必修二知识点总结(人教版)

P

蜡块的位置

v v x

v y 涉及的公式：

2

2y x v v v += x

y v v =θtan θ

v v 水 v 船 θ 船

v d t =min

，θsin d x = 水

船v v =θt an

d

第五章 平抛运动

§5-1 曲线运动 & 运动的合成与分解

一、曲线运动

1.定义：物体运动轨迹是曲线的运动。

2.条件：运动物体所受合力的方向跟它的速度方向不在同一直线上。

3.特点：①方向：某点瞬时速度方向就是通过这一点的曲线的切线方向。 ②运动类型：变速运动（速度方向不断变化）。 ③F 合≠0，一定有加速度a 。 ④F 合方向一定指向曲线凹侧。

⑤F 合可以分解成水平和竖直的两个力。 4.运动描述——蜡块运动

二、运动的合成与分解

1.合运动与分运动的关系：等时性、独立性、等效性、矢量性。

2.互成角度的两个分运动的合运动的判断：

①两个匀速直线运动的合运动仍然是匀速直线运动。

②速度方向不在同一直线上的两个分运动，一个是匀速直线运动，一个是匀变速直线运动，其合运动是匀变速曲线运动，a 合为分运动的加速度。

③两初速度为0的匀加速直线运动的合运动仍然是匀加速直线运动。

④两个初速度不为0的匀加速直线运动的合运动可能是直线运动也可能是曲线运动。当两个分运动的初速度的和速度方向与这两个分运动的和加速度在同一直线上时，合运动是匀变速直线运动，否则即为曲线运动。

三、有关“曲线运动”的两大题型

（一）小船过河问题

模型一：过河时间t 最短： 模型二：直接位移x 最短： 模型三：间接位移x 最短：

d v v 水

v 船 θ 当v 水

水v v =θcos A v 水

v 船 θ 当v 水>v 船时，L v v d x 船

水==θcos min ，

θsin 船v d t =，水

船v v =θcos θθsin )cos -(min 船船水v L v v s = θ v 船 d

[触类旁通]1．(2011 年上海卷)如图 5－4 所示，人沿平直的河岸以速度 v 行走，且通过不可伸长的绳拖船，船沿绳的方向行进．此过程中绳始终与水面平行，当绳与河岸的夹角为α时，船的速率为（ C ）。

αsin .v A αsin .v B αcos .v C α

cos .v

D

解析：依题意，船沿着绳子的方向前进，即船的速度总是沿着绳子的，根据绳子两端连接的物体在绳子方向上的投影速度相同，可知人的速度 v 在绳子方向上的分量等于船速，故 v 船＝v cos α，C 正确．

2．(2011 年江苏卷)如图 5－5 所示，甲、乙两同学从河中O 点出发，分别沿直线游到 A 点和 B 点后，立即沿原路线返回到 O 点，OA 、OB 分别与水流方向平行和垂直，且 OA ＝OB.若水流速度不变，两人在静水中游速相等，则他们所用时间 t 甲、t 乙的大小关系为(C) A ．t 甲t 乙 D ．无法确定

解析：设游速为v ，水速为v 0，OA ＝OB ＝l ，则t 甲＝l v ＋v 0＋l

v －v 0；

乙沿OB 运动，乙的速度矢量图如图4所示，合速度必须沿OB 方向，

则t 乙＝2·l

v 2－v 20

，联立解得t 甲>t 乙，C 正确． （二）绳杆问题(连带运动问题)

1、实质：合运动的识别与合运动的分解。

2、关键：①物体的实际运动是合速度，分速度的方向要按实际运动效果确定，把物体的实际速度分解为垂直于绳（杆）和平行于绳（杆）两个分量；

②沿绳（或杆）方向的分速度大小相等。

模型四：如图甲，绳子一头连着物体B ，一头拉小船A ，这时船的运动方向不沿绳子。

处理方法：如图乙，把小船的速度v A 沿绳方向和垂直于绳的方向分解为v 1和v 2，v 1就是拉绳的速度，v A 就是小船的实际速度。

[触类旁通]如图，在水平地面上做匀速直线运动的汽车，通过定滑轮用绳子吊起一个物体，若汽车和被吊物体在同一时刻的速度分别为 v1 和 v2，则下列说法正确的是( C ）

A ．物体做匀速运动，且 v 2＝v 1

B ．物体做加速运动，且 v 2>v 1

C ．物体做加速运动，且 v 2

D ．物体做减速运动，且 v 2

B O O

A v A

θ v 1 v 2 v A

甲 乙

§5-2 平抛运动 & 类平抛运动

一、抛体运动

1.定义：以一定的速度将物体抛出，在空气阻力可以忽略的情况下，物体只受重力的作用，它的运动即为抛体运动。

2.条件：①物体具有初速度；②运动过程中只受G 。

二、平抛运动

1.定义：如果物体运动的初速度是沿水平方向的，这个运动就叫做平抛运动。

2.条件：①物体具有水平方向的加速度；②运动过程中只受G 。

3.处理方法：平抛运动可以看作两个分运动的合运动：一个是水平方向的匀速直线运动，一个是竖直方向的自由落体运动。

4.规律：

[牛刀小试]如图为一物体做平抛运动的 x －y 图象，物体从 O 点抛出，x 、y 分别表示其水平位移和竖直位移．在物体运动过程中的某一点 P(a ，b)，其速度的反向延长线交于 x 轴的 A 点(A 点未画出)，则 OA 的长度为(B ） A.a B.0.5a C.0.3a D.无法确定

解析：作出图示(如图5－9所示)，设v 与竖直方向的夹角为α，根据几何关系得tan α＝v 0v y

①，由平抛运动得水平方向有a ＝v 0t ②，竖直方向有 b ＝12v y t ③，由①②③式得tan α＝a 2b ，在Rt △AEP 中，AE ＝b tan α＝a 2

，

所以OA ＝a

2

.

5.应用结论——影响做平抛运动的物体的飞行时间、射程及落地速度的因素 a 、飞行时间：g

h

t 2=

，t 与物体下落高度h 有关，与初速度v 0无关。 b 、水平射程：,20

0g

h

v t v x ==由v 0和h 共同决定。 c 、落地速度：gh v v v v y 22

02

2

0+=+=，v 由v 0和v y 共同决定。

α （1）位移：.2tan ,)21()(,21,0222

020v gt gt t v s gt y t v x =+===?

（2）速度：0v v x =，gt v y =，220)(gt v v +=，0tan v gt =θ （3）推论：①从抛出点开始，任意时刻速度偏向角θ的正切值等于位移偏向角φ的

正切值的两倍。证明如下：0tan v gt =α,.221tan 002v gt t v gt ==θtan θ=tan α=2tan φ。

②从抛出点开始，任意时刻速度的反向延长线对应的水平位移的交点为此水平位移

的中点，即.2tan x

y

=θ如果物体落在斜面上，则位移偏向角与斜面倾斜角相等。

三、平抛运动及类平抛运动常见问题

模型一：斜面问题：

[触类旁通](2010 年全国卷Ⅰ)一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图 5－10 中虚线所示．小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为(D ）

θtan .A θtan 2.B θtan 1.

C θ

tan 21.D 解析：如图5所示，平抛的末速度与竖直方向的夹角等于斜面倾角θ，有

tan θ＝v 0

gt ，则下落高度与水平射程之比为y x

＝

12

gt 2v 0t

＝

gt 2v 0＝12tan θ

，D 正确． 模型二：临界问题：

思路分析：排球的运动可看作平抛运动，把它分解为水平的匀速直线运动和竖直的自由落体运动来分析。但应注意本题是“环境”限制下的平抛运动，应弄清限制条件再求解。关键是要画出临界条件下的图来。

例：如图

1所示，排球场总长为18m ，设球网高度为2m ，运动员站在离网3m

的线上（图中虚线所示）正对网前跳起将球水平击出。

（不计空气阻力） （1）设击球点在3m 线正上方高度为2.5m 处，试问击球的速度在什么范围

内才能使球即不触网也不越界？

（2）

若击球点在3m 线正上方的高度小余某个值，那么无论击球的速度多大，球不是触网就是越界，试求这个高度？ 处理方法：1.沿水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动；2.沿斜面方向的匀加速运动和垂直斜面方向的竖直上抛运动。 考点一：物体从A 运动到B 的时间：根据g

v t gt y t v x θtan 221,02

0=?== 考点二：B 点的速度v B 及其与v 0的夹角α： )tan 2arctan(,tan 41)(2022

0θαθ=+=+=v

gt v v

考点三：A 、B 之间的距离s ：θθθcos tan 2cos 2

0g v x

s ==

模型三：类平抛运动：

[综合应用](2011 年海南卷)如图 所示，水平地面上有一个坑，其

竖直截面为半圆，ab 为沿水平方向的直径．若在 a 点以初速度 v 0 沿 ab 方向抛出一小球，小球会击中坑壁上的 c 点．已知 c 点与水平地面的距离为坑半径的一半，求坑的半径。

解：设坑的半径为r ，由于小球做平抛运动，则

x ＝v 0t ① y ＝0.5r ＝12

gt 2

②

过c 点作cd ⊥ab 于d 点，则有Rt △acd ∽Rt △cbd 可得cd 2＝ad 〃db

即为(r

2)2＝x (2r －x ) ③

又因为x >r ，联立①②③式解得r ＝

4 7－43

g

v 20.

§5-3 圆周运动 & 向心力 & 生活中常见圆周运动

一、匀速圆周运动

1.定义：物体的运动轨迹是圆的运动叫做圆周运动，物体运动的线速度大小不变的圆周运动即

为匀速圆周运动。

2.特点：①轨迹是圆；②线速度、加速度均大小不变，方向不断改变，故属于加速度改变的变速曲线运动，匀速圆周运动的角速度恒定；③匀速圆周运动发生条件是质点受到大小不变、方向始终与速度方向垂直的合外力；④匀速圆周运动的运动状态周而复始地出现，匀速圆周运动具有周期性。

3.描述圆周运动的物理量：

（1）线速度v 是描述质点沿圆周运动快慢的物理量，是矢量；其方向沿轨迹切线，国际单位制中单位符号是m/s ，匀速圆周运动中，v 的大小不变，方向却一直在变；

（2）角速度ω是描述质点绕圆心转动快慢的物理量，是矢量；国际单位符号是rad ／s ； （3）周期T 是质点沿圆周运动一周所用时间，在国际单位制中单位符号是s ；

（4）频率f 是质点在单位时间内完成一个完整圆周运动的次数，在国际单位制中单位符号是Hz ；

考点一：沿初速度方向的水平位移：根据ma mg at b t v s ===θsin ,2

1,2

0.sin 20

θ

g b

v s =? 考点二：入射的初速度：.2sin ,'21,sin sin '002b

g v t v a t a b g m mg a θ

θθ=?====

考点三：P 到Q 的运动时间：.sin 2,'21,sin sin 2θ

θθg b

t t a

b g m mg a =?===

（5）转速n 是质点在单位时间内转过的圈数，单位符号为r/s ，以及r/min ． 4.各运动参量之间的转换关系：

.2,2222R v

T n T R v nR R T R v πππωππω====??→?===变形

5.三种常见的转动装臵及其特点：

模型一：共轴传动 模型二:皮带传动 模型三：齿轮传动

[触类旁通]1、一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定，有质量相同的小球A 和B 沿着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，A 的运动半径较大，则( AC )

A ．A 球的角速度必小于

B 球的角速度

B ．A 球的线速度必小于B 球的线速度

C ．A 球的运动周期必大于B 球的运动周期

D ．A 球对筒壁的压力必大于B 球对筒壁的压力

解析：小球A 、B 的运动状态即运动条件均相同，属于三种模型中的皮带传

送。则可以知道，两个小球的线速度v 相同，B 错；因为R A >R B ，则ωA <ωB ,T A

，这四点的线速度之比为 2∶1∶4∶2 。

二、向心加速度

1.定义：任何做匀速圆周运动的物体的加速度都指向圆心，这个加速度叫向心加速度。

注：并不是任何情况下，向心加速度的方向都是指向圆心。当物体做变速圆周运动时，向心加速度的一个分加速度指向圆心。

2.方向：在匀速圆周运动中，始终指向圆心，始终与线速度的方向垂直。向心加速度只改变线速度的方向而非大小。

3.意义：描述圆周运动速度方向方向改变快慢的物理量。

4.公式：.)2(22

2

22r n r T v r r v a n ππωω=??

? ??====

r R O B A B A B A B A T T r R

v v ===,,ωω A B O

r R

O r R T T R r v v A B A B B A ===,,ωω A B r 2 r 1 A

B B A B A n n r r T T v v ωω=

===21

21,

5.两个函数图像：

[触类旁通]1、如图所示的吊臂上有一个可以沿水平方向运动的小车A ，

小车下装有吊着物体B 的吊钩。在小车A 与物体B 以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体B 向上吊起。A 、B 之间的距离以d = H －2t 2(SI)(SI 表示国际单位制，式中H 为吊臂离地面的高度)规律变化。对于地面的人来说，则物体做( AC )

Ａ．速度大小不变的曲线运动

Ｂ．速度大小增加的曲线运动

Ｃ．加速度大小方向均不变的曲线运动

Ｄ．加速度大小方向均变化的曲线运动

2、如图所示，位于竖直平面上的圆弧轨道光滑，半径为R ，OB 沿竖直方向，上端A 距地面高度为H ，质量为m 的小球从A 点由静止释放，到达B 点时的速度为，最后落在地面上C 点处，不计空气阻力，求：

(1)小球刚运动到B 点时的加速度为多大，对轨道的压力多大； (2)小球落地点C 与B 点水平距离为多少。

三、向心力

1.定义：做圆周运动的物体所受到的沿着半径指向圆心的合力，叫做向心力。

2.方向：总是指向圆心。

3.公式：.)2(22

2

22r n m r T m mv r m r v m F n ππωω=??

? ??====

4.几个注意点：①向心力的方向总是指向圆心，它的方向时刻在变化，虽然它的大小不变，但

是向心力也是变力。②在受力分析时，只分析性质力，而不分析效果力，因此在受力分析是，不要加上向心力。③描述做匀速圆周运动的物体时，不能说该物体受向心力，而是说该物体受到什么力，这几个力的合力充当或提供向心力。

四、变速圆周运动的处理方法

1.特点：线速度、向心力、向心加速度的大小和方向均变化。

2.动力学方程：合外力沿法线方向的分力提供向心力：r m r

v m F n 22

ω==。合外力沿切线方向的分

力产生切线加速度：F T =m ωa T 。

O O a n

a n r r

v 一定 ω一定

A

B

3.离心运动：

（1）当物体实际受到的沿半径方向的合力满足F

供=F

需

=mω2r时，物体做圆周运动；当F

供

需

=mω2r时，物体做离心运动。

（2）离心运动并不是受“离心力”的作用产生的运动，而是惯性的表现，是F

供

需

的结果；离

心运动也不是沿半径方向向外远离圆心的运动。

五、圆周运动的典型类型

类型受力特点图示最高点的运动情况用细绳拴

一小球在竖直平面内转动绳对球只有

拉力

①若F＝0，则mg＝

mv2

R

，v＝gR

②若F≠0，则v>gR

小球固定

在轻杆的一端在竖直平面内转动杆对球可以

是拉力也可

以是支持力

①若F＝0，则mg＝

mv2

R

，v＝gR

②若F向下，则mg＋F＝m

v2

R

，v>gR

③若F向上，则mg－F＝

mv2

R

或mg－F＝0，

则0≤v

小球在竖直细管内转动管对球的弹

力F N可以向

上也可以向

下

依据mg＝

mv2

R

判断，若v＝v

，F

N

＝0；若v

，

F

N

向上；若v>v

，F

N

向下

球壳外的小球在最高点时

弹力F N的方

向向上

①如果刚好能通过球壳的最高点A，则v

A

＝

0，F

N

＝mg

②如果到达某点后离开球壳面，该点处小球

受到壳面的弹力F

N

＝0，之后改做斜抛运动，

若在最高点离开则为平抛运动

六、有关生活中常见圆周运动的涉及的几大题型分析

（一）解题步骤：

①明确研究对象；

②定圆心找半径；

③对研究对象进行受力分析；

④对外力进行正交分解；

⑤列方程：将与和物体在同一圆周运动平面上的力或其分力代数运算后，另得数等于向心力；

⑥解方程并对结果进行必要的讨论。

（二）典型模型：

I、圆周运动中的动力学问题

谈一谈：圆周运动问题属于一般的动力学问题，无非是由物体的受力情况确定物体的运动情况，或者由物体的运动情况求解物体的受力情况。解题思路就是，以加速度为纽带，运用那个牛顿第二定律和运动学公式列方程，求解并讨论。

模型一：火车转弯问题：

模型二：汽车过拱桥问题：

[触类旁通]1、铁路在弯道处的内外轨道高度是不同的，已知内外轨道平面与水平面的倾角为θ，如图所示，弯道处的圆弧半径为R ，若质量为m 的火车转弯时速度小于，则( A )

A ．内轨对内侧车轮轮缘有挤压

B ．外轨对外侧车轮轮缘有挤压

C ．这时铁轨对火车的支持力等于

D ．这时铁轨对火车的支持力大于

解析：当内外轨对轮缘没有挤压时，物体受重力和支持力的合力提供向心力，此时速度为

θgR tan 。

2、如图所示，质量为m 的物体从半径为R 的半球形碗边向碗底滑动，滑倒最低点时的速度为v 。若物体滑倒最低点时受到的摩擦力是f ，则物体与碗的动摩擦因数μ为（ B ）。 A 、

mg

f B 、2

m v m gR fR + C 、

2m v m gR fR - D 、

2

mv fR

解析：设在最低点时，碗对物体的支持力为F ，则R

v m m a m g F 2

==-，解得R v m m g F 2+=，由

F N

F 合

mg h L a 、涉及公式：L h mg mg F =≈=θθsin mgtan 合① R v m F 20=合

②，由①②得：L Rgh v =0。 b 、分析：设转弯时火车的行驶速度为v ，则： （1）若v>v 0，外轨道对火车轮缘有挤压作用； （2）若v

，

此时汽车处于失重状态，而且v 越大越明显，因此汽车过拱桥时不宜告诉行驶。 b 、分析：当gR v R v m mg F N =?==2

： （1）gR v =，汽车对桥面的压力为0，汽车出于完全失重状态； （2）gR v <≤0，汽车对桥面的压力为mg F N ≤<0。 （3）gR v >，汽车将脱离桥面，出现飞车现象。

c 、注意：同样，当汽车过凹形桥底端时满足R v m mg F N 2

=-，汽车对

桥面的压力将大于汽车重力，汽车处于超重状态，若车速过大，容易出现爆胎现象，即也不宜高速行驶。

f=μF 解得R

v m

mg f 2

+=

μ，化简得2

m v m gR fR

+=

μ，所以B 正确。

II 、圆周运动的临界问题

A.常见竖直平面内圆周运动的最高点的临界问题

谈一谈：竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。对于物体在竖直平面内做变速圆周运动的问题，中学物理只研究问题通过最高点和最低点的情况，并且经常出现有关最高点的临界问题。

模型三：轻绳约束、单轨约束条件下，小球过圆周最高点：

模型四：轻杆约束、双轨约束条件下，小球过圆周最高点：

（注意：绳对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力.） （1）临界条件：小球到达最高点时，绳子的拉力或单轨的弹力刚好等于0，小球的重力提供向心力。即： gR 2=?=临界临界v R

v m mg 。 （2）小球能过最高点的条件：时当gR .gR >≥v v ，绳对球产生向下的拉力或轨道对球产生向下的压力。 （3）小球不能过最高点的条件：gR

高点的临街速度.0=临界v （2）如图甲所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况：

①当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力F N ，其大小等于小

球的重力，即F N =mg ；

②当gR 0<

杆

v 甲 v 乙 ③当gR =v 时，F N =0； ④当gR >v 时，轻杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大。 （3）如图乙所示的小球过最高点时，光滑双轨对小球的弹力情况： ①当v=0时，轨道的内壁下侧对小球有竖直向上的支持力F N ，其大小等于小球的重力，即F N =mg ； ②当gR 0<v 时，轨道的内壁上侧对小球有竖直向下指向圆心的弹力，其大小随速度的增大而增大。

b a

O Q P M O L

A

F

模型五：小物体在竖直半圆面的外轨道做圆周运动：

[触类旁通]1、如图所示，质量为0.5 kg 的小杯里盛有1 kg 的水，用绳子系住小杯在竖直平面内做“水流星”表演，转动半径为1 m ，小杯通过最高点的速度为4 m/s ，g 取10 m/s2，求： (1)在最高点时，绳的拉力？

(2)在最高点时水对小杯底的压力？

(3)为使小杯经过最高点时水不流出, 在最高点时最小速率是多少? 答案：(1)9 N ，方向竖直向下；(2)6 N ，方向竖直向上；(3)m/s = 3.16 m/s 2、如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O 点的水平轴自由转动，现

给小球一初速度，使其做圆周运动，图中a 、b 分别表示小球轨道的最低点和

最高点，则杆对球的作用力可能是( AB )

A ．a 处为拉力，b 处为拉力

B ．a 处为拉力，b 处为推力

C ．a 处为推力，b 处为拉力

D ．a 处为推力，b 处为推力 3、如图所示，LMPQ 是光滑轨道，LM 水平，长为5m ，MPQ 是一半径R=1.6m 的半圆，QOM 在同一竖直面上，在恒力F 作用下，质量m=1kg 的

物体A 从L 点由静止开始运动，当达到M 时立即停止用力，欲使

A 刚好能通过Q 点，则力F 大小为多少？（取g=10m/s 2） 解析：物体A 经过Q 时，其受力情况如图所示： 由牛顿第二定律得：R

v m

F m g N 2

=+ 物体A 刚好过A 时有F N =0；解得s m gR v /4==，

对物体从L 到Q 全过程，由动能定理得：

2

2

12mv mgR LM F =-?，解得F=8N 。

B.物体在水平面内做圆周运动的临界问题

谈一谈：在水平面内做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动（半径变化）的趋势。这时要根据物体的受力情况判断物体所受的某个力是否存在以及这个力存在时方向如何（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。

模型六：转盘问题

两种情况： （1）若使物体能从最高点沿轨道外侧下滑，物体在最高点的速度v

的限制条件是.gR v <

（2）若gR v ≥，物体将从最高电起，脱离圆轨道做平抛运动。

Q P

M

mg F N O

处理方法：先对A 进行受力分析，如图所示，注意在分析时不能忽略摩擦力，当

然，如果说明盘面为光滑平面，摩擦力就可以忽略了。受力分析完成后，可以发

现支持力N 与mg 相互抵销，则只有f 充当该物体的向心力，则有

μππωmg f R n m R T

m R m R v m F ======2

222)2()2(，接着可以求的所需的圆周运动参数等。

等效处理：O 可以看作一只手或一个固定转动点，B 绕着O 经长为R 的轻绳或轻杆的牵引做着圆周运动。还是先对B 进行受力分析，发现，上图的f 在此图中可

等效为绳或杆对小球的拉力，则将f 改为F 拉即可，根据题意求出F 拉，带入公式拉F R n m R T

m R m R v m F =====2222

)2()2(ππω，即可求的所需参量。

O A N mg f 等效为 O

B

R

【综合应用】

1、如图所示，按顺时针方向在竖直平面内做匀速转动的轮子其边缘上有一点 A ，当 A 通过与圆心等高的 a 处时，有一质点 B 从圆心 O 处开始做自由落体运动．已知轮子的半径为 R ，求：

(1)轮子的角速度ω满足什么条件时，点 A 才能与质点 B 相遇？

(2)轮子的角速度ω′满足什么条件时，点 A 与质点 B 的速度才有可能在某时刻相同？

解析：(1)点 A 只能与质点 B 在 d 处相遇，即轮子的最低处，则点 A 从 a 处转到 d 处所转过的角度应为θ＝2n π＋3

2π，其中n 为自然数．

由h ＝12

gt 2

知，质点B 从O 点落到d 处所用的时间为t ＝

2R

g

，则轮子的角速度应满足条件

ω＝θt ＝(2n ＋32)π

g

2R

，其中n 为自然数． (2)点 A 与质点 B 的速度相同时，点 A 的速度方向必然向下，因此速度相同时，点 A 必然运动到了 c 处，则点 A 运动到 c 处时所转过的角度应为θ’＝2n π＋π，其中 n 为自然数．

转过的时间为 '

)12('''ωπ

ωθ+==n t

此时质点 B 的速度为 v B ＝gt ′，又因为轮子做匀速转动，所以点 A 的速度为 v A ＝ω′R

由 v A ＝v B 得，轮子的角速度应满足条件R g

n πω)12('+=，其中n 为自然数．

2、(2009年高考浙江理综)某校物理兴趣小组决定举行遥控赛车比赛．比赛路径如下图所示，赛

车从起点A 出发，沿水平直线轨道运动L 后，由B 点进入半径为R 的光滑竖直圆轨道，离开竖直圆轨道后继续在光滑平直轨道上运动到C 点，并能越过壕沟．已知赛车质量m ＝0.1 kg ，通电后以额定功率P ＝1.5 W 工作，进入竖直轨道前受到的阻力恒为0.3 N ，随后在运动中受到的阻力均可不记．图中L ＝10.00 m ，R ＝0.32 m ，h ＝1.25 m ，x ＝1.50 m ．问：要使赛车完成比赛，电动机至少工作多长时间？(取g ＝10 m/s 2)

解析：设赛车越过壕沟需要的最小速度为v 1，由平抛运动的规律

x ＝v 1t ，h ＝12gt 2，解得：v 1＝x R

2h

＝3 m/s

设赛车恰好越过圆轨道，对应圆轨道最高点的速度为v 2，最低点的速度为v 3，由牛顿第二定律及机械能守恒定律得

mg ＝m v 22

R ， 12mv 23

＝12

mv 22＋mg (2R ) 解得v 3＝5gh ＝4 m/s

通过分析比较，赛车要完成比赛，在进入圆轨道前的速度最小应该是 v min ＝4 m/s

设电动机工作时间至少为t ，根据功能关系

Pt －F f L ＝12

mv 2

min ，由此可得t ＝2.53 s.

3、如下图所示，让摆球从图中A 位臵由静止开始下摆，正好到最低点B 位

臵时线被拉断．设摆线长为L ＝1.6 m ，摆球的质量为0.5kg ，摆线的最大拉力为10N ，悬点与地面的竖直高度为H=4m ，不计空气阻力，g 取10 m/s 2。求：

（1）摆球着地时的速度大小．（2）D 到C 的距离。 解析：（1）小球刚摆到B 点时，由牛顿第二定律可知：

l

v m m g F B

m 2

=-①，由①并带入数据可解的：s m v B /4=，

小球离开B 后，做平抛运动.

竖直方向：22

1

gt l H =-②，落地时竖直方向的速度：gt v y =③

落地时的速度大小：22y B v v v +=④，由①②③④得：./8s m v =

（2）落地点D 到C 的距离.35

8

m t v s B ==

第六章 万有引力与航天

§6-1 开普勒定律

一、两种对立学说（了解）

1.地心说：

（1）代表人物：托勒密；（2）主要观点：地球是静止不动的，地球是宇宙的中心。 2.日心说：

（1）代表人物：哥白尼；（2）主要观点：太阳静止不动，地球和其他行星都绕太阳运动。

二、开普勒定律

1.开普勒第一定律（轨道定律）：所有行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。

2.开普勒第二定律（面积定律）：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。此定律也适用于其他行星或卫星绕某一天体的运动。

3.开普勒第三定律（周期定律）：所有行星轨道的半长轴R 的三次方与公转周期T 的二次方的比

值都相同，即k k T

a ,23

=值是由中心天体决定的。通常将行星或卫星绕中心天体运动的轨道近似

为圆，则半长轴a 即为圆的半径。我们也常用开普勒三定律来分析行星在近日点和远日点运动速率的大小。

[牛刀小试]1、关于“地心说”和“日心说”的下列说法中正确的是( AB )。 A ．地心说的参考系是地球 B ．日心说的参考系是太阳

C ．地心说与日心说只是参考系不同，两者具有等同的价值

D ．日心说是由开普勒提出来的

2、开普勒分别于1609年和1619年发表了他发现的行星运动规律，后人称之为开普勒行星运动定律。关于开普勒行星运动定律，下列说法正确的是( B )

A ．所有行星绕太阳运动的轨道都是圆，太阳处在圆心上

B ．对任何一颗行星来说，离太阳越近，运行速率就越大

C ．在牛顿发现万有引力定律后，开普勒才发现了行星的运行规律

D ．开普勒独立完成了观测行星的运行数据、整理观测数据、发现行星运动规律等全部工作

§6-2 万有引力定律

一、万有引力定律

1.月—地检验：①检验人：牛顿；②结果：地面物体所受地球的引力，与月球所受地球的引力都是同一种力。

2.内容：自然界的任何物体都相互吸引，引力方向在它们的连线上，引力的大小跟它们的质量m 1和m 2乘积成正比，跟它们之间的距离的平方成反比。

3.表达式：221r

m

m G F =，).(/1067.62211引力常量kg m N G ??=-

4.使用条件：适用于相距很远，可以看做质点的两物体间的相互作用，质量分布均匀的球体也可用此公式计算，其中r 指球心间的距离。

5.四大性质：

①普遍性：任何客观存在的有质量的物体之间都存在万有引力。

②相互性：两个物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，满足牛顿第三定律。

③宏观性：一般万有引力很小，只有在质量巨大的星球间或天体与天体附近的物体间，其存在才有意义。

④特殊性：两物体间的万有引力只取决于它们本身的质量及两者间的距离，而与它们所处环境以及周围是否有其他物体无关。

6.对G 的理解：①G 是引力常量，由卡文迪许通过扭秤装臵测出，单位是22/kg m N ?。 ②G 在数值上等于两个质量为1kg 的质点相距1m 时的相互吸引力大小。 ③G 的测定证实了万有引力的存在，从而使万有引力能够进行定量计算，同时标志着力学实验精密程度的提高，开创了测量弱相互作用力的新时代。

[牛刀小试]1、关于万有引力和万有引力定律理解正确的有( B ) A ．不可能看作质点的两物体之间不存在相互作用的引力 B ．可看作质点的两物体间的引力可用F =22

1r

m m G 计算 C ．由F = 2

2

1r m m G

知，两物体间距离r 减小时，它们之间的引力增大，紧靠在一起时，万有引力非常大 D ．引力常量的大小首先是由卡文迪许测出来的，且等于6.67×10－11N 〃m 2

/ kg 2

2、下列说法中正确的是( ACD )

A ．总结出关于行星运动三条定律的科学家是开普勒

B ．总结出万有引力定律的物理学家是伽俐略

C ．总结出万有引力定律的物理学家是牛顿

D ．第一次精确测量出万有引力常量的物理学家是卡文迪许

7.万有引力与重力的关系： (1)“黄金代换”公式推导：

当F G =时，就会有22

gR GM R

GMm

mg =?=。 (2)注意：①重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力不是万有引力。

②只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力。

③重力的方向竖直向下，但并不一定指向地心，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。

④随着纬度的增加，物体的重力减小，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。

⑤物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略的计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力，即可得到“黄金代换”公式。

[牛刀小试]设地球表面的重力加速度为g 0，物体在距地心4 R(R 为地球半径)处，由于地球的作用而产生的重力加速度为g ，则g ∶g 0为( D )

A ．16∶1

B ．4∶1

C ．1∶4

D ．1∶16

8.万有引力定律与天体运动：

(1) 运动性质：通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动。 (2) 从力和运动的关系角度分析天体运动：

天体做匀速圆周运动运动，其速度方向时刻改变，其所需的向心力由万有引力提供，即F 需=F 万。如图所示，由牛顿第二定律得：

2m

,L

GM F ma F ==万需，从运动的角度分析向心加速度：

.)2(222

22L f L T L L v a n ππω=??

?

??===

（3）重要关系式：.)2(22

2

222

L f m L T m L m L v m L GMm ππω=??

? ??=== [牛刀小试]1、两颗球形行星A 和B 各有一颗卫星a 和b ，卫星的圆形轨道接近各自行星的表面，如果两颗行星的质量之比，半径之比= q ，则两颗卫星的周期之比等于p

q

q

。 2、地球绕太阳公转的角速度为ω1，轨道半径为R 1，月球绕地球公转的角速度为ω2，轨道半径为R 2，那么太阳的质量是地球质量的多少倍？

解析：地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力，月球与地球的万有引力提供月球运动的向心力，最后算得结果为3

212

21 ???

? ???

??

?

??R R ωω。 3、假设火星和地球都是球体，火星的质量M 1与地球质量M 2之比

2

1

M M = p ；火星的半径R 1与地球的半径R 2之比21R R = q ，那么火星表面的引力加速度g 1与地球表面处的重力加速度g 2之比2

1g g

等于( A ) A ．

2

q p

B ．p q 2

C ．

q

p

D ．p q

9.计算大考点：“填补法”计算均匀球体间的万有引力：

谈一谈：万有引力定律适用于两质点间的引力作用，对于形状不规则的物体应给予填补，变成一个形状规则、便于确定质点位置的物体，再用万有引力定律进行求解。 模型：如右图所示，在一个半径为R ，质量为M 的均匀球体中，紧贴球的边缘挖出一个半径为R/2的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d 的质点m 的引力是多大？

思路分析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可求解。

根据“思路分析”所述，引力F 可视作F=F 1+F 2：

M R M R R M R d GMm F 81

3

4234234'2/33

3

2

=???? ??=???? ??==ππρπ的小球质量为，因半径为已知,

222

222

212222828728,282'??? ?

?

-+-=??? ??--=-=??? ??-=?

?? ??-=R d d R dR d GMm R d Mm G d GMm F F F R d Mm

G R d m

M G F 所以, 则挖去小球后的剩余部分对球外质点m 的引力为2

22228287?

?? ?

?

-+-R d d R dR d GMm

。

[能力提升]某小报登载：×年×月×日，×国发射了一颗质量为100kg ，周期为1h 的人造环月球卫星。一位同学记不住引力常量G 的数值且手边没有可查找的材料，但他记得月球半径约为地球的1

4，月

球表面重力加速度约为地球的1

6，经过推理，他认定该报道是则假新

闻，试写出他的论证方案。(地球半径约为6.4×103km)

证明：因为G Mm R 2＝m 4π2

T 2R ，所以T ＝2π

R 3

GM

， 又G Mm R 2＝mg 得g ＝GM

R

2，故T min ＝2π

R 3

GM

＝2πR 月

g 月

＝2π14R 地16

g 地 ＝2π

3R 地

2g 地

＝2π3×6.4×106

2×9.8

s ＝6.2×103s ≈1.72h 。

环月卫星最小周期约为1.72h ，故该报道是则假新闻。

§6-3 由“万有引力定律”引出的四大考点

一、解题思路——“金三角”关系：

（1）万有引力与向心力的联系：万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力，即

r n m r T m r m r v m ma r GMm 2

2

222

)2(2ππω=??

? ??====是本章解题的主线索。 （2）万有引力与重力的联系：物体所受的重力近似等于它受到的万有引力，即g mg r GMm

,2

=为对应轨道处的重力加速度，这是本章解题的副线索。

（3）重力与向心力的联系：g r T m r m r v m mg ,22

2

2??

? ??===πω为对应轨道处的重力加速度，适

用于已知g 的特殊情况。

二、天体质量的估算

模型一：环绕型：

谈一谈：对于有卫星的天体，可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动，中心天体对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，利用引力常量G 和环形卫星的v 、ω、T 、r 中任意两个量进行估算（只能估计中心天体的质量，不能估算环绕卫星的质量）。

①已知r 和T:.422

322

2GT r M r T m r Mm G ππ=???

?

??= ②已知r 和v:.2

22G

rv M r v m r Mm G =

?= ③已知T 和v:.2232

22G T v M r T m r v m r Mm G ππ=???

?

??==

模型二：表面型：

谈一谈：对于没有卫星的天体（或有卫星，但不知道卫星运行的相关物理量），可忽略天体自转的影响，根据万有引力等于重力进行粗略估算。

.2

2G

gR M mg R Mm G =

?=

变形：如果物体不在天体表面，但知道物体所在处的g ，也可以利用上面的方

法求出天体的质量：

处理：不考虑天体自转的影响，天体附近物体的重力等于物体受的万有引力，

即：.)('')(2

2

G

h R g M mg h R Mm G +=?=+ [触类旁通]1、(2013〃福建理综，13)设太阳质量为M ，某行星绕太阳公转周期为T ，轨道可视作半径为r 的圆。已知万有引力常量为G ，则描述该行星运动的上述物理量满足( A )

A ．GM ＝

4π2r 3

T 2

B ．GM ＝

4π2r 2

T 2

C ．GM ＝

4π2r 2

T 3

D ．GM ＝

4πr 3

T 2

解析：本题考查了万有引力在天体中的应用。是知识的简单应用。由GMm r 2＝mr 4π2

T 2可得 GM ＝4π2r 3

T 2，A 正确。

2、(2013〃全国大纲卷，18)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km 的圆形轨道上运行，运行周期为127分钟。已知引力常量G ＝6.67×10－11N 〃m 2/kg 2，月球半径约为1.74×103km 。利用以上数据估算月球的质量约为( D ) A ．8.1×1010kg B ．7.4×1013kg C ．5.4×1019kg D ．7.4×1022kg

解析：本题考查万有引力定律在天体中的应用。解题的关键是明确探月卫星绕月球运行的向心力是由月球对卫星的万有引力提供。由G Mm r 2＝mr 4π2r 2得M ＝4π2r 3

GT 2，又r ＝R 月＋h ，代入数值得月

球质量M ＝7.4×1022kg ，选项D 正确。

3、土星的9个卫星中最内侧的一个卫星，其轨道为圆形，轨道半径为1.59×105 km ，公转周期

为18 h 46 min ，则土星的质量为 5.21×1026 kg 。

4、宇航员站在一颗星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L 。若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为L 3。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，万有引力常数为G 。求该星球的质量M 。

解析：在该星球表面平抛物体的运动规律与地球表面相同，根据已知条件可以求出该星球表面的加速度；需要注意的是抛出点与落地点之间的距离为小球所做平抛运动的位移的大小，而非水平方向的位移的大小。然后根据万有引力等于重力，求出该星球的质量

2

2332Gt

LR 。

5、“科学真是迷人。”如果我们能测出月球表面的加速度g 、月球的半径R 和月球绕地球运转的周期T ，就能根据万有引力定律“称量”月球的质量了。已知引力常数G ，用M 表示月球的质量。关于月球质量，下列说法正确的是( A )

A ．M =G

gR 2

B ．M =g GR 2

C ．M =23

2π4GT R

D ．M =G

R T 23

2π4

解析：月球绕地球运转的周期T 与月球的质量无关。

三、天体密度的计算

模型一：利用天体表面的g 求天体密度： .4334,32GR g R M mg R Mm G πρπρ=??== 物体不在天体表面：

.4)('334,')(32

32GR h R g R M mg h R Mm G πρπρ+=??==+ 模型二：利用天体的卫星求天体的密度：

.33443434,43

23323

233222R GT r R GT r R M R M T r m r Mm G ππππρπρπ===??==

四、求星球表面的重力加速度：

在忽略星球自转的情况下，物体在星球表面的重力大小等于物体与星球间的万有引力大小，即：

.2

2星

星

星星星星R GM g R m M G

mg =?=

[牛刀小试]（2012新课标全国卷，21）假设地球是一半径为R 、质量分布均匀的球体。一矿井

变形

深度为d 。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为( A )

A ．1－d R

B ．1＋d R C.2??? ??-R d R D. 2

??

?

??-d R R 解析：设地球的质量为M ，地球的密度为ρ，根据万有引力定律可知，

地球表面的重力加速度g ＝

GM R 2，地球的质量可表示为M ＝43

πR 3

ρ 因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以矿井下以(R －d )为半径的地球的质量为

M ′＝4

3π(R －d )3ρ，解得M ′＝(R －d R )3M ，则矿井底部处的重力加速度g ′＝GM ′(R －d )2

，所以矿井

底部处的重力加速度和地球表面处的重力加速度之比g ′g ＝1－d

R ，选项A 正确，选项B 、C 、D 错误。

五、双星问题：

特点：“四个相等”：两星球向心力相等、角速度相等、周期相等、距离等于轨道半径之和。 符号表示：L m m m r L m m m r m v m r v m r m F 2

11

221212,,1,1+=+=∝∝

?==ωω. 处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即：

G m 1m 2

L

2＝m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2，由此得出： (1)m 1r 1＝m 2r 2，即某恒星的运动半径与其质量成反比。

(2)由于ω＝2πT ，r 1＋r 2＝L ，所以两恒星的质量之和m 1＋m 2＝4π2L 3

GT 2

。

[牛刀小试]1、(2010 年全国卷Ⅰ)如图所示，质量分别为 m 和 M 的两个星球 A 和 B 在引力作用下都绕 O 点做匀速圆周运动，星球 A 和 B 两者中心之间的距离为 L.已知 A 、B 的中心和 O 三点始终共线，A 和B 分别在 O 的两侧．引力常量为 G. (1)求两星球做圆周运动的周期；

(2)在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球 A 和B ，月球绕其轨道中心运行为的周期记为 T 1.但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期为 T 2. 已知地球和月球的质量分别为 5.98×1024kg 和7.35×1022kg.求 T 2与T 1两者的平方之比．(结果保留两位小数)

解析：(1)A 和 B 绕 O 做匀速圆周运动，它们之间的万有引力提供向心力，则 A 和 B 的向心力相等，且 A 和 B 与 O 始终共线，说明 A 和 B 有相同的角速度和周期．因此有 m ω2r ＝M ω2R ，r ＋R ＝L 联立解得R ＝

m m ＋M

L ，r ＝

M m ＋M

L

对A 根据牛顿第二定律和万有引力定律得：

L m M M T m L GMm +???

?

??=2

22π，化简得)(23m M G L T +=π

.

(2)将地月看成双星，由(1)得)

(23

m M G L T +=π

将月球看做绕地心做圆周运动，根据牛顿第二定律和万有引力定律得L T m L GMm 2

22???

??=π

化简得GM L T 3

2π=

所以两种周期的平方比值为

2

12???

? ??T T ＝M ＋m M ＝5.98×1024＋7.35×1022

5.98×1024＝1.01. 2、(2013〃山东理综，20)双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T ，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k 倍，两星之间的距离变为原来的n 倍，则此时圆周运动的周期为( B )

A.

n 3

k 2

T B.n 3

k T C.

n 2

k T

D.

n k T

解析：本题考查双星问题，解题的关键是要掌握双星的角速度(周期)相等，要注意双星的距离不是轨道半径，该题考查了理解能力和综合分析问题的能力。由GMm r 2＝mr 1ω2；GMm r 2＝Mr 2ω2； r ＝r 1＋r 2得：G (M ＋m )r 2＝rω2

＝r 4π2T 2同理有Gk (M ＋m )(nr )2

＝nr 4π2T 21，解得T 1＝

n 3

k

T ，B 正确。 §6-4 宇宙速度 & 卫星

一、涉及航空航天的“三大速度”：

（一）宇宙速度：

1.第一宇宙速度：人造地球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度叫第一宇宙速度，也叫地面附近的环绕速度，v 1=7.9km/s 。它是近地卫星的运行速度，也是人造卫星最小发射速度。（待在地球旁边的速度）

2.第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上去的最小速度，v 2=11.2km/s 。（离弃地球，投入太阳怀抱的速度）

3.第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳以外的宇宙空间去的最小速度，v 2=16.7km/s 。（离弃太阳，投入更大宇宙空间怀抱的速度） （二）发射速度：

1.定义：卫星在地面附近离开发射装臵的初速度。

2.取值范围及运行状态：

①s km v v /9.71==发,人造卫星只能“贴着”地面近地运行。 ②s km v v /9.71=>发，可以使卫星在距地面较高的轨道上运行。

③s m v s km v v v /2.11/9.7,21<<<<发发即,一般情况下人造地球卫星发射速度。

人教版数学必修二知识点总结

第一章立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' 'E D C B A ABCDE-或用对角线的端点字母，如五棱柱' AD。 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥：定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：侧面、对角面是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比。（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' 'E D C B A P- 几何特征：①上下底面是相似平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点。 （4）圆柱：定义：以矩形一边所在直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。（5）圆锥：定义：以直角三角形一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥顶点；③侧面展开图是一弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 3、空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段与'x轴平行且长度不变； ②原来与y轴平行的线段与'y轴平行，长度减为原来的一半。 4、柱体、锥体、台体的表面积与体积 （1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。 （2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，'h为斜高，l为母线） ch S= 直棱柱侧面积 rh Sπ 2 = 圆柱侧 ' 2 1 ch S= 正棱锥侧面积 rl Sπ = 圆锥侧面积 ') ( 2 1 2 1 h c c S+ = 正棱台侧面积 l R r Sπ) (+ = 圆台侧面积 ()l r r S+ =π2 圆柱表 ()l r r S+ =π 圆锥表 ()2 2R Rl rl r S+ + + =π 圆台表 （3）柱体、锥体、台体的体积公式

人教版高中历史必修二知识点总结

历史必修二基础知识点 第1课发达的古代农业 一、古代农业耕作方式演变 (1)刀耕火种（原始农业） (2)石器锄耕(耒耜) (3)铁犁牛耕：春秋出现。汉代后，铁犁牛耕成为传统农业的主要耕作方式。 二、农业的精耕细作 生产工具：春秋战国—铁犁；西汉—耦犁、耧车（播种工具）；隋唐—曲辕犁 耕作方法：春秋战国—垄作法（当时世界上最先进的耕作方法）；西汉—代田法 水利工程：都江堰（战国）；漕渠、白渠、龙首渠（汉） 灌溉工具：翻车（三国）、筒车（唐朝）、高转筒车（宋朝）、风力水车（明清） 三、男耕女织的小农经济 时间：春秋战国 原因：错误！未找到引用源。春秋战国时期，铁农具的出现和牛耕的普及，提高了生产力。（根本原因） 错误！未找到引用源。封建土地私有制的确立 特点：错误！未找到引用源。以家庭为生产单位错误！未找到引用源。农业和家庭手工业相结合错误！未找到引用源。是一种自给自足的自然经济 地位：小农经济在中国封建经济中占据主导地位，是中国传统农业社会生产的基本模式。 评价：积极：错误！未找到引用源。提高农民生产的积极性错误！未找到引用源。 为我国农业的精耕细作做出了贡献 消极：错误！未找到引用源。小农经济比较脆弱，容易破产错误！未找到引用源。 是我国封建社会繁荣的原因，也是中国封建社会发展缓慢和长期延续的重要原因。 第2课古代手工业的进步 一、手工业的发展形态 官营手工业、民营手工业、家庭手工业 二、手工业的发展 青铜：商周—鼎盛（青铜时代）代表：司母戊鼎、四羊方尊等 冶铁：西周晚期出现铁器，东汉杜诗发明水排（水利鼓风冶铁工具） 炼钢：南北朝—灌钢法(水排和灌钢法使中国的冶炼技术在16世纪前一直领先于世界) 商朝—原始瓷器；东汉—青瓷；北朝—白瓷唐朝；唐朝—南青北白；宋朝—五大名窑明朝—青花瓷、彩瓷；景德镇成为瓷都（明代有些瓷器带有阿拉伯文和梵文装饰） 清朝—珐琅彩 商朝—出现丝织品；西周—斜花提纹织物；唐代—吸收了波斯的织法和图案风格 宋朝—写实风格，图案生动；明清—丝织业鼎盛时期（苏州和杭州成为全国丝织业中心）三、资本主义萌芽 时间：明朝中后期地区：江南 原因：社会生产力和商品经济的发展 含义：一些手工业部分出现资本主义性质的生产关系（雇佣与被雇佣） 标志：“机户出资，机工出力”这种带有雇佣与被雇佣关系的手工工场的出现。 发展缓慢的原因：封建制度的束缚（根本原因）、重农抑商、闭关锁国 第3课古代商业的发展 一、古代国内商业的发展 “商人”：商朝人善于经商，所以后人把善于经商的人称为商人。 隋唐—柜坊（中国最早银行的雏形）和飞钱（汇票）相继问世 北宋出现了世界上最早的纸币—交子（益州）原因：商业环境相对宽松（宋代城市中市和坊的界限被打破，旧时日中为市的经营时间限制也被打破） 元代：大都成为国家性的城市明清：商帮的出现（徽商和晋商） 二、对外贸易 繁荣唐朝：对外贸易重要港口——广州；外贸易机构——市舶使 两宋：海上丝绸之路异常繁荣，海外贸易税成为南宋政府的重要财源。 元朝：对外贸易的重要港口——泉州（被誉为世界第一大港） 特点：朝贡贸易（目的是为了宣扬国威，而不是获取最大的经济效益） 衰落：明清的海禁与闭关锁国政策打击，仅允许广州十三行与外国通商。 第4课古代的经济政策 一、土地制度的演变 原始社会：土地公有制（氏族公社所有） 奴隶社会（夏商西周）：井田制——奴隶社会的土地国有制 封建社会（秦汉——明清）：封建社会的土地私有制 封建社会自身无法解决的问题：土地兼并（根本原因：封建土地私有制） 二、重农抑商 1、首倡“重农抑商”政策的是：战国时期秦国商鞅变法。 2、目的：维护自然经济，确保赋役征派和地租征收，维护政治稳定，巩固封建统治。 3、积极作用：保护了农业生产和小农经济，促进农业经济发展；封建社会初期巩固新兴地主政权。消极后果：强化自然经济，阻碍工商业发展，阻碍资本主义萌芽的发展。 三、“海禁”与闭关锁国 闭关锁国的含义：严格限制同外国的往来，而非完全禁绝。清朝在广州设立十三行统一管理对外贸易。 冶金 瓷器丝织业演变

高一语文必修二知识点总结

高中语文必修二知识点期末复习（全） 一、字词。 1、读准下面的字。 踱（duó）步梵（fàn）婀玲霎（shà）时淅沥（xīlì） 仓颉（jié）薄（bò）荷苔藓（tái xiǎn）舐（shì）犊 惊悸（jì）夹（jiā）克抛掷（zhì）呢（ní）帽 沾（zhān）染脖颈（gěng）释鳏（guān）瞑（míng）目 机杼（zhù）粜（tiào）卖麂（jǐ）皮汜（sì） 抻（chēn）钝（dùn）响蹒跚（pán shān）芒（máng）刺踌蹰（chóu chú）寒暄（xuān） 尘芥（jiè）羁绊（jībàn） 牛犊（dú）欺侮（wǔ）歇憩（qì）落（luò）空擂（léi）鼓敕（chì）造纨绔（wán kù）錾（zàn）银 条褥（rù）嗔（chēn）视内帷（wéi）斟（zhēn）茶两靥（yè）盥（guàn）洗翠幄（wò）懵懂（měng）蹙眉（cù）怔怔（zhèng）氤氲（yīn yūn）岑（cén）寂 擎（qíng）天蓊（wěng）郁 2、正确书写下面的字。 踱步梵婀玲霎时仓颉苔藓舐犊 惊悸抛掷呢帽沾染释鳏瞑目 机杼粜卖麂皮汜抻钝响 蹒跚芒刺踌蹰寒暄尘芥羁绊

牛犊欺侮歇憩擂鼓敕造纨绔錾银条褥嗔视内帷斟茶两靥盥洗翠幄懵懂蹙眉怔怔斑驳氤氲岑寂擎天蓊郁 3、解释下列词语。 蓊蓊郁郁：树木茂盛的样子。 幽僻：深远，僻静。 袅娜：柔美的样子。 倩影：美丽的影子。倩，美丽，美好。 氤氲：形容烟或云气浓郁。 岑寂：寂静。 濑：湍急的水。 深居简出：平日老在家里呆着，很少出门。 花枝招展：形容妇女打扮得十分艳丽。 寒暄：问寒问暖。指见面时谈些天气冷暖之类的应酬话。暄，温暖。 不更事：经历世事不多。更，经历。 怨府：怨恨集中的地方。这里指埋怨的对象。 淡然：漠不关心的样子。 俨然：文中指摆出庄重的样子。 沸反盈天：形容人声喧闹杂乱。沸反，像沸水一样翻腾。盈，满。 出格：与众不同。 讪讪：难为情的样子。

人教版高中 数学必修二 全册知识点 归纳总结

人教版高中 数学必修二 全册知识点 归纳总结 必修2数学知识点 1、空间几何体的结构 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：圆柱、圆锥、圆台、球。 ⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱。 ⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。 2、空间几何体的三视图和直观图 把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影线是平行的。 3、空间几何体的表面积与体积 ⑴圆柱侧面积；l r S ??=π2侧面 ⑵圆锥侧面积：l r S ??=π侧面 ⑶圆台侧面积：l R l r S ??+??=ππ侧面 ⑷体积公式：

h S V ?=柱体；h S V ?=3 1锥体； () h S S S S V 下下上上台体+?+=31 ⑸球的表面积和体积： 323 44R V R S ππ==球球，. 第二章：点、直线、平面之间的位置关系 1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行. 5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。 6、线线位置关系：平行、相交、异面。 7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直线和平面相交。 8、面面位置关系：平行、相交。 9、线面平行： ⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 ⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。 10、面面平行： ⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 ⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 11、线面垂直： ⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这条直线和这个平面垂直。 ⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。 ⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

高中历史必修二知识点

必修二经济复习提纲 1、古代中国耕作方式变革： 原始社会刀耕火种，距今七八千年进入耜耕（石器锄耕）阶段。 战国时期，牛耕初步推广，此后，铁犁牛耕逐步成为中国传统农业的主要耕作方式。耕作工具：唐代出现曲辕犁。 2古代中国农业土地制度演变： 最早是原始社会土地共有；夏商周土地国有（井田制）；秦建立封建土地所有制，延续两千多年。 北魏和隋唐前期实行的均田制是也是国有土地的形式。 3、古代中国农业经济的基本特点是：精耕细作、自给自足、小农经济。 4、古代中国手工业的发展： ⑴冶铜技术：青铜器最繁荣时期在商周时代，商代司母戊鼎是代表作。 ⑵冶铁技术：西周晚期有铁器，春秋晚期能制造钢剑，东汉的杜诗发明水排，用水力鼓风冶铁。魏晋南北朝发明灌钢法，16世纪以前中国的炼钢技术保持世界领先地位。 ⑶制瓷业：中国是世界是最早发明瓷器国家，商朝最早烧制出原始瓷器，东汉技术成熟，唐代形成南青北白两大系统，宋代出现一批名窑，元代景德镇成为全国制瓷中心，能制青花瓷。明清景德镇成为瓷都，明烧制五彩瓷，清发明珐琅彩。瓷器从唐代输出国外，明清通过海上丝绸之路输往海外。 ⑷丝织业：中国是世界上最早的养蚕织绸国家，明清时期进入鼎盛时期，苏州、杭州是最著名丝纺业中心。 5、古代中国手工业发展的特征：生产部门不断增多，技术不断进步，规模不断扩大；历史悠久，领先世界。 6、古代中国商业发展概貌：西汉市区和住宅区严格分开，按时开市、闭市。唐代长安城内有坊和市，市分东市和西市。唐后期坊市的界限逐渐被打破。宋元时期商业发展到顶峰，；明清时期商业继续发展，出现了商帮，以晋商徽商为代表。 7、古代中国商业发展的特点：商业产生后不断发展，宋元时期空前繁荣；国内外贸易、边境贸易全面繁荣；唐代出现柜坊飞钱，宋代出现世界上最早纸币—交子；政府对商业的控制逐渐减少。

必修二《家》 《巴黎圣母院》名著导读知识点总结

名着导读《家》 一、作者简介 巴金（1904～2005）?现、当代作家。原名李尧棠、字芾甘，笔名佩竿、余一、王文慧等。四川成都人。1920年入成都外国语专门学校。1923年从封建家庭出走，就读于上海和南京的中学。1927年初赴法国留学，写成了处女作长篇小说《灭亡》，发表时始用巴金的笔名。1928年底回到上海，从事创作和翻译。从1929年到1937年中，创作了主要代表作长篇小说《激流三部曲》中的《家》，以及《爱情的三部曲》（《雾》《雨》《电》）等中长篇小说，出版了《复仇》《将军》《神·鬼·人》等短篇小说集和《海行集记》《忆》《短简》等散文集。 二、作者的思想成就 有三个方面：一是通过梅、瑞珏、鸣凤三个女子的悲剧，控诉了封建制度和礼教对年轻生命的摧残，揭露、控诉封建大家庭、封建制度的罪恶； 二是歌颂封建大家庭中年轻一代民主主义觉醒及其反封建斗争； 三是暴露了封建大家庭的腐朽及其没落、崩溃。 三、经典人物形象 1、觉新 (1)觉新是个什么样的形象 觉新是一个新旧掺半有着“双重性格”的悲剧人物：一方面，他受到了五四新思想的熏陶，同情弟弟们的斗争，另一方面，他委曲求全、逆来顺受，长房长孙的地位和封建家庭的教养又使他怯弱忍让、逆来顺受，客观上扮演了一个旧礼教旧制度的维护者的形象。 (2)觉新遇事总是采用“作揖主义”和“无抵抗主义”的态度。试举小说中的事件加以简要的阐述。 a、觉新和梅表妹青梅竹马，但冯乐山做媒、高老太爷做主，让他另有所娶时，他竟无力反抗，违心应允。过后，只得凭借梅花来慰藉那颗受伤的心，然而梅却终被折磨得香消玉殒、“零落成泥”。 b、觉民吸取他的教训，大胆逃婚了，他自己余痛未消，却迫于压力四处奔走寻找，不惜求助于觉民的恋人琴表妹，要觉民屈服，为的是不失这个家的“体面”。 d、当陈姨太以产妇的血光会使老太爷尸体大出血，引起“血光之灾”为名，要瑞珏到乡下分娩时，他也竟屈从于这鬼话，把他的又一个亲人送上了绝路。2、觉慧 （1）请谈谈巴金的《家》中高觉慧的形象。 这是高家年轻一代中最激进、最富有斗争精神的人。他出生于没落的封建大家庭中，深受五四新思潮的影响，追求光明、自由幸福，彻底否定封建礼教制度，积极参加学生运动，创办进步刊物，公开支持觉民抗婚，大胆地和丫头鸣凤恋爱，最后义无返顾地冲出家的囚笼，奔赴上海，走上彻底叛逆的道路。但他有时也有小资产阶级知识分子的狂热性。他身上寄托着作家的希望，闪烁着时代

人教版数学必修二知识点总结归纳

精心整理 第一章立体几何初步 1、柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四 （2 （3 表示：用各顶点字母，如五棱台'''''E D A P- C B 几何特征：①上下底面是相似平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点。 （4）圆柱：定义：以矩形一边所在直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥顶（7 2 3 4 （1 （2h l为母线） （3）柱体、锥体、台体的体积公式 （4）球体的表面积和体积公式：V 球=3 4 3 R π ；S 球面 =2 4R π 第二章空间点、直线、平面的位置关系 1、平面 ①平面的概念：A.描述性说明；B.平面是无限伸展的；

②平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）； 也可以用两个相对顶点的字母来表示，如平面BC；或用所有字母表示，如平面ABCD。 ③点与平面的关系：点A在平面α内，记作Aα∈；点A不在平面α内，记作Aα? 点与直线的关系：点A的直线l上，记作：A∈l；点A在直线l外，记作A?l； 直线与平面的关系：直线l在平面α内，记作l?α；直线l 不在平面α内，记作l?α。 2 ?=∈ , A B A B l P l ①它是判定两个平面相交的方法。 ②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交3 ④异面直线所成角：直线a、b是异面直线，经过空间任意一点O，分别引直线a’∥a，b’∥b，则把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。两条异面直线所成角的范围是（0°，90°]，若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。 注：求异面直线所成角步骤：

北师大版高一历史必修二知识总结

高一历史必修二知识总结 第一单元 古代中国经济的基本结构与特点 第1课 农业的主要耕作方式和土地制度 一、古代农业耕作方式演变 (1)刀耕火种（原始农业） (2)石器锄耕(耒耜) (3)铁犁牛耕：春秋出现,汉代后，铁犁牛耕成为传统农业的主要耕作方式。 二、土地制度的演变 原始社会：土地公有制（氏族公社所有） 奴隶社会（夏商西周） ：井田制——奴隶社会的土地国有制 封建社会（秦汉——明清）：封建社会的土地私有制 封建社会自身无法解决的问题：土地兼并（根本原因：封建土地私有制） 第2课 精耕细作的传统农业 一、男耕女织的小农经济 时间：春秋战国 原因：①春秋战国时期，铁农具的出现和牛耕的普及，提高了生产力。（根本原因） ②封建土地私有制的确立 特点： ①以家庭为生产单位②农业和家庭手工业相结合③是一种自给自足的自然经济 地位：小农经济在中国封建经济中占据主导地位，是中国传统农业社会生产的基本模式。 评价：积极 ①提高农民生产的积极性 ②为我国农业的精耕细作做出了贡献 消极 ①小农经济比较脆弱，容易破产 ②是我国封建社会繁荣的原因，也是中国封建社会发 展缓慢和长期延续的重要原因 二、农业的精耕细作 生产工具：春秋战国—铁犁；西汉—耦犁、耧车（播种工具）；隋唐—曲辕犁 水利工程：都江堰（战国）；郑国渠 灌溉工具：翻车（三国）、筒车（唐朝） 第3课 享誉世界的手工业 一、手工业的发展形态 古代手工业经营模式 ：官营手工业，私营手工业、家庭手工业三种主要经营形态 二、手工业的发展 青铜：商周—鼎盛（青铜时代） 代表：司母戊鼎、四羊方尊等 冶铁：西周晚期出现铁器 ，东汉杜诗发明水排（水利鼓风冶铁工具） 炼钢：南北朝—灌钢法(水排和灌钢法使中国的冶炼技术在16世纪前一直领先于世界) 商朝—原始瓷器；东汉—青瓷；北朝—白瓷;唐朝—南青北白； 元朝—青花瓷； 明朝—彩瓷 第4课 商业的发展 一、先秦商业产生 商朝时期：“商人”（商朝人善于经商，所以后人把善于经商的人称为商人。）出现、货币为贝壳、商业由官府控制； 二、唐宋元商业品经济的发展与繁荣 唐—柜坊（中国最早银行的雏形）和飞钱（汇票）相继问世 北宋出现了世界上最早的纸币—交子（益州）原因：商业环境相对宽松 宋代城市中市和坊的界限被打破，旧时日中为市的经营时间限制也被打破 演变 冶金 瓷 器

语文必修二基础知识总结

人教版语文必修二基础知识总结 荷塘月色 一、词语 蓊蓊郁郁弥望袅娜羞涩渺茫 霎时宛然脉脉酣眠参差斑驳 峭楞楞倩影梵婀玲妖童媛女 消受独处琐屑踱步 二、文学常识 朱自清：原名自华，字佩弦，诗人、散文家、学者，又是民主战士、爱国知识分子，毛泽东称颂他“表现了我们民族的英雄气概”。作品有诗文集《踪迹》，散文集《背影》、《欧游杂记》、《伦敦杂记》，收在《朱自清文集》里。散文名篇有《背影》、《绿》、《匆匆》、《荷塘月色》、《桨声灯影里的秦淮河》等。 故都的秋 一、词语 混沌混水摸鱼潭柘寺皇城人海 一椽驯鸽落蕊落寞啼唱 嘶叫歧韵颓废散文钞 廿四桥普陀山鲈鱼 二、文学常识 郁达夫：（1896-1945），1921年第一部小说集《沉沦》问世，1923年《春风沉醉的晚上》、《薄奠》。作品风格清新，抒情浓烈，有感伤情调，有时流露出颓废色彩；文学观和审美观方面，他提倡“静的文学”，写的也是“静如止水似的文学”。 囚绿记 一、词语 猗郁蕈菌葱茏婆娑淅沥 瞥见移徙陆蠡 二、成语 涸辙之鲋：比喻处在困境中急待救援的人。 揠苗助长：比喻违反事物的发展规律，急于求成，反而坏事。 急不暇择：因过于急切而来不及选择。 三、文学常识 陆蠡，现代散文家、翻译家，著有散文集《囚绿记》、《海星》、《竹刀》，译著有《罗亭》、《鲁宾逊漂流记》。 《诗经》两首 一、词语 氓蚩蚩愆期将子无怒垝垣 尔卜尔筮咎言载笑载言于嗟鸠兮 桑葚犹可说也其黄而陨自我徂尔 淇水汤汤渐车帷裳罔极靡有朝矣 咥笑夙兴夜寐隰则有泮玁狁 不遑靡盬孔疚骙骙小人所腓

象弭鱼服雨雪霏霏信誓旦旦 二、成语 夙兴夜寐：早起晚睡，形容勤劳。 信誓旦旦：誓言诚恳可信。 三、文学常识： 1、《诗经》是我国最早的诗歌总集。它收集了从西周初期到春秋中叶约500年间的诗歌305篇。先秦称为《诗》或《诗三百》，西汉时被尊为儒家经典，始称《诗经》。 2、《诗经》按乐曲分为风、雅、颂三部分。“风”指十五国风，绝绝大部分是民间歌谣；“雅”分大雅小雅，诗宫廷乐歌；“颂”有“周颂”“鲁颂”“商颂”，是宗庙祭祀的乐歌。《诗经》的表现手法有：赋、比、兴。 3、《诗经》六义：风、雅、颂、赋、比、兴。 4、《诗经》开创了中国诗歌的优秀传统，是我国现实主义文学的光辉起点。现实主义的《诗经》与屈原浪漫主义的骚体作品交相辉映，并称“风骚”。 离骚 1、文学常识 屈原(约公元前340—约前278)，战国时期楚国人，伟大的爱国诗人、政治家，“楚辞”的创立者和代表作者。《离骚》是屈原的代表作，370多句，2400多字，为中国古代最长的政治抒情诗。《离骚》又常被举作屈原全部作品的总称。在文学史上，还常以“风”、“骚”并称，用“风”来概括《诗经》，用“骚”来概括《楚辞》，分别是现实主义和浪漫主义的源头。 2、词语读音 修姱嫉妒謇忳郁悒侘傺 溘死鸷鸟方圜攘诟谣诼 延伫芰荷偭兰皋椒丘 岌岌杂糅昭质可惩 孔雀东南飞 1、文学常识 《孔雀东南飞》是我国古代最优秀的民间叙事诗。沈归愚称为“古今第一首长诗”，所以它也被称为我国古代文学史上最早的一首长篇叙事诗。原名《古诗为焦仲卿妻作》，最早见于南朝徐陵所编的《玉台新咏》。它是继《诗经》《楚辞》以后较早的一部古诗总集。后人把《孔雀东南飞》与北朝的《木兰辞》及唐代韦庄的《秦妇吟》并称为“乐府三绝”，并且前两者又被称为“乐府双璧”。 乐府诗是一种合乐的古诗，因传自乐府官署而得名，乐府原为汉武帝刘彻设置的音乐机关，专事制作乐章并采集整理各地民间俗乐和歌辞，分别用于朝廷典礼和宴会时演唱。这些乐章、歌辞，后来就叫“乐府”，成为继《诗经》、《楚辞》而起的一种新诗体。 2、词语读音 箜篌怀忿槌床哽咽绣腰襦 葳蕤卑鄙蹑丝履玳瑁流纨 明月珰磐石拊掌郡丞思量 量体裁衣否极泰来白鹄婀娜 踯躅金镂鞍赍钱蟠龙琉璃 晻晻日暝摧藏蹑履怅然

高中必修二数学知识点全面总结

第1章 空间几何体1 1 .1柱、锥、台、球的结构特征 1. 2空间几何体的三视图和直观图 11 三视图： 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 22 画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等 33直观图：斜二测画法 44斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。 5 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图 1.3 空间几何体的表面积与体积 （一 ）空间几何体的表面积 1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和 2 圆柱的表面积 3 圆锥的表面积2 r rl S ππ+= 4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++= 5 球的表面积2 4R S π= （二）空间几何体的体积 1柱体的体积 h S V ?=底 2锥体的体积 h S V ?=底31 3台体的体积 h S S S S V ?++=)31 下下上上（ 4球体的体积 33 4 R V π= 第二章 直线与平面的位置关系 2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 222r rl S ππ+=

2.1.1 1 平面含义：平面是无限延展的 2 平面的画法及表示 （1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形， 锐角画成450，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理： （1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L B ∈L => L α A ∈α B ∈α 公理1作用：判断直线是否在平面内 （2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。 公理2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L 公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线 a ∥ b c ∥b 强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 4 注意点： ① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为了简便，点O 一般取在两直线中的一条上； ② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； ⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： D C B A α L A · α C · B · A · α P · α L β 共面直线 =>a ∥c 2

历史必修二知识点汇总

历史必修二复习提纲 第1课 发达的古代农业 一、古代农业耕作方式演变 (1)刀耕火种（原始农业） (2)石器锄耕(耒耜) (3)铁犁牛耕：春秋出现,汉代后，铁犁牛耕成为传统农业的主要耕作方式。 二、农业的精耕细作（A ） 生产工具：春秋战国—铁犁；西汉—耦犁、耧车（播种工具）；隋唐—曲辕犁 耕作方法：春秋战国—垄作法（当时世界上最先进的耕作方法）；西汉—代田法 水利工程：都江堰（战国）；漕渠、白渠、龙首渠（汉） 灌溉工具：翻车（三国）、筒车（唐朝）、高转筒车（宋朝）、风力水车（明清） 三、男耕女织的小农经济（C ） 时间：春秋战国 原因：①春秋战国时期，铁农具的出现和牛耕的普及，提高了生产力。（根本原因） ②封建土地私有制的确立 特点： ①以家庭为生产单位②农业和家庭手工业相结合③是一种自给自足的自然经济 地位：小农经济在中国封建经济中占据主导地位，是中国传统农业社会生产的基本模式。 评价：积极 ①提高农民生产的积极性 ②为我国农业的精耕细作做出了贡献 消极 ①小农经济比较脆弱，容易破产 ②是我国封建社会繁荣的原因，也是中 国封建社会发展缓慢和长期延续的重要原因 第2课 古代手工业的进步 一、手工业的发展形态 官营手工业、 民营手工业 、家庭手工业 二、手工业的发展（A ） 青铜：商周—鼎盛（青铜时代） 代表：司母戊鼎、四羊方尊等 冶铁：西周晚期出现铁器 ，东汉杜诗发明水排（水利鼓风冶铁工具） 炼钢：南北朝—灌钢法(水排和灌钢法使中国的冶炼技术在16世纪前一直领先于世界) 商朝—原始瓷器；东汉—青瓷；北朝—白瓷唐朝；唐朝—南青北白；宋朝—五大名窑 明朝—青花瓷、彩瓷；景德镇成为瓷都（明代有些瓷器带有阿拉伯文和梵文装饰） 清朝—珐琅彩 商朝— 出现丝织品；西周—斜花提纹织物；唐代—吸收了波斯的织法和图案风格 宋朝—写实风格，图案生动；明清—丝织业鼎盛时期（苏州和杭州成为全国丝织业中心） 三、资本主义萌芽（C ） 时间：明朝中后期 地区：江南 原因：社会生产力和商品经济的发展 含义：一些手工业部分出现资本主义性质的生产关系（雇佣与被雇佣） 标志：“机户出资，机工出力”这种带有雇佣与被雇佣关系的手工工场的出现。 发展缓慢的原因：封建制度的束缚（根本原因）、重农抑商、闭关锁国 第3课 古代商业的发展 一、古代国内商业的发展（A ） “商人”：商朝人善于经商，所以后人把善于经商的人称为商人。 冶金 瓷器 丝织 业

高中语文必修二文言文知识总结梳理

高中语文必修二文言文知识总结梳理 《氓》 ——诗经 1、通假字: 士之耽兮,犹可说也。(说,通脱,摆脱,脱身 淇则有岸,隰则有泮。(泮,通畔,岸边 于嗟鸠兮,无食桑葚!(于,通吁,叹息。无,通勿,不要 匪来贸丝(匪通非,不是 将子无怒(无通毋,不要 2、古今异义: 泣涕涟涟(涕:古义眼泪,今义鼻涕 三岁食贫(三岁,古义多年,今义三岁的年龄 送子涉淇(子:古:你今:孩子 将子无怒(将:古:请,希望今:将要;将军 总角之宴(宴:古:欢聚,快乐今:宴会 至于顿丘(至于:古:到达今:连词,说完一事,要说另一事时用至于3、词类活用: 夙兴夜寐(夙,夜:名词作状语,在早晨;在夜晚 4、特殊句式: 秋以为期(宾语前置 5、一词多义 夙夙兴夜寐(早 夙夜忧叹(日 夙志已酬(素有的,旧有的 《采薇》

——诗经1、通假字: 岁亦莫止(莫通暮 彼路斯何(路通辂,大车 孔棘(棘通急 彼尔维何,维常之华(尔通草字头尔,花盛开的样子 维常之华(华通花 彼尔维何,维常之华(常通棠,棠棣 2、古今异义 薇亦作止(止:古:句尾语气词今:停止 不遑启居(启:古:臂部离开脚后跟的叫启今:启发。 (居:古:臂部贴在小腿上叫居今:居住 岁亦阳止(阳:古:指农历十月今:阳光、太阳等 今我来思(思:古:语气词,无实意今:思考,想 3、词类活用 岂不日戒(日:名词作状语,每日、每天 雨雪霏霏(雨:名词作动词,降下《离骚》 ——屈原 1、通假字: 偭规矩而改错(错通措,施行 忳郁邑余侘傺兮(郁邑通郁悒,忧愁苦闷 何方圜之能周兮(圜通圆 芳菲其能弥章(章通彰,明显 进不入以离尤兮(离通罹,遭受 延伫乎吾将反(反通返,返回 2、古今异义; 怨灵修之浩荡兮(浩荡,古义荒唐,今义形容水势广阔而壮大偭规矩而改错(改错,古义改变措施,今义改正错误

新人教版高中数学必修2知识点总结

高中数学必修2知识点总结 第一章 空间几何体 1.1柱、锥、台、球的结构特征 （1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱' ' ' ' ' E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'AD 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于 底面的截面是与底面全等的多边形。 （2）棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥'' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高 的比的平方。 （3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等 表示：用各顶点字母，如五棱台' ' ' ' ' E D C B A P - 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 （4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。 （5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。 （6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。 （7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 (1)定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下） 注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度； 俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度； 侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。 (2)画三视图的原则： 长对齐、高对齐、宽相等

高中数学必修2知识点总结归纳整理

高中数学必修二 ·空间几何体 1.1空间几何体的结构 棱柱 定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边 形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、 五棱柱等。 表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如 五棱柱 ' ''''E D C B A ABCDE - 几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行 且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。 棱锥 定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、 五棱锥等 表示：用各顶点字母，如五棱锥' ''''E D C B A P - 几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。 棱台 定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间 的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、 五棱台等 表示：用各顶点字母，如四棱台ABCD —A'B'C'D' 几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点 圆柱 定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的 曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面 圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

圆锥 定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的 曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面 展开图是一个扇形。 圆台 定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之 间的部分 几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点； ③侧面展开图是一个弓形。 球体 定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。 1.2空间几何体的三视图和直观图 1.中心投影与平行投影 中心投影：把光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影。 平行投影：在一束平行光照射下形成的投影叫做平行投影。 2.三视图 正视图：从前往后 侧视图：从左往右 俯视图：从上往下 画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等 3.直观图：斜二测画法 斜二测画法的步骤： （1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴； （2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z轴的线长度不变；（3）.画法要写好。

高中历史必修二专题三知识总结(人民版)

人民版高中历史必修二知识点总结 专题三中国社会主义建设道路的探索 专题线索： 党领导全国各族人民从新民主主义转变为社会主义和建设社会主义时期，有重大成就， 一、社会主义制度建立的背景 1、政治上：中华人民共和国成立 2、经济上：国民经济的恢复和发展，为国家开展有计划的经济建设和社会主义改造奠定了基础。 二、★过渡时期总路线 1、内容：一化三改造（一化：实现社会主义工业化；三改造：对农业、手工业、资本主 义工商业的社会主义改造） 2、实质：体现了社会主义建设和社会主义改造并举（即发展生产力和变革生产关系并举） 三、“一五计划”：根据过渡时期总路线制定“一五计划”： 1、基本任务： 一是集中发展重工业，建立社会主义工业化的初步基础。这是从中国工业基础特别是重工业基础薄弱的国情出发做出的必然选择； 二是建立对农业、手工业以及资本主义工商业进行社会主义三改造的基础。 四、第一个五年计划 1、标志着我国大规模的有计划的社会主义建设的开始是：第一个五年计划（1953——1957 年）； 2、第一个五年计划目的：把我国建设成社会主义工业化国家。 3、第一个五年计划中工矿业建设的突出成就有：鞍山钢铁公司三大工厂、长春第一制造 厂、沈阳机床厂和飞机制造厂等。 4、“一五计划”的意义：为社会主义工业化奠定了初步的基础。 五、★三大改造（农业、手工业、资本主义工商业） 1、时间：1953——1956年底，我国基本上完成三大改造， 2、内容：（1）农业——农业生产合作社 （2）手工业——手工业生产合作社 （3）资本主义工商业——公私合营

3、实质：使生产资料由私有制转变为社会主义公有制。 4、意义：标志着社会主义制度在中国基本建立起来。 六、《论十大关系》（1956年9月）：提出了开辟一条与苏联不同的中国社会主义建设道路的重大问 题的是。 七、中共八大 1、时间：1956年9月 2、背景：正确分析了国内形势和国内主要矛盾的变化 （1）国内形势：社会主义改造已经取得决定性的胜利，即三大改造的完成； （2）国内主要矛盾：即阶级矛盾已基本解决， 3、内容： （1）★八大确定的主要矛盾是：人民日益增长的物质需要和落后的生产力之间的矛盾；（先 进的社会制度和落后的生产力之间的矛盾）。 （2）中共八大确定的主要任务是：把我国尽快地从落后的农业国变为先进的工业国。 4、评价：中共八在提出的许多方针和设想富有创造性和正确性，是对我国建设社会主义 道路的一次成功探索。 八、“左”倾错误泛滥--大跃进和人民公社化运动 1、1958年中共八大二次会议提出总路线：“鼓足干劲，力争上游，多快好省地建设社会主 义”。 2、大跃进： （1）表现：大办工业、农业，片面追求经济发展的高速度和高指标——完全违反客观经济 规律。 （2）启示：社会主义建设必须实事求是，尊重客观规律。 3、人民公社化运动： （1）内容：一大二公：公有制程度高；绝对平均主义； （2）启示：生产关系的变革必须与生产力水平相适应。 4、★主要标志：高指标、瞎指挥、浮夸风、共产风 5、后果：是我党在探索中国的社会主义道路过程中一次严重的失误，造成1959—1961三 年经济困难。 6、面对三年经济困难，中共中央开始纠正农村工作中“左”的错误，对国民经济提出“调 整、巩固、充实、提高”的八字方针，其中核心为调整。调整的含义是：调整国民经济的 比例。 7、1966年国民经济呈上升趋势的原因有：1965年国民经济调整任务基本完成，经济建设 进入新的发展时期；“文革”动乱海没有扩展到经济领域。 九、文化大革命（1966—1976） 1、1973年国民经济的发展趋势是：复苏。原因是：周恩来主持中央日常工作，着手恢复 调整国民经济。 2、1975年国民经济的发展趋势是：迅速回升。原因是：邓小平主持中央日常工作，提出 全面整顿的思想。以铁路整顿为突破口。 十、★50－70年代社会主义建设的经验教训？ 1、社会主义建设必须从国情出发，正确分析国内主要矛盾。 2、始终坚持以经济建设为中心，把发展生产力放在首位。 3、从实际出发，实事求是，尊重客观规律，生产关系的变革必须与生产力水平相适应。 不能急于求成，片面追求高速度 4、保持社会安定团结，及时抓住发展机遇。

高中语文必修二文言文知识点归纳总结

《氓》——诗经 1、通假字： 士之耽兮，犹可说也。（说，通脱，摆脱，脱身） 淇则有岸，隰则有泮。（泮，通畔，岸边） 于嗟鸠兮，无食桑葚！（于，通吁，叹息。无，通勿，不要） 匪来贸丝（匪通非，不是）将子无怒（无通毋，不要） 2、古今异义： 泣涕涟涟（涕：古义眼泪，今义鼻涕） 三岁食贫（三岁，古义多年，今义三岁的年龄） 送子涉淇（子：古：你今：孩子） 将子无怒（将：古：请，希望今：将要；将军） 总角之宴（宴：古：欢聚，快乐今：宴会） 至于顿丘（至于：古：到达今：连词，说完一事，要说另一事时用至于） 3、词类活用： 夙兴夜寐（夙，夜：名词作状语，在早晨；在夜晚） 4、特殊句式：秋以为期（宾语前置） 5、一词多义 夙夙兴夜寐（早）夙夜忧叹（日）夙志已酬（素有的，旧有的）《采薇》——诗经 1、通假字：

岁亦莫止（莫通暮）彼路斯何（路通辂，大车） 孔棘（棘通急）彼尔维何，维常之华（尔通草字头尔，花盛开的样子）维常之华（华通花）彼尔维何，维常之华（常通棠，棠棣） 2、古今异义 薇亦作止（止：古：句尾语气词今：停止） 不遑启居（启：古：臂部离开脚后跟的叫启今：启发。） （居：古：臂部贴在小腿上叫居今：居住） 岁亦阳止（阳：古：指农历十月今：阳光、太阳等） 今我来思（思：古：语气词，无实意今：思考，想） 3、词类活用 岂不日戒（日：名词作状语，每日、每天） 雨雪霏霏（雨：名词作动词，降下）《离骚》 ——屈原 1、通假字： 偭规矩而改错（错通措，施行） 忳郁邑余侘傺兮（郁邑通郁悒，忧愁苦闷） 何方圜之能周兮（圜通圆）芳菲其能弥章（章通彰，明显） 进不入以离尤兮（离通罹，遭受）延伫乎吾将反（反通返，返回）2、古今异义; 怨灵修之浩荡兮（浩荡，古义荒唐，今义形容水势广阔而壮大） 偭规矩而改错（改错，古义改变措施，今义改正错误） 吾独穷困乎此时也（穷困，古义处境困窘，今义经济困难）