空间向量练习及答案解析

空间向量练习

一、选择题(共15小题，每小题4.0分,共60分)

1.已知平面α的一个法向量是(2，－1,1)，α∥β，则下列向量可作为平面β的一个法向量的是() A． (4,2，－2) B． (2,0,4) C． (2，－1，－5) D． (4，－2,2)

2.如图，过边长为1的正方形ABCD的顶点A作线段EA⊥平面AC，若EA＝1，

则平面ADE与平面BCE所成的二面角的大小是()

A． 120° B． 45° C． 150° D． 60°

3.已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当

·取得最小值时，点Q的坐标为()

A． B． C． D．

4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A－BD－C，有如下四个结论：

①AC⊥BD；②△ACD是等边三角形；③AB与平面BCD所成的角为60°；④AB与CD所成的角为60°.其中错误的结论是()

A．① B．② C．③ D．④

5.如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点

E，F分别是棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1的夹角是()

A． 45° B． 60° C． 90° D． 120°

6.已知在空间四面体O－ABC中，点M在线段OA上，且OM＝2MA，点N为BC中点，

设＝a，＝b，＝c，则等于()

A．a＋b－ c B．－a＋b＋ c C．a－b＋ c D．a＋b－c

7.已知在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，建立如图所示的空

间直角坐标系，则AB1与D1E所成角的余弦值为()

A． B． C．－ D．－

8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱CC1，BC，A1B1上的点，

若∠B1MN＝90°，则∠PMN的大小()

A．等于90° B．小于90° C．大于90° D．不确定

9.如图，S是正三角形ABC所在平面外一点，M，N分别是AB和SC的中点，SA＝SB＝

SC，且∠ASB＝∠BSC＝∠CSA＝90°，则异面直线SM与BN所成角的余弦值为()

A．－ B． C．－ D．

10.已知平面α内两向量a＝(1,1,1)，b＝(0,2，－1)且c＝ma＋nb＋(4，－4,1)．若c为平

面α的法向量，则m ，n 的值分别为( ) A ． －1,2 B ． 1，－2 C ． 1,2 D ． －1，－2

11.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥底面ABC ，底面ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，D ，E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，则A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为( )

A ．√23

B ．√73

C ．√32

D ．√37

12.如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，2AC ＝AA 1＝BC ＝2，若二面角B 1－DC －C 1的大小为60°，则AD 的长为( ) A ．√2 B ．√3 C ． 2 D ．√22

13.三棱锥A －BCD 中，平面ABD 与平面BCD 的法向量分别为n 1，n 2，若〈n 1，n 2〉＝π

3，则二面角A －BD －C 的大小为( ) A ．π

3 B ．2π

3 C ．π

3或2π

3

D ．π

3或－π

3

14.已知AB ????? ＝(1,5，－2)，BC ????? ＝ (3,1，z )，若AB ????? ⊥BC ????? ，BP ????? ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则BP ????? 等于( ) A ．(407,

15

7,?3) B ．(337

,

15

7

,?3) C ．(?

407

,?

157

,?3) D ．(337

,?

157

,?3)

15.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M ，P ，Q 分别为棱AB ，CD ，BC 的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A 1M ∥D 1P ；②A 1M ∥B 1Q ；③A 1M ∥平面DCC 1D 1；④A 1M ∥平面D 1PQB 1.这四个结论中正确的个数为( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4

二、填空题(共6小题，每小题4.0分,共24分)

16.如图所示，已知正四面体A-BCD 中，AE ＝AB ，CF ＝CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．

17.已知a ＝(3，－2，－3)，b ＝(－1，x －1,1)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是________．

18.如图，平面PAD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，∠PAD ＝90°，且PA ＝AD ＝2，E ，F 分别是线段PA ，CD 的中点，则异面直线EF 与BD 所成角的余弦值为________． 19.如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则点B 1到平面ABC 1的距离为________．

20.如下图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP

????? ，

AE ????? 〉＝√33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．

21.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB

????? ＝(2，－1，－4)，AD ????? ＝(4,2,0)，AP ????? ＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP ????? 是平面ABCD 的法向量；④AP ????? ∥BD ?????? .其中正确的是____________．

三、解答题(共6小题，每小题11.0分,共66分) 22.如图所示，已知四棱锥P －ABCD 的底面为直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD ＝DC ＝1

2AB ＝1，M 是PB 的中点．

(1)证明：面PAD ⊥面PCD ；(2)求AC 与PB 所成角的余弦值； (3)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值．

23.如下图所示，在三棱锥P －ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC . (1)求证：BC ⊥平面PAC ；

(2)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面PAC 所成的角的正弦值； (3)是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角？并说明理由．

24.如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 是棱BC ，CD 的中点，求：(1)直线DF 与B 1F 所成角的余弦值；(2)二面角C 1－EF －A 的余弦值．

25.如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB垂直于AD和BC，侧棱SB⊥平面ABCD，且SB＝AB＝AD＝1，BC＝2.

(1)求SA与CD所成的角；(2)求平面SCD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值．

26.如下图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA 1＝AB＝2，E为棱AA1的中点．

(1)证明B1C1⊥CE；(2)求二面角B1－CE－C1的正弦值．

27.如下图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E为BC的中点，F为CC1的中点．(1)求EF与平面ABCD所成的角的余弦值；(2)求二面角F－DE－C的余弦值．

空间向量练习答案解析

1.【答案】D

【解析】∵α∥β，∴β的法向量与α的法向量平行，又∵(4，－2,2)＝2(2，－1,1)，故选D.

2.【答案】B

【解析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，

则E(0,0,1)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，

＝(1,0，－1)，＝(1,1，－1)．

设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，

则即

可取n＝(1,0,1)．又平面EAD的法向量为＝(1,0,0)，所以cos〈n，〉＝＝，

故平面ADE与平面BCE所成的二面角为45°.

3.【答案】C【解析】设Q(x，y，z)，因Q在上，故有∥，

设＝λ(λ∈R)，可得x＝λ，y＝λ，z＝2λ，

则Q(λ，λ，2λ)，＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，

＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以·＝6λ2－16λ＋10＝62－，

故当λ＝时，·取最小值，此时Q.

4.【答案】C

【解析】如图所示，取BD的中点O，以点O为坐标原点，OD，OA，OC所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，设正方形ABCD边长为，则D(1,0,0)，

B(－1,0,0)，C(0,0,1)，A(0,1,0)，所以＝(0，－1,1)，＝(2,0,0)，·＝0，

故AC⊥BD.①正确．

又||＝，||＝，||＝，所以△ACD为等边三角形．②正确．

对于③，为面BCD的一个法向量，

cos〈，〉＝＝＝＝－.

所以AB与OA所在直线所成的角为45°，

所以AB与平面BCD所成角为45°.故③错误．

又cos〈，〉＝＝＝－.

因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以AB与CD所成角为60°.故④正确．

5.【答案】B

【解析】不妨设AB＝BC＝AA1＝1，

则＝－＝(－)，＝＋，∴||＝|－|＝，||＝，·＝(－)·(＋)＝，∴cos〈，〉＝＝＝，

∴〈，〉＝60°，即异面直线EF与BC1的夹角是60°.

6.【答案】B

【解析】＝－＝(＋)－＝b＋c－a.

7.【答案】A

【解析】∵A(2,2,0)，B1(2,0,2)，E(0,1,0)，D1(0,2,2)，

∴＝(0，－2,2)，＝(0,1,2)，∴||＝2，||＝，·＝0－2＋4＝2，

∴cos〈，〉＝＝＝，又异面直线所成角的范围是，

∴AB1与ED1所成角的余弦值为.

8.【答案】A

【解析】A1B1⊥平面BCC1B1，故A1B1⊥MN，

·＝(＋)·＝·＋·＝0，∴MP⊥MN，即∠PMN＝90°.

9.【答案】B

【解析】不妨设SA＝SB＝SC＝1，以S为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z 轴，建立空间直角坐标系Sxyz，则相关各点坐标为A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，S(0,0,0)，

M，N.

因为＝，＝，

所以||＝，||＝，·＝－，

cos〈，〉＝＝－，

因为异面直线所成的角为锐角或直角，

所以异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为.

10.【答案】A

【解析】 c ＝ma ＋nb ＋(4，－4,1)＝(m ，m ，m )＋(0,2n ，－n )＋(4，－4,1)＝(m ＋4，m ＋2n －4，m －n ＋1)，

由c 为平面α的法向量，得即解得

11.【答案】A

【解析】∵侧棱与底面垂直，∠ACB ＝90°，所以分别以CA ，CB ，CC 1所在

直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系， 设CA ＝CB ＝a ，则A (a,0,0)，B (0，a,0)，A 1(a,0,2)，D (0,0,1)， ∴E (a 2,a

2,1)，G (a 3,a 3,1

3)，GE ????? ＝(a 6,a 6,2

3)，BD ?????? ＝(0，－a,1)， ∵点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的重心G ，

∴GE ????? ⊥平面ABD ，∴GE ????? ·BD ?????? ＝0，解得a ＝2，∴GE ????? ＝(13,13,23

)，BA 1??????? ＝(2，－2,2)，

∵GE ????? ⊥平面ABD ，∴GE ????? 为平面ABD 的一个法向量， 又

cos 〈GE ????? ，BA 1??????? 〉＝GE ????? ·BA 1

???????? |GE ????? ||BA 1???????? |＝4

3√63×2

＝√23，∴A 1B 与平面ABD 所成角的正弦值为√2

3

，故选A.

12.【答案】A

【解析】如下图，以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则C (0,0,0)，A (1,0,0)，B 1(0,2,2)，C 1(0,0,2)

设AD ＝a ，则D 点坐标为(1,0，a )，CD ????? ＝(1,0，a )，CB 1??????? ＝(0,2,2)，设平面B 1CD 的一个法向量为m ＝(x ，y ，z )，

则{

m ·CB 1??????? =0,m ·CD

????? =0?{2y +2z =0,x +az =0,令z ＝－1， 得m ＝(a,1，－1)，又平面C 1DC 的一个法向量为n ＝(0,1,0)， 则由cos 60°＝m·n

|m ||n |，得√a 2+1＝1

2，即a ＝√2，故AD ＝√2. 13.【答案】C

【解析】如图所示，当二面角A －BD －C 为锐角时，它就等于〈n 1，n 2〉＝π

3；当二面

角A －BD －C 为钝角时，它应等于π－〈n 1，n 2〉＝π－π

3＝2π

3. 1

4.【答案】D

【解析】因为AB ????? ⊥BC ????? ，所以AB ????? ·BC ????? ＝0，即1×3＋5×1＋(－2)z ＝0，所以z ＝4， 因为BP ⊥平面ABC ，所以BP

????? ⊥AB ????? ，且BP ????? ⊥BC ????? ，即1×(x －1)＋5y ＋(－2)×(－3)＝0，

且3(x －1)＋y ＋(－3)×4＝0.解得x ＝407，y ＝－157，于是BP ????? ＝(337,?157

,?3).

15.【答案】C

【解析】因为A 1M ???????? ＝A 1A ??????? ＋AM ?????? ＝A 1A ??????? ＋1

2AB ????? ，D 1P ??????? ＝D 1D ???????? ＋DP ????? ＝A 1A ??????? ＋1

2AB ????? ， 所以A 1M ???????? ∥D 1P ??????? ，从而A 1M ∥D 1P ，可得①③④正确． 又B 1Q 与D 1P 不平行，故②不正确．故选C. 16.【答案】 【解析】

＝

＋

＝

＋

，

＝

＋

＝

＋

，

所以cos 〈，〉＝＝＝＝.

17.【答案】 B

【解析】 若两向量的夹角为钝角，则a ·b ＜0，且a 与b 不共线，故3×(－1)＋(－2)×(x －1)＋(－3)×1＜0，且x ≠，解得x ＞－2，且x ≠，故选B. 18.【答案】

【解析】 以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系Axyz ，则E (0,0,1)，F (1,2,0)，B (2,0,0)，D (0,2,0)． ＝(1,2，－1)，＝(－2,2,0)，故cos 〈，〉＝＝.

19.【答案】√217

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

则A (√32,1

2,0)，B (0,1,0)，B 1(0,1,1)，C 1(0,0,1)，则C 1A ??????? ＝(√32,1

2,?1)，C 1B 1????????? ＝

(0,1,0)，C 1B ??????? ＝(0,1，－1)，设平面ABC 1的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，

则有{C 1A ??????? ·n =√32x +12y ?1=0,C 1B ??????? ·n =y ?1=0.解得n ＝(√33,1,1)，

则所求距离为|C 1B 1?????????? ·n |n ||＝√13

+1+1＝√21

7.

20.【答案】(1,1,1)

【解析】设PD ＝a (a ＞0)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，P (0,0，a )，E (1,1,a

2).∴DP ????? ＝(0,0，a )，AE

????? ＝(?1,1,a

2)，

∵cos 〈DP ????? ，AE ????? 〉＝√33

，∴a 2

2

＝a √2+a 2

4

·√33

，∴a ＝2.∴E 的坐标为(1,1,1)．

21.【答案】①②③

【解析】由于AP ????? ·AB ????? ＝－1×2＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝0， AP ????? ·AD ????? ＝4×

(－1)＋2×2＋0×(－1)＝0，所以①②③正确． 22.【答案】因为PA ⊥AD ，PA ⊥AB ，AD ⊥AB ，以A 为坐标原点，AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，

则各点坐标为A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (1,1,0)，D (1,0,0)，P (0,0,1)，M (0,1,1

2)， (1)∵AP ????? ＝(0,0,1)，DC ????? ＝(0,1,0)，故AP ????? ·DC ????? ＝0，∴AP ????? ⊥DC ????? ，∴AP ⊥DC ， 又由题设知：AD ⊥DC ，且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线， 由此得DC ⊥面PAD ，又DC 在面PCD 上，故面PAD ⊥面PCD ； (2)∵AC

????? ＝(1,1,0)，PB ????? ＝(0,2，－1)， ∴|AC ????? |＝√2，|PB ????? |＝√5，AC ????? ·PB

????? ＝2，∴cos 〈AC ????? ，PB ????? 〉＝√105

， 由此得AC 与PB 所成角的余弦值为√10

5

；

(3)在MC 上取一点N (x ，y ，z )，则存在λ∈R ，使NC ????? ＝λMC ?????? ，NC ????? ＝(1－x,1－y ，－z )，MC ?????? ＝(1,0,?1

2)，

∴x ＝1－λ，y ＝1，z ＝1

2

λ.

要使AN ⊥MC ，只需AN ?????? ·MC ?????? ＝0，即x －1

2z ＝0，解得λ＝4

5

， 可知当λ＝4

5时，N 点坐标为(15,1,2

5)，能使AN ?????? ·MC

?????? ＝0， 此时，AN ?????? ＝(15,1,25)，BN ?????? ＝(15,?1,25

)， 由AN ?????? ·MC ?????? ＝0，BN ?????? ·MC ?????? ＝0，得AN ⊥MC ，BN ⊥MC ， ∴∠ANB 为所求二面角的平面角，

∵|AN

?????? |＝√305

，|BN ?????? |＝√305

，AN ?????? ·BN ?????? ＝－4

5，∴cos 〈AN ?????? ，BN ?????? 〉＝－2

3

， 故所求的二面角的余弦值为－2

3.

23.【答案】以A 为原点，AB ????? ，AP ????? 分别为y 轴、z 轴的正方向，过A 点且垂直于平面PAB 的直线为x 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，

设PA ＝a ，由已知可得：A (0,0,0)，B (0，a ，0)，C (√3

4a,3

4a,0)，P (0,0，a )．

(1)AP

????? ＝(0,0，a )，BC ????? ＝(√34a,?a 4,0)，∴BC ????? ·AP ????? ＝0，∴BC ????? ⊥AP ????? ，∴BC ⊥AP ， 又∵∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ，∴BC ⊥平面PAC .

(2)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点，∴D (0,a 2,a

2

)，E (√38

a,38

a,a 2

)，

∴由(1)知，BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ，垂足为点E ， ∴∠DAE 是AD 与平面PAC 所成的角，

∵AD ????? ＝(0,a 2,a 2)，AE ????? ＝(√38a,38a,a 2)，∴cos ∠DAE ＝AD ?????? ·AE ?????

|AD ?????? ||AE ????? |＝√144

， ∴AD 与平面PAC 所成的角的正弦值为√24

.

(3)∵DE ∥BC ，又由(1)知BC ⊥平面PAC ，∴DE ⊥平面PAC ， 又∵AE ?平面PAC ，PE ?平面PAC ，

∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ，∴∠AEP 为二面角A －DE －P 的平面角． ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥AC ，∴∠PAC ＝90°，

∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时∠AEP ＝90°， 故存在点E ，使得二面角A －DE －P 是直二面角．

24.【答案】如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则D (0,2,0)，E (2,1,0)，F (1,2,0)，B 1(2,0,2)，C 1(2,2,2)，

(1)因为DE ????? ＝(2，－1,0)，B 1F ??????? ＝(－1,2，－2)，

所以cos 〈DE ????? ，B 1F ??????? 〉＝DE ?????? ·B 1

F ???????? |DE ?????? ||B 1

F ???????? |＝3√5

＝－4√5

15

， 所以直线DE 与B 1F 所成角的余弦值为

4√5

15

； (2)因为C 1E ??????? ＝(0，－1，－2)，EF ????? ＝(－1,1,0)， 设平面C 1EF 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)， 则由{

n ·C 1E ??????? =0,n ·EF ????? =0,

可得{

?y ?2=0,?x +y =0, 解得x ＝y ＝－2，所以n ＝(－2，－2,1)，又AA 1??????? ＝(0,0,2)是平面AEF 的一个法向量，

所以cos 〈AA 1??????? ，n 〉＝n·AA

1

???????? |n ||AA 1

???????? |＝22×3＝1

3

， 观察图形，可知二面角C 1－EF －A 为钝角，所以二面角C 1－EF －A 的余弦值为－1

3. 25.【答案】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，

则B (0,0,0)，S (0,0,1)，A (1,0,0)，C (0,2,0)，D (1,1,0)，SA ????? ＝(1,0，－1)， CD

????? ＝(1，－1,0)， 因为cos 〈SA ????? ，CD ????? 〉＝SA ????? ·CD ?????

|SA

????? ||CD ????? |＝12，所以SA 与CD 所成的角为60°； (2)设平面SCD 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )， 又SC

???? ＝(0,2，－1)，{n 1·SC

???? =0,n 1·CD

????? =0,所以{

2y ?z =0,x ?y =0, 令x ＝1，则n 1＝(1,1,2)，因为BC ⊥平面SAB ，

所以平面SAB 的一个法向量为n 2＝(0,1,0)，cos 〈n 1，n 2〉＝√6

6

，

所以平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值为√6

6

.

26.【答案】如下图，以点A 为原点建立空间直角坐标系，依题意得A (0,0,0)，B (0,0,2)，C (1,0,1)，B 1(0,2,2)，C 1(1,2,1)，E (0,1,0)．

(1)易得B 1C 1????????? ＝(1,0，－1)，CE ????? ＝(－1,1，－1)，于是B 1C 1????????? ·CE ????? ＝0，所以B 1C 1⊥CE ；

(2)B 1C ??????? ＝(1，－2，－1)，设平面B 1CE 的法向量m ＝(x ，y ，z )，则{

m ·B 1C ??????? =0,m ·CE ????? =0,

即{

x ?2y ?z =0,?x +y ?z =0, 消去x ，得y ＋2z ＝0，不妨令z ＝1，可得一个法向量为m ＝(－3，－2,1)，

由(1)，B 1C 1⊥CE ，又CC 1⊥B 1C 1，可得B 1C 1⊥平面CEC 1，故B 1C 1????????? ＝(1,0，－1)为平面CEC 1的一个法

向量，于是cos 〈m ，B 1C 1????????? 〉＝m·B 1C 1?????????? |m ||B 1C 1

|＝√14×√2＝－2√77，从而sin 〈m ，B 1C 1????????? 〉＝√217

，所以二面角B 1－CE －C 1的正弦值为√217

.

27.【答案】建立如下图所示的空间直角坐标系D-xyz ， 则D (0,0,0)，A (2,0,0)，C (0,2,0)，B (2,2,0)，E (1,2,0)，F (0,2,2)， (1)EF ????? ＝(－1,0,2)，易得平面ABCD 的一个法向量为n ＝(0,0,1)， 设EF ????? 与n 的夹角为θ，则cos θ＝EF

????? ·n |EF ????? ||n|＝2

5√5，∴EF 与平面ABCD 所成的角的余弦值为

2√5

5

； (2)EF ????? ＝(－1,0,2)，DF ????? ＝(0,2,2)，设平面DEF 的一个法向量为m ，则m ·DF ????? ＝0，m ·EF

????? ＝0， 可得m ＝(2，－1,1)，∴cos 〈m ，n 〉＝m·n

|m ||n |＝√66

，∴二面角F －DE －C 的余弦值为√6

6

.

空间解析几何与向量代数论文

空间解析几何与向量代数 呼伦贝尔学院 计算机科学与技术学院 服务外包一班 2013级 2014.5.4 小组成员： 宋宝文 柏杨白鸽 李强白坤龙

空间解析几何与向量代数 摘要：深入了解空间解析几何与向量代数的概念，一一讲述他们的区别和用途。向量的集中加减乘法和运算规律，还有空间直线与平面的关系。 关键词：向量；向量代数；空间几何 第一部分：向量代数 第一节：向量 一.向量的概念： 向量：既有大小，又有方向的量成为向量（又称矢量）。 表示法：有向线段a 或a 。 向量的模:向量的打小，记作|a |。 向径（矢径）：起点为原点的向量。 自由向量：与起点无关的向量。 单位向量：模为1的向量。 零向量：模为0的向量，记作.0或0 若向量a 与b 大小相等，方向相同，则称a 与b 相等，记作a =b ； 若向量a 与b 方向相同或相反，则称a 与b 平行，记作a //b 规定：零向量与任何向量平行；与a 的模相同，但方向相反的向量称为a 的负向量， 记作-a ；因平行向量可平移到同一直线上，故两向量平行又称两向量共线。若K 3 个向量经平移可移到同一平面上，则称此K 个向量共面。 二.向量的线性运算 1.向量的加法 平行四边形法则： b a +b a 三角形法则： a + b b

a 运算规律：交换律a + b =b +a a 与b 结合律：（a +b ）+c =a +（b +c ） 三角形法则可推广到多个向量相加。 2.向量的减法 b -a =b +（a ） a b -a b b -a a 特别当b =a 时，有a -a =a （a ）=0 ； 三角不等式：|b +a |； |a -b |； 3.向量与数的乘法是一个数，与a 的乘积是一个新向量，记作a 。 规定： a 与a 同向时，|a |=|a |； 总之：|a | | |a | 三.向量的模、方向角 1.向量的模与两点间的距离公式 设r （x,y,z ）,作om r ，则有r op oq or R Z Q O Y P X 由勾股定理得： |r | |OM| B A 对两点A （）与B （）因AB OB OA () 得两点间的距离公式： |AB| |AB | 第二节：数量积 向量积

空间解析几何和向量代数总结

第八章空间解析几何和 向量代数总结 向量的概念 向量的线性运算 空间直角坐标系（右手系）向量的坐标 坐标形式的向量的线性运算（8—1，19） 方向角与方向余弦（8—1，15） 向量的数量积、向量积、混合积 （8—2，1、3、6、10； 总习题八，1（3）、（4））

应用：判断向量正交、 平行（共线）、 计算平行四边形面 积、 一向量在另一向量的投影。 曲面 曲面的概念 (),,0F x y z =， ()(){}:,,,,0x y z F x y z ∑=建立曲面方程 （P23，例1、P24，例2，8—3，2、3）

旋转曲面（8—3，7、10） 坐标面上的曲线饶一坐标轴旋转一周的旋转曲面方程 (),00f x y z ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f x =； (),00f x y z ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0 f y =；

(),00f y z x ?=?=?绕y 轴旋转一周得到的旋转曲面 为(,0f y =； (),00f y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为()0f z =； (),00f x z y ?=?=?绕x 轴旋转一周得到的旋转曲面为

(,0f x =； (),00f x z y ?=?=?绕z 轴旋转一周得到的旋转曲面 为() 0f z =。 空间曲线及其方程 空间曲线的一般方程 ()(),,0,,0F x y z G x y z =???=?? 参数方程（P33，例3）

()()()x t y t z t αβγ=??=??=? 空间曲线在坐标面的投影（P36，例4、例5、8—4，4） 平面及其方程 建立平面方程：点法式、一般式、截距式、三点式（8—5，1、2、3、6） 平面与平面的夹角（锐角）（8—5，5） 点的平面的距离（8—5，9）

空间解析几何与向量代数习题

第七章 空间解析几何与向量代数习题 (一)选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ; A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ ） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 5. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ） A ）5焦耳 B ）10焦耳 C ）3焦耳 D ）9焦耳 6. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ） A ）2 π B ）4 π C ）3 π D ）π 7. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 21 3+=-=z y x 的距离是：（ ） A ）138 B 118 C ）158 D ）1 8. 设,23,a i k b i j k =-=++ 求a b ? 是：（ ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k 9. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ） A ） 3 62 B ） 3 64 C ）3 2 D ）3 10. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（ ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0

(完整版)空间解析几何与向量代数习题与答案

第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及； 及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量. 3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程02422 2 2 =++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22 =绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为__ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 22 2 =+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的36942 2 =-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、

空间解析几何与向量代数

空间解析几何与向量代 数 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1

第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -== 若b a //，则 B （A ）、x= y=6 (B)、x= y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2．平面x -2z = 0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{04404=--=--y x z x （D ）?? ???==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 （A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3 0 1)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解 所求平面的法线向量为n (3 7 5) 所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0 即3x 7y 5z 40 2. 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为

高等数学空间解析几何及向量代数

第七章 空间解析几何与向量代数 第一节 空间直角坐标系 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空 间解析几何的意义和目的。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 教学难点：空间思想的建立 教学内容： 一、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标面分别为xoy 面、yoz 面、zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示 图7－2空间直角坐标系图 图7－3空间两点 21M M 的距离图3． 空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。

注意：特殊点的表示 a)在原点、坐标轴、坐标面上的点； b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。 若),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点， 则21M M 的距离（见图7－3），利用直角三角形勾股定理为： 22 221222122 12NM pN p M NM N M M M d ++=+== 而 121x x P M -= 12y y PN -= 122z z NM -= 所以 21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-== 特殊地：若两点分别为),,(z y x M ，)0,0,0(o 222z y x oM d ++== 例1：求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明: 14)21()13()74(22222 1=-+-+-=M M 6)23()12()75(22223 2=-+-+-=M M 6)13()32()45(222213=-+-+-=M M 由于 1332M M M M =，原结论成立。 例2：设P 在x 轴上，它到)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍，求点P 的坐标。

空间解析几何与向量代数

第八章 空间解析几何与向量代数 一、选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==??若b a ??//，则 B （A ）、x=0.5 y=6 (B)、x=-0.5 y=6 (C)、x=1 y=-7 (D)、x=-1 y=-3 2．平面x -2z = 0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1 (Ｂ)、x+2z+3y+4=0 (C)、3(x-1)-y+(y+3)=0 (D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x + y - 11=0, π2: 3x +8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是 D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{ 4404=--=--y x z x （D ）?????==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是 B 。 （A ）、L 1⊥L 2 （B ）、L 1//L 2 （C ）、L 1与L 2相交但不垂直。（D ）、L 1与L 2为异面直线。 二、填空题 1. 点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l = -4 ,及m= 3 时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1· 求过点(3, 0, -1)且与平面3x -7y +5z -12=0平行的平面方程. 解 所求平面的法线向量为n =(3, -7, 5), 所求平面的方程为 3(x -3)-7(y -0)+5(z +1)=0, 即3x -7y +5z -4=0. 2. 求过点(2, -3, 0)且以n =(1, -2, 3)为法线向量的平面的方程. 解 根据平面的点法式方程, 得所求平面的方程为 (x -2)-2(y +3)+3z =0, 即 x -2y +3z -8=0.

空间解析几何与向量代数

第八章 空间解析几何与向量代数 一、 选择题 1．设}.4,,1{},2,3,{y b x a -==??若b a ??//，则B （A ）、x=0.5y=6(B)、x=-0.5y=6 (C)、x=1y=-7(D)、x=-1y=-3 2．平面x-2z=0的位置是 D 。 （Ａ）、平行ＸＯＺ坐标面。 （Ｂ）、平行ＯＹ轴 （Ｃ）、垂直于ＯＹ轴 （Ｄ）、通过ＯＹ轴 3．下列平面中通过坐标原点的平面是 C 。 （Ａ）、x=1(Ｂ)、x+2z+3y+4=0(C)、3(x-1)-y+(y+3)=0(D)、x+y+z=1 4．已知二平面π１：mx+y-3z+1=0与π２：７x-2y-z=0当m ＝ B π１⊥π２。 （Ａ）、１／７ （Ｂ）、－１／７ （Ｃ）、７ （Ｄ）、－７ 5．二平面π１：x+y-11=0,π2:3x+8=0的夹角θ＝ C 。 （Ａ）、2 π （Ｂ）、π／３ （Ｃ）、π／４ （Ｄ）、π／６ 6．下列直线中平行与XOY 坐标面的是D 。 （A ）233211+=+=-z y x （C ）1 0101z y x =-=+ （B ）{ 4404=--=--y x z x （D ）?????==+=4321z t y t x 7．直线L 1：{7272=-+=++-z y x z y x 与L 2：{836302=-+=--z y x z y x 的关系是B 。 （A ）、L 1⊥L 2（B ）、L 1//L 2（C ）、L 1与L 2相交但不垂直。（D ）、L 1与L 2为异面直线。 二、填空题

1.点Ｐ（１，２，１）到平面x+2y+2z-10=0的距离是 1 。 2．当l =-4,及m=3时，二平面2x+my+3z-5=0与l x-6y-6z+2=0互相平行。 3．过点Ｐ（４，－１，３）且平行于直线 51232-==-z y x 的直线方程 为 5 32/1134-=+=-z y x 。 三、计算题 1·求过点(301)且与平面3x 7y 5z 120平行的平面方程 解所求平面的法线向量为n (375)所求平面的方程为 3(x 3)7(y 0)5(z 1)0即3x 7y 5z 40 2.求过点(230)且以n (123)为法线向量的平面的方程 解根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 (x 2)2(y 3)3z 0 即x 2y 3z 80 3·求过三点M 1(214)、M 2(132)和M 3(023)的平面的方程 解我们可以用→→3121M M M M ?作为平面的法线向量n 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M →)1 ,3 ,2(31--=M M 所以 根据平面的点法式方程得所求平面的方程为 14(x 2)9(y 1)(z 4)0 即14x 9yz 150 4·求过点(413)且平行于直线51123-==-z y x 的直线方程 解所求直线的方向向量为s (215)所求的直线方程为 5·求过两点M 1(321)和M 2(102)的直线方程 解所求直线的方向向量为s (102)(321)(421)所求的直线方程为

向量代数与空间解析几何教案

第八章 向量代数与空间解析几何 第一节 向量及其线性运算 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。使学生对（自由）向量有初步了解，为后继内容的学习打下基础。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 3.向量的概念 4.向量的运算 教学难点：1.空间思想的建立 2.向量平行与垂直的关系 教学内容： 一、向量的概念 1．向量：既有大小，又有方向的量。在数学上用有向线段来表示向量，其长度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在数学上只研究与起点无关的自由向量（以后简称向量）。 2． 量的表示方法有: a 、i 、F 、OM 等等。 3． 向量相等b a =：如果两个向量大小相等，方向相同，则说（即经过平移后能完全重合的向量）。 4． 量的模：向量的大小，记为a 。 模为1的向量叫单位向量、模为零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。 5． 量平行b a //：两个非零向量如果它们的方向相同或相反。零向量与如何向量都平行。 6． 负向量：大小相等但方向相反的向量，记为a - 二、向量的线性运算 1．加减法c b a =+： 加法运算规律：平行四边形法则（有时也称三角形法则），其满足的运算规律有交换率和结合率见图7－4

2．c b a =- 即c b a =-+)( 3．向量与数的乘法a λ：设λ是一个数，向量a 与λ的乘积a λ规定为 0)1(>λ时，a λ与a 同向，||||a a λλ= 0)2(=λ时，0a =λ 0)3(<λ时，a λ与a 反向，||||||a a λλ= 其满足的运算规律有：结合率、分配率。设0 a 表示与非零向量a 同方向的单位向量，那么 a a a 0= 定理1：设向量a ≠0，那么，向量b 平行于a 的充分必要条件是：存在唯一的实数λ， 使b ＝a λ 例1：在平行四边形ABCD 中，设a =，b =，试用a 和b 表示向量、、和MD ，这里M 是平行四边形对角线的交点。（见图7－5） 图7－4 解：→→==+AM AC 2b a ，于是)(2 1 b a +- =→ MA 由于→ → -=MA MC ， 于是)(21 b a += → MC 又由于→→==+-MD BD 2b a ，于是)(2 1 a b -=→MD 由于→→-=MD MB ， 于是)(2 1 a b --=→MB 三、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 π 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。 2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标面分别 为xoy 面、yoz 面、 zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示 图7－2空间直角坐标系图 图7－3空间两点21M M 的距离图3．空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。 通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。 注意：特殊点的表示

空间解析几何与向量代数教案

《高等数学A》课程教案 第七章空间解析几何 一、教学目的与要求 1、了解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。 3、了解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。 4、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 5、了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程 6、掌握平面方程和直线方程及其求法。 7、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 8、会求点到直线以及点到平面的距离。 二、教学内容及学时分配： 第一节向量及其线性运算2学时 第二节数量积向量积和混合积2学时 第三节曲面及其方程2学时 第四节空间曲线及其方程2学时 第五节平面及其方程2学时 第六节空间直线及其方程2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点: 向量概念与运算，旋转曲面方程,柱面方程，平面方程直线方程

难点:向量的数量积与向量积，旋转曲面方程，平面束方程，有关直线与平面的综合题 四、教学内容的深化和拓宽： 1、空间直角坐标系的作用，向量的概念及其表示。 2、向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），两个向量垂直、平行的条件。 3、单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 4、平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。 5、曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其图形， 五、教学方法与手段 启发探索式教学方法，结合多媒体课件教学。

空间解析几何与向量微分

第七章：空间解析几何与向量微分 本章内容简介 在平面解析几何中，通过坐标把平面上的点与一对有序实数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。 7.1空间直角坐标系 一、空间点的直角坐标 为了沟通空间图形与数的研究，我们需要建立空间的点与有序数组之间的联系，为此我们通过引进空间直角坐标系来实现。 过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点。（如下图所示） 三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称坐标面。 取定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间的点与有序数组之间的对应关系。 例：设点M为空间一已知点.我们过点M作三个平面分别垂直于x轴、y轴、z轴，它们与x轴、y轴、z轴的交点依次为P、Q、R，这三点在x轴、y轴、z轴的坐标依次为x、y、z.于是空间的一点M就唯一的确定了一个有序数组x,y,z.这组数x,y,z就叫做点M的坐标，并依次称x,y和z为点M的横坐标，纵坐标和竖坐标。(如下图所示)

坐标为x,y,z的点M通常记为M(x,y,z). 这样，通过空间直角坐标系，我们就建立了空间的点M和有序数组x,y,z之间的一一对应关系。 注意：坐标面上和坐标轴上的点，其坐标各有一定的特征. 例：如果点M在yOz平面上，则x=0；同样，zOx面上的点，y=0；如果点M在x轴上，则y=z=0；如果M是原点， 则x=y=z=0，等。 二、空间两点间的距离 设M1(x1,y1,z1)、M2(x2,y2,z2)为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d我们有公式： 例题：证明以A(4,3,1),B(7,1,2),C(5,2,3)为顶点的三角形△ABC是一等腰三角形. 解答：由两点间距离公式得： 由于，所以△ABC是一等腰三角形 7．2 方向余弦与方向数 解析几何中除了两点间的距离外，还有一个最基本的问题就是如何确定有向线段的或有向直线的方向。 方向角与方向余弦 设有空间两点，若以P1为始点，另一点P2为终点的线段称为有 向线段.记作.通过原点作一与其平行且同向的有向线段.将与Ox,Oy,Oz三个 坐标轴正向夹角分别记作α,β,γ.这三个角α,β,γ称为有向线段的方向角.其中

空间解析几何与向量代数复习题

第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ） A （-1,1,5）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5）. D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面和的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点到直线L ：的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++r r r r r r r 求a b ?r r 是：（ D ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ） B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于轴，且过点和的平面方程是：（ D ） A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D ． 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）； A -+a b =a b ； B =a b ； C 0?a b =； D ?a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=- C +=-a b a b D +=-a b a b

高等数学空间解析几何与向量代数

第七章 空间解析几何及向量代数 第一节 空间直角坐标系 教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明 确学习空间解析几何的意义和目的。 教学重点：1.空间直角坐标系的概念 2.空间两点间的距离公式 教学难点：空间思想的建立 教学内容： 一、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2 角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。

2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标面分别为xoy 面、yoz 面、zox 面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。图7－1右手规则演示 图7－2空间直角坐标系图 图7－3空间两点21M M 的距离图3．空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。通 过坐标把空间的点及一个有序数组一一对应起来。 注意：特殊点的表示 a)在原点、坐标轴、坐标面上的点； b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。4．空间两点间的距离。 若),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点， 则21M M 的距离（见图7－3），利用直角三角形 勾股定理为： 222212221 22 12NM pN p M NM N M M M d ++=+== 而 121x x P M -= 12y y PN -=

1 22z z NM -= 所以 21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-== 特殊地：若两点分别为),,(z y x M ，)0,0,0(o 222z y x oM d ++== 例1：求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明: 14)21()13()74(2222 21=-+-+-=M M 6)23()12()75(222232=-+-+-=M M 6)13()32()45(222213=-+-+-=M M 由于 1332M M M M =，原结论成立。 例2：设P 在x 轴上，它到)3,2,0(1P 的距离为到点)1,1,0(2-P 的距离的两倍，求点P 的坐标。 解：因为P 在x 轴上，设P 点坐标为)0,0,(x ()11 3222221+=++=x x PP ()211222 22+=+-+=x x PP 212PP PP = 221122+=+∴x x 1±=?x

空间解析几何与向量代数测试题

习题六 一、 填空题 1. 过点(3,-2,2)垂直于平面5x-2y+6z-7=0和3x-y+2z+1=0的平面方程为____________. 2．轴的正向的夹与轴的正向的夹角为与的模为已知向量y x OM ,45.100→ =→ OM 则向量角为,600 _________________. 3. 过()3,1,2-点且平行于向量{}3,2,2-=a 和{}5,3,1--=b 的平面方程为__________. {}{}=-=-=→ →λλλ则互相垂直和若两向量,,2,12,3,b a . 5. ()向量决定的平面垂直的单位与三点)3,1,3(),1,3,3(,2,1,1321M M M - =→ a ________________ {}{}上的投影等于在向量向量1,2,24,1,1-==→ →a b . 的模等于则向量已知→ →→→→→ →-==?? ? ??==n m a n m n m 3260,,2,50 .

垂直的平面方程是且与平面过点?? ?=+-+=-+--0 12530 742)3,0,2(z y x z y x . 9. 设a b c →→→,,两两互相垂直,且a b c →→→ ===121,,,则向量 s a b c →→→→ =+-的模等于_____________. 10． 过点(0,2,4)且与平面x+2z=1,y-3z=2都平行的直线是________________. 1 =? ??=-+-=+-+D x z y x D z y x 则轴有交点与若直线,062220 32. 二、 选择题 1． 表示方程?? ?==++1 36 94222y z y x ;1)(;)(平面上的椭圆椭球面=y B A ():. 0)(; )(答上的投影曲线椭圆柱面在椭圆柱面=y D C 2． :,轴的单位向量是且垂直于则垂直于已知向量oy a k j i a → → → → → ++= ?? ? ??+-±? ? ? ??++±→→→→→→k j i B k j i A 33)(33)(

向量代数与空间解析几何相关概念和例题

空间解析几何与向量代数 向量及其运算 目的：理解向量的概念及其表示；掌握向量的运算，了解两个向量垂直、平行的条件；掌握空间直角坐标系的概念，能利用坐标作向量的线性运算； 重点与难点 重点：向量的概念及向量的运算。难点：运算法则的掌握 过程： 一、向量 既有大小又有方向的量称作向量 通常用一条有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向. 向量的表示方法有两种:→a、 →AB 向量的模：向量的大小叫做向量的模.向量→a、→AB的模分别记为| |→a、| |→AB. 单位向量：模等于1的向量叫做单位向量. 零向量：模等于0的向量叫做零向量,记作→0.规定：→0方向可以看作是任意的. 相等向量：方向相同大小相等的向量称为相等向量 平行向量（亦称共线向量）：两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.记作a // b.规定：零向量与任何向量都平行. 二、向量运算 向量的加法 向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a 的起点到b的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b . 当向量a与b不平行时,平移向量使a与b的起点重合,以a、b为邻边作一平行四边形,从公共起点到对角的向量等于向量a与b的和a+b. 向量的减法: 设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的起点重合,此时连接两向量终点且指向被减数的向量就是差向量。 →→→→→ A O OB OB O A AB- = + =, 2、向量与数的乘法 向量与数的乘法的定义: 向量a与实数λ的乘积记作λa,规定λa是一个向量,它的模|λa|=|λ||a|,它的方向当λ>0时与a相同,当λ<0时与a相反. (1)结合律λ(μa)=μ(λa)=(λμ)a； (2)分配律(λ+μ)a=λa+μa； λ(a+b)=λa+λb. 例1在平行四边形ABCD中,设 ?→ ? AB=a, ?→ ? AD=b.

高中数学知识点总结之平面向量与空间解析几何(经典必看)

56. 你对向量的有关概念清楚吗？ （1）向量——既有大小又有方向的量。 （）向量的模——有向线段的长度，2||a → （）单位向量，3100|||| a a a a →→ → → == （）零向量，4000→ → =|| （）相等的向量长度相等方向相同5???? =→→ a b 在此规定下向量可以在平面（或空间）平行移动而不改变。 （6）并线向量（平行向量）——方向相同或相反的向量。 规定零向量与任意向量平行。 b a b b a → → → → → → ≠?=∥存在唯一实数，使()0λλ （7）向量的加、减法如图： OA OB OC →+→=→ OA OB BA →-→=→ （8）平面向量基本定理（向量的分解定理） e e a → → → 12，是平面内的两个不共线向量，为该平面任一向量，则存在唯一

实数对、，使得，、叫做表示这一平面内所有向量λλλλ12112212a e e e e →→→→→ =+ 的一组基底。 （9）向量的坐标表示 i j x y → → ，是一对互相垂直的单位向量，则有且只有一对实数，，使得 ()a x i y j x y a a x y → →→→→ =+=，称，为向量的坐标，记作：，，即为向量的坐标() 表示。 ()()设，，，a x y b x y → → ==1122 ()()()则，，，a b x y y y x y x y → →±=±=±±11121122 ()()λλλλa x y x y →==1111，， ()()若，，，A x y B x y 1122 ()则，AB x x y y → =--2121 ()()||AB x x y y A B →= -+-212212，、两点间距离公式 57. 平面向量的数量积 （）··叫做向量与的数量积（或内积）。1a b a b a b → → → → → → =||||cos θ []θθπ为向量与的夹角，，a b → → ∈0