畴为 （ C ） A ．[ B ．( C ．[ D ．( 7．（辽宁文、理科3）圆2 2 1x y +=与直线2y kx =+没有．． 公共点的充要条件是 （ C ）

高考数学一轮复习 圆的方程教案

江苏省泰兴市第三中学2015届高考数学一轮复习 圆的方程教案 教学目标：掌握圆的标准方程，并根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基 本量a 、b 、r ． 重点难点：根据圆的标准方程写出圆心坐标和圆的半径．会用代定系数法求圆的基本量a 、b 、r ． 引入新课 问题1. 圆是最完美的曲线.它是平面内___________________________________________的点的集合？ 问题2．在前面我们学习了直线的方程，只要给出适当的条件就可以写出直线的方程．那么，一个圆能不能用方程表示出来呢？ 问题3．要求一个圆的方程需要哪些条件？如何求得呢？ 建构教学 1．圆的标准方程的推导过程： 2． 圆的标准方程：_________________________________________________________． 3． 点P 圆O 的位置关系的判断： 例题剖析 例1 求圆心是)32(- ，C ，且经过原点的圆的标准方程． 例2 已知隧道的截面是半径为m 4的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为m 7.2，高为m 3的货车能不能驶入这个隧道？ 思考：假设货车的最大宽度为m a 那么货车要驶入该隧道，限高为多少？ 例3 （1）已知圆的直径的两个端点是)21 ( -，A ，)87( ，B ．求该圆的标准方程． （2）已知圆的直径的两个端点是)(11y x A ，，)(22y x B ，．求该圆的标准方程．

例4 （1）求过点)11(- ，A ，)11( -，B ，且圆心C 在直线02=-+y x 上的圆的标准方程． （2）求上述圆C 关于直线210x y -+=的对称的圆1C 课堂小结 圆的标准方程推导；根据圆的方程写出圆心坐标和半径；用代定系数法求圆的标准方程． 数学（理）即时反馈作业 编号：010 圆的标准方程 1、点(2,3)-关于直线1y x =+的对称点为______________ 2、直线l ：2y ax =+和(1,3),(3,1)A B 两点，当直线l 与线段AB 相交时，实数a 的取值范围是 ___________ 3、如图，已知(4,0)A 、(0,4)B ，从点(2,0)P 射出的光线经直线 AB 反向后再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是____________ 4、经过点(5,2)且在x 轴的截距等于y 轴上截距的2倍的直线方程为___________ 5、直线cos 10x y α++=的倾斜角的范围是______________ 6、写出满足下列条件的圆的标准方程： （1）圆心在原点，半径为6： ； （2）经过点)36( ，P ，圆心为)22(- ，C ： ； （3）经过点)22(- ，P ，圆心为)03( ，C ： ； （4）与两坐标轴都相切，且圆心在直线0532=+-y x 上： ； （5）经过点)53( ，A 和)73( -，B ，且圆心在x 轴上： ． 7、在圆)0()()(2 22>=-+-r r b y a x 中，若满足 条件时，圆过原点； 满足 条件时，圆心在y 轴；满足 条件时，圆与x 轴相切； 满足 条件时，圆与两坐标轴都相切； 8、已知点)11( ，P 在圆4)()(22=++-a y a x 的内部，则实数a 的取值范围是_________ 9．求以点)51( -，C 为圆心，并与y 轴相切的圆的标准方程． 10．已知点)54( -，A 和)16(- ，B ，求以线段AB 为直径的圆的标准方程． 11．已知半径为5的圆过点)34( -， P ，且圆心在直线012=+-y x 上，求圆的标准方程． 12．求过两点)40( ， A 和)64( ， B ，且圆心在直线022=--y x 上的圆的标准方程． 13．求圆1)1()1(2 2=-++y x 关于直线03=+-y x 对称的圆的方程 14、已知动点M 到定点)0,8(的距离等于M 到)0,2(的距离的2倍，求动点）（y x M ,中x,y 之间的等量关系，并说明M 的轨迹是什么图形。 中国书法艺术说课教案

高中数学圆的方程典型例题及详细解答

新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

高考数学一轮复习 AB小练习 第十五章解析几何第三节圆的标准方程和一般方程

高考数学一轮复习 AB 小练习 第十五章解析几何第三节圆的 标准方程和一般方程 A 组 1．若圆x 2 ＋y 2 －2kx ＋2y ＋2＝0(k >0)与两坐标轴无公共点，那么实数k 的取值范围为________． 解析：圆的方程为(x －k )2＋(y ＋1)2＝k 2－1，圆心坐标为(k ，－1)，半径r ＝k 2 －1，若 圆与两坐标无公共点，即??? k 2－1<|k | k 2 －1<1 ，解得1

年高考第一轮复习数学圆的方程

7.5 圆的方程 ●知识梳理 1.圆的方程 （1）圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程 二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*） 将（*）式配方得 （x +2D ）2+（y +2 E ）2=4422 F E D -+. 当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－ 2D ，－2 E ），半径r = 21F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0 （D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程. 说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点： a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项. （2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－2D ，－2 E ），当D 2+E 2－4 F ＜0时，方程（*）不表示任何图形. （3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程 ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ， y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ， y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程. 2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件 若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分. 在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +A F =0， 仅当（ A D ）2+（A E ）2－4·A F ＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是：①A =C ≠0，②B =0，③D 2+E 2－4AF ＞0. ●点击双基 1.方程x 2+y 2－2（t +3）x +2（1－4t 2）y +16t 4+9=0（t ∈R ）表示圆方程，则t 的取值范围是 A.－10，得7t 2－6t －1<0， 即－7 1

圆的方程-高考文科数学专题练习

一、填空题 1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程为________． 解析：解法一(直接法) 设圆心坐标为(0，b )，则由题意知(0－1)2＋(b －2)2＝1，解得b ＝2，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 解法二(数形结合法) 作图，根据点(1,2)到y 轴的距离为1易知圆心为(0,2)，故圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1. 答案：x 2＋(y －2)2＝1 2．若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示圆，则实数a 等于________． 解析：由a 2＝a ＋2得a ＝－1或2， 又当a ＝2时， 4x 2＋4y 2＋4x ＋2＝0不表示任何图形， 故a ＝－1. 答案：－1 3．已知点A (4,9)，B (6,3)，则以AB 为直径的圆的标准方程为________． 解析：由题意可知圆心为(5,6)， 半径r ＝12|AB |＝1 2(6－4)2＋(3－9)2＝10， 故圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10. 答案：(x －5)2＋(y －6)2＝10 4．已知圆的方程为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝25. (1)若该圆过原点，则m 的值为________； (2)若点P (m,0)在圆内，则m 的取值范围为________． 解析：(1)由题意可知点(0,0)满足(x －2m )2＋(y ＋m )2＝25， 即5m 2＝25，解得m ＝±5. (2)由题意可知(m －2m )2＋(0＋m )2<25， 即2m 2<25， 解得－522

答案：(1)±5 (2)－522

直线和圆的方程第一轮复习详案

第七章直线和圆的方程 知识结构 第一节直线的倾斜角和斜率 学习目标 1．了解直线的方程、方程的直线的定义； 2．掌握直线的倾斜角、直线的斜率的定义及其取值范围； 3．掌握过两点的直线的斜率公式，会运用公式求出有关直线的斜率和倾斜角． 重点难点 本节重点：正确地理解斜率的概念，熟练地掌握已知直线上两点求直线斜率的公式，这是学好直线这部分内容的关键． 本节难点：正确理解直线倾斜角定义中的几个条件，如直线与x轴相交与不相交，按逆时针方向旋转、最小正角等．求倾斜角时，要特别注意其取值范围是 高考中，由于本节内容是解析几何成果中最基础的部分，一般是隐含在综合题中进行考查． 典型例题

【分析】 【解】 【点评】

【分析】 【解】 【点评】 【解法一】 代数方法：套两点斜率公式． 【解法二】

【点评】 “解析几何的特点之一是数形结合，数无形时少直观，形无数时难入微．”在学习数学时，应该记住华罗庚的这段话．教材上还涉及证明三点共线的练习题，怎样证明三点共线呢？请看下面例4． 【分析】 证明三点共线，可以用代数方法、几何方法，可以用直接证法、间接证法，你能想出至少一个方法吗？下面是同学们讨论出的几种证法供参考． 【证法一】 【证法二】 【证法三】

第二节直线的方程 学习目标 掌握直线方程的点斜式、两点式、参数式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线的方程式． 重点难点 本节重点：直线方程的点斜式和一般式，点斜式是推导直线方程其他形式的基础，一般式是直线方程统一的表述形式．本节难点：灵活运用直线方程的各种形式解题． 在高考中几乎每年都要考查这部分内容，题型以选择题、填空题居多． 典型例题 【分析】 关键是确定直线方程中的待定系数．

高中数学圆的方程典型例题

高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 22)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(22=++= =AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？

东北师大附属中学高三一轮导学案：圆的方程【B】

圆的方程(学案)B 一、知识梳理 1.圆的方程 （1）圆的标准方程 圆心为（a ，b ），半径为r 的圆的标准方程为（x －a ）2+（y －b ）2=r 2. 说明：方程中有三个参量a 、b 、r ，因此三个独立条件可以确定一个圆. （2）圆的一般方程 二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.（*） 将（*）式配方得 （x +2D ）2+（y +2 E ）2=4422 F E D -+. 当D 2+E 2－4F ＞0时，方程（*）表示圆心（－ 2D ，－2 E ），半径r = 21 F E D 422-+的圆，把方程x 2+y 2+Dx +Ey + F =0（D 2+E 2－4F ＞0）叫做圆的一般方程. 说明：（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：（A x 2+B y 2+Cxy+Dx +Ey +F =0） a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项. （2）当D 2+E 2－4F =0时，方程（*）表示点（－ 2D ，－2 E ），当D 2+E 2－4 F ＜0时，方程（*）不表示任何图形. （3）据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组，可确定圆的一般方程. （3）圆的参数方程（4-4选讲内容） ①圆心在O （0，0），半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ， y =r sin θ ②圆心在O 1（a ，b ），半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ， y =b +r sin θ 说明：在①中消去θ得x 2+y 2=r 2，在②中消去θ得（x －a ）2+（y －b ）2=r 2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程. 2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件 若上述二元二次方程表示圆，则有A =C ≠0，B =0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分. 在A =C ≠0，B =0时，二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +A F =0， 仅当（ A D ）2+（A E ）2－4·A F ＞0，即D 2+E 2－4AF ＞0时表示圆. （θ为参数） . ① （θ为参数） . ②

高一数学 高中数学圆的方程专题(四个课时)

高一数学 高中数学圆的方程专题（四个课时） 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ．∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ．所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2=++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ．又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22．∴点P 在圆外． 例2 求半径为4，与圆04242 2 =---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 分析：根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解． 解：则题意，设所求圆的方程为圆2 22)()(r b y a x C =-+-： ． 圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ． 又已知圆04242 2=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3． 若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ． (1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2 221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ． ∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2 224)4()1022(=-++-y x ． (2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2 221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ． ∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2 224)4()622(=+++-y x ． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程．

2013届高三数学第一轮复习《圆的方程》讲义

圆的方程 自主梳理 1．圆的定义 在平面内，到___定点_____的距离等于____定长____的点的___集合_____叫圆． 2．确定一个圆最基本的要素是___.圆心_____和__半径______． 3．圆的标准方程 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)，其中___(a ，b)_____为圆心，__ r __为半径． 4．圆的一般方程 x 2＋y 2 ＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，若化为标准式，即为? ????x ＋D 22＋? ?? ??y ＋E 22＝D 2＋E 2－4F 4． 由于r 2 相当于D 2＋E 2－4F 4 ． 所以①当D 2 ＋E 2 －4F >0时，圆心为? ????－D 2 ，－E 2，半径r ＝D 2＋E 2－4F 2． ②当D 2＋E 2 －4F ＝0时，表示一个点? ????－D 2 ，－E 2． ③当D 2＋E 2 －4F <0时，这样的圆不存在． 5．确定圆的方程的方法和步骤 （1）确定圆的方程必须有三个独立条件 不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a 、b 、r 或D 、E 、F )的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a 、b 、r 或D 、E 、F 的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值． （2）确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于a ，b ，r 或D 、E 、F 的方程组； (3)解出a 、b 、r 或D 、E 、F 代入标准方程或一般方程 6．点与圆的位置关系 点和圆的位置关系有三种． 圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 ，点M (x 0，y 0)， (1)点在圆上：(x 0－a )2＋(y 0－b )2__＝__r 2 ； (2)点在圆外：(x 0－a )2＋(y 0－b )2_>___r 2 ； (3)点在圆内：(x 0－a )2＋(y 0－b )2___<_r 2 . 自我检测 1．圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是______．x 2 ＋(y －2)2 ＝1 2．圆x 2 －2x ＋y 2 －3＝0的圆心到直线x ＋3y －3＝0的距离为___1_____． 3．点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2 ＝25的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( ) A ．x －y －3＝0 B ．2x ＋y －3＝0 C ．x ＋y －1＝0 D ．2x －y －5＝0 4．已知点(0,0)在圆：x 2＋y 2＋ax ＋ay ＋2a 2 ＋a －1＝0外，则a 的取值范围是 _______(－1－73，－1)∪(12，－1＋7 3)____． 5．过圆x 2＋y 2 ＝4外一点P (4,2)作圆的切线，切点为A 、B ，则△APB 的外接圆方程为____(x －2)2＋(y －1)2 ＝5____． 6．已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的两条弦分别为AC 和BD ，

高中数学圆的方程专题复习

高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一：巧用圆系求圆的过程 在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。 当时，得到两圆公共弦所在直线方程 例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。 分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线与圆的交点的圆系方程为：

，即 ………………….① 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则 ，解之可得 又满足方程①，则故 例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解：圆和的公共弦方程为 ，即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ，即 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心 必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程 例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。 分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解：由原方程得 m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①

即 ?? ?-==???=-+=-+4y 9 x 05y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4） 注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2 ＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1， 即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－ 2 1 ， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？ 思考讨论 类型二：直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围. 解：∵曲线24x y -= 表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是 22<≤-m 或22=m . 变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x= 2 1y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2 例6 圆9)3()3(2 2 =-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(2 2 =-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． ∵m ∈R ，∴ 得

2021圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系 教学案 高三数学一轮复习

圆的方程、直线与圆及圆与圆的位置关系 [典例] (2021·全国卷Ⅱ)设抛物线C ：y2＝4x 的焦点为F ，过F 且斜率为k(k ＞0)的直线l 与C 交于A ，B 两点，|AB|＝8. (1)求l 的方程； (2)求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程． [解] (1)由题意得F(1,0)，l 的方程为y ＝k(x －1)(k ＞0)． 设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由??? y ＝k x －1，y2＝4x 得k2x2－(2k2＋4)x ＋k2＝0. Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝2k2＋4k2 . 所以|AB|＝|AF|＋|BF| ＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝4k2＋4k2 . 由题设知4k2＋4k2 ＝8， 解得k ＝1或k ＝－1(舍去)． 因此l 的方程为y ＝x －1. (2)由(1)得AB 的中点坐标为(3,2)， 所以AB 的垂直平分线方程为y －2＝－(x －3)，

即y ＝－x ＋5. 设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)， 则? ?? y0＝－x0＋5， x0＋12＝y0－x0＋122＋16. 解得??? x0＝3，y0＝2或??? x0＝11，y0＝－6. 因此所求圆的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝16或(x －11)2＋(y ＋6)2＝144. [方法技巧] 1．确定圆的方程必须有3个独立条件 不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a ，b ，r 或D ，E ，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a ，b ，r(或D ，E ，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程． 2．几何法在圆中的应用

高考数学必考之圆的方程

高考数学必考之圆的方程 考点一 圆的方程 1．圆心为()3,1，半径为5的圆的标准方程是 【答案】()()2 2 3125x y -+-= 【解析】∵所求圆的圆心为()3,1，半径为5，∴所求圆的标准方程为：()()2 2 3125x y -+-=， 2．已知点()3,6A ，()1,4B ，()1,0C ，则ABC ?外接圆的圆心坐标为 【答案】()5,2 【解析】线段AB 中点坐标为()2,5，线段AB 斜率为 64 131 -=-，所以线段AB 垂直平分线的斜率为1-，故线段AB 的垂直平分线方程为()52y x -=--，即7y x =-+. 线段AC 中点坐标为()2,3，线段AC 斜率为 60331-=-，所以线段AC 垂直平分线的斜率为1 3 -，故线段AC 的垂直平分线方程为()1 323y x -=--，即11133 y x =-+. 由7 5111233y x x y y x =-+?=?? ??? ==-+??? .所以ABC ?外接圆的圆心坐标为()5,2. 3．方程x 2＋y 2＋ax ＋2ay ＋2a 2＋a －1＝0表示圆，则a 的范围是 【答案】－2解得223a -<<. 考点二 点与圆的位置关系

1．点()1,1在圆()2 211x y +-=的（ ） A ．圆上 B ．圆内 C ．圆外 D ．无法判定 【答案】A 【解析】将点()1,1的坐标代入圆()2 211x y +-=的方程即()2 21111+-=，∴点()1,1在圆()2 211x y +-=上， 2．经过点(1,2)A 可做圆2 2 240x y mx y ++-+=的两条切线，则m 的范围是（ ） A ．(,(23,)-∞-+∞ B ．(5,(23,)--+∞ C ．(,)-∞-?+∞ D ．(5,(22,)--+∞ 【答案】B 【解析】圆2 2 240x y mx y ++-+=，即为222 ()(1)324 m m x y -+-= -， 2 304 m ∴->?m <-m > 由题意知点A 在圆外，14440m ∴++-+>，解得5m >-． 所以5m -<<-m >故选B 3．若坐标原点在圆2 2 2 22240x y mx my m +-++-=的内部，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．,22?- ?? C ．( D ．( 【答案】D 【解析】把原点坐标代入圆的方程得:222002020240m m m +-?+?+-< 解得：m <本题正确选项：D

高中数学一轮复习基础讲解圆的方程

高中数学一轮复习基础讲解圆的方程 1．圆的定义及方程 2．点与圆的位置关系 点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2>r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2

高考数学复习《圆的方程》

圆的方程 【考点导读】 1.掌握圆的标准方程与一般方程，能根据问题的条件选择适当的形式求圆的方程；理解圆的标准方程与一般方程之间的关系，会进行互化。 2.本节内容主要考查利用待定系数法求圆的方程，利用三角换元或数形结合求最值问题，题型难度以容易题和中档题为主. 【基础练习】 1.已知点A(3，－2)，B(－5，4)，以线段AB 为直径的圆的方程为(x + 1)2 + (y －1)2 = 25 2.过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程是（x －1）2＋（y －1）2＝4 3.已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为0422=-+x y x 4.圆22420x y x y c +-++=与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=120°，则实数c 值为_-11__ 5.如果方程 220x y Dx Ey F ++++=()2240D E F +->所表示的曲线关于直线y x =对称，那么必有__D=E__ 【范例导析】 【例1】 设方程22242(3)2(14)1690x y m x m y m +-++-++=，若该方程表示一个圆，求m 的取值范围及这时圆心的轨迹方程。 分析:配成圆的标准方程再求解 解：配方得：[]2 222(3)(14)167x m y m m m ??-++--=+-?? 该方程表示圆，则有 2 1670m m +->，得1(,1)7m ∈-，此时圆心的轨迹方程为2341x m y m =+??=-?，消去m ，得24(3)1y x =--，由1(,1)7m ∈-得x =m +320,47??∈ ???∴所求的轨迹方程是24(3)1y x =--，20,47x ??∈ ??? 注意：方程表示圆的充要条件，求轨迹方程时，一定要讨论变量的取值范围，如题中 20,47x ??∈ ??? 变式1：方程224(1)40ax ay a x y +--+=表示圆，求实数a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程。 解：原方程可化为22222(1)24(22)()a a a x y a a a --+??-++=??? ? 2220,a a -+>∴Q 当a 0≠时，原方程表示圆。 又r ===≥