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新课标高考立体几何分类汇编(理)

2011-2017新课标(理科)立体几何分类汇编

一、选填题

【2012新课标】（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ B ） ()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18 【解析】选B 。该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3，此几何体的体积为11633932

V =????=

【2012新课标】（11）已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上，ABC ?是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =；则此棱锥的体积为（ A ）

()

A ()

B ()

C ()D

【解析】ABC ?的外接圆的半径r =

O 到面ABC 的距离d ==，SC 为球

O 的直径?点S 到面ABC 的距离为2d =

233ABC V S d ?=?==

另：1236

ABC V S R ?<

?=排除,,B C D

【2013新课标1】6、如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm ，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，如果不计容器的厚度，则球的体积为 ( A )

A 、500π3cm 3

B 、866π3cm 3

C 、1372π3cm 3

D 、2048π3cm 3

【解析】设球的半径为R ，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为

R-2，则2

(2)4R R =-+，解得R=5，∴球的体积为3453

π?=500π

3cm ，故选A.

【2013新课标1】8、某几何函数的三视图如图所示，则该几何的体积为( A )

A 、16+8π

B 、8+8π

C 、16+16π

D 、8+16π 【解析】由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2 高为4，上边放一个长为4宽为2高为2长方体，故其体积为

244222

π??+?? =168π+，故选A .

【2013新课标2】4. 已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，l α，l β，则( D )．

A ．α∥β且l ∥α

B ．α⊥β且l ⊥β

C ．α与β相交，且交线垂直于l

D ．α与β相交，且交线平行于l

【解析】因为m ⊥α，l ⊥m ，l α，所以l ∥α.同理可得l ∥β。又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D.

【2013新课标2】7. 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx

平面为投影面，则得到的正视图可以为( A )．

【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O －xyz 的图像如图：

【2014新课标1】12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（ B ）

A 、6

B 、6

C 、4

D 、4

【解析】几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C 到BD 的中点的距离为：4，，AC==6，AD=4

，显然AC 最长。

【2014新课标2】6. 如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，

图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( C ) A.1727 B.59 C.1027 D.13

【解析】该零件是一个由两个圆柱组成的组合体，其体积为π×32×2＋

π×22×4＝34π(cm 3)，原毛坯的体积为π×32×6＝54π(cm 3)，切削掉部分的体积为54π－34π＝

20π(cm 3)，故所求的比值为20π54π＝10

27。

【2014新课标2】11. 直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，

BC ＝CA ＝CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为( C ) A.110 B.25 C.3010 D.22

【解析】如图，E 为BC 的中点．由于M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，故MN ∥B 1C 1且MN ＝1

2B 1C 1，故MN 綊BE ，所以四边形MNEB 为平行四边形，所以EN 綊BM ，所以直线AN ，NE 所成的角即为直线BM ，AN 所成的角．设BC ＝1，则B 1M ＝12B 1A 1＝2

2，所以MB ＝

1＋12＝62＝NE ，AN ＝AE ＝5

2，在△ANE

中，根据余弦定理得cos ∠ANE ＝64＋54－542×62×52＝30

10。

【2015新课标1】6.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有（ B ）

A.14斛

B.22斛

C.36斛

D.66斛

【2015新课标1】(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16 + 20π，则r=（ B ）

（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8

【2015新课标2】（6）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）（A ）

（B ）

（C ）

（D ）

【解析】

由三视图得，

在正方体

中，截去四面体

，如图所示，

，设正方

体棱长为

，则

，故剩余几何体体积为

，所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为

．

【2015新课标2】（9）已知A,B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90,C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为（ C ）

A ．36π B.64π C.144π D.256π 【解析】如图所示，当点C 位于垂直于面的直径端点时，三棱锥

的体积最大，设球

的半径为

，此时，故

，则球

的表面

积为，故选C ．

【2016新课标1】（6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直

的半径.若该几何体的体积是

283

，则它的表面积是（ A ）（A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π

【解析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的1

（如右图所示），故

34728383r ππ=

解得2r =，2271

431784

S r r πππ∴=?+?=。

【2016新课标1】(11)平面a 过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ，a //平面CB 1D 1，a ?平面ABCD =m ，a ?平面ABA 1B 1=n ，则m 、n 所成角的正弦值为（ A ）

【详细解答】令平面a 与平面CB 1D 1重合，则m = B 1 D 1，n = CD 1 故直线m 、n 所成角为60o

【2016新课标2】6. 右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，

则该几何体的表面积为( C )

（A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π

【解析】几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为，周长为，圆锥母线长为，圆柱高为．由图得，，由勾股定理得：

【2016新课标2】14. α，β是两个平面，m ，n 是两条线，有下列四个命题： ①如果m n ⊥，m α⊥，n β∥，那么αβ⊥。②如果m α⊥，n α∥，那么m n ⊥．

③如果a β∥,m α?,那么m β∥。 ④如果m n ∥,αβ∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等．

其中正确的命题有 ②③④ .(填写所有正确命题的编号)

r c l h 2r =2π4πc r ==

4l ==2

1π2

S r ch cl =++表4π16π8π

28π=

【2016新课标3】9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ B ）

(A )18＋36 5 (B )54＋18 5 (C )90 (D )81

【2016新课标3】10. 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 13，则V 的最大值是（ B ）

(A )4π (B )9π2 (C )6π (D )32π

【2017新课标1】7．某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ B ） A ．10 B ．12 C ．14 D ．16

【2017新课标1】16．如图，圆形纸片的圆心为O ，半径为5 cm ，该纸片上

的等边三角形ABC 的中心为O 。D 、E 、F 为圆O 上的点，△DBC ，△ECA ，△FAB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为

折痕折起△DBC ，△ECA ，△FAB ，使得D 、E 、F 重合，得到三棱锥。当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm 3）的最大值为

____。

【2017新课标2】4. 如图，网格纸上小正方形

的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视

图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分所得，则该几何体的体积为（ B ）

A ．90π

B ．63π

C ．42π

D ．36π 【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半。

2211

π310π3663π22

=-=??-???=V V V 总上

【2017新课标2】10.已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB 与1C B 所成角的余弦值为（ C ）

A ． C 【解析】M ，N ，P 分别为A

B ，1BB ，11B

C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补

角（异面线所成角为π02?

? ??

?，）

可知112MN AB =

，112NP BC =BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形．

1=PQ ，1

MQ AC =

，

ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠

=4+1-2′2′1×-12?è???÷=7

，AC

MQ =，则MQP △

中，MP =

则PMN △中，222cos 2MN NP PM PNM MH NP +-∠=

+-== 又异面线所成角为π02?

? ???

，

。

【2017新课标3】8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ B ）

A ．π

B ．3π4

C ．π２

D ．π

【解析】由题可知球心在圆柱体中心，圆柱体上下底面圆半径

r =2

3ππ4V r h ==，故选B. 【2017新课标3】16．a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC

所在直线与

a ，

b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论： ①当直线AB 与a 成60?角时，AB 与b 成30?角； ②当直线AB 与a 成60?角时，AB 与b 成60?角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45?；

④直线AB 与a 所成角的最大值为60?．其中正确的是___②③_____（填写所有正确结论的编号）【解析】由题意知，a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．

不妨设图中所示正方体边长为1，故||1AC =

，AB =AB 以直线AC 为旋转轴旋转，则A 点保持不变，B 点的运动轨迹是以C 为圆心，1为半径的圆。以C 为坐标原点，以

为x 轴

正方向，

为y 轴正方向，

为z 轴正方向建立空间直角坐标系．

则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ，直线a 的方向单位向量，

，B

点起始坐标为(0,1,0)，直线b 的方向单位向量

，

，设B 点在运动过程中的坐

标(cos ,sin ,0)B θθ'，

其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈。那么'AB 在运动过程中的向量

，

设

与所成夹角为π

[0,]2

α∈

，则

故ππ

[,]42

α∈，所以③正确，④错误．设

与所成夹角为π

[0,]2

β∈，

当

与夹角为60?时，即π3α=

，sin 3πθα==．

∵22cos sin 1θθ+=，

∴|cos |θ=

∴1cos cos |2

βθ==． ∵π[0,]2β∈，∴π

β，此时AB '与b 夹角为60?，∴②正确，①错误．

二、解答题

【2011新课标】如图，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA ⊥BD ；

(Ⅱ)若PD=AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值。【答案】

（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=,

由余弦定理得

BD = ，从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥

平面PAD. 故PA ⊥BD

（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则

()1,0,0A

,()0B

,()

C -,()0,0,1P 。

PAB 的法向量为n=（x,y,z ），则 0

z =-= 因此可取n=

设平面PBC 的法向量为m ，则 00

m PB m BC ?=?= 可取m=

（0，-1，） 4cos ,727

m n -==-

故二面角A-PB-C 的余弦值为

【2012新课标】19. 如图，直三棱柱111ABC A B C -中，

AC BC AA ==

，D 是棱1AA 的中点，BD DC ⊥1 （1）证明：BC DC ⊥1 （2）求二面角11C BD A --的大小。

【答案】（1）在Rt DAC ?中，AD AC = 得：45ADC ?∠= 同理：1114590A DC CDC ??∠=?∠=

得：111,DC DC DC BD DC ⊥⊥?⊥面1BCD DC BC ?⊥ （2）11,DC BC CC BC BC ⊥⊥?⊥面11ACC A BC AC ?⊥ 取11A B 的中点O ，过点O 作OH BD ⊥于点H ，连接11,C O C H 1111111AC B C C O A B =?⊥，面111A B C ⊥面1A BD 1C O ?⊥面1A BD

1OH BD C H BD ⊥?⊥ 得：点H 与点D 重合且1C DO ∠是二面角11C BD A --的平面角

设AC a =

，则12

C O =

，111230C D C O C DO ?==?∠= 既二面角11C BD A --的大小为30?

【2013新课标1】18、（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CA=CB ，AB=A A 1， ∠BAA 1=60°.

（Ⅰ）证明AB ⊥A 1C;

（Ⅱ）若平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，AB=CB=2，求直线A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值。【答案】（Ⅰ）取AB 中点E ，连结CE ，1A B ，1A E ，∵AB=1AA ，1BAA ∠=060，∴1BAA ?是正三角形，∴1A E ⊥AB ， ∵CA=CB ， ∴CE ⊥AB ， ∵1CE A E ?=E ，∴AB ⊥面1CEA ， ∴AB ⊥1A C ；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC ⊥AB ，1EA ⊥AB ，

又∵面ABC ⊥面11ABB A ，面ABC∩面11ABB A =AB ，∴EC ⊥面11ABB A ，∴EC ⊥1EA ，∴EA ，EC ，1EA 两两相互垂直，以E 为坐标原点，

的方向为x 轴正方向，|

|为单位长度，建立

如图所示空间直角坐标系O xyz -，由题设知A(1,0,0),1A

),B(－1,0,0),则=

（1,0

）,=

=(－

=(0,

), 设n =(,,)x y z 是平面11CBB C 的法向

量，则

，即00

x x ?+=??+=??，

可取n =

，1，-1），

∴

， ∴直线A 1C 与平面BB 1C 1C

【2013新课标2】18．如图，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB

＝

AB . (1)证明：BC 1∥平面A 1CD ；

(2)求二面角D －A 1C －E 的正弦值．【答案】

(1)连结AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则BC 1∥DF .因为DF ?平面A 1CD ，BC 1平面A 1CD ，所以BC 1∥

平面A 1CD . (2)由AC ＝CB

＝

AB 得，AC ⊥BC . 以C 为坐标原点，的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系C －xyz .

设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，

＝(1,1,0)，

＝(0,2,1)，

＝(2,0,2)．

设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则

即11110,

220.

x y x z +=??

+=? 可取n ＝(1，－1，－1)．

同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则

可取m ＝(2,1，－2)．

从而cos 〈n ，m

〉＝

|||3

·n m n m ，故sin 〈n ，m

即二面角D －A 1C －E

【2014新课标1】19．如图，三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，AB ⊥B 1C ．（Ⅰ ）证明：AC=AB 1；

（Ⅱ ）若AC ⊥AB 1，∠CBB 1=60°，AB=BC ，求二面角A ﹣A 1B 1﹣C 1的余弦值．【答案】（1）连结BC 1，交B 1C 于点O ，连结AO ，∵侧面BB 1C 1C

为菱形， ∴BC 1⊥B 1C ，且O 为BC 1和B 1C 的中点，又 ∵AB ⊥B 1C ，∴B 1C ⊥平面ABO ，

∵AO?平面ABO，∴B1C⊥AO，又B1O=CO，∴AC=AB1，

（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，

又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，

∴OA，OB，OB1两两垂直，

以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，

的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，

∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，

∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）

∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），

设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，

则，可取=（1，，），

同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），

∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为

【2014新课标2】18.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.

（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；

（Ⅱ）设二面角D-AE-C为60°，AP=1，

三棱锥E-ACD的体积.

【答案】

（1）连结BD交AC于点O,连结EO

因为ABCD为矩形，所以O为BD的中点

又E为的PD的中点，所以EO∥PB

EO?平面AEC,PB?平面AEC，所以PB∥平面AEC

（2）因为PA⊥平面ABCD，ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两垂直

如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，为单位长，建立空间直角坐标系，

则A—xyz,则

则

),=(0,

)

设B(m,0,0)(m＞0)，则C（

，0）

设n(x,y,z)为平面ACE的法向量，

则{即

y z

可取1n =（

1n =（1,0,0）为平面DAE 的法向量，

由题设12cos(,)n n =12，12，解得m=3

因为E 为PD 的中点，所以三棱锥E-ACD

的高为

12，三棱锥E-ACD 的体积为V=13?12??32?1

2=8

【2015新课标1】（18）如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE=2DF ，AE ⊥EC 。（1）证明：平面AEC ⊥平面AFC

（2）求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值

【2015新课标2】如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB = 16，BC = 10，AA 1 = 8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E = D 1F = 4，过点E ，F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。

（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值。【答案】

【2016新课标1】18. 如图，在已A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶

点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF =2FD ，

90AFD ∠=，且二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60．

（I ）证明平面ABEF ⊥EFDC ；（II ）求二面角E -BC -A 的余弦值．【答案】（I ）,AF FE AF FD ⊥⊥，AF FECD ⊥面，

又

AF ABFE ?面,所以平面ABEF ⊥EFDC ；

（II ）以E 为坐标原点，EF ，EB 分别为x 轴和y 轴建立空间直角坐标系（如图），设2AF =，则1FD =，因为二面角D -AF -E 与二面角C -BE -F 都是60，即60o EFD FEC ∠=∠=，

易得(0,2,0)B ,(2,2,0)A

,1(,0,22

C ，

D D 1

C 1

A 1 E

C B 1

设平面EBC 与平面ABCD 的法向量分别为

和

，则

令11x =

，则110,y z ==，

由，

令22z =

，则220,x y ==

E -BC -A

余弦值19

【2016新课标2】19. 如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，5AB =，6AC =，点E ，

F 分别在AD ，CD 上，5

AE CF ==，EF 交BD 于点H .将

△DEF 沿EF 折到△D EF '

的位置OD '（I ）证明：D H '⊥平面ABCD ；（II ）求二面角B D A C '--的正弦值. 【答案】

⑴证明：∵，∴，∴． ∵四边形为菱形，

∴，∴，∴，∴．∵，∴；又，，∴，∴，

∴，∴， ∴．又∵， ∴面． ⑵建立如图坐标系．，

，，，

设面法向量

，

4AE CF ==AE CF AD CD

EF AC ∥ABCD AC BD ⊥EF BD ⊥EF DH ⊥EF DH

'⊥6AC =3AO =5AB =AO OB ⊥4OB =1AE OH OD AO

=?=3DH D H '==222

'OD OH D H '=+'D H OH ⊥OH EF H =I 'D H ⊥ABCD H xyz -()500B ，，()130C ，，()'003D ，，()130A -，，'

ABD

由得，取

∴．同理可得面的法向量,

，∴

【2016新课标3】(19)如图，四棱锥P－

ABCD中，P A⊥平面ABCD，AD∥BC，

AB＝AD＝AC＝3，P A＝BC＝4，

M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为

PC的中点。

（1）证明：MN∥平面P AB

（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.

【答案】

【2017新课标1】18. 如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且

BAP CDP

∠=∠=.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC，90

APD

∠=，求二面角A-PB-C的余弦值. 【答案】

（1）由已知90

BAP CDP

∠=∠=?，得AB⊥AP，CD⊥PD.

由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.

又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

（2）在平面PAD内做PF AD

⊥，垂足为F，由（1）可知，AB⊥

平面PAD，故AB PF

⊥，可得PF⊥平面ABCD.

以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，为单位长，

建立如图所示的空间直角坐标系F xyz

-。由（1

）及已知可得

，P

，B

，(C，

430

330

x y

x y z

-++=

sinθ

所以

设(,,)x y z =n 是平面PCB 的法向量，则

，即022

0x y z ?-

+-=??=

，可取(0,1,=-n . 设(,,)x y z =m 是平面PAB 的法向量，则

，即022

x z y -=?

??=?

，可取(1,0,1)=n

，则cos ,||||3?==-<>n m n m n m ，所以二面角A PB C --

的余弦值为3

。

【2017新课标2】19. 如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，

o 1

,90,2

AB BC AD BAD ABC ==

∠=∠= E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面PAB （2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成锐角为o 45 ，

求二面角M -AB -D 的余弦值【答案】

（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．

∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，

∴12EF AD ∥．又∵90BAD ABC ∠=∠=?，∴BC AD ∥，又∵12AB BC AD ==，∴1

2BC AD ∥，

∴EF BC ∥．∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥，又∵BF PAB ?面，∴CE PAB 面∥ （2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．设1AB BC ==，

则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，，，(010)D ，

，，

，(003)P ，．

M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=?，∴MBM '△为等腰直角三角形． ∵POC △为直角三角形，OC OP =，∴60PCO ∠=?．设MM a '=

，CM '=

，1OM '=．

∴100M ??'- ? ???

，，．

BM a a '===?=

∴112OM '=-

=-．

∴100M ??' ? ???，

，10M ?- ??

．设平面ABM 的法向量．

110y z =，

，．

设平面ABD 的法向量为，

，

∴二面角M AB D --

．

【2017新课标3】19. 如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形．，AB BD =．（1）证明：平面平面ABC ；（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD

分成体积相等的两部分．求二面角D AE C --的余弦值．

【解析】⑴取AC 中点为O ，连接BO ，DO ；

∵D ABC 为等边三角形 ∴BO AC ⊥ ∴AB BC =

AB BC

BD BD

ABD DBC =??

=??∠=∠?

ABD CBD ∴???. ∴AD CD =,即ACD ?为等腰直角三角形，ADC ∠为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥

令AB a =，则AB AC BC BD a ====

，易得：OD =

，OB =

∴222

OD OB BD +=，由勾股定理的逆定理可得2

DOB π∠=，即OD OB ⊥

OD ^AC

OD ^OB AC ∵OB =O AC ìABC

OB ìABC ìí?

???

?OD ABC ∴⊥平面又∵OD ADC ?平面，

由面面垂直的判定定理可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵由题意可知V V D ACE B ACE --=，即B ,D 到平面ACE 的距离相等，即E 为BD 中点，以O 为原点，

为x 轴正方向，

为y 轴正方向，

为z 轴正方向，设

AC a =，建立空间直角坐标系，则()0,0,0O ，,0,02a A ?? ???，0,0,2a D ?

? ???

，,0B ?? ? ???

，,4a E ?? ? ???

易得：

，

设平面AED 的法向量为，平面AEC 的法向量为

，

则

E O

--为θ，易知θ

2019高考试题分类汇编-立体几何

2019高考试题分类汇编-立体几何立体几何 1（2019北京文）（本小题14分）如图，在三棱锥P –ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA =AB =BC =2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．（Ⅰ）求证：PA ⊥BD ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；（Ⅲ）当PA ∥平面BD E 时，求三棱锥E –BCD 的体积． 2（2019新课标Ⅱ理）（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB =BC = 1 AD , ∠BAD =∠ABC =90o , E 是PD 的中点． 2 （1）证明：直线CE ∥平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45o ，求二面角M -AB -D 的余弦值． 3（2019天津理）（本小题满分13分）如图，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥底面ABC ，∠BAC =90?. 点D ，E ，N 分别为棱PA ，P C ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，PA =AC =4，AB =2. （Ⅰ）求证：MN ∥平面BDE ；（Ⅱ）求二面角C -EM -N 的正弦值；（Ⅲ）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为，求线段AH 的长. 21 4（2019新课标Ⅲ理数）a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；③直线AB 与a 所称角的最小值为45°；④直线AB 与a 所称角的最小值为60°；

近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总

高考真题集锦（立体几何部分） 1.(2016.理1）如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积是（） A 20π B24π C28π D.32π 2. βα，是两个平面，m,n 是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m ⊥n,m ⊥α，n ∥β，那么βα⊥；（2）如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n. （3）如果αβα?m ，∥那么m ∥β。（4）如果m ∥n,βα∥，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。其中正确的命题有___________ 3.（2016年理1）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是π328，则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ，α//平面11D CB ，?α平面ABCD =m ， ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为（） A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.（2016年理1）如图，在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中，面ABEF 为正方形，AF=2FD ，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .（12分）（Ⅰ）证明：平面ABEF ⊥平面EFDC ；（Ⅱ）求二面角E-BC-A 的余弦值.

6. (2015年理1）圆柱被一个平面截取一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积是16+20π，则r=（） A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC=120°，E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点，BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明：平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如下图，则截取部分体积和剩余部分体积的比值为（） 9.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，点E ，F 分别在1111C D B A ，上，411==F D E A ，过点E,F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形。（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）；（2）求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，AB=5，AC=6，点E,F 分别在AD,CD 上，AE=CF=45 ，EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置，OD ’=10 （1）证明：D ’H ⊥平面ABCD （2）求二面角B-D ’A-C 的正弦值

(完整版)2019数学高考试题分类汇编立体几何

2019年数学高考试题汇编—立体几何 1、全国I 理12．已知三棱锥P ?ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为（） A ．68π B ．64π C ．62π D ．6π 2、全国III 理8．如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（） A ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线 C ．BM =EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线 3、浙江4．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幂势既同，则积不容易”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体体积公式V 柱体=Sh ，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高.若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是 A ．158 B ．162 C ．182 D ．32 4、浙江8．设三棱锥V -ABC 的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P -AC -B 的平面角为γ，则 A ．β<γ，α<γ B ．β<α，β<γ C ．β<α，γ<α D ．α<β，γ<β 5、北京理（11）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__________． 6、北京理（12）已知l ，m 是平面α外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l ⊥m ；②m ∥α；③l ⊥α．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：__________． 7、江苏9．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是 . 8、全国I 文16．已知∠ACB=90°，P 为平面ABC 外一点，PC =2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为______ _____． 9、全国II 文理16．中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体．半正多面体体现了数学的对称美．图2是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1．则该半正多面体共有________个面，其棱长为_________．（本题第一空2分，第二空3分．） 10、全国III 理16．学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型.如图，该模型为长方体1111ABCD A B C D -挖去四棱锥O —EFGH 后所得的几何体，其中O 为长方体的中心，E ，F ，G ，H 分别为所在棱的中点，16cm 4cm AB =BC =, AA =，3D 打印所用原料密度为0.9 g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.

高考数学专题复习立体几何(理科)练习题

A B C D P 《立体几何》专题练习题 1．如图正方体1111D C B A ABCD -中，E 、F 分别为D 1C 1和B 1C 1的中点， P 、Q 分别为A 1C 1与EF 、AC 与BD 的交点，（1）求证：D 、B 、F 、E 四点共面；（2）若A 1C 与面DBFE 交于点R ，求证：P 、Q 、R 三点共线 2．已知直线a 、b 异面,平面α过a 且平行于b ,平面β过b 且平行于a ,求证:α∥β． 3. 如图所示的多面体是由底面为ABCD 的长方体被截面AEFG 4=AB 1=BC 3=BE ,4=CF ,若如图所示建立空间直角坐标系． ①求EF 和点G 的坐标； ②求异面直线EF 与AD 所成的角； ③求点C 到截面AEFG 的距离． 4. 如图，三棱锥P —ABC 中， PC ⊥平面ABC ，PC=AC=2，AB=BC ，D 是PB 上一点，且CD 平面PAB ． (I) 求证：AB ⊥平面PCB ； (II) 求异面直线AP 与BC 所成角的大小；（III ）求二面角C-PA-B 的余弦值． 5. 如图，直二面角D —AB —E 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AE=EB ，F 为CE 上的点，且BF ⊥平面ACE. (1)求证AE ⊥平面BCE ； (2)求二面角B —AC —E 的余弦值． 6. 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，点M 在侧棱1BB 上. P Q F E D 1C 1B 1A 1D C B A F E C B y Z x G D A

（Ⅰ）若P 为AC 的中点，M 为BB 1的中点，求证BP//平面AMC 1；（Ⅱ）若AM 与平面11AA CC 所成角为30ο，试求BM 的长. 7. 如图，在底面是矩形的四棱锥P —ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝1，BC ＝2．（1）求证：平面PDC ⊥平面PAD ；（2）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值； 8. 已知：在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB = a ，AA 1 = 2a . D 是侧棱BB 1的中点.求证：（Ⅰ）求证：平面ADC 1⊥平面ACC 1A 1；（Ⅱ）求平面ADC 1与平面ABC 所成二面角的余弦值． 9. 已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，且60DAB ∠=，1AD AA =F 为棱1BB 的中点，M 为线段1AC 的中点．（Ⅰ）求证：直线MF //平面ABCD ；（Ⅱ）求证：直线MF ⊥平面11ACC A ；（Ⅲ）求平面1AFC 与平面ABCD 所成二面角的大小 10. 棱长是1的正方体，P 、Q 分别是棱AB 、CC 1上的内分点，满足 21==QC CQ PB AP . P A B C D E

2020年高考数学分类汇编：立体几何

2020年高考数学分类汇编：立体几何 4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°，则晷针与点A处的水平面所成角为 A．20°B．40° C．50°D．90° 8.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 442 C. 623 D. 423 9.右图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积是 A. 6+42 B. 4+42 C. 6+23 D. 4+23 7．右图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M，在俯视图中对应的点为N，则该端点在侧视图中对应的点为

A ． E B ． F C ．G D ． H 16.已知圆锥的底面半径为 1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的切球表面积为 11．已知△ABC 是面积为 934 的等边三角形，且其顶点都在球 O 的球面上．若球 O 的表面积为16π，则O 到平面ABC 的距离为A ． 3 B ．32 C ．1 D ． 32 16．设有下列四个命题： p 1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内．p 2：过空间中任意三点有且仅有一个平面．p 3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行．p 4：若直线l 平面α，直线m ⊥平面α，则m ⊥l ．则下述命题中所有真命题的序号是__________． ① 14p p ②12p p ③ 23 p p ④ 34 p p 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 ② ③A ． 514 B ． 512 C ． 514 D ． 512

全国高考理科数学：立体几何

2013年国理科数学试题分类汇编7立体几何一、选择题 1 ．（2013年新课标1（理））如图有一个水平放置的透明无盖的正方体容器容器8cm 将一个球放在容器口再向容器内注水当球面恰好接触水面时测得水深为6cm 如果不计容器的厚度则球的体积为） A 2 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））设,m n 是两条不同的直线,αβ是两个不同的平面下列命题正确的是（）[] A ．若αβ⊥m α?n β?则m n ⊥ B ．若//αβm α?n β?则//m n C ．若m n ⊥m α?n β?则αβ⊥ D ．若m α⊥//m n //n β则αβ⊥ 3 ．（2013年上海市春季数学试卷(含答案)）若两个球的表面积之比为1:4则这两个球的体积之比为（） A ．1:2 B ．1:4 C ．1:8 D ．1:16 4 ．（2013年普通等学校招生统一试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知正四棱柱 1111ABCD A B C D -12AA AB =则CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于（） A 5 ．（2013年新课标1（理））某几何体的三视图如图所示则该几何体的体积为

（） A ．168π+ B ．88π+ C ．1616π+ D ．816π+ 6 ．（2013年湖北卷（理））一个几何体的三视图如图所示该几何体从上到下由四个简单几何体组成其体积分别记为1V 2V 3V 4V 上面两个简单几何体均为旋转体下面两个简单几何体均为多面体则有（） A ．1243V V V V <<< B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<< D ．2314V V V V <<< 7 ．（2013年湖南卷（理））已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于（） A ．1 B 8 ．（2013年普通等学校招生统一试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））某四棱台的三视图如图所示则该四棱台的体积是

2018年高考数学立体几何试题汇编

2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积．全国1卷理科理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥. （1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点．

（1）证明：PO⊥平面ABC； --为30?，求PC与平面PAM所成角的正弦值．（2）若点M在棱BC上，且二面角M PA C 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直，M是?CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ ．

新课标三高考数学试题目分类解析立体几何

2007——2009新课标三年高考数学试题分类解析立体几何一、选择题 1．（2007·广东文6）若,,l m n是互不相同的空间直线，,αβ是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是 A．若α∥β，lα?，nβ?，则l∥n B．若α⊥β，lα ?，则lβ⊥ C．若l n⊥，m n⊥，则l∥m D．若l⊥β，l∥β，则αβ⊥ 解析：逐一判除,易得答案(D). 2．（2007·山东文理3）下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是（）D B A 1 B 1 D 1 A ①正②圆③三④正

P D B A A ．①② B ．①③ C ．①④ D ．②④ 答案：D 【分析】：正方体的三视图都相同，而三棱台的三视图各不相同，正确答案为D 。 2．（2007·海、宁理文8）已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（）Ａ．3 4000cm 3 Ｂ．3 8000cm 3 Ｃ．3 2000cm Ｄ．3 4000cm 答案：：B 解析：如图，18000 202020.33 V =???= 3．（2007·海、宁理12）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形， 22 正视 2侧视 112俯视

h 1 h(h 2) P D B A E A O S C B 且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1 h ，2 h ，h ，则1 2 ::h h h =（） 3 32:2 322 323 答案：：B 【分析】：如图，设正三棱锥P ABE -棱长为a ，则四棱锥P ABCD -的各棱长也为a ，于是221 22 ( ),2h a a = -= 222326( ),232 h a a h =-?== 1 2 ::32:2. h h h ∴= 4．（2007·海、宁文11）已知三棱锥S ABC -的各顶点都在一个半径为 r 的球面上，球心O 在AB 上，SO ⊥底面ABC ，2AC r =，则球的体积与三棱锥体积之比是（）Ａ．π Ｂ．2π Ｃ．3π Ｄ．4π

2016年高考文科数学真题分类汇编：立体几何

2016年高考数学文试题分类汇编立体几何一、选择题 1、（2016年山东高考）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（A ）12+π33 （B ）1+π33 （C ）1+π36 （D ）1+π6 2、（2016年上海高考）如图，在正方体ABCD ?A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BC 、BB 1的中点，则下列直线中与直线EF 相交的是（） (A)直线AA 1 (B)直线A 1B 1 (C)直线A 1D 1 (D)直线B 1C 1 【答案】D 3、（2016年天津高考）将一个长方形沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧（左）视图为（）

【答案】B 4、（2016年全国I 卷高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3 ，则它的表面积是（A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π 【答案】A 5、（2016年全国I 卷高考）如平面α过正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的顶点A ，11//CB D α平面,ABCD m α= 平面，11ABB A n α= 平面，则m ，n 所成角的正弦值为（A B C （D ）13 【答案】A

6、（2016年全国II卷高考）如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）（A）20π（B）24π（C）28π（D）32π 【答案】C 7、（2016年全国III卷高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）18+（B）54+（C）90 （D）81 【答案】B 8、（2016年浙江高考）已知互相垂直的平面αβ ，交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（） A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 【答案】C

历年全国理科数学高考试题立体几何部分精选(含答案)

1.在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的俯视图可以为 2.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且6,23 ==,则棱锥 AB BC -的体积为。 O ABCD 3.如图，四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明：PA⊥BD； (Ⅱ)若PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值。

2.83 3. 解：（Ⅰ）因为60,2DAB AB AD ∠=?=，由余弦定理得3BD AD = 从而BD 2+AD 2= AB 2，故BD ⊥AD 又PD ⊥底面ABCD ，可得BD ⊥PD 所以BD ⊥平面PAD. 故 PA ⊥BD （Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，AD 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz ，则 ()1,0,0A ，()03,0B ，，() 1,3,0C -，()0,0,1P 。 (1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)AB PB BC =-=-=- 设平面PAB 的法向量为n=（x ，y ，z ），则0, 0,{ n AB n PB ?=?= 即 3030 x y y z -+=-= 因此可取n=(3,1,3) 设平面PBC 的法向量为m ，则 m 0, m 0, { PB BC ?=?= 可取m=（0，-1，3-） 27 cos ,727 m n = =- 故二面角A-PB-C 的余弦值为 27 7 -

1. 正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为 A 23 B 33 C 2 3 D 63 2. 已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么PA PB ?的最小值为 (A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+ 3. 已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为 (A) 23 (B)43 (C) 23 (D) 83 4. 如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB ⊥⊥（Ⅰ）证明：SE=2EB ；（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 .

2018年高考题分类汇编之立体几何

2018年数学高考题分类汇编之立体几何 1．【2018年浙江卷】已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S?AB?C的平面角为θ3，则 A. θ1≤θ2≤θ3 B. θ3≤θ2≤θ1 C. θ1≤θ3≤θ2 D. θ2≤θ3≤θ1 2．【2018年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3．【2018年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D.4 4．【2018年新课标I卷文】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为 A. B. C. D. 5．【2018年新课标I卷文】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A. B. C. D. 6．【2018年全国卷Ⅲ文】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为 A. B. C. D. 7．【2018年全国卷Ⅲ文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 A. A B. B C. C D. D 8．【2018年全国卷II文】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为 A. B. C. D. 9．【2018年天津卷文】如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为 __________． 10．【2018年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．

高考立体几何大题20题汇总情况

高考立体几何大题20 题汇总情况 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

(2012江西省）（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5， BC=42，DE=4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG. （1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ；（2)求多面体C DEFG 的体积。 2012，山东(19) (本小题满分12分) 如图，几何体E ABCD -是四棱锥，△ABD 为正三角形， ,CB CD EC BD =⊥. (Ⅰ)求证：BE DE =； (Ⅱ)若∠120BCD =?，M 为线段AE 的中点，求证：DM ∥平面BEC . 2012浙江20．（本题满分15分）如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥1111ABCD A B C D -中，,AD BC //AD 11,2,2,4,2,AB AB AD BC AA E DD ⊥====是的中点，F 是平面11B C E 与直线1AA 的交点。（Ⅰ）证明：（i） 11;EF A D //ii （）111;BA B C EF ⊥平面（Ⅱ）求1BC 与平面11B C EF 所成的角的正弦值。 (第20题图) F E C 1 B 1 D 1A 1 A D B C

（2010四川）18、(本小题满分12分)已知正方体''''ABCD A B C D -中，点M 是棱'AA 的中点，点O 是对角线'BD 的中点，（Ⅰ）求证：OM 为异面直线'AA 与'BD 的公垂线；（Ⅱ）求二面角''M BC B --的大小； 2010辽宁文（19）（本小题满分12分）如图，棱柱111ABC A B C -的侧面11BCC B 是菱形，11B C A B ⊥ （Ⅰ）证明：平面11A B C ⊥平面11A BC ；（Ⅱ）设D 是11A C 上的点，且1//AB 平面1B CD ，求11:A D DC 的值。

2020高考数学分类汇编--立体几何

2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 3．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 A ． 1 4 B ． 1 2 C ． 1 4 D ． 1 2 10．已知,,A B C 为球O 的球面上的三个点，⊙1O 为ABC △的外接圆，若⊙1O 的面积为4π， 1AB BC AC OO ===，则球O 的表面积为 A ．64π B ．48π C ．36π D ．32π 16．如图，在三棱锥P –ABC 的平面展开图中，AC =1，AB AD =AB ⊥AC ，AB ⊥AD ， ∠CAE =30°，则cos ∠FCB = . 18．（12分）如图，D 为圆锥的顶点，O 是圆锥底面的圆心，AE 为底面直径，AE AD =．ABC △是底面的内接正三角形，P 为DO 上一点，PO ．

（1）证明：PA ⊥平面PBC ；（2）求二面角B PC E --的余弦值． 3．C 10．A 16．14 - 18．解：（1）设DO a =，由题设可得,,63 PO a AO a AB a = ==， 2 PA PB PC === . 因此222PA PB AB +=，从而PA PB ⊥. 又222PA PC AC +=，从而PA PC ⊥. 所以PA ⊥平面PBC . （2）以O 为坐标原点，OE 的方向为y 轴正方向，||OE 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 由题设可得1(0,1,0),(0,1,0),(,0),(0,0,)22 E A C P -. 所以31(,,0),(0,2EC EP =- -=-.

2016年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(13 立体几何 )

2016 年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全（13立体几何）一、选择题 1.（2016北京理）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（） A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D.1 【答案】A 【解析】试题分析：分析三视图可知，该几何体为一三棱锥P ABC -，其体积 111 111 326 V=????=，故选A. 考点：1.三视图；2.空间几何体体积计算. 【名师点睛】解决此类问题的关键是根据几何体的三视图判断几何体的结构特征.常见的有以下几类：①三视图为三个三角形，对应的几何体为三棱锥；②三视图为两个三角形，一个四边形，对应的几何体为四棱锥；③三视图为两个三角形，一个圆，对应的几何体为圆锥；④三视图为一个三角形，两个四边形，对应的几何体为三棱柱；⑤三视图为三个四边形，对应的几何体为四棱柱；⑥三视图为两个四边形，一个圆，对应的几何体为圆柱. 2.（2016全国Ⅰ文、理）如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是 28 3 π ,则它的表面积是( ) （A）17π（B）18π（C）20π（D）28π 【答案】A 【解析】试题分析：该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的 1 8 ,设球的半径为R,则3 7428 V R 833 π π =?=,解得R2 =,所以它的表面积是 7 8 的球面面积和三个扇形面积之和

2271 =42+32=1784 S πππ????故选A ．考点：三视图及球的表面积与体积【名师点睛】由于三视图能有效的考查学生的空间想象能力,所以以三视图为载体的立体几何题基本上是高考每年必考内容,高考试题中三视图一般常与几何体的表面积与体积交汇.由三视图还原出原几何体,是解决此类问题的关键. 3.（2016全国Ⅰ文、理）平面α过正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A ,α//平面CB 1D 1, ABCD m α=平面,11ABB A n α=平面，则m 、n 所成角的正弦值为 ( ) (A) 3 (B )2 (C)3 (D)13 【答案】A 【解析】试题分析：如图,设平面11CB D 平面ABCD ='m , 平面11 CB D 平面11ABB A ='n ,因为//α平面11CB D , 所以//',//'m m n n ,则,m n 所成的角等于','m n 所成的角. 延长AD ,过1D 作11//D E B C ,连接11,CE B D ,则CE 为'm , 同理11B F 为'n ,而111//,//BD CE B F A B ,则','m n 所成的角即为1,A B BD 所成的角,即为60?,故,m n 所成角的正弦值为 3 2 ,选A. 考点：平面的截面问题,面面平行的性质定理,异面直线所成的角. 【名师点睛】求解本题的关键是作出异面直线所成角,求异面直线所成角的步骤是：平移定角、连线成形,解形求角、得钝求补. 4.（2016全国Ⅱ文）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）（A ）12π （B ） 32 3π （C ）8π （D ）4π 【答案】A 【解析】试题分析：因为正方体的体积为8，所以棱长为2，所以正方体的体对角线长为23，所以正方体的外接球的半径为3，所以球面的表面积为24(3)12ππ?=，故选A. 考点：正方体的性质，球的表面积. 【名师点睛】棱长为a 的正方体中有三个球：外接球、内切球和与各条棱都相切的球.其半径分别为 3a 、2 a 和22a .

2019届高考理科数学专题高考中的立体几何问题

2019届高考理科数学专题高考中的立体几何问题一、选择题(每小题5分,共30分) 1.一个多面体的三视图如图4-1所示,则此多面体的表面积是() 图4-1 A.22 B.24- C.22+ D.20+ 2.如图4-2,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某组合体的三视图,则该组合体的体积是() 图4-2 A.+π B.+π C.4+π D.+π 3.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的所有顶点均在球O的表面上,E,F,G分别为AB,AD,AA1的中点,若平面EFG截球O所得圆的半径为,则该正方体的棱长为() A. B. C.3 D.2 4. [数学文化题]如图4-3为中国传统智力玩具鲁班锁,它起源于中国古代建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分啮合,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、前后完全对称,六根完全相同的正四棱柱分成三组,经90°榫卯起来.现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形的边长为2,欲将其放入球形容器内(容器壁的厚度忽略不计),若球形容器的表面积的最小值为56π,则正四棱柱的高为()

A. B.2 C.6 D.2 5. [数学文化题]中国古代计时器的发明时间不晚于战国时代(公元前476年~前222年),其中沙漏就是古代利用机械原理设计的一种计时装置,它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成,开始时细沙全部在上部容器中,细沙通过连接管道流到下部容器.如图4-4所示,某沙漏由上、下两个圆锥形容器组成,圆锥形容器的底面圆的直径和高均为8 cm,细沙全部在上部时,其高度为圆锥形容器高度的(细管长度忽略不计).若细沙全部漏入下部后,恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆,则此圆锥形沙堆的高为() 图4-4 A.2 cm B.cm C.cm D.cm 6.如图4-5,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB,E,F分别为BC,BB1的中点,M,N分别为 AA1,A1C1的中点,则直线MN与EF所成角的余弦值为() 图4-5 A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分,共10分) 7.若侧面积为8π的圆柱有一外接球O,则当球O的体积取得最小值时,圆柱的表面积为. 8.如图4-6,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,作以A为顶点,分别以AB,AD,AA1为轴,底面圆半径为r(0

历年高考立体几何大题试题汇编

2015 年高考立体几何大题试卷 1. 【 2015 高考新课标 2，理 19】如图，长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中, AB=16 ， BC =10， AA 1 8，点E ，F 分别在 A 1B 1， C 1 D 1上， A 1 E D 1 F 4．过点 E ，F 的平面与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（ 1 题图） Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由） Ⅱ）求直线 AF 与平面所成角的正弦值． 2. 【 2015江苏高考， 16】如图，在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，已知 AC BC ， BC CC 1，设 AB 1的中点为 D ， B 1C BC 1 E .求证：（1） DE //平面AA 1C 1C ； 2) BC 1 AB 1 . 3 题图） 3. 【2015 高考安徽，理 19】如图所示，在多面体 A 1B 1D 1DCBA ，四边形 2 题图） A B C

AA1B1B ， ADD1 A1 , ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1,D, E的平面交CD1于 F.

4. 【2015 江苏高考， 22】如图，在四棱锥 P ABCD 中，已知 PA 平面 ABCD ，且四边形 ABCD 为直角梯形， ABC BAD ,PA AD 2, AB BC 1 2 1）求平面 PAB 与平面 PCD 所成二面角的余弦值； 2）点 Q 是线段 BP 上的动点，当直线 CQ 与 DP 所成角最小时，求线段 BQ 的长面 BEC ，BE ^ EC ，AB=BE=EC=2 ，G ，F 分别是线段（ Ⅰ ）求证： GF // 平面 ADE ；（ Ⅱ）求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值． 6.【2015 高考浙江，理 17】如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1 -中， BAC 90 ， AB AC 2，A 1A 4 ， A 1在底面 ABC 的射影为 BC 的中点， D 为B 1C 1的中点. （1）证明： A 1D 平面 A 1B C ；（2）求二面角 A 1 -BD- B 1的平面角的余弦值 . Ⅰ）证明： EF //B 1C ； Ⅱ）求二面角 E A 1D B 1余弦值 . 4 题图） 5 题图） 5 .【 2015 高考福建，理 17】如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形， AB ^ 平 BE ， DC 的中点 . B C D B

全国卷历年高考立体几何真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考立体几何真题归类分析（含答案）类型一：直建系——条件中已经有线面垂直条件，该直线可以作为z轴或与z轴平行，底面垂直关系直接给出或容易得出（如等腰三角形的三线合一）。这类题入手比较容易，第（Ⅰ）小问的证明就可以用向量法，第（Ⅱ）小问往往有未知量，如平行坐标轴的某边长未知，或线上动点等问题，以增加难度。该类问题的突破点是通过条件建立方程求解，对于向上动点问题这主意共线向量的应用。 1.（2014年全国Ⅱ卷）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD 的中点. (Ⅰ)证明:PB∥平面AEC； (Ⅱ)设二面角D-AE-C为60°，AP=1，AD=3，求三棱锥E-ACD的体积. 2.（2015年全国Ⅰ卷）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC. (Ⅰ)证明:平面AEC⊥平面AFC；(Ⅱ)求直线AE与直线CF所成角的余弦值. 3.（2015年全国Ⅱ卷）如图，长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4，过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)；(Ⅱ)求直线AF与平面α所成角的正弦值.

4.（2016年全国Ⅲ卷）如图，四棱锥P ABC -中，PA ⊥底面面ABCD ，AD ∥BC ， 3AB AD AC ===，4PA BC ==，M 为线段AD 上一点，2AM MD =，N 为PC 的中点．（I ）证明MN 平面PAB ；（II ）求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 5.（2017全国Ⅱ卷）如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面 ABCD ，1 2 AB BC AD == ，o 90BAD ABC ∠=∠=， E 是PD 的中点. （1）求证：直线//CE 平面PAB ；（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成的锐角为45，求二面角M AB D --的余弦值. E M D C B A P 类型二：证建系（1）——条件中已经有线面垂直条件，该直线可以作为z 轴或与z 轴平行，但底面垂直关系需要证明才可以建系（如勾股定理逆定理等证明平面线线垂直定理）。这类题，第（Ⅰ）小问的证明用几何法证明，其证明过程中的结论通常是第（Ⅱ）问证明的条件。第（Ⅱ）小问开始需要证明底面上两条直线垂直，然后才能建立空间直角坐标系。 6.（2011年全国卷）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD ，PD ⊥底面ABCD . (Ⅰ)证明：P A ⊥BD ； (Ⅱ)若PD =AD ，求二面角A-PB-C 的余弦值.