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线性代数考试试卷+答案超强合集

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，

共10分）1. 若022

=---x ，则=χ__________。2．若齐次线性方程组???

??=++=++=++000321321321x x x x x x x x x λλ只

有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。4．矩阵???

??=3231

2221

1211

a a a a a a A 的行向量组线性。5．n 阶方阵A 满足032

=--E A A ，则=-1

。二、判断正误（正确的在括号内填“√”

，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分）1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（）2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（）4. ?????

????

???=01

10000001

0010

A ，则A A =-1。（）5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( )三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，

将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。

① n 2② 12-n ③ 12+n ④ 42. n 维向量组 s ααα，，

， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示③ s ααα，，

， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示④ s ααα，，， 21中不含零向量3. 下列命题中正确的是( )。① 任意n 个1+n 维向量线性相关②

任意n 个1+n 维向量线性无关③ 任意1+n 个n 维向量线性相关④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆

② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆③ 若B A +可逆，则 B A -可逆

④ 若

B A +可逆，则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则

4321νννν+++是0=X A 的（）① 解向量 ② 基础解系

③ 通解 ④ A

的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分)1. 计算行列式

x a b c d a x b c d a b x c d a

x d

++++。

解· 3

)(0

0000001)

111

)

d c b a x x

x x d c b d c b a x d

x c

d c x b d c b x d c b d c b a x d x c

d c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x c b

d c x b a d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=

++++2. 设B A AB 2+=，且A

,41

0011103????

? ?

?= 求B 。解.A B E A =-)2(

??????????-----=--11

1122112

)

2(1

E A ，???

???-----=-=-32

234225)2(1

A E A

B 3. 设,10

001100

110001

1?????

?---=B ?????

?=20

012003

1204312

C 且矩阵X 满足关系式'(),X C B E -= 求X 。4. 问a 取何值时，下列向量组线性相关？12

31122

1,,221

122

a a

a ααα??

-?? ? ?

- ? ?

? ?

?=-

==- ? ? ?

? ? ?

? ?

?-?? ?

。5. λ为何值时，线性方程组?????-=++-=++-=++223321321321x x x x x x x x x λλλλ有唯

一解，无解和有无穷多解？当方程组有无穷多解时求其通解。① 当1≠λ且2-≠λ时，方程组有唯一解；②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时，有无穷多组解，通解为???

???????-+??????????-+??????????-=X 10101100221c c 6. 设

.77

103 ,1301 ,3192 ,01414321??????

??--=??????? ??--=??????? ??--=??????? ??=αααα 求此向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用

该极大无关组线性表示。7. 设1000

1002

1A ??

= ? ??

，求A 的特征值及对应的特征向量。五、证明题 (7分)若A 是n 阶方阵，且，I AA =T ，1-=A 证明 0=+I A 。其中I 为单位矩阵。×××大学线性

代数期末考试题答案

一、填空题 1. 5 2. 1≠λ 3. n n s s ??， 4. 相关

5. E A 3-

二、判断正误 1. × 2. √ 3. √ 4. √ 5. ×

三、单项选择题 1. ③ 2. ③

3. ③

4. ②

5. ①

四、计算题 1. 3

)(0

0000001)

111

)

d c b a x x

x x d c b d c b a x d

x c

d c x b d c b x d c b d c b a x d x c

d c b a x d c x b d c b a x d c b x d c b a x d c b d c b a x d x c b

d c x b a d c b x a d c b a x ++++=++++=+++++++=+++++++++++++++++++=

++++2.A B E A =-)2( ??????????-----=--11

122112)

2(1

E A ，????

???-----=-=-32

234225

)2(1

A E A B

()[]

?????

???????---=-=?????

???????---=-?????

??????=

-??

??????????=---12

01210012000112

001210

012000112

4012300120001)(10

210032104321

''B C E X B C B C B C ，， 4.

)22()12(8

12121212

321-+=---

=a a a

a a

a a a ，，当2

=a 或1=a 时，向量组321a a a ，，线性相

关。5.① 当1≠λ且2-≠λ时，方程组有唯一解；②当2-=λ时方程组无解③当1=λ时，有无穷多组解，通解为???

???????-+??????????-+??????????-=X 10101100221c c 6.

?????

???????-=??

???

???------→?????????

???--------→?????????

???------=00

1100201020011313

1616002

410

3121

104302410312171

0731110094

3121

)(4321a a a a ，，，则

()34321=a a a a r ，，，，其中321a a a ，，构成极大无关组，321422a a a a ++-=7.

0)1(1

10001

=-=----=

-λλλλλA E 特征值1321===λλλ，对于λ

1＝1，

????????

??-=-02

000

0001A E λ，特征向量为??

?????+??????????100001l k 五、证明题()()

+-='+-='+='+=+A I A I A I A A A A I A ∴

()02=+A I ，

∵()0=+A I 一.单项选择题（每小题3分，本题共15分）1.如果1231

231

a a a

b b b m

c c c =，则12

1231

222333a a a b b b c c c ---

=( ).A.6m ； B.6m -；

C.3323m ；

D.33

23m -。2. 设A B 、是m n ?矩阵，则( )成立.A.R A B R A ()()+≤； B. R A B R B ()()+≤；

C.R A B R A R B ()()()+<+；

D. R A B R A R B ()()()+≤+。3. 设A 是s n ?矩阵，则齐次线性方程组0A x =有非零解的充分必要条件是( ).

A.A 的行向量组线性无关

B. A 的列向量组线性无关

C.A 的行向量组线性相关

D. A 的列向量组线性相关 4. 设

352351

2a b a b

-????

= ? ?-+-????

，则,a b 分别等于（）．A. 12, B. 13, C. 31, D. 62, 5. 若1x 是方程=A X B 的解，2x 是方程=A X O 的解，则（）是方程=A X B 的解（c 为任意常数）.A.12x cx + B. 12cx cx + C. 12cx cx - D.

12cx x +二.填空题（每小题3分，共15分）1.设A B ,均为n 阶方阵，且A a B b ,==，则

A B

()= .2. 1

1-??

???

= .3. 若对任意的3维

列向量12123132T

x x x x x x Ax x x (,,),+??

== ?-??，则A = ．4．设

140223a b ,,-????

? ?

== ? ? ? ?-????

c 与a 正交，且b a c =+λ则λ= ，c = ．5. 设向量组

123100130121T

(,,),(,,),(,,)==-=-ααα线性关.

三.计算行列式（10分）

2141

1211

232

2- 四.（10分）设1234

13451412

11232231,,,.???????? ? ? ? ?

- ? ? ? ?==== ? ? ? ?---- ? ? ? ?

-????????

a a a a 求向量组1234,,,a a a a 的秩和一个最大无关组.五.（10分）已知矩阵满足XA B =，其中1

302

6101

1A ??

?= ? ??

，1200

3B ??=

???

，求X .六.（8分）设方阵A 满足2

20,A A E --=证明A 可逆，并求A 的逆矩阵.七.(8分）已知向量组123,,a a a 线性无关，1122b a a =+，2233b a a =+，3134b a a =+，证明向量组123,,b b b 线性无关.八.（12分）求矩阵1104

3010

2-??

=- ? ??

A 的特征值和对应于特征值的所有特征向量。九.（12分）λ取何值时，下列非齐次线性方程组12312312321

25541

λλ-++=??

-+=??-++=-?

x x x x x x x x x (1)无解，（2）有唯一解，（3）有无穷多解？

并在有无穷多解时写出通解。

一、填空题（共5 小题，每题 3 分，共计15 分） 1. 2n

ab ; 2.

1101-?? ???

1102

1A ??=

?-??

; 4 . 2λ=-,(2,2,1)T c =--; 5. 无关

二、选择题（共 5 小题，每题 3 分，共计15 分

1. (B);

2. (D) ;

3. (D); 4．(C) ; 5. (A). 三、（10分）

解： 2605232112131412

-2

6050321221304122

4--=====c

c 3分

4120321221

3041224--=====r r 3分

00321221

3041214=--=====r r . 4分

四（10分）

解：10A =-≠，所以A 可逆，有 1X BA -=， 4分

3211210A ---?? ?

=- ? ?-?

3分 1

331

201112110

342

0X BA

---??

--????

?==-= ? ? ?

-????

?-??

3分五. （10分）

解：123413451

3451

4120153

(,,,)1123022222

1081111αααα???? ? ?---

? ?= ? ?---- ? ?-????

2分 13

3451

0153

01530153

011100640011

811110033

0002

??????

? ?

------

? ? ?

? ?

-?????

6分

向量组的秩为4， 1234,,,αααα为最大无关组。 2分六、证明：恒等变形22A A E -=，()2A A E E -=， 3分 1[

()]

A A E E

-=，所以A 可逆，且1

1()2

A A E -=

-。 3分

七、证法一：把已知的三个向量等式写成一个矩阵等式

()()123123

201,,,,130,01

4b b b a a a B AK ??

?== ? ??

记， 3分

设0B X =，以B A K =代入得

()0A Kx =，因为矩阵A 的列向量组线性无关，根据向量组线性无关的定义知0

K x =，

3分

又因250K =≠，知方程 0K x =只有零解0x =。

所以矩阵B 的列向量组123,,b b b 线性无关。 4分

证法二：把已知条件合写成 ()

()1231232

01,,,,1

30,01

4b b b a a a B AK ??

?== ? ??

记， 3

分

因 250K =≠，知 K 可逆，根据上章矩阵性质4知()()R A R B = 3分

因矩阵A 的列向量组线性无关，根据定理4 知()3R A =，从而 ()3R B =，再由定理4知矩阵B 的三个列向量组123,,b b b 线性无关。 4分八（12分）

解: 2

110 430(2)(1)1

2A A E λ

λλλλλ

---=

--=---的特征多项式为

232, 1.A λλλ===1所以的特征值为

4分

2,(2)0.A E x λ=-=1当时解方程由3

1010024

10~01010

000

0A E -????

???-=- ??? ????

10 p 0,1?? ?

= ? ???

得基础解系

1(0)2.k p k λ≠=1所以是对应于的全部特征向量

4分

23 1.,(1)0.A E x λλ==-?=当时解方程由2101

014

20012,10

100

A E -??

? ?-=- ? ? ? ???

21 p 2,1-?? ?

=- ? ???

得基础解系

223(0)1k p k λλ≠==所以是对应于的全部特征向量。

4分

九．（12分）

解：2131

112

1()1

12012355

1055

6r r r r Ab λλλλλλ+---????

? ?=-???→-+ ? ? ? ?---+--?

1012300

9r r λλλλ+-?? ?

?→-+ ? ?+?

4分（1）当45

λ=-

时，()2,(=3R A R Ab =），方程组无解；

（2）当4

,15

λλ≠-≠且时， ()(=3=n R A R Ab =），方程组有唯一解；

（3）当1λ=时，()(=2n=3R A R Ab =<），方程组有无穷多个解。 4分

原方程组同解于12332133

x x x x -++=??

，1231

x x x =+??

，

通解1

111001x x c x ?????? ? ? ?

=+ ? ? ? ? ? ???????

，（

c R ∈）。 4分第一部分选择题 (共28分)

一、1.设行列式a a a a 111221

=m ，a a a a 131123

=n ，则行列式a a a a a a 11121321

2223

++等于（）

A. m+n

B. -(m+n)

C. n-m

D. m-n2.设矩阵A=

100

020

003

，则A-1等于（）

001

100

010

001

3.设矩阵A=

312

101

214

，A*是A的

伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（）

A. –6

B. 6

C. 2

D. –24.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（）

A. A =0

B. B≠C时A=0

C. A≠0时B=C

D. |A|≠0时B=C5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 46.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（）

A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0

B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0

C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0

D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0

和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07.设矩阵A的秩为r，则A中（）

A.所有r-1阶子式都不为0

B.所有r-1阶子式全为0

C.至少有一个r阶子式不等于0

D.所有r阶子式都不为08.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（）

A.η1+η2是Ax=0的一个解

B.1

2η1+1

η2是Ax=b的一个解

C.η1-η2是Ax=0的一个解

D.2η1-η2是Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（）A.秩(A)

C.A=0

D.方程组Ax=0只有零解10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（）A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必有（）

A. k≤3

B. k<3

C. k=3

D. k>312.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）

A.|A|2必为1

B.|A|必为1

C.A-1=A T

D.A的行（列）向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（）

A.A与B相似

B. A与B不等价

C. A与B有相同的特征值

D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（）

? B.

100

023

035

111

120

102

第二部分非选择题（共72分）

15.111

356

92536

=.16.设A=

?，B=

?.则A+2B= .

17.设A=(a ij)3×3，|A|=2，A ij表示|A|中元素a ij的代数余子式（i,j=1,2,3）,则

(a11A21+a12A22+a13A23)2+(a21A21+a22A22+a23A23)2+(a31A21+a32A22+a33A23)2= .

18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a）线性相关，则a= .

19.设A是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b的2个不同的解，则它的通解

为.

20.设A是m×n矩阵，A的秩为r(

为.

21.设向量α、β的长度依次为2和3，则向量α+β与α-β的内积（α+β，α-β）= .

22.设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4，则另一特征值为.

23.设矩阵A=

0106

133

2108

，已知α=

是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为.

24.设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为.三、计算题（本大题共

7小题，每小题6分，共42分）

25.设A=

120

340

121

，B=

?.求（1）AB T；（2）|4A|.26.试计算行列式

3112

5134

2011

1533

.27.设矩

阵A=

423

110

123

，求矩阵B使其满足矩阵方程AB=A+2B.28.给定向量组α1=

，α2=

，α3=

，

α4=

.试判断α4是否为α1，α2，α3的线性组合；若是，则求出组合系数。29.设矩阵

A =

1210224266210233333

4-----?? ??

????.求：（1）秩（A ）；（2）A 的列向量组的一个最大线性无关组。30.设矩阵

0222342

3----?? ??

???的全部特征值为1，1和-8.求正交矩阵T 和对角矩阵D ，使T -1AT =D .31.试用配方法化

下列二次型为标准形

f(x 1,x 2,x 3)=x x x x x x x x x 1

2232

12132323444+-+--，并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本

大题共2小题，每小题5分，共10分）32.设方阵A 满足A 3=0，试证明E -A 可逆，且（E -A ）-1

=E +A +A 2.

33.设η0是非齐次线性方程组Ax=b 的一个特解，ξ1，ξ2是其导出组

Ax=0的一个基础解系.试证明

（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b 的解；（2）η0，η1，η2线性无关。

答案：

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分） 1.D 2.B 3.B 4.D 5.C 6.D

7.C

8.A

9.A

10.B

11.A 12.B 13.D 14.C

二、填空题（本大题共10空，每空2分，共20分） 15. 616. 3371

7--??

?17. 418. –1019. η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数20. n -r21. –522.

–223. 1 24.

z z z z 12

++-

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分） 25.解（1）AB T

=1203401

21223410-?? ?????--?? ??

???=

861810310?? ??

???.（2）|4A |=43

|A |=64|A |，而|A |=1203401

2-=-.所以

|4A |=64

（

-2

）

=-12826.

解

3112513420111

51111113100105

------=

-----=

11115

----=

116205

625

301040---=---=+=.

27.解 AB =A +2B

即（A -2E ）B =A

，而（

A -2E

）

-1

2231101211431531

641

--?? ?????=-----?? ??

???-.所以

B =(A -2E )-1

A =

1431531

44231101

3-----?? ?????-?? ??

???=3862962

9-----?? ??

???.28.解一

----?? ?????

??→

?-----?? ?????

?2130130102243

905321

30101120

12?→

?--?? ?????

??→

??? ?????

0350

11200880

141

0350

11200110

0?→

??? ?

????1

0020

10100110

所以α4=2α1+α2+α3，组合系数为（2，1，1）.

解二考虑α4=x 1α1+x 2α2+x 3α3，即

-++=-=-+=+-=??

??23031224

3491231223123x x x x x x x x x x .方程组有唯一解（2，1，1）T

，组合系

数为（2

，1

，1）.29.解

对矩阵

施行初等行变换

?→

?-----?? ?????

?12102000620328209

2?→

?-----?? ?????

??→

?----?? ?

????1210

328

3000620

21020

32830003100

0=B .（1）秩（B ）=3，所

以秩（A ）=秩（B ）=3.（2）由于A 与B 的列向量组有相同的线性关系，而B 是阶梯形，B 的第1、2、4列是B 的列向量组的一个最大线性无关组，故A 的第1、2、4列是A 的列向量组的一个最大线性无关组。（A 的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解 A 的属于特征值λ=1的2个线性无

关的特征向量为ξ1=（2，-1，0）T ， ξ2=（2，0，1）T

.经正交标准化，得η

1=255550//-??

????

，η2=2515451553///??

????

λ=-8的一个特征向量为ξ3=

122-?? ?

????，经单位化得η

132323///.-?? ??

???所求正交矩阵为

T =

255215151355451523053

23////////--??

?.对角矩阵

D =1000

100

8-?? ??

???.（也可取

T =25521515130

532355

4515

23////////---??

?.）

31.解 f(x 1，x 2，x 3)=（x 1+2x 2-2x 3）2-2x 22+4x 2x 3-7x 32

=（x 1+2x 2-2x 3）2-2（x 2-x 3）2-5x 32

.设y x x x y x x y x 11232233322=+-=

-=??????

?，即x y y x y y x y 1122233

32=-=

+=???

??，

因其系数矩阵C =1

200

110

1-?? ??

???可逆，故此线性变换满秩。经此变换即得f(x 1，x 2，x 3)的标准形

y 12-2y 22-5y 32 .四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）

32.证由于（E -A ）（E +A +A 2

）=E -A 3

=E ，

所以E -A 可逆，且

（E -A ）-1= E +A +A 2 .33.证由假设A η0=b ，A ξ1=0，A ξ2=0. （1）A η1=A （η0+ξ1）=A η0+A ξ1=b ，同理A η2= b ，所以η1，η2是Ax =b 的2个解。（2）考虑l 0η0+l 1η1+l 2η2=0，

即（l 0+l 1+l 2）η0+l 1ξ1+l 2ξ2=0.

则l 0+l 1+l 2=0，否则η0将是Ax =0的解，矛盾。所以 l 1ξ1+l 2ξ2=0.

又由假设，ξ1，ξ

2线性无关，所以l 1=0，l 2=0，从而

l 0=0 .

所以η0，η1，η2线性无关。

一、选择题（本题共4小题，每小题4分，满分16分。每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）

1、设A ，B 为n 阶方阵，满足等式0=AB ，则必有（）

(A)0=A 或0=B ; (B)0=+B A ；（C ）0=A 或0=B ; (D)0=+B A 。 2、A 和B 均为n 阶矩阵，且222()2A B A AB B +=++，则必有（） (A) A E =； (B)B E =；（C ） A B =. (D) AB BA =。 3、设A 为n m ?矩阵，齐次方程组0=Ax 仅有零解的充要条件是（） (A) A 的列向量线性无关； (B) A 的列向量线性相关；（C ） A 的行向量线性无关； (D) A 的行向量线性相关. 4、 n 阶矩阵A 为奇异矩阵的充要条件是（） (A) A 的秩小于n ； (B) 0A ≠；

5、若4阶矩阵A 的行列式5A =-，A *是A 的伴随矩阵，则*A = 。

6、A 为n n ?阶矩阵，且220A A E --=，则1(2)A E -+= 。

7、已知方程组???

??=????? ???????

?-+43121232

2132

1x x x a

a 无解，则a = 。 8、二次型2221231231213(,,)2322f x x x x x tx x x x x =++++是正定的，则t 的取值范围是。

三、计算题（本题共2小题，每题8分，满分16分）9、计算行列式

1111111111111

1x x D y y

+-=

+-10、计算n 阶行列式12121

333

n n n n x x x x x x D x x x ++=

四、证明题（本题共2小题，每小题8分，满分16分。写出证明过程）

11、若向量组123,,ααα线性相关，向量组234,,ααα线性无关。证明：(1) 1α能有23,αα线性表出；(2) 4α不能由123,,ααα线性表出。12、设A 是n 阶矩方阵，E 是n 阶单位矩阵，E A +可逆，且1()()()f A E A E A -=-+。证明（1） (())()2E f A E A E ++=；（2） (())f f A A =。五、解答题（本题共3小题，每小题12分，满分32分。解答应写出文字说明或演算步骤

13、设2

000

3202

3A ??

= ? ???，求一个正交矩阵P 使得1P AP -为对角矩阵。14、已知方程组???

??=++=++=++0

4020

3221

321321x

a x x ax x x x x x 与方程组12321-=++a x x x 有公共解。求a 的值。15、设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知1η，2η，3η是它的三个解向量，且????

???

??=54321η，

????

? ??=+432132ηη求该方程组的通解。解答和评分标准一、选择题1、C ； 2、D ； 3、A ； 4、A 。

二、填空题5、-125; 6、2

π； 7、-1； 8、5

>t 。

三、计算题9、解：第一行减第二行，第三行减第四行得：001111001

1x x x D

y y y

第二列减第一列，第四列减第三列得：0001100001

x x D y y

- （4分）

按第一行展开得10

x D x y y

-=-按第三列展开得22

x D xy x y

-=-=。（4分）

10、解：把各列加到第一列，然后提取第一列的公因子??

??+∑=n i i x 13，再通过行列式的变换化

为上三角形行列式2212

331

n n n n i i n x x x x D x x x =+??=+ ?

??+∑

（4分）211

3030

n n i i x x x =??=+ ?

??∑

3n n i i x -=??

=+ ???

∑

（4分）四、证明题11、证明：(1)、因为332,ααα，线性无关，所以3

2αα，线性无关。，又321ααα，，线性相关，故1α能由32αα，线性表出。 (4分)

123()3

r ααα=，，，（2）、（反正法）若不，则4α能由321,ααα，线性表出，

不妨设3322114ααααk k k ++=。由（1）知，1α能由32αα，

线性表出，不妨设32211αααt t +=。所以3322322114)(αααααk k t t k +++=，

这表明432,ααα，

线性相关，矛盾。 12、证明（1）1

(())()[()()]()

E f A E A E E A E A E A -++=+-++1

()()()()()()2E A E A E A E A E A E A E -=++-++=++-= （4分）（2）

(())[()][()]

f f A E f A E f A -=-+由（1）得：11[()]()

2E f A E A -+=

+，代入上式得

111(())[()()]()()()()

()

2f f A E E A E A E A E A E A E A E A --=--++=

+--++11()()2

E A E A A =+-

-= （4分）

五、解答题13、解：（1）由0E A λ-=得A 的特征值为11λ=，22λ=，35λ=。（4

分）（2）11λ=的特征向量为1011ξ?? ?=- ? ???，22λ=的特征向量为2100ξ??

= ? ???

，35λ=的特征向量为

3011ξ??

= ?

???

。（3分）（3）因为特征值不相等，则123,,ξξξ正交。

（2分）（4）将123,,ξξξ

单位化得10111p ???=-???，2100p ?? ?

= ? ???

，30111p ???=???

（2分）（5）取

(

)

123010,,00

P p p p ?

? ? ? ==- ?

（6）

1000

2000

5P AP -?? ?

= ? ??

（1分）14、解：该非齐次线性方程组b Ax =对应的齐次方程组为0=Ax 因3)(=A R ，则齐

次线性方程组的基础解系有1个非零解构成，即任何一个非零解都是它的基础解系。（

分

）

另

一

方

面

，

记

向

量

)

(2321ηηηξ+-=，

则

022)2(321321=--=--=--=b b b A A A A A ηηηηηηξ直接计算得0

)

6,5,4,3(≠=T

ξ，ξ就

是它的一个基础解系。根据非齐次线性方程组解的结构知，原方程组的通解为

????

??+??????? ??=+=543265431k k x ηξ，R k ∈。（7分）15、解：将①与②联立得非齐次线性

方程组:?????

??-=++=++=++=++.12,04,02,0321

213

21a x x x x a x x ax x x x x x 若此非齐次线性方程组有解, 则①与②有公共解, 且③的解即为所求全部公共解. 对③的增广矩阵A 作初等行变换得

→???????

?-=11

104102101112

a a

a A ??????

?-----110

00)

1)(2(000110

0111a a

a a a . （4分）1°当1a =时，有

()()23r A r A ==<，方程组③有解, 即①与②有公共解, 其全部公共解即为③的通解，此

时

????

?→00

0000000100101

A ，则方程组③为齐次线性方程组，其基础解系为: ??

???

??-101,所以①与②

的全部公共解为???

? ??-101k ，k 为任意常数. （4分）2° 当2a =时，有()()3r A r A ==，

方程组③有唯一解, 此时??????

?-→00

011001010

0001

A 故方程组③的解为:011?? ?

? ?-??, 即①与②有唯一

公共解011x ??

= ? ?-??

. （4分）全国2011

年4月高等教育自学考试线性代数（经

管类）试题课程代码：04184

说明：A T 表示矩阵A 的转置矩阵，A *表示矩阵A 的伴随矩阵，E 是单位矩阵，|A |表示方阵A 的行列式. 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1．下列等式中，正确的是（） A

．

B ．

C ．5

D ．

2．下列矩阵中，是

初等矩阵的为（）A ． B

．

C ．

D ．3．设A 、B 均为n 阶可逆矩阵，且C

=，

则C -1是（）A ． B

．

C ．

D ．4．设A 为3阶矩阵，A 的秩r (A )=3，则

矩阵A *的秩r (A *)=（）A ．0 B ．1 C ．2

D ．35．设向量

，

若有常数a ,b 使，则（）A ．a =-1, b =-2

B ．a =-1, b =2

C ．a =1, b =-2

．

a =1,

b =26

．

向

量

组

的极大线性无关组为（）

A ．

B ．

C ．

D ．7．设矩阵A =，那么矩阵A 的列向

量组的秩为（） A ．3 B ．2 C ．1

D ．08．设

是可逆矩阵A 的一个特征值，则矩阵

有一个特征值等于（）

A ．

B ．

C ．

D ．9．设矩阵A =，则A 的对应于特征值

的特征向量为（）A ．（0，0，0）T B ．（0，2，-1）T

C ．（1，0，-1）T

D ．（0，1，1）T

10．二次型2221213212),,(x x x x x x x f +-=的

矩阵为（）A ． B ．

C ．

D ．二、填空题（本大题共10小题，每小

题2分，共20分）请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11．行列式

__________.12．行列式

001011110403

--中第4行各元素的代数余子式之和为

__________.13．设矩阵A =

，B =（1，2，3），则BA =__________.14．设3阶方阵A 的行列式|A |=

1，

则|A 3

|=__________.15．设A ，B 为n 阶方阵，且AB =E ，A -1

B =B -1

A =E ，则A 2

+B 2

=__________.16．已知3维向量=（1，-3，3），

（1，0，-1）则+3=__________.17．设向量=（1，2，3，4），则的单

位化向量为__________.18．设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为0，且A 的秩为n -1，则齐次线性方程组Ax =0的通解为__________.19．设3阶矩阵A 与B 相似，若A 的特征值为4

1,31,21，则行列式

|B -1

|=__________.20．设A =

是正定矩阵，则a 的取值范围为__________.三、计算题（本大题共6

小题，每小题9分，共54分）21．已知矩阵A =，B =

，求：（1）A T B ；（2）|A T B |.

22．设A =，B =，C =，且满足AXB =C ，求矩阵X .23．求向量组=（1, 2, 1, 0）

，=（1, 1, 1, 2）T

，

=（3, 4, 3, 4）T

，

=（4, 5, 6, 4）T

的秩与一个极大线性无关组. 24．判断线性

方程组???

??-=+-=+--=-+-1

5424213431

43214321x x x x x x x x x x x 是否有解，有解时求出它的解.25．已知2阶矩阵A 的特征值为

=1，=9，

对应的特征向量依次为=（-1，1）T ，=（7，1）T

，求矩阵A .26．已知矩阵A 相似于对角矩阵Λ=

，

求行列式|A -E |的值.四、证明题（本大题共6分）27．设A 为n 阶对称矩阵，B 为n 阶反对称矩阵.证明：

（1）AB -BA 为对称矩阵；（2）AB +BA 为反对称矩阵.