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北大版高等数学第一章 函数及极限答案 第一章总练习题

北大版高等数学第一章 函数及极限答案 第一章总练习题
北大版高等数学第一章 函数及极限答案 第一章总练习题

第一章总练习题

221.:581 2.

3|58|1422.|58|6,586586,.

3552

(2)33,5

2

333,015.

5

(3)|1||2|

1

(1)(2),2144,.

2

2|2|,.

2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式()或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.

解22231231

2,4,(2).

3

2,41

(2), 4.3

1

3.1.

2

2,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.22222

121

1,.22

123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤??=?->??<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++ 的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则

解证1231111

12

1

2

112

22

11231222222

2124(1)(1)3222,2222

1..1(1)(2)123(1).

(1)1(11)1(1)1,(1)(1)

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nx x x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===-- 即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1

21

2

.1(1)123(1)(1)(1)

n n n n

n

n n x nx x x nx

n x n x x +--++++++++=++- 等式成立设等式对于成立,则

12122

1122

1122

122

1(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),

(1)1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=

--+++-++=

--+++-++=

--+++-++=

--+++=-+即等式对于成立.,.

|2|||2

5.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();

(3)0()(4)224211222422

(1)(4)1,(1)2,(2)2,(2)0.

41224/,2(2)()x x f x x

f f f f f x x f x x f f f f x x f x +--=

---→→----------==--==-====----≤-=由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:当时是否有极限?

解000222222

22;2,20;

0,0.(3).lim ()2,lim ()0lim ().

(4).lim ()lim (4/)2,lim ()lim 22lim (),lim () 2.

6.()[14],()14(1)(0),x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x f x f x f x f x x f x x f →-

→+

→-

→--

→--

→-+

→-+

→--

→-??

-<≤??>?

==≠=-======--无因为有设即是不超过的最大整数.

求0

03,;

2(2)()0?

(3)()?

391(1)(0)[14]14,1467.[12]12.

244(2).lim ()lim[14]14(0).

(3).()12,()x y x x f f f x x f x x f f f f x y f f x f x →→+

??

???

==?????

?=-=-=-=-+=-=-=- ??????????

?=-=-==-的值在处是否连续在连续因为不连续因为解111111.

7.,0,,:(1)(1);(2)(1).

n n n n n n a b a b n b a b a n b n a b a b a

++++=-≤<--<++<--设两常数满足对一切自然数证明

111111

1

()()(1),

(1).

118.1,2,3,,1,1.

:{},{}..

11

1,1,7,

111n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b a

n a b n n a b a b a b n n n ++--+++--+++=<+++=+--->+-????

==+=+ ? ?????

<+=++?+ ? 类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=11

111

1

1

1111(1)1,111111111(1)11(1)1111111,11111.1111(1)11n n n n n n

n n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++???

-+? ?+?????<++ ???-

+??????

+-+<++ ? ? ?++???????????

?+-+<+ ? ? ?+??

????

???

?+<+ ? ?+????

??+ ????++< ?+??1

1

111

1

1

2

111111

1111(1)1111(1)11111111111111111.1111111.

111n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++++++??

-+? ?+??-

+?????

?++<+-+ ? ? ?+++???????????

?+<+-+ ? ? ?++????

??

??????+++<+ ? ? ?++????????++>+ ?++???我们证明2

211

1211111(1)11..(1)(1)1111,1,1,11.

n

n n n n n n n n n n n e e e n n n n ++++>+++++?>++????

????

→∞+→+→+<<+ ? ?

? ?????

????

最后不等式显然成立当时故

9.求极限

22222222221111lim 1111234111111112341324351111().2233442210.()lim (00, ()lim n n n n n n n n n n n n nx

f x a nx a

x nx

f x nx a →∞

→∞→∞????????---- ????? ?????????????????---- ????? ?????????++==→→∞=≠+===+ 作函数)的图形.

解解0;1/,0.

x x ??

≠?

1111.?,()[,]|()|,[,].

,(),[,],max{||,||}1,|()|,[,].

,|()|,[,],(),[,].12.f x a b M f x M x a b M N f x N x a b M M N f x M x a b M f x M x a b M f x M x a b

为存在一个正的常数使得设存在常数使得M 取则有反之若存在一个正的常数使得则证12121212:()()[,],()()()()[,].

,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|,|()()||()||()|,[,].

113.:()cos 0y f x y g x a b f x g x f x g x a b M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b f x x x x

π

==+<

11

(,),00,,,(),

1

()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,

21/2

0().

n x f x M n n M f n M n n

f x f x n n n x f x δδδδδδπ→->><>=>-=→=++=→∞+→n 邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则故在无界.但是x 故当时不是无穷大量证

11

1

11

000114.lim (1)ln (0).

1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.

ln(1)ln(1)

lim limln(1)lnlim(1)ln 1,

ln (1)ln ().

ln(1)

15.()()n

n n n n n y y y n n

n n x x x x

x y x y n y x n y y y y e y

y x

n x x n y f x g x →∞

→∞

→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=

→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证0000202

22

22220000.:()(),,()lim ()lim ()().1cos 1

16.lim .2

2sin 1cos 2sin 1sin 12lim

lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x

y y x

x y y →∞

→∞

→→→→→→===-=??-==== ??? 定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.

任取一个无理数取有理数序列证明证证001

1

000000001.2

ln(1)17.:(1)lim 1;(2)lim .

ln(1)

(1)lim limln(1)lnlim(1)ln 1.

(1)11(2)lim lim lim lim ln(1)ln(1)lim

1.

1

x a x

a y x y y y y y x a a a x x a a a

x x x y y a a y e e e y x

y y y e y e e e e e y e e e y x x x y y

e e +→→→→→+→→→→→=+-==+=+=+==---====++== 证明证0111018.()lim ()0,()lim ()()0.

|()|,0||.0,0,0|||()|/.min{,},0||,|()()||()||()|,li x a

x a

y f x a f x y g x a f x g x g x M x a x a f x M x a f x g x f x g x M M

δεδδεδδδδε

ε→→====<<-<>><-<<=<-<=<

= 设在点附近有定义且有极限又设在点附近有

定义,且是有界函数.证明设对于任意存在使得当时令则时故证m ()()0.

x a

f x

g x →=19.()(,),,()()|()|() () ()(),()(,).

y f x c g x f x f x c g x c f x c

c f x c

g x g x =-∞+∞≤??

=>??-<-?-∞+∞设在中连续又设为正的常数定义如下

当当当试画出的略图并证明在上连续

0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().

(),0,||()lim ()lim ().

(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)|

()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若 则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.

1

20.()[,],[()()()],

3

,,[,].[,],().()()(),(),.

()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证31231313000000()min{(),(),()},

()(),[,],,[,],().

21.()(),()g(),,.

0()g()()g()x f x f x f x f x f x f x x c a b f c y f x x g x x x kf x l x x k l l kf x l x x kf x l x x ηη=<<∈==+=+≠+在连续根据连续函数的中间值定理存在一点使得设 在点连续而在点附近有定义但在不连续问是否在连续其中为常数如果在连续;如果在解,l 0,0

00000||

()[[()lg()]()]/.22.Dirichlet .

.,()1;,()0;lim (),()11(1)lim 0;(2)lim (arctan )sin 12n n n

n x x x x x g x kf x x kf x l x x x x D x x x D x D x D x x x x x →→∞→+∞=+-''→→→→+??

= ?+??

不连续,因否则将在连续证明函数处处不连续任意取取有理数列则取无理数列则故不存在在不连续.

23.求下列极限:

证222001/1

12132100;2tan5tan5/5

(3)lim lim 5.ln(1)sin [[ln(1)]/]sin /1lim(1).

24.()[0,),0().0,(),(),,().{x x y x y n n x x x x x x x x x x x y e y f x f x x a a f a a f a a f a π→→→→+=====++++=+==+∞≤≤≥=== 设函数在内连续且满足设是一任意数并假定一般地试证明11},lim .

lim ,(),().

(),{}()0(1,2,),{}n n n n n n n n n n n n a a l a l f x x f l l a f a a a a f a n a →∞

→∞

++====≤=≥=单调递减且极限存在若则是方程的根即单调递减.又单调递减有下界,

111lim ,lim lim ()(lim )().

25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).

()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞

→∞

→∞

→∞

======-∞+∞==+==?∈-∞+∞++== 故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证1

1

.,()(11)(1).

1(0)(())()()(),().().

1111,(1)()()()(),().

11()()().,n n n n n n n

n m

m m

n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======????==== ? ?????

设是正整数则于对于任意整数对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(),

()lim ()lim ().

n

n

n r x x x x n n n r e x x E x E x E x e e

e e →∞

→∞

→∞

=→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性

关于大学高等数学函数极限和连续

关于大学高等数学函数极 限和连续 Last revision on 21 December 2020

第一章 函数、极限和连续 § 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ? ? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的; 则它必定存在反函数: y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1<x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( ); 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( ); 若f(x 1)<f(x 2),

则称f(x)在D内严格单调增加( ); 若f(x1)>f(x2), 则称f(x)在D内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称 偶函数:f(-x)=f(x) 奇函数:f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性: 周期函数:f(x+T)=f(x), x∈(-∞,+∞) 周期:T——最小的正数 4.函数的有界性: |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数: y=c , (c为常数) 2.幂函数: y=x n , (n为实数) 3.指数函数: y=a x , (a>0、a≠1) 4.对数函数: y=log x ,(a>0、a≠1) a 5.三角函数: y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣复合函数和初等函数 1.复合函数: y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数:

高等数学函数的极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同. 错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时,则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同,但定义域不同,所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >(M 为一个常数),则()x f 为无穷大. 错误 根据无穷大的定义,此题是错误的。 3、如果数列有界,则极限存在. 错误 如:数列()n n x 1-=是有界数列,但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ,a a n n =∞ →lim . 错误 如:数列()n n a 1-=,1) 1(lim =-∞ →n n ,但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ,则()α+=A x f (当∞→x 时,α为无穷小). 正确 根据函数、极限值、无穷小量的关系,此题是正确的。 6、如果α~β,则()α=β-αo . 正确 ∵1lim =α β ,是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα,即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时,x cos 1-与2 x 是同阶无穷小. 正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x . 错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在,∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 . 错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点. 错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ,=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点. 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值.

第一章函数与极限复习提纲

第一章函数与极限复习提纲 一、函数 知识点:1、函数的定义域、性质的判断(有界性、奇偶性、单调性、周期性) 2、基本初等函数的表示形式 3、复合函数的分解必须会!! 4、函数关系的建立 如1、下列函数中属于偶函数的是( D. ) A. x x y sin +=; B. x x y sin 2+=; C . x x y cos +=; D. x x y cos 2+=。 2、下列复合函数由哪些基本初等函数构成? (1)x x f 2ln )(= 解:u y ln =,x u 2= (2)x y 2cos = 解:2u y = ,x u cos = (3)5)13(+=x y 解:5u y =, 13+=x u (4)3 2 1-= x y 解:3 1u y =,12-=x u (5)x y 2cos ln = 解:u y ln =,v u cos =,x v 2= 3、旅客乘坐火车时,随身携带物品,不超过20公斤免费;超过20公斤部分,每公斤收费0.20元;超过50公斤部分再加收50%。试列出收费与物品重量的函数关系式。 解 0, 0.2(20), 2050 0.3(50)6, 50 x y x x x x ≤≤?? =-<≤??-+>? 4、某公司生产某种产品,总成本为C 元,其中固定成本为200元,每多生产一单位产品,成本增加10元,又设该产品价格P 与需求量x 之间的关系为2 25x P -=,求x 为多少时公司总利润最大? 解 成本函数C (x )=固定成本+可变成本 所以x x C 10200)(+= 收入函数x x x x x p x R 2521 )225()(2+-=?- =?= 利润函数200152 1)10200(2521)()()(2 2-+-=+-+-=-=x x x x x x C x R x L 令015)('=+-=x x L 得15=x 因为驻点唯一,又根据01)("<-=x L 可知函数最大值存在,所以当15=x 时,() L x

同济第六版《高等数学》教案WORD版-第01章 函数与极限

第一章函数与极限 教学目的: 1、理解函数的概念,掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念,了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念,理解函数左极限与右极限的概念,以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则,并会利用它们求极限,掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念,掌握无穷小的比较方法,会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续),会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质(有 界性、最大值和最小值定理、介值定理),并会应用这些性质。 教学重点: 1、复合函数及分段函数的概念; 2、基本初等函数的性质及其图形; 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则; 4、两个重要极限; 5、无穷小及无穷小的比较; 6、函数连续性及初等函数的连续性; 7、区间上连续函数的性质。 教学难点: 1、分段函数的建立与性质; 2、左极限与右极限概念及应用; 3、极限存在的两个准则的应用; 4、间断点及其分类; 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为

高等数学(同济五版)第一章 函数与极限知识点

第一章函数与极限 一、对于函数概念要注意以下几点: (1) 函数概念的本质特征是确定函数的两个要素:定义域和对应法则。定义域是自变量和因变量能相互联系构成函数关系的条件,无此条件,函数就没意义。对应法则是正确理解函数概念的关键。函数关系不同于一般的依赖关系,“y是x的函数”并不意味着y随x的变化而变化。函数关系也不同于因果关系。例如一昼夜的气温变化与时间变化是函数关系,但时间变化并不是气温变化的实际原因。y=f(x)中的“f”表示从x到y的对应法则,“f”是一个记号,不是一个数,不能把f(x)看作f乘以x。如果函数是用公式给出的,则“f”表示公式里的全部运算。 (2) 函数与函数表达式不同。函数表达式是表示函数的一种形式,表示函数还可以用其他的形式,不要以为函数就是式子。 (3) f(x)与f(a)是有区别的。f(x)是函数的记号,f(a)是函数值的记号,是f(x)当x=a时的函数值。 (4)两个函数,当其定义域相同,对应法则一样时,此二函数才是相同的。 二、函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性: 对函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性的学习应注意以下几点: (1) 并不是函数都具有这些特性,而是在研究函数时,常要研究函数是否具有这些特性。 (2) 函数是否“有界”或“单调”,与所论区间有关系。 (3) 具有奇、偶性的函数,其定义域是关于原点对称的。如果f(x)是奇函数,则f(0)=0。存在着既是奇函数,又是偶函数的函数,例f(x)=0。f(x)+f(-x)=0是判别f(x)是否为奇函数的有效方法。 (4) 周期函数的周期通常是指其最小正周期,但不是任何周期函数都有最小周期。

第一章 函数与极限的练习解答

一、P21:1;5 1.设),(),(∞+∞=55--A ,) ,【310-B =,写出 B A B A B A -=\,A B ,及)()\(\B A A B A A --=的表达式。 解:),5()3,(+∞-∞= B A )5,10[-=B A ),5)10,(\+∞--∞=-=( B A B A )5,10[)()\(\--=--=B A A B A A 5.下列各题中,函数)(x f 和)x g (是否相同?为什么? (1) x x g x x f lg 2)(,lg )(2== 解:不同。定义域不同,),0()0,(+∞-∞= f D ),0(+∞=g D 。 (2) 2 )(,)(x x g x x f == 解:不同。对应法则不同,即:值域不同。),0[,+∞==g f R R R 。 (3) 3 3 4 )(x x x f -=, 3 1)(-?=x x x g 解:相同。因为定义域和对应法(或值域)则相同。 (4) x x x g x f 2 2tan sec )(,1)(-== 解:不同。定义域不同,R D f = },1,0,2 { ±=+ ≠=k k x x D g π π。 二、P21:4(1)、(3)、(5)、(7)、(9);6;7(2); P22:10(1)、(4)、(5);11(1)、(3)、(5);15(1)、(3);16. 4.求下列函数的自然定义域:

(1) 23+=x y ; 解:32023-≥?≥+x x 。即:),3 2 [+∞-=D 。 (3)211x x y --=; 解:???≤≤-≠????≥-≠1 10 0102 x x x x 。即:]1,0()0,1[ -=D 。 (5) x y sin =; 解:0≥x 。即:),0[+∞=D (7))3arcsin(-=x y ; 解:42131≤≤?≤-≤-x x 。即:]4,2[=D 。 (9))1ln(+=x y 解:101->?>+x x 。即:),1(+∞-=D 6.设,3 ,3,0,sin )(ππ?≥

高等数学函数极限练习题

设 f ( x ) 2 x , 求 f ( x ) 的 定 义 域 及 值 域 。 1 x 设 f ( x) 对一切实数 x 1, x 2 成立 f ( x 1 x 2 ) f ( x 1 ) f ( x 2 ),且 f (0 ) 0, f (1) a , 求 f (0 )及 f ( n).(n 为正整数 ) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ,若 f ( x) 表 示 将 x 之 值 保 留 二 位小数,小数第 3 位起以后所有数全部舍去,试用 表 示 f ( x) 。 I ( x) 定 义 函 数 I ( x) 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 叫 做 x 的 取 整 函 数 ,若 g ( x) 表 示 将 x 依 4 舍 5 入 法 则 保 留 2 位 小 数 , 试 用 I ( x) 表 示 g ( x) 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为 0.25 元,而零售价为 0.40 元,并且如果报纸当天未售 出 不 能 退 给 报 社 ,只 好 亏 本 。若 每 天 进 报 纸 t 份 ,而 销 售 量 为 x 份 ,试 将 报 摊 的 利 润 y 表 示 为 x 的函数。 定义函数 I ( x)表示不超过 x 的最大整数叫做 x 的取整函数,试判定 ( x) x I ( x )的周期性。 判定函数 x x ln( 1 x x )的奇偶性。 f ( x ) ( e 1) 设 f ( x ) e x sin x , 问 在 0 , 上 f ( x ) 是 否 有 界 ? 函 数 y f ( x ) 的 图 形 是 图 中 所 示 的 折 线 O BA , 写 出 y f ( x) 的 表 达 式 。 x 2 , 0 x ; x , x ; 设 f ( x) 2 ( x) 0 4 求 f ( x ) 及f ( x ) . x x 4 x x , . , . 2 2 2 4 6 设 f ( x ) 1, x 0 ; ( x ) 2 x 1, 求 f ( x ) 及 f ( x) . 1 , x 0 . e x , x ; 0 , x 0 ; 设 f ( x ) 求 f ( x )的反函数 g ( x ) 及 f ( x ) . x x ( x) x 2, x 0 , . . 1 x ) , ( x ) x , x 0 ; 求 f ( x ) . 设 f ( x )( x x 2 , x 2 0 . 2 x , x 0 ; 求 f f ( x ) 设 f ( x ) x 0. . 2 , 0 , x ; x , x ; ( x ) 求 f ( x) ( x ). 设 f ( x ) x , x 0 . x , x . 1

(完整版)大一高数第一章函数、极限与连续

第一章 函数、极限与连续 由于社会和科学发展的需要,到了17世纪,对物体运动的研究成为自然科学的中心问题.与之相适应,数学在经历了两千多年的发展之后进入了一个被称为“高等数学时期”的新时代,这一时代集中的特点是超越了希腊数学传统的观点,认识到“数”的研究比“形”更重要,以积极的态度开展对“无限”的研究,由常量数学发展为变量数学,微积分的创立更是这一时期最突出的成就之一.微积分研究的基本对象是定义在实数集上的函数. 极限是研究函数的一种基本方法,而连续性则是函数的一种重要属性.因此,本章内容是整个微积分学的基础.本章将简要地介绍高等数学的一些基本概念,其中重点介绍极限的概念、性质和运算性质,以及与极限概念密切相关的,并且在微积分运算中起重要作用的无穷小量的概念和性质.此外,还给出了两个极其重要的极限.随后,运用极限的概念引入函数的连续性概念,它是客观世界中广泛存在的连续变化这一现象的数学描述. 第一节 变量与函数 一、变量及其变化范围的常用表示法 在自然现象或工程技术中,常常会遇到各种各样的量.有一种量,在考察过程中是不断变化的,可以取得各种不同的数值,我们把这一类量叫做变量;另一类量在考察过程中保持不变,它取同样的数值,我们把这一类量叫做常量.变量的变化有跳跃性的,如自然数由小到大变化、数列的变化等,而更多的则是在某个范围内变化,即该变量的取值可以是某个范围内的任何一个数.变量取值范围常用区间来表示.满足不等式a x b ≤≤的实数的全体组成的集合叫做闭区间,记为,a b ????,即 ,{|}a b x a x b =≤≤????; 满足不等式a x b <<的实数的全体组成的集合叫做开区间,记为(,)a b ,即 (,){|}a b x a x b =<<; 满足不等式a x b <≤(或a x b ≤<)的实数的全体组成的集合叫做左(右)开右(左)闭区间,记为 (,a b ?? (或),a b ??),即 (,{|}a b x a x b =<≤?? (或),{|}a b x a x b =≤

1第一章 函数与极限答案

第一章 函数与极限 第一节 映射与函数 1.填空题: (1)函数)(x f y =与其反函数)(x y ?=的图形关于 x y = 对称. (2 )函数 2 1 ()1f x x = +-的定义域为__________________________; (3)若)(x f 的定义域是[0,1],则)1(2+x f 的定义域是 {0} . (4)设b ax x f +=)(,则=-+= h x f h x f x ) ()()(? a . (5)若,11)(x x f -=则=)]([x f f x x 1- ,=)]}([{x f f f x . (6)函数2 x x e e y --=的反函数为 。 (7 )函数y =: x ≥0,值域: 0≤y <1 ,反函数: x =-ln(1-y 2), 0≤y <1 2. 选择题: (1)下列正确的是:(B ,C ) A.2 lg )(x x f =与x x g lg 2)(=是同一函数. B.设)(x f 为定义在],[a a -上的任意函数,则)()(x f x f -+必为偶函数,)()(x f x f --必为奇函数. C.?? ? ??<-=>==0,10,00,1sgn x x x x y 是x 的奇函数. D.由任意的)(u f y =及)(x g u =必定可以复合成y 为x 的函数. . (2))sin()(2 x x x f -=是( A ). A.有界函数; B. 周期函数; C. 奇函数; D. 偶函数. (3)设54)(2 ++=bx x x f ,若38)()1(+=-+x x f x f ,则b 为( B ). A.1; B.–1; C.2; D.–2. (4)函数 2 1 arccos 1++-=x x y 的定义域是( )

高等数学1.3-函数的极限

第三节 函数的极限(一) 教学目的:(1)理解函数极限和左、右极限的概念; (2)理解无穷小概念,掌握其性质 教学重点:函数极限的概念,无穷小概念 教学难点:函数极限的概念的理解与应用 教学方法:讲授法 教学时数:2课时 本节我们将数列极限的概念推广到一元实值函数,然后研究函数极限的性质及其运算法则. 一、函数极限的概念 1.自变量x 趋于无穷大时函数的极限 1)+∞→x 时的极限: +∞→x 读作“x 趋于正无穷大”,表示x 无限增加,0x > . 例:对于x x f 1)(= ,当自变量+∞→x 时,x x f 1 )(=与常数0无限接近 . 复习数列极限的定义:数列{}n x 以a 为极限即a x n n =∞ →lim ? 0>?ε,N ?,N n >时,ε<-a x n . 令()n f x n =,则()?=∞ →a n f n lim 0>?ε,N ?,当N n >时,()ε<-a n f .将n 换成连续变量x ,将a 改记为A ,就可以得到x →+∞时,()A x f →的极限的定义及其数学上的精确描述 . 定义3.1:设函数)(x f 在),(+∞a 内有定义,,A ∈若0>?ε,0X ?>,当x X >时,有()ε<-A x f ,则称数A 为函数()x f 当x →+∞时的极限,记作()lim x f x A →+∞ =, 或()A x f →,(x →+∞) . 几何意义:对任意给定的0ε>,在轴上存在一点X ,使得函数的图象 {(,)|(),(,)}x y y f x x a =∈+∞在X 右边的部分位于平面带形),(),(εε+-?+∞A A X 内 . 2)x →-∞时的极限: x →-∞读作“x 趋于负无穷大”,表示x 无限增加,0x < . 定义:设函数)(x f 在),(a -∞内有定义,,A ∈若0>?ε,0X ?>,当x X <-时,有()ε<-A x f ,则称数A 为函数()x f 当x →-∞时的极限,记作()lim x f x A →-∞ =

高数第一次课随堂练习函数与极限

随堂练习 一 第一章 函数与极限 一、填空题 1、43 2lim 23=-+-→x k x x x ,则k= 。 2、函数x x y sin = 有间断点 ,其中 为其可去间断点。 3、若当0≠x 时 ,x x x f 2sin )(= ,且0)(=x x f 在处连续 ,则=)0(f 。 4、=++++∞→3 52352) 23)(1(lim x x x x x x 。 5、3) 2 1(lim -∞ →=+e n kn n ,则k= 。 6、函数2 31 22+--=x x x y 的间断点是 。 7、当+∞→x 时, x 1 是比 3-+x 8、当0→x 时,无穷小x --11与x 相比较是 无穷小。 9、函数x e y 1=在x=0处是第 类间断点。 10、设1 1 3 --= x x y ,则x=1为y 的 间断点。 11、已知33=?? ? ??πf ,则当a 为 时,函数x x a x f 3sin 31sin )(+=在3π=x 处连续。 12、设?? ???>+<=0)1(02sin )(1x ax x x x x f x 若)(lim 0 x f x →存在 ,则a= 。 13、设? ??>≤+=0,cos 0 ,)(x x x a x x f 在0=x 连续 ,则常数a= 。 二、计算题 1、计算下列极限 (1))2141211(lim n n ++++ ∞ → ; (2)2)1(321lim n n n -++++∞→ ;

(3)35lim 22-+→x x x ; (4)1 1 2lim 221-+-→x x x x (5))12)(11(lim 2x x x -+ ∞ → ; (6)x x x 1 sin lim 20→ ; (7)x x x x +---→131lim 21 ; (8))1(lim 2 x x x x -++∞ → ; 2、计算下列极限 (1)x wx x sin lim 0→ ; (2)x x x 5sin 2sin lim 0→ ; (3)x x x cot lim 0→ ; (4)x x x x )1( lim +∞→ ; (5)1 )11(lim -∞→-+x x x x ; (6)x x x 1 )1(lim -→ ; 3、比较无穷小的阶 (1)32220x x x x x --→与,时 ; (2))1(2 1 112 x x x --→与,时 ; (3)当0→x 时 , 232-+x x 与x 。 4、利用等价无穷小性质求极限 (1)30sin sin tan lim x x x x -→ ; (2)),()(sin ) sin(lim 0是正整数m n x x m n x → ; 5、讨论函数的连续性 。 在? ??=>-≤-=11,31 ,1)(x x x x x x f 6、利用函数的连续性求极限 (1))(lim 22 x x x x x -- ++∞ →; (2)x x x sin ln lim 0 → (3)x x x 2)11(lim + ∞→; (4))1 1 (lim ,)1(lim )(1 --=+ →∞→t f n x x f t n n 求设 (5))1(lim 2 x x x x -++∞ → ; (6)1)1232( lim +∞→++x x x x ; (7)3 0sin tan lim x x x x -→ ; 7、设函数???≥+<=0 ,0 ,)(x x a x e x f x 应当怎样选择a ,使得) ()(∞+-∞,成为在x f 内的连续函数。 8、证明方程135 =-x x 至少有一个根介于1和2之间。 9、设????? ≤+>=0 ,0,1sin )(2 x x a x x x x f 要使),()(∞+-∞在x f 内连续, 应当怎样选择数a ?

(完整版)高等数学第一章函数与极限试题2

高等数学第一章函数与极限试题 一. 选择题 1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,""N M ?表示“M 的充分必要条件是N ”,则必有 (A ) F(x)是偶函数?f(x)是奇函数. (B ) F(x)是奇函数?f(x)是偶函数. (C ) F(x)是周期函数?f(x)是周期函数. (D ) F(x)是单调函数?f(x)是单调函数 2.设函数,1 1 )(1 -= -x x e x f 则 (A ) x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. (B ) x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点 (C ) x=0是f(x)的第一类间断点,x=1是f(x)的第二类间断点. (D ) x=0是f(x)的第二类间断点,x=1是f(x)的第一类间断点. 3.设f (x)=x x 1-,x ≠0,1,则f [)(1 x f ]= ( D ) A ) 1-x B ) x -11 C ) X 1 D ) x 4.下列各式正确的是 ( C ) A ) lim 0 + →x )x 1 +1(x =1 B ) lim 0 + →x )x 1 +1(x =e C ) lim ∞ →x )x 1 1-(x =-e D ) lim ∞ →x )x 1 +1(x -=e

5.已知9)( lim =-+∞→x x a x a x ,则=a ( C )。 A.1; B.∞; C.3ln ; D.3ln 2。 6.极限:=+-∞→x x x x )1 1(lim ( C ) A.1; B.∞; C.2-e ; D.2e 7.极限:∞ →x lim 332x x +=( A ) A.1; B.∞; C.0; D.2. 8.极限:x x x 11lim 0 -+→ =( C ) A.0; B.∞; C 2 1; D.2. 9. 极限:)(lim 2x x x x -+∞ +→=( D ) A.0; B.∞; C.2; D. 2 1 . 10.极限: x x x x 2sin sin tan lim 30-→=( C ) A.0; B.∞; C. 16 1; D.16. 二. 填空题 11.极限1 2sin lim 2+∞ →x x x x = 2 . 12. lim 0 →x x arctanx =_______________. 13. 若)(x f y =在 点 x 连续,则 f )]()([lim 0→-0 x f x f x x =______f ’(xo)_________; 14. =→x x x x 5sin lim 0_________0.2__; 15. =-∞→n n n )2 1(lim _______e*e__________; 16. 若函数2 31 22+--=x x x y ,则它的间断点是___________2___1_____

考研数学高数公式:函数与极限解读

考研数学高数公式:函数与极限 第一章:函数与极限 第一节:函数 函数属于初等数学的预备知识,在高数的学习中起到铺垫作用,直接考察的内容比较少,但是如果这章节有所缺陷对以后的学习都会有所影响。 基础阶段: 1.理解函数的概念,能在实际问题的背景下建立函数关系; 2.掌握并会计算函数的定义域、值域和解析式; 3.了解并会判断函数的有界性、单调性、周期性、奇偶性等性质; 4.理解复合函数和反函数的概念,并会应用它们解决相关的问题; 强化阶段: 1.了解函数的不同表现形式:显式表示,隐式表示,参数式,分段表示; 2.掌握基本初等函数的性质及其图形,了解初等函数的概念。 冲刺阶段: 1.综合应用函数解决相关的问题; 2.掌握特殊形式的函数(含极限的函数,导函数,变上限积分,并会讨论它们的相关性质。 第二节:极限

极限可以说是高等数学的基础,极限的计算也是高等数学中最基本的运算。在考试大纲中明确要求考生熟练掌握的基本技能之一。虽在考试中站的分值不大。但是在其他的试题中得到广泛应用。因此这部分学习直接营销到整个学科的复习结果 基础阶段 1.了解极限的概念及其主要的性质。 2.会计算一些简单的极限。 3.了解无穷大量与无穷小量的关系,了解无穷小量的比较方法,记住常见的等价无穷小量。 强化阶段: 1.理解极限的概念,理解函数左右极限的概念及其与极限的关系(数一数二/了解数列 极限和函数极限的概念(数三; ▲2.掌握计算极限的常用方法及理论(极限的性质,极限的四则运算法则,极限存在的两个准则,两个重要极限,等价无穷小替换,洛必达法则,泰勒公式; 3.会解决与极限的计算相关的问题(确定极限中的参数; 4.理解无穷大量和无穷小量的概念及相互关系,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用(数一数二/理解无穷小量的概念,会进行无穷小量的比较,记住常见的等价无穷小量并能在计算极限时加以应用,了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系(数三。 冲刺阶段: 深入理解极限理论在微积分中的中心地位,理解高等数学中其它运算(求导,求积分与极限之间的关系,建立完整的理论体系。

高等数学函数极限练习试题

设x x x f += 12)(,求)(x f 的定义域及值域。 ,,,且成立,对一切实数设a f f x f x f x x f x x x f =≠=+)1(0)0()()()()(212121)()()0(为正整数.及求n n f f 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数,若)(x f 表示将x 之值保留二位小数,小数第3位起以后所有数全部舍去,试用)(x I 表示)(x f 。 定义函数)(x I 表示不超过x 的最大整数叫做x 的取整函数,若)(x g 表示将x 依4舍5入法则保留2位小数,试用)(x I 表示)(x g 。 在某零售报摊上每份报纸的进价为0.25元,而零售价为0.40元,并且如果报纸当天未售出不能退给报社,只好亏本。若每天进报纸t 份,而销售量为x 份,试将报摊的利润y 表示为x 的函数。 的取整函数,试判定的最大整数叫做表示不超过定义函数x x x I )(的周期性。)()(x I x x -=? 的奇偶性。 判定函数)1ln()1()(x x e x f x x -+?-=+ [ )设,问在,上是否有界?f x e x f x x ()sin ()=+∞0 函数的图形是图中所示的折线,写出的表达式。y f x OBA y f x ==()() ???≤≤-<≤=????≤≤+<≤=., ; ,.,;, 设64240)(42220)(2 x x x x x x x x x x f [][].及求)()(x f x f ?? [][]设,; ,. ,求及.f x x x x x f x f x ()()()()=-≤>???=-101021??? ???>-≤=????>≤-=. ,; ,., ;,设000)(00)(2 x x x x x x x e x f x [].及的反函数求)()()(x f x g x f ? []设,,;,.求.f x x x x x x x x f x ()()()()=+=<≥???1 2002?? []设,; , .求.f x x x x f f x ()()=+<≥???2020 .求.,; ,.,;,设)()( 111)(000)(x x f x x x x x x x x x f ?+? ??≥<+=????≥<=

高数数学极限总结

函数极限总结 一.极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期,但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中,牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶,达朗贝尔等人才认识到,把微积分建立在极限概念的基础之上,微积分才是完善的,柯西最先给出了极限的描述性定义,之后,魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义(ε-δ和ε-N 定义)。 从此,各种极限问题才有了切实可行的判别准则,使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二.极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限:设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义,如果存在常数A ,对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数 ,使得当x 满足不等式 时,对应的函数值 都满足不等式: 那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限,记作。[2] 单侧极限:?.左极限:或 ?.右极限:或 定理: 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0 )(x f 0x x →

等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例,f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是:对于任意给定的正数ε(无论它多么小),总存在正数δ,使得当x 满足不等式 时,对应的函数值f(x)都满足不 等式:|f(x)-A|<ε,那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。时的极限。 函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则 有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得,需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。 准则Ⅰ.如果数列,及满足以下条件: (1)从某项起,即,当时,有; (2);, 那么数列的极限存在,且 准则Ⅰ'如果(1)当(或)时, (2) ,, 那么存在,且等于。 夹逼定理:(1)当时,有??成立 (2) ?,那么,极限存在,且等于A 【准则Ⅰ,准则Ⅰ′合称夹逼定理】 )()()(lim 0 00x f x f x f x x →+-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →{}n x {}n y {}n z +∈?N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞ →lim {}n x a x n x =∞ →lim ),(0r x U x ο ∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim ) (0 A x h x x x o =∞→→)(lim ) ()(lim ) (0 x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U ο ?()0x f

大学高等数学函数极限和连续

第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ?? ?∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1(y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的; 则它必定存在反函数: y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1<x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 内单调增加( ); 若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 内单调减少( ); 若f(x 1)<f(x 2),

则称f(x)在D 内严格单调增加( ); 若f(x 1)>f(x 2), 则称f(x)在D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性:D(f)关于原点对称 偶函数:f(-x)=f(x) 奇函数:f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性: 周期函数:f(x+T)=f(x), x ∈(-∞,+∞) 周期:T ——最小的正数 4.函数的有界性: |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数: y=c , (c 为常数) 2.幂函数: y=x n , (n 为实数) 3.指数函数: y=a x , (a >0、a ≠1) 4.对数函数: y=log a x ,(a >0、a ≠1) 5.三角函数: y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数:y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数: y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x ∈X 2.初等函数:

高等数学(函数及极限)

目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (11)

一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合(简称集)。集合具有确定性(给定集合的元素必须是确定的)和互异性(给定集合中的元素是互不相同的)。比如“身材较高的人”不能构成集合,因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合,用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素,就说a属于A,记作:a∈A,否则就说a不属于A,记作:a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集(或自然数集)。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法:把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合 ⑵、描述法:用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集:一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,我们就说 A、B有包含关系,称集合A为集合B的子集,记作A B(或B A)。。 ⑵相等:如何集合A是集合B的子集,且集合B是集合A的子集,此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样,因此集合A与集合B相等,记作A=B。 ⑶、真子集:如何集合A是集合B的子集,但存在一个元素属于B但不属于A,我们称集合A是集合B 的真子集。 ⑷、空集:我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作,并规定,空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系,可以得到下面的结论: ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C,如果A是B的子集,B是C的子集,则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”,这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。(在求并集时,它们的公共元素在并集中只能出现一次。) 即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。 ⑵、交集:一般地,由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 即A∩B={x|x∈A,且x∈B}。 ⑶、补集: ①全集:一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集:对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集。简称为集合A的补集,记作C U A。

同济大学(高等数学)_第一章_函数极限

第一篇 函数、极限与连续 第一章 函数、极限与连续 高等数学的主要内容是微积分,微积分是以变量为研究对象,以极限方法为基本研究手段的数学学科.本章首先复习函数相关内容,继而介绍极限的概念、性质、运算等知识,最后通过函数的极限引入函数的连续性概念,这些内容是学习高等数学课程极其重要的基础知识. 第1节 集合与函数 1.1 集合 1.1.1 集合 讨论函数离不开集合的概念.一般地,我们把具有某种特定性质的事物或对象的总体称为集合,组成集合的事物或对象称为该集合的元素. 通常用大写字母A 、B 、C 、 表示集合,用小写字母a 、b 、c 、 表示集合的元素. 如果a 是集合A 的元素,则表示为A a ∈,读作“a 属于A ”;如果a 不是集合A 的元素,则表示为A a ?,读作“a 不属于A ”. 一个集合,如果它含有有限个元素,则称为有限集;如果它含有无限个元素,则称为无限集;如果它不含任何元素,则称为空集,记作Φ. 集合的表示方法通常有两种:一种是列举法,即把集合的元素一一列举出来,并用“{}”括起来表示集合.例如,有1,2,3,4,5组成的集合A ,可表示成 A ={1,2,3,4,5}; 第二种是描述法,即设集合M 所有元素x 的共同特征为P ,则集合M 可表示为 {}P x x M 具有性质|=. 例如,集合A 是不等式022<--x x 的解集,就可以表示为 {} 02|2<--=x x x A . 由实数组成的集合,称为数集,初等数学中常见的数集有: (1)全体非负整数组成的集合称为非负整数集(或自然数集),记作N ,即 {} ,,,3,2,1,0n N =; (2)所有正整数组成的集合称为正整数集,记作+ N ,即 {} ,,,3,2,1n N =+; (3)全体整数组成的集合称为整数集,记作Z ,即 {} ,,,3,2,1,0,1,2,3,,,n n Z ----=;

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