2016-2017学年高中数学人教b版高一必修4学业分层测评26_两角和与差的正切_word版含解析
学业分层测评(二十六)
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1.已知1＋tan A 1－tan A ＝55，则cot ? ????π4＋A ＝( ) A.－5
B. 5
C.55
D.－55
【解析】 ∵1＋tan A 1－tan A ＝55， ∴cot ? ??
??π4＋A ＝1tan ? ????π4＋A ＝1－tan A 1＋tan A ＝ 5. 【答案】 B
2.已知α＋β＝3π4，则(1－tan α)(1－tan β)＝( )
A.1
B.2
C.3
D.4 【解析】 tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝tan 3π4＝－1，所以tan α＋tan β＝－1＋tan αtan β，从而(1－tan α)(1－tan β)＝1－(tan α＋tan β)＋tan αtan β＝1－(－1＋tan αtan β)＋tan αtan β＝2.
【答案】 B
3.(2016·沈阳高一检测)已知β∈? ??
??0，π2，满足tan(α＋β)＝324，sin β＝13，则tan α＝( ) 【导学号：72010083】
A.23
B.4211
C.3211
D.324
【解析】 因为β∈? ????0，π2，sin β＝13，所以cos β＝223，所以tan β＝122＝24
，又因为
tan(α＋β)＝324，所以tan α＝tan[(α＋β)－β]＝tan (α＋β)－tan β1＋tan (α＋β)tan β
＝324－241＋324×24
＝4211，故选B. 【答案】 B
4.在△ABC 中， tan A ＋tan B ＋3＝3tan A tan B ，则角C 等于( )
A.π3
B.π4
C.π6
D.2π3
【解析】 由已知得tan A ＋tan B ＝－3(1－tan A tan B )，∴tan A ＋tan B 1－tan A tan B
＝－3， ∴tan C ＝tan[π－(A ＋B )]＝－tan(A ＋B )＝3，
∴C ＝π3.
【答案】 A
5.(2016·沈阳高一检测)若α，β∈? ??
??0，π2，tan α＝43，tan β＝17，则α－β等于( ) A.π3
B.π4
C.π6
D.π8
【解析】 由题意，0<β<α<π2，
因为tan(α－β)＝43－1
71＋43×17
＝1，
所以α－β＝π4.
【答案】 B
二、填空题 6.设tan(α＋β)＝25，tan ? ??
??β－π4＝14，则tan ()α＋2β的值是________. 【解析】 ∵tan ? ??
??β－π4＝14，
∴tan β－tan π4
1＋tan βtan π4
＝tan β－11＋tan β＝14
， ∴tan β＝53， tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝tan (α＋β)＋tan β1－tan (α＋β)tan β＝25＋531－25×53
＝315. 【答案】 315
7.已知tan(α＋β)＝7，tan α＝34，且β∈(0，π)，则β的值为________.
【解析】 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝
tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α
＝7－341＋7×34
＝1，又β∈(0，π)，所以β＝π4. 【答案】 π4
8.(2016·新洲高一检测)在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝33，tan 2B ＝tan A ·tan C ，则B ＝________.
【解析】 tan B ＝－tan(A ＋C )＝－tan A ＋tan C 1－tan A tan C ＝－33－tan B 1－tan 2B
，所以tan 3B ＝33，所以tan B ＝3，又因为B 为三角形的内角，所以B ＝π3.
【答案】 π3 三、解答题
9.已知tan ? ????π12＋α＝2，tan ? ??
??β－π3＝22， (1)求tan ? ??
??α＋β－π4的值； (2)求tan(α＋β)的值.
【解】 (1)tan ? ????α＋β－π4
＝tan ????
??? ????π12＋α＋? ????β－π3 ＝tan ? ????π12＋α＋tan ? ????β－π31－tan ? ????π12＋α·tan ? ??
??β－π3＝2＋221－2×22＝－ 2. (2)tan(α＋β)＝tan ??????? ????α＋β－π4＋π4 ＝tan ? ????α＋β－π4＋tan π41－tan ? ??
??α＋β－π4·tan π4＝－2＋11－(－2)×1 ＝22－3.
10.已知tan α，tan β是方程x 2
＋33x ＋4＝0的两个根，且α，β∈? ????－π2，π2，求α＋β的值. 【解】 由题意，有???
tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，
tan α＜0且tan β＜0.又因为α，β∈? ??
??－π2，π2， 所以α，β∈? ??
??－π2，0，α＋β∈(－π，0). 又因为tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝ 3. 在(－π，0)内，正切值为3的角只有－2π3，
所以α＋β＝－2π3.
[能力提升]
1.(2016·宜昌高一期末)已知sin α＝12，α是第二象限角，且tan(α＋β)＝－3，则tan β的值
为( )
A.－ 3
B. 3
C.－33
D.33 【解析】 ∵α为第二象限角，
∴cos α<0，cos α＝－32，
∴tan α＝－33.
tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)·tan α
＝－3＋331＋(－3)·? ??
??－33＝－33. 【答案】 C
2.(2016·潍坊高一检测)设tan α，tan β是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个实根，则1tan (α＋β)
的值为( ) A.b ＋c a
B.b －c a
C.c －a b
D.a －c b 【解析】 由题意得tan α＋tan β＝－b a ，tan α·tan β＝c a ，
所以1tan (α＋β)＝1－tan α·tan βtan α＋tan β
＝
1－c a －b a ＝c －a b .
【答案】 C
3.计算1－tan 15°3＋tan 60°tan 15°
＝________. 【解析】 原式＝tan 45°－tan 15°3(1＋tan 45°·tan 15°)
＝13
tan(45°－15°)＝13. 【答案】 13
4.是否存在锐角α和β，使得①α＋2β＝2π3和②tan α2·tan β＝2－3同时成立？若存在，求
出α和β的值；若不存在，请说明理由.
【解】 由①得α2＋β＝π3，