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线性代数考试练习题带答案大全(二)

线性代数考试练习题带答案

一、单项选择题（每小题

3分，共15分）

1.设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）． (A ) 列向量组线性无关，（B ）列向量组线性相关，（C ）行向量组线性无关，（D ）行向量组线性相关． 2．向量,,αβγ线性无关，而,,αβδ线性相关，则（ C ）。

(A ) α必可由,,βγδ线性表出，（B ）β必不可由,,αγδ线性表出，（C ）δ必可由,,αβγ线性表出，（D ）δ必不可由,,αβγ线性表出. 3. 二次型()222

123123

(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型．

(A )

1λ>-；（B ）0λ>；（C ）1λ>；（D ）1λ≥．

4．初等矩阵（A ）；

(A ) 都可以经过初等变换化为单位矩阵；（B ）所对应的行列式的值都等于1；（C ）相乘仍为初等矩阵；（D ）相加仍为初等矩阵 5．已知12,,

,n ααα线性无关，则（C ）

A. 12231,,

,n n αααααα-+++必线性无关；

B. 若n 为奇数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；

C. 若n 为偶数，则必有122311,,,,n n n αααααααα-++++线性相关；

D. 以上都不对。

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．实二次型()232221213214,,x x x x tx x x x f +++=秩为2，则=t

7．设矩阵020003400A ??

= ? ???

，则1A -=

8．设A 是n 阶方阵，*A 是A 的伴随矩阵，已知5A =，则*AA 的特征值为。

9．行列式1112

2122

23313233

a b a b a b a b a b a b a b a b a b =______ ____;

10. 设A 是4×3矩阵，()2R A =，若102020003B ?? ?

= ? ???

，则()R AB =_____________；

三、计算题（每小题10分，共50分）

11．求行列式11

2122

233132

a b a b a b D a b a b a b a b a b a b +++=++++++的值。

12．设矩阵111111111A -?? ?

=- ? ?-??

，矩阵X 满足*12A X A X -=+，求X 。

13．求线性方程组???????=--+=--+=+-+=+-1

341321230

2432143214

321421x x x x x x x x x x x x x x x 的通解。

14．已知()()()()12341,2,2,3,6,6,1,,0,3,0,4,2T

αααα====-，求出它的秩及其一个最大无关组。

15.设A 为三阶矩阵，有三个不同特征值123,,,λλλ123,,ααα依次是属于特征值

123,,,λλλ的特征向量，令123βααα=++, 若3A A ββ=，求A 的特征值并计算行列式23A E -.

四、解答题（10分）

16. 已知100032023A ?? ?

= ? ???

，求10A

五、证明题（每小题5分，共10分）

17.设ξ是非齐次线性方程组AX b =的一个特解，12,,

,r ηηη为对应的齐次线性方程

组0AX =的一个基础解系，证明：向量组12,,,,r ξηηη线性无关。

18. 已知A 与A E -都是 n 阶正定矩阵，判定1E A --是否为正定矩阵，说明理由.

线性代数期末试卷(本科A)

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设,A B 为n 阶矩阵，下列运算正确的是（）。

A. ();k k k AB A B =

B. ;A A -=-

C. 22()();A B A B A B -=-+

D. 若A 可逆，0k ≠，则111()kA k A ---=；

2．下列不是向量组12,,,s ααα???线性无关的必要条件的是（）。

A ．12,,,s ααα???都不是零向量;

B. 12,,,s ααα???中至少有一个向量可由其余向量线性表示;

C. 12,,,s ααα???中任意两个向量都不成比例;

D. 12,,,s ααα???中任一部分组线性无关;

3. 设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（）。

A ．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关； C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关；

4．如果（），则矩阵A 与矩阵B 相似。 A. A B =； B. ()()r A r B =； C. A 与B 有相同的特征多项式；

D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同；

5．二次型()222123123

(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（）时，是正定二次型。 A. 1λ>-； B. 0λ>； C. 1λ>； D. 1λ≥。

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．设300140003A ??

= ? ???

，则()12A E --＝；

7．设(,1,2)ij A i j = 为行列式2131

D =中元素ij a 的代数余子式，则

2122

A A A A = ；

8．100201100010140001201103010?????? ?????

????? ?????-??????

= ；

9．已知向量组123,,ααα线性无关，则向量组122313,,αααααα---的秩为；

10. 设A 为n 阶方阵， A E ≠，且()()3R A E R A E n ++-=，则A 的一个特征值

λ= ；

三、计算题（每小题10分，共50分）

11．设()1111222

20+a

a A a n

n n n a +??

=≠ ?

???

，求A 。 12．设三阶方阵A ，B 满足方程2A B A B E --=，试求矩阵B 以及行列式B ，其中

102030201A ?? ?= ? ?-??

。

13．已知111011001A -??

= ? ?-??

，且满足2A AB E -=，其中E 为单位矩阵，求矩阵B 。

14．λ取何值时，线性方程组1231231

232124551

x x x x x x x x x λλ+-=??

-+=??+-=-?无解，有唯一解或有无穷多解？当

有无穷多解时，求通解。

15. 设()12340,4,2,(1,1,0),(2,4,3),(1,1,1)αααα===-=-，求该向量组的秩和一个极大无关组。

四、解答题（10分）

16．已知三阶方阵A 的特征值1，2，3对应的特征向量分别为1α，2α，3α。其中：

()11,1,1T α=，()21,2,4T α=，()31,3,9T α=，()1,1,3T

β=。

（1）将向量β用1α，2α，3α线性表示；（2）求n A β，n 为自然数。

五、证明题（每小题5分，共10分）

17．设A 是n 阶方阵，且()()R A R A E n +-=，A E ≠；证明：0Ax =有非零解。 18．已知向量组(I) 123,,ααα的秩为3，向量组(II) 1234,,,αααα的秩为3，向量组(III)

1235,,,αααα的秩为4，证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4。

线性代数期末试卷(本科A)

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（）。

(A ）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式; （B ）行列式中有两行（列）元素完全相同; （C ）行列式中有两行（列）元素成比例; （D ）行列式中等于零的个数大于2

n n -个.

2．下列矩阵中（）不满足2

A E =-。

(A ）1211-?? ?-??; （B ）1211--?? ???; （C ）1211-?? ???; （D ）1121?? ?--??

3. 设,A B 为同阶可逆方阵,则( )。

(A)AB BA =； (B) 存在可逆矩阵1

,P P AP B -=使； (C) 存在可逆矩阵,T

C C AC B =使； (D) 存在可逆矩阵,,P Q PAQ B =使. 4．向量组错误!未找到引用源。线性无关的充分必要条件是（）（A ）错误!未找到引用源。均不为零向量；

（B ）错误!未找到引用源。中有一部分向量组线性无关；（C ）错误!未找到引用源。中任意两个向量的分量不对应成比例；

（D ）错误!未找到引用源。中任意一个向量都不能由其余错误!未找到引用源。个向量线性表示。

5．零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（）。

（A ）充分条件；（B ）充要条件; （C ）必要条件; （D ）无关条件;

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．设???

??=101020101A ，则22A A -= ；

7．已知(),,,,,,??

??==31211321βα设,A T βα=则A = ；

8．设A 是三阶方阵，且1A =-，则*12A A --= ；

9．已知向量组()()()()12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,αααα====则该向量组的秩为 ;

10. 已知111242335A -?? ?=- ? ?--??，00020002B λ??

= ? ???

，且A 于B 相似，则λ= 。

三、计算题（每小题10分，共50分）

11．12

11111

1111111(0)1

1n n n

a a D a a a a a ++=

+≠+

12．12．已知3阶非零矩阵B 的每一列都是方程组123123123

2202030x x x x x x x x x λ+-=??

-+=??+-=? 的解.

①求λ的值；②证明0B =.

13．设3阶矩阵X 满足等式X B AX 2+=,

其中311110012,102,004202A B ???? ? ?== ? ? ? ?????

求矩阵X 。 14．求向量组123411343354,,,,22323342αααα--????????

? ? ? ?

-- ? ? ? ?==== ? ? ? ?

-- ? ? ? ?

--????????

53101α?? ? ?= ? ?-?? 的秩及最大

无关组。

15. 设212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ??

?? ?

?= ? ? ? ?????

1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ；

2. 求A 的特征值和对应的特征向量。

四、解答题（10分）

16． 12(1,3,3),(1,2,0),(1,2,3),T T T a a βαα=-==+-

3(1,2,2)T b a b α=---+，试讨论b a ,为何值时（1）β不能用321,,ααα线性表示；

（2）β可由321,,ααα唯一地表示，并求出表示式；

（3）β可由321,,ααα表示，但表示式不唯一，并求出表示式。

五、证明题（每小题5分，共10分）

17．设12,,

,n ααα错误!未找到引用源。是一组n 维向量，证明它们线性无关的充

分必要条件是：任一错误!未找到引用源。维向量都可由它们线性表示。

18．设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，且,A B 可交换，A B -可逆，证明：

()()

A B A B -+-是正交矩阵。

。

线性代数期末试卷(本科A) 解答与参考评分标准

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．设,A B 为n 阶矩阵，下列运算正确的是（ D ）。 A. ();k k k AB A B = B. ;A A -=-

C. 22()();A B A B A B -=-+

D. 若A 可逆，0k ≠，则111()kA k A ---=； 2．下列不是向量组12,,,s ααα???线性无关的必要条件的是（ B ）。

A ．12,,,s ααα???都不是零向量;

B. 12,,,s ααα???中至少有一个向量可由其余向量线性表示;

C. 12,,,s ααα???中任意两个向量都不成比例;

D. 12,,,s ααα???中任一部分组线性无关;

3. 设A 为m n ?矩阵，齐次线性方程组0AX =仅有零解的充分必要条件是A 的（ A ）。

A ．列向量组线性无关； B. 列向量组线性相关； C. 行向量组线性无关； D. 行向量组线性相关； 4．如果（ D ），则矩阵A 与矩阵

B 相似。 A. A B =； B. ()()r A r B =； C. A 与B 有相同的特征多项式；

D. n 阶矩阵A 与B 有相同的特征值且n 个特征值各不相同；

5．二次型()222

123123

(,,)(1)1f x x x x x x λλλ=-+++，当满足（ C ）时，是正定二次型． A. 1λ>-； B. 0λ>； C. 1λ>； D. 1λ≥。

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．设300140003A ?? ?

= ? ?

，则()12A E --＝1

011

022001??

? ?-

? ??

?； 7．设(,1,2)ij A i j = 为行列式2131

D =

中元素ij a 的代数余子式，则

2122

A A A A = -1 ；

8．100201100010140001201103010?????? ????? ????? ?????-??????=210104350??

? ? ?

?；

9．已知向量组123,,ααα线性无关，则向量组122313,,αααααα---的秩为 2 ； 10. 设A 为n 阶方阵， A E ≠，且()()3R A E R A E n ++-=，则A 的一个特征值

λ= -3 ；

三、计算题（每小题10分，共50分）

11．设()111122220+a

a A a n

n n n a +??

?+ ?

=≠ ?

???

，求A 。解：11111111

011

110

02222000

+00

a a A a

a n

n a

+-==+-- ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 1111111000

(1)10002

i n

n n n i i a

a i n n a a a a a a

=-=++?

=+=+ ???∑

∑．

．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 12．设三阶方阵A ，B 满足方程2A B A B E --=，试求矩阵B 以及行列式B ，其中

102030201A ?? ?= ? ?-??

。

解：由2A B A B E --=，得()2A E B A E -=+，即

()()A E A E B A E +-=+ ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分

由于202040202A E ??

+= ? ?-??

，320A E +=≠，

002020200A E ?? ?

-= ? ?-??

，80A E -=≠，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分

()()()()1

11100200110200102200100B A E A E A E A E -----????

? ?

=-++=-== ? ? ? ?

-????

，．．．．8分

所以18B =。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

13．已知111011001A -??

= ? ?-??

，且满足2A AB E -=，其中E 为单位矩阵，求矩阵B 。

解：因为111

01110001A -==-≠-，所以A 可逆，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分由2A AB E -=，得2A E AB -=，故()121A A E A AB ---=，即1A A B --=，．．．．4分

不难求出 1112011001A ---??

= ? ?-??,．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

因此1111112021011011000001001000B A A ----??????

? ? ?

=-=-= ? ? ? ? ? ?--??????

。．．．．．．．．．．．．．．．10分

14．λ取何值时，线性方程组1231231

232124551

x x x x x x x x x λλ+-=??

-+=??+-=-?无解，有唯一解或有无穷多解？当

有无穷多解时，求通解。

解：由于方程个数等于未知量的个数，其系数行列式

()()221

11541544

A λ

λλλλ-=-=--=-+；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 1.当45

λ=-时，有()421

104555

,112455104000945

51A b r ?

- ?

--??

? ?

?=-

--- ? ?

? ???-- ? ??

?，

()()2,3R A R A b =≠=，原方程组无解；

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 2.当1λ=时，有()211103331001,111211120111455109990000A b r r ---??????

? ? ?

=---- ? ? ? ? ? ?----??????，

所以原方程的通解为1230111,10x x k x ?????? ? ? ?

=+- ? ? ? ? ? ???????

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

3.当4

1,5λ≠-时，方程组有唯一解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

15. 设()12340,4,2,(1,1,0),(2,4,3),(1,1,1)αααα===-=-，求该向量组的秩和一个极大无关组。解：

()2

41021102110211441~0462~0462023102310000T

T T

A αααα------??????

? ? ?== ? ? ? ? ? ???????

．6分

所以向量组的秩为2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

因为任意两个向量均不成比例，

所以任意两个向量都是该向量组的一个极大无关组。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

四、解答题（10分）

16．已知三阶方阵A 的特征值1，2，3对应的特征向量分别为1α，2α，

3α。其中：()11,1,1T

α=，()21,2,4T

α=，()31,3,9T

α=，()1,1,3T

β=。（1）将向量β用1α，2α，3α线性表示；（2）求n A β，n 为自然数。解：（1）把β用123,,ααα线性表示，即求解方程

112233x x x αααβ++=

111111111002123101200102149300110011r r ??????

? ? ?- ? ? ? ? ? ???????

故12322βααα=-+。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（2）()1231232222n n n n n A A A A A βαααααα=-+=-+

11211122331233222322223223.223n n n n n n n n n n n λαλαλαααα++++++??

-+ ?

=-+=-+=-+ ? ?-+??

．．．．．．．．．．10分

五、证明题（每小题5分，共10分）

17．设A 是n 阶方阵，且()()R A R A E n +-=，A E ≠；证明：0Ax =有非零解。证明：()01A E A E R A E ≠?-≠?-≥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 ()()()()1R A R A E n R A n R A E n +-=?=--≤-，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以0Ax =有非零解。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 18．已知向量组(I) 123,,ααα的秩为3，向量组(II) 1234,,,αααα的秩为3，向量组(III)

1235,,,αααα的秩为4，证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4。

证明：向量组123,,ααα的秩为3，向量组1234,,,αααα的秩为3，所以123,,ααα为向量组1234,,,αααα的一个极大无关组，因此4α可唯一的由123,,ααα线性表示；．．．．2分假设向量组12354,,,ααααα-的秩不为4，又因为向量组123,,ααα的秩为3，所以向量组12354,,,ααααα-的秩为3，因此54αα-也可唯一的由123,,ααα线性表示；．．．4分因此5α可唯一的由123,,ααα线性表示，而向量组1235,,,αααα的秩为4，即

1235,,,αααα线性无关，因此5α不能由123,,ααα线性表示，矛盾，因此向量组12354,,,ααααα-的秩为4。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分

武汉科技大学

2010-2011-1线性代数期末试卷(本科A)

解答与参考评分标准

一、单项选择题（每小题3分，共15分）

1．满足下列条件的行列式不一定为零的是（ A ）。

(A ）行列式的某行（列）可以写成两项和的形式;（B ）行列式中有两行（列）元素完全相同; （C ）行列式中有两行（列）元素成比例; （D ）行列式中等于零的个数大于2

n -个.

2．下列矩阵中（ C ）不满足2

A E =-。

(A ）1211-?? ?-??; （B ）1211--?? ???; （C ）1211-?? ???; （D ）1121?? ?

--??

. 3. 设,A B 为同阶可逆方阵,则( D )。

(A)AB BA =； (B) 存在可逆矩阵1

,P P AP B -=使；

C C

AC B =使； (D) 存在可逆矩阵,,P Q PAQ B =使.

4．向量组错误!未找到引用源。线性无关的充分必要条件是（ D ）

（A ）错误!未找到引用源。均不为零向量；（B ）错误!未找到引用源。中有一部分向量组线性无关；

（C ）错误!未找到引用源。中任意两个向量的分量不对应成比例；

（D ）错误!未找到引用源。中任意一个向量都不能由其余错误!未找到引用源。个向量线性表示。 5．零为方阵A 的特征值是A 不可逆的（ B ）。

（A ）充分条件；（B ）充要条件; （C ）必要条件; （D ）无关条件.

二、填空题（每小题3分，共15分）

6．设???

? ??=101020101A ，则22A A -= 0 。

7．已知(),,,,,,??

? ??==31211321βα设,A T

βα=则A =1112322

133312

?? ?

? ? ? ? ? ??

； 8．设A 是三阶方阵，且1A =-，则*12A A --= 27 ；

9．已知向量组()()()()12341,2,3,4,2,3,4,5,3,4,5,6,4,5,6,7,αααα====则该向量组的秩为 2 ;

10. 已知1112

42335A -?? ?=- ? ?--??，00020002B λ?? ?

= ? ???

，且A 于B 相似，则λ= 6 。三、计算题（每小题10分，共50分）

11．123

121111

111

11111(0)1

1n n n a a D a a a a a ++=+≠+

解：1213211111111

111

101111

11101111

110

1n n

a a a D a a a a +++=+=+++ 5分

11122

111

1111

110000010000010

i i

a a a a a a a =+-=-=-∑

8分

12111n

n i i

a a a a =??=+ ???

∑ 10分

12．已知3阶非零矩阵B 的每一列都是方程组123123123

2202030x x x x x x x x x λ+-=??

-+=??+-=? 的解.

①求λ的值；②证明0B =.

解：①因为非零矩阵B 的每一列都是齐次方程组的解，所以齐次线性方程组123123123

22020

30x x x x x x x x x λ+-=??

-+=??+-=?有非零解，即1

104513

λλλ--=?+=?=- 5分

②由题意可得1222110()()3311B R B R A n -?? ?

-=?+== ? ?-??

， 8分

因为()1R A >，所以()3R B <，即B 不可逆，所以0B = 10分注：第二问也可以用反证法，方法对即可。

13．设3阶矩阵X 满足等式X B AX 2+=,其中311110012,102.004202A B ????

? ?

== ? ? ? ?????

求矩阵X 。

解：()22AX B X A E X B =+?-=1112012,002A E ?? ?

-=- ? ??? 3分

()1111101001112,012102~010100,002202001101A E B ???--?

? ?

-=- ? ? ? ?????

8分

所以111100101X --?? ?

= ? ???

。 10分

14．求向量组123451134333541,,,,2232033421ααααα--??????????

? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?===== ? ? ? ? ?-- ? ? ? ? ?---??????????

的秩及最大无关组。

解：()123451134

3113433

354100488,,,,~2232000369334210051010ααααα----???? ? ?

----

? ?

= ? ?---- ? ?

-----????

1134300488~0000000000--?? ?--

? ? ???

， 6分所以()12345,,,,2R ααααα=，任意两个不成比例的向量组均是12345,,,,ααααα的一个极大无关组。 10分

15. 设212312331001(,,)(,,)300430x f x x x x x x x x ??

?? ?

?= ? ? ? ?????

1.求二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵A ；

2. 求A 的特征值和对应的特征向量。

解：1. 二次型123(,,)f x x x 所对应的矩阵100032023A ??

= ? ???

， 3分

2．()()2

10003201505,10

3A E λ

λλλλλλ

--=

-=?--=?=-（二重） 6分

当5λ=时，()40010050022~011022000A E x -????

? ?

-=?-- ? ? ? ?-????

，

所以1011k ??

? ???为5λ=对应的特征向量。 8分

当1λ=时，()0000000022~011022000A E x ???? ? ?

-=? ? ? ? ?????

，

所以23100,101k k ????

? ?

- ? ? ? ?????

为1λ=对应的特征向量。 10分

四、解答题（10分）

16． 12(1,3,3),(1,2,0),(1,2,3),T T T a a βαα=-==+-3(1,2,2)T b a b α=---+，试讨论b a ,为何值时

（1）β不能用321,,ααα线性表示；（2）β可由321,,ααα唯一地表示，并求出表示式；（3）β可由321,,ααα表示，但表示式不惟一，并求出表示式.

解：问题转化为方程组求解问题??

-=++-=+-++=-+3

)2(33)2()2(2132321321x b a ax x b x a x x x x

增广矩阵11

1111112223~010323000A a b a b a a b a b --???? ? ?=+--- ? ?

? ?-+--???? 5分

（1）0a =时,(若b=0则2)(,1)(==A R A R ,若≠b 0则()2,()3R A R A ==) 方程组无解，即β不能用321,,ααα线性表示 6分（2）0,0≠-≠b a a 时，()()3R A R A ==，方程组有唯一解，即β可由321,,ααα唯一地表示，求表示式：

111111110110010100101000000100010a a A a b a a b --??

???? ? ? ??-?? ? ? ? ? ? ?-??????

1112(1)a a βαα?=-+ 8分

（3）0,0a a b ≠-=时，()()2R A R A ==，β可由321,,ααα表示，但表示式不惟一，

求表示式：11111110010101100000000a a A a a --????

? ??-?- ? ? ? ????

? 11

123(1)()a a k k βααα?=-+++， 10分

五、证明题（每小题5分，共10分）

17．设12,,

,n ααα错误!未找到引用源。是一组n 维向量，证明它们线性无关的充分必要条件

是：任一错误!未找到引用源。维向量都可由它们线性表示。

证明：充分性：12,,

,n ααα是一组n 维向量，任一n 维向量都可由它们线性表示。因此有E

可由12,,

,n ααα线性表示，因此有

()()()n R E R A n R A n =≤≤?=?12,,,n ααα线性无关。 3分

必要性：,n b R ?∈12,,

,n ααα线性无关，因此有12,,

,,n b ααα线性相关，即

()12,,

,n x b ααα=有惟一解，所以向量b 可由向量组12,,

,n ααα线性表示，由b 的任意性

可得任一错误!未找到引用源。维向量都可由12,,

,n ααα线性表示。

5分

18．设A 为对称矩阵，B 为反对称矩阵，且,A B 可交换，A B -可逆，证明：

()()

A B A B -+-是正交矩阵。

证明：A 为对称矩阵T A A ?=，B 为反对称矩阵T B B ?=-，

,A B 可交换()()()()AB BA A B A B A B A B ?=?+-=-+， 2分

()()

()

()()

()

()()

()

()()()

A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B E

-----+-+-=

-++=+-+-= 4分

所以()()1

A B A B -+-是正交矩阵。 5分

线性代数习题和答案

第一部分选择题 (共28分)

一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有

一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 111221

22=m ，a

a a a 131123

21=n ，则行列式a

a a a a a 111213

2223

++等于（ D ）

A. m+n

B. -(m+n)

C. n -m

D. m -n

2.设矩阵A =100020003?? ??

??，则A -1等于（ B ）

001

100

001

3.设矩阵A=

312

101

214

，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（ B ）

A. –6

B. 6

C. 2

D. –2

4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（ D ）

A. A =0

B. B≠C时A=0

C. A≠0时B=C

D. |A|≠0时B=C

5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（ C ）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（ D ）

A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0

B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0

C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0

D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+

λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0

7.设矩阵A的秩为r，则A中（ C ）

A.所有r-1阶子式都不为0

B.所有r-1阶子式全为0

C.至少有一个r阶子式不等于0

D.所有r阶子式都不为0

8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（ A ）

A.η1+η2是Ax=0的一个解

B.1

η1+

η2是Ax=b的一个解

C.η1-η2是Ax=0的一个解

D.2η1-η2是Ax=b的一个解

9.设n阶方阵A不可逆，则必有（ A ）

A.秩(A)

B.秩(A)=n-1

C.A=0

D.方程组Ax=0只有零解

10.设A是一个n(≥3)阶方阵，下列陈述中正确的是（ B ）

A.如存在数λ和向量α使Aα=λα，则α是A的属于特征值λ的特征向量

B.如存在数λ和非零向量α，使(λE-A)α=0，则λ是A的特征值

C.A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量

D.如λ1，λ2，λ3是A的3个互不相同的特征值，α1，α2，α3依次是A的属于λ1，λ2，

λ3的特征向量，则α1，α2，α3有可能线性相关

11.设λ0是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于λ0的线性无关的特征向量的个数为k，则必

有（ A ）

A. k≤3

B. k<3

C. k=3

D. k>3

12.设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（ B ）

A.|A|2必为1

B.|A|必为1

C.A-1=A T

D.A的行（列）向量组是正交单位向量组

13.设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=C T AC.则（ D ）

A.A与B相似

B. A与B不等价

C. A与B有相同的特征值

D. A与B合同

14.下列矩阵中是正定矩阵的为（ C ）

A.2334?? ???

B.3426?? ??

C.100023035--?? ?

???? D.111120102?? ??

???

第二部分非选择题（共72分）

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每

小题的空格内。错填或不填均无分。

15.111

35692536

= 6 .

16.设A =111111--??

???，B =112234--?? ???.则A +2B = 337137--?? ?

? .

17.设A =(a ij )3×3，|A |=2，A ij 表示|A |中元素a ij 的代数余子式（i,j=1,2,3）,则(a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23)2+(a 21A 21+a 22A 22+a 23A 23)2+(a 31A 21+a 32A 22+a 33A 23)2= 4 . 18.设向量（2，-3，5）与向量（-4，6，a ）线性相关，则a= -10 .

19.设A 是3×4矩阵，其秩为3，若η1，η2为非齐次线性方程组Ax=b 的2个不同的解，则它的通解为 η1+c(η2-η1)（或η2+c(η2-η1)），c 为任意常数

20.设A 是m ×n 矩阵，A 的秩为r(

23.设矩阵A =010********---?? ?????，已知α=212-?? ??

??是它的一个特征向量，则α所对应的特征值为 1 .

24.设实二次型f(x 1,x 2,x 3,x 4,x 5)的秩为4，正惯性指数为3，则其规范形为 z z z z 12223242

++- .

三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）

25.设A =120340121-?? ?

，B =223410--?? ???.求（1）AB T ；

（2）|4A |. 26.试计算行列式31125134

20111533

------.

27.设矩阵A =423110123-?? ??

??，求矩阵B 使其满足矩阵方程AB =A +2B .

线性代数模拟试题及答案1

一、判断题（本题共5小题，每小题３分, 共15分.下列叙述中正确的打√，错误的打×．） 1. 图解法与单纯形法，虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的. （） 2. 若线性规划的原问题有多重最优解，则其对偶问题也一定具有多重最优解. （） 3. 如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k ，最优调运方案将不会发生变化. （） 4. 对于极大化问题max Z = ij n i n j ij x c ∑∑==11 ,令 {}ij ij ij c c b c c -==,max 转化为极小化问题 ij n i n j ij x b W ∑∑===11m in ，则利用匈牙利法求解时，极大化问题的最优解就是极小化问题的最优解，但目标函数相差： n+c. （） 5. 影子价格是对偶最优解，其经济意义为约束资源的供应限制. （）二、填空题(本题共8小题, 每空3分, 共36分.把答案填在题中横线上.) 1、在线性规划问题的约束方程,0m n A X b X ?=≥中，对于选定的基B ，令非基变量X N =0，得到的解X= ；若，则称此基本解为基本可行解. 2、线性规划试题中，如果在约束条件中出现等式约束，我们通常用增加的方法来产生初始可行基。 3、用单纯形法求解线性规划问题的迭代步骤中，根据k λ= 确定k x 为进基变量；根据最小比值法则θ= ，确定r x 为出基变量。 4、原问题有可行解且无界时，其对偶问题，反之，当对偶问题无可行解时，原问题。 5、对于Max 型整数规划问题，若其松弛问题的最优单纯形表中有一行数据为：

(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc

线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分，共 25 分） 1 3 1 1.若0 5 x 0 ，则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。 x1x2x30 3．已知矩阵 A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4．已知矩阵A 为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。 5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。二、选择题（每小题 5 分，共 25 分） 6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（） A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（） 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（） 1

x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 ．已知矩阵 A , 其特征值为（） 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题（每小题 10 分，共 50 分） 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且矩阵满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ，求。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？ 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时，线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明：若 A 是 n 阶方阵，且 AA A1，证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I ， 2

线性代数模试题试题库(带答案)

第一套线性代数模拟试题解答一、填空题(每小题4分，共24分) 1、若12335544i j a a a a a 是五阶行列式中带正号的一项，则,12 i j = =。令1,2i j ==，(12354)(13524)134τπ+=+=，取正号。 2、若将n 阶行列式D 的每一个元素添上负号得到新行列式D ，则D = (1)n D - 。即行列式D 的每一行都有一个(-1)的公因子，所以D = (1)n D -。 3、设1101A ??= ??? , 则100A =110001?? ???。 23 111112121113,,010*********A A ????????????==== ??? ? ??? ????????????? L 可得 4、设A 为5 阶方阵，5A =，则5A =1 5n +。由矩阵的行列式运算法则可知：1 555 n n A A +==。 5、A 为n 阶方阵,T AA E =且=+

线性代数模拟试卷及答案

线性代数(文)模拟试题库及参考答案一.填空题(每小题3分,共12分) 1.设????? ??=333222111c b a c b a c b a A ,????? ??=33 3222111d b a d b a d b a B ,2=A ,3=B ,则B A -2=1. 解 B A -2=3 332221 113332221113333222211112222d b a d b a d b a c b a c b a c b a d c b a d c b a d c b a -=--- =12=-B A . 2.已知向量)3,2,1(=α,)3 1,21,1(=β,设βαT A =,其中T α是α的转置,则n A =A n 13-. 解注意到3321)31,21,1(=???? ? ??=T βα,故 n A = β αβαβαβαT n T T T 个)())(( =ββαβαβααβα T n T T T T 个)1()())((- =A n T n 1133--=βα. 注若先写出A ,再求2A ,…,n A 将花比前更多的时间. 3.若向量组T )1,0,1(1-=α,T k )0,3,(2=α,T k ),4,1(3-=α线性相关,则k =3-. 解由1α,2α,3α线性相关,则有 321,,ααα=k k 0143011--=1 043011--k k k =04)1(3143=--=-k k k k . 由此解得3-=k . 4.若4阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为 21,31,41,5 1,则行列式E B --1 =24. 解因为A 与B 相似,所以A ,B 有相似的特征值,从而E B --1有特征值1,2,3,4.故2443211=???=--E B .

线性代数期末考试试卷答案合集

×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。二、判断正误（正确的在括号填“√”，错误的在括号填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ￡ s ￡ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示

昆明理工大学线性代数考试试题集及答案

《线性代数B 》 2010～ 2011 学年第一学期课程试卷A 一、填空 1. 125 642782516945 4321111= 12 . 2．设A 、B 为4阶方阵，且,2||1 =-A 813=B ，则=||AB 1/2 . 3. 给定矩阵A ，且E A -可逆,满足B A E AB +=+2,则=B E A + . 4．设??????????=210110001A ，则=-1A ???? ??????--11012000 1 . 5．已知321,,ααα线性相关,3α不能由21,αα线性表示，则21,αα线性相关． 6．设???? ? ?????=??????????=??????????=120,61,321321αααt ，且1α,32αα,线性相关，则=t 8 ． 7.设A 是34?矩阵,且2)(=A R ，???? ? ?????=213010321B 则=)(AB R __2___ 8．设三阶方阵A 的每行元素之和均为零，又2)(=A R ，则齐次线性方程组O Ax =的通解为 )(111R k k ∈???? ?????? . 9. 向量组,11011????????????-=α,02132????????? ???-=α,31103????????????-=α???? ? ? ??????-=01014α的一个最大线性无关组为 421,,ααα . 10. 设A 为n 阶方阵,0=Ax 有非零解,则A 必有一个特征值为 0 . 二、单项选择

1..若=---+=--1 2 1 203242,112 2013z y x z y x 则( A ) )A ( 1- ； )B ( 2 ； )C ( 1 ； )D ( 0. 2．设C B A ,,均为二阶方阵，AC AB =，则当(C )时，可以推出C B =． .1111)D (;0110)C (;0011)B (;0101)A (? ? ? ???=? ?? ???=? ?? ???=? ?? ???=A A A A 3. 下列结论正确的是( A ) ． )A ( s ααα,,,21 线性无关的充要条件是其中任意一个向量都不是其余向量的线性组合; )B ( 若向量321,,ααα线性相关，则21,αα线性相关； )C ( 若n 阶方阵A 与对角阵相似，则A 有n 个不同的特征值; )D ( 若方程组O Ax =有非零解，则b Ax =有无穷多解. 4. 已知321,,ηηη是四元方程组b Ax =的三个解，其中,3)(=A R ? ? ??? ???????=43211η，???? ????????=+444432ηη，则以下不是方程组b Ax =的通解为( D ) . )A (;43214202???? ?? ??????+????????????--k )B ( ;43212101????????????+????????????--k )C (;22222101???? ????????+????????????--k )D (????? ? ??????+????????????43210123k . 5. 设向量组321,,ααα线性无关，则下列向量组中线性无关的是（ B ） )A (133221,,αααααα--- ; )B (1321,,αααα+ ; )C (212132,,αααα- ; )D (32322,,αααα+. 6．若n 阶矩阵B A ,有共同的特征值，且各有n 个线性无关的特征向量，则（A ）

网络提交：《线性代数与概率统计》模拟题二(2013.11,90分钟)

华南理工大学网络教育学院《线性代数与概率统计》模拟试题二 1. 2. ?单项选择题（每小题行列式D A. 2. -1 -1 5分, 共8小题，总计40 分） ). B. C . D. 3. -2 -3 已知 ai2 a 13 a 21 a 22 a 23 a 22 a 23 =m ，则 2a 3^ -a 11 2a 32 — a 12 2a 32 — a 13 a 32 a 33 3a 11 + 2a 21 3^2 + 2a 22 3a 13 + 2a 23 a 11 =(A ). a 21 B. -6m C. 12m D. -12m ‘1 0 1）（2 -1 0、设/ A = 3丿 B = i 1 .2 -1 13 2 5丿 a 31 A. 6m 3. 2 ) 3 A. ，求 2A — 3B =？（ D ） D. — 8 —8 -8

= X 2 -5X +3,矩阵 A =『2 ,定义 f(A)=A 2 -5A +3E ，则 f(A)=?( B ) 1-3 3 丿 0 1 0丿 D. 5.向指定的目标连续射击四枪，用 A 表示“第i 次射中目标”，试用A 表示四枪中至少有一枪 7.市场供应的热水瓶中，甲厂的产品占 50%，乙厂的产品占30%，丙厂的产品占20%，甲厂产品的合格率为 90%，乙厂产品的合格率为 85%，丙厂产品的合格率为 80%,从市场上任意击中目标（C ）: A. A 1A 2A 3 A 4 B . 1 -A 1A 2A 3A 4 C . A+A 2 + A3+A 4 D. 1 6. 一批产品由8件正品和 (B ) A. 3 5 B . 8 15 C . 7 15 D. 2 5 2件次品组成，从中任取 3件，这三件产品中恰有一件次品的概率为 4.设 f(x)

线性代数期末考试试题

《线性代数》重点题一．单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα

线性代数考试题库及答案(五)

线性代数考试题库及答案一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为（） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则（） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与（） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似（D ）既不合同，又不相似

二、填空题（共二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系是。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为。

线性代数模拟题(开卷)

《线性代数》模拟题（补）一．单项选择题 1．设为阶矩阵，且，则（C）。 A． B． C． D．4 2．维向量组（3 s n）线性无关的充要条件是（C）。 A．中任意两个向量都线性无关 B．中存在一个向量不能用其余向量线性表示 C．中任一个向量都不能用其余向量线性表示 D．中不含零向量 3．下列命题中正确的是（D）。 A．任意个维向量线性相关 B．任意个维向量线性无关 C．个维向量线性无关 D．任意个维向量线性相关任意 4．n元非齐次线性方程组AX=B有唯一解的充要条件是（B）。A．r(A)=n B．r(A)=r(A,B)=n C．r(A)=r(A,B)

5．矩阵A的特征值分别为1, -1, 2, 则|A2+2I|= 24。6．写出二次型对应的对称矩阵。三．计算题．问取何值时，下列向量组线性无关？。解：即时向量组线性无关. ．求的全部特征值和特征向量。解：特征值。对于，特征向量为；对于,特征向量为。．求行列式的值。解： 4．已知矩阵，求。解：因为，, ，所以 5．求向量组的极大无关组，并用极大无关组表示其余向量。解：，因此，极大无关组为且。 6．已知矩阵，求正交矩阵T使得为对角矩阵。解： 1) 首先求其特征值：，其特征根为：

线性代数期末考试试卷答案合集

线性代数期末考试试卷答案合集文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]

三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，，， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆，则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。

(完整word版)线性代数考试题及答案解析

WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试《线性代数》试卷答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （密） … … … … … … … … … … … … （封） … … … …… … … … … … … … （线） … … … … … … … … … … … …

(A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小【】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示【】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。

线性代数模拟试题(4套)

模拟试题一一、判断题：（正确：√，错误：×）（每小题2分，共10分） 1、若B A ,为n 阶方阵，则B A B A +=+.……………………() 2、可逆方阵A 的转置矩阵T A 必可逆.……………………………() 3、n 元非齐次线性方程组b Ax =有解的充分必要条件n A R =)(.…() 4、A 为正交矩阵的充分必要条件1-=A A T .…………………………() 5、设A 是n 阶方阵，且0=A ，则矩阵A 中必有一列向量是其余列向量的线性组合1、23456. 7、(R 8、若9、设10、方阵A 的特征值为λ，方阵E A A B 342+-=，则B 的特征值为. 三、计算：(每小题8分，共16分) 1、已知4阶行列式1 6 11221212 112401---= D ，求4131211132A A A A +-+.

2、设矩阵A 和B 满足B A E AB +=+2，其中??? ? ? ??=101020101A ，求矩阵B . 四、(10分)求齐次线性方程组???????=++-=-++=--+-=++-024********* 432143214 3214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的基础解系和它的通解. 五、(10分)设三元非齐次线性方程组b Ax =的增广矩阵为 2六、(10（1（2（3（41. 2、（单（1）做矩阵53?A 表示2011年工厂i a 产矿石j b 的数量)5,4,3,2,1;3,2,1(==j i ；

（2）通过矩阵运算计算三个工厂在2011年的生产总值. 模拟试题二一、判断题（正确的打√，不正确的打?）（每小题2分，共10分）（）1、设,A B 为n 阶方阵，则A B A B +=+；（）2、可逆矩阵A 总可以只经若干次初等行变换化为单位矩阵E ；（）3、设矩阵A 的秩为r ，则A 中所有1-r 阶子式必不是零；（）4、若12,x x ξξ==是非齐次线性方程组Ax b =的解，则12x ξξ=+也是该方程组的解. （）5、n 阶对称矩阵一定有n 个线性无关的特征向量。 123、设4、(33α5一； 67、设向量(1,2,1)T α=--，β=()T 2,,2λ-正交，则λ=； 8、设3阶矩阵A 的行列式|A |=8，已知A 有2个特征值-1和4，则另一特征值为。三、计算题（每小题8分，共16分） 1、设矩阵??? ? ??=???? ??--=1201,1141B A ，求矩阵AB 和BA 。

[考研类试卷]考研数学一(线性代数)模拟试卷4.doc

[考研类试卷]考研数学一（线性代数）模拟试卷4 一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。 1 设A，B为n阶可逆矩阵，则( )．（A）存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵（B）存在正交矩阵Q1，Q1，使得Q1T AQ1，Q2T BQ2为对角矩阵（C）存在可逆矩阵P，使得p-1(A+B)P为对角矩阵（D）存在可逆矩阵P，Q，使得．PAQ=B 2 n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是( )．（A）A无负特征值（B）A是满秩矩阵（C）A的每个特征值都是单值（D）A*是正定矩阵 3 下列说法正确的是( )．（A）任一个二次型的标准形是唯一的（B）若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同（C）若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型（D）二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的 4 设A为可逆的实对称矩阵，则二次型X T AX与X T A-1X( )．

（A）规范形与标准形都不一定相同（B）规范形相同但标准形不一定相同（C）标准形相同但规范形不一定相同（D）规范形和标准形都相同 5 设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是( )．（A）可逆矩阵（B）实对称矩阵（C）正定矩阵（D）正交矩阵 6 设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则( )．（A）A，B合同（B）A，B相似（C）方程组AX=0与BX=0同解（D）r(A)=r(B) 7 设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是( )．（A）r(A)=r(B) （B）｜A｜=｜B｜（C）A～B

刘三阳线性代数第二版第一章标准答案

刘三阳线性代数第二版第一章答案

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第一章矩阵及其应用习题解答本章需要掌握的是： 1）矩阵的定义，以及矩阵的运算（加、减、数乘和乘法）； 2）方阵的幂和多项式，以及矩阵转置的性质； 3）逆阵的定义，以及逆阵的4条性质； 4）分块矩阵的运算规则； 5）矩阵的三种初等变换及行阶梯矩阵和行最简矩阵； 6）三种初等矩阵，以及定理1.4（左乘行变，右乘列变）、1.5、1.6和1.7；7）求逆阵的方法：定义法和初等变换法。 1、设方阵A满足，求。题型分析：此类题型考核的知识点是逆阵的定义，即。因此无论题中给出的有关矩阵A的多项式（如本题是）多么复杂，只需要把该多项式配方成“（所求逆的表达式）*（配方后的因子）=E”即可，即本题是要配成（A-E）*(?)=E。解： %配出2003A可提取的（A-E） %配出1998可提取的（A-E） %提取公因式（A-E） %将只有单位阵的那一项移至等式右端 %写成“AB=BA=E”的形式

%由逆阵定义可知巩固练习：教材第38页第13题 2、设，求。其中k为正整数。题型分析：此类题型考核的知识点是矩阵的乘法和幂运算。解题思路为依次计算最多到，通常这时已经可以看出规律，依此规律解题即可。解：，，因此推论，用数学归纳法证明如下： 1）当k=1时，成立； 2）假设当k=n-1时，上式成立，即，则有当k=n时，也成立。所以巩固练习：教材第41页二、填空题（3） 3、设A=E-uu T ，E为n阶单位阵，u为n维非零列向量，u T 为u的转置，证明：1）A2=A的充要条件是u T u=1； 2）当u T u=1时，A是不可逆的。题型分析：这道题综合了矩阵这一章的大部分知识点，是个综合题，对于刚学了第一章的同学们来说也是一道难题。解题思路首先要明确u为n为非零向量是指u是一个只有一行或一列的矩阵，题中有即告诉我们u是一个n*1阶列矩阵即列向量。

线性代数期末考试试卷答案

枣庄学院线性代数期末考试题样卷一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（） 4. ????? ???? ???=01 00 10000001 0010 A ，则A A =-1。（） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（）。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示

线性代数期末考试试卷+答案合集(20200412011417)

大学生校园网—https://www.wendangku.net/doc/698965535.html,线性代数综合测试题 ×××大学线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 131 1.若0 05x，则__________。 122 x 1 x 2 x 3 2．若齐次线性方程组x 1 x 2 x 3 0只有零解，则应满足。 x 1 x 2 x 3 3．已知矩阵A，B，C(c ij)sn，满足ACCB，则A与B分别是阶矩阵。 a 11 a 1 2 4．矩阵A aa的行向量组线性。 2122 a 31 a 3 2 2AE 5．n阶方阵A满足30 A，则 1 A。二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1.若行列式D中每个元素都大于零，则D0。（） 2.零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（） 3.向量组a1，a2，，a中，如果a1与a m对应的分量成比例，则向量组a1，a2，，a s线性相关。 m （） 0100 4. 1000 1。（）A，则AA 0001 0010 5.若为可逆矩阵A的特征值，则 1 A的特征值为。() 三、单项选择题(每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1.设A为n阶矩阵，且A2，则 T AA（）。 ① n 2② 2n③2n1④4 1 2.n维向量组1（3sn）线性无关的充要条件是（）。 s ，2，， ① 1，2，中任意两个向量都线性无关，

②1，2，，s中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③1，2，，s中任一个向量都不能用其余向量线性表示共3页第1页

大学生校园网—https://www.wendangku.net/doc/698965535.html,线性代数综合测试题 ④1，2，，s中不含零向量 2.下列命题中正确的是()。 ①任意n个n1维向量线性相关 ②任意n个n1维向量线性无关 ③任意n1个n维向量线性相关 ④任意n1个n维向量线性无关 3.设A，B均为n阶方阵，下面结论正确的是()。 ①若A，B均可逆，则AB可逆②若A，B均可逆，则AB可逆 ③若AB可逆，则AB可逆④若AB可逆，则A，B均可逆 4.若1，，，是线性方程组A0的基础解系，则1234是A0的（） 234 ①解向量②基础解系③通解④A的行向量四、计算题(每小题9分，共63分) xabcd 6.计算行列式a xbcd abxcd 。abcxd 解· xabcdxabcdbcd axbcdxabcdxbcd abxcdxabcdbxcd abcxdxabcdbcxd 1bcd1bcd 1xbcd0x00 3 (x abcd)(x abcd)(xabcd)x 1bxcd00x0 1bcxd000x 301 7.设ABA2B，且A,求B。 110 014 211522 解.(A2E)BA ( 1 A2E)221，B(A2E) 1A 432 111223

线性代数期末考试试题(含答案)

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（）（A ）任意r 个列向量线性无关

线性代数期末考试试题含答案

线性代数期末考试试题含答案 The final edition was revised on December 14th, 2020.

江西理工大学《线性代数》考题一、填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（）