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2009级数学史参考资料A

一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的序号填在题干的括号内。)

1.关于古埃及数学的知识,主要来源于( )。

A.埃及纸草书和苏格兰纸草书√

B.莱茵德纸草书和莫斯科纸草书

C.莫斯科纸草书和希腊纸草书

D.莱茵德纸草书和尼罗河纸草书

2.以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是( )。

A.爱奥尼亚学派

B.伊利亚学派

C.诡辩学派√

D.毕达哥拉斯学派

3.最早记载勾股定理的我国古代名著是( )。

A.《九章算术》

B.《孙子算经》

√C.《周髀算经》 D.《缀术》

4.首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是( )。

A.中国√

B.印度

C.阿拉伯

D.古希腊

5.欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后,第一位有影响的数学家是( )。

√A.斐波那契 B.卡尔丹

C.塔塔利亚

D.费罗

6.对微积分的诞生具有重要意义的“行星运行三大定律”,其发现者是( )。

A.伽利略

B.哥白尼

√C.开普勒 D.牛顿

7.对古代埃及数学成就的了解主要来源于()

√A.纸草书 B.羊皮书 C.泥版 D.金字塔内的石刻

8.公元前4世纪,数学家梅内赫莫斯在研究下面的哪个问题时发现了圆锥曲线?()

A.不可公度数

B.化圆为方√

C.倍立方体

D.三等分角

9.《九章算术》中的“阳马”是指一种特殊的()

A.棱柱√

B.棱锥

C.棱台

D.楔形体

10.印度古代数学著作《计算方法纲要》的作者是()

A.阿耶波多

B.婆罗摩笈多√

C.马哈维拉

D.婆什迦罗

11.射影几何产生于文艺复兴时期的()

A.音乐演奏

B.服装设计

C.雕刻艺术√

D.绘画艺术

12.微分符号“d”、积分符号“∫”的首先使用者是()

A.牛顿√

B.莱布尼茨

C.开普勒

D.卡瓦列里

13.求和符号Σ的引进者是()

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第2页/共12页 A.牛顿 B.莱布尼茨√ C.柯西 D.欧拉

14.作为“非欧几何”理论建立者之一的年轻数学家波约是( )

A.俄国人

B.德国人

C.葡萄牙人√

D.匈牙利人

15.最早证明了有理数集是可数集的数学家是( )

√A.康托尔 B.欧拉 C.魏尔斯特拉斯 D.柯西

16.在1900年巴黎国际数学家大会上提出了23个著名的数学问题的数学家是( )

√A.希尔伯特 B.庞加莱 C.罗素 D.克莱因

17.《周髀算经》和( )是我国古代两部重要的数学著作。

A.《孙子算经》

B.《墨经》

C.《算数书》 √

D.《九章算术》

18.中国数学史上最先完成勾股定理证实的数学家是( )

A.周公后人荣方与陈子 √

B.三国时期的赵爽

C.西汉的张苍、耿寿昌

D.魏晋南北朝时期的刘徽

19.世界上第一个把π计算到3.1415926<π<3.1415927的数学家是( )

A.刘徽

B. 阿基米德 √

C.祖冲之

D.卡瓦列利

20.以“万物皆数”为信条的古希腊数学学派是( )。

A.爱奥尼亚学派

B.伊利亚学派

C.诡辩学派 √

D.毕达哥拉斯学派

21.古希腊的三大闻名几何尺规作图问题是( )

①三等分角 ②立方倍积 ③正十七边形 ④化圆为方

A . ① ② ③ √

B .① ② ④

C .① ③ ④

D .② ③④

22. 《几何原本》的作者是( )

√A.欧几里得 B.阿基米德 C.阿波罗尼奥斯 D.托勒玫

23.发现闻名公式

的数学家是( )

2009级数学史参考资料A

A .高斯 √B.欧拉 C.柯西 D.牛顿

24. 首先使用符号“0”来表示零的国家或民族是( )。

A.中国 √

B.印度

C.阿拉伯

D.古希腊

25.1900 年,希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出的闻名数学问题共有( )

A.18 个

B.32个 √

C.23 个

D.40 个

26. 被誉为中国人工智能之父,在几何定理的机器证实取得重大突破,并获得首

届国家最高科学技术奖的数学家是( )

A.张景中 √

B.吴文俊

C.华罗庚

D.陈景润

27. 2006年,在西班牙马德里举行第25届国际数学家大会上,华裔科学家( )

因为他对偏微分方程、组合数学、谐波分析和堆垒数论方面的贡献,获得被誉为“数

学界的诺贝尔奖”的菲尔兹奖。

√A .陶哲轩 B.丘成桐 C.田刚 D.陈省身

28.数学的第一次危机的产生是由于( )

A.负数的发现√

B.无理数的发现

C.虚数的发现

D.超越数的发现

29.我国古代著作《周髀算经》中的“髀”是指( )

A.太阳影子√

B.竖立的表或杆子

C.直角尺

D.算筹

30.古希腊开论证几何学先河的是( )(泰勒斯)

A.柏拉图学派

B.欧几里得学派

√C.爱奥尼亚学派 D.毕达哥拉斯学派

31.中国最古的算书《算数书》出土于( )

A.20年代

B.40年代

C.60年代√

D.80年代(1984年之交在湖北江陵张家山247号墓)

32.首先引进如下一批符号:

f(x)-函数符号;∑-求和号;e-自然对数底;i-虚数单位的数学家是( )

A.泰勒

B.欧拉

C.麦克劳林√

D.莱布尼茨

33.“纯数学的对象是现实世界的空间形式与数量关系.”给出这个关于数学本质的论述的人是( )

A.笛卡尔√

B.恩格斯

C.康托

D.罗素

34.以下哪一个问题与微分学发展无关?( )

A.求曲线的切线

B.求瞬时变换率

C.求函数的极大极小值√

D.用无穷小过程计算特殊形状的面积

35.我国古代十部算经中年代最晚的一部( )

A.《孙子算经》

B.《张邱建算经》

√C.《缉古算经》 D.《周髀算经》

36.由于对分析严格化的贡献而获得了"现代分析之父"称号的德国数学家是( )

√A.魏尔斯特拉斯 B.莱布尼茨

C.欧拉

D.柯西

37.提出“集合论悖论”的数学家是( )

A.康托尔√

B.罗素

C.庞加莱

D.希尔伯特

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二、填空题

1.在代数和几何这两大传统的数学领域,古代美索不达米亚的数学成就主要在苏美尔人还会分数、加减乘除四则运算和解一元二次方程,发明了10进位法和16进位法。他们把圆分为360度,并知道π近似于3。甚至会计算不规则多边形的面积及一些锥体的体积。方面,他们能够卓有成效地处理相当一般的解一元二次方程。

2.古希腊的三大著名几何问题是立方倍积、化圆为方和三等分角。

3.我国古代数学家刘徽用来推算圆周率的方法叫割圆术,用来计算面积和体积的一条基本原理是原理。

4.阿拉伯数学家穆罕默德.花拉子米(Mohammed ibn musa Al-khowarizmi)的《还原与对消计算概要》通常被称作《代数学》。

5.对数的发明者约翰·纳皮尔是一位贵族数学家,拉普拉斯曾赞誉道:“对数的发明以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”。

6.历史上第一篇系统的微积分文献《流数简论》的作者是牛顿,第一个公开发表微积分论文的数学家是莱布尼兹。

7.对韦达所使用的代数符号进行改进的工作是由笛卡尔完成的,他用拉丁字母的前几个表示已知量量,后几个表示未知量量。

8.古代美索不达米亚的数学常常记载在___泥书板_____上,在代数与几何这两个传统领域,他们成就比较高的是___代数_______领域。

9.《几何原本》所建立的平面几何体系中共有___五_______条公设和____五______条公理。(五条公理 1.等于同量的量彼此相等; 2.等量加等量,其和相等; 3.等量减等量,其差相等;

4.彼此能重合的物体是全等的;

5.整体大于部分。

五条公设 1.过两点能作且只能作一直线; 2.线段(有限直线)可以无限地延长; 3.以任一点为圆心,任意长为半径,可作一圆; 4.凡是直角都相等; 5.同平面内一条直线和另外两条直线相交,若在直线同侧的两个内角之和小于180°,则这两条直线经无限延长后在这一侧一定相交。)

10.《海岛算经》的作者是___刘徽_______,《数书九章》的作者是___秦九韶_______。

11.阿拉伯数学家__穆罕默德.花拉子米__的《还原与对消计算概要》第一次给出了二次方程方程的一般解法,并用几何方法对这一解法给出了证明。

12.欧洲中世纪漫长的黑暗时期过后,第一位有影响的数学家是___斐波那契_______,他在其代表作《算经》中叙述了著名的“兔子问题”。

13.历史上第一篇系统的微积分文献是数学家牛顿所撰写的《流数简论》。

14.除了__瑞士__籍数学家欧拉外,在18世纪推进微积分及其应用的欧陆数学家中,首先应该提到__法国__国学派,其代表人物有克莱洛、达郎贝尔、拉格朗日、蒙日、拉普拉斯等。

15.“非欧几何”理论的建立源于对欧几里得几何体系中第五公设_的证明,最先建立“非

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欧几何”理论的数学家是罗巴切夫斯基。

16.现代电子计算机诞生于__20__世纪,对现代电子计算机的设计作出最大贡献的两位数学家是冯.诺依曼和阿兰.图灵。

17.起源于“英国海岸线长度”问题的一个数学分支是_海岸线长度_,它诞生于__20_世纪。

18.我国古代文献《墨经》一书中的“平”、“圜”,就是现代几何课本中的同高__ _圆__。

19.拉格朗日在《解析函数论》一书中,主张用拉格朗日定理来定义导数,以此作为整个微分、积分演算的出发点而将微积分归结为“代数运算”。

20.《九章算术》“方田”、“商功”、“勾股”三章处理几何问题。其中“方田”章讨论_ _各种面积计算和分数四则算法,“勾股”章则是关于介绍勾股形解法和一些测量问题的解法。

21.法国几何学家庞斯列对射影几何的发展作出了杰出的贡献,在他的研究中,有两个基本原理扮演了重要角色。首先是连续性原理,另一个是对偶原理。

22.“幂势既同,则积不容异”的原理,其现代汉语意思是形状不同的物体,只有它们在任意等高处的截面积相等,则它们的体积就不能不相等。

23.“幂势既同,则积不容异”的原理在我国现行教材中叫做_祖氏原理_,在西方文献中称__等积原理__。

24.微积分创立于_17 _世纪,由_牛顿_所作的《流数简论》标志着微积分的诞生。

25.古希腊数学家丢番图的《算术》是一本问题集,特别以不定方程的求解而著称。所谓“不定方程”是指未知数的个数多于方程个数,且未知数受到某些(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组。

26.第一台能做加减运算的机械式计算机是数学家___帕斯卡__于1642年发明的,使现代电子计算机技术走上康庄大道的EDV AC方案(即“101页报告”)则是数学家_冯.诺伊曼_提出的。

27.“代数学”一词起源于阿拉伯人数学家花拉子米《还原与对消的科学》的著作。

28.德沙格和帕斯卡等是__微积分的开创者。

29.约翰·纳皮尔_是最早提出对数方法的英国数学家。

30.古代埃及的数学知识常常记载在_纸草_上,在代数和几何这两大传统的数学领域,古代埃及的数学成就主要在_几何_ 方面。

31.数学家们为研究古希腊三大尺规作图难题花费了两千年的时间,1882年德国数学家林德曼证明了数∏的超越性,从而确立了_化圆为方_问题的不可能性,至此,三大作图问题均被证明是不可能的。

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32.创造并首先使用“阿拉伯数码”的国家或民族是___印度__,而首先使用十进位值制记数的国家或民族则是__中国____。

33.斐波那契数列的第一项是___1____,第七项是____13__。

34.牛顿的“流数术”中,“正流数术”是指_微分__,“反流数术”是指_ 积分_。

35.哥德巴赫猜想是_德_ _国数学家哥德巴赫于18世纪在给数学家_欧拉_的一封信中首次提出的。

36.罗巴契夫斯基所建立的“非欧几何”假定过直线外一点,至少可以做两条直线与已知直线平行,而且在该几何体系中,三角形内角和_ _两直角。

37.被称为“现代分析之父”的数学家是魏尔斯特拉斯,被称为“数学之王”的数学家是高斯。

三、简答题

1.简述欧几里得的生活年代、代表著作以及在数学上的主要成就。

(亚历山大里亚的欧几里得(希腊文:Ευκλειδη?,约公元前330年—前275年)(Euclid)是古希腊著名数学家、欧氏几何学的开创者。欧几里得生于雅典,当时雅典就是古希腊文明的中心。浓郁的文化气氛深深地感染了欧几里得古希腊数学家,被称为“几何之父”。他活跃于托勒密一世(公元前323年-前283年)时期的亚历山大里亚,他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础,提出五大公设,发展欧几里得几何,被广泛的认为是历史上最成功的教科书。欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品,是几何学的奠基人)

2.简述莱布尼茨的生活年代、所在国家以及在数学上的主要成就。

(戈特弗里德·威廉·凡·莱布尼茨(Gottfried Wilhelm von Leibniz,1646年7月1日~1716年11月14日)德国最重要的自然科学家、数学家、物理学家、历史学家和哲学家,一位举世罕见的科学天才,和牛顿(1643年1月4日—1727年3月31日)同为微积分的创建人。他的研究成果还遍及力学、逻辑学、化学、地理学、解剖学、动物学、植物学、气体学、航海学、地质学、语言学、法学、哲学、历史、外交等等,“世界上没有两片完全相同的树叶”就是出自他之口,他还是最早研究中国文化和中国哲学的德国人,对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。)

3.简述阿波罗尼奥斯的生活时代及主要数学成就。

(阿波罗尼奥斯(Apollonius of Perga) 约公元前262年生于佩尔格;约公元前190年卒,数学家。他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果,它将圆锥曲线的性质网罗殆尽,几乎使后人没有插足的余地。)

4.简述《九章算术》的主要内容及在中国数学史上的意义。

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(主要内容:《九章算术》的内容十分丰富,全书采用问题集的形式,收有246个与生产、生活实践有联系的应用问题,其中每道题有问(题目)、答(答案)、术(解题的步骤,但没有证明),有的是一题一术,有的是多题一术或一题多术。这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰(音cui)分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股九章如下所示。原作有插图,今传本已只剩下正文了。

《九章算术》共收有246个数学问题,分为九章、它们的主要内容分别是:

第一章“方田”:田亩面积计算;提出了各种多边形、圆、弓形等的面积公式;分数的通分、约分和加减乘除四则运算的完整法则。后者比欧洲早1400多年。

第二章“粟米”:谷物粮食的按比例折换;提出比例算法,称为今有术;衰分章提出比例分配法则,称为衰分术;

第三章“衰分”:比例分配问题;介绍了开平方、开立方的方法,其程序与现今程序基本一致。这是世界上最早的多位数和分数开方法则。它奠定了中国在高次方程数值解法方面长期领先世界的基础。

第四章“少广”:已知面积、体积,反求其一边长和径长等;

第五章“商功”:土石工程、体积计算;除给出了各种立体体积公式外,还有工程分配方法;

第六章“均输”:合理摊派赋税;用衰分术解决赋役的合理负担问题。今有术、衰分术及其应用方法,构成了包括今天正、反比例、比例分配、复比例、连锁比例在内的整套比例理论。西方直到15世纪末以后才形成类似的全套方法。

第七章“盈不足”:即双设法问题;提出了盈不足、盈适足和不足适足、两盈和两不足三种类型的盈亏问题,以及若干可以通过两次假设化为盈不足问题的一般问题的解法。这也是处于世界领先地位的成果,传到西方后,影响极大。

第八章“方程”:一次方程组问题;采用分离系数的方法表示线性方程组,相当于现在的矩阵;解线性方程组时使用的直除法,与矩阵的初等变换一致。这是世界上最早的完整的线性方程组的解法。在西方,直到17世纪才由莱布尼兹提出完整的线性方程的解法法则。这一章还引进和使用了负数,并提出了正负术——正负数的加减法则,与现今代数中法则完全相同;解线性方程组时实际还施行了正负数的乘除法。这是世界数学史上一项重大的成就,第一次突破了正数的范围,扩展了数系。外国则到7世纪印度的婆罗摩及多才认识负数。

第九章“勾股”:利用勾股定理求解的各种问题。其中的绝大多数内容是与当时的社会生活密切相关的。提出了勾股数问题的通解公式:若a、b、c分别是勾股形的勾、股、弦,则,m>n。在西方,毕达哥拉斯、欧几里得等仅得到了这个公式的几种特殊情况,直到3世纪的丢番图才取得相近的结果,这已比《九章算术》晚约3

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个世纪了。勾股章还有些内容,在西方却还是近代的事。例如勾股章最后一题给出的一组公式,在国外到19世纪末才由美国的数论学家迪克森得出。

《九章算术》是中国古代第一部数学专著,是算经十书中最重要的一种。该书内容十分丰富,系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就。同时,《九章算术》在数学上还有其独到的成就,不仅最早提到分数问题,也首先记录了盈不足等问题,“方程”章还在世界数学史上首次阐述了负数及其加减运算法则。要注意的是《九章算术》没有作者,它是一本综合性的历史著作,是当时世界上最先进的应用数学,它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系。《九章算术》是几代人共同劳动的结晶,它的出现标志着中国古代数学体系的形成.后世的数学家,大都是从《九章算术》开始学习和研究数学知识的。唐宋两代都由国家明令规定为教科书。1084年由当时的北宋朝廷进行刊刻,这是世界上最早的印刷本数学书。可以说,《九章算术》是中国为数学发展做出的又一杰出贡献。)

5.在牛顿和莱布尼茨之前有许多数学家曾对微积分的创立作出过重要贡献,请列举其中的两位,并指出他们的主要贡献。

(公元前3世纪,古希腊的数学家、力学家阿基米德(公元前287—前212)的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽,他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。

意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》,就把曲线看成无限多条线段(不可分量)拼成的。)

6.简述解析几何的诞生过程及其重大意义。

(解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。平面解析几何通过平面直角坐标系,建立点与实数对之间的一一对应关系,以及曲线与方程之间的一一对应关系,运用代数方法研究几何问题,或用几何方法研究代数问题。十六世纪以后,由于生产和科学技术的发展,天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如,德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的,太阳处在这个椭圆的一个焦点上;意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线,要研究这些比较复杂的曲线,原先的一套方法显然已经不适应了,这就导致了解析几何的出现。

1637年,法国的哲学家和数学家笛卡尔发表了他的著作

《方法论》,这本书的后面有三篇附录,一篇叫《折光学》,一篇叫《流星学》,一篇叫《几何学》。当时的这个“几何学”实际上指的是数学,就像我国古代“算术”和“数学”是一个意思一样。

笛卡尔的《几何学》共分三卷,第一卷讨论尺规作图;第二卷是曲线的性质;第三卷是立体和“超立体”的作图,但他实际是代数问题,探讨方程的根的性质。后世的数学家和数学史学家都把笛卡尔的《几何学》作为解析几何的起点。

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第9页/共12页 在解析几何创立以前,几何与代数是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合,使形与数统一起来,这是数学发展史上的一次重大突破。作为变量数学发展的第一个决定性步骤,解析几何的建立对于微积分的诞生有着不可估量的作用。)

7.简述《自然哲学的数学原理》的作者、主要科学成就。

(《自然哲学的数学原理》(又译《自然哲学之数学原理》,拉丁文:Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ),是英国伟大的科学家艾萨克·牛顿的代表作。成书于1687年。艾萨克·牛顿爵士,英国物理学家、数学家、科学家和哲学家,同时是英国当时炼金术热衷者。他在1687年7月5日发表的《自然哲学的数学原理》里提出的万有引力定律以及他的牛顿运动定律是经典力学的基石。牛顿还和莱布尼茨各自独立地发明了微积分。他总共留下了50多万字的炼金术手稿和100多万字的神学手稿。他奠定的理论力学、微积分、物质组成思想、光学实验发现和理论、万有引力定律、运动三定律、低速流体阻力定律、彗星理论、潮汐理论和宇宙系统论等都在各学科的历史上留下了划时代的和奠基性的巨大贡献。)

8.简述康托尔生活在哪个世纪、所在国家及在数学上的主要成就。 (格奥尔格·康托尔(Cantor ,Georg Ferdinand Ludwig Philipp ,1845.3.3-1918.1.6)德国数学家,集合论的创始人。19世纪生于俄国圣彼得堡(今苏联列宁格勒)。父亲是犹太血统的丹麦商人,母亲出身艺术世家。1856年全家迁居德国的法兰克福。先在一所中学,后在威斯巴登的一所大学预科学校学习。康托尔对数学的贡献是集合论和超穷数理论。)

9.简述费马大定理的内容、从提出猜想到解决的大致过程。

(费马大定理:不存在正整数x 、y 、z ,使得n n n x y z +=;n 为大于2的正整数。 1:1676年,数学家根据费马的少量提示用无穷递降法证明n =4。

2:1770年,欧拉证明了n=3的情形

3:1825年,狄利克雷和勒让德证明了n=5的情形,用的是欧拉所用方法的延伸。

4:1839年,法国数学家拉梅证明了n=7的情形,他的证明使用了跟7本身结合的很紧密的巧秒工具,只是难以推广到n=11的情形;于是,他又在1847年提出了“分圆整数”法来证明,但没有成功。

5:库默尔在1844年提出了“理想数”概念,他证明了:对于所有小于100的素指数n ,费马大定理成立,此一研究告一阶段。

6:1983年,德国数学家法尔廷斯证明了一条重要的猜想——莫德尔猜想(4)n n n x y z n +=≥这样的方程至多有有限个正整数解,他由于这一贡献,获得了菲尔兹奖。 7:1955年,日本数学家谷山丰首先猜测椭圆曲线于另一类数学家们了解更多的曲线——模曲线之间存在着某种联系;谷山的猜测后经韦依和志村五郎进一步精确化而形成了所谓“谷山——志村猜想”,这个猜想说明了:有理数域上的椭圆曲线都是模曲线。这个很抽象的猜

想使一些学者搞不明白,但它又使“费马大定理”的证明向前迈进了一步。

8:1985年,德国数学家弗雷指出了“谷山——志村猜想”和“费马大定理”之间的关系

9:1986年,美国数学家里贝特证明了弗雷命题,于是希望便集中于“谷山——志村猜想”。10:1993年6月,英国数学家维尔斯证明了:对有理数域上的一大类椭圆曲线,“谷山——志村猜想”成立。由于他在报告中表明了弗雷曲线恰好属于他所说的这一大类椭圆曲线,也就表明了他最终证明了“费马大定理”;但专家对他的证明审察发现有漏洞,于是,维尔斯又经过了一年多的拼搏,于1994年9月彻底圆满证明了“费马大定理”)

四、古典算法

1.推导三次方程x3=px+q的求根公式—卡尔丹公式。

{解释

一元三次方程的求根公式用通常的演绎思维是作不出来的,用类似解一元二次方程的求根公式的配方法只能将型如ax^3+bx^2+cx+d+0的标准型一元三次方程形式化为x^3+px+q=0的特殊型。

一元三次方程的求解公式的解法只能用归纳思维得到,即根据一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式归纳出一元三次方程的求根公式的

形式。归纳出来的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式应该为

x=A^(1/3)+B^(1/3)型,即为两个开立方之和。归纳出了一元三次方程求根公式的形式,下一步的工作就是求出开立方里面的内容,也就是用p和q表示A和B。

编辑本段方法如下

(1)将x=A^(1/3)+B^(1/3)两边同时立方可以得到

(2)x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)(A^(1/3)+B^(1/3))

(3)由于x=A^(1/3)+B^(1/3),所以(2)可化为

x^3=(A+B)+3(AB)^(1/3)x,移项可得

(4)x^3-3(AB)^(1/3)x-(A+B)=0,和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比较,可知

(5)-3(AB)^(1/3)=p,-(A+B)=q,化简得

(6)A+B=-q,AB=-(p/3)^3

(7)这样其实就将一元三次方程的求根公式化为了一元二次方程的求根公式问题,因为A和B可以看作是一元二次方程的两个根,而(6)则是关于形如ay^2+by+c=0的一元二次方程两个根的韦达定理,即

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(8)y1+y2=-(b/a),y1*y2=c/a

(9)对比(6)和(8),可令A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a

(10)由于型为ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式为

y1=-(b+(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

y2=-(b-(b^2-4ac)^(1/2))/(2a)

可化为

(11)y1=-(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

y2=-(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)

将(9)中的A=y1,B=y2,q=b/a,-(p/3)^3=c/a代入(11)可得

(12)A=-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)

B=-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)

(13)将A,B代入x=A^(1/3)+B^(1/3)得

(14)x=(-(q/2)-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)+(-(q/2)+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2))^(1/3)

式 (14)只是一元三方程的一个实根解,按韦达定理一元三次方程应该有三个根,不过按韦达定理一元三次方程只要求出了其中一个根,另两个根就容易求出了。}

2.中国古代最早对勾股定理作出证明的数学家是三国时期的赵爽。请作出赵爽证明勾股定理的“弦图”,并叙述其证明方法。

3. 用《九章算术》中的盈不足术解下面问题:“今有共买物,人出八,盈三;人出七,不足四,问人数、物价各几何”?

4. 《九章算术》中的“方程术”,其关键算法是“遍乘直除”。请利用该“方程术”解答下面的问题:

今有上禾三秉,中禾二秉,下禾一秉,实三十九斗;上禾二秉,中禾三秉,下禾一秉,实三十四斗;上禾一秉,中禾二秉,下禾三秉,实二十六斗;问上、中、下禾实一秉各几何?

五、论述题(15分)

1.“一个违反万物皆数的理论,葬身了一双发现的眼睛;一次对真理苦苦的追寻,造就了基础数学中最重要的课程;一回回不断地完善理论系统,奠定了数学的基石。”指的是数学史上的哪三次重大事件?

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第一次数学危机─—无理数的发现(第一次数学危机表明,几何学的某些真理与算术无关,几何量不能完全由整数及其比来表示。反之,数却可以由几何量表示出来。整数的尊祟地位受到挑战,古希腊的数学观点受到极大的冲击。于是,几何学开始在希腊数学中占有非凡地位。同时也反映出,直觉和经验不一定靠得住,而推理证实才是可靠的。从此希腊人开始从“自明的”公理出发,经过演绎推理,并由此建立几何学体系。)

第二次数学危机——无穷小是零吗(直到19世纪,柯西具体而有系统地发展了极限理论。柯西认为把无穷小量作为确定的量,即使是零,都说不过去,它会与极限的定义发生矛盾。无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量,因此本质上它是变量,而且是以零为极限的量,至此柯西澄清了前人的无穷小的概念,另外Weistrass创立了极限理论,加上实数理论,集合论的建立,从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来,第二次数学危机基本解决,第二次数学危机的解决使微积分更完善。)

第三次数学危机——罗素悖论的产生(引发了关于数学逻辑基础可靠性的问题,导致无矛盾的集合论公理系统(即所谓ZF公理系统)的产生。在这场危机中集合论得到较快的发展,数学基础的进步更快,数理逻辑也更加成熟。)

2.叙述费马大定理,并简要说明该定理的证实过程。

见上面三(9)

信康哥,不挂科

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