6．设变量x y ，满足约束条件：222y x x y x ??
+??-?
，
，．≥≤≥，则y x z 3-=的最小值为（ ）
A ．2-
B ．4-
C ．6-
D ．8-
7．设曲线2ax y =在点（1，a ）处的切线与直线062=--y x 平行，则=a （ ）
A ．1
B ．
1
2
C ．12
-
D ．1-
8．正四棱锥的侧棱长为32，侧棱与底面所成的角为?60，则该棱锥的体积为（ ）
A ．3
B ．6
C ．9
D ．18
9．44)1()1(x x +
-的展开式中x 的系数是（ ）
A ．4-
B ．3-
C ．3
D ．4
10．函数x x x f cos sin )(-=的最大值为（ ）
A ．1
B ．
2 C ．3
D ．2
11．设ABC △是等腰三角形，120ABC ∠=
，则以A B ，为焦点且过点C 的双曲线的离心率为（ ）
A ．
2
2
1+ B ．
2
3
1+ C ． 21+ D ．31+
12．已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．2
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．
13．设向量(1
2)(23)==，，，a b ，若向量λ+a b 与向量(47)=--，c 共线，则=λ ． 14．从10名男同学，6名女同学中选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学
又有女同学的不同选法共有 种（用数字作答）
15．已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为
(22)M ，，则ABF △的面积等于 ．
16．平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：
充要条件① ； 充要条件② ． （写出你认为正确的两个充要条件）
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10分） 在ABC △中，5cos 13A =-
，3
cos 5
B =． （Ⅰ）求sin
C 的值；
（Ⅱ）设5BC =，求ABC △的面积． 18．（本小题满分12分）
等差数列{}n a 中，410a =且3610a a a ，，成等比数列，求数列{}n a 前20项的和20S ． 19．（本小题满分12分）
甲、乙两人进行射击比赛，在一轮比赛中，甲、乙各射击一发子弹．根据以往资料知，甲击中8环，9环，10环的概率分别为0.6，0.3，0.1，乙击中8环，9环，10环的概率分别为0.4，0.4，0.2．
设甲、乙的射击相互独立．
（Ⅰ）求在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中环数的概率；
（Ⅱ）求在独立的三轮比赛中，至少有两轮甲击中的环数多于乙击中环数的概率． 20．（本小题满分12分）
如图，正四棱柱1111ABCD A BC D -中，124AA AB ==，点
E 在1CC 上且EC E C 31=． （Ⅰ）证明：1AC ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小． 21．（本小题满分12分）
设a ∈R ，函数2
3
3)(x ax x f -=．
（Ⅰ）若2=x 是函数)(x f y =的极值点，求a 的值；
（Ⅱ）若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，
，在0=x 处取得最大值，求a 的取值范围． 22．（本小题满分12分）
A
B C
D E
A 1
B 1
C 1
D 1
设椭圆中心在坐标原点，(20)(01)A B ，，，是它的两个顶点，直线)0(>=k kx y 与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E 、F 两点．
（Ⅰ）若6ED DF =
，求k 的值；
（Ⅱ）求四边形AEBF 面积的最大值．
2008年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学试题（必修+选修Ⅰ）参考答案和评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一、选择题
1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．D 7．A 8．B 9．A 10．B 11．B 12．C 二、填空题
13．2 14．420 15．2
16．两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点；底面是平行四边形．
注：上面给出了四个充要条件．如果考生写出其他正确答案，同样给分． 三、解答题 17．解：
（Ⅰ）由5cos 13A =-
，得12sin 13
A =， 由3cos 5
B =，得4
sin 5
B =． ······························································································· 2分
所以16
sin sin()sin cos cos sin 65
C A B A B A B =+=+=． ··············································· 5分
（Ⅱ）由正弦定理得45sin 13512sin 313
BC B AC A ?
?==
=． ······················································ 8分
所以ABC △的面积1sin 2S BC AC C =???1131652365=???8
3
=． ··························· 10分
18．解：
设数列{}n a 的公差为d ，则
3410a a d d =-=-， 642102a a d d =+=+，
1046106a a d d =+=+． ·
···································································································· 3分 由3610a a a ，，成等比数列得2
3106a a a =，
即2(10)(106)(102)d d d -+=+， 整理得2
10100d d -=，
解得0d =或1d =． ············································································································· 7分 当0d =时，20420200S a ==． ························································································· 9分 当1d =时，14310317a a d =-=-?=， 于是2012019
202
S a d ?=+207190330=?+=． ·························································· 12分 19．解：
记12A A ，分别表示甲击中9环，10环，
12B B ，分别表示乙击中8环，9环，
A 表示在一轮比赛中甲击中的环数多于乙击中的环数，
B 表示在三轮比赛中至少有两轮甲击中的环数多于乙击中的环数，
12C C ，分别表示三轮中恰有两轮，三轮甲击中环数多于乙击中的环数．
（Ⅰ）112122A A B A B A B =?+?+?，
············································································· 2分 112122()()P A P A B A B A B =++ 112122()()()P A B P A B P A B =++
112122()()()()()()P A P B P A P B P A P B =++
0.30.40.10.40.10.40.2=?+?+?=． ············································································· 6分
（Ⅱ）12B C C =+， ············································································································· 8分
2
2213()[()][1()]30.2(10.2)0.096P C C P A P A =-=??-=，
332()[()]0.20.008P C P A ===，
1212()()()()0.0960.0080.104P B P C C P C P C =+=+=+=．···································· 12分 20．解法一：
依题设，2AB =，1CE =．
（Ⅰ）连结AC 交BD 于点F ，则BD AC ⊥．
由三垂线定理知，1BD AC ⊥．
···························································································· 3分 在平面1ACA 内，连结EF 交1AC 于点
G ，
由于
1AA AC
FC CE
== 故1Rt Rt A AC FCE △∽△，1
AAC CFE ∠=∠， CFE ∠与1FCA ∠互余．
于是1
AC EF ⊥． 1AC 与平面
BED 内两条相交直线BD EF ，都垂直， 所以1
AC ⊥平面BED ． ······································································································· 6分 （Ⅱ）作GH DE ⊥，垂足为H ，连结1A H ．由三垂线定理知1A H DE ⊥，
故1A HG ∠是二面角1A DE B --的平面角． ·
····································································· 8分
EF =
CE CF CG EF ?=
=
EG ==． 13EG EF =
，13EF FD GH DE ?=?=
又1
AC ==
11AG AC CG =-=．
11tan A G
A HG HG
∠=
= 所以二面角1A DE B --
的大小为 ······························································· 12分
1 A
B C
D
E
A 1
B 1
C 1
D 1 F
H G
解法二：
以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴， 建立如图所示直角坐标系D xyz -．
依题设，1(220)(020)(021)(204)B C E A ，，，，，，，，，，，．
(021)(220)DE DB ==
，，，，，，11(224)(204)AC DA =--= ，，，，，． ······································ 3分 （Ⅰ）因为10AC DB = ，10AC DE =
， 故1AC BD ⊥，1AC DE ⊥． 又DB DE D = ，
所以1AC ⊥平面DBE ． ········································································································ 6分 （Ⅱ）设向量()x y z =，，n 是平面1DA E 的法向量，则
DE ⊥ n ，1DA ⊥ n ．
故20y z +=，240x z +=．
令1y =，则2z =-，4x =，(412)=-，，n ． ··································································· 9分
1
AC <>
，n 等于二面角1A DE B --的平面角，
1
1
1
cos 42AC AC AC <>==
，n n n 所以二面角1A DE B --
的大小为arccos 42
． ······························································ 12分 21．解：
（Ⅰ）2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．
因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =． 经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点． ···················································· 4分 （Ⅱ）由题设，3
2
2
2
()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+．
当()g x 在区间[02]，
上的最大值为(0)g 时， (0)(2)g g ≥，
即02024a -≥．
故得65
a ≤
． ························································································································· 9分 反之，当6
5a ≤时，对任意[02]x ∈，，
26
()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤
23(210)5x
x x =+- 3(25)(2)5
x
x x =+- 0≤，
而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ．
综上，a 的取值范围为65?
?-∞ ???
，． ······················································································ 12分
22．（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为2
214
x y +=， 直线AB EF ，的方程分别为22x y +=，(0)y kx k =>．················································ 2分 如图，设001122()()()D x kx E x kx F x kx ，，，，，，其中12x x <， 且12x x ，满足方程2
2
(14)4k x +=，
故21x x =-=
．①
由6ED DF = 知01206()x x x x -=-
，得021215
(6)77x x x x =+==；
由D 在AB 上知0022x kx +=，得02
12x k
=+． 所以
212k =
+， 化简得2
242560k k -+=，
解得23k =
或38
k =． ············································································································ 6分 （Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点E F ，到AB 的距离分别为
1
h==
2
h== ·····································································9分
又AB==AEBF的面积为
12
1
()
2
S AB h h
=+
1
2
=
=
=
≤
当21
k=，即当
1
2
k=时，上式取等号．所以S
的最大值为 ·······························12分解法二：由题设，1
BO=，2
AO=．
设
11
y kx
=，
22
y kx
=，由①得
2
x>，
21
y y
=->，
故四边形AEBF的面积为
BEF AEF
S S S
=+
△△
22
2
x y
=+ ······························································································································9分
=
=
=
当
22
2
x y
=时，上式取等号．所以S
的最大值为··················································12分
