高中数学必修一 第五章 三角函数 单元训练题 (10)0812(含答案解析)
必修一第五章三角函数单元训练题 (10)
一、选择题（本大题共15小题，共75.0分）
1.已知角α的顶点在坐标原点，始边为x轴非负半轴，终边在射线y=?4
3
x(x≤0)上，则sin2α=
A. ?24
25B. ?4
5
C. ?3
5
D. ?12
25
2.sin(α+π
6)cosα+cos(5π
6
?α)sinα=
A. ?√3
2B. ?1
2
C. √3
2
D. 1
2
3.所在圆的半径为2，圆心角为π
5
的扇形的弧长为
A. 2π
5B. π
3
C. π
4
D. π
5
4.已知?ABC的三个内角A，B，C，向量m??? =(sinA,sinB)，n?=(cosB,cosA)，若m??? ?n?=1+
cos(A+B)，则C等于()
A. π
4B. π
2
C. 3π
4
D. 5π
6
5.下列四个区间中，使函数f(x)=sin2x+√3cos2x单调递增的是
A. [?π
2,?π
3
] B. [?π
3
,0] C. [7π
12
,2π] D. [0,2π
3
]
6.将函数y=cosωx+sinωx(ω>0)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后，得到一个最小正周
期为2π的奇函数，则m的取值可以是
A. 5π
4B. π
2
C. π
3
D. 3π
4
7.设α，β∈[0,π]，且满足sinαcosβ+cosαsinβ=1，则sin(2α+β)+sin(α+2β)的取值范围为
A. [?√2,1]
B. [?1,√2]
C. [0,1]
D. [1,√2]
8.我们把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的底和腰之比为黄金分割比√5?1
2
≈0.618，该三角形被认为是最美的三角形．根据这些信息，可得cos36°=()
A. 2√5?1
4B. 1+√5
4
C. √5?1
4
D. 4+√5
8
9.sin123°cos27°?sin33°sin27°=()
A. ?√3
2B. ?1
2
C. √3
2
D. 1
2
10.当x=α时，函数f(x)=3sinx?cosx取得最小值，则cosα=()
A. ?3√10
10B. ?√10
10
C. √10
10
D. 3√10
10
11.已知θ为锐角，且满足sin(θ+π
2)+cosθ=7
5
，则cos2θ的值为()
A. ±7
25B. 24
25
C. 1
50
D. ?1
50
12. 为了得到函数y =sin x 的图象，只需把函数y =sin (2x +π
3)图象上所有的点
A. 横坐标缩短到原来的12倍，然后向左平移π
3个单位 B. 横坐标伸长到原来的2倍，然后向右平移π
3个单位 C. 横坐标伸长到原来的2倍，然后向左平移π6个单位 D. 横坐标缩短到原来的1
2倍，然后向右平移π6个单位
13. 若tan αtan β=2，且cosαcosβ=√10
10
，则cos(α+β)=
A. ?√1010
B. ?√105
C. √10
5
D. 3√10
10
14. 化简
1+tan?15°1?tan?15°
等于( )
A. √3
B. √32
C. 3
D. 1
15. 已知sin(π
3+α)=1
3，则cos?(π
3?2α)=( )
A. 7
9
B. 8
9
C. ?7
9
D. ?8
9
二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
16. 若sinθ?cosθ=7
5，且sinθ+cosθ<0，则tan2θ=______．
17. 将函数f (x )=sinxsin (π
2
+x)+√3cos (x +π)cos (π?x )?√3
2
的图象上各点的纵坐标保持不变，
横坐标缩短到原来的12，再把所得的函数图象向右平移π
6个单位长度，得到函数y =g (x )的图象，则函数g (x )在[0,π
4]上的取值范围为________． 三、解答题（本大题共8小题，共96.0分） 18. 已知tanβ=2，tan (α+β)=3．
(Ⅰ)求tan (α?π4)的值； (Ⅱ)求sin2αsin 2α+sinαcosα?cos2α?1的值．
19. 设质点M 受力F 的作用沿x 轴由点A(a,0)移动至点B(b,0)，并设F
平行于x 轴．如果力F 是质点所在位置的函数F =F(x)，
a ≤x ≤
b ，求F 对质点M 所作的功．
20. 已知向量m ??? =(cosx,?1)，n ? =(√3sinx,cos 2x)，设函数f(x)=m
??? ?n ? +1． (1)求函数y =f(x)的单调递减区间，并说明由函数y =sinx 的图象如何变换可得到函数y =
f(x)的图象．
(2)若x ∈[0,π
2]，f(x)=5
6，求cos2x 的值．
21. 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，S 为△ABC 的面积，且2S +√3AB ????? ?AC
????? =0． (1)求A 的大小；
(2)若a =√7、b =1，D 为直线BC 上一点，且AD ⊥AB ，求△ABD 的周长．
22. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2sin C ?sin B =tan Acos B ．
(Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ)若a =6，求△ABC 的周长l 的最大值．
23.已知函数f(x)=cosx(sinx+√3cosx)．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)若角α∈(0,π)，f(α
2)=3
5
+√3
2
，求sin(α+2π
3
)的值．
24.已知tanα=4
3
，求下列各式的值．
(1)sin2α+2sinαcosα
2cos2α?sin2α
；
(2)sinαcosα．
25.已知函数f(x)=4sinxcos(x+π
3
)+√3．
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调增区间；
(2)求函数f(x)在区间[?π
4,π
6
]上的值域和取得最大值时相应的x的值．
-------- 答案与解析 --------
1.答案：A
解析： 【分析】
本题考查三角函数的定义、同角三角函数关系、二倍角公式，考查了计算能力，属于基础题． 由题意，可得cosα=?3
5，sinα=4
5，从而利用二倍角公式求解即可． 【解答】
解：由角α的终边在射线y =?4
3x(x ≤0)上可得cosα=?3
5，sinα=4
5， 所以sin2α=2sinαcosα=?2425． 故选A ． 2.答案：D
解析： 【分析】
本题考查了正弦函数的差角公式逆应用，应用诱导公式求三角函数值，属于基础题． 先应用诱导公式，再根据正弦的差角公式，逆用得到三角函数值，即可求解． 【解答】
解：由诱导公式得：cos?(5π
6?α)=?cos?(π
6+α)，
再由正弦的差角公式可得：sin?(α+π
6)cos?α+cos?(5π
6?α)sin?α
=sin?(α+π6)cos?α?cos?(π6+α)sin?α=sin(α+π6?α)=sin π6=1
2
故选D ．
3.答案：A
解析：
【分析】
本题考查了弧长公式，属于基础题． 利用弧长公式即可得出． 【解答】
解：∵扇形的圆心角为α=π
5，半径为r =2，
∴扇形的弧长l =αr =π5×2=2π5
．
故选A ． 4.答案：B
解析： 【分析】
本题主要考查两个向量的数量积公式，两角和差的三角公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．
由题意求得 m ??? ? n ? =sinC ，再根据 m ??? ? n?????? =1+cos(A +B)=1?cosC ，可得sin(C +?π?
4?)=?
√2?
2
，再根据C 为△ABC 的内角，从而求得C 的值．
【解答】
解：m
??? ?n ? =sinAcosB +cosAsinB =sin(A +B)
=sin(π?C)
=sinC ，
而1+cos(A +B)=1+cos(π?C)=1?cosC ， ∴sinC =1?cosC ， 即sinC +cosC =1，
，
．
∵0 ， ， 解得． 故选B 5.答案：B 解析： 【分析】 本题考查了三角恒等变换和三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 利用辅助角公式可得f(x)=2sin(2x +π 3)，从而可求出函数f(x)的增区间：kπ?5π 12≤x ≤kπ+ π12 (k ∈Z)，由此可得答案． 【解答】 解：∵f (x )=sin2x +√3cos2x =2sin(2x +π 3)， 则2kπ?π 2≤2x +π 3≤2kπ+π 2(k ∈Z)， 解得kπ?5π 12≤x≤kπ+π 12 (k∈Z)， 所以函数f(x)的增区间是[kπ?5π 12,kπ+π 12 ](k∈Z)， 只有区间[?π 3,0]可以是区间[kπ?5π 12 ,kπ+π 12 ](k∈Z)的一个子区间． 故选B． 6.答案：D 解析： 【分析】 本题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换，熟练掌握公式是解本题的关键，属于基础题． 函数解析式提取√2变形后，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用最小正周期为2π，求出ω，再利用平移规律得到平移后的解析式，根据所得的函数为奇函数得m的值即可得答案． 【解答】 解：y=cos?ωx+sin?ωx =√2sin(ωx+π 4 )， ∵最小正周期为T=2π，， ∴y=√2sin(x+π 4 )， ∴图象向左平移m(m>0)个单位长度得到y=√2sin[(x+m)+π 4]=√2sin(x+m+π 4 )， ∵所得的函数为奇函数， ∴m+π 4=kπ(k∈Z)，即m=kπ?π 4 ，(k∈Z) 由于m>0，当k=1时，得m=3π 4 ． 故选D． 7.答案：D 解析： 【分析】 本题考查两角和的正弦、辅助角公式、三角函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．利用两角和的正弦，可推出，从而结合辅助角公式可得sin(2α+β)+sin(α+2β)= √2sin(α+π 4 )，从而由根据正弦型函数的性质可得答案． 【解答】 解：由sinαcosβ+cosαsinβ=1可得sin(α+β)=1， ∵α，β∈[0,π]，， ∴可得0≤α≤π 2 ， ∴sin(2α+β)+sin(α+2β)=sin(α+π 2 )+sin(π?α) =cosα+sinα=√2sin(α+π 4 )， ∵0≤α≤π 2，∴π 4 ≤α+π 4 ≤3π 4 ， ∴1≤√2sin(α+π 4 )≤√2，即取值范围是[1,√2]. 故选D． 8.答案：B 解析：解：由题意可知：把顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，它的底 和腰之比为黄金分割比√5?1 2 ≈0.618，该三角形被认为是最美的三角形． cosB=1 2 BC AB =√5?1 2 ， 可得cos72°=√5?1 4 ，cos72°=2cos236°?1 即2cos236°?1=√5?1 4 ， 所以cos236°=2√5+6 42=(√5+1 4 )2， 所以cos36°=√5+1 4 ． 故选：B． 利用已知条件求出cos72°的值，然后利用二倍角公式求解即可． 本题考查二倍角公式的应用，三角函数化简求值，是基本知识的考查． 9.答案：D 解析：解：sin123°cos27°?sin33°sin27° =sin57°cos27°?cos57°sin27° =sin(57°?27°) =sin30° =1 2 ． 故选：D． 由题意利用诱导公式、两角差的正弦函数公式即可化简求解． 本题主要考查诱导公式、两角差的正弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 10.答案：C 解析：解：f(x)=3sinx ?cosx =√10(sinx 10cosx ?10)=√10sin(x ?φ)， (其中cosφ=√10，sinφ=√10，) 可得，当x ?φ=2kπ+3π 2 ，即x =2kπ+3π2 +φ，k ∈Z 时，f(x)取得最小值． 此时α=2kπ+ 3π2 +φ， 所以cosα=cos(2kπ+3π2 +φ)=cos( 3π2 +φ)=sinφ= √10 10 ． 故选：C ． 把f(x)变成辅助角的形式，利用三角函数的性质可得． 本题考查了三角函数的最值，考查了转化思想，属于基础题． 11.答案：D 解析：解：∵θ为锐角，且sin(θ+π 2)+cosθ=7 5， ∴cosθ+cosθ=2cosθ=7 5，可得cosθ=7 10， ∴cos2θ=2cos 2θ?1=2×(7 10)2?1=?1 50． 故选：D ． 由已知利用诱导公式可求得cosθ=7 10，进而根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解． 本题主要考查了诱导公式，二倍角的余弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题． 12.答案：B 解析： 【分析】 本题考查三角函数的图象的变换，属于基础题． 直接利用三角函数的图象的伸缩变换和平移变换法则求出结果即可． 【解答】 解：由三角函数的图象的变换的法则可知： 先把y =sin?(2x +π 3)上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，可得y =sin?(x +π 3)的图象， 然后向右平移π 3个单位，可得y =sin x 的图象． 故选B ． 13.答案：A 解析： 【分析】 本题考查同角三角函数基本关系，考查两角和与差的三角函数，属于基础题． 由题意得到sin αsin β=2cos αcos β，进而求出sinαsinβ=√10 5，再利用两角和的余弦公式求解即可． 【解答】 解：由题意可知tan αtan β=2?sin αsin β=2cos αcos β， 又因为cosαcosβ=√10 10， 所以sinαsinβ=√10 5 ， 所以cos(α+β)=cosαcosβ?sinαsinβ=?√10 10． 故选A ． 14.答案：A 解析： 【分析】 本题考查了和角公式，属于基础题.熟练掌握和角公式是解题的关键． 由两角和的正切公式求解． 【解答】 解：1+tan15° 1?tan15°=tan45°+tan15° 1?tan45°tan15° =tan (45°+15°)=tan60°=√3． 故选A ． 15.答案：C 解析： 【分析】 本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题． 利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值． 【解答】 解：∵sin(π 3+α)=1 3=cos(π 6?α)， 则cos(π 3?2α)=2cos 2(π 6?α)?1=2×1 9?1=?7 9， 故选：C ． 16.答案：?24 7 解析：解：∵sinθ?cosθ=7 5，① ∴两边平方，可得1?2sinθcosθ=49 25，可得2sinθcosθ=2sinθcosθsin 2θ+cos 2θ = 2tanθ1+tan 2θ =?24 25 ， 又∵sinθ+cosθ<0， ∴sinθ+cosθ=?√1+2sinθcosθ=?√1?24 25=?1 5，② ∴由①②可得sinθ=3 5，cosθ=?4 5，可得tanθ=sinθ cosθ =?3 4， ∴tan2θ=2tanθ 1?tan2θ=?24 7 ． 故答案为：?24 7 ． 将sinθ?cosθ=7 5两边平方，可得2sinθcosθ=?24 25 ，结合sinθ+cosθ<0，可求sinθ+cosθ=1 5 ， 即可解得sinθ，cosθ，tanθ的值，进而根据二倍角的正切函数公式可求tan2θ的值． 本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正切函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 17.答案：[?√3 2 ,1] 解析： 【分析】 本题考查两角和差的正弦公式，二倍角公式，三角函数图象变换，以及三角函数的值域，由图象变 换得，然后得，根据正弦函数的性质求得值域． 【解答】 解：f(x)=sinxsin(π 2+x)+√3cos(x+π)cos(π?x)?√3 2 =sinxcosx+√3cos2x?√3 2 = 1 2 sin2x+ √3(1+cos2x) 2 ? √3 2 ， 函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的1 2 ，得到， 再把所得的函数图象向右平移π 6 个单位长度，得到函数 ， 即， 当x∈[0,π 4 ]时，， 所以当时，即x=0时，g(x)min=?√3 2 ， 当时，即max=1． ∴y=g(x)在区间[0,π 4]上的取值范围为[?√3 2 ,1]． 故答案为[?√3 2 ,1]． 18.答案：解：tanβ=2，tan (α+β)=3， 则tanα=tan[(α+β)?β]=tan(α+β)?tanβ 1+tan(α+β)·tanβ=3?2 1+3×2=1 7， (Ⅰ． (Ⅱ)sin2αsin 2α+sinαcosα?cos2α?1=2sinαcosαsin 2α+sinαcosα+1?2cos 2α?1=2tanα tan 2α+tanα?2= 2× 17(17)2+17 ?2=?7 45． 解析：此题主要考查同角三角函数的基本关系、两角和差的正切公式的应用，属于基础题． 可先由tanα=tan[(α+β)?β]=tan(α+β)?tanβ 1+tan(α+β)·tanβ求出tanα，再求解下面两问题． (Ⅰ)由条件利用两角差的正切公式，求得结果； (Ⅱ)由条件利用同角三角函数的基本关系将所求转化为与正切函数相关的分式，求得答案． 19.答案：解：根据题意，F 是质点所在位置的函数F =F(x)，a ≤x ≤b ，则F 对质点M 所作的功 为∫F b a (x)dx ． 解析：根据题意，由定积分的几何意义分析可得答案． 本题考查定积分的物理意义，注意定积分的定义，属于基础题． 20.答案：解：(1)由题可知，f(x)=m ??? ?n ? +1=√3sinxcosx ?cos 2x +1 = √3 2sin2x ?12cos2x +12=sin(2x ?π6)+1 2． 令π 2+2kπ≤2x ?π 6≤ 3π2 +2kπ，则π3 +kπ≤x ≤ 5π6 +kπ,k ∈Z ， ∴y =f(x)的单调递减区间为[π 3+kπ, 5π6 +kπ],k ∈Z ． 由y =sinx 变换成y =f(x)的过程如下所示： y =sinx 的图象纵坐标不变，横坐标先向右平移π 6个单位，再缩小为原来的1 2，然后横坐标不变，纵坐标向上平移1 2个单位． (2)令f(x)=sin(2x ?π 6)+1 2=5 6，则sin(2x ?π 6)=1 3， ∵x ∈[0,π 2]，∴2x ?π 6∈[?π6 , 5π 6]，∴cos(2x ?π6)=±2√2 3， 而cos2x =cos[(2x ?π 6)+π 6]=√3 2cos(2x ?π 6)?1 2sin(2x ?π 6)， ∴当cos(2x ?π 6 )= 2√23 时，cos2x =√3 2 × 2√23 ?12×1 3= 2√6?1 6 ； 当cos(2x ?π 6 )=? 2√2 3 时，cos2x = √3 2 ×(? 2√23 )?12×1 3= ?2√6?1 6 ， 综上，cos2x 的值为2√6?16 或?2√6?1 6 ． 解析：(1)结合平面向量数量积的坐标运算和二倍角公式、辅助角公式可将函数f(x)化简为f(x)=sin(2x ?π 6)+1 2，再利用正弦函数的单调性即可求得f(x)的单调递减区间；结合三角函数的平移变换与伸缩变换法则即可得解． (2)由题可知，sin(2x ?π 6)=1 3 ，由于x ∈[0,π 2]，所以2x ?π 6∈[?π6,5π 6 ]，利用平方关系可求得cos(2x ? π6 )=± 2√2 3 ，然后结合拼凑角的方法可知cos2x =cos[(2x ?π6)+π 6]，利用余弦的两角和公式展开后， 代入数据进行运算即可得解． 本题主要考查三角恒等变换与三角函数图象的综合，还涉及平面向量数量积的坐标运算，熟练运用二倍角公式、辅助角公式等基本公式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于基础题． 21.答案：解：(1)在△ABC 中，A +B +C =π， ∵2S +√3AB ????? ?AC ????? =0， ∴2×1 2b ?c ?sinA +√3b ?c ?cosA =0， 又b ?c >0，∴sinA +√3cosA =0， 即tanA =?√3， 又A ∈(0,π)，∴A = 2π3 ； (2)在△ABC 中，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2?2bc ?cosA ， 又a =√7、b =1，A =2π3 ， ∴c 2+c ?6=0， 又c >0，∴c =2， 在△ABC 中，由正弦定理得sinB =√21 14， 又a >b ，∴B 为锐角， ∴cosB =√1?sin 2B =5√7 14 ， 在中，AB BD =cosB ， ∴BD = 4√7 5 ，AD =BD ?sinB = 4√7 5 × √2114 = 2√3 5 ， ∴△ABD 的周长为2+2√35+4√7 5 = 10+2√3+4√7 5 ． 解析：本题考查向量数量积运算，正余弦定理的应用以及三角形面积公式和同角三角函数关系，属于中档题． (1)根据已知结合三角形面积公式结合向量数量积可得sinA +√3cosA =0然后利用同角三角函数关 系可得tanA=?√3，即可求出结果； (2)利用余弦定理求出c=2，然后根据正弦定理即可求出结果． 22.答案：解：(Ⅰ)由2sinC?sinB=tanAcosB， 得2sinC?sinB=sinA cosA cosB， 得2sinCcosA?sinBcosA=sinAcosB， 得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA， 得2sinCcosA=sin(A+B)， 所以2sinCcosA=sinC． 又sinC≠0，所以cosA=1 2 ． 又A∈(0,π)，故A=π 3 ． (Ⅱ)由余弦定理及(Ⅰ)得，a2=36=b2+c2?2bccosπ 3 =b2+c2?bc=(b+c)2?3bc， 所以3bc=(b+c)2?36.而bc?(b+c 2)2，所以3bc?3(b+c)2 4 . 所以(b+c)2?36?3(b+c)2 4 ，得b+c≤12， 当且仅当b=c=6时等号成立． 所以△ABC的周长l的最大值为a+12=6+12=18． 解析：本题考查了余弦定理、两角和与差的三角函数公式和利用基本不等式求最值，是中档题． (Ⅰ)由2sinC?sinB=tanAcosB，根据切化弦结合两角和正弦公式得cosA=1 2 ，可得角A的大小； (Ⅱ)由余弦定理得36=b2+c2?bc=(b+c)2?3bc，由基本不等式得bc?(b+c 2 )2，可得b+c≤12，可得△ABC的周长l的最大值． 23.答案：解：(1)f(x)=cos?x(sin?x+√3cos?x)=cos?xsin?x+√3cos2?x=1 2sin2x+√3 2 cos2x+√3 2 = sin(2x+π 3)+√3 2 ， ∴T=π， 令?π 2+2kπ?2x+π 3 ?π 2 +2kπ,k∈Z， 解得?5π 12+kπ?x?π 12 +kπ,k∈Z， 所以函数f(x)的单调递增区间为[?5π 12+kπ?,?π 12 +kπ],k∈Z (2)因为f(α 2)=3 5 +√3 2 ，所以sin(α+π 3 )+√3 2 =3 5 +√3 2 ， 故sin(α+π 3)=3 5 ， ∵α∈(0,π)，α+π 3∈(π 3 ,4π 3 ) 又sin(α+π 3)=3 5 ，∴cos(α+π 3 )=?4 5 ， ∴sin(α+ 2π 3 )=sin(α+ π 3 + π 3 ) =3 5×1 2 ?4 5 ×√3 2 =3?4√3 10 ， 即sin(α+2π 3)=3?4√3 10 ． 解析：本题考查三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题．(1)用二倍角公式和辅助角公式化简即可； (2)直接代入求解，但要注意角的范围，同时拆角α+2π 3=?(α+π 3 )+π 3 是关键． 24.答案：解：(1)∵tanα=4 3 ， ∴sin2α+2sinαcosα2cos2α?sin2α=tan2α+2tanα 2?tan2α = 16 9 +8 3 2?16 9 =20； (2)sinαcosα= sinαcosα sin2α+cos2α =tanα tan2α+1=416 9 +1 =12 25 ． 解析：本题考查同角三角函数关系以及三角函数的化简，属于基础题． (1)分子分母同时除以cos2α即可求出结果； (2)sin2α+cos2α=1然后利用sinαcosα=sinαcosα sinα+cosα 分子分母同时除以cos2α即可求出结果； 25.答案：解：(1)化简可得f(x)=4sinx(cosxcosπ 3?sinxsinπ 3 )+√3 =2sinxcosx?2√3sin2x+√3 =sin2x+√3cos2x =2sin(2x+π 3 )， 所以T=2π 2 =π； 由，，得：，， ∴单调增区间为； (2)因为?π 4≤x≤π 6 ，所以?π 6 ≤2x+π 3 ≤2π 3 ， 所以?1 2≤sin(2x+π 3 )≤1，所以?1≤f(x)≤2， ∴函数在区间上的值域为， 当2x+π 3=π 2 ，即x=π 12 时，f(x)max=2． 解析：本题考查两角和与差的正弦函数，涉及三角函数的周期性、单调性和值域，属于中档题．(1)由三角函数的公式化简可得f(x)=2sin(2x+π 3 )，由周期公式和单调性可得答案； (2)由x的范围可得2x+π 3的范围，进而可得sin(2x+π 3 )的范围，可得f(x)的范围，结合三角函数在 该区间的单调性，可得最值及对应的x值． 高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa 三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即： 函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式： 定义式 ） ct 函数关系 倒数关系：；； 商数关系：；． 平方关系：；；．诱导公式 公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角与的三角函数值之间的关系： 公式四：与的三角函数值之间的关系： 公式五：与的三角函数值之间的关系： 公式六：及与的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作 锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二． 以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 运用诱导公式转化三角函数的一般步骤： 特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) 高中数学三角函数公式汇总（正版）一、任意角的三角函数 在角正弦：正切：正割：的终边上任取一点 P(x, y) ，记： 2 2 rx y ，．． y x sin 余弦： cos r r y x tan 余切： cot x y r r sec 余割： csc x y 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向线段 MP 、 OM 、 AT 分别叫做角的正弦线、余弦线、正．． 切线。 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系： sin csc 1 ， cos sec 1， tan cot 1 。 商数关系： tan sin ， cot cos 。cos sin 平方关系： sin 2 cos2 1，1 tan 2 sec2 ，1 cot 2 csc2 。三、诱导公式 ⑴2k( k Z ) 、、、、2的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名 ．． 不变，符号看象限） ⑵、、3 、 3 的三角函数值，等于的异名函数值， 222 2 前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看 ．． 象限） 四、和角公式和差角公式 sin( ) sin cos cos sin sin( ) sin cos cos sin cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin tan( ) tan tan 1 tan tan tan( ) tan tan 1 tan tan 五、二倍角公式 sin 22sin cos cos2cos2sin 22cos2 1 1 2sin2( ) 2tan tan2 1 tan2 二倍角的余弦公式( ) 有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） 1 cos 2 2cos2 1 cos2 2 sin 2 1 sin 2 (sin cos )2 1 sin 2 (sin cos )2 2 1 cos2 sin 2 1 cos2 ，tan 1 cos2 sin 2 cos 2 ， 2 sin 2 。 1 cos2 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） 2 tan 1 tan 2 ， tan 2 2 tan 。 sin 2 2 ， cos2 tan2 1 tan 2 1 tan 1 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．．来表示。 七、和差化积公式 sin sin 2 sin cos⑴ 2 2 高中三角函数公式大全 2009年07月12日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +- 第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =?=??Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a ab +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等） ；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ； ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有 公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z）cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z） tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z）cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z） 公式二：设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα公式三：任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα公式五：利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα 公式六：π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα （以上k∈Z） 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 ※规律总结※ 上面这些诱导公式可以概括为：对于π/2*k ±α（k∈Z）的三角函数值， ①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变； ②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos；cos→sin；tan→cot，cot→→tan. （奇变偶不变） 1．常见三角不等式 （1）若(0,)2 x π∈，则sin tan x x x <<. (2) 若(0,)2 x π ∈ ，则1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥. 45.同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ=θ θcos sin ，tan 1cot θθ?=. 46.正弦、余弦的诱导公式 212(1)sin ,sin()2(1)s , n n n co απαα-?-?+=??-? 212(1)s ,s ()2(1)s i n ,n n co n co απαα+?-?+=??-? 2.和角与差角公式 sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ; tan tan tan()1tan tan αβ αβαβ ±±= . 22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-. sin cos a b αα+ =)α?+(辅助角?所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan b a ?= ). 3.二倍角公式 sin 2sin cos ααα=. 2222 cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-. 22tan tan 21tan ααα=-. 49. 三倍角公式 3sin 33sin 4sin 4sin sin( )sin()33ππθθθθθθ=-=-+. 3cos 34cos 3cos 4cos cos()cos()33π π θθθθθθ=-=-+. 323tan tan tan 3tan tan()tan()13tan 33θθ ππ θθθθθ-==-+-. 4.三角函数的周期公式 函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0， 任意角 直角三角形 三角函数 倒数关系： 商数关系： 平方关系： 诱导公式 公式一：设 为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 公式二：设 为任意角， 与的三角函数值之间的关系： 公式三：任意角 与的三角函数值之间的关系： 公式四： 与的三角函数值之间的关系： 公式五： 与的三角函数值之间的关系： 公式六： 及 与 的三角函数值之间的关系： 记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如 2k×90°±α，则函数名称不变。 诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义： k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号； (2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函数值的符号。 记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限： 记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角． 以诱导公式二为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．以诱导公式四为例： 若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四． 诱导公式的应用： 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：2 2y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r = αsec 余割：y r = αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系：1csc sin =?αα，1sec cos =?αα，1cot tan =?αα。 商数关系：α ααcos sin tan = ，α ααsin cos cot = 。 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵ α π +2、 α π -2 、 α π+2 3、 α π-2 3的三角函数值，等于α的异名函数值， 前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= - 五、二倍角公式 α ααcos sin 22sin = ααααα2 2 2 2 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α αα2 tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） α α2 cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2 )cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） α αα2 tan 1tan 22sin += ，α αα2 2 tan 1tan 12cos +-= ，α αα2 tan 1tan 22tan -= 。 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．． 来表示。 七、和差化积公式 2 cos 2 sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ …⑴ 正弦函数sinθ=y/r 余弦函数cosθ=x/r 正切函数tanθ=y/x 余切函数cotθ=x/y 正割函数secθ=r/x 余割函数cscθ=r/y 同角三角函数间的基本关系式： ·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 三角函数恒等变形公式： ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) · 倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα) cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α) tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)] ·三倍角公式： sin3α=3sinα-4sin^3(α) cos3α=4cos^3(α)-3cosα ·半角公式： sin(α/2)=正负√((1-cosα)/2) cos(α/2)=正负√((1+cosα)/2) tan(α/2)=正负√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα ·降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) ·万能公式： sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)] cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)] ·积化和差公式： sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)] cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)] sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)] ·和差化积公式： sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2] cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2] ·其他： sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+…+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+…+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 高中数学三角函数公式精选 两角和公式 sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB sin(A-B)=sinAcosB-sinBcosA cos(A+B)=cosAcosB-sinAsinB cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB tan(A+B)=(tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B)=(cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B)=(cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 倍角公式 tan2A=2tanA/(1-tan2A) cot2A=(cot2A-1)/2cota cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2 tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式： sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)) cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 五倍角公式： sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinA cos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosA tan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4) 六倍角公式： sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2)) cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1)) 三角公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．． 一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y = αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r =αsec 余割：y r =αcsc 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系：1csc sin =?αα，1sec cos =?αα，1cot tan =?αα。 商数关系：αααcos sin tan =，α ααsin cos cot =。 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。 三、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(?-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(?+-=- 四、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α αα2tan 1tan 22tan -= αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 五、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α αα2tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．． 来表示。 六、和差化积公式 2cos 2sin 2sin sin βαβ αβα-+=+ …⑴ 2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=- …⑵ 2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ …⑶ 2 sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=- …⑷ 2sin 2cos 2cos 2sin 22sin sin βαβαβαβαβαβαα-++-+=?? ? ??-++= 2sin 2cos 2cos 2sin 22sin sin βαβαβαβαβαβαβ-+--+=?? ? ??--+= 两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。 2cos 2cos 2cos 2cos 22cos cos βαβαβαβαβαβαα-+--+=?? ? ??-++= 2cos 2cos 2cos 2cos 22 cos cos βαβαβαβαβαβαβ-++-+=??? ??--+= 两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。 七、积化和差公式 常用的诱导公式 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ＋α）＝sinα（k∈Z） cos（2kπ＋α）＝cosα（k∈Z） tan（2kπ＋α）＝tanα（k∈Z） cot（2kπ＋α）＝cotα（k∈Z） 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα 公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα 公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα 公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα (以上k∈Z) 注意：在做题时，将a看成锐角来做会比较好做。 诱导公式记忆口诀 上面这些诱导公式可以概括为： 对于π/2*k ±α(k∈Z)的三角函数值， 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = tan(A-B) = 倍角公式 tan2A = cos2A= cos A - sin A = 2cos A-1 = 1-2sin A }= 三条公式由两角和公式化来 Sin2A=2SinA?CosA 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa tan( -a )= -tan(a) sin( -a) = cosa cos( -a) = sina sin( +a) = cosa cos( +a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa tan( π -a )= -tan(a) sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tan( π +a )=tan(a) tanA = 其它公式（辅助公式） a?sina+b?cosa= × sin(a+ ) [ 其中 tan = ] a?sin(a)-b?cos(a) = × cos(a- ) [ 其中 tan( )= ] ( 注意这条公式区分 ) 公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin （2kπ ＋α ）= sinα cos （2kπ ＋α ）= cosα tan （2kπ ＋α ）= tanα 公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin （π ＋α ） = -sinα cos （π ＋α ） = -cosα tan （π ＋α ）= tanα 公式三： 任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin （ -α ） = -sinα cos （ -α ）= cosα tan （ -α ） = -tanα 公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （π-α ）= sinα cos （π-α ） = -cosα tan （π-α ） = -tanα cot （π-α ） = -cotα 公式五： 利用公式 - 和公式三可以得到 2π-α与α的三角函数值之间的关系：sin （2π-α ） = -sinα cos （2π-α ）= cosα tan （2π-α ） = -tanα cot （2π-α ） = -cotα 公式六： 三角函数公式大全 倒数关系： tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin2(α)+cos2(α)=1 1+tan2(α)=sec2(α) 1+cot2(α)=csc2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 tanα *cotα=1 一个特殊公式 （sina+sinθ）（sina-sinθ）=sin（a+θ）sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] 2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）sin（a-θ） 坡度公式： 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示， 即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式： 正弦：sin α=∠α的对边/∠α 的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 半角公式： sin2(α/2)=(1-cosα)/2 cos2(α/2)=(1+cosα)/2 tan2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα) tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα)=0 倍角和半角相对而言，两倍角余弦公式的变形可引出半角公式推导过程中可得到一组降次公式，即 高中数学三角函数公式汇总（正版） 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．．一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y =αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y =αtan 余切：y x =αcot 正割：x r = αsec 余割：y r = αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．．线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系：1csc sin =?αα，1sec cos =?αα，1cot tan =?αα。 商数关系：αααcos sin tan = ，α α αsin cos cot =。 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵ απ +2、απ -2 、απ+23、απ-23的三角函数值，等于α的异名函数值， 前面加上一个把α看成．．锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式 βαβαβαsin cos cos sin )sin(?+?=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(?-?=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(?-?=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(?+?=- βαβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?-+=+ β αβ αβαtan tan 1tan tan )tan(?+-= - 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α α α2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） ααα2tan 1tan 22sin +=，ααα22tan 1tan 12cos +-=，α α α2tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．． 来表示。 七、和差化积公式 2 cos 2 sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ …⑴高中数学公式三角函数公式大全
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