2005年数学一试题分析、详解和评注
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上)
(1)曲线1
22
+=x x y 的斜渐近线方程为 .4121-=x y
【分析】 本题属基本题型,直接用斜渐近线方程公式进行计算即可.
【详解】 因为a=2
1
2lim )(lim
22=+=∞→∞→x x x x x f x x , []4
1
)12(2lim
)(lim -=+-=-=∞→∞
→x x ax x f b x x ,
于是所求斜渐近线方程为.4
121-=
x y 【评注】 如何求垂直渐近线、水平渐近线和斜渐近线,是基本要求,应熟练掌握。这
里应注意两点:1)当存在水平渐近线时,不需要再求斜渐近线;2)若当∞→x 时,极限
x
x f a x )
(lim
∞
→=不存在,则应进一步讨论+∞→x 或-∞→x 的情形,即在右或左侧是否存在斜渐近线。
完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.192【例7.32】
(2) 微分方程x x y y x ln 2=+'满足91)1(-
=y 的解为.9
1
ln 31x x x y -=. 【分析】直接套用一阶线性微分方程)()(x Q y x P y =+'的通解公式:
?
+??=-])([)()(C dx e x Q e y dx
x P dx x P ,
再由初始条件确定任意常数即可. 【详解】 原方程等价为
x y x
y ln 2
=+
', 于是通解为 ??+?=
+???=-
]ln [1]ln [2
22
2
C xdx x x
C dx e
x e
y dx
x dx
x =
21
91ln 31x C x x x +-, 由91)1(-=y 得C=0,故所求解为.9
1
ln 31x x x y -=
【评注】 本题虽属基本题型,但在用相关公式时应注意先化为标准型. 另外,本题也
可如下求解:原方程可化为
x x xy y x ln 22
2
=+',即 x x y x ln ][2
2
=',两边积分得
C x x x xdx x y x +-==
?332
2
9
1ln 31ln , 再代入初始条件即可得所求解为.9
1
ln 31x x x y -=
完全类似公式见《数学复习指南》(理工类)P.154
(3)设函数181261),,(222z y x z y x u +++=,单位向量}1,1,1{31
=n ,则)
3,2,1(n
u
??=
3
3. 【分析】 函数u(x,y,z)沿单位向量γβαcos ,cos ,{cos =n
}的方向导数为:
γβαcos cos cos z
u y u x u n u ??+??+??=?? 因此,本题直接用上述公式即可.
【详解】 因为
3x x u =??,6y y u =??,9
z
z u =??,于是所求方向导数为
)
3,2,1(n
u
??=
.3
3313131313131=?+?+? 【评注】 本题若n
=},,{l n m 非单位向量,则应先将其单位化,从而得方向余弦为:
,cos 2
2
2
l
n m m ++=
α,cos 2
2
2
l
n m n ++=
β2
2
2
cos l
n m l ++=
α.
完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.330【例12.30】
(4)设Ω是由锥面22y x z +=
与半球面222y x R z --=围成的空间区域,∑是
Ω的整个边界的外侧,则??∑
=++zdxdy ydzdx xdydz 3
)2
21(2R -
π. 【分析】本题∑是封闭曲面且取外侧,自然想到用高斯公式转化为三重积分,再用球面(或柱面)坐标进行计算即可.
【详解】
??∑
=++zdxdy ydzdx xdydz ???Ω
dxdydz 3
=.)2
21(2sin 3320
40
2
R d d d R
??
?-
=π
π
πθ??ρρ .
【评注】 本题属基本题型,不论是用球面坐标还是用柱面坐标进行计算,均应特别注意计算的准确性,主要考查基本的计算能力.
完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.325【例12.22】
(5)设321,,ααα均为3维列向量,记矩阵
),,(321ααα=A ,)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B , 如果1=A ,那么=B 2 .
【分析】 将B 写成用A 右乘另一矩阵的形式,再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.
【详解】 由题设,有
)93,42,(321321321ααααααααα++++++=B
=????
?
?????941321111),,(321ααα, 于是有 .2219
4132
11
11=?=?=A B
【评注】 本题相当于矩阵B 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表示,关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示。一般地,若
n n a a a αααβ12121111+++= , n n a a a αααβ22221212+++= ,
n m n m m m a a a αααβ+++= 2211,
则有 [][].,,,2122212
12111212
1
?
?
???
???????=mn n n
m m n m a a a a a a
a a a αααβββ 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.356【例1.5】
(6)从数1,2,3,4中任取一个数,记为X, 再从X ,,2,1 中任取一个数,记为Y, 则
}2{=Y P =
48
13
. 【分析】 本题涉及到两次随机试验,想到用全概率公式, 且第一次试验的各种两两互不相容的结果即为完备事件组或样本空间的划分.
【详解】 }2{=Y P =}12{}1{===X Y P X P +}22{}2{===X Y P X P +}32{}3{===X Y P X P +}42{}4{===X Y P X P =
.48
13
)4131210(41=+++? 【评注】 全概率公式综合考查了加法公式、乘法公式和条件概率,这类题型一直都是
考查的重点.
完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.492【例1.32】
二、选择题(本题共8小题,每小题4分,满分32分. 每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)
(7)设函数n n
n x
x f 31lim )(+=∞
→,则f(x)在),(+∞-∞内
(A) 处处可导. (B) 恰有一个不可导点.
(C) 恰有两个不可导点. (D) 至少有三个不可导点. [ C ] 【分析】 先求出f(x)的表达式,再讨论其可导情形. 【详解】 当1 →n n n x x f ; 当1=x 时,111lim )(=+=∞ →n n x f ; 当1>x 时,.)11( lim )(3 133 x x x x f n n n =+=∞ → 即.1,11,1,,1,)(33>≤≤--? ? ??-=x x x x x x f 可见f(x)仅在x=1±时不可导,故应选(C). 【评注】 本题综合考查了数列极限和导数概念两个知识点. 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.56【例2.20】 (8)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”, 则必有 (A) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. (B ) F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. (C) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. (D) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数. [ A ] 【分析】 本题可直接推证,但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案. 【详解】 方法一:任一原函数可表示为? += x C dt t f x F 0 )()(,且).()(x f x F =' 当F(x)为偶函数时,有)()(x F x F =-,于是)()1()(x F x F '=-?-',即 )()(x f x f =--,也即)()(x f x f -=-,可见f(x)为奇函数;反过来,若f(x)为奇函数,则? x dt t f 0 )(为偶函 数,从而? += x C dt t f x F 0 )()(为偶函数,可见(A)为正确选项. 方法二:令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)= 2 2 1x , 排除(D); 故应选(A). 【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.10【例1.5~1.7】 (9)设函数? +-+ -++=y x y x dt t y x y x y x u )()()(),(ψ??, 其中函数?具有二阶导数, ψ 具有一阶导数,则必有 (A) 222 2y u x u ??-=??. (B ) 2222y u x u ??=??. (C) 222y u y x u ??=???. (D) 222x u y x u ??=???. [ B ] 【分析】 先分别求出22x u ??、22y u ??、y x u ???2,再比较答案即可. 【详解】 因为 )()()()(y x y x y x y x x u --++-'++'=??ψψ??, )()()()(y x y x y x y x y u -+++-'-+'=??ψψ??, 于是 )()()()(2 2y x y x y x y x x u -'-+'+-''++''=??ψψ??, )()()()(2y x y x y x y x y x u -'++'+-''-+''=???ψψ??, )()()()(2 2y x y x y x y x y u -'-+'+-''++''=??ψψ??, 可见有2 222y u x u ??=??,应选(B). 【评注】 本题综合考查了复合函数求偏导和隐函数求偏导以及高阶偏导的计算。作为做题技巧,也可取1)(,)(2==t t t ψ?,则y y x y x u 222),(22++=,容易验算只有 2 222y u x u ??= ??成立,同样可找到正确选项(B). 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.267【例10.16】及习题十(第11题) (10)设有三元方程1ln =+-xz e y z xy ,根据隐函数存在定理,存在点(0,1,1)的一个邻域,在此邻域内该方程 (A) 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数z=z(x,y). (B) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和z=z(x,y). (C) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数y=y(x,z)和z=z(x,y). (D) 可确定两个具有连续偏导数的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). [ D ] 【分析】 本题考查隐函数存在定理,只需令F(x,y,z)=1ln -+-xz e y z xy , 分别求出三个偏导数y x z F F F ,,,再考虑在点(0,1,1)处哪个偏导数不为0,则可确定相应的隐函数. 【详解】 令F(x,y,z)=1ln -+-xz e y z xy , 则 z e y F xz x +=', y z x F y - =',x e y F xz z +-='ln , 且 2)1,1,0(='x F ,1)1,1,0(-='y F ,0)1,1,0(='z F . 由此可确定相应的隐函数x=x(y,z)和y=y(x,z). 故应选(D). 【评注】隐函数存在定理是首次直接考查,有部分考生感到较生疏. 实际上本题也可从隐函数求偏导公式着手分析:若偏导表达式有意义,相应偏导数也就存在. 定理公式见《数学复习指南》(理工类)P.270 (11)设21,λλ是矩阵A 的两个不同的特征值,对应的特征向量分别为21,αα,则1α, )(21αα+A 线性无关的充分必要条件是 (A) 01≠λ. (B) 02≠λ. (C) 01=λ. (D) 02=λ. [ B ] 【分析】 讨论一组抽象向量的线性无关性,可用定义或转化为求其秩即可. 【详解】 方法一:令 0)(21211=++αααA k k ,则 022211211=++αλαλαk k k , 0)(2221121=++αλαλk k k . 由于21,αα线性无关,于是有 ???==+.0,02 2121λλk k k 当02≠λ时,显然有0,021==k k ,此时1α,)(21αα+A 线性无关;反过来,若1α,)(21αα+A 线性无关,则必然有02≠λ(,否则,1α与)(21αα+A =11αλ线性相关),故应选(B). 方法二: 由于 ??? ?? ?=+=+21212211121101],[],[)](,[λλαααλαλααααA , 可见1α,)(21αα+A 线性无关的充要条件是 .00122 1≠=λλλ故应选(B). 【评注】 本题综合考查了特征值、特征向量和线性相关与线性无关的概念. 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.407【例3.17】 (12)设A 为n (2≥n )阶可逆矩阵,交换A 的第1行与第2行得矩阵B, **,B A 分别为A,B 的伴随矩阵,则 (A) 交换* A 的第1列与第2列得* B . (B) 交换* A 的第1行与第2行得* B . (C) 交换* A 的第1列与第2列得* B -. (D) 交换* A 的第1行与第2行得* B -. [ C ] 【分析】 本题考查初等变换的概念与初等矩阵的性质,只需利用初等变换与初等矩阵的关系以及伴随矩阵的性质进行分析即可. 【详解】 由题设,存在初等矩阵12E (交换n 阶单位矩阵的第1行与第2行所得),使得 B A E =12,于是 12*1 1212*12***12*)(E A E E A E A A E B -=?===-,即 * 12* B E A -=,可见应选(C). 【评注】 注意伴随矩阵的运算性质: E A A A AA ==**,当A 可逆时,,1*-=A A A ***)(A B AB =. 完全类似例题及性质见《数学复习指南》(理工类)P.381【例2.14,例2.29】 (13)设二维随机变量(X,Y) 的概率分布为 X Y 0 1 0 0.4 a 1 b 0.1 已知随机事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,则 (A) a=0.2, b=0.3 (B) a=0.4, b=0.1 (C) a=0.3, b=0.2 (D) a=0.1, b=0.4 [ B ] 【分析】 首先所有概率求和为1,可得a+b=0.5, 其次,利用事件的独立性又可得一等式,由此可确定a,b 的取值. 【详解】 由题设,知 a+b=0.5 又事件}0{=X 与}1{=+Y X 相互独立,于是有 }1{}0{}1,0{=+===+=Y X P X P Y X X P , 即 a=))(4.0(b a a ++, 由此可解得 a=0.4, b=0.1, 故应选(B). 【评注】 本题考查二维随机变量分布律的性质和独立随机事件的概念,均为大纲要求的基本内容. 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.528【习题二,1.(9)】 (14)设)2(,,,21≥n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本,X 为样本均值, 2 S 为样本方差,则 (A) )1,0(~N X n (B) ).(~ 22 n nS χ (C) )1(~)1(--n t S X n (D) ).1,1(~)1(2 2 21--∑=n F X X n n i i [ D ] 【分析】 利用正态总体抽样分布的性质和2 χ分布、t 分布及F 分布的定义进行讨论即可. 【详解】 由正态总体抽样分布的性质知, )1,0(~10 N X n n X =-,可排除(A); 又)1(~0-=-n t S X n n S X ,可排除(C); 而)1(~)1(1)1(2 22 2--=-n S n S n χ,不能断定(B)是正确选项. 因为 ∑=-n i i n X X 2 2 22 21 )1(~),1(~χχ,且∑=-n i i n X X 2 222 21 )1(~)1(~χχ与相互独 立,于是 ).1,1(~)1(1 12 22 12 2 2 1--= -∑∑==n F X X n n X X n i i n i i 故应选(D). 【评注】 正态总体),(~2σμN X 的三个抽样分布: )1,0(~N n X σ μ -、 )1(~--n t n S X μ、)1(~)1(2 2 2--n S n χσ是常考知识点,应当牢记. 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.575【习题五,2.(3)】 三 、解答题(本题共9小题,满分94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) (15)(本题满分11分) 设}0,0,2),{(2 2 ≥≥≤+=y x y x y x D ,]1[22y x ++表示不超过221y x ++的最 大整数. 计算二重积分 ??++D dxdy y x xy .]1[2 2 【分析】 首先应设法去掉取整函数符号,为此将积分区域分为两部分即可. 【详解】 令 }0,0,10),{(221≥≥<+≤=y x y x y x D , }0,0,21),{(222≥≥≤+≤=y x y x y x D . 则 ??++D dxdy y x xy ]1[2 2=????+1 2 2D D xydxdy xydxdy dr r d dr r d ???? +=20 2 1 31 3 2 cos sin 2cos sin π π θθθθθθ = .8 74381=+ 【评注】 对于二重积分(或三重积分)的计算问题,当被积函数为分段函数时应利用积分的可加性分区域积分. 而实际考题中,被积函数经常为隐含的分段函数,如取绝对值函数),(y x f 、取极值函数)},(,,(max{y x g y x f 以及取整函数],([y x f 等等. 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.295【例11.18~19】 (16)(本题满分12分) 求幂级数 ∑∞ =--+-121 )) 12(1 1()1(n n n x n n 的收敛区间与和函数f(x). 【分析】 先求收敛半径,进而可确定收敛区间. 而和函数可利用逐项求导得到. 【详解】 因为(1)(21)1(21) lim 1(1)(21)(21)1 n n n n n n n n n →∞+++-=++-+ ,所以当21x <时,原级数绝 对收敛,当2 1x >时,原级数发散,因此原级数的收敛半径为1,收敛区间为(-1,1) 记 1 21(1) (),(1 ,1)2(21) n n n S x x x n n -∞=-=∈--∑ , 则 121 1(1)(),(1,1)21 n n n S x x x n -∞ -=-'=∈--∑, 1222 11 ()(1),(1,1)1n n n S x x x x ∞ --=''=-= ∈-+∑. 由于 (0)0,(0) S S '= = 所以 2 01 ()()arctan ,1x x S x S t dt dt x t '''= ==+? ? 2001 ()()arctan arctan ln(1).2 x x S x S t dt tdt x x x '===-+?? 又 2 1 22 1 (1) ,(1,1),1n n n x x x x ∞ -=-=∈-+∑ 从而 2 2 ()2()1x f x S x x =++ 2 2 2 2arctan ln(1),(1,1).1x x x x x x =-++∈-+ 【评注】 本题求收敛区间是基本题型,应注意收敛区间一般只开区间. 而幂级数求和 尽量将其转化为形如∑∞ =1n n n x 或∑∞ =-11 n n nx 幂级数,再通过逐项求导或逐项积分求出其和函数. 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.225【例8.26】 (17)(本题满分11分) 如图,曲线C 的方程为y=f(x),点(3,2)是它的一个拐点,直线1l 与2l 分别是曲线C 在点(0,0)与(3,2)处的切线,其交点为(2,4). 设函数f(x)具有三阶连续导数,计算定积分 ? '''+3 2.)()(dx x f x x 【分析】 题设图形相当于已知f(x)在x=0的函数值与导数值,在x=3处的函数值及一阶、二阶导数值. 【详解】 由题设图形知,f(0)=0, 2)0(='f ; f(3)=2, .0)3(,2)3(=''-='f f 由分部积分,知 ??? +''-''+=''+='''+3 30 30 223 2)12)(() ()()()()()(dx x x f x f x x x f d x x dx x f x x =dx x f x f x x f d x ?? '+'+-='+- 3 3 30 )(2) ()12()()12( =.20)]0()3([216=-+f f 【评注】 本题f(x) 在两个端点的函数值及导数值通过几何图形给出,题型比较新颖,综合考查了导数的几何意义和定积分的计算. 另外,值得注意的是,当被积函数含有抽象函数的导数时,一般优先考虑用分部积分. 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.118【例4.36,4.30】 (18)(本题满分12分) 已知函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1. 证明: (I )存在),1,0(∈ξ 使得ξξ-=1)(f ; (II )存在两个不同的点)1,0(,∈ζη,使得.1)()(=''ζηf f 【分析】 第一部分显然用闭区间上连续函数的介值定理;第二部分为双介值问题,可考虑用拉格朗日中值定理,但应注意利用第一部分已得结论. 【详解】 (I ) 令x x f x F +-=1)()(,则F(x)在[0,1]上连续,且F(0)=-1<0, F(1)=1>0,于是由介值定理知,存在存在),1,0(∈ξ 使得0)(=ξF ,即ξξ-=1)(f . (II ) 在],0[ξ和]1,[ξ上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理,知存在两个不同的点 )1,(),,0(ξζξη∈∈,使得0)0()()(--= 'ξξηf f f ,ξ ξζ--='1) ()1()(f f f 于是 .1111)(1)()()(=-?-=--?= ''ξ ξ ξξξξξξζηf f f f 【评注】 中值定理的证明问题是历年出题频率最高的部分,而将中值定理与介值定理 或积分中值定理结合起来命题又是最常见的命题形式. 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.128【例5.4】,P.151【例5.25】 (19)(本题满分12分) 设函数)(y ?具有连续导数,在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L 上,曲线积分 ? ++L y x xydy dx y 4 222)(?的值恒为同一常数. (I )证明:对右半平面x>0内的任意分段光滑简单闭曲线C ,有 022)(4 2=++? C y x x y d y dx y ?; (II )求函数)(y ?的表达式. 【分析】 证明(I )的关键是如何将封闭曲线C 与围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线相联系,这可利用曲线积分的可加性将C 进行分解讨论;而(II )中求)(y ?的表达式,显然应用积分与路径无关即可. 【详解】 (I ) 如图,将C 分解为:21l l C +=,另作一条曲线3l 围绕原点且与C 相接,则 = ++? C y x x y d y dx y 4 222)(?- ++? +3 14 222)(l l y x x y d y dx y ?022)(3 24 2=++? +l l y x x y d y dx y ?. (II ) 设24 24 () 2,22y xy P Q x y x y ?= =++,,P Q 在单连通区域0x >内具有一阶连续偏导数,由(Ⅰ)知,曲线积分 2 4 ()22L y dx xydy x y ?++? 在该区域内与路径无关,故当0x >时,总有 Q P x y ??=??. 2425 2422422(2)4242,(2)(2)Q y x y x xy x y y x x y x y ?+--+==?++ ① 243243 242242()(2)4()2()()4().(2)(2) P y x y y y x y y y y y y x y x y ?????'''?+-+-==?++ ② 比较①、②两式的右端,得 435 ()2, ()4()2. y y y y y y y ???'=-??'-=? 由③得2 ()y y c ?=-+,将()y ?代入④得 5 3 5 242,y cy y -= ③ ④ 所以0c =,从而2().y y ?=- 【评注】 本题难度较大,关键是如何将待求解的问题转化为可利用已知条件的情形. 第二部分完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.340【例13.18】 (20)(本题满分9分) 已知二次型21232221321)1(22)1()1(),,(x x a x x a x a x x x f +++-+-=的秩为2. (I ) 求a 的值; (II ) 求正交变换Qy x =,把),,(321x x x f 化成标准形; (III ) 求方程),,(321x x x f =0的解. 【分析】 (I )根据二次型的秩为2,可知对应矩阵的行列式为0,从而可求a 的值;(II )是常规问题,先求出特征值、特征向量,再正交化、单位化即可找到所需正交变换; (III ) 利用第二步的结果,通过标准形求解即可. 【详解】 (I ) 二次型对应矩阵为 ???? ??????-++-=200011011a a a a A , 由二次型的秩为2,知 02 00110 11=-++-=a a a a A ,得a=0. (II ) 这里??????????=200011011A , 可求出其特征值为0,2321===λλλ. 解 0)2(=-x A E ,得特征向量为:??? ?? ??=????? ??=100,01121αα, 解 0)0(=-x A E ,得特征向量为:.0113??? ? ? ??-=α 由于21,αα已经正交,直接将21,αα,3α单位化,得: ??? ? ? ??-=????? ??=????? ??=01121,100,01121321ηηη 令[]321ααα=Q ,即为所求的正交变换矩阵,由x=Qy ,可化原二次型为标准形: ),,(321x x x f =.222 221y y + (III ) 由),,(321x x x f ==+222122y y 0,得k y y y ===321,0,0(k 为任意常数). 从而所求解为:x=Qy=[]???? ? ?????-==??????????000332 1 c c k k ηηηη,其中c 为任意常数. 【评注】 本题综合考查了特征值、特征向量、化二次型为标准型以及方程组求解等多 个知识点,特别是第三部分比较新颖. 但仔细分析可以看出,每一部分均是大纲中规定的基本内容. 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.468【例6.2(2)】,P.473【例6.9】 (21)(本题满分9分) 已知3阶矩阵A 的第一行是c b a c b a ,,),,,(不全为零,矩阵???? ? ?????=k B 63642321(k 为常数),且AB=O, 求线性方程组Ax=0的通解. 【分析】 AB=O, 相当于告之B 的每一列均为Ax=0的解,关键问题是Ax=0的基础解系所含解向量的个数为多少,而这又转化为确定系数矩阵A 的秩. 【详解】 由AB=O 知,B 的每一列均为Ax=0的解,且.3)()(≤+B r A r (1)若k 9≠, 则r(B)=2, 于是r(A)1≤, 显然r(A)1≥, 故r(A)=1. 可见此时Ax=0的基础解系所含解向量的个数为3-r(A)=2, 矩阵B 的第一、第三列线性无关,可作为其基础解系, 故Ax=0 的通解为:2121,,63321k k k k k x ??? ? ? ??+????? ??=为任意常数. (2) 若k=9,则r(B)=1, 从而.2)(1≤≤A r 1) 若r(A)=2, 则Ax=0的通解为:11,321k k x ??? ? ? ??=为任意常数. 2) 若r(A)=1,则Ax=0 的同解方程组为:0321=++cx bx ax ,不妨设0≠a ,则其通解 为 2121,,1001k k a c k a b k x ???? ?? ? ??-+??????? ??-=为任意常数. 【评注】 AB=O 这类已知条件是反复出现的,应该明确其引申含义:1)B 的每一列均为Ax=0的解;2).)()(n B r A r ≤+ 本题涉及到对参数k 及矩阵A 的秩的讨论,这是考查综合思维能力的一种重要表现形式,今后类似问题将会越来越多. 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.438【例4.21】, P.389【例2.36】 (22)(本题满分9分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为 ., 20,10,0,1),(其他x y x y x f <<< ??= 求:(I ) (X,Y)的边缘概率密度)(),(y f x f Y X ; (II )Y X Z -=2的概率密度).(z f Z 【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可;而求二维随机变量函数的概率密度,一般 用分布函数法,即先用定义求出分布函数,再求导得到相应的概率密度. 【详解】 (I ) 关于X 的边缘概率密度 )(x f X =? +∞ ∞ -dy y x f ),(=., 10, 0,20 其他<?????x dy x =., 10,0,2其他< ??x x 关于Y 的边缘概率密度 )(y f Y =?+∞∞-dx y x f ),(=., 20, 0,1 2 其他<?????y dx y =.,20, 0, 2 1其他<????-y y (II ) 令}2{}{)(z Y X P z Z P z F Z ≤-=≤=, 1) 当0 2) 当20<≤z 时,}2{)(z Y X P z F Z ≤-= =2 4 1z z - ; 3) 当2≥z 时,.1}2{)(=≤-=z Y X P z F Z 即分布函数为: .2,20, 0, 1,41,0)(2 ≥<≤????-=z z z z z z F Z 故所求的概率密度为:.,20, 0, 2 11)(其他<????-=z z z f Z 【评注】 本题属基本题型,只需注意计算的准确性,应该可以顺利求解.第二步求随机 变量函数分布,一般都是通过定义用分布函数法讨论. 完全类似例题见《数学复习指南》(理工类)P.519【例2.38~39】, P.525【例2.45】 (23)(本题满分9分) 设)2(,,,21>n X X X n 为来自总体N(0,1)的简单随机样本,为样本均值,记 .,,2,1,n i X X Y i i =-= 求:(I ) i Y 的方差n i DY i ,,2,1, =; (II )1Y 与n Y 的协方差).,(1n Y Y Cov 【分析】 先将i Y 表示为相互独立的随机变量求和,再用方差的性质进行计算即可;求 1Y 与n Y 的协方差),(1n Y Y Cov ,本质上还是数学期望的计算,同样应注意利用数学期望的运 算性质. 【详解】 由题设,知)2(,,,21>n X X X n 相互独立,且 ),,2,1(1,0n i DX EX i i ===,.0=X E (I )∑≠--=-=n i j j i i i X n X n D X X D DY ]1)11[()( =∑≠+-n i j j i DX n DX n 2 21 )11( =.1)1(1)1(2 22n n n n n n -=-?+- (II ) )])([(),(111n n n EY Y EY Y E Y Y Cov --= =)])([()(11X X X X E Y Y E n n --= =)(211X X X X X X X E n n +-- =211)(2)(X E X X E X X E n +- =22 12 1)(][20X E X D X X X E n n j j +++-∑= =.112n n n -=+- 【评注】 通过定义求随机变量的数字特征是基本要求,也是到目前为止考查最多的情 形,但读者还应注意利用数字特征的运算性质进行分析讨论,同样是求解数字特征的一个重要途径. 本题为文登学校辅导班上讲授过的原题(原题求相关系数,刚好是本题的两部分,请参见数理统计部分笔记). 小学数学期末检测质量分析 一、基本分析: 测试卷以课程标准为依据,紧扣新课程理念,从概念、计算、应用三方面考查学生的双基、思维、问题解决的能力,全面考查了学生的综合学习能力。试题做到了不偏、不难、不怪,密切联系学生生活实际,增加灵活性,考出了学生的真实成绩和水平,增强了他们学数学、用数学的兴趣和信心。另外,试题具有一定的弹性和开放性,给学生留有自由选择解决问题的空间。 二、学生卷面分析: 1、基础知识的掌握、基本技能的形成较好。 2、综合运用知识的能力较弱。表现在学生判断题、应用题,有些学生个别有错误,主要原因学生在的学习过程中对于新知体验不深,头脑中建立的概念不清晰、不扎实。 3、没有形成良好的学习习惯。表现在稍复杂的数据和文字都会对一些能力较弱或习惯较差的学生造成一定的影响。如,卷面上有不少单纯的计算错误、抄错数据、漏小数点、漏做题等低级错误。 三、改进措施: 1 、要充分利用备课和开展教研活动,加强研读“课标”和“教材”,切实把握好课程标准,准确掌握新课标的理念、教学内容和知识的难度要求,使用好教材。 2、创设生动具体的情境。根据五年级学生的年龄和思维特点,充分利用学生的生活经验,设计生动有趣、直观形象的数学教学活动, 激发学生的学习兴趣,让学生在生动具体的情境中理解和认识数学知识。 3、重视知识的获得过程。任何一类新知的学习都要力争在第一遍教学中让学生通过操作、实践、探索等活动充分地感知,使他们在经历和体验知识的产生和形成过程中,获取知识、形成能力。只有这样他们才能真正获得属于自己的“活用”知识,达到举一反三、灵活应用的水平。 4、加强学习习惯和策略的培养。五年级教材的思维要求高,灵活性强,仅用大量机械重复的训练是不能解决问题的。今后要精选、精编灵活多变的针对性练习、发展性练习、综合性练习,有意识地对学生进行收集信息、处理信息、分析问题、解决问题的方法和策略指导,培养学生良好的学习方法和习惯。如:独立思考的习惯,认真读题、仔细审题的习惯等等 5、关注学生中的弱势群体。做好后进生的补差工作,要从“以人为本”的角度出发,与学生多沟通,消除他们的心理障碍;帮助他们形成良好的学习习惯;加强方法指导;严格要求学生,从最基础的知识抓起;根据学生差异,进行分层教学;努力使每位学生在原有基础上得到最大限度的发展。 理科数学解析 一、选择题: 1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法:列举法,图像法,解析式法.集合有三大特性:确定性,互异性,无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算,Venn图的考查等. 2.D【解析】本题考查常有关对数函数,指数函数,分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定 义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中,分母不为零;(2)偶次根式中,被开方数非负;(3)对数的真数大于0:(4)实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域,来年需要注意一些常见函数:带有分式,对数,偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B【解析】本题考查分段函数的求值. 因为,所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题,一定要先求内层函数的值,因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外,要注意自变量的取值对应着哪一段区间,就使用 哪一段解析式,体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用,来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式,千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为,所以.. 【点评】本题需求解正弦值,显然必须切化弦,因此需利用公式转化;另外,在转化过程中常与“1”互相代换,从而达到化简的目的;关于正弦、余弦的齐次分式,常将正弦、余弦转化为正切,即弦化切,达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式,二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用,逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点,综合考查了充要条件,复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. (验证法)对于B项,令,显然,但不互为共轭复数,故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念,理解全称命题,存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断,逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等. 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11,…, 发现从第3项开始,每一项就是它的前两项之和,故等式的右 小学数学期末试卷分析 小学数学期末试卷分析 本次期末试卷直观形象、图文并茂、题目类型比较丰富,涵盖的知识点范围较广,抓住了本册的重难点内容,全面考查学生对教材中数学基础知识的掌握情况、简单基本技能的形成情况、解决实际问题的能力及思维的灵活性。 一、学生答题分析 1、学生答题的总体情况 从总体来看,大部分学生基础知识掌握得较扎实,对基础知识的形成过程理解到位,对相关的方法也能熟练应用,学习效果较好,但有些知识面学生掌握的还不够透彻。 2、典型错题情况分析 (1)一大题我会填中的5小题,同学们排队做操,小明前面有9个人,后面有8个人,这一队一共有()人,共有10人丢分。这道题也经过反复的练习,可能学生根本没有理解透彻,理解题意上出现了错误,这是失分的主要原因。当然这和孩子们年龄认知水平有关,但这些现象也提醒我们一年级的数学教师,在课堂教学中要注重课堂常规训练,加强学生理解能力的培养。如课堂上多给学生们说的机会, 充分考虑每一层次的学生需求和学习能力,渗透数学语言并加强学生说的训练,来提高学生的理解能力。 (2)三大题我会按要求完成下面的题中的1小题,考查学生对立体图形的认识及基数序数的意义,有16人失分,究其原因主要有两方面;一是个别同学对图形的认识不清或是丢落,另一方面是学生对于题目中出现的要求没有理解,随便乱写。平时在教学中这方面的内容训练不够,学生独立分析问题、灵活解决问题的能力较差,在今后的教学中需重点培养。 (3)三大题观察与思考的第一小题,请按你的想法分一分,由于学生生活经验较少,部分学生不认识图中的压路机和挖掘机两种大型机械,或对他们了解的不多,而导致分类出错,此题丢分人数较多。 (4)四大题看图列式计算,学生对此类题目非常熟悉,关键就看做题时是否认真细心。出错的孩子都是没有细心,从这个题的错误中可以发现从低年级就要开始培养学生认真看题,仔细推想,细心做答的习惯是非常重要的。 (5)五大题解决问题我最棒中1小题,题目是一道体现逆向思维的题目,学生不容易理解。关于这部分内容发现学生对于求“和”的概念印象较为深刻容易接受,对于已知“整体”和其中的“一部分”,求“另一部分”用减法计算,学生表现的就差一些,以后教学中要特别注重从算理以及相应的数量关系上教学。 2015年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 高等数学(工本) 试卷 (课程代码 00023) 本试卷共3页,满分l00分,考试时间l50分钟。 考生答题注意事项: 1.本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效。试卷空白处和背面均可作草稿纸。2.第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3.第二部分为非选择题。必须注明大、小题号,使用0.5毫米黑色字迹签字笔作答。 4. 合理安排答题空间,超出答题区域无效。 第一部分选择题 一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其选出并将“答题卡”的相应代码涂黑。未涂、错涂或多涂均无分。 1.已知向量a={-1,3,2),b={-3,0,1),则a×b= A. {3,5,9} B. {-3,5,9) C.(3,-5,9) D. {-3,-5,-9) 2.已知函数,则全微分dz= 4. 微分方程是 A.可分离变量的微分方程 B.齐次微分方程 C.一阶线性齐次微分方程 D. 一阶线性非齐次微分方程 5. 无穷级数的敛散性为 A.条件收敛 B. 绝对收敛 C.发散 D. 敛散性无法确定 第二部分非选择题 二、填空题 (本大题共5小题,每小题2分,共10分) 请在答题卡上作答。 6.已知点,则向量的模= _______. 7·已知函数=_______. 8.设积分区域,且二重积分,则常数a= _______.9.微分方程的特解y*=_______. 10. 已知无穷级数=_______. 三、计算题 (本大题共l2小题,每小题5分,共60分) 请在答题卡上作答。 11.求过点A(2,10,4),并且与直线平行的直线方 12.求曲线的点处的法平面方程·13.已知方程x2+y2-z2+2z=5确定函数z=z(x,y),求. 14.求函数的梯度 15.计算二重积分,其中D是由y2=x和y=x2所围成的区域. 16. 计算三重积分,其中积分区域. 17. 计算对弧长的曲线积分,其中C是从点A(3,0)到点B(3,1)的 直线段· 18.计算对坐标的曲线积分,其中N抛物线y=x2上从点A(一1,1)到 一、从卷面看,大致可以分为两大类,第一类是基础知识,通过填空、判断、选择、口算、列竖式计算和画图以及操作题的检测。第二类是综合应用,主要是考应用实践题。无论是试题的类型,还是试题的表达方式,都可以看出出卷老师的别具匠心的独到的眼光。试卷能从检测学生的学习能力入手,细致、灵活地来抽测每册的数学知识。打破了学生的习惯思维,能测试学生思维的多角度性和灵活性。 二、学生的基本检测情况如下:总体来看,学生都能在检测中发挥出自己的实际水平。 1、在基本知识中,填空的情况基本较好。应该说题目类型非常好,而且学生在先前也已练习过,因此正确较高,这也说明学生初步建立了数感,对数的领悟、理解能力有了一定的发展,学生良好思维的培养就在于做像这样的数学题,改变以往的题目类型,让学生的思维很好的调动起来,而学生缺少的就是这个,以致失分严重。 2、此次计算题的考试,除了一贯有的口算、递等式计算以外,最要的是多了学生自主编题、用不同方法计算的题型,通过本次测验,我认识到学生的计算习惯真的要好好培养。 3、对于应用题,培养学生的读题能力很关键。自己读懂题意,分析题意在现在来看是一种不可或缺的能力,很多 学生因为缺少这种能力而在自己明明会做的题上失了分,太可惜了。 4、还有平时应该多让学生动手操作,从自己的操作中学会灵活运用知识。这方面有一定的差距。 三、今后的教学建议 从试卷的方向来看,我认为今后在教学中可以从以下几个方面来改进: 1、立足于教材,扎根于生活。教材是我们的教学之本,在教学中,我们既要以教材为本,扎扎实实地渗透教材的重点、难点,不忽视有些自己以为无关紧要的知识;又要在教材的基础上,紧密联系生活,让学生多了解生活中的数学,用数学解决生活的问题。 2、教学中要重在凸现学生的学习过程,培养学生的分析能力。在平时的教学中,作为教师应尽可能地为学生提供学习材料,创造自主学习的机会。尤其是在应用题的教学中,要让学生的思维得到充分的展示,让他们自己来分析题目,设计解题的策略,多做分析和编题等训练,让有的学生从“怕”应用题到喜欢应用题。 3、多做多练,切实培养和提高学生的计算能力。要学生说题目的算理,也许不一定会错,但有时他们是凭自己的直觉做题,不讲道理,不想原因。这点可以从试卷上很清晰地反映出来。学生排除计算干扰的本领。 2017年普通高等学校招生全国统一考试(全国I 卷) 理科数学 解析人 跃华 注意事项: 1.答卷前,考生务必将自己的、号填写在答题卡上, 2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1. 已知集合{}{} 131x A x x B x =<=<,,则() A .{}0=U A B x x D .A B =?I 【答案】A 【解析】{}1A x x =<,{}{}310x B x x x =<=< ∴{}0A B x x = 3. 设有下面四个命题() 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12z z ,满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R . A .13p p , B .14p p , C .23p p , D .24p p , 【答案】B 【解析】1:p 设z a bi =+,则 2211a bi z a bi a b -==∈++R ,得到0b =,所以z ∈R .故1P 正确; 2:p 若z =-21,满足2z ∈R ,而z i =,不满足2z ∈R ,故2p 不正确; 3:p 若1z 1=,2z 2=,则12z z 2=,满足12z z ∈R ,而它们实部不相等,不是共轭复 数,故3p 不正确; 4:p 实数没有虚部,所以它的共轭复数是它本身,也属于实数,故4p 正确; 4. 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,若4562448a a S +==,,则{}n a 的公差为() A .1 B .2 C .4 D .8 【答案】C 【解析】45113424a a a d a d +=+++= 6165 6482 S a d ?=+ = 联立求得11 272461548a d a d +=???+=??① ② 3?-①②得()211524-=d 624d = 4d =∴ 选C 5. 函数()f x 在()-∞+∞,单调递减,且为奇函数.若()11f =-,则满足()121f x --≤≤的 x 的取值围是() A .[]22-, B .[]11-, C .[]04, D .[]13, 【答案】D 【解析】因为()f x 为奇函数,所以()()111f f -=-=, 于是()121f x --≤≤等价于()()()121f f x f --≤≤| 又()f x 在()-∞+∞,单调递减 121x ∴--≤≤ 3x ∴1≤≤ 故选D 人教版小学一年级下册数学期末试卷分析 一、考试情况概述: 试卷是人教版小学数学一年级下册期中考试,考核对象是一年级全年级学生,考试时间60分钟,满分100分,考试形式采用闭卷、统一笔试形式. 二、考试情况分析: 1、基础题上失分。由于一年级的孩子比较粗心,缺少考试和测验的经验,他们对基础知识的掌握情况不牢,由于部分学生考试时不认真、不细心,计算时容易出错。少数学生在加减混合运算时会丢1-2分。因此,要想在基础题不失分,学生平时就要多下功夫,只有经过反复训练才能提高口算水平,要养成思维严谨,步骤完整的解题习惯;要形成不单求会,而且求对、求好的解题标准。只有全方位的“综合治理”,才能在坚实的基础上形成运算能力,解决计算不够准确的弊病。 2、拔高题上失分。拔高题主要是考核学生对数学的理解能力和解决问题的应用能力,学生在这部分失分比较多,主要体现在学生对看图列式一知半解,似懂非懂,掌握不够好。说明学生的思维不够开阔,不会用所学的知识举一反三,灵活解决问题。 三、自我反思及努力方向: 1、必须夯实数学基础。 扎实的数学基础是成功解决数学问题的关键。数学基础训练讲究一个“严”字,教师及学生的态度都要严肃,教师的教风要严谨,对学生的要求要严格。一定要重视知识的获得过程。任何一类新知的学习都要力争在第一遍教学中让学生通过 操作、实践、探索等活动中充分地感知,使他们在经历和体验知识的产生和形成过程中,获取知识,形成能力。只有这样,他们才真正获得属于自己的“活用”知识,当碰到基础知识的变形题时,就能灵活运用、举一反三了。 2、加强学生的学习习惯、学习态度和学习策略的培养。 教师要精选精编灵活多变的针对性练习、发展性练习、综合性练习,有意识地对学生进行收集信息、处理信息、分析问题和解决问题的方法和策略指导,培养学生良好的学习方法和习惯。注重培养学生审题意识,培养学生良好的解题习惯。 3、数学教学重在提高能力。教师要不断加强教学的应用意识,引导学生学会理解问题、分析问题并解决问题。 4、教师教学中注重创设问题情境,提高学生解决问题的策略意识。让学生适当关注生活中的数学问题,接触一些开放性问题,改变数学教学过于追求“精确”、“唯一答案”和“最优化”的状况,留给学生充分的思维空间和情感发展空间,鼓励和培养学生的创新精神、创新意识。注重引导学生从不同角度去思考问题,充分发表自己的见解。 5、重视考后反思,师生共同分析试题。 五年级(上)数学期末自命题试卷质量分析 一、基本分析: 测试卷以课程标准为依据,紧扣新课程理念,从概念、计算、应用三方面考查学生的双基、思维、问题解决的能力,全面考查了学生的综合学习能力。试题做到了不偏、不难、不怪,密切联系学生生活实际,增加灵活性,考出了学生的真实成绩和水平,增强了他们学数学、用数学的兴趣和信心。另外,试题具有一定的弹性和开放性,给学生留有自由选择解决问题的空间。 二、试题分析: 第一大题:填空。 此题共有10个小题,考察内容覆盖面广、全面且具有典型性,全面考查了学生对教材中的基础知识掌握情况、基本技能的形成情况及对数学知识的灵活应用能力。 第二大题:判断题。 此题包括5个小题,这五个小题出得较好,能考察学生的能力,特别是第1个小题,这个题如果学生不去认真观察,不去动脑想,就很容易错误。 第三大题:选择题。 此题考察了学生的思维灵活的能力,平时学生会计算,但题意稍微变化,就容易出错。如:第5题,有学生选择答案(C),此题也为教师们敲了警钟,教学不能太死板,要灵活多样,在发展学生的思维上下功夫。 第四大题:计算。 此题出错不多,大部分同学对基本计算都掌握了,只是在做的过程中,有马虎、不认真现象。 第五大题:操作题。 这个题考察学生两个方面,一个是观察能力,另一个考察学生面积计算公式。学生答得不是很好,平时教学中应多让学生面积公式的区别。 第六大题:解决问题 此题共有5个小题。此题是考察学生的理解能力并与现实生活联系起来了,培养了学生的观察能力和生活应用能力,如:第3、4小题,这两题都贴近实际生活,学生很感兴趣,所以做这样的题,需要特别认真。但是涉及分数应用题得分率不高。 三、学生卷面分析: 1、基础知识的掌握、基本技能的形成较好。 2、综合运用知识的能力较弱。表现在学生判断题、应用题,有些学生个别有错误,主要原因学生在的学习过程中对于新知体验不深,头脑中建立的概念不清晰、不扎实。 3、没有形成良好的学习习惯。表现在稍复杂的数据和文字都会对一些能力较弱或习惯较差的学生造成一定的影响。如,卷面上有不少单纯的计算错误、抄错数据、漏小数点、漏做题等低级错误。 四、改进措施: 1 、要充分利用备课和开展教研活动,加强研读“课标”和“教材”,切实把握好课程标准,准确掌握新课标的理念、教学内容和知识的难度要求,使用好教材。 小学四年级数学期末考试试卷分析及改进措施 一、试题分析 本次数学试题依据课标和教材,覆盖面广,重视了基础知识、基本技能、空间观念以及解决问题能力的考查。从卷面看,无论是试题的类型,还是试题的表达方式,都尽可能地全面涵盖全册的数学知识,并综合应用。通过不同形式,从不同侧面考查了学生对本册知识的掌握情况,考察的知识面多而广。尤其侧重体现了数学新课程标准中所提倡的数学问题生活化,以及学生利用数学知识解决身边的数学问题的合理性和灵活性。但有少数题目对中下等学生来说稍微难了些。 二、答卷分析 ①大多数学生对基础知识、基本技能掌握得比较好。但也有少数学生对基础知识掌握得不够理想。 ②少数学生未能形成良好的学习习惯,计算只用口算,不用竖式计算的现象还存在,造成计算出错,“粗心”仍是答题中的一大“顽敌”。 ③本次试卷有些题目比较灵活,与平时的练习形式有些差异,而学生由于学得不够灵活,不能了解题目的要求,使分数丢掉。另外对于逆向思维的题目部分学生得分率偏底。考试中暴露 出不少问题值得我们进一步总结。 具体分析失分较多的题目:1、填空第5、8、9题分值较大,学生失分较多。 第5题:根据○×□=520,直接填出下列各题的结果。 (1)(○×4)×(□÷4)= (2)(○×2)×(□×2)= (3)○×(□÷8)= (4)(○÷4)×(□÷2)= 这道题综合考察了积的变化规律:一个因数不变,另一个因数在变,积如何变化;两个因数同时在变,积如何变化;一个因数在变,另一个因数如何变化才能使积不变。我个人认为这道题出的非常好,试题中反映了符号化思想,但对于中下等的学生来说稍微难了些,主要是因为平常练习中给出的因数都是用具体的数表示的,而这里是用符号代替了具体的数,其实道理是一样的,但部分学生没有弄懂题意,所以失分较多。 第8题:一个等腰梯形,它的上底长12厘米,比下底长5厘米,腰长6厘米。这个梯形的周长是厘米。 这道题思路并不难,但必须认真审题,仔细计算才能得到正确结果。这是一个倒梯形,不少学生看到上底长12厘米后未加思索就按常理推断认为下底一定比上底长,从而得出下底是17厘米,所以算出这个梯形的周长为41厘米。 《 高等数学(一) 》复习资料 一、选择题 1. 若23lim 53 x x x k x →-+=-,则k =( ) A. 3- B.4- C.5- D.6- 2. 若21lim 21 x x k x →-=-,则k =( ) A. 1 B.2 C.3 D.4 3. 曲线3sin 1x y e x =-+在点(0,2)处的切线方程为( ) A.22y x =+ B.22y x =-+ C.23y x =+ D.23y x =-+ 4. 曲线3sin 1x y e x =-+在点(0,2)处的法线方程为( ) A.122y x =+ B.122y x =-+ C.132y x =+ D.1 32 y x =-+ 5. 211 lim sin x x x →-=( ) A.0 B.3 C.4 D.5 6.设函数0()(1)(2)x f x t t dt =+-?,则(3)f '=( ) A 1 B 2 C 3 D 4 7. 求函数43242y x x =-+的拐点有( )个。 A 1 B 2 C 4 D 0 8. 当x →∞时,下列函数中有极限的是( )。 A. sin x B. 1x e C. 21 1x x +- D. arctan x 9.已知'(3)=2f ,0(3)(3) lim 2h f h f h →--=( ) 。 A. 32 B. 3 2 - C. 1 D. -1 10. 设42()=35f x x x -+,则(0)f 为()f x 在区间[2,2]-上的( )。 A. 极小值 B. 极大值 C. 最小值 D. 最大值 11. 设函数()f x 在[1,2]上可导,且'()0,(1)0,(2)0,f x f f <><则()f x 在(1,2)内( ) A.至少有两个零点 B. 有且只有一个零点 C. 没有零点 D. 零点个数不能确定 12. [()'()]f x xf x dx +=? ( ). A.()f x C + B. '()f x C + C. ()xf x C + D. 2()f x C + 13. 已知2 2 (ln )y f x =,则y '=( C ) 2222(ln )(ln )f x f x x '. 24(ln )f x x ' C. 224(ln )(ln )f x f x x ' D. 22 2(ln )() f x f x x ' 14. ()d f x ? =( B) A.'()f x C + B.()f x C.()f x ' D.()f x C + 15. 2ln x dx x =?( D ) A.2ln x x C + B. ln x C x + C.2ln x C + D.()2ln x C + 小学数学学科期末考试质量分析 一、试卷的基本情况: 1、试题来源 1~5年级的试卷由市教研室提供,6年级试卷由外校引进。 2、试卷得分情况: 一年级得分率:95.2%;二年级得分率88.5%;三年级得分率94.4%;四年级得分率86.5%;五年级得分率89.6%;六年级得分率78.7%。 3、试卷特点 本次测试从六张试卷总体上看,具有以下几项特点: (1)适合新课标理念,难易程度适中,内容全面,注重能力培养,体现了知识综合,较好地体现了人文性。 (2)考核学生的基础知识、基本技能的同时,注重了对学生综合能力的考查,充分体现了素质教育的目的。 (3)题目注重对学生双向思维的考核,有利于学生思维的灵活性和创造性的发展。 (4)注意了系统分析问题和解决实际问题的能力的考查,使学生充分体会到学以致用的重要性。 二、主要成绩: 1、基础知识掌握好。从1—6年的题目数据统计可以看出,填空题和计算题的得分较高。从学生的计 算题得分率高我们可以看出学生的计算能力在提高;从学生的填空题得分率高我们可以看出学生的记忆、理解能力也较强。由此可见,学生对记忆、理解、计算等方面的基础知识掌握的还是比较扎实的。 2、创新思维能力强。可以看出“灵活开放,注重创新”是本次命题的原则之一。因此,在各年级的试题中都有一定数量的灵活、开放的题目。如五年级第三大题的前2题,比较2个图形的面积和周长关系。这一题有一定的灵活性,要考查学生灵活解题的能力,总的来说五年级学生在这一方面的得分率达80%,比以往有了很大的进步。 3、解决问题的方法活。从各年级的试题来看,都有一些学生在解答同题时用的多种不同的方法。如六年级应用题第三题,求原来有多少吨煤? 4、学习习惯良好。从试卷整体来看,90%以上学生字迹清晰、书写规范。说明大多数的学生日常学习习惯好,学习态度认真仔细。可以说,这些为学生今后的学习打下了基础,提供了保证。但是并不能排除个别班级学生,书写潦草、卷面混乱的现象。 三、存在问题: 1、学生的思维受定势的影响比较严重。如三年级的“小明的一天”,“动动手”;六年级填空中的最后一题求圆的面积等。 2、学生综合运用知识及分析、判断的能力较差。这类题的得分率不够高。失分多的有一年级的“找规律”,二年级有关钟表的一题。 3、教师要加大教学反思。观念是行动的先导。因此,深入学习课改理念,仍是目前推进素质教育向前 绝密★启用前 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页, 23小题, 满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前, 考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将 试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时, 选出每小题答案后, 用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答, 答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动, 先划掉原来的答案, 然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后, 将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题, 每小题5分, 共60分。在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题 目要求的。 1.已知集合A ={x |x <1}, B ={x |31x <}, 则 A .{|0}A B x x =U D .A B =?I 2.如图, 正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点, 则此点取自黑色部分的概率是 A . 14 B . π8 C .12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R , 则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R , 则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R , 则12z z =; 数学期末考试试卷分析 数学期末考试试卷分析 一、试题分析: 本次测试,考核知识内容全面,覆盖面广,重视了基础知识、基本技能,以及解决问题能力的考查,有一定的综合性和灵活性,能突出学生灵活运用知识能力的考评,以实现学用结合,学以致用的目的。本试卷通过不同形式,从不同侧面考查了学生对知识的掌握情况。从难易程度看,总体上说难易适度,结构合理。考试时间充沛,学生都能从容答题。 参考人数47 良好人数1 良好率100优秀人数32 优秀率6808 平均值9130 二、错题分析 (一)填空。本题注重于本册数学基础知识的题型,共有1小题,其 中第13题、14题和1题错得较多。第13题,从100到300的数中,有()个十位和各位相同的数。多数学生填30,算成3段,实际上100-200,200-300是两段,学生知识迁移能力不强。第14题考查的内容是组合,少数学生出现错误,基本上是讲过的原题,少数学生基础不扎实。第14题是一道排列题,讲过好多遍,学生觉得自己会了,自己一做就出现错误。 (二)判断。本题共有题。考察小数、面积、年月日、等知识,学生正确率较高。 (三)选择题。本题共有题,得分率较高。错的比较多的是第题要使34×□的积是三位数,□中最大填几?部分学生分析能力不强。 (四)计算。本题分口算和笔算两部分,主要考查学生的计算能力。得分率较高。但也有个别学生做题比较粗心,如口算算错,笔算中进位、退位忘记,数字抄错,得数忘记写等等。 (五)比较大小。得分率较高。 (六)数据分析题。错误原因主要是小数计算出现问题。 (七)解决问题。第3题和第题的错误率较高,第三题要先求宽,用 高等数学A (3)B 卷中典型试题的解答与分析 高等数学A (3)的教学内容是四川大学数学系编著的《高等数学》第二册中的2章(幂级数和傅里叶级数、广义积分和含参变量积分),第三册线性代数的全部内容共7章(行列式,矩阵代数,线性方程组、线性空间、线性变换、欧几里得空间、n 元实二次型)。本次期末试题的覆盖面较广,现将几个较典型的试题给予解答与分析。 1.已知二次型32312123222132166255),,(x x x x x x cx x x x x x f -+-++=的秩为2, 求参数.c 解一: 设二次型的矩阵为A , ??? ? ? ??----=c A 33351315 二次型的秩即为二次型相应矩阵的秩. ??? ? ? ??----→????? ??----→????? ??----=c c c c A 2600912035191201224035 133351315 由已知A 的秩为2, 所以.3,026==-c c 解二:由于A 的秩为2, 由矩阵秩的定义有0||=A . 由05 11 53135335313 =--+--+--=c A , 解得3=c ,且易验证3=c 时, 矩阵对应的行列式A 有二阶子式不为零,因此A 的秩为2,故所求二次型的秩为2. 分析:本题考核二次型秩的概念.解一利用二次型秩的定义求解。即利用二次型相应矩阵的秩称为二次型的秩,将原问题转化为求相应矩阵的秩,利用初等变换求得c .解二利用矩阵秩的定义直接求得c . 在本题的求解中,典型的错误有: 1)矩阵初等变换的符号“→”与运算符号“=”混淆,由此看出对初等变换的理解还不够. 小学二年级数学期末试卷分析 一、试题分析 本次数学试卷立足课本,关注过程,重视方法,体现应用,题量适当,范围全面,难度适宜,为不同的学生在数学上取得不同的发展提供了一次平台。试题以课本内容为基本依据,涉及到知识(概念)的形成过程,解题的思考过程和对知识的实际应用,采取填一填、判断、口算、列竖式计算、量一量、连一连、解决实际问题等形式,进行重点考查。用不同的形式引导学生自主地重视数学基础知识和技能以及学习过程方法的掌握。注重培养学生根据情境分析处理数学信息和应用数学知识解决实际问题方面的能力。 二、学生答题情况及失分原因分析 本次期末检测中,二年级共有7人参加,平均分96分, 优秀率100%,及格率100%。从检测结果来看,学生基础知识和基本技能掌握得较好,分析问题、解决问题的能力有了进一步的提高,学生都能在此次检测中发挥出自己的实际水平,但也存在一些问题。 1.极个别学生的良好的书写习惯没有养成,卷面不够整洁,书写不够整齐。 2.个别孩子计算粗心,性情浮躁,不能认真地进行计算。尤其是在第一题计算中,不认真计算导致错误。 3.缺乏良好的读题、审题习惯,没有弄清题意就盲目答题。 4.学生分析问题的逻辑及方式有待提高,理解、分析应用题能力相对薄弱。本次试卷中的“解决问题”的题型难度 并不大,但个别学生分析能力差,出现的错误较多。 5.部分学生没有养成检查的良好习惯,因此,卷子上原本可以得到的分数却丢失了。 三、改进措施 1.在教学中加强基础知识的训练与巩固,多设计一些有层次的训练,以提高学生对基础知识的灵活运用。 2.平时要让学生多读、认真读,指导学生会读题,有条理地读、完整的读。培养学生在读的过程中分析出条件和问题之间的关系,找出解决问题的方法,从而提高学生分析应用题的能力。 3.强化学生学习习惯的培养。培养学生认真审题、独立思考、独立解答及认真检查的良好习惯。 4.加强对各层次学生的针对性辅导。对优生要拔高要求,对学困生要多鼓励、多辅导,从而提高教学质量。 5.从学生的答题错误中反思自己教学中的不足,关注学生的学习过程和方法,多为学生提供实践的机会,采取多种形式加强学生的计算能力和准确率。 6.培养学生认真的良好学习态度,培养学生的思维,灵活性和灵活解题的能力。 兰陵小学数学期末考试质量分析 (2009~2010学年度第一学期) 一、数据概况。 1、本次期末考试质量情况如下: 二、卷面分析。 1、命题指导思想:遵循数学《课程标准》要求,紧扣教材和配套练习,面向全体学生。 2、各年级试卷的知识覆盖面广,题型多样,题量合理,难易适当。低年级图文结合的题目较多,具有趣味性,符合低年级学生的年龄特征和认知水平。中、高年级注重学生智力、能力的差异性。因此,试卷既考查了学生对本年段的基本知识和基本技能的掌握情况,又考查了学生的实际操作能力和灵活应用数学的能力。 3、各年级的试卷内容主要突出有几个特点:①基本概念部分主要考查了学生对概念、性质是否正确理解,对公式、法则是否熟练掌握和灵活应用。②基本运算部分主要考查学生对四则计算的 意义、法则、定律、性质和运算顺序的理解和掌握。③统计部分主要考查学生能否收集数据、进行整理和统计。④图形部分主要考查学生的观察、想象,动手操作和应用公式计算等能力。⑤解决问题的策略部分主要考查学生能否认真读题审题;能否通过分析、判断、综合、推理、假设等思维方法,剖析数量关系,灵活应用所学知识,解决日常生活中一些常见的问题;能否进行多向思维、综合运用所学知识解答问题等能力。 三、主要成绩。 1、通过一学期来数学教师的努力,学生的学习成绩有较大幅度的提高。 2、基本概念能够在理解的基础上掌握,并能应用所掌握的知识、方法进行解答问题。 3、计算基本功较扎实,计算能力较强。绝大部分学生能应用计算的基本知识和基本技能,依据运算顺序和运算定律,进行口算、竖式笔算、简便计算、估算和解方程。 4、统计意识强,统计能力较高。能根据题目所提供的数据进行整理,正确填写统计表,绘制统计图表,解答跟统计有关的问题。 5、位置与方向的相关知识掌握较好,操作比较规范。 6、有关图形的动手操作能力有所提高。能应用所学知识作图,能估量物体的高度、长度和重量;能运用合适的方法求平面图形的周长和面积。 7、解决问题的能力有很大的提高,策略多样。①能根据各种应用题的数量关系,方程中的等量关系,通过分析、判断、推理、综合等思维方法,正确地进行解答。②提出问题、解决问题的能力有明显的提高。③求异思维在平时的学习中得到一定的培养和提高。 四、各年级具体情况。 一年级: 从卷面情况来看,学生较好地掌握了20以内的加减法口算且正确率达98.9,20以内数的组成,数的顺序,数的大小也掌握得较好。大部分学生能准确说出、画出钟面上的整点时间和大约几时。能运用所学知识解决一些简单的实际问题。 分析卷面情况,数的组成中20里面有2个十,掌握较好。20里面有20个一,部分学生还不够理解失分较多。对于找规律的题目还存在理解上的问题“有一堆木头,第一层有1根,第三层有()根,第()层有6根。想一想,第10层有()根,第()层和第()层合起来是10根。”前半题是观察图意,数木头根数,后半题是根据题意找规律有些学生找不到规律,思维不够活跃。对玩数字卡片这题型,平时练了许多教师自认为掌握得不错,但这题数字较多,任选两张相加,算出的得数最大是(),最小是()。有学生就不会做了。另外统计长方体、正方体、圆柱、球的个数错的较多,分析原因,对斜着放的正方体没有空间观念,存在一定问题,以后要注意这方面的问题。 绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 本试卷5页,23小题,满分150分。考试用时120分钟。 注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。 用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。 2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的。 1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =U D .A B =?I 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A . 1 4 B . π8 C .12 D . π4 3.设有下面四个命题 1p :若复数z 满足1 z ∈R ,则z ∈R ; 2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =; 4p :若复数z ∈R ,则z ∈R . 其中的真命题为 A .13,p p B .14,p p C .23,p p D .24,p p 4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为 A .1 B .2 C .4 D .8 5.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]- B .[1,1]- C .[0,4] D .[1,3] 6.6 2 1(1)(1)x x + +展开式中2x 的系数为 A .15 B .20 C .30 D .35 7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 A .10 B .12 C .14 D .16 8.右面程序框图是为了求出满足3n ?2n >1000的最小偶数n ,那么在和 两个空白框中, 可以分别填入 A .A >1 000和n =n +1 小学一年级上册数学期末试卷分析 一、试卷说明 1.形式:这套试卷与往年相比,在试题类型和叙述方式上没有明显变化。 2.难度:试题整体来说难度中等偏下,命题综合性不太强。 3.考查知识及能力:这套试卷考查的知识,各个单元都有所涉及,试题比较侧重学生对运用能力的考查。 4.试卷特点:这张试卷注重人文性,体现数学与生活的实际联系。人文性体现在给学生必要的提示,每道题都要求很细致,避免非知识非智慧非数学错误的产生,还体现在试卷的图文并茂、生动活泼,给学生以亲切感。 与生活的联系在这张卷子上体现的更加充分自然。比如第六大题,都是根据图形解决问题,所选择的题目都是学生熟悉的生活情境。 二、试卷分析 1、学生试卷成绩:从统计来看,这次抽测成绩良好。说明绝大部分学生对基础的知识的掌握较好。特别是对这部分知识的形成过程理解到位,认识深刻,对相关的方法也能熟练应用。但部分学校的部分学生成绩很低,分数只有一位数,说明个别学校的教学还存在死角。 2、存在问题: (1)第二大题第6题学生丢分相对较多;出现问题的原因是学生未能对数的组成及分解有深刻体会,从中反映出学生对数的组成和分解理解能力欠缺。 (2)第三题第三个钟表失分较为严重。错误原因:学生对半时的掌握不够,和整时相混淆。(3)第四题中第2题丢分集中在一个考场。错误原因:该考场监考教师读题出现错误。 (4)第六题第3题错误率较高。错误原因是学生对题目意思还理解不透,致使在答题的时候没有按照要求进行答题。 (5)聪明屋:第1题得分得分率很高,问题不大。第二题失分率很高,这种题目在复习练习的时候出现过,但是只有少部分优等生能掌握。第三题是基数和序数的推广应用,学生完成这类题目需要理解何时算出的得数要加上1、何时算出的得数要减去1,也只有少部分学生能正确解题。最后一道题目学生会动手去画,甚至画对,但是他们没有理解题目要求,题目要的是画满整个长方形可以画多少个圆,而大部分学生理解成可以再接着画多少个圆。 三、改进措施: 1、加强学生对基础知识的掌握,利用课堂教学及课上练习巩固学生对基础知识的扎实程度。 2、加强对学生的能力培养,尤其是动手操作认真分析和实际应用的能力培养。 3、培养学生良好的学习习惯,包括认真审题,及时检查,仔细观察,具体问题具体分析等良好的学习习惯。小学数学期末考试质量分析
高考真题理科数学解析版
(完整版)小学数学期末试卷分析篇一
最新自考高等数学(工本)00023试题及答案解析
小学数学期末质量分析报告
2018年全国卷1理科数学试题详细解析
人教版小学一年级下册数学期末试卷分析
小学五年级上册数学期末考试试卷质量分析
小学四年级数学期末考试试卷分析及改进措施
高数一试题(卷)与答案解析
小学数学学科期末考试质量分析
高考全国1卷理科数学试题及答案解析
数学期末考试试卷分析
高等数学A(3)B卷中典型试题的解答与分析
(完整)小学二年级数学期末试卷分析
小学数学期末考试质量分析
2018年新课标全国卷1理科数学试题及答案解析上课讲义
(完整)小学一年级上册数学期末试卷分析