贪婪算法
[注意]贪婪算法
贪婪算法
虽然设计一个好的求解算法更像是一门艺术，而不像是技术，但仍然存在一些行之有效的能够用于解决许
多问题的算法设计方法，你可以使用这些方法来设计算法，并观察这些算法是如何工作的。一般情况下，
为了获得较好的性能，必须对算法进行细致的调整。但是在某些情况下，算法经过调整之后性能仍无法达
到要求，这时就必须寻求另外的方法来求解该问题。
本章首先引入最优化的概念，然后介绍一种直观的问题求解方法：贪婪算法。最后，应用该算法给出货箱
装船问题、背包问题、拓扑排序问题、二分覆盖问题、最短路径问题、最小代价生成树等问题的求解方案
。
1.1 最优化问题
本章及后续章节中的许多例子都是最优化问题（optimization problem），每个最优化问题都包含一组
限制条件（c o n s t r a i n t）和一个优化函数（optimization function），符合限制条件的问题
求解方案称为可行解（feasible solution），使优化函数取得最佳值的可行解称为最优解（optimal
solution）。
例1-1 [ 渴婴问题] 有一个非常渴的、聪明的小婴儿，她可能得到的东西包括一杯水、一桶牛奶、多罐不
同种类的果汁、许多不同的装在瓶子或罐子中的苏打水，即婴儿可得到n 种不同的饮料。根据以前关于这
n 种饮料的不同体验，此婴儿知道这其中某些饮料更合自己的胃口，因此，婴儿采取如下方法为每一种饮
料赋予一个满意度值：饮用1盎司第i 种饮料，对它作出相对评价，将一个数值si 作为满意度赋予第i 种
饮料。
通常，这个婴儿都会尽量饮用具有最大满意度值的饮料来最大限度地满足她解渴的需要，但是不幸的是：
具有最大满意度值的饮料有时并没有足够的量来满足此婴儿解渴的需要。设ai是第i 种饮料的总量（以盎
司为单位），而此婴儿需要t 盎司的饮料来解渴，那么，需要饮用n种不同的饮料各多少量才能满足婴儿
解渴的需求呢？
设各种饮料的满意度已知。令xi 为婴儿将要饮用的第i 种饮料的量，则需要解决的问题是：
找到一组实数xi（1≤i≤n），使n ?i = 1si xi 最大，并满足：n ?i=1xi =t 及0≤xi≤ai 。
需要指出的是：如果n ?i = 1ai < t，则不可能找到问题的求解方案，因为即使喝光所有的饮料也不能使
婴儿解渴。
对上述问题精确的数学描述明确地指出了程序必须完成的工作，根据这些数学公式，可以对输入/ 输出作
如下形式的描述：
输入：n，t，si ，ai（其中1≤i≤n，n 为整数，t、si 、ai 为正实数）。
输出：实数xi（1≤i≤n），使n ?i= 1si xi 最大且n ?i=1xi =t（0≤xi≤ai）。如果n ?i = 1ai 则输出适当的错误信息。 在这个问题中，限制条件是n ?i= 1xi =t 且0≤xi≤ai，1≤i≤n。而优化函数是n ?i= 1si xi 。任何满 足限制条件的一组实数xi 都是可行解，而使n ?i= 1si xi 最大的可行解是最优解。 例1-2 [装载问题] 有一艘大船准备用来装载货物。所有待装货物都装在货箱中且所有货箱的大小都一样 ，但货箱的重量都各不相同。设第i 个货箱的重量为wi（1≤i≤n），而货船的最大载重量为c，我们的目 的是在货船上装入最多的货物。 这个问题可以作为最优化问题进行描述：设存在一组变量xi ，其可能取值为0或1。如xi 为0，则货箱i 将不被装上船；如xi 为1，则货箱i 将被装上船。我们的目的是找到一组xi ，使它满足限制条件n ?i = 1wi xi ≤c 且x i ? {0, 1}, 1 ≤i≤n。相应的优化函数是n ?i= 1xi 。 满足限制条件的每一组xi 都是一个可行解，能使n ?i= 1xi 取得最大值的方案是最优解。 例1-3 [最小代价通讯网络] 城市及城市之间所有可能的通信连接可被视作一个无向图，图的每条边都被 赋予一个权值，权值表示建成由这条边所表示的通信连接所要付出的代价。包含图中所有顶点（城市）的 连通子图都是一个可行解。设所有的权值都非负，则所有可能的可行解都可表示成无向图的一组生成树， 而最优解是其中具有最小代价的生成树。 在这个问题中，需要选择一个无向图中的边集合的子集，这个子集必须满足如下限制条件：所有的边构成 一个生成树。而优化函数是子集中所有边的权值之和。 2004-7-19 16:10:53 pk_001 等级：蝙蝠侠 威望：10 文章：939 积分：4134 门派：侠客岛 注册：2003-7-27 第2 楼 1.2 算法思想 在贪婪算法（greedy method）中采用逐步构造最优解的方法。在每个阶段，都作出一个看上去最优的决 策（在一定的标准下）。决策一旦作出，就不可再更改。作出贪婪决策的依据称为贪婪准则（greedy criterion）。 例1-4 [找零钱] 一个小孩买了价值少于1美元的糖，并将1美元的钱交给售货员。售货员希望用数目最少 的硬币找给小孩。假设提供了数目不限的面值为2 5美分、1 0美分、5美分、及1美分的硬币。售货员分步 骤组成要找的零钱数，每次加入一个硬币。选择硬币时所采用的贪婪准则如下：每一次选择应使零钱数尽 量增大。为保证解法的可行性（即：所给的零钱等于要找的零钱数），所选择的硬币不应使零钱总数超过 最终所需的数目。 假设需要找给小孩6 7美分，首先入选的是两枚2 5美分的硬币，第三枚入选的不能是2 5美分的硬币，否 则硬币的选择将不可行（零钱总数超过6 7美分），第三枚应选择1 0美分的硬币，然后是5美分的，最后 加入两个1美分的硬币。 贪婪算法有种直觉的倾向，在找零钱时，直觉告诉我们应使找出的硬币数目最少（至少是接近最少的数目 ）。可以证明采用上述贪婪算法找零钱时所用的硬币数目的确最少（见练习1）。 例1-5 [机器调度] 现有n 件任务和无限多台的机器，任务可以在机器上得到处理。每件任务的开始时间 为si，完成时间为fi ，si < fi 。[si , fi ] 为处理任务i 的时间范围。两个任务i，j 重指两个任务 的时间范围区间有重叠，而并非是指i，j 的起点或终点重合。例如：区间[ 1，4 ]与区间[ 2，4 ]重叠 ，而与区间[ 4，7 ]不重叠。一个可行的任务分配是指在分配中没有两件重叠的任务分配给同一台机器。 因此，在可行的分配中每台机器在任何时刻最多只处理一个任务。最优分配是指使用的机器最少的可行分 配方案。 假设有n= 7件任务，标号为a 到g。它们的开始与完成时间如图13-1a 所示。若将任务a 分给机器M1，任务 b 分给机器M2，. . .，任务g 分给机器M7，这种分配是可行的分配，共使用了七台机器。但它不是最优 分配，因为有其他分配方案可使利用的机器数目更少，例如：可以将任务a、b、d分配给同一台机器，则 机器的数目降为五台。 一种获得最优分配的贪婪方法是逐步分配任务。每步分配一件任务，且按任务开始时间的非递减次序进行 分配。若已经至少有一件任务分配给某台机器，则称这台机器是旧的；若机器非旧，则它是新的。在选择 机器时，采用以下贪婪准则：根据欲分配任务的开始时间，若此时有旧的机器可用，则将任务分给旧的机 器。否则，将任务分配给一台新的机器。根据例子中的数据，贪婪算法共分为n = 7步，任务分配的顺序 为a、f、b、c、g、e、d。第一步没有旧机器，因此将a 分配给一台新机器（比如M1）。这台机器在0到2 时刻处于忙状态。在第二步，考虑任务f。由于当f 启动时旧机器仍处于忙状态，因此将f 分配给一台新 机器(设为M2 )。第三步考虑任务b, 由于旧机器M1在Sb = 3时刻已处于闲状态，因此将b 分配给M1执行， M1下一次可用时刻变成fb = 7，M2的可用时刻变成ff = 5。第四步，考虑任务c。由于没有旧机器在Sc = 4时刻可用，因此将c 分配给一台新机器（M3），这台机器下一次可用时间为fc = 7。第五步考虑任务g， 将其分配给机器M2，第六步将任务e 分配给机器M1, 最后在第七步，任务2分配给机器M3。（注意：任务d 也可分配给机器M2）。 上述贪婪算法能导致最优机器分配的证明留作练习（练习7）。可按如下方式实现一个复杂性为O (nl o gn)的贪婪算法：首先采用一个复杂性为O (nl o gn)的排序算法（如堆排序）按Si 的递增次序排列各个 任务，然后使用一个关于旧机器可用时间的最小堆。 例1-6 [最短路径] 给出一个有向网络，路径的长度定义为路径所经过的各边的耗费之和。要求找一条从 初始顶点s 到达目的顶点d 的最短路径。 贪婪算法分步构造这条路径，每一步在路径中加入一个顶点。假设当前路径已到达顶点q， 且顶点q 并不是目的顶点d。加入下一个顶点所采用的贪婪准则为：选择离q 最近且目前不在路径中的顶 点。 这种贪婪算法并不一定能获得最短路径。例如，假设在图1 3 - 2中希望构造从顶点1到顶点5的最短路径 ，利用上述贪婪算法，从顶点1开始并寻找目前不在路径中的离顶点1最近的顶点。到达顶点3，长度仅为2 个单位，从顶点3可以到达的最近顶点为4，从顶点4到达顶点2，最后到达目的顶点5。所建立的路径为1 , 3 , 4 , 2 , 5，其长度为1 0。这条路径并不是有向图中从1到5的最短路径。事实上，有几条更短的路径 存在，例如路径1，4，5的长度为6。 根据上面三个例子，回想一下前几章所考察的一些应用，其中有几种算法也是贪婪算法。例如，霍夫曼树 算法，利用n- 1步来建立最小加权外部路径的二叉树，每一步都将两棵二叉树合并为一棵，算法中所使用 的贪婪准则为：从可用的二叉树中选出权重最小的两棵。L P T调度规则也是一种贪婪算法，它用n 步来 调度n 个作业。首先将作业按时间长短排序，然后在每一步中为一个任务分配一台机器。选择机器所利用 的贪婪准则为：使目前的调度时间最短。将新作业调度到最先完成的机器上（即最先空闲的机器）。 注意到在机器调度问题中，贪婪算法并不能保证最优，然而，那是一种直觉的倾向且一般情况下结果总是 非常接近最优值。它利用的规则就是在实际环境中希望人工机器调度所采用的规则。算法并不保证得到最 优结果，但通常所得结果与最优解相差无几，这种算法也称为启发式方法（h e u r i s t i c s )。因 此L P T方法是一种启发式机器调度方法。定理9 - 2陈述了L P T调度的完成时间与最佳调度的完成时间 之间的关系，因此L P T启发式方法具有限定性 能（bounded performance ）。具有限定性能的启发式方法称为近似算法（ a p p r o x i m a t i o na l g o r i t h m）。 本章的其余部分将介绍几种贪婪算法的应用。在有些应用中，贪婪算法所产生的结果总是最优的解决方案 。但对其他一些应用，生成的算法只是一种启发式方法，可能是也可能不是近似算法。 2004-7-19 16:11:09 pk_001 等级：蝙蝠侠 威望：10 文章：939 积分：4134 门派：侠客岛 注册：2003-7-27 第3 楼 1.3.1 货箱装船 这个问题来自例1 - 2。船可以分步装载，每步装一个货箱，且需要考虑装载哪一个货箱。根据这种思想 可利用如下贪婪准则：从剩下的货箱中，选择重量最小的货箱。这种选择次序可以保证所选的货箱总重量 最小，从而可以装载更多的货箱。根据这种贪婪策略，首先选择最轻的货箱，然后选次轻的货箱，如此下 去直到所有货箱均装上船或船上不能再容纳其他任何一个货箱。 例1-7 假设n =8, [w1 , ... w8 ]=[100,200,50,90,150,50,20,80], c= 4 0 0。利用贪婪算法时，所考 察货箱的顺序为7 , 3 , 6 , 8 , 4 , 1 , 5 , 2。货箱7 , 3 , 6 , 8 , 4 , 1的总重量为3 9 0个单位 且已被装载，剩下的装载能力为1 0个单位，小于剩下的任何一个货箱。在这种贪婪解决算法中得到[x1 , ..., x8 ] = [ 1 , 0 , 1 , 1 , 0 , 1 , 1 , 1 ]且?xi = 6。 定理1-1 利用贪婪算法能产生最佳装载。 证明可以采用如下方式来证明贪婪算法的最优性：令x = [x1 , ..., xn ]为用贪婪算法获得的解，令y =[ y1 , ..., yn ]为任意一个可行解，只需证明n ?i= 1xi ≥n ?i= 1yi 。不失一般性，可以假设货箱 都排好了序：即wi≤wi + 1（1≤i≤n）。然后分几步将y 转化为x，转换过程中每一步都产生一个可行的 新y，且n ?i = 1yi 大于等于未转化前的值，最后便可证明n ?i = 1xi ≥n ?j = 1yi 。 根据贪婪算法的工作过程，可知在[0, n] 的范围内有一个k，使得xi =1, i≤k且xi =0, i>k。寻找[ 1 ,n]范围内最小的整数j，使得xj≠yj 。若没有这样的j 存在，则n ?i= 1xi =n ?i = 1yi 。如果有这样 的j 存在，则j≤k，否则y 就不是一个可行解，因为xj≠yj ，xj = 1且yj = 0。令yj = 1，若结果得到 的y 不是可行解，则在[ j+ 1 ,n]范围内必有一个l 使得yl = 1。令yl = 0，由于wj≤wl ，则得到的y 是可行的。而且，得到的新y 至少与原来的y 具有相同数目的1。 经过数次这种转化，可将y 转化为x。由于每次转化产生的新y 至少与前一个y 具有相同数目的1，因此x 至少与初始的y 具有相同的数目1。货箱装载算法的C + +代码实现见程序1 3 - 1。由于贪婪算法按货箱 重量递增的顺序装载，程序1 3 - 1首先利用间接寻址排序函数I n d i r e c t S o r t对货箱重量进行 排序（见3 . 5节间接寻址的定义），随后货箱便可按重量递增的顺序装载。由于间接寻址排序所需的时 间为O (nl o gn)（也可利用9 . 5 . 1节的堆排序及第2章的归并排序），算法其余部分所需时间为O (n) ，因此程序1 3 - 1的总的复杂性为O (nl o gn)。 程序13-1 货箱装船 template void ContainerLoading(int x[], T w[], T c, int n) {// 货箱装船问题的贪婪算法 // x = 1 当且仅当货箱i被装载，1<=i<=n // c是船的容量, w 是货箱的重量 // 对重量按间接寻址方式排序 // t 是间接寻址表 int *t = new int [n+1]; I n d i r e c t S o r t ( w, t, n); // 此时, w[t] <= w[t[i+1]], 1<=i // 初始化x for (int i = 1; i <= n; i++) x = 0; // 按重量次序选择物品 for (i = 1; i <= n && w[t] <= c; i++) { x[t] = 1; c -= w[t];} // 剩余容量 delete [] t; } 2004-7-19 16:11:26 pk_001 等级：蝙蝠侠 威望：10 文章：939 积分：4134 门派：侠客岛 注册：2003-7-27 第4 楼 1.3.2 0/1背包问题 在0 / 1背包问题中，需对容量为c 的背包进行装载。从n 个物品中选取装入背包的物品，每件物品i 的 重量为wi ，价值为pi 。对于可行的背包装载，背包中物品的总重量不能超过背包的容量，最佳装载是指 所装入的物品价值最高，即n ?i=1pi xi 取得最大值。约束条件为n ?i =1wi xi≤c 和xi?[ 0 , 1 ] ( 1 ≤i≤n)。 在这个表达式中，需求出xt 的值。xi = 1表示物品i 装入背包中，xi =0 表示物品i 不装入背包。0 / 1 背包问题是一个一般化的货箱装载问题，即每个货箱所获得的价值不同。货箱装载问题转化为背包问题的 形式为：船作为背包，货箱作为可装入背包的物品。例1-8 在杂货店比赛中你获得了第一名，奖品是一 车免费杂货。店中有n 种不同的货物。规则规定从每种货物中最多只能拿一件，车子的容量为c，物品i 需占用wi 的空间，价值为pi 。你的目标是使车中装载的物品价值最大。当然，所装货物不能超过车的容 量，且同一种物品不得拿走多件。这个问题可仿照0 / 1背包问题进行建模，其中车对应于背包，货物对 应于物品。 0 / 1背包问题有好几种贪婪策略，每个贪婪策略都采用多步过程来完成背包的装入。在每一步过程中利 用贪婪准则选择一个物品装入背包。一种贪婪准则为：从剩余的物品中，选出可以装入背包的价值最大的 物品，利用这种规则，价值最大的物品首先被装入（假设有足够容量），然后是下一个价值最大的物品， 如此继续下去。这种策略不能保证得到最优解。例如，考虑n=2, w=[100,10,10], p =[20,15,15], c = 1 0 5。当利用价值贪婪准则时，获得的解为x= [ 1 , 0 , 0 ]，这种方案的总价值为2 0。而最优解为[ 0 , 1 , 1 ]，其总价值为3 0。 另一种方案是重量贪婪准则是：从剩下的物品中选择可装入背包的重量最小的物品。虽然这种规则对于前 面的例子能产生最优解，但在一般情况下则不一定能得到最优解。考虑n= 2 ,w=[10,20], p=[5,100], c= 2 5。当利用重量贪婪策略时，获得的解为x =[1,0], 比最优解[ 0 , 1 ]要差。 还可以利用另一方案，价值密度pi /wi 贪婪算法，这种选择准则为：从剩余物品中选择可 装入包的pi /wi 值最大的物品，这种策略也不能保证得到最优解。利用此策略试解n= 3 ,w=[20,15,15], p=[40,25,25], c=30 时的最优解。 我们不必因所考察的几个贪婪算法都不能保证得到最优解而沮丧，0 / 1背包问题是一个N P-复杂问题。 对于这类问题，也许根本就不可能找到具有多项式时间的算法。虽然按pi /wi 非递（增）减的次序装入 物品不能保证得到最优解，但它是一个直觉上近似的解。我们希望它是一个好的启发式算法，且大多数时 候能很好地接近最后算法。在6 0 0个随机产生的背包问题中，用这种启发式贪婪算法来解有2 3 9题为最 优解。有5 8 3个例子与最优解相差1 0 %，所有6 0 0个答案与最优解之差全在2 5 %以内。该算法能在O (nl o gn)时间内获得如此好的性能。我们也许会问，是否存在一个x (x<1 0 0 )，使得贪婪启发法的结 果与最优值相差在x%以内。答案是否定的。为说明这一点，考虑例子n =2, w = [ 1 ,y], p= [ 1 0 , 9y], 和c= y。贪婪算法结果为x=[1,0], 这种方案的值为1 0。对于y≥1 0 / 9，最优解的值为9 y。因此 ，贪婪算法的值与最优解的差对最优解的比例为( ( 9y - 1 0)/9y* 1 0 0 ) %，对于大的y，这个值趋近 于1 0 0 %。但是可以建立贪婪启发式方法来提供解，使解的结果与最优解的值之差在最优值的x% (x<100) 之内。首先将最多k 件物品放入背包，如果这k 件物品重量大于c，则放弃它。否则，剩余的容 量用来考虑将剩余物品按pi /wi 递减的顺序装入。通过考虑由启发法产生的解法中最多为k 件物品的所 有可能的子集来得到最优解。 例13-9 考虑n =4, w=[2,4,6,7], p=[6,10,12,13], c = 11。当k= 0时，背包按物品价值密度非递减顺序 装入，首先将物品1放入背包，然后是物品2，背包剩下的容量为5个单元，剩下的物品没有一个合适的， 因此解为x = [ 1 , 1 , 0 , 0 ]。此解获得的价值为1 6。 现在考虑k = 1时的贪婪启发法。最初的子集为{ 1 } , { 2 } , { 3 } , { 4 }。子集{ 1 } , { 2 }产 生与k= 0时相同的结果，考虑子集{ 3 }，置x3 为1。此时还剩5个单位的容量，按价值密度非递增顺序来 考虑如何利用这5个单位的容量。首先考虑物品1，它适合，因此取x1 为1，这时仅剩下3个单位容量了， 且剩余物品没有能够加入背包中的物品。通过子集{ 3 }开始求解得结果为x = [ 1 , 0 , 1 , 0 ]，获得 的价值为1 8。若从子集{ 4 }开始，产生的解为x = [ 1 , 0 , 0 , 1 ]，获得的价值为1 9。考虑子集大 小为0和1时获得的最优解为[ 1 , 0 , 0 , 1 ]。这个解是通过k= 1的贪婪启发式算法得到的。 若k= 2，除了考虑k< 2的子集，还必需考虑子集{ 1 , 2 } , { 1 , 3 } , { 1 , 4 } , { 2 , 3 } , { 2 , 4 }和{ 3 , 4 }。首先从最后一个子集开始，它是不可行的，故将其抛弃，剩下的子集经求解分别得 到如下结果：[ 1 , 1 , 0 , 0 ] , [ 1 , 0 , 1 , 0 ] , [ 1 , 0 , 0 , 1 ] , [ 0 , 1 , 1 , 0 ]和[ 0 , 1 , 0 , 1 ]，这些结果中最后一个价值为2 3，它的值比k= 0和k= 1时获得的解要高，这个答案即为 启发式方法产生的结果。这种修改后的贪婪启发方法称为k阶优化方法（k - o p t i m a l）。也就是 ，若从答案中取出k 件物品，并放入另外k 件，获得的结果不会比原来的好，而且用这种方式获得的值在 最优值的( 1 0 0 / (k + 1 ) ) %以内。当k= 1时，保证最终结果在最佳值的5 0 %以内；当k= 2时，则 在3 3 . 3 3 %以内等等，这种启发式方法的执行时间随k 的增大而增加，需要测试的子集数目为O (nk ) ，每一个子集所需时间为O (n)，因此当k >0时总的时间开销为O (nk+1 )。实际观察到的性能要好得多。 2004-7-19 16:11:52 pk_001 等级：蝙蝠侠 威望：10 文章：939 积分：4134 门派：侠客岛 注册：2003-7-27 第5 楼 1.3.3 拓扑排序 一个复杂的工程通常可以分解成一组小任务的集合，完成这些小任务意味着整个工程的完成。例如，汽车 装配工程可分解为以下任务：将底盘放上装配线，装轴，将座位装在底盘上，上漆，装刹车，装门等等。 任务之间具有先后关系，例如在装轴之前必须先将底板放上装配线。任务的先后顺序可用有向图表示—— 称为顶点活动（Activity On Vertex, AOV）网络。有向图的顶点代表任务，有向边(i, j) 表示先后关 系：任务j 开始前任务i 必须完成。图1 - 4显示了六个任务的工程，边（ 1 , 4）表示任务1在任务4开 始前完成，同样边（ 4 , 6）表示任务4在任务6开始前完成，边（1 , 4）与（4 , 6）合起来可知任务1 在任务6开始前完成，即前后关系是传递的。由此可知，边（1 , 4）是多余的，因为边（1 , 3）和（3 , 4）已暗示了这种关系。 在很多条件下，任务的执行是连续进行的，例如汽车装配问题或平时购买的标有“需要装配”的消费品（ 自行车、小孩的秋千装置，割草机等等）。我们可根据所建议的顺序来装配。在由任务建立的有向图中， 边（i, j）表示在装配序列中任务i 在任务j 的前面，具有这种性质的序列称为拓扑序列（topological orders或topological sequences)。根据任务的有向图建立拓扑序列的过程称为拓扑排序（topological sorting）。图1 - 4的任务有向图有多种拓扑序列，其中的三种为1 2 3 4 5 6，1 3 2 4 5 6和2 1 5 3 4 6，序列1 4 2 3 5 6就不是拓扑序列，因为在这个序列中任务4在3的前面，而任务有向图中的边为（3 , 4），这种序列与边（3 , 4）及其他边所指示的序列相矛盾。可用贪婪算法来建立拓扑序列。算法按 从左到右的步骤构造拓扑序列，每一步在排好的序列中加入一个顶点。利用如下贪婪准则来选择顶点：从 剩下的顶点中，选择顶点w，使得w 不存在这样的入边（v,w），其中顶点v 不在已排好的序列结构中出 现。注意到如果加入的顶点w违背了这个准则（即有向图中存在边（v,w）且v 不在已构造的序列中）， 则无法完成拓扑排序，因为顶点v 必须跟随在顶点w 之后。贪婪算法的伪代码如图1 3 - 5所示。while 循环的每次迭代代表贪婪算法的一个步骤。 现在用贪婪算法来求解图1 - 4的有向图。首先从一个空序列V开始，第一步选择V的第一个顶点。此时， 在有向图中有两个候选顶点1和2，若选择顶点2，则序列V = 2，第一步完成。第二步选择V的第二个顶点 ，根据贪婪准则可知候选顶点为1和5，若选择5，则V = 2 5。下一步，顶点1是唯一的候选，因此V = 2 5 1。第四步，顶点3是唯一的候选，因此把顶点3加入V 得到V = 2 5 1 3。在最后两步分别加入顶点4和6 ，得V = 2 5 1 3 4 6。 1. 贪婪算法的正确性 为保证贪婪算法算的正确性，需要证明：1) 当算法失败时，有向图没有拓扑序列；2) 若 算法没有失败，V即是拓扑序列。2) 即是用贪婪准则来选取下一个顶点的直接结果，1) 的证明见定理1 3 - 2，它证明了若算法失败，则有向图中有环路。若有向图中包含环qj qj + 1.qk qj , 则它没有拓扑 序列，因为该序列暗示了qj 一定要在qj 开始前完成。 定理1-2 如果图1 3 - 5算法失败，则有向图含有环路。 证明注意到当失败时| V | 包含边（q2 , q1）且q2 不在V中，否则，q1 是可加入V的候选顶点。同样，必有边（q3 , q2）使得q3 不在V中，若q3 = q1 则q1 q2 q3 是有向图中的一个环路；若q3 ≠q1，则必存在q4 使（q4 , q3）是有 向图的边且q4 不在V中，否则，q3 便是V的一个候选顶点。若q4 为q1 , q2 , q3 中的任何一个，则又可 知有向图含有环，因为有向图具有有限个顶点数n，继续利用上述方法，最后总能找到一个环路。 2. 数据结构的选择 为将图1 - 5用C + +代码来实现，必须考虑序列V的描述方法，以及如何找出可加入V的候选顶点。一种高 效的实现方法是将序列V用一维数组v 来描述的，用一个栈来保存可加入V的候选顶点。另有一个一维数组 I n D e g r e e，I n D e g r e e[ j ]表示与顶点j相连的节点i 的数目，其中顶点i不是V中的成员， 它们之间的有向图的边表示为（i, j）。当I n D e g r e e[ j ]变为0时表示j 成为一个候选节点。序 列V初始时为空。I n D e g r e e[ j ]为顶点j 的入度。每次向V中加入一个顶点时，所有与新加入顶点 邻接的顶点j，其I n D e g r e e[ j ]减1。对于有向图1 - 4，开始时I n D e g r e e [ 1 : 6 ] = [ 0 , 0 , 1 , 3 , 1 , 3 ]。由于顶点1和2的I n D e g r e e值为0，因此它们是可加入V的候选顶点，由 此，顶点1和2首先入栈。每一步，从栈中取出一个顶点将其加入V，同时减去与其邻接的顶点的I n D e g r e e值。若在第一步时从栈中取出顶点2并将其加入V，便得到了v [ 0 ] = 2，和I n D e g r e e [ 1 : 6 ] = [ 0 , 0 , 1 , 2 , 0 , 3 ]。由于I n D e g r e e [ 5 ]刚刚变为0，因此将顶点5入栈。 程序1 3 - 2给出了相应的C + +代码，这个代码被定义为N e t w o r k的一个成员函数。而且，它对于 有无加权的有向图均适用。但若用于无向图（不论其有无加权）将会得到错误的结果，因为拓扑排序是针 对有向图来定义的。为解决这个问题，利用同样的模板来定义成员函数AdjacencyGraph, AdjacencyWGraph，L i n k e d G r a p h和L i n k e d W G r a p h。这些函数可重载N e t w o r k 中的函数并可输出错误信息。如果找到拓扑序列，则Topological 函数返回t r u e；若输入的有向图无 拓扑序列则返回f a l s e。当找到拓扑序列时，将其返回到v [ 0 :n- 1 ]中。 3. Network:Topological 的复杂性 第一和第三个f o r循环的时间开销为(n )。若使用（耗费）邻接矩阵,则第二个for 循环所用的时间为 (n2 )；若使用邻接链表,则所用时间为(n+e)。在两个嵌套的while 循环中，外层循环需执行n次，每次将 顶点w 加入到v 中，并初始化内层while 循环。使用邻接矩阵时，内层w h i l e循环对于每个顶点w 需 花费(n)的时间；若利用邻接链表，则这个循环需花费dwout 的时间，因此，内层while 循环的时间开销 为(n2 )或(n+e)。所以，若利用邻接矩阵，程序1 3 - 2的时间复杂性为(n2 )，若利用邻接链表则为 (n+e)。 程序13-2 拓扑排序 bool Network::Topological(int v[]) {// 计算有向图中顶点的拓扑次序 // 如果找到了一个拓扑次序，则返回t r u e，此时，在v [ 0 : n - 1 ]中记录拓扑次序// 如果不存在拓扑次序，则返回f a l s e int n = Ve r t i c e s ( ) ; // 计算入度 int *InDegree = new int [n+1]; InitializePos(); // 图遍历器数组 for (int i = 1; i <= n; i++) // 初始化 InDegree = 0; for (i = 1; i <= n; i++) {// 从i 出发的边 int u = Begin(i); while (u) { I n D e g r e e [ u ] + + ; u = NextVe r t e x ( i ) ; } } // 把入度为０的顶点压入堆栈 LinkedStack for (i = 1; i <= n; i++) if (!InDegree) S.Add(i); // 产生拓扑次序 i = 0; // 数组v 的游标 while (!S.IsEmpty()) {// 从堆栈中选择 int w; // 下一个顶点 S . D e l e t e ( w ) ; v[i++] = w; int u = Begin(w); while (u) {// 修改入度 I n D e g r e e [ u ] - - ; if (!InDegree) S.Add(u); u = NextVe r t e x ( w ) ; } } D e a c t i v a t e P o s ( ) ; delete [] InDegree; return (i == n); } 2004-7-19 16:12:18 pk_001 等级：蝙蝠侠 威望：10 文章：939 积分：4134 门派：侠客岛 注册：2003-7-27 第6 楼 1.3.4 二分覆盖 二分图是一个无向图，它的n 个顶点可二分为集合A和集合B，且同一集合中的任意两个 贪心算法经典例题 发布日期：2009-1-8 浏览次数：1180 本资料需要注册并登录后才能下载！ ·用户名密码验证码找回密码·您还未注册？请注册 您的账户余额为元，余额已不足，请充值。 您的账户余额为元。此购买将从您的账户中扣除费用0.0元。 内容介绍>> 贪心算法经典例题 在求最优解问题的过程中，依据某种贪心标准，从问题的初始状态出发，直接去求每一步的最优解，通过若干次的贪心选择，最终得出整个问题的最优解，这种求解方法就是贪心算法。 从贪心算法的定义可以看出，贪心法并不是从整体上考虑问题，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优解，而由问题自身的特性决定了该题运用贪心算法可以得到最优解。 我们看看下面的例子 例1 均分纸牌（NOIP2002tg） [问题描述] 有 N 堆纸牌，编号分别为 1，2，…, N。每堆上有若干张，但纸牌总数必为 N 的倍数。可以在任一堆上取若干张纸牌，然后移动。移牌规则为：在编号为 1 堆上取的纸牌，只能移到编号为 2 的堆上；在编号为 N 的堆上取的纸牌，只能移到编号为 N-1 的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。例如 N=4，4 堆纸牌数分别为： ①9 ②8 ③17 ④ 6 移动3次可达到目的： 从③取 4 张牌放到④（9 8 13 10） -> 从③取 3 张牌放到②（9 11 10 10）-> 从②取 1 张牌放到①（10 10 10 10）。 [输入]：键盘输入文件名。 文件格式：N（N 堆纸牌，1 <= N <= 100） A1 A2 … An （N 堆纸牌，每堆纸牌初始数，l<= Ai <=10000） [输出]：输出至屏幕。格式为：所有堆均达到相等时的最少移动次数。 [输入输出样例] a.in： 4 9 8 17 6 屏慕显示：3 算法分析：设a[i]为第i堆纸牌的张数（0<=i<=n），v为均分后每堆纸牌的张数，s为最小移到次数。 我们用贪心法，按照从左到右的顺序移动纸牌。如第i堆(0 贪心算法的应用 课程名称：算法设计与分析 院系：计算机科学与信息工程学院 学生姓名：**** 学号：********** 专业班级：********************************** 指导教师：****** 201312-27 贪心算法的应用 摘要：顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。如单源最短路经问题，最小生成树问题等。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。贪心算法求问题一般具有两个重要性质：贪心选择性质和最优子结构性质。所谓贪心选择性是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优解的选择，即贪心选择达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法主要区别。当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。 背包问题是一个经典的问题，我们可以采用多种算法去求解0/1背包问题，比如动态规划法、分支限界法、贪心算法、回溯法。在这里我们采用贪心法解决这个问题。 关键词：贪心法背包问题最优化 目录 第1章绪论 (3) 1.1 贪心算法的背景知识 (3) 1.2 贪心算法的前景意义 (3) 第2章贪心算法的理论知识 (4) 2.1 问题的模式 (4) 2.2 贪心算法的一般性描述 (4) 第3章背包问题 (5) 3.1 问题描述 (5) 3.2 问题分析 (5) 3.3算法设计 (5) 3.4 测试结果与分析 (10) 第4章结论 (12) 参考文献 (13) 附件 (13) 利用贪婪法实现多种实际问题 《算法设计与分析》课程设计任务书 学院名称：数学与计算机学院专业：信息与计算科学专业年级：2007 一、设计题目 题目十四：利用贪婪算法实现多种实际问题 二、主要内容 给出多种可以用贪婪算法解决的典型问题，并分析、证明、编程。 三、具体要求 （1）贪婪算法的基本思想； （2）给出背包问题的贪婪算法； （3）给出有限期计算机作业调度的贪婪算法； （4）给出上面两个算法的证明； （5）给出上面两个算法的程序。 （6）给出时间复杂度。 四、主要技术路线提示 在用贪婪算法解决资源分配问题、布线问题、0-1背包问题过程中，使用贪婪算法解决问题，通常需要做好以下几个方面的工作： 1、明确问题的求解目标。 2、分析问题所包含的约束条件。 3、建立优化函数。优化函数通常可以通过综合分析问题的求解目标及约束条件归纳出来。 4、制定贪婪准则。 五、进度安排 1、第一周:分析题目的需求，设计抽象数据类型、构思算法、通过类的设计实现抽象数据类型并编写上机程序 2、第二周完成程序开发，进行测试并分析结果，最后撰写课程设计报告 I 利用贪婪法解决实际问题 六、完成后应上交的材料 上交的成果的内容必须由以下四个部分组成，缺一不可。 1．上交源程序：学生按照课程设计的具体要求所开发的所有源程序（应该放到一个文件夹中）。 2．上交程序的说明文件：（保存在.txt中），在说明文档中应该写明上交程序所在的目录，上交程序的主程序文件名，如果需要安装，要有程序的安装使用说明。 3．课程设计报告电子文档：（保存在word 文档中，文件名要求按照“学号姓名算法分析课设报告.doc”起名，如文件名为“200300109张三算法分析课设报告.doc”），按照课程设计的具体要求建立的功能模块，每个模块要求按照如下几个内容认真完成： 其中包括： （1）需求分析： 在该部分中叙述每个模块的功能要求等。 （2）概要设计 在此说明每个部分的算法设计说明（可以是描述算法的流程图），每个程序中使用的存储结构设计说明（如果指定存储结构请写出该存储结构的定义。 （3）详细设计 各个算法实现的源程序，对每个题目要有相应的源程序（可以是一组源程序，每个功能模块采用不同的函数实现）。 源程序要按照写程序的规则来编写。要结构清晰，重点函数的重点变量，重点功能部分要加上清晰的程序注释。 （4）调试分析 包括测试数据，测试输出的结果，时间复杂度分析，和每个模块设计和调试时存在问题的思考（问题是哪些？问题如何解决？），算法的改进设想。 （5）课设总结 总结可以包括：课程设计过程的收获、遇到问题、遇到问题解决问题过程的思考、程序调试能力的思考、对算法设计与分析这门课程的思考、在课程设计过程中对《算法设计与分析》课程的认识等内容。 4．课程设计报告打印稿。 七、推荐参考资料 教材： 《算法设计与分析》 Anany Levitin 著潘彦译清华大学出版社，2007。 《算法设计与分析》宋文等编重庆大学出版社，2001。 参考书：[1] 《算法设计与分析》周培德电子工业出版社，2000。 [2] 《算法设计与分析》王晓东电子工业出版社，2004 指导教师签名日期年月日 系主任审核日期年月日 II 贪心算法详解 贪心算法思想： 顾名思义，贪心算法总是作出在当前看来最好的选择。也就是说贪心算法并不从整体最优考虑，它所作出的选择只是在某种意义上的局部最优选择。当然，希望贪心算法得到的最终结果也是整体最优的。虽然贪心算法不能对所有问题都得到整体最优解，但对许多问题它能产生整体最优解。如单源最短路经问题，最小生成树问题等。在一些情况下，即使贪心算法不能得到整体最优解，其最终结果却是最优解的很好近似。 贪心算法的基本要素： 1.贪心选择性质。所谓贪心选择性质是指所求问题的整体最优解可以通过一系列局部最优的选择，即贪心选择来达到。这是贪心算法可行的第一个基本要素，也是贪心算法与动态规划算法的主要区别。 动态规划算法通常以自底向上的方式解各子问题，而贪心算法则通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。 对于一个具体问题，要确定它是否具有贪心选择性质，必须证明每一步所作的贪心选择最终导致问题的整体最优解。 2. 当一个问题的最优解包含其子问题的最优解时，称此问题具有最优子结构性质。问题的 最优子结构性质是该问题可用动态规划算法或贪心算法求解的关键特征。 贪心算法的基本思路： 从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标，以尽可能快的地求得更好的解。当达到算法中的某一步不能再继续前进时，算法停止。 该算法存在问题： 1. 不能保证求得的最后解是最佳的； 2. 不能用来求最大或最小解问题； 3. 只能求满足某些约束条件的可行解的范围。 实现该算法的过程： 从问题的某一初始解出发； while 能朝给定总目标前进一步do 求出可行解的一个解元素； 由所有解元素组合成问题的一个可行解； 用背包问题来介绍贪心算法： 背包问题：有一个背包，背包容量是M=150。有7个物品，物品可以分割成任意大小。要 求尽可能让装入背包中的物品总价值最大，但不能超过总容量。 贪婪算法在排课问题中分析与应用 摘要：排课问题是教学管理中重要的问题，对教学质量起到十分重要的影响。随着计算机和信息技术的快速发展，通过合理的算法编制排课系统是十分合适的。本文通过排课问题算法的分析，选择贪婪算法来解决排课问题。通过实验表明，目前的算法能够很好的解决排课问题，对问题的解决的复杂度大大降低，使得排课变得十分简单和高效。 关键字：排课，贪婪算法，优先级 1、绪论 在高校日常管理中，教学计划是重要的组成部分。而教学计划的重要体现方式之一就是排课表，其在教学管理中的地位和作用不可低估，课表的管理对教学管理是起到基础和重要的作用。因此排课问题是教学管理中重要的问题，对教学质量起到十分重要的影响。 由于上课约束条件多，课表的编制十分复杂，是一个耗时耗力的工作。目前随着高校人数的越来越多，其很难用手工去编制课表，其工作时间长，工作量大和繁琐的编制过程是一般人很难驾驭的。随着计算机和信息技术的快速发展，通过合理的算法编制排课系统是十分合适的。通过计算机算法的求解来对问题进行抽象和解决。 2、排课算法算法简介 目前对于排课问题的算法较多，主要有蚁群算法、模拟退火算法、遗传算法、整数规划法和贪婪算法等。 （1）蚁群算法 蚁群算法就是将模拟蚂蚁的活动，对参数设置较少。这种算法具备较强的全局搜索能力，但其效率较低，且容易出现停滞[1]。 （2）模拟退火算法 这个算法被较多的学者用来解决排课问题，它是模拟退火的现象，对自然事物进行抽象而来。其比较适合约束条件较少的问题。如果约束条件少，其很快就能获得最优解。但这种算法的参数选择较难，且资源开销大[2]。 （3）遗传算法 遗传算法是基于自然选择和生物遗传的全局优化策略。其优点在于在非线性问题上能够表现出全局最优，可以并行处理而且算法效率相对较高[3]。 但遗传算法本身较为复杂，由于排课问题的约束条件较多，其算法的效率较低，如果排课要求十分严格的话，很有可能造成找不到解。 （4）整数规划法 整数规划法来解决排课问题计算量很大，只适合规模较小排课问题，对于规模较大的，至今都很难找到一个可行算法。 （5）贪婪算法 贪婪算法是指在解决问题的时候，不会考虑整体最优，而是采取局部最优的思想进行最优思想[4]。也就是说，该算法将解决问题分解为每一个步骤，根据其难易程度进行解决，通过满足局部最优的方式来尽可能的获得最满意的解决。虽然在某些情况下，贪婪算法并不能得到最优解，但能得到相对满意的解。 3、排课问题综述 （1）排课原则 排课问题的本质是一个优化问题，是对教师、上课课程、上课时间和上课地点等因素的优化。其目的就是将全校所开设课程在有限的时间和地点下进行合理的安排，确保教学的顺利进行，以达到最优的效果。 为了能够产出一张满意合格的排课表，在排课中要满足一些约束条件。我们将一些约束 武汉理工大学 算法设计与分析论文题目：贪心算法应用研究 姓名：吴兵 学院：信息工程 专业班级：电子133 学号： 1409721303131 任课教师：张小梅 目录 摘要 (1) 1.绪论 (2) 2贪心算法的基本知识概述 (3) 2.1 贪心算法定义 (3) 2.2 贪心算法的基本思路及实现过程 (3) 2.3贪心算法的核心 (3) 2.4贪心算法的基本要素 (4) 2.5 贪心算法的理论基础 (6) 2.6 贪心算法存在的问题 (7) 3贪心算法经典应用举例 (8) 3.1删数问题 (8) 3.2 汽车加油问题 (10) 3.3会场安排问题 (12) 4.总结 (16) 5.参考文献 (17) 摘要 在求最优解问题的过程中，依据某种贪心标准，从问题的初始状态出发，直接去求每一步的最优解，通过若干次的贪心选择，最终得出整个问题的最优解，这种求解方法就是贪心算法。从贪心算法的定义可以看出，贪心法并不是从整体上考虑问题，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优解，而由问题自身的特性决定了该题运用贪心算法可以得到最优解。贪心算法所作的选择可以依赖于以往所作过的选择，但决不依赖于将来的选择，也不依赖于子问题的解，因此贪心算法与其它算法相比具有一定的速度优势。如果一个问题可以同时用几种方法解决，贪心算法应该是最好的选择之一。本文讲述了贪心算法的含义、基本思路及实现过程，贪心算法的核心、基本性质、特点及其存在的问题。并通过贪心算法的特点举例列出了以往研究过的几个经典问题，对于实际应用中的问题，也希望通过贪心算法的特点来解决。 关键词：贪心算法最小生成树多处最优服务次序问题删数问题 从贪心算法的定义可以看出，贪心法并不是从整体上考虑问题，它所做出的选择只是在某种意义上的局部最优解，而由问题自身的特性决定了该题运用贪心算法可以得到最优解。 我们看看下面的例子 例1 均分纸牌（NOIP2002tg） [问题描述] 有 N 堆纸牌，编号分别为 1，2，…, N。每堆上有若干张，但纸牌总数必为 N 的倍数。可以在任一堆上取若干张纸牌，然后移动。移牌规则为：在编号为 1 堆上取的纸牌，只能移到编号为 2 的堆上；在编号为 N 的堆上取的纸牌，只能移到编号为 N-1 的堆上；其他堆上取的纸牌，可以移到相邻左边或右边的堆上。现在要求找出一种移动方法，用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。例如 N=4，4 堆纸牌数分别为： ①9 ②8 ③17 ④6 移动3次可达到目的： 从③取 4 张牌放到④（9 8 13 10） -> 从③取 3 张牌放到②（9 11 10 10）-> 从②取 1 张牌放到①（10 10 10 10）。 [输入]：键盘输入文件名。 文件格式：N（N 堆纸牌，1 <= N <= 100） A1 A2 … An （N 堆纸牌，每堆纸牌初始数，l<= Ai <=10000） [输出]：输出至屏幕。格式为：所有堆均达到相等时的最少移动次数。 [输入输出样例] ： 4 9 8 17 6 屏慕显示：3 算法分析：设a[i]为第i堆纸牌的张数（0<=i<=n），v为均分后每堆纸牌的张数，s为最小移到次数。 我们用贪心法，按照从左到右的顺序移动纸牌。如第i堆(0 答：贪婪算法（Greedy algorithm）是一种对某些求最优解问题的更简单、更迅速的设计技术。用贪婪法设计算法的特点是一步一步地进行，常以当前情况为基础根据某个优化测度作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间，它采用自顶向下，以迭代的方法做出相继的贪心选择，每做一次贪心选择就将所求问题简化为一个规模更小的子问题，通过每一步贪心选择，可得到问题的一个最优解，虽然每一步上都要保证能获得局部最优解，但由此产生的全局解有时不一定是最优的，所以贪婪法不要回溯。 贪婪算法是一种改进了的分级处理方法。其核心是根据题意选取一种量度标准。然后将这多个输入排成这种量度标准所要求的顺序，按这种顺序一次输入一个量。如果这个输入和当前已构成在这种量度意义下的部分最佳解加在一起不能产生一个可行解，则不把此输入加到这部分解中。这种能够得到某种量度意义下最优解的分级处理方法称为贪婪算法。 对于一个给定的问题，往往可能有好几种量度标准。初看起来，这些量度标准似乎都是可取的，但实际上，用其中的大多数量度标准作贪婪处理所得到该量度意义下的最优解并不是问题的最优解，而是次优解。因此，选择能产生问题最优解的最优量度标准是使用贪婪算法的核心。 一般情况下，要选出最优量度标准并不是一件容易的事，但对某问题能选择出最优量度标准后，用贪婪算法求解则特别有效。最优解可以通过一系列局部最优的选择即贪婪选择来达到，根据当前状态做出在当前看来是最好的选择，即局部最优解选择，然后再去解做出这个选择后产生的相应的子问题。每做一次贪婪选择就将所求问题简化为一个规模更小的子问题，最终可得到问题的一个整体最优解。其有以下特性： ⑴ 有一个以最优方式来解决的问题。为了构造问题的解决方案，有一个候选的对象的集合：比如不同面值的硬币。 ⑵ 随着算法的进行，将积累起其它两个集合：一个包含已经被考虑过并被选出的候选对象，另一个包含已经被考虑过但被丢弃的候选对象。 ⑶ 有一个函数来检查一个候选对象的集合是否提供了问题的解答。该函数不考虑此时的解决方法是否最优。 ⑷ 还有一个函数检查是否一个候选对象的集合是可行的，也即是否可能往该集合上添加更多的候选对象以获得一个解。和上一个函数一样，此时不考虑解决方法的最优性。 ⑸ 选择函数可以指出哪一个剩余的候选对象最有希望构成问题的解。 ⑹ 最后，目标函数给出解的值。 实验报告 课程算法设计与分析实验实验名称贪心算法设计与应用第 1 页一、实验目的 理解贪心算法的基本原理，掌握贪心算法设计的基本方法及其应用； 二、实验内容 (一)Huffman编码和译码问题： 1．问题描述 给定n个字符在文件中的出现频率，利用Huffman树进行Huffman编码和译码。设计一个程序实现： 1.输入含n(n<=10)个字符的字符集S以及S中各个字符在文件中的出现频 率，建立相应的Huffman树，求出S中各个字符的Huffman编码。 2.输入一个由S中的字符组成的序列L，求L的Huffman 编码。 3. 输入一个二进制位串B，对B进行Huffman译码，输出对应的字符序列； 若不能译码，则输出无解信息。 提示：对应10 个字符的Huffman树的节点个数<211。 2．测试数据 Input n=5 字符集合S={a, b, c, d, e}, 对应的频率分别为 a: 20 b: 7 c: 10 d: 4 e: 18 字符序列L=ebcca 二进制位串B=01100111010010 Output S中各个字符的Huffman编码：（设Huffman树中左孩子的权<=右孩子的权）a: 11 b: 010 c: 00 d: 011 e: 10 L的Huffman 编码：10010000011 B对应的字符序列： dcaeeb 若输入的B=01111101001，则无解 (二) 加油问题（Problem Set 1702）： 1.问题描述 一个旅行家想驾驶汽车从城市A到城市B（设出发时油箱是空的）。给定两个 城市之间的距离dis、汽车油箱的容量c、每升汽油能行驶的距离d、沿途油站数n、油站i离出发点的距离d[i]以及该站每升汽油的价格p[i],i=1,2,…,n。设d[1]=0 贪心算法的应用实例 例2．排队问题 【题目描述】 在一个医院B 超室，有n个人要做不同身体部位的B超，已知每个人需要处理的时间为ti，（0 贪心算法浅析 摘要：本文讲述了贪心算法的基本思路及实现过程，贪心算法的特点、存在的问题以及应用。并通过贪心算法的特点举例列出了几个经典问题，通过对问题的探讨和研究，对贪心算法有了更加深入的了解。 关键词：贪心算法；最优解；最优子结构问题；删数问题；活动安排问题 贪心算法的基本思路及实现过程 1贪心的基本思想 用局部解构造全局解，即从问题的某一个初始解逐步逼近给定的目标，以尽可能快地求得更好的解。当某个算法中的某一步不能再继续前进时，算法停止。贪心算法思想的本质就是分治，或者说：分治是贪心的基础。每次都形成局部最优解，换一种方法说，就是每次都处理出一个最好的方案。 利用贪心策略解题，需要解决两个问题： （1）该题是否适合于用贪心策略求解； （2）如何选择贪心标准，以得到问题的最优/较优解。 2贪心算法的实现过程 （1）应用同一规则F，将原问题变为一个相似的、但规模更小的子问题； （2）从问题的某一初始解出发： While（能朝给定目标前进一步） 求出可行解的一个解元素； （3）由所有解元素组合成问题的一个可行解。 贪心算法的特点 贪心算法的最大特点就是快，通常是线性二次式，不需要多少额外的内存。一般二次方级的存储要浪费额外的空间，而且那些空间经常得不出正解。但是，使用贪心算法时，这些空间可以帮助算法更容易实现且更快执行。如果有正确贪心性质存在，那么一定要采用。因为它容易编写，容易调试，速度极快，并且节约空间。几乎可以说，此时它是所有算法中最好的。但是应该注意，贪心算法有两大难点： （1）如何贪心 怎样用一个小规模的解构造更大规模的解呢?总体上，这与问题本身有关。但是大部分都是有规律的。正因为贪心有如此性质，它才能比其他算法快。 具有应当采用贪心算法的问题，当“贪心序列”中的每项互异且当问题没有重叠性时，看起来总能通过贪心算法取得（近似）最优解的。或者，总有一种直觉在引导我们对一些问题采用贪心算法。其中“找零钱”这个问题就是一个例子。题中给出的硬币面值事实上具有特殊性，如果面值发生变化，可能贪心算法就不能返回最优解了。但是，值得指出的是，当一个问题具有多个最优解时，贪心算法并不能求出所有最优解。另外，我们经过实践发现，单纯的贪心算法是顺序处理问题的；而且每个结果是可以在处理完一个数据后即时输出的。 （2）贪心的正确性 要证明贪心性质的正确性，才是贪心算法的真正挑战，因为并不是每次局部最优解都会与整体最优解之间有联系，往往靠贪心算法生成的解不是最优解。这样，贪心性质的证明就成了贪心算法正确的关键。对某些问题贪心性质也许是错的，即使它在大部分数据中都是可行的，但还必须考虑到所有可能出现的特殊情况，并证明该贪心性质在这些特殊情况中仍然正确。而这样容易陷入证明不正确贪心性质的泥塘中无法自拔，因为贪心算法的适用范围并不大，而且有一部分极难证明，若是没有把握，最好不要冒险，还有其他算法会比它要保险。 贪心算法存在的问题 （1）不能保证求得的最后解是最佳的。由于贪心策略总是采用从局部看来是最优的选择，因此并不从整体上加以考虑； （2）贪心算法只能用来求某些最大或最小解的问题； （3）贪心算法只能确定某些问题的可行性范围 贪心算法的应用 1哈夫曼编码 2 0-1背包问题 3磁盘文件的存储 4生产调度问题 5信息查询 贪婪算法思想及其应用 摘要：贪婪算法也称作贪心算法，它没有固定的算法框架，算法设计的关键是贪婪策略的选择，并且所选的贪婪策略要具有无后向性。 关键词：贪婪策略，无后向性，最优 正文： 一．贪婪算法的定义： 贪婪算法又叫登山法，它的根本思想是逐步到达山顶，即逐步获得最优解，是解决最优化问题时的一种简单但适用范围有限的策略。 二．贪婪算法思想： 贪婪算法采用逐步构造最优解的方法，即在每个阶段，都选择一个看上去最优的策略（在一定的标准下）。策略一旦选择就不可再更改，贪婪决策的依据称为贪婪准则，也就是从问题的某一个初始解出发并逐步逼近给定的目标，以尽可能快的要求得到更好的解。而且它在设计时没有固定的框架，关键在于贪婪策略的选择。但要注意的是选择的贪婪策略要具有无后向性，即某阶段状态一旦确定下来后，不受这个状态以后的决策的影响，也就是说某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关。 三．贪婪算法的优缺点： 贪婪算法的优点在于在求解问题的每一步它都是选择最优解，这样算法就容易实现也易于理解，同时也提高了效率并节省了时间。然而贪婪算法的缺点也是不容忽视的，由于它采取逐步获得最优解的方法而不从整体最优上加以考虑，它所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。因此贪婪算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广泛的许多问题它都能得出整体最优解或者是整体最优解的近似解。 四. 实例参考： 下面就列举用贪婪算法成功得出问题最优解的例子： 例：一个小孩拿着一美元去商店买糖果，花了33美分，售货员需要找回67美分给小孩，而美分的面值有25,10,5,1这几种。问题是售货员找个小孩的钱币的个数应是最少的，但同时要满足67美分这个条件。 分析：选择硬币时所采用的贪婪准则如下：每一次都选择面值最大的货币来凑足要找的零钱总数，但前提是不能超出要找的67美分。 解：我们用贪婪算法来处理这个问题，首先我们肯定会选择面值为25的货币，这样的货币我们需要两枚，然后我们依据贪婪准则选择面值为10的货币，这样的货币我们需要一枚，接着继续选择面值为5的货币一枚和面值为1的货币两枚。这样我们用贪婪算法就得到了解决问题的办法，而在实际中这也确实是这个问题的最优解。因此在找钱这个问题上，我们采用贪婪算法就能满足我们找出的钱的个数最少这个条件。 贪婪算法同时也有很多无法得出最优解的例子，比如我们熟知的背包问题： 例：有一个背包，容量是M=150。有7个物品，物品不能分割成任意大小。 要求尽可能让装入背包中的物品的总价值最大，但不能超过总容量。 物品：A B C D E F G 重量：35 30 60 50 40 10 25 价值：10 40 30 50 35 40 30 在使用贪婪算法的前提下解决下列问题，能否得到最优结果？ 贪婪算法在资源分配问题中的应用 彭鹏 贵州财经学院研究生 摘要：贪婪算法的典型应用是解决优化问题，这类算法的策略是只顾眼前，而不考虑以后的影响，它的算法简单容易设计实现，因此在许多实际问题中得到广泛的应用，但是它也存在许多的问题，巧妙的使用贪婪思想，将其融入到资源分配问题中解题中，资源分配问题便焕发出了新的光彩。 本文首先对贪婪算法的基本概念做了介绍，然后通过实例论述了贪婪算法在资源分配问题中的应用。 关键字：贪婪算法研究应用资源分配问题 第一章贪婪算法的概念 1.1什么是贪婪算法 贪婪算法是一种对某些求最优解问题的更简单、更迅速的设计技术。用贪婪法设计算法的特点是一步一步地进行，常以当前情况为基础根据某个优化测度作最优选择，而不考虑各种可能的整体情况，它省去了为找最优解要穷尽所有可能而必须耗费的大量时间，它采用自顶向下,以迭代的方法做出相继的贪心选择,每做一次贪心选择就将所求问题简化为一个规模更小的子问题, 通过每一步贪心选择,可得到问题的一个最优解，虽然每一步上都要保证能获得局部最优解，但由此产生的全局解有时不一定是最优的，所以贪婪法不要回溯。 贪婪算法是一种改进了的分级处理方法。其核心是根据题意选取一种量度标准。然后将这多个输入排成这种量度标准所要求的顺序，按这种顺序一次输入一个量。如果这个输入和当前已构成在这种量度意义下的部分最佳解加在一起不能产生一个可行解，则不把此输入加到这部分解中。这种能够得到某种量度意义下最优解的分级处理方法称为贪婪算法。 对于一个给定的问题，往往可能有好几种量度标准。初看起来，这些量度标准似乎都是可取的，但实际上，用其中的大多数量度标准作贪婪处理所得到该量度意义下的最优解并不是问题的最优解，而是次优解。因此，选择能产生问题最优解的最优量度标准是使用贪婪算法的核心。 一般情况下，要选出最优量度标准并不是一件容易的事，但对某问题能选择出最优量度标准后，用贪婪算法求解则特别有效。最优解可以通过一系列局部最优的选择即贪婪选择来达到,根据当前状态做出在当前看来是最好的选择，即局部最优解选择，然后再去解做出这个选择后产生的相应的子问题。每做一次贪婪选择就将所求问题简化为一个规模更小的子 实验一贪心算法应用及设计 实验课时：6学时 二、实验目的： (1)理解贪心选择算法的思想 (2)熟悉单源、哈夫曼、最小生成树等问题的算法； (3)通过对例题分析、设计、调试，体会和掌握贪心法在程序设计中的应用，并进行贪心优化的相应练习。 二、实验原理： 贪心选择算法思想： （1）贪心选择能得到问题的最优解，要证明我们所做的第一步选择一定包含在一个最优解，即存在一个最优解的第一步是从我们的贪心选择开始。 （2）在做出第一步贪心选择后剩下的子问题应该是和原问题类似的规模较小的子问题 为此我们可以用数学归纳法来证明贪心选择能得到问题的最优解。 三、实验内容： 1、活动安排问题。 问题：有n个活动的集合A={1,2,…,n}，其中每个活动都要求使用同一资源，如演讲会场等，而在同一时间内只有一个活动能使用这一资源。 求解：安排尽量多项活动在该场地进行，即求A的最大相容子集。 设待安排的11个活动的开始时间和结束时间按结束时间的升序排列如下： 将此表数据作为实现该算法的测试数据。 （1）给出算法基本思想； （2）给出用C/C++或java语言实现程序的代码; public class actionarrange { public static void main(String []args) { int start[]={1,3,0,5,3,5,6,8,8,2,12}; int finish[]={4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14}; boolean arrange[]=new boolean[10]; for(int i=0;i<10;i++){ arrange[i]=false; } int cout=greedySelector(start,finish,arrange); System.out.println("安排的活动数目："+cout); } public static int greedySelector(int s[],int f[], boolean a[]) { int n=s.length-1; a[0]=true; System.out.println("活动安排情况如下："); System.out.println("活动序号开始时间结束时间"); System.out.println(" "+0+" "+s[0]+" "+f[0]); int j=1; int count=1; for (int i=1;i 贪心算法的基本思想是找出整体当中每个小的局部的最优解，并且将所有的这些局部最优解合起来形成整体上的一个最优解。因此能够使用贪心算法的问题必须满足下面的两个性质： 1.整体的最优解可以通过局部的最优解来求出； 2.一个整体能够被分为多个局部，并且这些局部都能够求出最优解。使用贪心算法当中的两个典型问题是活动安排问题和背包问题。 在对问题求解时，总是作出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体上加以考虑，它所作出的仅仅是在某种意义上的局部最优解（是否是全局最优，需要证明）。 特别注意：若要用贪心算法求解某问题的整体最优解，必须首先证明贪心思想在该问题的应用结果就是最优解！！ 以经典的活动安排为例： 1、若A是E的最优解，那么E-A 也是问题的最优解，在余下的问题里，继续拿最早结束的； 2、拿可以开始的最早结束。(所以要按结束时间排序一次，然后把可以开始的选择上，然后继续向后推) 贪心子结构是独立的（往往用标志判断而已），不同于动态规划（后面每一边的计算要用到前一步的值，另外开辟空间来保存） 贪心算法的基本步骤： 1、从问题的某个初始解出发。 2、采用循环语句，当可以向求解目标前进一步时，就根据局部最优策略，得到一个部分解，缩小问题的范围或规模。 3、将所有部分解综合起来，得到问题的最终解。 如最经典的活动安排问题，按结束时间从小到大排序，这样找出第一个节目后，剩下的节目已经是最safe的子结构了，再从子结构中最最早结束但又不和上一次观看的节目有冲突的节目 void arrange(int s[],int f[],bool A[],int n) { A[0] = true; int lastSelected = 0; for (int i = 1;i Matlab中贪婪算法求解背包问题的研究与应用 晏 杰 【摘 要】本文对贪婪算法进行了分析，总结了贪婪算法解决问题的思路，根据改进的贪婪算法解决策略，通过Matlab对贪婪算法在背包问题中的应用进行了具体实现和详细的分析. 【期刊名称】赤峰学院学报（自然科学版） 【年(卷),期】2012(000)017 【总页数】2 【关键词】Matlab；贪婪算法；背包；研究与应用 1 引言 为了满足人们对大数据量信息处理的渴望,为解决各种实际问题,计算机算法学得到了飞速的发展,线性规划、动态规划、贪婪策略等一系列运筹学模型纷纷运用到计算机算法学中,产生了解决各种现实问题的有效算法.贪婪算法主要用于设计数值最优化问题的算法，它是一种求最优解问题的最直接的设计技术，它不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广泛的许多问题能产生整体最优解或者整体最优解的近似解.算法容易实现也易于理解，这使得算法在编码和执行的过程中都有着一定的速度优势，同时也提高了效率并节省了时间. 2 贪婪算法概述 2.1 贪婪算法的定义 贪婪算法又叫登山法，它的根本思想是逐步到达山顶，即逐步获得最优解，是解决最优化问题时的一种简单但适用范围有限的策略. 2.2 贪婪算法思想 贪婪算法采用逐步构造最优解的方法，即在每个阶段，都选择一个看上去最优的策略（在一定的标准下）.策略一旦选择就不可再更改，贪婪决策的依据称为贪婪准则，也就是从问题的某一个初始解出发并逐步逼近给定的目标，以尽可能快的要求得到更好的解.而且它在设计时没有固定的框架，关键在于贪婪策略的选择.但要注意的是选择的贪婪策略要具有无后向性，即某阶段状态一旦确定下来后，不受这个状态以后的决策的影响，也就是说某状态以后的过程不会影响以前的状态，只与当前状态有关. 2.3 贪婪算法的特性 贪婪算法及贪婪算法可解决的问题通常大部分都有如下的特性: Greedy Algorithm：贪心算法 算法思想 在贪婪算法中采用逐步构造最优解的方法。在每个阶段，都作出一个看上去最优的决策（在一定的标准下）。决策一旦作出，就不可再更改。作出贪婪决策的依据称为贪婪准则（greedy criterion），也就是从问题的某一个初始解出发逐步逼近给定的目标，以尽可能快的地求得更好的解。当达到某算法中的某一步不能再继续前进时，算法停止。 虽然设计一个好的求解算法更像是一门艺术，而不像是技术，但仍然存在一些行之有效的能够用于解决许多问题的算法设计方法，你可以使用这些方法来设计算法，并观察这些算法是如何工作的。一般情况下，为了获得较好的性能，必须对算法进行细致的调整。但是在某些情况下，算法经过调整之后性能仍无法达到要求，这时就必须寻求另外的方法来求解该问题。Greedy Algorithm在设计方面不能保证求得的最后解是最佳的和不能用来求最大或最小解问题，只能求满足某些约束条件的可行解的范围。 Example1 例1-4 [找零钱] 一个小孩买了价值少于1美元的糖，并将1美元的钱交给售货员。售货员希望用数目最少的硬币找给小孩。假设提供了数目不限的面值为2 5美分、1 0美分、5美分、及1美分的硬币。售货员分步骤组成要找的零钱数，每次加入一个硬币。选择硬币时所采用的贪婪准则如下：每一次选择应使零钱数尽量增大。为保证解法的可行性（即：所给的零钱等于要找的零钱数），所选择的硬币不应使零钱总数超过最终所需的数目。 假设需要找给小孩6 7美分，首先入选的是两枚2 5美分的硬币，第三枚入选的不能是2 5美分的硬币，否则硬币的选择将不可行（零钱总数超过6 7美分），第三枚应选择1 0美分的硬币，然后是5美分的，最后加入两个1美分的硬币。 贪婪算法有种直觉的倾向，在找零钱时，直觉告诉我们应使找出的硬币数目最少（至少是接近最少的数目）。可以证明采用上述贪婪算法找零钱时所用的硬币数目的确最少（见练习1）。 Example2 例1-5 [机器调度] 现有n 件任务和无限多台的机器，任务可以在机器上得到处理。每件任务的开始时间为si，完成时间为fi ，si < fi 。[si , fi ] 为处理任务i 的时间范围。两个任务i，j 重指两个任务的时间范围区间有重叠，而并非是指i，j 的起点或终点重合。例如：区间[ 1，4 ]与区间[ 2，4 ]重叠，而与区间[ 4，7 ]不重叠。一个可行的任务分配是指在分配中没有两件重叠的任务分配给同一台机器。因 贪心算法 贪心算法（又称贪婪算法）是指，在对问题求解时，总是做出在当前看来是最好的选择。也就是说，不从整体最优上加以考虑，他所做出的仅是在某种意义上的局部最优解。贪心算法不是对所有问题都能得到整体最优解，但对范围相当广泛的许多问题他能产生整体最优解或者是整体最优解的近似解。 贪心法是指从问题的初始状态出发，通过若干次的贪心选择而得出最优解或较优解的一种阶梯方法。事实上，从贪心算法“贪心”一词便可以看出，贪心法总是做出在当前看来是最优的选择，也就是说贪心法不是从整体上加以考虑他所做出的选择只是在某种意义上的局部最优解，而血多问题自身的特性决定了该题可以用贪心算法就能得到最优解。 贪心算法的基本思路 1.建立数学模型来描述问题。 2.把求解的问题分成若干个子问题。 3.对每一子问题求解，得到子问题的局部最优解。 4.把子问题的解局部最优解合成原来解问题的一个解。 实现该算法的过程： 从问题的某一初始解出发； while 能朝给定总目标前进一步 do 求出可行解的一个解元素； 由所有解元素组合成问题的一个可行解。 【问题举例】 11-1-1 购买新年贺卡 问题描述： 新年快到了，笑笑打算给他的好友们发新年贺卡，而且他已经选好了子要购买的样式。俗话说得好，货比三家，笑笑来到了商店，看了各个商铺同一种贺卡的价钱。不仅如此，笑笑还记住了每个商铺的存货量。已知笑笑打算购买m 张贺卡，问他最少花多少钱。 输入格式： 第一行有两个整数m和n。其中m表示要购买的贺年卡的数量，n表示商铺的个数。以下n行，每行有两个整数，分别表示该商铺这种贺年卡的单价和存货量。 输出格式： 进一个数，表示笑笑所化的最少的钱数。 输入样例： 10 4 4 3 6 2 8 10 3 6 输出样例： 36 数据规模： 0贪心算法经典例题
【精选】贪心算法的应用
利用贪婪算法实现多种实际问题
贪心算法详解分析
贪婪算法在排课问题中分析与应用
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贪心算法的应用
贪婪算法
贪心算法设计与应用
贪心算法的应用实例
贪心算法浅析
贪婪算法思想及其应用
贪婪算法在资源分配问题中的应用----彭鹏
实验1 贪心算法应用及设计
贪心算法
Matlab中贪婪算法求解背包问题的研究与应用
贪婪算法
贪心算法