2020-2021学年最新高考总复习数学(理)第二次八校联考检测及答案解析
3s t = 5sin s t =
最新高三第二次八校联考数学（理科）试卷
本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟.
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。) 1.设集合{}|215A x x =->，集合{}|lg(6)B x y x ==-，则B A I 等于（ ） A ．()3,6B ．[]3,6 C ．(]3,6D ．[)3,6
2.设i 是虚数单位，若复数5
()2a a R i
-
∈-是纯虚数，则a 的值为( ) A ．32-B ．－2 C ．2D ．32
3.2016
(25)x y +展开式中第1k +项的系数为( )
A ．20161201625k
k k C -- B ．120171
2016
25k k k C --- C ．1
2016k C -
D ． 20162016
25k
k k C - 4.已知正数m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线2
2
1y x m
+=的焦点坐标为 ( ) A ． (3,0)B ．(0,3)C ．(3,0)或(5,0)D ．(0,3)±或(5,0)
5.等差数列{}n a 的公差0d <且22
113a a =，则数列{}n a 的前n 项和n s 有最大值，当n s 取得最大值时的项数n 是( )
A ．6
B ．7
C ．5或6
D ．6或7
6. 执行右面的程序框图，如果输入的[1,]t π∈-，则输出的S 属于（ ）
A.3[3,]2π
- B.3[5,]2
π- C.[5,5]- D.[3,5]-
7.如右图：网格纸上的小正方形边长都为1，粗线画出的是某几何体的的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A.4
B.
163 C. 203
D.8 8.设,a b R ∈，则a b >“”
是 ()()a a b b
a e e
b e e --+>+“”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分又不必要条件
9. 已知等腰直角ABC ?，4AB AC ==，点,P Q 分别在边,AB BC 上，
()0PB BQ BC +?=u u u r u u u r u u u r ,2PM PQ =u u u u r u u u r ,0AP AN +=u u u r u u u r r ,直线MN 经过ABC ?的重心，则||AP uuu r
=（ ）
A. 43
B. 2
C. 8
3
D.1
10. 已知直线1y x =-与双曲线2
2
1ax by +=（0,0a b ><）的渐近线交于,A B 两点，且
过原点和线段AB 中点的直线的斜率为32
-
，则b a
的值为 （ ）
A. 32-
B.233-
C. 932-
D. 23
27
- 11.函数2016sin x
y x =-的图像大致是 （ ）
A B C D 12.已知函数2
1()()ln ()2
f x a x x
a R =-+∈.在区间(1,)+∞上，函数()f x 的图象恒在直线2y ax =下方，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1(,]2-∞
B ．11,22??
-????
C ．1(,)2+∞
D ．1(,)2-∞
第Ⅱ卷（非选择题90分）
本卷包括必考题和选考题两部分.第13-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22-24题为选考题，学生根据要求作答.
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若函数
1 ()1
21
x
a
f x
-
=+
+
为奇函数，
ln0
()
ax
a x x
g x
e x
>
?
=?
≤
?
，则不等式()1
g x>的解集为 .
4.若实数,x y满足不等式组
230
10
y
x y
x y
≥
?
?
-+≥
?
?+-≤
?
，则2||
z y x
=-的最小值是________________．
15.如图所示的几何体是由正四棱锥和圆柱组合而成，且该几何体内接于球（正四棱锥的顶点都在球面上），正四棱锥底面边长为2，体积为
4
3
，则圆柱的体积为.
16.已知数列{}
n
a是等差数列，数列{}
n
b是等比数列，对一切*
n N
∈，都有1n
n
n
a
b
a
+=，则数列{}
n
b的通项公式为.
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. （本小题满分12分）设ABC
?的三个内角,,
A B C所对的边分别为,,
a b c，点O为ABC
?的外接圆的圆心，若满足2
a b c
+≥
（1）求角C的最大值；
（2）当角C取最大值时，已知3
a b
==，点P为ABC
?外接圆圆弧上一点，若OP xOA yOB
=+
u u u r u u u r u u u r
，求x y
?的最大值.
18. （本小题满分12分）骨质疏松症被称为"静悄悄的流行病"，早期的骨质疏松症患者大多数无明显的症状，针对中学校园的学生在运动中骨折事故频发的现状，教师认为和学生喜欢喝碳酸饮料有关，为了验证猜想，学校组织了一个由学生构成的兴趣小组，联合医院检验科，从高一年级中按分层抽样的方法抽取50名同学（常喝碳酸饮料的同学30，不常喝碳酸饮料的同学20），对这50名同学进行骨质检测，检测情况如下表：（单位：人）
有骨质疏松症状无骨质疏松症状总计
常喝碳酸饮料的同学22 8 30
不常喝碳酸饮料的同学8 12 20
总计30 20 50
（1
（2）现从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，对他们今后是否有骨质疏松症状情况进行全程跟踪研究，记甲、乙两同学被抽到的人数为X，求X的分布列及数学期望E（X）．
附表及公式
19.已知菱形ABCD，2,
3
AB BAC
π
=∠=，半圆O所在平面垂直于平面ABCD,点P在半圆弧上. （不同于,B C）.
(1) 若PA 与平面ABCD 所成角的正弦，求出点P 的位置； （2）是否存在点P ,使得PC BD ⊥,若存在，求出点P 的位置，若不存在，说明理由.
20.给定椭圆C ：x 2a 2＋y 2b
2＝1(a ＞b ＞0)，称圆C 1：x 2＋y 2＝a 2＋b 2为椭圆C 的“伴随圆”．已知点(2,1)A 是椭圆22
:4G x y m +=上的点.
（1）若过点P 的直线l 与椭圆G 有且只有一个公共点，求l 被椭圆G 的伴随圆1G 所截得的弦长； （2）椭圆G 上的,B C 两点满足1241k k ?=-（其中12,k k 是直线,AB AC 的斜率），求证：,,B C O 三点共线.
21.对于函数()y F x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x F x ?=成立，则称0x 为函数()F x 的“反比点”.已知函数()ln f x x =，21
()(1)12
g x x =-- （1）求证：函数()f x 具有“反比点”，并讨论函数()f x 的“反比点”个数； （2）若1x ≥时，恒有()(())x f x g x x λ?≤+成立，求λ的最小值.
请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）
如图，在三角形ABC 中，ACB ∠=90°，CD ⊥AB 于D ，以CD 为直径的圆分别交AC 、BC 于E 、F 。 （1）求证：F CED S =BF AE ?四边形；
（2）求证：3
3
BF BC =AE AC .
23.（本小题满分10分）
在平面直角坐标系中，椭圆C 的参数方程为2cos sin x y θ
θ
=??
=?（θ为参数），已知以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程
为=θα（0ρ≥）（注：本题限定：0ρ≥，[)0,2θπ∈） （1）把椭圆C 的参数方程化为极坐标方程；
（2）设射线l 与椭圆C 相交于点A ，然后再把射线l 逆时针90°，得到射线B O 与椭圆C 相交于点B ，试确定2
2
11OA
OB
+
是否为定值，若为定值求出
此定值，若不为定值请说明理由．
24. （本小题满分10分） 已知函数()2f x x =-
（Ⅰ）解不等式；()(21)6f x f x ++≥；
（Ⅱ）已知1,0)a b a b +=>（
．且对于x R ?∈，41
()()f x m f x a b
---≤+恒成立，求实数m 的取值范围.
届高三第二次联考数学（理科）答案
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是满足题目要求的。)
二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 1
(,0)(0,)e --∞U 14. _____3
2
-_______． 15.2π. 16.
1n b =.
三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.解：（1）
222
222
22
(
)3()1312cos 228444
1
2
cos (0,),03
a b a b a b
c
a b C ab
ab ab C C C ππ
++-+-+=
≥
=-≥-
=
∈∴<∠≤
Q Q 在
时递减……………3分
∴角C 的最大值为
3
π
…………………6分 （2）由(1)及a b ==
ABC ?为等边三角形，如图建立平面直坐标系，设角POA α∠=[0,2)απ∈
则点(cos
,sin )P α
α1(1,0),(2A B -因为OP xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r ， 1(cos ,sin )()2x y y αα∴=-
1cos cos 2sin 2x x y y y ααααα??=+=-????
∴∴????
==????
21
(cos sin(2)363x y παααα∴=+=-+g
3
π
α∴=
时，x y ?的最大值为1……………………………………………………..12分
18.
解：(1)由表中数据得2
K 的观测值()2
25022128850 5.556 5.024*********
K ??-?==≈>???
所以根据统计有97.5%的把握认为骨质疏松症与喝碳酸饮料有关有关.）……………5分
（2)由题可知从常喝碳酸饮料且无骨质疏松症状的8名同学中任意抽取两人，抽取方法有2828C =种，其中甲、乙两人没有一个人被抽到有2615C =种；恰有一人被抽到有1126=12C C ?种；两人都被抽到有221C =种…………………………………7分
X ∴可能取值为0,1,2，15(0)28P X ==
，123(1)287P X ===，1
(2)28
P X =
=
X 的分布列为：
151211()0+1+22828282E X ∴=?
??=.…………………………………12分
19.
解(1) P 为圆弧中点或者靠近点B 的三等分点,计算如下：
OD OM BC M M ⊥连接，在半圆内作交圆弧于点，则为圆弧中点
O OD,OC,OM ,,x y z 以为原点，所在直线分别为轴，如图建立空间直角坐标系…………2分
设角POC=,(0,)P θθπθθ∠∈则点（0，cos ,sin )，(3,2,0)A -,
平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)n =r ，(3,cos 2,sin )AP θθ=-+u u u r
222cos(,)4
13(cos 2)sin n AP θθ
=
=
?+++r u u u r 1
cos 0,cos 2
θθ==-或
2,23
ππ
θθ∴==
或 P 为圆弧中点或者靠近点B 的三等分点…………………………………6分 （设“长度计算的”和“非向量法的”答题酌情给分）
（2）POC=,P θθθ∠则点（0，cos ,sin )(0,1,0)C ，(0,1,0)B -，(3,0,0)D (3,1,0)BD =u u u r ，(0,cos 1,sin )CP θθ=-u u u r
若PC BD ⊥则0cos 100BD CP θ?=+-+=u u u r u u u r
，cos 1θ=，则与(0,)θπ∈矛盾， P PC BD ∴⊥在半圆弧上不存在这样的点使得…………………………………12分
【注意】（设“长度计算的”和“非向量法的”答题酌情给分）
20.解：（1）因为点(2,1)A 是椭圆2
2
:4G x y m +=上的点.
22
2
2
241,8:+182
x y m m G ∴+?=∴==即椭圆…………………………………1分
222218,2,:=10a b G x y ∴==∴+伴随圆
当直线l 的斜率不存在时:显然不满足l 与椭圆G 有且只有一个公共点
当直线l 的斜率不存在时:设直线:10l y kx =+与椭圆2
2
:48G x y +=联立得
22(14)810320k x kx +++=
由直线l 与椭圆G 有且只有一个公共点得22
(810)4(14)320k k ?=-?+?=
解得1k =±，由对称性取直线:10l y x =+即:100l x y -+=…………………3分
圆心到直线l 的距离为|0010|
511
d ++=
=+
直线l 被椭圆G 的伴随圆1G 所截得的弦长210525=-=………………………6分 （2）设直线,AB AC 的方程分别为121(2),1(2)y k x y k x -=--=- 设点1122(,),(,)B x y C x y
联立22
:48G x y +=得2222
11111(14)(168)+161640k x k k x k k +----=
则22111211616414k k x k --=+得21112188214k k x k --=+同理22222
2882
14k k x k --=+
斜率2111112
111(2+144+1
82OB
y k x k k k x x k ---===-） 同理2222244+1
82
OC
k k k k --=
-因为1241k k ?=-所以22
11112
211
114(
)4()+1444161618328()24OC k k k k k k k -----++==--- 22111122
1141616441
83282
OC
k k k k k k k -++--+==--OB k = ,,B O C ∴三点共线 …………………………………12分
21.解(1)证明：设()ln 1h x x x =-，'()ln 1h x x =-，'()0(,)'()0(0,)h x x e h x x e >∈+∞<∈得，得
∵()ln 110h e e e e =-=->，1111
()ln 110h e e e e
=
-=-<, ∴在(0,)+∞上有解，所以函数()f x 具有“反比点”.且有且只有一个；……………………5分
（2）221
()(())ln ((1)1)
2
1111
ln ()ln ()0
222x f x g x x x x x x x x x x x x λλλλ?≤+?≤--+?≤-?--≤
令22
112()ln (),'()22x x G x x x G x x x
λλ
λ-+-=--= 0
21,44()()0,20
'()0()[1,)x x G x G x λλλλλ≤-?=---≤-+-≥≥+∞1当时故恒有则恒成立，故在区间上单调递增
()(1)=0G x G ∴≥，这与条件矛盾；
02221
210,0,2[1,)2()2220,'()0()[1,)x y x x x x G x G x λλλλλλλλ-<<=-=<=-+-+∞--+-≥->≥+∞当时故有在区间上单调递增
故有则恒成立，故在区间上单调递增
()(1)=0G x G ∴≥，这与条件矛盾；
02230'()0()[1,)2()(1)=0x
G x G x x
G x G λ==>+∞∴≥当时,故在区间上单调递增
，这与条件矛盾；
02121212122122222
401,20,2,011,)20,()1,)()(1)=0x x x x x x x x x x x x x x x x G x x G x G λλλλ
λλ<<-+-=<>?<<<∈-+->∴≥当时设的两根为且因+==1,
故故有(时故函数在区间在(上单调递增，这与条件矛盾；
0251,44()()0,20'()0()[1,)x x G x G x λλλλλ≥?=---≤-+-≤≤+∞当时故恒有则恒成立，故在区间上单调递减
()(1)=0G x G ∴≤，命题成立；
综上所述1λ≥，所以λ的最小值为1…………………………………12分
请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 22.（本小题满分10分） 证明：（1）∵CD 为圆的直径，且E 、F 与C 、D 两点重合，
∴DF ⊥BC ，DE ⊥AC ，∵ACB ∠=90°，∴四边形CEDF 为矩形， ∴F CED S =CF CE ?四边形，且DF//AC,DE//BC. …………1分
∵CD ⊥AB 于D ， CD 为圆的直径，∴三角形BCD 和三角形ACD 分别是以CDB ∠和CDA ∠为直角的直角三角形。…………2分 ∵DF ⊥BC ，DE ⊥AC ，∴2
DF =BF FC ?，2
DE =CE EA ?(直角三角形射影定理) ……3分 ∵DF//AC,DE//BC ，∴AD AE CF AD
==DB EC FB DB
，（平行线分线段成比例定理）……4分 ∴
AE CF
=EC FB
即EC CF=FB AE ?? ∴F CED S =BF AE ?四边形. ……5分 （2）由（1）已证CD ⊥AB 于D ∵在三角形ABC 中，ACB ∠=90°
∴22
,AC AD AB BC BD BA =?=?. 22
BD BC AD AC
∴= （1）……7分 又∵22BD =BC BF AD =AC AE ??，（切割线定理）
∴22
BD BC BF
=AD AC AE ??，（2）……9分 由（1）与（2）可得4
4
BC BF AC AE BC AC ?=? ∴3
3
BF BC =AE AC ……10分 23.（本小题满分10分）
解：（1）∵椭圆C 的参数方程
为sin x y θ
θ
?=??=??（θ为参数）
∴椭圆C 的普通方程为2
212
x y +=，…………2分 将一点,)x y （化为极坐标)ρθ（， 的关系式 cos sin x y ρθρθ
=??
=? 带入 2
212x y +=可得： 2222cos sin 12
ρθ
ρθ+=化简得：222+sin 2ρρθ=…………5分 （2）由（1）得椭圆的极坐标方程可化
为ρ=
…………6分
由已知可得：在极坐标下，可设()12,,,2A B πραρα??
+
??
?
，…7分
分别
代入ρ=
中
有1ρ=
，2ρ=22111sin 2αρ+∴=
，222
11cos 2α
ρ+=…9分 则
2
2
121
1
32ρρ+
=
即22
113
2OA OB
+=．故2211OA OB +为定值32.…10分 24.
解：（Ⅰ）133,21()(21)|2||21|1,2233,2x x f x f x x x x x x x ?
-
?
++=-+-=+≤≤??
->???
，………2分
当1
2
x <时，由336x -≥，解得1x ≤-； 当
1
22
x ≤≤时，16x +≥不成立； 当2x >时，由336x -≥，解得3x ≥．
所以不等式()6f x ≥的解集为[)(,1]3,-∞-+∞U ．…5分
（Ⅱ）∵1,0)a b a b +=>（
，∴41414)()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=（……6分 ∴对于x R ?∈，41
()()f x m f x a b
---≤+恒成立等价于：对x R ?∈，229x m x -----≤，即max 229x m x ?-----?≤??……7分 ∵
()222(2)=4x m x x m x m
-----≤---+--
∴949m -≤+≤，……9分 ∴135m -≤≤……10分