核光滑分位估计量的极限定理(英)

中心极限定理

中心极限定理 中心极限定理（Central Limit Theorems） 什么是中心极限定理 大数定律揭示了大量随机变量的平均结果，但没有涉及到随机变量的分布的问题。而中心极限定理说明的是在一定条件下，大量独立随机变量的平均数是以正态分布为极限的。 中心极限定理是概率论中最著名的结果之一。它提出，大量的独立随机变量之和具有近似于正态的分布。因此，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么有很多自然群体的经验频率呈现出钟形(即正态)曲线这一事实，因此中心极限定理这个结论使正态分布在数理统计中具有很重要的地位，也使正态分布有了广泛的应用。 中心极限定理的表现形式 中心极限定理也有若干个表现形式，这里仅介绍其中四个常用定理： （一）辛钦中心极限定理 设随机变量相互独立，服从同一分布且有有限的数学期望a和方差σ2，则 随机变量，在n无限增大时，服从参数为a和的正态分布即n→∞时， 将该定理应用到抽样调查，就有这样一个结论：如果抽样总体的数学期望a和方差σ2是有限的，无论总体服从什么分布，从中抽取容量为n的样本时，只要n足够大，其样本平均数的分布就趋于数学期望为a，方差为σ2 / n的正态分布。 （二）德莫佛——拉普拉斯中心极限定理 设μ n是n次独立试验中事件A发生的次数，事件A在每次试验中发生的概率为P，则当n 无限大时，频率设μ n / n趋于服从参数为的正态分布。即：

该定理是辛钦中心极限定理的特例。在抽样调查中，不论总体服从什么分布，只要n充分大，那么频率就近似服从正态分布。 （三）李亚普洛夫中心极限定理 设是一个相互独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方 差：。 记，如果能选择这一个正数δ>0，使当n→∞时， ，则对任意的x有： 该定理的含义是：如果一个量是由大量相互独立的随机因素影响所造成的，而每一个别因素在总影响中所起的作用不很大，则这个量服从或近似服从正态分布。 （四）林德贝尔格定理 设是一个相对独立的随机变量序列，它们具有有限的数学期望和方差满足林德贝尔格条件，则当n→∞时，对任意的x，有 。 中心极限定理案例分析 案例一：中心极限定理在商业管理中的应用 水房拥挤问题：假设西安邮电学院新校区有学生5000人，只有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向后勤集团提议增设水龙头。假

(完整版)大数定律及中心极限定理

第五章大数定律及中心极限定理 【基本要求】1、了解切比雪夫不等式； 2、了解切比雪夫大数定律，Bernoulli大数定律和辛钦大数定律成立的条件及结论； 3、了解独立同分布的中心极限定理（列维—林德伯格定理）和德莫佛—拉普拉斯 中心极限定理（二项分布以正态分布为极限分布）的应用条件和结论，并会用 相关定理近似计算有关随机事件的概率。 【本章重点】切比雪夫不等式，切比雪夫大数定理及Bernoulli大数定理。 【本章难点】对切比雪夫大数定理及独立同分布的中心极限定理的理解。 【学时分配】2学时 【授课内容】 §5.1 大数定律 0.前言 在第一章我们提到过事件发生的频率具有稳定性，即随着试验次数的增加，事件发生的频率逐渐稳定于某个常数，这一事实显示了可以用一个数来表征事件发生的可能性大小，这使人们认识到概率是客观存在的，进而由频率的三条性质的启发和抽象给出了概率的定义，而频率的稳定性是概率定义的客观基础。在实践中人们还认识到大量测量值的算术平均值也具有稳定性，而这种稳定性就是本节所要讨论的大数定律的客观背景，而这些理论正是概率论的理论基础。 下面介绍三个定理，它们分别反映了算术平均值及频率的稳定性。 一、切比雪夫大数定律 1

2 事件的频率稳定于概率，能否有p n lim n n =μ∞→，答案是否定的。而是用)(0}{ ∞→→ε≥-μn p n P n [依概率收敛]来刻划 （弱）。或者用{}1n n P p n →∞ μ???→=[a.e.收敛] 来刻划（强）。 1.定义：设ΛΛ,,,,21n X X X 是一个随机变量序列，a 是一个常数，若对于任意正数ε，有 ()1lim =<-∞ →εa X P n n ， 则称序列ΛΛ,,,,21n X X X 依概率收敛于a .记为a X P n ?→? . 2．切比雪夫不等式 设随机变量ξ具有有限的期望与方差，则对0>?ε，有 2 ) ())((ε ξεξξD E P ≤ ≥-或2 ) (1))((ε ξεξξD E P - ≥<- 证明：我们就连续性随机变量的情况来证明。设~()p x ξ，则有 2 2 ()()(())(())()()x E x E x E P E p x dx p x dx ξ ε ξ ε ξξξεε -≥-≥--≥= ≤ ?? 22 2 1 () (())()D x E p x dx ξξεε+∞ -∞ ≤ -= ? 该不等式表明：当)(ξD 很小时，))((εξξ≥-E P 也很小，即ξ的取值偏离)(ξE 的可能性很小。这再次说明方差是描述ξ取值分散程度的一个量。 切比雪夫不等式常用来求在随机变量分布未知，只知其期望和方差的情况下，事件 {}E ξξε-≥概率的下限估计；同时，在理论上切比雪夫不等式常作为其它定理证明的工具。 3．定理1（切比雪夫大数定律） 设}{n ξ是相互独立的随机变量序列，每一随机变量都有有限的方差，且一致有界，即存在 常数C ，使Λ,2,1)(=≤i C D i ξ，则对任意的0>ε，有01111 =ε≥ξ-ξ∑∑==∞→})(E n n {P lim n i n i i i n [即

第一章 概率论的基本概念练习题

第一章 概率论的基本概念练习题 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件 D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -. 6. 若事件C B A ,,满足C B C A +=+，试问B A =是否成立？举例说明。 7. 对于事件C B A ,,，试问C B A C B A +-=--)()(是否成立？举例说明。 8. 设 31)(=A P ，21 )(=B P ，试就以下三种情况分别求)(A B P ： （1）Φ=AB ， （2）B A ?， （3） 81 )(=AB P . 9. 已知 41)()()(===C P B P A P ，161 )()(==BC P AC P ，0)(=AB P 求事件C B A ,,全不发生的概率。 10. 每个路口有红、绿、黄三色指示灯，假设各色灯的开闭是等可能的。一个人骑车经过三个路口，试求下列事件的概率：=A “三个都是红灯”=“全红”； =B “全绿”； =C “全黄”； =D “无红”； =E “无绿”； =F “三次颜色相同”； =G “颜色全不相同”； =H “颜色不全相同”。 11. 设一批产品共100件，其中98件正品，2件次品，从中任意抽取3件（分三种情况：一次拿3件；每次拿1件，取后放回拿3次；每次拿1件，取后不放回拿3次），试求： （1）（1）取出的3件中恰有1件是次品的概率； （2）（2）取出的3件中至少有1件是次品的概率。 12. 从9,,2,1,0 中任意选出3个不同的数字，试求下列事件的概率： {}501与三个数字中不含=A ，{}502或三个数字中不含=A 。 13. 从9,,2,1,0 中任意选出4个不同的数字，计算它们能组成一个4位偶数的概率。 14. 一个宿舍中住有6位同学，计算下列事件的概率： （1）6人中至少有1人生日在10月份；

第一章 概率论的基本概念习题答案

第三章 多维随机变量及其分布习题答案 3. 220,(1)(1),4,(,),0.5940, x y x y e e c F x y --<<+∞?--==? ? 其它 . 4. 2012.4(2),()0,X x x x f x ≤≤?-=??，其它201 2.4(34),()0,Y y y y y f y ≤≤?-+=? ? 其它. 5. ???=,0,4),(y x f ,),(其它G y x ∈???+=,0,48)(x x f X ,05.0其它<≤-x ?? ?-=, 0,22)(y y f Y 其它10<≤y . 6. (1) (|)(1),0,1,;,m m n m n P Y m X n C p p n m n -===-=≤否则(|)0P Y m X n ===; (2)(,)(1)/!,0,1,;,m m n m n n P Y m X n C p p e n n m n λλ--===-=≤否则(|)0P Y m X n ===. 7. 10. ⑴0y ≥时|0 ,(|)0 0,x X Y x e f x y x -≥?=?

11. ⑴放回抽样 ⑵ 不放回抽样 X 的条件分布律与上相同，再结合联合分布律可以看出: 放回抽样时独立，不放回抽样时不独立。 12. 1c = ; 当10x -<<时，|1/2,||(|)0, Y X x y x f y x -<-?=? ? 其它 ; 当| |1y <时，|1/(1||),1|| (|)0,X Y y x y f x y --<<-?=? ? 其它 . 13. ⑴ (2|2)5/16,(3|0)1/5P X Y P Y X ====== ； ⑶ ⑷ . ;0.375 . 16. ? ? ?<≥-=--00 ,0,)1()(6/3/z z e e z f z z Z . 17. ⑴(2)30 3!,()00,t T t t e f t t ->?=?≤? ；⑵(3)50()00,t T t t e f t t ->?=?≤?.

概率论与数理统计习题集及答案89892汇编

第1章 概率论的基本概念 §1 .8 随机事件的独立性 1. 电路如图，其中A,B,C,D 为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L 与R 为通路（用T 表示）的概率。 A B L R C D 1. 甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立， 求下列概率: (1) 恰好命中一次,(2) 至少命中一次。 第1章作业答案 §1 .8. 1： 用A,B,C,D 表示开关闭合，于是 T = AB ∪CD, 从而，由概率的性质及A,B,C,D 的相互独立性 P(T) = P(AB) + P(CD) - P(ABCD) = P(A)P(B) + P(C)P(D) – P(A)P(B)P(C)P(D) 424222p p p p p -=-+= 2： (1) 0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38； (2) 1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88. 第2章 随机变量及其分布 §2.2 10-分布和泊松分布 1 某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X 是服从λ=4的泊松分布，求 (1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率； (3)每分钟最多有1次呼叫的概率； 2 设随机变量X 有分布律： X 2 3 , Y ～π(X), 试求： p 0.4 0.6 （1）P(X=2,Y ≤2)； (2)P(Y ≤2)； (3) 已知 Y ≤2, 求X=2 的概率。 §2.3 贝努里分布 2 设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9 ？ §2.6 均匀分布和指数分布 2 假设打一次电话所用时间（单位：分）X 服从2.0=α的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。 §2.7 正态分布 1 随机变量X ～N (3, 4), (1) 求 P(22), P(X>3)； (1)确定c ，使得 P(X>c) = P(X

中国对概率论思想发展史研究初露端倪_读王幼军_拉普拉斯概率理论的历史研究_

第38卷第5期 2009年9月内蒙古师范大学学报(自然科学汉文版)Journal of Inner Mongolia Normal University (Natural Science Edition )Vol.38No.5Sept.2009 收稿日期:2009207210 基金项目:国家自然科学基金资助项目(10771169);山东省十一五教育规划课题(115GG73) 作者简介:徐传胜(1962-),男,山东聊城人,临沂师范学院教授,主要从事概率论思想史研究,E 2mail :lysyxcs @https://www.wendangku.net/doc/628819117.html,. 中国对概率论思想发展史研究初露端倪 ———读王幼军《拉普拉斯概率理论的历史研究》 徐传胜 (临沂师范学院数学系,山东临沂276005) 摘　要:目前我国学者对概率论史的研究鲜有涉及,以致有关资料相当匮乏.王幼军的《拉普拉斯概率理论 的历史研究》是中国第一部概率论史研究专著.该书特色为:(1)揭示了拉普拉斯概率理论形成的主要因素; (2)论述了拉普拉斯概率理论的本质和特点;(3)考证了《决疑数学》的底本.但此书也有一些不足和可议之处, 如有些语言西化,令人费解. 关键词:拉普拉斯;概率论;王幼军 中图分类号:N 092 文献标识码:A 文章编号:1001228735(2009)052205782204 概率论现已成为中国高等教育的重要课程之一.现代概率论的内容往往使学生认为它需要与现实模型结合起来,这使学生难以进入数学抽象的境地.在方法上,概率论更注重概念的理解,而这正是习惯于算法学习的学生所欠缺的;另一方面,学生都是在因果观的环境中成长起来的,因此在首次学习处理不确定性的概率论时,感到难以理解也就不足为怪了. 概率论既是一门核心数学学科,更是观测世界的一种基本方法.作为科学探索的特色方法,其显著功效已引起概率理论在科学研究中的爆炸性增长.概率思想是统计学的理论基础,是物理学、遗传学和信息论的重要工具,是金融学、地球科学、神经学、人工智能和通讯网络等学科的常用方法.然而概率论的思想又很微妙,即使今天仍未被很好地理解.因此,对概率思想的研究已成为数学家和数学史家关注的热点之一. 2007年1月,王幼军在其博士论文的基础上,做了进一步的充实和改进,出版了《拉普拉斯概率理论的历史研究》,该书是中国第一部概率论史研究专著,由此拉开了我国对概率论思想发展史研究的帷幕. 《拉普拉斯概率理论的历史研究》全书分成6章,内容为2个独立专题:前5章是对拉普拉斯概率论理论的历史研究,以拉普拉斯的《分析概率论》为中心,探讨了拉普拉斯概率理论的来龙去脉和科学影响;最后一章通过详细考证,确认中文的第一部概率论译著———《决疑数学》的底本应是Thomas Galloway 在《大英百科全书》第8版(1859)中所作“概率论”一文,并从拉普拉斯概率论发展的历史背景出发,全面地论述了《决疑数学》的背景、风格、观点、内容安排,以及《决疑数学》对中国概率论发展的影响[1]. 李文林称王幼军的《拉普拉斯概率理论的历史研究》“对原始文献的掌握与使用”和“运用现代数学理论 与方法,分析考察拉普拉斯的概率论底本”(原书序一)值得称道,该书“无论对于科学史探讨或现实的概率论 研究和教学来说都体现出数学史研究的价值”.江晓原称其曾“受到国内数学界权威人士的很高评价”,是“令 人欣喜的新成果” (原书序二),诚哉斯言.1　近现代数学史研究的困窘 正如科学史研究领域所面对的问题一样,在数学史的研究领域中,诸如为什么要研究数学史、谁需要数学史、数学史究竟是干什么的、数学史该往何处去,这些问题也是每个数学史研究者难以回避的问题. 20世纪中国数学史的研究经历了两次高潮,分别是在李俨和钱宝琮、吴文俊等学者的倡导下,先后发起的以“发现”和“复原”为主题的两次运动.第一次运动中,“发现”意味着破解历史上都做出了什么样的数学,数学史家们必须从原始文献中找寻;在吴文俊发起的以“复原”为主题的第二次运动中,数学史家所关注的问

(完整word版)概率论与数理统计教程习题(大数定律与中心极限定理)

习题10（切比雪夫不等式） 一．填空题 1. 设随机变量X 的数学期望μ=)(X E ，方差2 )(σ=X D ，则由切比雪夫不等式，得 ≤≥-)3(σμX P . 2. 随机掷6枚骰子，用X 表示6枚骰子点数之和，则由切比雪夫不等式，得≥<<)2715(X P . 3. 若二维随机变量),(Y X 满足，2)(-=X E ，2)(=Y E ，1)(=X D ，4)(=Y D ， 5.0),(-=Y X R ，则由切比雪夫不等式，得≤≥+)6(Y X P . 4. 设ΛΛ,,,,21n X X X 是相互独立、同分布的随机变量序列，且0)(=i X E ，)(i X D 一致有界),,,2,1(ΛΛn i =，则=<∑=∞ →)( lim 1 n X P n i i n . 二．选择题 1. 若随机变量X 的数学期望与方差都存在，对b a <，在以下概率中，（ ）可以由切比雪夫不等式进行取值大小的估计。 ①)(b X a P <<； ②))((b X E X a P <-<； ③)(a X a P <<-； ④))((a b X E X P -≥-. 2. 随机变量X 服从指数分布)(λe ，用切比雪夫不等式估计≤≥ -)1 (λ λX P （ ）. ①λ； ②2 λ③4 λ； ④ λ 1 . 三．解答题 1. 已知正常男性成年人的血液里，每毫升中白细胞含量X 是一个随机变量，若7300)(=X E ， 2700)(=X D ，利用切比雪夫不等式估计每毫升血液中白细胞含量在5200至9400之间的概率。 2. 如果n X X X ,,,21Λ是相互独立、同分布的随机变量序列，μ=)(i X E ，

概率论中的大数定律及中心极限定理

概率论中的大数定律及中心极限定理 唐南南 摘要 概率论是从数量上研究随机现象的规律的学科，概率论的特点是先提出数学模型，然后去研究它的性质，特点和规律。它在自然科学，技术科学和社会科学等科学中有广泛的应用。而大数定律和中心极限定理的内容是概率论中极限理论极为重要的一部分内容。在这篇文章中，我们从贝努力试验中的频率出发，讨论了独立随机变量和分布的极限问题。在一定条件下，这些分布弱收敛于退化分布，这就是大数定律。在另一些条件下，这些分布弱收敛于N(0,1)分布,这一类收敛于N(0,1)分布的定理统称为中心极限定理.大数定律说明了随机现象都具有稳定性而中心极限定理是研究相互独立随机变量序列{}i x 的部分和∑== n i i n x S 1 的分布，在适当条件下向正态分布收放的问题。在这篇文章 里，我们只介绍了一些定理的提出，内容以证明以及在其他学科上的应用，而大数定律和中心极限定理还有许多更深入，更广泛的内容，限于篇幅这里就不再介绍了。掌握定理的结论是重要的，这些结论一方面使频率稳定于概率，n 次观察的算术平均值稳定于数学期望都有了明确的含义和理论依据；另一方面，又将给数理统计中大样本的统计推断等提供理论依据。 关键词 大数定律 中心极限定理 随机现象 随机变量 引言 大数定律和中心极限定理是概率论中重要的一部分内容，但对读者来说，多数人对于这部分内容感到很难掌握，这篇文章就是对这部分内容进行浅入的分析，但对其内容进行详细的说明，而且进行了归纳性的总结，指出了各定律之间的联系及其差别，希望通过本篇文章内容的介绍，能使读者对于这部分知识有一个清晰的印象，能整体地把握这部分内容。 一 、大数定律 （一）、问题的提法（大数定律的提法） 重复实验中事件的频率的稳定性，是大量随机现象的统计规律性的典型表现。人们在实践中认识到频率具有稳定性，进而由频率的稳定性预见概率的存在；由频率的性质推断概率的性质，并在实际应用中（当n

大数定理和中心极限定理

大数定理 概率论历史上第一个极限定理属于伯努利，后人称之为“大数定律”。概率论中讨论随机变量序列的算术平均值向常数收敛的定律。概率论与数理统计学的基本定律之一，又称弱大数理论。 发展历史 1733年，德莫佛—拉普拉斯在分布的极限定理方面走出了根本性的一步，证明了二项分布的极限分布是正态分布。拉普拉斯改进了他的证明并把二项分布推广为更一般的分布。1900年，李雅普诺夫进一步推广了他们的结论，并创立了特征函数法。这类分布极限问题是当时概率论研究的中心问题，卜里耶为之命名“中心极限定理”。20世纪初，主要探讨使中心极限定理成立的最广泛的条件，二三十年代的林德贝尔格条件和费勒条件是独立随机变量序列情形下的显著进展。伯努利是第一个研究这一问题的数学家，他于1713年首先提出后人称之为“大数定律”的极限定理。 表现形式 大数定律有若干个表现形式。这里仅介绍高等数学概率论要求的常用的三个重要定律：?切比雪夫大数定理 设 是一列两两不相关的随机变量，他们分别存在期望 和方差 。若存在常数C使得： 则对任意小的正数ε，满足公式一： 将该公式应用于抽样调查，就会有如下结论：随着样本容量n的增加，样本平均数将接近于总体平均数。从而为统计推断中依据样本平均数估计总体平均数提供了理论依据。 ?伯努利大数定律 设μ是n次独立试验中事件A发生的次数，且事件A在每次试验中发生的概率为P，则对任意正数ε，有公式二： 该定律是切比雪夫大数定律的特例，其含义是，当n足够大时，事件A出现的频率将几乎接近于其发生的概率，即频率的稳定性。 在抽样调查中，用样本成数去估计总体成数，其理论依据即在于此。 ?辛钦大数定律

概率论与数理统计：中心极限定理

中心极限定理 无论随机变量12,,,, n X X X 服从什么分布，当n 充分大时，其和的极限分布是正 态分布，这就是我们今天要讲的中心极限定理。 定理 5.5（独立同分布中心极限定理）设随机变量12,,,,n X X X 相互独立,服从同一 分布,且具有数学期望和方差2 (),()0,i i E X D X μσ==>1,2,i =,则随机变量之和1 n i i X =∑的标 准化变量 n i n X n Y μ -= ∑ 的分布函数()n F x 对于任意X 满足 2/2lim ()lim d ()n i x t n n n X n F x P x t x μΦ-→∞→∞ ?? -??? =≤==????? ∑? 定理 5.5表明,对于均值为,μ方差为2 0σ>的独立同分布的随机变量的和1 n i i X =∑的标准 化随机变量,不论12,,,, n X X X 服从什么分布,当n 充分大时,都有 ~(0,1)n i n X n Y N μ-= ∑近似 , 从而,当n 充分大时 21 ~(,)n i i X N n n μσ=∑近似. 定理5.5′ 设随机变量列12,,,,n X X X 相互独立,服从同一分布,且具有数学期望和方差2(),()0,i i E X D X μσ==>1,2, i =,令1 1n n i i X X n == ∑,则当n 充分大时 ~(0,1)N 近似 ,即2~(,/)n X N n μσ近似. 例5.3 一盒同型号螺丝钉共有100个,已知该型号的螺丝钉的重量是一个随机变量,期望值是100 g,标准差是10 g,求一盒螺丝钉的重量超过10.2 kg 的概率. 解 设i X 为第i 个螺丝钉的重量,,100,,2,1 =i Y 为一盒螺丝钉的重量,则

概率统计作业解答

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. 《概率论与数理统计》作业解答 第一章 概率论的基本概念习题（P24-28） 1. 写出下列随机试验的样本空间S ： (1) 记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）. (2) 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数. (3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”.如连续查出了2件次品，就停止检查，或检查了4件产品就停止检查. 记录检查的结果. (4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标. 分析 要写出随机试验的样本空间，就要明确所有的样本点，即随机试验时直接产生的所有可能的结果. 解 (1) 我们考察一个班数学考试平均分的所有可能. 为此，我们先明确平均分的计算：全班的总分除以班级学生数. 设该班有n 个学生，则全班总分的所有可能为0到100n 的所有整数i . 其平均分为i n . 故，所求样本空间为：:1,2,,100i S i n n ??==??????? . (2) 由已知，生产的件数至少为10（刚开始生产的10件均为正品），此后，可以取大于等于10的所有整数. 故所求样本空间为：{}10,11,12,S =???. (3) 若记0＝“检查的产品为次品”，1＝“检查的产品正品”，0，1从左到右按检查的顺序排列，则所求样本空间为： (5) 所求样本空间为：{} 22(,):1S x y x y =+< 2. 设,,A B C 为三个事件，用,,A B C 的运算关系表示下列各事件： (1) A 发生，B 与C 不发生. (2) A 与B 都发生，而C 不发生.

哈工大概率论课程论文

哈尔滨工业大学 课程论文概率论与数理统计的发展与应用 课程名称概率论与数理统计姓名 学院英才学院 专业电气工程及其自动化班级 学号 指导教师王勇 日期2014年12月11日

[摘要]：通过本学期概率论与数理统计这门课的学习，我基本掌握了基本的概率知识，这对于自己以后的发展和创新有着很大的帮助。本文将根据自己的学习心得，概率论的历史、发展和主要内容，应用方向，课程感悟等四个方面来阐述我对本门课的总结。 [关键词]：概率论数理统计生产发展主要内容应用方向

概率论与数理统计是研究随机现象规律性的一门科学。前者是从数学观点研究随机现象的基本性质，后者从搜集到的随机数据，估计或推断随机现象的基本特性。 一：概率论与数理统计的起源与发展 1、概率论 概率论起源于对赌博问题的研究。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们的研究除了赌博外还与当时的人口、保险业等有关，但由于卡丹等人的思想未引起重视，概率概念的要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。 概率论的早期研究大约在十六世纪到十一七世纪之间。(若考虑到概率与统计在早期难于区分的辜实，它的历史可远溯到许多世纪之前。根据科学史记载，在1390年就有人讨论过掷般子的问题，若把文明古国的抽签活动也加以考虑，还可有更早的史料。)这段期间，欧洲进入文艺复兴时期，工业革命已开始蔓延。伴随工业发展提出的误差问题，伴随航海事业发展产生的天气预报问题，伴随商业发展而产生的贸易、股票、彩票和银行、保险公司等，加之人们越来越需要了解的患病率、死亡率、灾害规律等问题，急需创立一门分析研究随机现学学科。概享论应社会实践的需要出现了。 在这个时期，意大利著名物理学家伽俐略就曾对物理实验中出现的误差进行了科学的研究，把误差作为一种随机现象，并估计了他们产生的概率。十八世纪，概率论发展很快，几乎初等概率的全部内容都在这个期间形成。在这个期间，概率论工作者已经不是孤立地、静止地研究事件发生的概率，而是把随机现象视为一种特殊的变量——随机变量。随机变量的引入，数学家如鱼得水，他们利用各种数学工具，研究随机变量的分布，从而使概率论的研究得到了一次飞跃。在整个十八世纪和十九世纪初叶，概率论风行一时。但是，由于一些学者过分夸大了它的作用，许多人企图把它应用到诸如诉讼之类的“精神”或“道德”的科学上去，遭到了失败。这以后，欧洲的一些数学家认为概率论只是一种数学游戏，不可能有重大的具有科学根据的应用。甚至概率论在气体动力论、误差论、射击论等方面的卓有成效的应用也因此而受到忽视。这些错误后来被形容为“数学诞语”，导致概率论的发展在西欧较长的一段时间(十九世纪下半叶)出现停滞。虽然概率论在这段时期走了一段弯路，但它的发展仍是主流。在这个时期，概率论工作者较好地应用数学工具，使概率论的理论更加严密，基本上完成了概率论作为数学的一个分支应具备的条件。二十世纪以来，由于公理化体系的建立，使得概率论的理论更加完备。另外，极限理论的研究取得了一系列的结果。随机过程，数理统计从概率论中独立出来，成为两门生命力极强的新学科。概率的应用性越来越显示出来，产生了应用概率的研究分支，并由此滋生出许多分支。概率论与其它学科相结合，又出现了不少边缘学科。

概率论和数理统计知识点与练习题集

第一章概率论的基本概念 §概率的定义 一、概率的性质 （1）1 P. ≤A ) ( 0≤ （2）0 ) P，1 φ (= P. S ) (= （3）()()()() P A B P A P B P AB. ?=+- （4）) A P- =. P (A ( 1 ) （5）) P A B B A = P P- -.特别地，若A = ( ) ( ) ( P (AB ) A B?，-，) = P- ( ) B P A P≥. (A ( B ( ) ) ) P A P (B 例设,A B为随机事件, ()0.4,()0.3 P A B ?= P A P B A，则()_____. =-= 解：,3.0 A P B B P()()()()0.7 P A B P A P B P AB ?=+-= P -AB ( ) ( ) (= = - )

§ 条件概率 一、 条件概率 定义 设B A ,是两个事件，且0)(>A P ，称)|(A B P = ) () (A P AB P 为在事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率。 二、全概率公式 全概率公式：12,,,n A A A 为样本空间S 的一个事件组，且满足： （1）12,, ,n A A A 互不相容，且),,2,1(0)(n i A P i =>; (2) 12?? ?=n A A A S . 则对S 中的任意一个事件B 都有 ) ()()()()()()(2211n n A B P A P A B P A P A B P A P B P +++=

例设有一仓库有一批产品，已知其中50%、30%、20%依次是甲、乙、丙厂生产的，且甲、乙、丙厂生产的次品率分别为20 1 ,151,101，现从这批产品中任取一件，求取得正品的概率 解 以1A 、2A 、3A 表示诸事件“取得的这箱产品分别是甲、乙、丙厂生产”；以B 表示事件“取得的产品为正品”，于是： ;20 19 )|(,1514)|(,109)|(,0102)(,103)(,105)(321321====== A B P A B P A B P A P A P A P 按全概率公式 ，有： 112233()(|)()(|)()(|)() =++P B P B A P A P B A P A P B A P A 92.010 2 20191031514105109=?+?+?= 三、 贝叶斯公式 设B 是样本空间S 的一个事件，12,,,n A A A 为S 的一个事件组， 且满足：（1）12,, ,n A A A 互不相容，且),,2,1(0)(n i A P i =>; (2) 12?? ?=n A A A S . 则 ) ()()()()()()() ()|(11n n k k k k A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P ++= = 这个公式称为贝叶斯公式。 例：有甲乙两个袋子，甲袋中有4个白球，5个红球，乙袋中有4个白球，4个红球．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，

概率论论文-浅谈中心极限定理

浅谈中心极限定理 摘要：中心极限定理的产生具有一定的客观背景，最常见的是林德伯格-莱维中心极限定理和棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理。它们表明了当n 充分大时，方差存在的n 个独立同分布的随机变量和近似服从正态分布，在实际中的应用相当广泛。本文讨论了中心极限定理的内涵及其在生活实践中的应用。 关键词：中心极限定理；正态分布；生活中的应用。 引言：在实际问题中，常常需要考虑许多随机因素所产生的总的影响，如测量误差、炮弹 射击的落点与目标的偏差等。同时许多观察表明，若一个随机变量是由大量相关独立的随机因素的综合影响所构成的，而其中每一个随机因素的单独作用是微小的，则这样的随机变量通常是服从或近似服从正态分布。这种现象就是中心极限定理产生的客观背景。 在概率论与数理统计中，中心极限定理是非常重要的一节内容，而且是概率论与数理统计之间承前启后的一个重要纽带。王勇老师讲到中心极限定理时，曾非常激动地说这个定理一被提出便震惊了全世界，而且重复了数遍。由此足以见得中心极限定理的重要性。 目前我们研究的是独立同分布条件下的中心极限定理： 林德伯格-莱维中心极限定理：设 {}n X 是独立同分布的随机变量序列，且 )(,)(2>==σμi i X Var X E 存在，若记 n n X Y n i i n σμ -= ∑=1 则对任意实数y ，有 {}? ∞ --∞ →=Φ=≤y t n n t y y Y P .d e π21)(lim 2 2 这个中心极限定理是由林德伯格和莱维分别独立的在1920年获得的，定理告诉我们， 对于独立同分布的随机变量序列，其共同分布可以是离散分布，也可以是连续分布，可以是正态分布，也可以是非正态分布，只要其共同分布的方差存在，且不为零，就可以使用该定理的结论。只有当n 充分大时, n Y 才近似服从标准正态分布)1,0(N ，而当n 较小时，此种 近似不能保证。也就是说，在n 充分大时，可用)1,0(N 近似计算与n Y 有关事件的概率，而 n 较小时，此种计算的近似程度是得不到保障的。当 ) 1,0(~N Y n 时，则有 ) , (~),,(~2 2 1 n N X n n N X n i i σμσμ∑=。 现如今旅游、汽车等行业越来越受欢迎。在这些行业中就会用得到中心极限定理。 例如，某汽车销售点每天出售的汽车服从参数为λ=2的泊松分布，若一年365天都经

最新概率论的起源和发展简史

概率论地起源和发展简史 1引言 现实世界中形形色色地自然现象、社会现象大致可分为两类：一类是事先能确定其结果地现象，即确定性现象，如今天太阳必然会落下去，同性电荷互相排斥等。另一类是事先不能确定其结果地现象为随机现象,这类现象地可能结果不会是一种,如同品种种子播种到肥力均匀地田地里,每粒种子是否发芽、掷一枚骰子,可能结果有6种等，这种随机现象是否有规律,便成为数学研究中地一个问题。概率论就是运用数学方法研究随机现象统计规律性地一门数学学科。概率, 简单地说,就是随机现象出现地可能性大小地一种度量。 2 概率论地起源和发展简史 概率论同其他数学分支一样，是在一定地社会条件下，通过人类地社会实践和生产活动发展起来地一种智力积累．它发源于17世纪中叶,并且是与惠根斯、巴斯加尔、及雅谷、贝努里诸人地名字分不开地。对概率论地兴趣,本来是由于保险事业地发展而产生地,但刺激数学家思考概率论地一些特殊问题却是来自赌博者地请求。《论赌博中地计算》一书,这是概率论最早地论著。概率论虽然起于17世纪,但为此准备基础却是较早地事。例如卡当在其《论赌博》一书中已计算了掷两颗或三颗骰子时在一切可能方法中有多少方法得到某一总点数。17、18世纪之交,有不少数学家从事概率地研究,伯努里地巨著《猜度术》是一项重大地成就,其中包含概率论中地“伯努里定理”,这是“大数定律”地最早形式。 德莫瓦佛地《机会地学说》包含“德莫佛—拉普拉斯定理”。在概率论地系统理论产生之前,许多数学家已认识到了很多实际问题中地随机变量都是由大量相互独立因素综合影响形成地。而其中每一个个别地因素在总地影响中地作用都是很

微小地,这样形成地随机变量往往近似服从正态分布,从理论上来证明这个事实是一个中心问题,概率论就是围绕这个中心发展起来地。 2.1概率论地起源 概率论起源于对赌博问题地研究。早在16世纪，意大利学者卡丹与塔塔里亚等人就已从数学角度研究过赌博问题。他们地研究除了赌博外还与当时地人口、保险业等有关，但由于卡丹等人地思想未引起重视，概率概念地要旨也不明确，于是很快被人淡忘了。 点数问题地圆满解决标志着概率论地创立.所谓点数问题是:A,B赌博,其技巧相当,约定谁先胜s局则获全部赌金.若当A胜s1局而B胜s2局时(s1s2则A除取回自己赌金还要取B赌金地(s1-s2)/s.假设二人地赌金相等,则分配比例为[s+(s1-s2)]/[s-(s1-s2)]。1603年,弗雷斯坦尼给出分配规则:首先A和B各按s1/(2s-1)和s2/(2s-1)地比例来分配赌金,然后再把余下地赌金平均分配,其分配比就是把塔塔利亚结果中地s代换成2s-1. 在这些求解中,只有卡尔达诺意识到分配原则不应依赖于(s,s1,s2)而应和赌徒离全胜所 差地局数a=s-s1和b=s-s2有关[2]. 为解决点数问题,帕斯卡与费马在1654年7月-10月通信七封.在7月29日帕斯卡写给费马地信中,圆满解决了点数问题.故概率论史家视其为概率论诞生地日子[3].

概率统计作业解答

《概率论与数理统计》作业解答 第一章 概率论的基本概念习题（P24-28） 1. 写出下列随机试验的样本空间S ： (1) 记录一个班一次数学考试的平均分数（设以百分制记分）. (2) 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数. (3) 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”.如连续查出了2件次品，就停止检查，或检查了4件产品就停止检查. 记录检查的结果. (4) 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标. 分析 要写出随机试验的样本空间，就要明确所有的样本点，即随机试验时直接产生的所有可能的结果. 解 (1) 我们考察一个班数学考试平均分的所有可能. 为此，我们先明确平均分的计算：全班的总分除以班级学生数. 设该班有n 个学生，则全班总分的所有可能为0到100n 的所有整数i . 其平均分为 i n . 故，所求样本空间为：:1,2,,100i S i n n ??==??????? . (2) 由已知，生产的件数至少为10（刚开始生产的10件均为正品），此后，可以取大于等于10的所有整数. 故所求样本空间为：{}10,11,12,S =???. (3) 若记0＝“检查的产品为次品”，1＝“检查的产品正品”，0，1从左到右按 检查的顺序排列，则所求样本空间为： {}00,100,0100,0101,0110,0111,1010,1011,1100,1101,1110,1111S = (5) 所求样本空间为：{ } 22 (,):1S x y x y =+< 2. 设,,A B C 为三个事件，用,,A B C 的运算关系表示下列各事件：

浅谈概率论的发展(1)

浅谈概率论的发展 摘要：概率论是一门研究随机现象的数学规律的学科。它起源于十七世纪中叶数学家们对机遇赌博问题的思考。德·梅勒、帕斯卡、费尔马等人首先对这个问题进行了研究与讨论，后来伯努利提出了大数定律，高斯和泊松进行了进一步的推理论证; 在测度论和实变函数的基础上，概率论得到公理化，并通过集合论与其它数学分支密切地联系起来; 在公理化的基础上，现代概率论取得了一系列突破。到现在，概率论已发展成为一门与实际紧密相连的理论严谨的数学科学，对我们的生产生活产生着深刻的影响。 关键词：概率论; 发展; 起源; 公理化; 应用 0引言 十九世纪法国著名数学家拉普拉斯在《分析概率论》写道，“从本质上讲，概率论只是将普通的感觉精炼为计算，它使我们可以精准地欣赏到一个理性头脑的感觉，这种感觉来自本能，且经常无法解释。最令人惊奇的是，概率论这样一门起源于机遇赌博研究的学科，居然会成为人类知识最重要的研究对象。在我们的大部分生活中，最重要的问题真的仅仅是概率问题[1]”。能够将普通的不确定的感觉精炼为准确的计算，我想这正是概率论的魅力所在，概率论也不可替代地成为了人类知识最重要的研究对象。本文主要从概率论的起源、公理化、进一步发展和应用等方面来阐述对概率论的一些理解。 1概率论的起源 数学概率论的起始的标志是人们对“点问题”的解法的探求[2]。所谓的“点问题”是指当游戏在完成前被终止时，怎样处理两名技能相当的游戏者的赌金分配问题，其依据是游戏者的得分数或者是游戏终止时的点数。意大利的帕乔利早在1494年出版的《算术书》一书中，就提到了赌博中常常遇到的“点问题”。卡尔达诺和他的对手塔塔利亚都讨论过这个问题。然而，他们对这一问题得出的结论都不正确。直到一百多年后的1654年，法国人德·梅勒把这个问题寄给了当时的数学天才帕斯卡。德·梅勒的问题是：“德·梅勒和他的一个朋友每人出30个金币，两人各自选取一个点数，谁选择的点数首先被掷出3次，谁就赢得

《概率论与数理统计》习题 第五章 数理统计的基本概念

第五章 数理统计的基本概念 一. 填空题 1. 设X 1, X 2, …, X n 为来自总体N(0, σ2 ), 且随机变量)1(~) (22 1 χ∑==n i i X C Y , 则常数 C=___. 解. ∑=n i i X 1 ~ N(0, n σ2 ), )1,0(~1 N n X n i i σ ∑= 所以 2 1,1σ σ n c n c = = . 2. 设X 1, X 2, X 3, X 4来自正态总体N(0, 22)的样本, 且2 43221)43()2(X X b X X a Y -+-=, 则a = ______, b = ______时, Y 服从χ2分布, 自由度为______. 解. X 1－2X 2～N(0, 20), 3X 3－4X 4～N(0, 100) )1,0(~2022 1N X X -, )1,0(~1004343N X X - 20 1 ,20 1 = = a a ; 100 1,100 1 = = b b . Y 为自由度2的χ2分布. 3. 设X 1, X 2, …, X n 来自总体χ2(n)的分布, 则._____)(______,)(==X D X E 解. 因为X 1, X 2, …, X n 来自总体χ2(n), 所以 E(X i ) = n, D(X i ) = 2n (i = 1, 2, …, n) ,)(n X E = 22) ()(2 2 1=?= =∑=n n n n X D X D n i i 二. 单项选择题 1. 设X 1, X 2, …, X n 为来自总体N(0, σ2 )的样本, 则样本二阶原点矩∑==n i i X n A 1 2 21的方差为 (A) σ2 (B) n 2 σ (C) n 42σ (D) n 4 σ 解. X 1, X 2, …, X n 来自总体N(0, σ2), 所以