-锐角三角函数教材分析

《锐角三角函数》教材分析

【基本要求】

（1）根据已知条件，能求出直角三角形某一锐角的三角函数值． 例1．（2011 浙江湖州）如图，已知在Rt △ABC 中，∠ C ＝90°，BC ＝1，AC =2，则tan A 的值为（ ）．

A ．2

B ．

1

2

C

D

【答案】B

例2．（2011四川乐山）如图，在4×4的正方形网格中，tanα=（ ）． A ．1 B ．2 C ．1

2

D

．2

【答案】B

例3

．①已知sin α=cos α= ，tan α= ，cos(90)α?-= ．

②已知tan 2α=

，则sin α= ，cos α= ．

．

（4）能利用三角函数的定义建立比例式，进行推理和计算． 例4．（2011山东日照）在Rt △ABC 中，∠C =90°，把∠A 的邻边与对边的比叫

做∠A 的余切，记作cot A =

a

b

．则下列关系式中不成立．．．的是（ ）． （A ）tan A ·cot A =1 （B ）sin A =tan A ·cos A （C ）cos A =cot A ·sin A （D ）tan 2A +cot 2A =1 【答案】D

例5．如图，矩形ABCD 中，AD >AB ，AB =a ，BDA θ∠=，作AE 交BD 于E ，且AE =AB ．试用a 与θ表示：AD = ．

【答案】

tan a

θ

，2sin a θ （5）能对一些函数三角函数的简单式子（含特殊角的三角函数值）进行化简．

例6．（2011安徽芜湖）计算：20113015

(1)()(cos68)33

8sin602π

---+++-．

【答案】8-

【较高要求】

（6）能构造直角三角形，求锐角三角函数值． 例7．（20011江苏镇江）如图，

在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB ，垂足为D ．若AC

BC =2，则sin ∠ACD 的值为（

）．

B

A

．

3 B

．5 C

．2 D ．23 答案【 A 】 例8．（2011湖北荆州）在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝4，AC ＝2，则s i n B 的值是（ ）．

A

B

C

D

【答案】D

（7）了解用“三角法”计算和证明几何题．

例9．在ABC ?中，已知2AB =，4BC =

，cos 3B =，求ABC ?的面积．【答案】4

3

． 【结论】1

sin 2

ABC S ac B ?=

． 【进阶提高】

例10．已知，如图，D 是ABC ?中BC 边的中点，

90BAD ∠=?，2

tan 3

B =

，求sin DAC ∠． 【方法】见比设k ． 【答案】3

5

．

例11．已知，如图，在菱形ABCD 中，AE BC ⊥于

点E ，EC =1，5

sin 13

B =，求四边形ABCD 的周长．

【答案】32．

例12．已知，如图，ABC ?中，CE AB ⊥，BD AC ⊥，2

5

DE BC =，

求cos A 及tan A ． 【答案】2

5

4．探究活动

例1．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°．

（1）a=2，

b=，解ABC ?．

（2）在Rt △ABC 中，a=2，c

=ABC ?． （3）在Rt △ABC 中，∠A =30°，a

ABC ?． （4）在Rt △ABC 中，∠A =30°，b =2，解ABC ?． （5）在Rt △ABC 中，∠C =90°，sin A =

4

1，b =2，求c

）

（6）在Rt △ABC 中，∠C =90°，tan A =

4

1

，S △ABC =2，求c

B C

D

B

C

例2．已知，如图，Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，CD AB ⊥于D ． （1）若3AD =，1DB =，解ABC ?． （2）若CD h =，ACD β∠=，解ABC ?． （3）若:3:1AD DB =，求A ∠．

（4）如图，在△ABC 中，CD ⊥AC 于D ，sin ∠A =

35，tan ∠B =3， AB =2，求BC 的长．

（5）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D ， sin ∠BCD =2

3

，CB =4，求AC

的长．

（

例3．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，D 是BC 边的中点，DE ⊥AB 于E ，tan B =

12，AE =7，求DE ．（7

3

） 例4．已知，如图，Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，D 是BC 上一点． （1）∠B =30°，∠BDA =135°，BD =3，求AB 的长．

（3） （2）BC =6，BC 边上的中线AD =5，求斜边AB 的长．

（

（3）B β∠=，ADC α∠=，BD m =，求AC ．

例5．（1）如图，小明在A 时测得某树的影长为2m ，B 时又测得该树的影长为8m ，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m ．【答案】4

（2）如图，一艘轮船位于灯塔P 的北偏东60°方向，与灯塔P 的距离为80海里的A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东45°方向上的B 处．求此时轮船所在的B 处与灯塔P 的距离（结果保留根号）．

（1）题图 （2）题图

例6．（1）如图，两建筑物AB 和CD 的水平距离为30米，从A 点测得D 点的俯角为30°，测得C 点的俯角为60°，则建筑物CD 的高为______米．

【答案】（2）在我市迎接奥运圣火的活动中，某校教学楼上悬挂着宣传条幅DC ，小丽同学在点A 处，测得条幅顶端D 的仰角为30°，再向条幅方向前进10米后， 又在点B 处测得条幅顶端D 的仰角为45°，已知测点A 、B 和C 离地面高度都为1.44米，求条幅顶端D 点距离地面的高度．（计算结果精确到0.1米，

1.414≈

1.732≈．）【答案】15.1

A 时

B 时

C

A

C

（1）题图 （2）题图

例7．（1）如图，甲、乙两楼相距20米，甲楼高20米，小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A 与甲、乙楼顶B 、C 刚好在同一直线上，若忽略小明的身高，则乙楼的高度是 米．【答案】60

（2）亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C ，D ．然后测出两人之间的距离 1.25m CD =，颖颖与楼之间的距离30m DN =（C ，

D ，N 在一条直线上）

，颖颖的身高 1.6m BD =，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离0.8m AC =．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？【答案】20.8m

（1）题图 （2）题图

例8．某片绿地的形状如图所示，其中60A ∠=?，AB BC ⊥，AD CD ⊥，200AB =m ，100CD =m ，求AD 和BC 的长（精确到

1.414≈

1.732≈）（227AD ≈m ，146BC ≈m ）

．

例8图 例9图

例9．如图，挂着“我爱学数学”条幅的氢气球生在学校操场上空．已知气球的直径为4m ，在地面A 点测得气球中心O 的仰角60OAD ∠=?，测得气球的视角2BAC ∠=?（AB 、AC 为圆

O 的切线，B 、C 为切点），则气球中心O 离地面的高度OD 为（ ）．

（精确到1m ，参考数据：sin10.0175?=

1.732=）

A ．94m

B ．95m

C ．99m

D ．105m 例10．如图，不透明圆锥体PEC 放在水平面上，在A 处灯光照射下形成影子．设BP 过底面的圆心，已

知圆锥的高为，底面半径为2m ，4m BE =．

（1）求B ∠的度数；

（2）若2ACP B ∠=∠，求光源A 距水平面的高度

（答案用含根号的式子表示）．

5．专题讲解，加深知识间的联系，提升对知识的理解． 【问题一】勾股定理的一般形式——余弦定理

在ABC ?中，5AB =，7AC =，60B ∠=?，求BC 的长． 思考与研究：

（1）在ABC ?中，若5AB =，60B ∠=?，9

2

AC =

，求BC 的长． （2）在ABC ?中，若5AB =，60B ∠=?，4AC =，求BC 的长． （3）在ABC ?中，若5AB =，60B ∠=?，8AC =，求AC 的长． （4）总结、归纳两个基本图形中，边、角之间的基本关系式． 【问题二】将一般的图形计算问题转化为解直角三角形，使得问题得以解决．

例1．已知，如图，ABC ?中，AE BC ⊥于E ，点D 分AC 的比

:1:2AD DC =，8BD =，3

sin 4

CBD ∠=，求AE 的长．

例2．在梯形ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=?，

E 是AC 边上一点，且DE EC ⊥，BE AD =

，CD =tan 2DCB ∠=，求BE 的长．【答案】1.5

例3．四边形ABCD 中，2AB =，60B ∠=?

，1BC =，2CE =，四边形ABCD 的面

ACD ∠的度数．【答案】30° 【问题三】圆中的锐角三角函数 例1．（2010年浙江）如图，直线l 与⊙O 相交于A ，B 两点，

且与半径OC 垂直，垂足为H ，已知AB =16cm ，4

cos 5

OBH ∠=．

（1）求⊙O 的半径； （2）如果要将直线l 向下平移到与⊙O 相切的位置，平移的

距离应是多少？请说明理由．

例2．（1）如左图，C 、D 是半圆O 上两点，5

11CD AB =，求cos CEB ∠和tan CEB ∠．

A B

O H C

l

（2）如右图，若AC、BD的延长线交于点E，

5

11

CD

AB

=，求cos CEB

∠和tan CEB

∠．

A B

【问题四】从射影定理看“勾股定理、相似和三角函数”三者之间

的内在联系

如图，在Rt ABC

?中，90

ACB

∠=?，CD AB

⊥于D，则有：

（1）2

CD AD BC

=?；（2）2

AC AD AB

=?；（3）2

BC BD BA

=?．

【问题五】要培养学生用“三角法”解决问题的意识

例1．如图，设P是矩形ABCD的AD边上一动点，PE AC

⊥

于点E，PF BD

⊥于F，3

AB=，4

AD=．求PE PF

+的值．

6．综合问题

例1．如图，在梯形ABCD中，AB//DC，∠BCD=90°，

且AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．

（1）求证：DC=BC；

（2）点E、F分别在梯形的内、外，且∠EDC=∠FBC，

DE=BF，试判断△ECF的形状，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，当BE:CE=1:2，∠BEC=135°时，

求sin∠BFE的值．

【答案】）（1）略；（2）等腰直角三角形；（3

．

例2．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC的延长线于点E，连结BC．

（1）求证：BE为⊙O的切线；

（2）如果CD＝6，tan∠BCD＝

1

2

，求⊙O的直径．

【答案】（1）略；（2）

15

2

．

A

B C

D

D

F

例3．如图，△ABC 中，BC =AC =10，AB =12，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，DF ⊥AC 于F ，交CB 的延长线于E ．

（1）求证：直线EF 是⊙O 的切线； （2）求sin E ∠． 【答案】（1）略；（2）

7

25

． 例4．在

Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，BC =O 在AC 边上，以点O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E ，连结CD ．

（1）如图1，若点D 为AB 边的中点，判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； （2）如图2，当∠ACD ＝15°时，请你求出此时弦AD 的长．

A

C

A

C

图1

图2

【答案】（1）相切；（2）3AD =-．

例5．已知：如图，BC 为半圆0的直径，AD ⊥BC ，垂足为D ，BF 交AD 于点E ，且AE =BE ．

（1）求证：AB AF

=；

（2）若3

sin 5

FBC ∠=，AB =AD 的长．【答案】8

例6．如图，等腰△ABC 中，AB =AC =13，BC =10，以AC 为直

径作⊙O 交BC 于点D ，交AB 于点G ，过点D 作⊙O 的切线交AB

于点E ，交AC 的延长线与点F ． （1）求证：EF ⊥AB ； （2）求cos ∠F 的值． 【答案】120169

例7．已知⊙O 过点D （4，3），点H 与点D 关于y 轴对称，过H 作⊙O 的切线交y 轴于点A （如图①）．

（1）求⊙O 的半径； （2）求sin ∠HAO 的值； （3）如图（2），设⊙O 与y 轴正半轴交点为P ，点E 、F 是线段OP 上的动点（与点P 不重合），连结并延长DE 、DF 交⊙O 于点B 、C ，直线BC 交y 轴于点G ，若△DEF 是以EF 为底的等腰三角形，试探索sin ∠CGO 的大小怎样变化？请说明理由．

C

【答案】（1）5r =；（2）35；（3）不变，3

5

．

7．中考新题

例1．（2011江苏苏州）如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，若EF =2，BC =5，CD =3，则tan C 等于

A ．

43 B ．34 C ．53 D ．5

4 【答案】B

例2．（2011四川内江）如图，在等边△ABC 中，D 为BC 边上一点，E 为AC 边上一点，且∠ADE =60°，BD =4，CE =4

3

，则△ABC 的面积为（ ）．

A

．

B ．15

C

．

D

．

【答案】C

例3．（2011安徽芜湖）如图，直径为10的⊙A 经过点C （0，5）和点O （0，0），B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为（ ）．

A ．

12 B ．34 C

D ．4

5

【答案】B

例4．（2011江苏淮安）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转15°后得到△AB 1C 1，B 1C 1交AC 于点D ，如果

AD=，则△ABC 的周长等于 ．

【答案】6+

图（1）

图（2）

B

A

C

D

E

例5．（2011江苏南京）如图，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则cos ∠AOB 的值等于_________．

【答案】12

例6．（2011四川南充）如图，点E 是矩形ABCD 中CD 边上一点，

△BCE 沿BE 折叠为△BFE ，点F 落在AD 上．

（1）求证：△ABE ∽△DFE ；

（2）若sin ∠DFE =13

，求tan ∠EBC 的值．

例7．（2011甘肃兰州）通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad ）.

如图①在△ABC 中，AB=AC ，顶角A 的正对记作sad A ，这时sad A BC

AB

==

底边腰．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：

（1）sad60°= ． （2）对于0°<∠A <180°，∠A 的正对值sad A 的取值范围是 ．

（3）如图②，已知sin A 3

5

=，其中∠A 为锐角，试求sad A 的值．

【答案】（1）1；（2）0

A

A

B C

C

B

图①

图②

F

E

D C B A