无为中学自主招生数学试题
自主招生数学试题
一．选择题（共6小题）
1．已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）
A．0B．1C．2D．3
2．如果|x﹣a|=a﹣|x|（x≠0，x≠a），那么=（）
A．2a B．2x C．﹣2a D．﹣2x
3．a，b，c为有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（）
A．1999 B．2000 C．2001 D．不能确定
4．（2013?莒南县一模）如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1
和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（）
A．k 1+k2B．k1﹣k2C．k1?k2D．
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）
A．（2010，2）B．（2010，﹣2）C．（2012，﹣2）D．（0，2）
6．如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（）
A．B．C．D．
二．填空题（共7小题）
7．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则ax3+bx2+cx+1的值是
_________．
8．如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，△DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是_________．
9．（2013?沐川县二模）如图，点A1，A2，A3，A4，…，A n在射线OA上，点B1，B2，B3，…，B n﹣1在射线OB 上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n﹣1B n﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥A n B n﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△A n﹣1A n B n﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为_________；面积小于2011的阴影三角形共有_________个．
10．你见过像，，…这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以化简，如．请用上述方法化简：=
_________．
11．不等式组有六个整数解，则a的取值范围为_________．
12．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x2=﹣1时，突发奇想：x2=﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=﹣1，那么若x2=﹣1，则x=±i，从而x=±i是方程x2=﹣1的两个根．据此可知：①i可以运算，例如：i3=i2?i=﹣1×i=﹣i，则i2011=_________，②方程x2﹣2x+2=0的两根为
_________（根用i表示）
13．（2013?日照）如右图，直线AB交双曲线于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x 轴于M，连结OA．若OM=2MC，S△OAC=12．则k的值为_________．
三．解答题（共7小题）
14．在“学科能力”展示活动中，某区教委决定在甲、乙两校举行“学科能力”比赛，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、l00分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等．现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图：
（1）甲校选手所得分数的中位数是_________，乙校选手所得分数的众数是_________；
（2）请补全条形统计图；
（3）比赛后，教委决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，请用列表法或树状图的方法，求所选两位选手来自同一学校的概率．
15．（2012?兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c
（a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|====；
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC 为等腰三角形．
（1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．
16．（2013?威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，
∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．
17．（2012?内江）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；
（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．
自主招生数学试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共6小题）
1．（2011?随州）已知函数，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）
A．0B．1C．2D．3
考点：二次函数的图象．
专题：压轴题；数形结合．
分析：
首先在坐标系中画出已知函数的图象，利用数形结合的方法即可找到使
y=k成立的x值恰好有三个的k值．
解答：
解：函数的图象如图：
根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，
∴k=3．
故选D．
点评：此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．
2．如果|x﹣a|=a﹣|x|（x≠0，x≠a），那么=（）
A．2a B．2x C．﹣2a D．﹣2x
考点：二次根式的性质与化简；绝对值；完全平方公式；含绝对值符号的一元一次方程．
专题：计算题．
分析：由绝对值的定义可知，一个数的绝对值要么等于它本身，要么等于它的相反数，根据已知条件|x﹣a|=a﹣|x|，得出|x|=x且x≤a．再根据完全平方公式及二次根式的性质=|a|进行化简，最后去括号、合并同类项
即可得出结果．
解答：解：∵|x﹣a|=a﹣|x|，
∴|x|=x且x≤a．
∴a﹣x＞0，a+x＞0．
∴
=﹣
=|a﹣x|﹣|a+x|
=a﹣x﹣（a+x）
=a﹣x﹣a﹣x
=﹣2x．
故选D．
点评：本题考查了绝对值的定义，完全平方公式，二次根式的性质，二次根式的化简及整式的加减运算，难度中等，其中根据绝对值的定义，结合已知条件得出|x|=x且x≤a是解题的关键．
3．a，b，c为有理数，且等式成立，则2a+999b+1001c的值是（）
A．1999 B．2000 C．2001 D．不能确定
考点：二次根式的性质与化简．
分析：将已知等式右边化简，两边比较系数可知a、b、c的值，再计算式子的值．
解答：
解：∵==，
∴a+b+c=，
∴a=0，b=1，c=1，
2a+999b+1001c=2000．
故选B．
点评：本题考查了二次根式的性质与化简，将复合二次根式化简并比较系数是解题的关键．
4．（2013?莒南县一模）如图，两个反比例函数y=和y=（其中k1＞k2＞0）在第一象限内的图象依次是C1和C2，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（）
A．k 1+k2B．k1﹣k2C．k1?k2D．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
专题：压轴题；数形结合．
分析：
四边形PAOB的面积为矩形OCPD的面积减去三角形ODB与三角形OAC的面积，根据反比例函数中k的几何意义，其面积为k1﹣k2．
解答：解：根据题意可得四边形PAOB的面积=S
﹣S OBD﹣S OAC，
矩形OCPD
由反比例函数中k的几何意义，可知其面积为k1﹣k2．
故选B．
点评：
主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为
|k|，是经常考查的一个知识点．
5．（2012?南开区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰梯形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（2，﹣1），C（﹣2，﹣1），D（﹣1，1）．y轴上一点P（0，2）绕点A旋转180°得点P1，点P1绕点B旋转180°得点P2，点P2绕点C旋转180°得点P3，点P3绕点D旋转180°得点P4，…，重复操作依次得到点P1，P2，…，则点P2010的坐标是（）
A．（2010，2）B．（2010，﹣2）C．（2012，﹣2）D．（0，2）
考点：坐标与图形变化-旋转；等腰梯形的性质．
专题：规律型．
分析：由P、A两点坐标可知，点P绕点A旋转180°得点P1，即为直线PA与x轴的交点，依此类推，点P2为直线P1B与y轴的交点，由此发现一般规律．
解答：解：由已知可以得到，点P1，P2的坐标分别为（2，0），（2，﹣2）．
记P2（a2，b2），其中a2=2，b2=﹣2．
根据对称关系，依次可以求得：P3（﹣4﹣a2，﹣2﹣b2），P4（2+a2，4+b2），P5（﹣a2，﹣2﹣b2），P6（4+a2，b2）．
令P6（a6，b2），
同样可以求得，点P10的坐标为（4+a6，b2），即P10（4×2+a2，b2），
由于2010=4×502+2，所以点P2010的坐标为（2010，﹣2）．
故选B．
点评：本题考查了旋转变换的规律．关键是根据等腰梯形，点的坐标的特殊性，寻找一般规律．
6．（2013?荆门）如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（）
A．B．C．D．
考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．
专题：压轴题．
分析：首先过点A作AD⊥OB于点D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD与OD的长，继而可得BD 的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值．
解答：解：过点A作AD⊥OB于点D，
∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，
∴OD=AD=OA?cos45°=×1=，
∴BD=OB﹣OD=1﹣，
∴AB==，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，AC=2，
∴sinC=．
故选B．
点评：此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
二．填空题（共7小题）
7．三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且，则ax3+bx2+cx+1的值是1．
考点：代数式求值；绝对值．
专题：计算题．
分析：由三个数a、b、c的积为负数，可知三数中只有一个是负数，或三个都是负数；又三数的和为正，故a、
b、c中只有一个是负数，根据对称轮换式的性质，不妨设a＜0，b＞0，c＞0，求x的值即可．
解答：解：∵abc＜0，
∴a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数；
又∵a+b+c＞0，
∴a、b、c中只有一个是负数．
不妨设a＜0，b＞0，c＞0，
则ab＜0，ac＜0，bc＞0，
x=﹣1+1+1﹣1﹣1+1=0，
当x=0时，
ax3+bx2+cx+1=0a+0b+0c=0+1=1．
故本题答案为1．
点评：
观察代数式，交换a、b、c的位置，我们发现代数式不改变，这样的代数式成为轮换式，我们不用对a、b、c再讨论．有兴趣的同学可以在课下查阅资料，看看轮换式有哪些重要的性质．
8．如图正方形ABCD中，E是BC边的中点，AE与BD相交于F点，△DEF的面积是1，那么正方形ABCD的面积是6．
考点：面积及等积变换．
分析：先设△BEF的面积是x，由于E是BC中点，那么S△DBE=S△DCE，易求S正方形=4（1+x），又四边形ABCD 是正方形，那么
AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△BEF∽△DAF，于是S△BEF：S△DAF=
（）2，E是BC中点可知BE：AD=1：2，于是S△DAF=4x，进而可得S正方形
=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，等量代换可得4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，解可求x，进而可求正方形的面积．
解答：解：如右图，设△BEF的面积是x，
∵E是BC中点，
∴S△DBE=S△DCE，
∴S△BCD=2（1+x），
∴S正方形=4（1+x），
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△BEF∽△DAF，
∴S△BEF：S△DAF=（）2，
∵E是BC中点，
∴BE=CE，
∴BE：AD=1：2，
∴S△DAF=4x，
∵S△ABE=S△BED，
∴S△ABF=S△DEF=1，
∴S正方形=S△ABF+S△BEF+S△ADF+S△DEF+S△DCE=1+x+4x+1+1+x，
∴4（1+x）=1+x+4x+1+1+x，
解得x=，
∴S正方形=4（1+x）=4（1+）=6．
点评：本题考查了面积以及等积变换、相似三角形的判定和性质，解题的关键是找出正方形面积的两种表示方式．
9．（2013?沐川县二模）如图，点A1，A2，A3，A4，…，A n在射线OA上，点B1，B2，B3，…，B n﹣1在射线OB 上，且A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n﹣1B n﹣1，A2B1∥A3B2∥A4B3∥…∥A n B n﹣1，△A1A2B1，△A2A3B2，…，△A n﹣
1A n B n﹣1为阴影三角形，若△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，则△A1A2B1的面积为；面积小于2011的阴影三角形共有6个．
考点：相似三角形的判定与性质；平行线的性质；三角形的面积．
分析：
根据面积比等于相似比的平方，可得出=，=，再由平行线的性质可得出==，==，从而可推出相邻两个阴影部分的相似比为1：2，面积比为1：4，先利用等底三角形的面
积之比等于高之比可求出第一个及第二个阴影部分的面积，再由相似比为1：2可求出面积小于2011的阴影部分的个数．
解答：解：由题意得，△A2B1B2∽△A3B2B3，
∴==，==，
又∵A1B1∥A2B2∥A3B3，
∴===，==，
∴OA1=A1A2，B1B2=B2B3
继而可得出规律：A1A2=A2A3=A3A4…；B1B2=B2B3=B3B4…
又△A2B1B2，△A3B2B3的面积分别为1、4，
∴S△A1B1A2=，S△A2B2A3=2，
继而可推出S△A3B3A4=8，S△A，4B4A5=32，S△A5B5A6=128，S△A6B6A7=512，S△A7B7A8=2048，
故可得小于2011的阴影三角形的有：△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，△A4B4A5，△A5B5A6，
△A6B6A7，共6个．
故答案是：；6．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质及平行线的性质，解答本题的关键是掌握相似比等于面积比的平方，及平行线分线段成比例，难度较大，注意仔细观察图形，得出规律．
10．你见过像，，…这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以化简，如．请用上述方法化简：=．
考点：二次根式的性质与化简．
分析：因为5=2+3=（）2+（）2，且2=2××，由此把原式改为完全平方式，进一步因式分解，化简得出答案即可．
解答：
解：===+．
故答案为：+．
点评：此题考查活用完全平方公式，把数分解成完全平方式，进一步利用公式因式分解化简，注意在整数分解时参考后面的二次根号里面的数值．
11．不等式组有六个整数解，则a的取值范围为＜a≤．
考点：一元一次不等式组的整数解．
分析：先求出不等式组的解集，再根据整数解有六个得到关于a的不等式组，然后解不等式组即可求解．
解答：
解：解不等式组，得﹣4＜x≤5﹣4a．
由题意，知此不等式组的六个整数解为﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，
则2≤5﹣4a＜3，解得＜a≤．
故答案为＜a≤．
点评：本题考查了一元一次不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
12．小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方程x2=﹣1时，突发奇想：x2=﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2=﹣1，那么若x2=﹣1，则x=±i，从而x=±i是方程x2=﹣1的两个根．据此可知：①i可以运算，例如：i3=i2?i=﹣1×i=﹣i，则i2011=﹣i．，②方程x2﹣2x+2=0的两根为
1±i．（根用i表示）
考点：一元二次方程的应用．
专题：新定义．
分析：（1）根据题中规律可知i1=1，i2=﹣1，i3=﹣i，i4=1，可以看出4个一次循环，可以此求解．（2）把方程x2﹣2x+2=0变形为（x﹣1）2=﹣1，根据题目规律和平方根的定义可求解．
解答：解：（1）i2011=i502×4+3=﹣i．
（2）x2﹣2x+2=0
（x﹣1）2=﹣1
x﹣1=±i
x=1+i或x=1﹣i．
故答案为：﹣i；1±i．
点评：本题考查了用配方法解一元二次方程以及找出题目中的规律，从而求得解．
13．（2013?日照）如右图，直线AB交双曲线于A、B，交x轴于点C，B为线段AC的中点，过点B作BM⊥x 轴于M，连结OA．若OM=2MC，S△OAC=12．则k的值为8．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
专题：压轴题．
分析：
过A作AN⊥OC于N，求出ON=MN=CM，设A的坐标是（a，b），得出B（2a，b），根据三角形AOC 的面积求出ab=8，把B的坐标代入即可求出答案．
解答：解：过A作AN⊥OC于N，
∵BM⊥OC
∴AN∥BM，
∵，B为AC中点，
∴MN=MC，
∵OM=2MC，
∴ON=MN=CM，
设A的坐标是（a，b），
则B（2a，b），
∵S△OAC=12．
∴?3a?b=12，
∴ab=8，
∵B在y=上，
∴k=2a?b=ab=8，
故答案为：8．
点评：本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题和三角形的面积的应用，主要考查学生的计算能力．
三．解答题（共7小题）
14．在“学科能力”展示活动中，某区教委决定在甲、乙两校举行“学科能力”比赛，为此甲、乙两学校都选派相同人数的选手参加，比赛结束后，发现每名参赛选手的成绩都是70分、80分、90分、l00分这四种成绩中的一种，并且甲、乙两校的选手获得100分的人数也相等．现根据甲、乙两校选手的成绩绘制如下两幅不完整统计图：
（1）甲校选手所得分数的中位数是90分，乙校选手所得分数的众数是80分；
（2）请补全条形统计图；
（3）比赛后，教委决定集中甲、乙两校获得100分的选手进行培训，培训后，从中随机选取两位选手参加市里的决赛，请用列表法或树状图的方法，求所选两位选手来自同一学校的概率．
考点：条形统计图；扇形统计图；中位数；众数；列表法与树状图法．
分析：（1）先设甲学校学生获得100分的人数为x，根据甲、乙两学校参加数学竞赛的学生人数相等，可得出方程，解出x的值，继而可得出甲校选手所得分数的中位数，及乙校选手所得分数的众数；
（2）列出树状图后，求解即可得出所选两位选手来自同一学校的概率．
解答：解：（1）先设甲学校学生获得100分的人数为x，
由题意得，x=（x+2+3+5）×，
解得：x=2，即获得100分的人数有2人．
故可得甲校选手所得分数的中位数是90分；乙校选手所得分数的众数80分．
（2）
则两位选手来自同一学校的概率==．
点评：本题考查了条形统计图及扇形统计图的知识，要求同学们有一定的读图能力，能在条形统计图及扇形统计图中得到解题需要用到的信息，有一定难度．
15．（2012?兰州）若x1、x2是关于一元二次方程ax2+bx+c（a≠0）的两个根，则方程的两个根x1、x2和系数a、b、c有如下关系：x1+x2=﹣，x1?x2=．把它称为一元二次方程根与系数关系定理．如果设二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0）．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB=|x1﹣x2|====；
参考以上定理和结论，解答下列问题：
设二次函数y=ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），抛物线的顶点为C，显然△ABC 为等腰三角形．
（1）当△ABC为直角三角形时，求b2﹣4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，求b2﹣4ac的值．
考点：抛物线与x轴的交点；根与系数的关系；等腰三角形的性质；等边三角形的性质．
专题：压轴题．
分析：（1）当△ABC为直角三角形时，由于AC=BC，所以△ABC为等腰直角三角形，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．根据本题定理和结论，得到AB=，根据顶点坐标公式，得到
CE=||=，列出方程，解方程即可求出b2﹣4ac的值；
（2）当△ABC为等边三角形时，解直角△ACE，得CE=AE=，据此列出方程，解方程即可求出
b2﹣4ac的值．
解答：解：（1）当△ABC为直角三角形时，过C作CE⊥AB于E，则AB=2CE．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，则|b2﹣4ac|=b2﹣4ac．
∵a＞0，∴AB=，
又∵CE=||=，
∴，
∴，
∴，
∵b2﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac=4；
（2）当△ABC为等边三角形时，
由（1）可知CE=，
∴，
∵b2﹣4ac＞0，
∴b2﹣4ac=12．
点评：本题考查了等腰直角三角形、等边三角形的性质，抛物线与x轴的交点及根与系数的关系定理，综合性较强，难度中等．
16．（2013?威海）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+与直线y=x交于点A，点B在直线y=x+上，
∠BOA=90°．抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，顶点为点E．
（1）求点A，B的坐标；
（2）求抛物线的函数表达式及顶点E的坐标；
（3）设直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，直线BC交抛物线于点D，过点E作FE∥x轴，交直线AB于点F，连接OD，CF，CF交x轴于点M．试判断OD与CF是否平行，并说明理由．
考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
分析：
（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，列出方程组，通过解该方程组即可求得点A的坐标；
根据∠BOA=90°得到直线OB的解析式为y=﹣x，则，通过解该方程组来求点B的坐标即可；
（2）把点A、B、O的坐标分别代入已知二次函数解析式，列出关于系数a、b、c的方程组，通过解方程组即可求得该抛物线的解析式；
（3）如图，作DN⊥x轴于点N．欲证明OD与CF平行，只需证明同位角∠CMN与∠DON相等即可．解答：
解：（1）由直线y=x+与直线y=x交于点A，得
，
解得，，
∴点A的坐标是（3，3）．
∵∠BOA=90°，
∴OB⊥OA，
∴直线OB的解析式为y=﹣x．
又∵点B在直线y=x+上，
∴，
解得，，
∴点B的坐标是（﹣1，1）．
综上所述，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）．
（2）由（1）知，点A、B的坐标分别为（3，3），（﹣1，1）．
∵抛物线y=ax2+bx+c过点A，O，B，
∴，
解得，，
∴该抛物线的解析式为y=x2﹣x，或y=（x﹣）2﹣．
∴顶点E的坐标是（，﹣）；
（3）OD与CF平行．理由如下：
由（2）知，抛物线的对称轴是x=．
∵直线y=x与抛物线的对称轴交于点C，
∴C（，）．
设直线BC的表达式为y=kx+b（k≠0），把B（﹣1，1），C（，）代入，得，
解得，，
∴直线BC的解析式为y=﹣x+．
∵直线BC与抛物线交于点B、D，
∴﹣x+=x2﹣x，
解得，x1=，x2=﹣1．
把x1=代入y=﹣x+，得y1=，
∴点D的坐标是（，）．
如图，作DN⊥x轴于点N．
则tan∠DON==．
∵FE∥x轴，点E的坐标为（，﹣）．
∴点F的纵坐标是﹣．
把y=﹣代入y=x+，得x=﹣，
∴点F的坐标是（﹣，﹣），
∴EF=+=．
∵CE=+=，
∴tan∠CFE==，
∴∠CFE=∠DON．
又∵FE∥x轴，
∴∠CMN=∠CFE，
∴∠CMN=∠DON，
∴OD∥CF，即OD与CF平行．
点评：本题考查了二次函数综合题．其中涉及到的知识点有：待定系数法求二次函数解析式，一次函数与二次函数交点问题，平行线的判定以及锐角三角函数的定义等知识点．此题难度较大．
17．（2012?内江）如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1．x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：
（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；（2）已知a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求的值；
（3）已知a、b、c满足a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．
考点：根与系数的关系；根的判别式．
专题：压轴题．
分析：（1）先设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x
1，x2，得出+=﹣，?=，再根据这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，即可求出答案．
（2）根据a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，得出a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出的值．
（3）根据a+b+c=0，abc=16，得出a+b=﹣c，ab=，a、b是方程x2+cx+=0的解，再根据c2﹣4?≥0，即可求出c的最小值．
解答：解：（1）设方程x2+mx+n=0，（n≠0）的两个根分别是x1，x2，
则：+==﹣，
?==，
若一个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数，
则这个一元二次方程是：x2+x+=0；
（2）∵a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，
∴a，b是x2﹣15x﹣5=0的解，
当a≠b时，a+b=15，ab=﹣5，
====﹣47．
当A=B时，原式=2；
（3）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=﹣c，ab=，
∴a、b是方程x2+cx+=0的解，
∴c2﹣4?≥0，
c2﹣≥0，
∵c是正数，
∴c3﹣43≥0，
c3≥43，
c≥4，
∴正数c的最小值是4．
点评：本题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．18．（2013?钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．
（1）求⊙O的半径OD；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）求图中两部分阴影面积的和．
考点：切线的判定与性质；扇形面积的计算．
专题：计算题；压轴题．
分析：（1）由AB为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于AB，在直角三角形BDO中，利用锐角三角函数定义，根据tan∠BOD及BD的值，求出OD的值即可；
（2）连接OE，由AE=OD=3，且OD与AE平行，利用一组对边平行且相等的四边形为平行四边形，根据平行四边形的对边平行得到OE与AD平行，再由DA与AE垂直得到OE与AC垂直，即可得证；
（3）阴影部分的面积由三角形BOD的面积+三角形ECO的面积﹣扇形DOF的面积﹣扇形EOG的面积，求出即可．
解答：解：（1）∵AB与圆O相切，
∴OD⊥AB，
在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，
∴OD=3；
（2）连接OE，
∵AE=OD=3，AE∥OD，
∴四边形AEOD为平行四边形，
∴AD∥EO，
∵DA⊥AE，
∴OE⊥AC，
又∵OE为圆的半径，
∴AE为圆O的切线；
（3）∵OD∥AC，
∴=，即=，
∴AC=，
∴EC=AC﹣AE=﹣3=，
∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形FOD﹣S扇形EOG
=×2×3+×3×﹣
=3+﹣
=．
点评：此题考查了切线的判定与性质，扇形的面积，锐角三角函数定义，平行四边形的判定与性质，以及平行线的性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．
19．（2013?益阳）如图1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分线BE交AC于E．
（1）求证：AE=BC；
（2）如图（2），过点E作EF∥BC交AB于F，将△AEF绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，连结CE′，BF′，求证：CE′=BF′；
（3）在（2）的旋转过程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相应的旋转角α；若不存在，请说明理由．
考点：旋转的性质；等腰三角形的性质；等腰梯形的判定．
专题：压轴题．
分析：（1）根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质得出对应角之间的关系进而得出答案；
（2）由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根据全等三角形证明方法得出即可；
（3）分别根据①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，②当点E的像E′与点N重合时，求出α即可．
解答：（1）证明：∵AB=BC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=36°，
∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°，
∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，
∴AE=BE，BE=BC，
∴AE=BC．
（2）证明：∵AC=AB且EF∥BC，
∴AE=AF；
由旋转的性质可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，
∵在△CAE′和△BAF′中
，
∴△CAE′≌△BAF′，
∴CE′=BF′．
（3）存在CE′∥AB，
理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF绕点A逆时针旋转过程中，E点经过的路径（圆弧）与过点C且与AB平行的直线l交于M、N两点，
如图：①当点E的像E′与点M重合时，则四边形ABCM为等腰梯形，
∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，
∴α=∠CAM=36°．
②当点E的像E′与点N重合时，
由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，
∵AM=AN，
∴∠ANM=∠AMN=72°，
∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°，
∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．
所以，当旋转角为36°或72°时，CE′∥AB．
点评：此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键．
20．（2013?昭通）如图1，已知A（3，0）、B（4，4）、原点O（0，0）在抛物线y=ax2+bx+c （a≠0）上．（1）求抛物线的解析式．
（2）将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个交点D，求m的值及点D的坐标．（3）如图2，若点N在抛物线上，且∠NBO=∠ABO，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD∽△NOB的点P 的坐标（点P、O、D分别与点N、O、B对应）
考点：二次函数综合题．
专题：压轴题．
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A. B. C. D. 8．如图，在矩形中，M、N分别为边、边的中点， 将矩形沿折叠，使A点恰好落在上的点F处， 则∠的度数为( ). A．20°B．25 °C．30°D．36° 9.为了解某区九年级学生课外体育活动的情况，从该年级学生中随机 抽取了4%的学生，对其参加的体育活动项目进行了调查，将调查的数据进行统计并绘制了扇形图和条形图.下列结论：①被抽测学生中参加羽毛球项目人数为30人；②在本次调查中“其他”的扇形的圆心角的度数为36°；③估计全区九年级参加篮球项目的学生比参加足球项目的学生多20%；④全区九年级大约有1500名学生参加乒乓球项目.其中正确结论的个数是( ). A. 1个 B.2个 C. 3个 D.4个 10．如图，等腰△中，∠90°，4，⊙C的半径为1，点P在斜边上，切⊙O于点Q，则切线长长度的最小值为( ). A. B. C. 3 D.4 二、填空题（18分） 11．如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，A、B、O
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3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是,,M I N 中的一 个字母，第二位是1，2，3，4，5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是 A ． 115 B ． 815 C ．18 D ． 130 4．在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若22245b c b c +=+-且 222a b c bc =+-，则ABC ?的面积为 A B C D 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积．．． （表面面积，也叫全面积）为 A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π 参考公式：圆锥侧面积S rl π=，圆柱侧面积2S rl π=，其中r 为底面圆的半径，l 为母线长． 6．如下图，在ABC ?中，AB AC =，D 为BC 的中点， BE AC ⊥于E ，交AD 于P ，已知3BP =，1PE =， 则AE = A B C D 7．ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知a =，2c =，2cos 3 A =，则b = A B C ．2 D ．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短．．路径条数为 A ．9 B ．12 C ．18 D ．24 E G F g g g 正视图 g 侧视图 俯视图 第5题图
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2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷2 一．选择题（36分，每小题6分） 1、 函数f(x)=)32(log 22 1--x x 的单调递增区间是 (A) (-∞，-1) (B) (-∞，1) (C) (1，+∞) (D) (3，+∞) 解：由x 2-2x-3>0?x<-1或x>3，令f(x)=u 2 1log , u= x 2-2x-3，故选A 2、 若实数x, y 满足(x+5)2+(y -12)2=142，则x 2+y 2的最小值为 (A) 2 (B) 1 (C) 3 (D) 2 解：B 3、 函数f(x)= 22 1x x x -- (A) 是偶函数但不是奇函数 (B) 是奇函数但不是偶函数 (C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数 解：A 4、 直线134=+y x 椭圆 19 162 2=+y x 相交于A ，B 两点，该圆上点P ，使得⊿PAB 面积等于3，这样的点P 共有 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 解：设P 1(4cos α,3sin α) (0<α<2 π )，即点P 1在第一象限的椭圆上，如图，考虑四边形P 1AOB 的面积S 。 S=11 O BP O AP S S ??+=ααcos 432 1 sin 3421??+??=6(sin α+cos α)=)4sin(26πα+ ∴S max =62 ∵S ⊿OAB =6 ∴626)(max 1-=?AB P S ∵626-<3 ∴点P 不可能在直线AB 的上方，显然在直线AB 的下方有两个点P ，故选B 5、 已知两个实数集合A={a 1, a 2, … , a 100}与B={b 1, b 2, … , b 50}，若从A 到B 的映射f 使得B 中的 每一个元素都有原象，且f(a 1)≤f(a 2)≤…≤f(a 100)，则这样的映射共有 (A) 50100C (B) 5090C (C) 49100C (D) 49 99C 解：不妨设b 1自主招生数学试卷(含答案)
中学自主招生数学试卷 一、选择题（共5小题，每题4分，满分20分） 1．（4分）下列图中阴影部分面积与算式|﹣|+（）2+2﹣1的结果相同的是（） A．B．D． 2．（4分）如图，∠ACB=60°，半径为2的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA也相切时，圆心O移动的水平距离为（） A．2πB．4πC．2D．4 3．（4分）如果多项式x2+px+12可以分解成两个一次因式的积，那么整数p的值可取多少个（） A．4 B．5 C．6 D．8 4．（4分）小明、小林和小颖共解出100道数学题，每人都解出了其中的60道，如果将其中只有1人解出的题叫做难题，2人解出的题叫做中档题，3人都解出的题叫做容易题，那么难题比容易题多多少道（） A．15 B．20 C．25 D．30 5．（4分）已知BD是△ABC的中线，AC=6，且∠ADB=45°，∠C=30°，则AB=（） A．B．2C．3D．6 二、填空题（共6题，每小题5分，满分30分） 6．（5分）满足方程|x+2|+|x﹣3|=5的x的取值范围是． 7．（5分）已知三个非负实数a，b，c满足：3a+2b+c=5和2a+b﹣3c=1，若m=3a+b﹣7c，则m的最小值为． 8．（5分）如图所示，设M是△ABC的重心，过M的直线分别交边AB，AC于P，Q两
点，且=m，=n，则+=． 9．（5分）在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标都是整数的点（x，y）称为整点，如果 将二次函数的图象与x轴所围成的封闭图形染成红色，则此红色区域内部及其边界上的整点个数有个． 10．（5分）如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB=60°，∠COB=45°，则OC=． 11．（5分）如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是． 三、简答题（共4小题，满分50分） 12．（12分）九年级（1）、（2）、（3）班各派4名代表参加射击比赛，每队每人打两枪，射中内环得50分，射中中环得35分，射中外环得25分，脱靶得0分．统计比赛结果，（1）班8枪全中，（2）班1枪脱靶，（3）班2枪脱靶，但三个班的积分完全相同，都是255分． 请将三个班分别射中内环、中环、外环的次数填入下表并简要说明理由： 班级内环中环外环
全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总
全国各重点大学自主招生数学试题及答案分类汇总一．集合与命题 (2) 二．不等式 (9) 三．函数 (20) 四．数列 (27) 五．矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计 (31) 六．排列组合，二项式定理，概率统计（续）复数 (35) 七．复数 (39) 八．三角 (42)
近年来自主招生数学试卷解读 第一讲集合与命题 第一部分近年来自主招生数学试卷解读 一、各学校考试题型分析： 交大： 题型：填空题10题，每题5分；解答题5道，每题10分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：略高于高考，比竞赛一试稍简单； 考试知识点分布：基本涵盖高中数学教材高考所有内容，如：集合、函数、不等式、数列（包括极限）、三角、复数、排列组合、向量、二项 式定理、解析几何和立体几何 复旦： 题型：试题类型全部为选择题（四选一）； 全考试时间：总的考试时间为3小时（共200道选择题，总分1000分，其中数学部分30题左右，，每题5分）； 试题难度：基本相当于高考； 考试知识点分布：除高考常规内容之外,还附加了一些内容,如：行列式、矩阵等； 考试重点：侧重于函数和方程问题、不等式、数列及排列组合等 同济： 题型：填空题8题左右，分数大约40分，解答题约5题，每题大约12分； 考试时间：90分钟，满分100分； 试题难度：基本上相当于高考； 考试知识点分布：常规高考内容 二、试题特点分析： 1. 突出对思维能力和解题技巧的考查。
关键步骤提示： 2. 注重数学知识和其它科目的整合，考查学生应用知识解决问题的能力。 关键步骤提示： ()()() 42432 22342(2)(2)(1)(2)(1) f a x x a x x x x x x a x x x =--++-=+-+++-1 1 1 (,),(,),(,)n n n i i i i i i i i i i i d u w a d v w b d u v a b a b a b ======-+≥-∑∑∑由绝对值不等式性质，
最新完美版清华大学自主招生数学试题
2015年清华大学自主招生数学试题 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设复数2 1a i w i +??= ?+?? ，其中a 为实数.若w 的实部为2，则w 的虚部为（ ） A 、3 2- B 、12 - C 、 12 D 、 32 2. 设向量a ，b 满足1a b ==，a b m ?=，则a tb +（R t ∈）的最小值为（ ） A 、2 B C 、1 D 3. 如果平面α，β，直线m ，n ，点A ，B 满足：αβ ，m α?，n β?，A α∈，B β∈，且AB 与α 所成的角为4π，m AB ⊥，n 与AB 所成的角为3 π ，那么m 与n 所成角的大小为（ ） A 、3π B 、4π C 、6π D 、8 π 4. 在四棱锥V -ABCD 中，1B ，1D 分别为侧棱VB ，VD 的中点，则四面体11AB CD 的体积与四棱锥V -ABCD 的体积之比为（ ） A 、1:6 B 、1:5 C 、1:4 D 、1:3 5. 在ABC △中，三边长a ，b ，c 满足3a c b +=，则tan tan 22 A C 的值为（ ） A 、1 5 B 、14 C 、12 D 、 23 6. 如图，ABC △的两条高线AD ，BE 交于H ，其外接圆圆心为O ， 过O 作OF 垂直BC 于F ，OH 与AF 相交于G ．则OFG △与GAH △面积之比为（ ） A 、1:4 B 、1:3 C 、2:5 D 、1:2 7. 设()ax f x e =（0a >）.过点(),0P a 且平行于y 轴的直线与曲线C ：()y f x =的交点为Q ，曲线C 过点 Q 的切线交x 轴于点R ，则PQR △的面积的最小值是（ ） A 、1 B C 、2 e D 、2 4 e A E C O G H B D F
历年名牌大学自主招生数学考试试题及答案
上海交通大学2007年冬令营选拔测试数学试题 一、填空题（每小题５分，共50分) １．设函数 () f x 满足 2(3)(23)61 f x f x x +-=+,则 ()f x = . 2.设,,a b c 均为实数，且364a b ==,则11a b -= . 3.设0a >且1a ≠,则方程2122x a x x a +=-++的解的个数为 ． 4．设扇形的周长为６,则其面积的最大值为 . 5．11!22!33!!n n ?+?+?++?= . ６.设不等式(1)(1)x x y y -≤-与22x y k +≤的解集分别为M 和N ．若M N ?，则k 的最小值为 . ７ . 设 函 数 ()x f x x = ,则 2112()3()()n S f x f x nf x -=++++= ． 8．设0a ≥，且函数()(cos )(sin )f x a x a x =++的最大值为 25 2 ,则a = ． 9.6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位,则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为 ． 10.已知函数121 ()1 x f x x -= +,对于1,2,n =,定义11()(())n n f x f f x +=,若 355()()f x f x =，则28()f x = . 二、计算与证明题(每小题10分，共50分)
１1.工件内圆弧半径测量问题. 为测量一工件的内圆弧半径R ,工人用三个半径均为r 的圆柱形量棒 123,,O O O 放在如图与工件圆弧相切的位置上,通过深度卡尺测出卡尺 水平面到中间量棒2O 顶侧面的垂直深度h ，试写出R 用h 表示的函数关系式，并计算当 10,4r mm h mm ==时，R 的值． 1２.设函数()sin cos f x x x =+，试讨论()f x 的性态（有界性、奇偶性、单调性和周期性)，求其极值,并作出其在[]0,2π内的图像． １３．已知线段AB 长度为3，两端均在抛物线2x y =上,试求AB 的中点M 到y 轴的最短距离和此时M 点的坐标. 参考答案:
最新全国高校自主招生数学模拟试卷一
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷一 一、选择题（本题满分36分，每小题6分） 1. 如图，在正四棱锥 P ?ABCD 中，∠APC =60°，则二面角A ?PB ?C 的平面角的余弦值为（ ） A. 7 1 B. 7 1- C. 2 1 D. 2 1- 2. 设实数a 使得不等式|2x ?a |+|3x ?2a |≥a 2 对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是（ ） A. ]3 1,31[- B. ]21,21[- C. ]3 1,41[- D. [?3，3] 3. 将号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全 相同。甲从袋中摸出一个球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b 。则使不等式a ?2b +10>0成立的事件发生的概率等于（ ） A. 81 52 B. 81 59 C. 81 60 D. 81 61 4. 设函数f (x )=3sin x +2cos x +1。若实数a 、b 、c 使得af (x )+bf (x ?c )=1对任意实数x 恒 成立，则 a c b cos 的值等于（ ） A. 2 1- B. 21 C. ?1 D. 1 5. 设圆O 1和圆O 2是两个定圆，动圆P 与这两个定圆都相切，则圆P 的圆心轨迹不可能是 （ ） 6. 已知A 与B 是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：A 与B 的元素个数相同，且为A ∩B 空集。若n ∈A 时总有2n +2∈B ，则集合A ∪B 的元素个数最多为（ ） A. 62 B. 66 C. 68 D. 74 二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 7. 在平面直角坐标系内，有四个定点A (?3，0)，B (1，?1)，C (0，3)，D (?1，3)及一个动点P ，则|PA |+|PB |+|PC |+|PD |的最小值为__________。 8. 在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB =EF =1，BC =6， 33=CA ，若2=?+?，则与的夹角的余弦值等于________。 9. 已知正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1的棱长为1，以顶点A 为球心， 3 3 2为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于__________。 10. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数。若a 1=d ， b 1=d 2 ，且3 212 3 2221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________。 11. 已知函数)45 41(2)cos()sin()(≤≤+-= x x πx πx x f ，则f (x )的最小值为________。 12. 将2个a 和2个b 共4个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方 格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有________种（用数字作答）。 三、解答题（本题满分60分，每小题20分） D P
2018年上中自主招生数学试卷及答案
2018上海中学数学自主招生试卷及答案 1. 因式分解：326114x x x -++= 【答案】(1)(34)(21)x x x --+ 【解析】有理根法，有理根p c q = ，分子是常数项的因数，分母是首项系数的因数。 2. 设0a b >>，224a b ab +=，则a b a b +=- 【答案】3 【解析】左右同除以ab ，然后采用换元法；或者采用下面的方式 3. 若210x x +-=，则3223x x ++= 【答案】4 【解析】采用降幂来完成；
4. 已知21()()()4b c a b c a -=--，且0a ≠，则b c a += 【答案】2 【解析】同除以a ，然后采用换元法 ()2 2 440b c b c a a ++-+= 5. 一个袋子里装有两个红球和一个白球（仅颜色不同），第一次从中取出一个球，记下颜 色后放回，摇匀，第二次从中取出一个球，则两次都是红球的概率是 【答案】 4 9
【解析】难度简单，直接为2/3的平方 6. 直线:33l y x =-+与x 、y 轴交于点A 、B ，AOB ?关于直线AB 对称得到ACB ?， 则点C 的坐标是 【答案】33 (, )2 【解析】采用画图的方法解决 7. 一张矩形纸片ABCD ，9AD =，12AB =，将纸片折叠，使A 、C 两点重合，折痕长是 【答案】 454 【解析】
8. 任给一个正整数n ，如果n 是偶数，就将它减半（即2 n ），如果n 是奇数，则将它乘以3 加1（即31n ），不断重复这样的运算，现在请你研究：如果对正整数n （首项）按照上 述规则施行变换（注：1可以多次出现）后的第八项为1，则n 所有可能取值为 【答案】128、2、16、20、3、21 【解析】
高中自主招生考试数学试卷
高中自主招生考试数学试卷 亲爱的同学： 欢迎你参加萧山中学自主招生考试。萧山中学是省一级重点中学，有雄厚的师资，优秀的学生，先进的育人理念，还有美丽的校园，相信你的加盟将使她更加星光灿烂。为了你能顺利地参加本次考试，请你仔细阅读下面的话： 1、试卷分试题卷和答题卷两部分。满分为100分，考试时间为70分钟。 2、答题时，应该在答题卷密封区内写明姓名、学校和准考证号码。 3、所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，请务必注意试题序号和答题序号相对应。 一、选择题：（每个题目只有一个正确答案，每题4分，共32分） 1．计算tan602sin 452cos30?+?-?的结果是（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．3 2．如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30?到正方形AB C D '''，图中阴影部分的面积为（ ） A ．313 - B ． 33 C ．314 - D ． 12 3．已知b a ,为实数，且1=ab ，设11+++= b b a a M ，1 1 11++ +=b a N ，则N M ,的大小关系是（ ） A ．N M > B ．N M = C ．N M < D ．无法确定 4. 一名考生步行前往考场， 10分钟走了总路程的 4 1 ，估计步行不能准时到达，于是他改乘出租车赶往考场，他的行程与时间关系如图所示（假定总路程为1），则他到达考场所花的时间比一直步行提前了( ) A ．20分钟 Ｂ．22分钟 Ｃ．24分钟 D ．26分钟 5.二次函数1422 ++-=x x y 的图象如何移动就得到2 2x y -=的图象（ ） A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。 B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。 C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。 D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。 6．下列名人中：①比尔?盖茨 ②高斯 ③刘翔 ④诺贝尔 ⑤陈景润 ⑥陈省身 ⑦高尔基 ⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（ ） A ．①④⑦ B ．②④⑧ C ．②⑥⑧ D ．②⑤⑥ 7．张阿姨准备在某商场购买一件衣服、一双鞋和一套化妆品，这三件物品的原价和优惠方 式如下表所示： 欲购买的 商品 原价（元） 优惠方式 A B C D B ' D C '
历年自主招生考试数学试题大全2018年上海交通大学自主招生数学试题Word版
2018年上海交通大学自主招生考试 数学试题 一、填空题（每题5分，共50分） 1．已知方程2212x px p --=0（p R ∈）的两根12,x x 满足441222x x +≤，则p= ． 2．设8841sin cos ,0,1282x x x π??+=∈ ??? ，则x = ． 3．已知,n Z ∈且1200411112004n n +????+=+ ? ?????，则n= ． 4．如图，将3个12cm×12cm 的正方形沿邻边的中点剪开，分成两部分，将这6部分接在一个边长为2的正六边形上，若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图．则该多面体的体积为 ． 第4题图 523333,,,x y x y Q -=∈则（x ，y ）= ． 6．化简：() ()122222246812n n +-+-++-L = ． 7．若3z ＝1，且z ∈C ，则3z ＋22z ＋2z +20= ． 8．一只蚂蚁沿l×2×3立方体表面爬，从一条对角线一端爬到另一端所爬过的最短距离为 ． 9．4封不同的信放人4个写好地址的信封中，全装错的概率为 ，恰好只有一封信装错的率为 ． 10．已知等差数列｛a n ｝中，a 3＋a 7+a 11+a 19=44，则a 5+a 9+a 16＝ ．
二、解答题（本大题共50分） 1．已知方程x 3+ax 2 +b x ＋c ＝0的三根分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 是不全为零的有理数，求a 、b 、c 的值． 2．是否存在三边为连续自然数的三角形，使得 （l ）最大角是最小角的两倍？ （2）最大角是最小角的三倍？ 若存在，分别求出该三角形；若不存在，请说明理由． 3．已知函数y =2281 ax x b x +++的最大值为9，最小值为1．求实数a 、b 的值。 4．已知月利率为y ，采用等额还款方式，若本金为1万元，试推导每月等额还款金额m 关于y 的函数关系式（假设贷款时间为2年）． 5．对于数列{}n a :1，3，3，3，5，5，5，5，5，?， 即正奇数k 有k 个·是否存在整数 r ，s ，t ，使得对于任意正整数n ， 都有n a r t =+恒成立（[x ]表示不超过x 的最大整数）?
小升初自主招生考试数学试题
小升初自主招生考试数学试题 一、填空。（16分，每空1分） 1、南水北调中线一期工程通水后，北京、天津、河北、河南四个省市沿线约60000000人将直接喝上水质优良的汉江水（横线上的数读作）。其中河北省年均调水量配额为三十四亿七千万立方米（横线上的数写作，省略亿位后面的尾数， 约是亿）， 2、 直线上A 点表示的数是（ ），B 点表示的数写成小数是（ ）， C 点表示的数写成分数是（ ）。 3、分数a 8 的分数单位是（ ），当a 等于（ ）时，它是最小的假分数。 4、如下图，把一个平行四边形剪成一个三角形和一个梯形。如果平行四边形的高是0.5厘米，那么三角形的面积是（ ）平方厘米，梯形的面积是（ ）平方厘米。 5、寒暑表中通常有两个刻度——摄氏度和华氏度，他们之间的换算关系是：摄 氏度×5 9 ＋32＝华氏度。当5摄氏度时，华氏度的值是（）；当摄氏度的值是 （）时，华氏度的值等于50。 6、赵明每天从家到学校上课，如果步行需要15分钟，如果骑自行车则只需要9分钟，他骑自行车的速度和步行的速度比是（ ）。 7、把一个高6.28厘米的圆柱的侧面展开得到一个正方形，这个圆柱的底面积是 （ ）平方厘米。 8、按照下面图形与数的排列规律，下一个数应是（ ），第n 个数是（ ）。
二、选择。（把正确答案的序号填在括号里）（16分、每题2分） 1、一根铁丝截成了两段，第一段长37米，第二段占全长的3 7 。两端铁丝的长度比较（ ） A 、第一段长 B 、第二段长 C 、一样长 D 、无法比较 2、数a 大于0而小于1，那么把a 、a 2、 a 1 从小到大排列正确的是（ ）。 A 、a ＜a 2＜a 1 B 、 a ＜a 1＜a 2 C 、a 1＜a ＜a 2 D 、a 2＜a ＜a 1 3、用同样大小的正方体摆成的物体，从正面看到，从上面看到， 从左面看到（ ）。 A 、 B 、 C 、 D 、无法确定 4、一次小测验，甲的成绩是85分，比乙的成绩低9分，比丙的成绩高3分。那么他们三人的平均成绩是（ ）分。 A 、91 B 、87 C 、82 D 、94 5、从2、3、5、7这四个数中任选两个数，和是（ ）的可能性最大。 A 、奇数 B 、偶数 C 、质数 D 、合数 6、观察下列图形的构成规律，按此规律，第10个图形中棋子的个数为（ ）
历年自主招生试题分类汇编 平面几何
历年自主招生试题分类汇编——平面几何 4．（2013年北约）如图，△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，DM 、DN 分别为∠ADB 、∠ADC 的角平分线，试比较BM ＋CN 与MN 的大小关系，并说明理由． 解析 延长ND 至E ，使ND ＝ED ，连结BE 、ME ，则△BED ≌△CND ，△MED ≌△MND ，ME ＝MN ， 由BM ＋BE ＞EM ，得BM ＋CN ＞MN ． 题4（2012年北约）如果锐角ABC ?的外接圆圆心为O ，求O 到三角形三边的距离之比。 解： 如图，过O 分别作,,BC CA AB 的垂线，垂足为,,D E F ,设 123,,OD d OE d OF d ===， OA OB OC R === 由平几知识得2BOC A ∠=，∴BOD A ∠=，1cos d R A = 同理：2cos d R B =，3cos d R C = ∴123::cos :cos :cos d d d A B C = 即O 到三角形三边的距离之比为对应边所对角的余弦之比。 评析：本题叙述简洁，结论优美，入口较宽，解法多样，既能反映学生 的读题能力和转化能力，又考查了学生的平几和三角等知识，是一道相当精彩的好题，为自主招生备考指明了方向。 题8（2012年北约）求证：若圆内接五边形的每个角相等，则它为正五边形。 A C N A C N A A C O F D E
解： 如图，五边形ABCDE 为O 内接五边形， 延长,,,AE CD DC AB 有两交点,G H ，连接AC ， ∵AED EDC ∠=∠, ∴GED GDE ∠=∠ ∴GE GD = ∵,,,A C D E 在O 上 ∴CAG GDE ∠=∠,GCA GED ∠=∠ ∴CAG GCA ∠=∠ ∴GA GC = ∴AE CD = 连结AD ，同理可得AB CD =，从而AE AB CD ==， 同样，延长,,,BC ED BA DE ,可证得：BA BC DE == ∴AB BC CD DE EA ====，从而可知五边形ABCDE 为正五边形。 评析：本题是一道平面几何题，图形简单，背景公平，重点考查学生的推理论证和演绎能力，可贵的是有别于数学竞赛的平几题。 1. （2011年北约）已知平行四边形的其中两条边长为3和5,一条对角线长为6,求另一条对角线的长. 【答案】x =x .由22222(35)6,x +=+ 解得x =. 2.求过抛物线2221y x x =--和2523y x x =-++的交点的直线方程. 【解】联立两方程,消去2,x 得6710x y +-=.此方程即为所求. 2．（2010年北约）AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB （25分） 【解析】 以正五边形一条边上的中点为原点，此边所在的直线为 x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． ⑴当,A B 中有一点位于P 点时，知另一点位于1R 或者2R 时有最大值为1PR ；当有一点位于O 点时，1max AB OP PR =<； ⑵当,A B 均不在y 轴上时，知,A B 必在y 轴的异侧方可能取到最大值（否则取A 点关于y 轴的对称点A '，有AB A B '<）． 不妨设A 位于线段2OR 上（由正五边形的中心对称性，知这样的假设是合理的），则使AB 最大的B 点必位于线段PQ 上． 且当B 从P 向Q 移动时，AB 先减小后增大，于是max AB AP AQ =或； 对于线段PQ 上任意一点B ，都有2BR BA ≥．于 是
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷6
2013年全国高校自主招生数学模拟试卷六 一、选择题(36分) 1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个数列的第2003项是 (A) 2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 2049 2．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y +b=0和曲线bx 2+ay 2=ab 的图形是 y x O O x y O x y y x O A. B. C. D. 3．过抛物线y 2=8(x +2)的焦点F 作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于 A 、 B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于点P ，则线段PF 的长等于 (A) 163 (B) 8 3 (C) 16 3 3 (D) 8 3 4．若x ∈[－512 ，－3 ]，则y=tan(x +2 3 )－tan(x +6 )+cos(x +6 )的最大 值是 (A) 125 2 (B) 116 2 (C) 116 3 (D) 125 3
5．已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy=－1，则函数u=44－x 2+9 9－y 2 的最小值 是 (A) 8 5 (B) 24 11 (C) 12 7 (D) 12 5 6．在四面体ABCD 中， 设AB=1，CD=3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角 为3 ，则四面体ABCD 的体积等于 (A) 32 (B) 12 (C) 13 (D) 3 3 二．填空题(每小题9分，共54分) 7．不等式|x |3－2x 2－4|x |+3<0的解集是 ． 8．设F 1、F 2是椭圆x 29+y 2 4=1的两个焦点，P 是椭圆上一点，且|PF 1|∶|PF 2|=2∶1， 则△PF 1F 2的面积等于 ． 9．已知A={x |x 2－4x +3<0，x ∈R }， B={x |21－x +a ≤0，x 2－2(a +7)x +5≤0，x ∈R } 若A B ，则实数a 的取值范围是 ． 10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=3 2，log c d=5 4 ，若a －c=9，则b － d= ． 11．将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相
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