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立体几何平行,垂直的判定定理和性质定理-精选.

立体几何平行,垂直的判定定理和性质定理-精选.
立体几何平行,垂直的判定定理和性质定理-精选.

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两个平面平行的判定和性质

两个平面平行的判定和性质(一) ●教学目标 (一)教学知识点 1.两个平面的位置关系. 2.两个平面平行的判定方法. (二)能力训练要求 1.等价转化思想在解决问题中的运用. 2.通过问题解决提高空间想象能力. (三)德育渗透目标 1.渗透问题相对论观点. 2.通过问题的证明寻求事物的统一性. ●教学重点 两个平面的位置关系;两个平面平行的判定. ●教学难点 判定定理、例题的证明. ●教学方法 启发式 在启发、诱思下逐步完成定理的证明过程. 平面的位置关系也需以实物(教室)为例,启发诱思完成.通过师生互议,解决例1问题. ●教具准备 投影片两张 第一张:(记作§9.5.1 A) 第二张:(记作§9.5.1 B)

●教学过程 Ⅰ.复习回顾 师生共同复习回顾,线面垂直定义,判定定理. 性质定理:归纳小结线面距离问题求解方法,以及利用三垂线定理及其逆定理解决问题. 立体几何的问题解决:一是如何将立体几何问题转化成平面几何问题;二是数学思想方法怎样得到充分利用、渗透,这些都需在实践中进一步体会. 下面继续研究面面位置关系. Ⅱ.讲授新课 1.两个平面的位置关系 除教材上例子外,我们以所在教室为例,观察面与面之间关系. [师]观察教室前、后两个面,左、右两个面及上、下两个面都是平行的,而其相邻两个面是相交的.[师]打开教材竖直放在桌上,其间有许多个面,它们共同点是都经过一条直线.观察教室的门与其所在墙面关系,随着门的开启,门所在面与墙面始终有一条公共线.结合生观察教室的结论,引导其寻找平面公共点,然后给出定义. 定义:如果两个平面没有公共点,我们就说这两个平面互相平行. 如果两个平面有公共点,它们相交于一条公共直线. 两个平面的位置关系只有两种: (1)两个平面平行——没有公共点; (2)两个平面相交——有一条公共直线. [师]两个平面平行,如平面α和平面β平行,记作α∥β. 下面给出两个示意图,同学们考虑哪个较直观? [生]图(1)较直观,图(2)不直观. [师]从以上两种画法,告诉我们画图过程中应注意什么?图(2)为何不直观?

立体几何公理及定理

立体几何公理及定理 一、空间点、线、面之间的关系 1、两条直线的位置关系有: 2、两个平面的位置关系有: 公理1、如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内。 公理2、过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面。 推论1、一组平行直线确定唯一一个平面。 推论2、一条直线及直线外一点确定唯一一个平面。 公理3、如果有两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 公理4(平行公理)、平行于同一直线的两直线平行。 二、平行关系 直线与平面平行的判定定理: 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行。 直线与平面平行的性质定理: 一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平行。 平面与平面平行的判定定理: 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行。 平面与平面平行的性质定理: 1、如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 2、两平面平行,其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3、夹在两个平行平面间的平行线段相等。 4、平行于同一平面的两个平面平行。 三、垂直关系 直线与平面垂直的判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直。 直线与平面垂直的性质定理: 1、垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 2、如果一条直线垂直一个平面,那么这条直线垂直于平面内的所有直线。 平面与平面垂直的判定定理: 如果一个平面过另一个平面的垂线,那么这两个平面垂直。 平面与平面垂直的性质定理: 如果两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 三角公式汇总 一、任意角的三角函数 1. ①与α终边相同的角的集合(角α与角β的终边重合):{} Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合: {} Z k k ∈?=,180| ββ

高中立体几何八大定理

线面位置关系的八大定理 、直线与平面平行的判定定理: 文字语言:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则这条直线与平面平行图形语言:符号语言: a u a b u o alia a//b 作用:线线平行=线面平行 二、直线与平面平行的性质定理: 文字语言:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线就和交线平行。 图形语言: I//: 符号语言:I u E l //m a o P = m 作用:线面平行=线线平行 、平面与平面平行的判定定理文字语言:如果一个平面内有两条相交直 线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 图形语言: 符号语言: a u a b u a aPlb = Au a//P a// P b/厂 作用:线线平行=面面平行四、平面与平面平行的性质定理: 文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交图形语言: ?// P 符号语言:「二a = a//b Y =b“ 作用:面面平行=线线平行,那么所得的两条交线平行

图形语言: 符号语言: a 丄m a 丄n :a _ : m 「n 二 A m 二二,n 二: 作用:线线垂直=线面垂直 a / * 六、直线与平面垂直的性质定理: 文字语言:若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行 图形语言: 符号语言: a - :■ 匕 a//b b -:- 作用:线面垂直=线线平行 七、平面与平面垂直的判定定理: 文字语言:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直。 图形语言: 一 a 丄a 〕 任 符号表示: _ ■ a u Pj 注:线面垂直 =?面面垂直 八、平面与平面垂直的性质定理: 文字语言:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另 个平面 图形语言: 符号语言: a 1 P l AB : AB _丨 作用:面面垂直=线面垂直 五、直线与平面垂直的判定定理: 文字语言:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,

27.命题、证明及平行线的判定定理(提高)知识讲解

命题、证明及平行线的判定定理(提高)知识讲解 【学习目标】 1.了解定义、命题的含义,会区分命题的条件(题设)和结论; 2.体会检验数学结论的常用方法:实验验证、举出反例、推理; 4.了解公理和定理的定义,并能正确的写出已知和求证,掌握证明的基本步骤和书写格式; 5.掌握平行线的判定方法,并能简单应用这些结论. 【要点梳理】 要点一、定义与命题 1.定义:一般地,用来说明一个名词或者一个术语的意义的句子叫做定义. 要点诠释: (1)定义实际上就是一种规定. (2)定义的条件和结论互换后的命题仍是真命题. 2.命题:判断一件事情的句子叫做命题. 真命题:正确的命题叫做真命题. 假命题:不正确的命题叫做假命题. 要点诠释: (1)命题的结构:命题通常由条件(或题设)和结论两部分组成.条件是已知事项,结论是由已知事项推出的事项,一般地,命题都可以写成”如果……那么……”的形式,其中“如果”开始的部分是条件,“那么”后面是结论. (2)命题的真假:对于真命题来说,当条件成立时,结论一定成立;对于假命题来说,当条件成立时,不能保证结论正确,即结论不成立. 要点二、证明的必要性 要判断一个命题是不是真命题,仅仅依靠经验、观察、实验和猜想是不够的,必须一步一步、有根有据地进行推理.推理的过程叫做证明. 要点三、公理与定理 1.公理:通过长期实践总结出来,并且被人们公认的真命题叫做公理. 要点诠释:欧几里得将“两点确定一条直线”等基本事实作为公理. 2.定理:通过推理得到证实的真命题叫做定理. 要点诠释: 证明一个命题的正确性要按已知、求证、证明的顺序和格式写出.其中“已知”是命题的条件,“求证”是命题的结论,而“证明”则是由条件(已知)出发,根据已给出的定义、公理、已经证明的定理,经过一步一步的推理,最后证实结论(求证)的过程. 要点四、平行公理及平行线的判定定理 1.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行. 推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. 要点诠释: (1)平行公理特别强调“经过直线外一点”,而非直线上的点,要区别于垂线的第一性质. (2)公理中“有”说明存在;“只有”说明唯一. (3)“平行公理的推论”也叫平行线的传递性. 2.平行线的判定定理

高中数学立体几何判定定理及性质

高中立体几何判定定理及性质 一、公理及其推论 文字语言符号语言图像语言作用公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 α α α ? ? ∈ ∈ ∈ ∈ l B A l B l A, , ,①用来验证直线 在平面内; ②用来说明平 面是无限延展的 公理2 如果两个平面 有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。 (那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线) l l P ∈ = ? ? ? ∈ P 且 β α β α ①用来证明两 个平面是相交关 系; ②用来证明多 点共线,多线共 点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 确定一个平面 不共线 C B A C B A , , , , ? 用来证明多点共 面,多线共面 推论1 经过一条直线和这 条直线外的一点,有且只有一个平面 α α α α ? ∈ ? ? a A A , 使 ,有且只有一个平面 推论2 经过两条相交直 线,有且只有一个平面 α α α ? ? ? = ? b a P b a , 使 ,有且只有一个平面 推论3 经过两条平行直 线,有且只有一个平面 α α α ? ? ? b a b a , 使 ,有且只有一个平面 ∥ 公理4 (平行公理) 平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥ ∥ ∥ ? ? ? ?用来证明线线平 行

二、平行关系 文字语言符号语言图像语言作用(1)公理4 (平行 公理) 平行于同一条直线的两条直线平行 c a c b b a ∥∥ ∥ ? ? ? ? (2)线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 αα α∥∥ a b a b a ? ? ? ? ? ? ? ? (3)线面平行的性 质定理 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行。 b a a b b ∥∥ ? ? ? ? ? ? ? = ? β β α β (4)面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. β α α α β β ∥∥ ∥ ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? = ? b a O b a b a (5)面面平行 的判定如果两个平面垂直于同一条直线,那么这两个平面平行。 β α β α ∥ ? ? ? ? ⊥ ' ⊥ ' O O O O (6)面面平行 的性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行。 b a b a∥∥ ? ? ? ? ? ? = ? = ? γ β γ α β α (7)面面平行 的性质如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直 βα β α ∥∥ a a ? ? ? ? ?

线面平行的判定定理和性质定理

线面平行的判定定理和性质定理 教学目的: 1. 掌握空间直线和平面的位置关系; 2. 直线和平面平行的判定定理和性质定理,灵活运用线面平行的判定定理和性质定 掌握理实现“线线”“线面”平行的转化 教学重点:线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点:线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型:新授课 课时安排: 1 课时 教具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本节有两个知识点,直线与平面和平面与平面平行,直线与平面、平面与平面 平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3 节主要讨论空间的平行关系,其中平行线的传递性和平行平面的性质是 这三小节的重点 教学过程: 一、复习引入:

1 空间两直线的位置关系 ( 1 )相交;( 2 )平行;( 3)异面 2. 公理 4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式: a // b,b // c a // c . 3. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等 4. 等角定理的推论 : 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 ,那么这两条直线 所成的锐角 (或直角 )相等 . 5. 空间两条异面直线的画法 a b b D 1 C 1 b a a A 1 B 1 D C A B 6. .异面直线定理: 连结平面内一点与平面外一点的直线, 和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式: A , B ,l , B l AB 与 l 是异面直线 7. .异面直线所成的角: 已知两条异面直线 a, b ,经过空间任一点 O a b ′ 作直线 a // a, b // b , a , b 所成的角的大小与点 O 的选择无关,把 b O a , b 所成的锐角 (或直角) 叫异面直线 a, b 所成的角 (或夹角).为 了简便,点 O 通常取在异面直线的一条上 异面直线所成的角的范围: (0, ] 2 8. .异面直线垂直: 如果两条异面直线所成的角是直角, 则叫两条异面直线垂直. 两

立体几何判定定理与性质定理汇总学习资料

文字语言:平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号语言:α?a ,α?b ,且b a //α//a ?. 图形语言: 定理二(平面与平面平行的判定定理) 文字语言:一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行. 符号语言:β?a ,β?b ,P b a =I ,α//a ,α//b αβ//?. 定理三(直线与平面平行的性质定理) 文字语言:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行. 符号语言:α//a ,β?a ,且b =βαI b a //?. 图形语言: 证明:因为b =βαI ,所以α?b . 又因为α//a ,所以a 与b 无公共点. 又因为β?a ,β?b ,所以b a //. 定理四(平面与平面平行的性质定理) 文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行. 符号语言:βα//,a =γαI ,b =γβI b a //?. 图形语言: α b a α a α βa b αγ a b αβ

文字语言:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直. 符号语言:a c ⊥,b c ⊥,P b a =I ,α?a ,α?b α//c ?. 图形语言: 定理六(平面与平面垂直的判定定理) 文字语言:一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直. 符号语言:α⊥a ,β?a ,αβ⊥?. 图形语言: 定理七(直线与平面垂直的性质定理) 文字语言:垂直于同一平面的两条直线平行. 符号语言:α⊥a ,α⊥b b a //?. 图形语言: 定理八(平面与平面垂直的性质定理) 文字语言:对于两个相互垂直的平面,在一个平面内垂直交线的直线垂直另一平面. 符号语言:βα⊥,m =βαI ,β?a ,m a ⊥α⊥?a . 图形语言: αβa αb a βa m α

高中立体几何常用结论、定理

立体几何中的定理、公理和常用结论 一、定理 1.公理1如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内.若A∈l,B∈l,A∈α,B∈α,则l?α. 2.公理2如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线. P∈α,P∈α?α∩β=l,且P∈l. 3.公理3经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. 推论1经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面. 推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面. 4.异面直线的判定定理:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.(若a?α,A/∈α,B∈α,B/∈a,则直线AB和直线a是异面直线.) 5.公理4(空间平行线的传递性):平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.等角定理:如果一个角的两边和另一角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.7.定理:如果一条直线垂直于两条平行线中的一条直线,那么它也垂直于另一条直线.若b∥c,a⊥b,则a⊥c. 8.直线与平面平行的判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 若a?/α,b?α,a∥b,则a∥α. 9.直线与平面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行. 若a∥α,a?β,α?β=b,则a∥b. 10.直线与平面垂直的判定定理:如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直,这条直线和这个平面垂直. 若m?α,n?α,m?n=O,l⊥m,l⊥n,则l⊥α. 11.:若两条平行直线中的一条垂直于一个平面,那么另一条直线也和这个平面垂直.若a∥b,a⊥α,则b⊥α. 12.直线与平面垂直的性质定理:若两条直线同时垂直于一个平面,那么这两条直线平行.若a⊥α,b⊥α,则a∥b. 13.平面与平面平行的判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 若a?α,b?α,a?b=A,a∥β,b∥β,则α∥β. 14.平面与平面平行的性质定理:如果两个平行平面同时与第三个平面相交,那么它们的交线平行. 若α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则a∥b. 15.定理:如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.若α∥β,a⊥α,则a⊥β. 16.两个平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直. 若l⊥α,l?β,则α⊥β. 17.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 若α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l,则a⊥β. 18.两个平面垂直的性质定理:如果两个平面互相垂直,那么过一个平面内一点且垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.

七年级下册平行线的判定定理习题精选

七年级下册第五章 相交线与平行线的判定定理及应用 1.两直线相交所成的四个角中,有一条公共边,它们的另一边互为反向延长线,具有这 种关系的两个角,互为_____________. 2.两直线相交所成的四个角中,有一个公共顶点,并且一个角的两边分别是另一个角两 边的反向延长线,具有这种关系的两个角,互为__________.对顶角的性质:______ _________. 3.两直线相交所成的四个角中,如果有一个角是直角,那么就称这两条直线相互_______. 垂线的性质:⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中,_______________. 4.直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做________________________. 5.两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中,⑴如果两个 角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做___________ ;⑵如果两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做____________ ;⑶如果两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做_______________. 6.在同一平面内,不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关 系只有________与_________两种. 7.平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线______. 推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么_____________________. 8.平行线的判定:⑴两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平 行.简单说成:_____________________________________.⑵两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成: ________________________________________.

立体几何公理、定理推论汇总74915

立体几何公理、定理推论汇总 一、公理及其推论 公理 1 如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内。 符号语言:,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈?? 作用: ① 用来验证直线在平面内; ② 用来说明平面是无限延展的。 公理 2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线。(那么它们有且只有一条通过这个公共点的公共直线) 符号语言:P l P l αβαβ∈?=∈I I 且 作用:① 用来证明两个平面是相交关系; ② 用来证明多点共线,多线共点。 公理3 经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。 符号语言:,,,,A B C A B C ?不共线确定一个平面 推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面。 符号语言:A a A a a αα??∈?有且只有一个平面,使, 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面。 符号语言:a b P a b ααα?=???有且只有一个平面,使, 推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面。 符号语言://a b a b ααα???有且只有一个平面,使, 公理3及其推论的作用:用来证明多点共面,多线共面。 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理)。 符号语言://////a b a c c b ???? 图形语言: 作用:用来证明线线平行。 二、平行关系 公理4 平行于同一条直线的两条直线平行(平行公理)。(1) 符号语言://////a b a c c b ???? 图形语言: 线面平行的判定定理 如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么 这条直线和这个平面平行。(2) 符号语言:////a b a a b ααα?? ? ????? 图形语言: 线面平行的性质定理 如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和 这个平面相交,那么这条直线和交线平行。(3) 符号语言:////a b a a b βαβα ? ? ????=? I 图形语言: 面面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面, 那么这两个平面平行.(4)

高中数学立体几何解析几何 判定&性质&公式整理(全)

高中数学必修二复习 基本概念 公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。公理2:如果两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。 公理3:过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面。 推论1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面。 推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面。 推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面。 公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行。 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等。 空间两直线的位置关系: 空间两条直线只有三种位置关系:平行、相交、异面 1、按是否共面可分为两类: (1)共面:平行、相交 (2)异面: 异面直线的定义:不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。 异面直线判定定理:用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线。 两异面直线所成的角:范围为( 0°,90° ) esp.空间向量法 两异面直线间距离: 公垂线段(有且只有一条) esp.空间向量法 2、若从有无公共点的角度看可分为两类: (1)有且仅有一个公共点——相交直线;(2)没有公共点——平行或异面 直线和平面的位置关系: 直线和平面只有三种位置关系:在平面内、与平面相交、与平面平行 ①直线在平面内——有无数个公共点 ②直线和平面相交——有且只有一个公共点 直线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。 esp.空间向量法(找平面的法向量) 规定:a、直线与平面垂直时,所成的角为直角,b、直线与平面平行或在平面内,所成的角为0°角 由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°,90°] 最小角定理: 斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角 三垂线定理及逆定理: 如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直 esp.直线和平面垂直 直线和平面垂直的定义:如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直,我们就说直线a和平面互相垂直.直线a叫做平面的垂线,平面叫做直线a的垂面。

(完整版)高中立体几何八大定理

l m β α α b a 线面位置关系的八大定理 一、直线与平面平行的判定定理: 文字语言:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则这条直线与平面平行 图形语言: 符号语言: //a b a b αα?? ? ???? ?//a α 作用:线线平行?线面平行 二、直线与平面平行的性质定理: 文字语言:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线就和交线平行。 图形语言: 符号语言://l l m α βαβ?? ????=? ?//l m 作用:线面平行?线线平行 三、平面与平面平行的判定定理 文字语言:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 图形语言: 符号语言: //a b a b A a b α ααβββ ?????? =?????? I ∥∥ 作用:线线平行? 面面平行 四、平面与平面平行的性质定理: 文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行 图形语言: 符号语言:////a a b b αβαγβγ? ? ?=????=? 作用: 面面平行?线线平行

n m A α a α b a B A l β αa β α五、直线与平面垂直的判定定理: 文字语言:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面 图形语言: 符号语言: ,a m a n a m n A m n ααα⊥? ?⊥? ?⊥??=????? 作用:线线垂直?线面垂直 六、直线与平面垂直的性质定理: 文字语言:若两条直线垂直于同一个平面,则这两条直线平行 图形语言: 符号语言: //a a b b αα⊥? ??⊥? 作用:线面垂直?线线平行 七、平面与平面垂直的判定定理: 文字语言:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直。 图形语言: 符号表示:a a ααββ⊥? ?⊥??? 注:线面垂直?面面垂直 八、平面与平面垂直的性质定理: 文字语言:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直与它们的交线的直线垂直于另一 个平面 图形语言: 符号语言:l AB AB AB l αβαββα⊥? ?=? ?⊥??? ?⊥? I 作用:面面垂直?线面垂直

《平行线的性质定理》教案

《平行线的性质定理》教案 学习目标 1、理解和总结证明的一般步骤、格式和方法. 2、探索平行线的性质定理的证明,培养学生的观察、分析和进行简单的逻辑推理能力. 3、结合图形用符号语言来表示平行线的三条性质的条件和结论. 教学重难点 平行线的性质公理及定理. 教学过程 【温故知新】 (一)、知识链接:(两条直线平行的判定定理) 1、同位角相等,两直线平行 2、内错角相等,两直线平行 3、同旁内角互补,两直线平行 4.下列不能使两直线平行的是( ) A.内错角相等 B.同旁内角互补 C.对顶角相等 D.同位角相等 (二)、导学释疑: 证明:已知:如图所示,直线a∥b,直线c和直线a、b相交. 求证:∠2=∠3. 平行线的性质1定理:两直线平行,同位角相等. 【合作探究】 探究一、已知:如图所示,直线a∥b,直线c和直线a、b相交. 求证:∠1=∠2. 平行线的性质2定理:两直线平行,内错角相等. 探究二、两直线平行,同旁内角互补

(1)根据这一定理的文字叙述,你能作出相关图形吗? (2)你能根据所作的图形写出已知、求证吗? (3)你能说说证明的思路吗?并试着写出证明过程. 平行线的性质3定理:两直线平行,同旁内角互补. 【做一做】 已知:如图所示,直线a∥b,a∥c,∠1,∠2,∠3是直线a,b,c被直线d截出的同位角. 求证:b∥c. 定理:平行于同一条直线的两条直线平行. 【总结提升】 总结规律:根据本节课的学习,你能说说命题证明的一般步骤吗? (1)根据题意画出图形;(若已给出图形,则可省略) (2)根据题设和结论,结合图形,写出已知和求证; (3)经过分析,找出已知退出求证的途径,写出证明过程; (4)检查证明过程是否正确完善. 【当堂检测】 完成课本50页随堂练习.

5.4平行线的性质定理和判定定理

7.3平行线的判定 【知识沙盘】 【学习目标】 1.会根据基本事实“同位角相等,两直线平行”来规范证明“内错角相等,两直线平行”“同旁内角互补,两直线平行”. 2.能用平行线的判定解决一些简单的问题. 【重点】1. 能规范证明平行线的判定定理. 2.平行线判定定理的简单应用. 【难点】用数学语言和符号语言对文字命题的表述. 【学情分析】 经过前面的学习我们发现,我们得打的任何一个结论都要有依据。而我们根据这些“依据”推理、证明,从而得到结论的过程叫做证明。在“同位角相等,两直线平行”的基本事实下,我们将通过演绎推理得到“内错角相等,两直线平行”和“同旁内角互补,两直

线平行”,从而得到平行线的判定定理. 【教学过程】 一、导入 你能用折纸的方法折出两条平行线吗?你的依据是什么?通过前面的学习,我们知道了“同位角相等,两直线平行”的基本事实,那我们能利用它证明另外两个判定定理吗?让我们一起来探究吧! 二、自主学习 阅读并完成学习指导书的知识储备,完成【自主学习】A级和B级. 三、交流研讨 出示答案,自主订正 四、精讲部分 (一)不讲内容: ①知识储备、归类总结 ②A级1,2 (二)略讲内容: ①B级 3 3.蜂房的顶部由三个全等的四边形围成,每个四边形的形状如图所示,其中 o = B70 = ∠.试确定这个四边形对边的位置关系,并证明你的结论. D ∠ = C A110 = ∠ ∠,o

直线平行)  (同旁内角互补,两BD(等式的性质) B(已知) B,直线平行)  (同旁内角互补,两(等式的性质) (已知) ,理由:BD解:C A A A DC AB D A D A C A DC A B O O //18070110//18070110////o o o o ∴=∠+∠∴=∠=∠∴=∠+∠∴=∠=∠ (三)精讲内容: ① C 级 4 4.如图,点D,E分别在AB 和AC 上,.ABC BE ∠平分 (1)若DEB DBE ∠=∠,求证:BC DE //. (2)若BC DE //,求证:BDE ?为等腰三角形. (3)在(1)的条件下,若O EBC 25=∠,求BDE ∠的度数.

(完整word版)立体几何常考定理总结(八大定理)

关键点:需要借助一个经过已知直线 的平面,接着找交线。 内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行. 符号语言:a I b A a// b// 关键点:在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。 四、面面平行的性质定理:面面平行 线线平行、面面平行 线面平行 文字语言:如果两个平行平面 冋时和第三 个平面相交,那么所得的两条 交线平行? 文字语言:如果两个平面平行,那么其中 符号语言: 亠 一个平面内的 任意一条直线平行于另一个 // 平面. a a//b 符号语言 : // ,a a// b 丨v 关键点:找第三个平面与已知平面都相 关键:只要是其中一个平面内的直线就行 交,则交线平行 立体几何的八大定理 、线面平行的判定定理: 线线平行 线面平行 文字语言:如果平面 外的一条直线与平面 内的一条直线平行,则这条直线与平面平行 符号语言:b all a//b 关键点:在平面内找一条与平面外的直线平行的线 二、线面平行的性质定理: 线面平行 线线平行 文字语言:如果一条直线和一个平面平行, 经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直 线就和交线平行. 1 〃 符号语言: I I l/m 三、面面平行的判定定理: 线面平行 面面平行 文字语言:如果一个平面 //

五、线面垂直的判定定理: 线线垂直 线面垂直 文字语言:如果一条直线和一个平面 内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂直于这个平面 符号语言: 六、线面垂直的性质定理: 线面垂直 线线垂直 文字语言:若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直平面内的 任意一条直线. 、亠 l 符号语 言: a 关键点:往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出 七、平面与平面垂直的判定定理: 线面垂直 面面垂直 文字语言:如果一个平面 经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直 (如果一条直线垂直于一个平面,并且有另一个平面经过这条直线,那么这两个平面垂直) 符号表示: 八、平面与平面垂直的性质定理: 面面垂直 线面垂直 文字语言:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另 个平面? 符号语言: 1 1 AB AB AB I 关键点:先找交线,再在其中一个面内找与交线垂直的线。 关键点:在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直 关键点:在需要证明的两个平面中找线面垂直 a

平行线的判定定理和性质定理练习题

平行线的判定定理和性质定理 [一]、平行线的判定 一、填空 1.如图1,若∠A=∠3,则 ∥ ; 若∠2=∠E ,则 ∥ ; 若∠ +∠ = 180°,则 ∥ . 2.若a⊥c,b⊥c,则a b . 3.如图2,写出一个能判定直线a ∥b 的条件: . 4.在四边形ABCD 中,∠A +∠B = 180°,则 ∥ ( ). 5.如图3,若∠1 +∠2 = 180°,则 ∥ 。 6.如图4,∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中, 同位角有 ; 内错角有 ;同旁内角有 . 7.如图5,填空并在括号中填理由: (1)由∠ABD =∠CDB 得 ∥ ( ); (2)由∠CAD =∠ACB 得 ∥ ( ); (3)由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ ( ) 8.如图6,尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件: . 9.如图7,尽可能地写出能判定AB∥CD 的条件来: . 10.如图8,推理填空: (1)∵∠A =∠ (已知), ∴AC∥ED( ); (2)∵∠2 =∠ (已知), ∴AC∥ED( ); (3)∵∠A +∠ = 180°(已知), ∴AB∥FD( ); (4)∵∠2 +∠ = 180°(已知), ∴AC∥ED( ); 二、解答下列各题 11.如图9,∠D =∠A,∠B =∠FCB,求证:ED∥C F . A C B 4 1 2 3 5 图4 a b c d 1 2 3 图3 A B C E D 1 2 3 图1 图2 4 3 2 1 5 a b 1 2 3 A F C D B E 图8 E B A F D C 图9 A D C B O 图5 图6 5 1 2 4 3 l 1 l 2 图7 5 4 3 2 1 A D C B

立体几何常考定理总结(八大定理)

立体几何常考定理总结(八大定理) 一、线面平行的判定定理:线线平行线面平行文字语言:如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则这条直线与平面平行、符号语言:关键点:在平面内找一条与平面外的直线平行的线 二、线面平行的性质定理:线面平行线线平行文字语言:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行、符号语言:关键点:需要借助一个经过已知直线的平面,接着找交线。 三、面面平行的判定定理:线面平行面面平行文字语言:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行、符号语言:关键点:在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。 四、面面平行的性质定理: 面面平行线线平行、面面平行线面平行文字语言:如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么所得的两条交线平行、符号语言:关键点:找第三个平面与已知平面都相交,则交线平行文字语言:如果两个平面平行,那么其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面、符号语言:关键:只要是其中一个平面内的直线就行 五、线面垂直的判定定理:线线垂直线面垂直文字语言:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直,那么这条直线垂

直于这个平面、符号语言:关键点:在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直六、线面垂直的性质定理:线面垂直线线垂直文字语言:若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直平面内的任意一条直线、符号语言:关键点:往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出七、平面与平面垂直的判定定理:线面垂直面面垂直文字语言:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面互相垂直、(如果一条直线垂直于一个平面,并且有另一个平面经过这条直线,那么这两个平面垂直)符号表示:关键点:在需要证明的两个平面中找线面垂直八、平面与平面垂直的性质定理:面面垂直线面垂直文字语言:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于它们的交线的直线垂直于另一个平面、符号语言:关键点:先找交线,再在其中一个面内找与交线垂直的线。 一、线线、线面和面面的位置关系两直线位置关系线面位置关系面面的位置关系 二、有关平行的证明线∥线⑴线∥线线∥线(都是直线)⑵线∥面线∥线(相交平面)⑶面∥面线∥线(平行平面)⑷同垂直于一个平面线∥线(线面垂直)线∥面⑴线∥线线∥面⑵面∥面线∥面面∥面线∥面面∥面线⊥线线⊥线线⊥线线⊥面线⊥线线⊥面线⊥线线⊥面面⊥面线⊥面面⊥面线⊥面面⊥面 四、三种角的范围异面直线所成角直线与平面所成角二面角

八年级数学上册《平行线的性质定理和判定定理》学案

八年级上册数学《平行线的性质定理和判定定理》学案学习目标: 1.进一步熟悉证明的基本步骤和书写格式 2.会根据“两直线平行,同位角相等”证明平行线的其它性质定理 3.正确区别平行线的判定和性质. 重点:平行线的性质定理和判定定理的应用. 难点:推理过程的规范化表达和灵活应用. 【预习检测】 1.如图a∥b,写出相等的同位角: . 写出相等的内错角, 写出互补的同旁内角 1.如图a∥b,∠1=68°,那么∠2的度数为 . 2.如图,∠ 1和∠ 2是直线a 、b被直线c截出的内错角,且∠ 1= ∠ 2,则a与b平行吗?你能说说理由吗? a∥b . ∵∠1=∠2 () ∠1=∠3 ( ) ∠2=∠3 () ∴a∥b () 课堂学习案

一、典例导学 模仿例1、例2的证明 试一试,证明平行线的判定定理2:两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行。(简称:同旁内角互补,两条直线平行)。二、交流与发现 命题1:同位角相等,两直线平行 命题2:两直线平行,同位角相等 观察这两个命题,你有什么发现? 两个命题中,如果第一个命题的______是第二个命题的______,而第一个命题的______又是第二个命题的______,那么这两个命题叫做互逆命题。其中一个命题称为原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题。 练习题:说出下列命题的逆命题,并与同学交流: ①轴对称图形是等腰三角形; ②等角的补角相等; ③直角三角形的两个锐角互余; ④正方形的4个角都是直角. 如果一个定理的逆命题也是真命题,那么这个逆命题就是原来定理的-------------------三、自主应用 1.已知:如图∠1=∠2,∠3=1000,求∠4的度数. 2.已知:如图a∥b,b∥c. 求证:a∥c.

高中数学教案 线面平行的判定定理和性质定理

教学目的: 1.掌握空间直线和平面的位置关系; 2.直线和平面平行的判定定理和性质定理,灵活运用线面平行的判定定理和性质定掌握理实现“线线”“线面 ”平行的转化 教学重点:线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 教学难点:线面平行的判定定理和性质定理的证明及运用 授课类型:新授课 课时安排:1课时 教 具:多媒体、实物投影仪 内容分析: 本节有两个知识点,直线与平面和平面与平面平行,直线与平面、平面与平面平行特征性质这也可看作平行公理和平行线传递性质的推广直线与平面、平面与平面平行判定的依据是线、线平行这些平行关系有着本质上的联系 通过教学要求学生掌握线、面和面、面平行的判定与性质这两个平行关系是下一大节学习共面向量的基础 前面3节主要讨论空间的平行关系,其中平行线的传递性和平行平面的性质是这三小节的重点 教学过程: 一、复习引入: 1 空间两直线的位置关系 (1)相交;(2)平行;(3)异面 2.公理4 :平行于同一条直线的两条直线互相平行 推理模式://,////a b b c a c ?. 3.等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等 4.等角定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等. 5.空间两条异面直线的画法 a b 1A A 6.异面直线定理:连结平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线 推理模式:,,,A B l B l ααα?∈???AB 与l 是异面直线

7.异面直线所成的角:已知两条异面直线,a b ,经过空间任一点O 作直线//,//a a b b '',,a b ''所成的角的大小与点O 的选择无关,把,a b ''所成的锐角(或直角)叫异面直线,a b 所成的角(或夹角).为了简便,点O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围:2 , 0(π 8.异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直.两条异面直线,a b 垂直,记作a b ⊥. 9.求异面直线所成的角的方法: (1)通过平移,在一条直线上找一点,过该点做另一直线的平行线; (2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线,那么这两条相交直线所成的角即为所求 10.两条异面直线的公垂线、距离 和两条异面直线都垂直相交....的直线,我们称之为异面直线的公垂线 在这两条异面直线间的线段(公垂线段)的长度, 叫做两条异面直线间的距离. 两条异面直线的公垂线有且只有一条 二、讲解新课: 1.直线和平面的位置关系 (1)直线在平面内(无数个公共点); (2)直线和平面相交(有且只有一个公共点); (3)直线和平面平行(没有公共点)——用两分法进行两次分类. a α?,a A α=,//a α. a α a α 2.线面平行的判定定理:如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行. 推理模式:,,////l m l m l ααα???. 证明:假设直线l 不平行与平面α, ∵l α?,∴l P α=, 若P m ∈,则和//l m 矛盾, 若P m ?,则l 和m 成异面直线,也和//l m 矛盾,

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