安徽省芜湖一中2013届高三上学期第二次模拟考试数学理试题
芜湖一中2013届高三第二次模拟考试
数学（理科）试题
第I 卷（选择题 共50分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1．已知复数(,)z x yi x y R =+∈，且有11x yi i
=+-，z 是z 的共轭复数，那么
1z 的值等
于（ ） A ．
2155i -
B ．
215
5
i +
C ．
125
5
i +
D ．
125
5
i -
2．若随机变量~X N （1，4），(0)Px m ≤=
，则(02)P x <<=（ ） A ．
122m -
B ．
12
m -
C ．12m -
D ．1m -
3．二项式1(n
x x
-展开式中含有2
x 项，则n 可能的取值是（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
4．已知函数2()4f x x =-，()y g x =是定义在R 上的奇函数，当0x >时，2()log g x x =，则函数()()f x g x ?的大致图象为（ ）
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A ．
3
π+
B ．23
π+
C
．2π+
D
．6
π+
6．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列结论正确的是（ ） A ．(sin )(cos )f f αβ> B ．(sin )(cos )f f αβ< C ．(cos )(cos )f f αβ<
D ．(cos )(cos )f f αβ>
7．在等差数列{}n a 中，11a =，6321a a =+，对任意的
n ，设
1
1234
(1)n n n S a a a a a -=-+-++- ，则满足2135k S +>的最小正整数K 的取值等于（ ） A ．16
B ．17
C ．18
D ．19
8．直线415
315x t y t ?
=+????=--??
（t
为参数）被曲线)4
π
ρθ=
+
所截的弦长为（ ）
A ．
710
B ．
145
C ．
75
D ．
57
9．设长方形ABCD 边长分别是AD=1，AB=2（如图所示），点P 在?BCD
内部和边界上运动，设A P A B A D αβ=?+?
（,αβ都是实数），
则2αβ+的取值范围是（ ） A ．[1，2]
B ．[1，3]
C ．[2，3]
D ．[0，2]
10．把一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只有5种不同颜色可供选择，那么不同的染色方法共有（ ） A ．420种 B ．300种 C ．360种 D ．540种
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）
11．点P 是抛物线2
4y x =上一动点，则点P 到y 轴距离与点P 到点A (2,3)距离之和的最小值等于 。
12．2
0(21)x dx --?= 。
13．如图所示，程序框图输出的值为 。
14．已知命题2:
121
x p x ->-，
命题2
:210(0)q x x m m ++-≤>若非p 是非q 的必要不充分条件，那么实数m 的取值范围是 。
15．已知(sin ,1)a x =
，1(cos ,)2
b x =-
，函数
()()f x a a b =?-
，那么下列四个命题中正确命题的序号
是 。
①()f x 是周期函数，其最小正周期为2π。
②当8
x π
=时，()f x 有最小值22
-
。
芜湖一中2013届高三第二次模拟考试
数学（理科）答题卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11． 12． 13．
14．
15．
三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16．（本题满分12分）
解关于x 2log 1(01)a x a a <->≠且
17．（本题满分13分）
某品牌汽车4s店对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如表所示：付款方式分1期分2期分3期分4期分5期频数40 20 a 10 b 已知分3期付款的频率为0.2，4s店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元，分2期或3期付款其利润为1.5万元，分4期或5期付款，其利润为2万元，用Y表示经销一辆汽车的利润。
（1）求上表中a，b的值。
（2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该品牌汽车的3位顾客中，至多有一位采用3期付款”的概率P（A）
（3）求Y的分布列及数学期望EY。
18．（本题满分12分）
如图，四棱锥S-ABCD的底面ABCD是直角梯形，侧面SAB是等边三角形，DA⊥面SAB，DC//AB，AB=2AD=2DC，O，E分别为AB、SD中点。
（1）求证：SO//面AEC BC⊥面AEC
（2）求二面角O—SD—B的余弦值。
19．（本题满分12分） 已知函数21()()(0)ax
f x x x e a a
=--
?>
（1）当2a =时，求函数()f x 的单调区间。 （2）若不等式3()0f x a
+≥对任意的x R ∈恒成立，求a 的取值范围。
20．（本题满分13分）
如图，直角坐标系XOY 中，点F 在x 轴正半轴上，O F G ?的面积为S 。且1OF FG ?=
，
设(2)OF c c =≥ ，3
4
S c =。
（1）以O 为中心，F 为焦点的椭圆E 经过点G ，求点G 的纵坐标。
（2）在（1）的条件下，当OG
取最小值时，求椭圆E 的标准方程。
（3）在（2）的条件下，设点A 、B 分别为椭圆E 的左、右顶点，点C 是椭圆的下顶点，
点P 在椭圆E 上（与点A 、B 均不重合），点D 在直线PA 上，若直线PB 的方程为
y kx =-0AP CD ?=
，试求CD 直线方程。
21．（本题满分13分） 已知函数11()()(0)2f x x x x
=
+
>，1()n n a f a +=，对于任意的*
n N ∈，都有1n n a a +<。
（1）求1a 的取值范围 （2）若132
a =
，证明：1
112
n n a +<+
（*,2n N n ∈≥）
（3）在（2）的条件下，证明：
122
3
1
1n n a a a n a a a ++
++
-<
高三数学答案（理科）
一、选择题（每题5分，共50分） 1．B (1)112
x x i yi i
+==+-
22x xi yi ∴+=+ 2x ∴= 1y =，2z i
=+
2z i ∴=-
∴原式12155i z i
=
=+-
2．C 由对称性：(2)(0)P x P x m ≥=≤=
(02)1(0)P x P x ∴<<=-≤ (2)112P x m m m -≥=--=-，选C 。
3．D
因为3
44
4
44
444
642
28
8
881
()(()C x C x
x C x
x C x x
--??-=??=??=?，
4．D ()f x 偶函数 ()g x 奇函数 ().()
f x
g x ∴是奇函数排除；.A B 又当x 取较大正数时()0f x <，()0g x > ()()0f x g x ∴?<排除C 故选D 5．A 该几何体下面是个园柱，上面是个三棱锥，其体积为
2
1111123
2
3
v ππ=??+
??=+
选A
6．B (2)()f x f x -= (2)()(f x f x f x ∴+=-= 2∴T =
()f x 在[]32-?-上减
∴在[-1，0]上减，又偶函数 ∴在[]0.1上增
,αβ 是钝角三角形的两个锐角02
π
αβ∴<+< 02
2
π
π
αβ∴<<
-<
0sin sin(
)cos 12
π
αββ∴<<-=< (s i n )(c o s f f
αβ∴< 选B
7．C 6321a a =+ 11,2,21
n a d a n ∴===-
1357n S ∴=-+-1
(1)
(21)n n -++-?-
211
22122121
(1)2(1)k k
k k k k S S a k a +-+++∴=+-?=-+-? 2[2(21)1]2412135k k k k k =-+?+-=-++=+> 234k ∴> 17k ∴>
∴最小正整数K 值为18，选C
8．C
化为普通方程：直线3410x y ++=，圆220x y x y +-+=，圆心11(,)2
2
-
，
2
r =，圆心到直线距离110
d =，弦长
=75
=
9．B
阴影部分内的点（x ，y ）满足220
0201x y x y +-≥??
≤≤??≤≤?
设P （x ，y ），
则(,)(2,0)(0,1)(2,)AP x y αβαβ==?+?=
即：2x α=，y β= 因此
1001
01αβαβ+-≥??
≤≤??≤≤?
作图易知：2[1,3]αβ+∈ 选B
10．A
用5色有55120A =种，用4色有452240A =种，用3色有3
560A =种，∴共有420
种。
二、填空题（每小题5分，共25分） 11
．1
A 、P 、F
三点共线时，112
A F p -
=最小。
12．3
原式=1
2
1
2
2
2
01
1
11(1)(3)(
)(3)
32
2
x dx x x x x x x ++
-=++-
=??
13．12（略） 14．[4,)+∞ 1:12
p x << 1:12
p x x ∴?≤
≥或 2
:2q x x +10m +-≤
2
:210q x x m ??++->
2
(1):1x m q x ?+>??<-<
或1x >-+p ? 是g ?的必要不充分条件
1
3122112?
?
--
≤
≤??∴??
?-+≥≥?
恒成立 4m ?≥。
15．②，③，④
22
111()sin 1(sin cos )2cos 2sin 2222
f x a a b x x x x x =-?=+--=--=
2s i n (2
)
2
4
x π
-
+，而知①错②，③，④均正确。 三、解答题
16．原不等式同解于：22log 10
3log 203log 2(2log 1)
a a a a x x x x ?->?
-≥??-<-? …………………………3分
解得：
23log log 13
4
a a x x ≤<
>或
…………………………………………8分 当1a >时，解为2
3
34a x a x a ≤≤>或
…………………………………………10分
当01a <<时 解为 2
3
340a x a x a <≤<<或 …………………………12分
17．（1）0.2100
a = 20a ∴= 402010100
a b ++++=
10b ∴=……………………4分
（2）记分期付款的期数为x ，则：
40(1)0.4100
P x ===，(2)0.2P x ==，(3)0.2P x ==
(4)0.1P x ==
(5)0.1P x ==，故所求概率
3
1
2
3()0.80.20.80.896P A C =+??=…………8分
（3）Y 可能取值为1，1.5，2（万元） (1)(1)0.4P Y P x ====
( 1.5)(2)(3)0.4P Y P x P x ===+==，(2)(4)(5)0.2P Y P x P x ===+==
∴Y 的分布列为：
Y 1 1.5 2 P
0.4
0.4
0.2
Y 的数学期望10.4 1.50.420.2 1.4E Y =?+?+?=（万元）……………………………………13分
18．（1）设DO ，AC 交于点F ，连接EF ，则可得EF//OS ∴SO//面AEC …………………3分 又SO ⊥面ABCD SO B C ∴⊥ E F B C ∴⊥ 又//B C D O B C A C ∴⊥ EF AC F =
BC ∴⊥面AEC ……………………………………6分
（2）分别以OS ，OB ，OC 为x 轴，Y 轴，z 轴点的空间直角坐标系，设AB=2，显然AC ⊥面SOD ，
∴面SOD 的法向量(0,1.1)m A C ==
设面SBD 的法向量为(1,,)n x y =
由n SB ⊥ ，
n SD ⊥ 求得：(1,n = 12分 19．（1）2a =时，221()()2
x
f x x x e =--? 222()(22)2(1)(1)x x f x e x e x x '=?-=?+-
∴减区间为（-1，1），增区间为（,1-∞-）和（1，+∞） ………………………………5分
（2）()(2)(1)ax f x e ax x '=?+- 令()0f x '=的 2x a
=-
1x = 0a >
列表 x
（2,a
-∞-
） 2a
-
（2a
-
，1） 1 （1，+∞）
f x ' + 0 —
0 + ()f x
极大值
极小值
∴当1x =时，()f x 有最小值1(1)0a
f e a
=-<
∴依题意
13
a
e a a -≥-
即可 ? 3ln 3a e a ≤?≤
解得
0ln 3a <≤
………………………………12分
20．（1）设G （00,x y ） 012
S O F y =??
03142c c y ∴=
?
032
y =
(,0)O F c =
000(,) (0)FG x c y y =->
032
y ∴=
…………………………3分
（2）由（1）知 0()1OF FG c x c ?=?-= 01
x c c
∴=+
O G ∴=
=
(2)c ≥ 1()f c c c
=+
在[2，+∞]上递增
∴当2c =时 ()f c 有最小值
15222
+
=此时
052x =
032
y =
53
(,)22
G ∴，由于点G 在椭圆E 上，且2c =
∴可求得
2
2
10,6a b ==
方程为：
2
2
110
6
x
y
+
=………………………………8分
（3）由（2
）知：(0)A
，0)B
，(0,C 直线BP
：y kx =-点B
∴求得3k =
又设P （11,x y ）则221
1
6(10)10
y x =
-
2
1
21
10
AP BP y k k x ∴?=
=
-
2
12
16(10)6310
10
10
5
x x -==-
=-
-
313
1
3115
5535
AP PB k k K
∴=-
?
=-?
=-
?=- 0AP CD ?=
1AP C D k k ∴?=- 115
C D k ∴-
?=-
5CD k ∴=
又CD 直线过点C （0
，）故：所求CD
方程为：5y x =-……………………13分
21．（1）111()()2
n n n n
a f a a a +==
+
11
1
(
)02n n n n
a a a a +∴-=
-<恒成立
2
10n
n
a a -∴
<
0n a >
1n a ∴>恒成立
故：11a >…………………………3分
（2）11()()2
f x x x
=+ 2
11()(1)2
f x x
'∴=- ∴当1x >时，()0f x '>
∴有结论：函数()f x 在（1，+∞）上是单调递增函数。
下面用数学归纳法证明：*
1
11 (,2)2
n n a n N n +<+∈≥
①当2n =时，由132
a =
得 213
1
11131()12
12
2
a a a =
+
=
<+
成立。
②假设当(2)n k k =≥时，结论成立。即：1
112
k k a +<+
那么当1n k =+时
11
1
1
1111()(1)(1)122
2
12
k k k k k a f a f ++++=<+
=+++
1
1
1
2
111111(11)(2)12
2
2
1
2
2
2
k k k k ++++=
+
+-
<
+
=+-
这表明当1n k =+时不等式也成立，综合①②可知：当*n N ∈，2n ≥时1
112
n n a +<+成
立………7分 （3）111()2n n n
a a a +=
+
且0n a >
1n n a a +∴=+
1
1n n a a +∴
=+1n n a a +<
1
1n n a a +∴
-<
令()g x =()g x 在(1,)+∞上递增 ∴由
（2）知：
1
1n n a a +-<
<==
<
(2)n ≥
又12
5113
a a -=
<
∴左边122
3
1(
1)(1)(
1)n n a a a a a a +=-+-++-
[1(]
1)[1(
]12
2
n
n
?-<
+
=
=+?-<
……
……13分