浅谈“几何画板”在初中数学中的作用
浅谈“几何画板”在初中数学中的作用
灌南县堆沟港中学程庆虎
内容摘要：在新课程改革逐步深化的背景下，初中数学教学中如何培养学生的创新思维和实践能力，是我们一线教师面临的必须解决的问题。几何画板这个数学工具软件已逐渐被数学教师所认识，也正在被应用到数学教学中，如何利用几何画板开展数学教学和数学实验呢？本文就从初中数学的概念、公式、函数、数学活动、数学解题的教学等方面来谈谈几何画板在初中数学教学中的应用与尝试。
关键词：初中数学几何画板应用与尝试
在传统的数学教学模式下，知识的掌握、难点的突破，总是靠教师机械反复地讲，学生机械反复地练，这样就导致了学生过重的课业负担。学生在学习的过程中总是在反复地识记、反复地再认和保持，这样很难培养学生的学习兴趣、创新思维和实践能力。那么要改变这种教学的状况，方法之一，就是借助信息技术，再找一个适合数学教学的平台――几何画板。“几何画板”是Windows环境下的一个动态的数学工具软件。它提供了画点、画线（线段、射线、直线）、画圆（正圆）的工具，以及旋转、平移、缩放、反射等图形动态功能。几何画板又不同于其他绘图工具，虽然动态地，但仍能保持给定的几何关系，便于教师创设教学情境，便于学生自行动手在变化的图形中发现恒定不变的几何规律，使学生的逻辑思维能力、空间想象能力和数学运算能力得到较好的训练。从而打破了千百年来数学学习就是一支笔一张纸的纯理论局面，成为提倡数学实验，培养学生创新能力的有效工具。下面是几何画板在初中数学课堂教学实践中的简单应用。
1.运用“几何画板”讲授抽象数学概念（“旋转体”教学）
在数学教学中，概念教学是重要的，也是困难的。经验表明，让学生理解某一数学概念有时要比他们学会一个具体的解题技巧不知困难多少倍。数学概念离不开抽象思维及严谨的数学语言表述，而抽象与严谨正是学生疏远数学的原因。利用“几何画板”来创设教学情境并让学生主动参与却可以缩短数学与学生的距离，有助于学生理解抽象的数学概念。
例如在讲授“中心对称”这一概念时，可先用“几何画板”按照教科书中的图制作一个会转的风车的风轮，当它一出现时，立刻就吸引了全班同学的注意，一些平时上课不专心的同学这时也活跃起来了。同学们根据风车风轮的叶片在旋转中不断重合的现象很快就理解了“中心对称”的定义，并受此现象的启发还能举出不少中心对称的其他实例。这时再在屏幕上显示出成中心对称的两个三角形，并利用“几何画板”的动画和隐藏功能，时而让两个对称的三角形动起来，使之出现不同情况的对称图形（例如图形在对称中心两侧、两图形交叉或是有一对对称点在对称中心上等）；时而隐去或显示一些线段及延长线。在这种形象化的情境教学中，学生们一点不觉得枯燥，相反在老师的指导和启发下他们始终兴趣盎然地在认真观察、主动思考，并逐一找出了对称点与对称中心之间、对称点连线与对称中心之间的关系，在此基础上学生们很自然地就发现了中心对称的两个基本性质并理解了相应的定理，从而实现了对知识意义的主动建构。
2.运用“几何画板”动态演示数学公理（定理）
在以往的数学教学中，难就难在需用动的观点来看几何图形。过去教师借助于静态的图形或教具，试图通过生动的讲解引导学生进入情景，从而在学生头脑中产生画面（这种画面是潜在的）。几何画板则可以帮助学生从动态中去观察、探索和发现对象之间的数量变化关系与空间结构关系，使学生通过计算机从“听数学”转变为“做数学”。
例1．已知⊙O和点P，过P点作两条直线，分别和⊙O相交于A、B和C、D。利用几何画板，进行如下操作：
（一）当d、r不变时，拖动控制点1和控制点2，使弦AB、CD绕点P旋转，可得出相交弦定理。通过动态效果，便于学生探索图形的性质，极大地调动了学生学习知识和探索规律的热学生的主体性。回味一下，我们在静态的黑板上，能达到这种效果吗？情和主动性，也只有这样才能真正发挥。
（二）当点P的位置不变，一条弦绕点P旋转经过圆心，另一弦旋转垂直于第一弦时，可以得出相交弦定理的推论
（三）如果点P从圆内运动到圆外，可得割线定理
（四）割线定理图形中的割线PCD绕点P旋转时，点C、D可以重合，且∠ODP=∠OCP=90o 时，可得切割线定理。
例2．AB=AC，D是△ABC内一点，∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE。求证：BD=CE。
对这个题的教学，可利用几何画板做这样一个课件，先画一个等腰三角形ABC
，在三角形内部取一点D，用“变换”工具把△ABD逆时针方向旋转∠BAC的度数。得到△AEC。当完成对BD=CE的证明后，提出：当点D在△ABC边上或外部时，其他条件不变，上面的结论还成立吗？我一边提问一边拖动点D。
另外在讲授“平行线分线段成比例定理”时，先让学生在画板上画三条相互平行的直线截另两条直线，标出其交点，利用“几何画板”中“测算”和“自动计算”的功能，通过改变平行线和被截直线的相对位置，让它自动测算出对应线段的长度并计算出它们的比值。在操作中，学生可以通过任意改变平行线间距离、通过拖动被截直线来观察对应线段的比值是否总是相等，从而直观地得出结论。这样不仅增加教学容量，拓展学生的思路，还有利于培养学生的发散思维。
如图所示，拖动三角形的顶点，可改变三角形的形状、大小
例3．（1）拖动三角形的顶点，可改变三角形的形状、大小
这是一个动态的三角形，它可以被拖成下列三角形之一
（2）三角形三边所在的线分别是直线、射线和线段，拖动三角形的顶点可以改变三角形的大小和形状。在讲解三角形的外角时，就可构造此图形。
3.利用“几何画板”辅助“函数”教学，数形结合
函数的图象，一直是初中数学教学中传统的难点。学生学过函数的图象之后多数并不理解函数与图象的对应关系，甚至有听天书的感觉。数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形缺数时难入微。”运用“几何画板”可以通过学生们直接的感性认识和直觉思维，经过教师的引导，升华到理性的认识，达到加深学生的认知能力。
例如：学习一次函数：y=kx+b，要了解函数图像随着k，b的值的变化而变化的情况，是有一定难度的。在传统教学方式中，要取不同的k、b的值，然后列表在黑板上画出多个不同的一次函数图像，再进行观察比较。整个过程十分繁琐，教师和学生的主要精力放在了重复的计算和作图上，而不是通过观察、比较、讨论而得出结论上，整个过程显得不够直观，重点不突出，效率和效果不佳,如k和b的变化对函数的影响，函数值随着自变量的变化而变化没法直观演示，学生往往一知半解，容易造成学生的厌学，更不用说培养学生实践能力和创新意识。与之相比，借助于电脑，利用《几何画板》这个动态几何软件，可以很方便地画出一次函数y=kx+b的图像，并且可以把k和b设置为动态参数，k和b在这里实际上分别是点A和点B的纵坐标，只要拖动点A和点B就能改变k和b的值，y=kx+b的图像同时随之发生改变，通过观察函数图像的动态变化，学生很容易得出参数k和b对函数图像的影响，整个过程直观形象，容易理解，印象深刻。同样，只要拖动点P，点P的坐标通过几何画板的度量功能自动显示出来，学生容易接受函数值y随着自变量x的变化而增大或减小。
同样在教学“二次函数的图象及其性质”时，教师先用几何画板制作好二次函数y = ax2 + bx + c的课件，在教学中通过分别拖动改变a、b、c三个参数的值，观察二次函数的图象的变化情况。学生从中可以直接概括出二次函数图象中：开口方向与参数a的关系；对称轴与参数a、b的关系；顶点与参数a、b、c之间的关系；以及函数的图象所经过的象限与参数a、b、c之间的关系。这样就不必由老师进行讲解，而学生对此的印象却更加深刻。
4.利用“几何画板”引导学生做“数学实验”
“几何画板”几分钟就能实现动画效果，还能动态测量线段的长度和角的大小，
通过拖动鼠标可轻而易举地改变图形的形状，因此完全可以利用画板让学生作数学实验。这样在问题解决过程中理解和掌握抽象的数学概念，使得学生获得真正的数学经验，而不仅仅是一些抽象的数学结论。
例如，为了让学生较深刻地理解两个三角形全等的条件（如：SAS 公理），可以让学生利用几何画板做一次这样的数学实验：在该实验中，教师先用几何画板画好一个三角形ABC ，再画角C B A '''并构造线段C A ''得到三角形C B A ''',学生可通过任意改变线段B A ''、C B ''的长短、角C B A '''的大小和通过鼠标拖动端点来观察两个三角形的形态变化，学生从中可以直观而自然地概括出三角形全等的判定公理，并不需要由教师像传统教学中那样作滔滔不绝的讲解。研究轴对称的几何画板课件，△ABC 和△C B A '''关于y 轴对称。任意拖动三角形ABC 的顶点或边上任取的点D ，虽然图形的位置、形状和大小在发生变化，但对应点的连线段始终保持被对称轴垂直平分，再观察对应点的坐标，发现对应点横坐标互为相反数，纵坐标相等的特点。 或△C B A '''是△ABC 平移后的图形。只要拖动矢量点或三角形上的点，图形中始终保持对应点连线段平行且相等,四边形C C AA ''始终是平行四边形。通过这些学生亲手操作，使学生对知识的理解与掌握反而比传统教学要深刻得多。
5.运用“几何画板”解决开放探索性问题
传统的数学教学中的一个大缺陷是缺少一个便于学生探试的环境和富于启发性的问题情景，这就造成对开放探索性问题的教学的忽视。“几何画板”提供了一个十分理想的让学生探索问题求解的环境，这时情况就和传统教学大不一样了。
例如： 在解答问题“顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是什么图形”时，在计算机屏幕上显示的效果就比过去灵活得多。在“几何画板”的支持下，可以在屏幕上给出一个动态的四边形，它在运动的过程中忽而是凸四边形，忽而是凹四边形；四边中点连线组成的四边形也是不断变化的，可能是一般的平行四边形，也可能是特殊的平行四边形。在这种情景下我们可以给学生更多的思考空间，因为问题可以是非常开放的，我们可以引导学生探究怎样的条件将导致何种结论。
(一)任意四边形的中点四边形是平行四边形
（二）在上图中，改变AC和BD的长度，使AC=BD，则可得到对角线相等的中点四边形是菱形
（三）在任意四边形的中点四边形的图形中，改变AC和BD的位置关系，使AC ⊥BD，则可得到对角线相等的中点四边形是矩形。
（四）如果在上图中，保持AC和BD的垂直关系，并使AC=BD，则可得到，对角线相等且互相垂直的四边形的中点四边形是正方形。
通过以上几点，我们清楚地看到，运用“几何画板”参与的教学活动，其进程遵循一种新型教学结构，其特点就是在教师的指导下，或在教师所创设情境的帮助下，由学生主动进行探索式、发现式和协作式学习，也就是既发挥教师主导作用又充分体现学生主体作用的“主导——主体结构”。这种结构与传统的教学结构相比，其教学质量与教学效率都有显著的提高，充分体现了新型的教学结构的优越性。
参考文献：
《几何画板在初中数学教学中的尝试》
《几何画板在数学教学中的应用体会》
《初中数学教学中几何画板的尝试与应用》
《多媒体在数学教学中应用》
《几何画板培训教程》