文档库

最新最全的文档下载
当前位置:文档库 > 高考第一轮复习数学:7.4 圆的方程 答案

高考第一轮复习数学:7.4 圆的方程 答案

7.4 圆的方程 答案

●知识梳理 1.圆的方程

(1)圆的标准方程 圆心为(a ,b ),半径为r 的圆的标准方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2. 说明:方程中有三个参量a 、b 、r ,因此三个独立条件可以确定一个圆. (2)圆的一般方程

二次方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.(*) 将(*)式配方得

(x +2D )2+(y +2

E )2=4422

F E D -+.

当D 2+E 2-4F >0时,方程(*)表示圆心(-

2D ,-2

E

),半径r =

21F E D 422-+的圆,把方程

x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)叫做圆的一般方程.

说明:(1)圆的一般方程体现了圆方程的代数特点: a.x 2、y 2项系数相等且不为零. b.没有xy 项.

(2)当D 2+E 2-4F =0时,方程(*)表示点(-

2D ,-2

E ),当D 2+E 2-4

F <0时,方程(*)不表示任何图形.

(3)据条件列出关于D 、E 、F 的三元一次方程组,可确定圆的一般方程. (3)圆的参数方程 ①圆心在O (0,0),半径为r 的圆的参数方程为 x =r cos θ,

y =r sin θ ②圆心在O 1(a ,b ),半径为r 的圆的参数方程为 x =a +r cos θ,

y =b +r sin θ 说明:在①中消去θ得x 2+y 2=r 2,在②中消去θ得(x -a )2+(y -b )2=r 2,把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程.

2.二元二次方程Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件

若上述二元二次方程表示圆,则有A =C ≠0,B =0,这仅是二元二次方程表示圆的必要条件,不充分.

在A =C ≠0,B =0时,二元二次方程化为x 2+y 2+A D x +A E y +A

F

=0, 仅当(

A D )2+(A E )2-42A

F

>0,即D 2+E 2-4AF >0时表示圆. 故Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0表示圆的充要条件是:①A =C ≠0,②B =0,③D 2+E 2-4AF >0.

●点击双基

1.方程x 2+y 2-2(t +3)x +2(1-4t 2)y +16t 4+9=0(t ∈R )表示圆方程,则t 的取值范围是 A.-1

1 C.-

7

1

0,得7t 2-6t -1<0,

(θ为参数)

. ① (θ为参数)

. ②

即-

7

1

2.点P (5a +1,12a )在圆(x -1)2+y 2=1的内部,则a 的取值范围是 A.|a |<1 B.a <13

1 C.|a |<

51 D .|a |<13

1 解析:点P 在圆(x -1)2+y 2=1内部

?(5a +1-1)2+(12a )2<1

? |a |<

13

1. 答案:D

3.已知圆的方程为(x -a )2+(y -b )2=r 2(r >0),下列结论错误的是 A.当a 2+b 2=r 2时,圆必过原点 B.当a =r 时,圆与y 轴相切 C.当b =r 时,圆与x 轴相切 D .当b

解析:已知圆的圆心坐标为(a ,b ),半径为r ,当b

答案:D

4.(北京海淀区期末练习)将圆x 2+y 2=1按向量a 平移得到圆(x +1)2+(y -2)2

=1,则a 的坐标为____________. 解析:由向量平移公式即得a =(-1,2). 答案:(-1,2)

5.已知P (1,2)为圆x 2+y 2=9内一定点,过P 作两条互相垂直的任意弦交圆于点B 、C ,则BC 中点M 的轨迹方程为____________.

解析:Rt △OMC 中,|MP |=

2

1

|BC |(直角三角形斜边上的中线是斜边的一半)

高考第一轮复习数学:7.4  圆的方程 答案

. 故所求轨迹方程为x 2+y 2-x -2y -2=0. 答案:x 2+y 2-x -2y -2=0 ●典例剖析

【例1】 (春季北京)设A (-c ,0)、B (c ,0)(c >0)为两定点,动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值a (a >0),求P 点的轨迹.

剖析:给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一,其基本方法就是把几何条件代数化;主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质,即用代数的方法研究几何问题.

解:设动点P 的坐标为(x ,y ),由|||

|PB PA =a (a >0)得2222)()(y

c x y c x +-++=a ,化简,得

(1-a 2)x 2+2c (1+a 2)x +c 2(1-a 2)+(1-a 2)y 2=0.

当a =1时,方程化为x =0.

当a ≠1时,方程化为(x -1

122

-+a a c )2+y 2=(122-a ac )2.

所以当a =1时,点P 的轨迹为y 轴;

当a ≠1时,点P 的轨迹是以点(1

1

22-+a a c ,0)为圆心,|122-a ac |为半径的圆.

评述:本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识,考查运用解析几何的方法解决问题的能力,对代

数式的运算化简能力有较高要求.同时也考查了分类讨论这一数学思想.

【例2】 一圆与y 轴相切,圆心在直线x -3y =0上,且直线y =x 截圆所得弦长为27,求此圆的方程. 剖析: 利用圆的性质:半弦、半径和弦心距构成的直角三角形.

解:因圆与y 轴相切,且圆心在直线x -3y =0上,故设圆方程为(x -3b )2+(y -b )2=9b 2. 又因为直线y =x 截圆得弦长为27, 则有(

2

|

3|b b -)2+(7)2=9b 2,

解得b =±1.故所求圆方程为

(x -3)2+(y -1)2=9或(x +3)2+(y +1)2=9.

评述:在解决求圆的方程这类问题时,应当注意以下几点:(1)确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程;(2)根据几何关系(如本例的相切、弦长等)建立方程求得a 、b 、r 或D 、E 、F ;(3)待定系数法的应用,解答中要尽量减少未知量的个数.

【例3】 已知⊙O 的半径为3,直线l 与⊙O 相切,一动圆与l 相切,并与⊙O 相交的公共弦恰为⊙O 的直径,求动圆圆心的轨迹方程.

剖析:问题中的几何性质十分突出,切线、直径、垂直、圆心,如何利用这些几何性质呢? 解:取过O 点且与l 平行的直线为x 轴,过O 点且垂直于l 的直线为y 轴,建立直角坐标系. 设动圆圆心为M (x ,y ),

⊙O 与⊙M 的公共弦为AB ,⊙M 与l 切于点C ,则|MA |=|MC

|.

高考第一轮复习数学:7.4  圆的方程 答案

∵AB 为⊙O 的直径, ∴MO 垂直平分AB 于O .

由勾股定理得|MA |2=|MO |2+|AO |2=x 2+y 2+9,而|MC |=|y +3|, ∴922++y x =|y +3|.

化简得x 2=6y ,这就是动圆圆心的轨迹方程.

评述:求轨迹的步骤是“建系,设点,找关系式,除瑕点”. ●闯关训练 夯实基础

1.方程x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)表示的曲线关于x +y =0成轴对称图形,则

A.D +E =0

B. B.D +F =0

C.E +F =0

D. D +E +F =0 解析:曲线关于x +y =0成轴对称图形,即圆心在x +y =0上. 答案:A

2.(全国Ⅱ,8)在坐标平面内,与点A (1,2)距离为1,且与点B (3,1)距离为2的直线共有 A.1条 B.2条 C.3条 D .4条

解析:分别以A 、B 为圆心,以1、2为半径作圆,两圆的公切线有两条,即为所求. 答案:B

3.(黄冈市调研题)圆x 2+y 2+x -6y +3=0上两点P 、Q 关于直线kx -y +4=0对称,则k =____________. 解析:圆心(-

2

1

,3)在直线上,代入kx -y +4=0,得k =2. 答案:2 4.(全国卷Ⅲ,16)设P 为圆x 2+y 2=1上的动点,则点P 到直线3x -4y -10=0的 距离的最小值为____________. 解析:圆心(0,0)到直线3x -4y -10=0的距离d =

5

|

10|-=2. 再由d -r =2-1=1,知最小距离为1. 答案:1

5.(启东市调研题)设O 为坐标原点,曲线x 2+y 2+2x -6y +1=0上有两点P 、Q ,满足关于直线x +my +4=0对称,又满足2=0.

(1)求m 的值;

(2)求直线PQ 的方程. 解:(1)曲线方程为(x +1)2+(y -3)2=9表示圆心为(-1,3),半径为3的圆. ∵点P 、Q 在圆上且关于直线x +my +4=0对称, ∴圆心(-1,3)在直线上.代入得m =-1. (2)∵直线PQ 与直线y =x +4垂直, ∴设P (x 1,y 1)、Q (x 2,y 2),PQ 方程为y =-x +b .

将直线y =-x +b 代入圆方程,得2x 2+2(4-b )x +b 2-6b +1=0. Δ=4(4-b )2-4323(b 2-6b +1)>0,得2-32

由韦达定理得x 1+x 2=-(4-b ),x 12x 2=2

1

62+-b b .

y 12y 2=b 2

-b (x 1+x 2)+x 12x 2=2

162+-b b +4b .

∵2OQ =0,∴x 1x 2+y 1y 2=0, 即b 2-6b +1+4b =0.

解得b =1∈(2-32,2+32). ∴所求的直线方程为y =-x +1.

6.已知实数x 、y 满足x 2+y 2+2x -23y =0,求x +y 的最小值.

解:原方程为(x +1)2+(y -3)2=4表示一个圆的方程,可设其参数方程为 x =-1+2cos θ,

(θ为参数,0≤θ<2π),则x +y =3-1+2(sin θ+cos θ)=3-+1

y =3+2sin θ 22sin (θ+

4π),当θ=4

π5,即x =-1-2,y =3-2时,x +y 的最小值为3-1-22. 培养能力

7.已知实数x 、y 满足方程x 2+y 2-4x +1=0.求 (1)

x

y

的最大值和最小值; (2)y -x 的最小值;

(3)x 2+y 2的最大值和最小值.

解:(1)如图,方程x 2+y 2-4x +1=0表示以点(2,0)为圆心,以3为半径的圆

.

高考第一轮复习数学:7.4  圆的方程 答案

x

y

=k ,即y =kx ,由圆心(2,0)到y =kx 的距离为半径时直线与圆相切,斜率取得最大、最小值.由1

|02|2

+-k k =3,

解得k 2=3.

所以k max =3,k min =-3.

(也可由平面几何知识,有OC =2,OP =3,∠POC =60°,直线OP 的倾斜角为60°,直线OP ′的倾斜角为120°解之)

(2)设y -x =b ,则y =x +b ,仅当直线y =x +b 与圆切于第四象限时,纵轴截距b 取最小值.由点到直线的距离公式,得

2

|

02|b +-=3,即b =-2±6,

故(y -x )min =-2-6.

(3)x 2+y 2是圆上点与原点距离之平方,故连结OC ,与圆交于B 点,并延长交圆于C ′,则(x 2+y 2)max =|OC ′|=2+3,

(x 2+y 2)min =|OB |=2-3.

8.(文)求过两点A (1,4)、B (3,2),且圆心在直线y =0上的圆的标准方程.并判断点M 1(2,3),M 2

(2,4)与圆的位置关系.

解:根据圆的标准方程,只要求得圆心坐标和圆的半径即可.

因为圆过A 、B 两点,所以圆心在线段AB 的垂直平分线上.由k AB =

3

12

4--=-1,

AB 的中点为(2,3),

故AB 的垂直平分线的方程为y -3=x -2, 即x -y +1=0.

又圆心在直线y =0上, 因此圆心坐标是方程组

x -y +1=0,

y =0 半径r =22)40()11(-+--=20, 所以得所求圆的标准方程为(x +1)2+y 2=20.

因为M 1到圆心C (-1,0)的距离为22)03()12(-++=18,|M 1C |20,所以M 2在圆C 外.

(理)已知动圆M :x 2+y 2-2mx -2ny +m 2-1=0与圆N :x 2+y 2+2x +2y -2=0交于A 、B 两点,且这两点平分圆N 的圆周.

(1)求动圆M 的圆心的轨迹方程; (2)求半径最小时圆M 的方程. 解:(1)如图所示(坐标系省略了),圆心N (-1,-1)为弦AB 的中点,在Rt △AMN 中,

高考第一轮复习数学:7.4  圆的方程 答案

|AM |2=|AN |2+|MN |2,

∴(m +1)2=-2(n +2).(*)

故动圆圆心M 的轨迹方程为(x +1)2=-2(y +2). (2)由(*)式,知(m +1)2=-2(n +2)≥0, 于是有n ≤-2.

而圆M 半径r =12+n ≥5,

∴当r =5时,n =-2,m =-1,所求圆的方程为(x +1)2+(y +2)2=5.

探究创新

9.(黄冈市调研考试题)如图,在平面斜坐标系xOy 中,∠xOy =60°,平面上任一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的:

若OP =x e 1+y e 2(其中e 1、e 2分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量),则P 点斜坐标为(x ,y ).

高考第一轮复习数学:7.4  圆的方程 答案

(1)若P 点斜坐标为(2,-2),求P 到O 的距离|PO |; (2)求以O 为圆心,1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 解:(1)∵P 点斜坐标为(2,-2),

的解,即圆心坐标为(-1,0).

∴OP =2e 1-2e 2.

∴||2=(2e 1-2e 2)2=8-8e 12e 2=8-83cos60°=4. ∴||=2,即|OP |=2.

(2)设圆上动点M 的斜坐标为(x ,y ),则OM =x e 1+y e 2.

∴(x e 1+y e 2)2=1. ∴x 2+y 2+2xy e 12e 2=1. ∴x 2+y 2+xy =1.

故所求方程为x 2+y 2+xy =1. ●思悟小结

1.不论圆的标准方程还是一般方程,都有三个字母(a 、b 、r 或D 、E 、F )的值需要确定,因此需要三个独立的条件.利用待定系数法得到关于a 、b 、r (或D 、E 、F )的三个方程组成的方程组,解之得到待定字母系数的值.

2.求圆的方程的一般步骤:

(1)选用圆的方程两种形式中的一种(若知圆上三个点的坐标,通常选用一般方程;若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标间的关系,通常选用标准方程);

(2)根据所给条件,列出关于D 、E 、F 或a 、b 、r 的方程组;

(3)解方程组,求出D 、E 、F 或a 、b 、r 的值,并把它们代入所设的方程中,得到所求圆的方程. 3.解析几何中与圆有关的问题,应充分运用圆的几何性质帮助解题.

●教师下载中心 教学点睛

1.在二元二次方程中x 2和y 2的系数相等并且没有x 、y 项只是表示圆的必要条件而不是充分条件.

2.如果问题中给出了圆心两坐标之间的关系或圆心的特殊位置时,一般用标准方程.如果给出圆上的三个点的坐标,一般用一般方程.

3.在一般方程中,当D 2+E 2-4F =0时,方程表示一个点(-

2D ,-2

E ),当D 2+E 2-4

F <0时,无轨迹. 4.在解决与圆有关的问题时,要充分利用圆的特殊几何性质,这样会使问题简单化.

5.数形结合、分类讨论、函数与方程的思想在解决圆的有关问题时经常运用,应熟练掌握. 拓展题例

【例1】 圆x 2+y 2=1内有一定点A (2

1

,0),圆上有两点P 、Q ,若∠P AQ =90°,求过点P 和Q 的两条切线的交点M 的轨迹方程.

分析:先求出PQ 中点E 的轨迹方程为x 2+y 2-

21x -8

3

高考第一轮复习数学:7.4  圆的方程 答案

=0. 再求切点弦PQ 所在直线的方程.

解:设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则过P 、Q 的切线方程分别是 x 1x +y 1y =1,x 2x +y 2y =1.

又M (m ,n )在这两条切线上,有mx 1+ny 1=1,mx 2+ny 2=1,

∵P 、Q 两点的坐标满足方程mx +ny =1,又两点确定唯一一条直线, ∴PQ 所在直线的方程是mx +ny =1.

又∵E 为直线OM 与PQ 之交点,解方程组

mx +ny =1 y =

m

n x ?x =

22n m m +,y =2

2n m n

+.

将(22n m m +,22n m n +)代入中点E 的轨迹方程得x 2+y 2+34x -38=0. 这就是要求的过P 、Q 两点的切线交点M 的轨迹方程.

【例2】 如图,过原点的动直线交圆x 2+(y -1)2=1于点Q ,在直线OQ 上取点P ,使P 到直线y =2的距离等于|PQ |,求动直线绕原点转一周时P 点的轨迹方程.

高考第一轮复习数学:7.4  圆的方程 答案

解:设P (x ,y ),圆O 1:x 2+(y -1)2=1与直线y =2切于点A ,连结AQ ,易知|AQ |=|AR |=|x |, 又|PQ |=|PR |=2-y ,

∴在Rt △OQA 中,|OA |2=|AQ |2+|OQ |2, 即22=|x |2+[22y x +-(2-y )]2, 化简整理得x 2(x 2+y 2-4)=0, ∴x =0或x 2+y 2=4为所求的轨迹方程.