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初一数学上册知识点与例题

丰富的图形世界（一）

一、重点知识归纳及讲解

1、常见几何体的特征及分类

几何体是从实物中抽象出来的数学模型，常见的几何体有圆柱、圆锥、正方体、长方体、棱柱、球体等，它们各有自身的特征，既有共同点，又有不同点，可以根据其共同点进行分类，可以根据其不同点进行区分.

2、点、线、面、体之间的关系

点动成线、线动成面、面动成体.几何图形是由点、线、面构成的；组成体的面可以是平的，也可以是曲的；面与面相交得到线、线可以是直的，也可以是曲的；线与线相交得到点.

3、棱柱的特性

在棱柱中，任何相邻两个面的交线都叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱，棱柱的所有侧棱长都相等，棱柱的上、下底面是相同的多边形，侧面都是长方形.

根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱等，它们的底面图形的形状分别为三边形、四边形、五边形、六边形，长方体和正方体都是四棱柱.

底面多边形的边数为n的棱柱有2n个顶点、3n条棱、n条侧棱、(n＋2)个面、2个底面、n个侧面.

4、棱柱、圆柱、圆锥的表面展开图

棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形连成的，沿棱柱表面不同的棱剪开，可以得到不同组合方式的平面展开图.

圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形连成的.

圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形连成的.

二、难点知识剖析

1、棱柱与圆柱的异同点

相同点：圆柱和棱柱都有两个底面.

不同点：圆柱的底面是圆形，而棱柱的底面是多边形；圆柱的侧面是一个曲面，而棱柱的侧面是四边形.

2、圆柱、圆锥的侧面展开图

圆柱的侧面展开图是一个长方形，一边长是底面的圆周长，相邻一边的长是圆柱的高.

圆锥的侧面展开图是扇形，其半径为圆锥母线长，弧长是圆锥的底面周长.

三、典型例题解析

例1、将如图所示的几何体进行分类，并说明理由

分析：

几何体的分类不是惟一的，可根据其共同点来进行适当的分类，可按柱体、锥体、球体来分，也可按组成几何体的面的平或曲来分. 答案：

若按柱体、锥体、球体来分类：（2）（3）（5）（6）是柱体，（4）是锥体，（1）是球体.

若按几何体的面是平还是曲来分类：（1）（4）（6）是一类，组成它们的面中至少有一个面是曲面；（2）（3）（5）是一类，组成它们的各个面都是平面.

例2、将图1所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到如图2所示的几何体的是哪一个三角形？

分析：

通过观察和想象可知，三角形绕直线l旋转一周后，A图得到圆锥，C图得到圆锥，D图得到的几何体是圆柱里挖掉一个圆锥，B图得到图2所示的几何体.

答案：

图1中B图所示的三角形绕直线l 旋转一周，可以得到图2所示的几何体.

例3、如图所示的八棱柱，它的底面边长都是5厘米，侧棱长都是6厘米，回答下列问题：

（1）这个八棱柱一共有多少面？它们的形状分别是什么图形？哪些面的形状、面积完全相同？

（2）这个八棱柱一共有多少条棱？它们的长度分别是多少？

（3）沿一条侧棱将其侧面全部展开成一个平面图形，这个图形是什么形状？面积是多少？

答案：

（1）这个八棱柱一共有10个面，其中上、下两个底面，8个侧面，上、下底面是八边形，侧面都是长方形；上、下底面的形状、面积完全相同，8个侧面的形状、面积完全相同.

（2）这个八棱柱一共有24条棱，其中侧棱的长度都是6厘米，其它棱长是5厘米.

（3）将其侧面沿一条棱展开，展开图是一个长方形，长为538=40（厘米），宽为6厘米，所以面积是4036=240（平方厘米）.

例4、如图所示是一多面体的展开图，每个面内都标注了字母，请根据要求回答问题：

（1）如果面A在多面体的底部，那么哪一面会在上面？

（2）如果面F在前面，从左面看是面B，那么哪

一面会在上面？

（3）如果从右面看是面C，面D在后面，那么哪一面会在上面？

答案：（1）面F；（2）面C；（3）面A

例5、如图所示，哪些图形可以折成一个棱柱？

分析：

由图形可知围成的应为四棱柱（正方体），由四棱柱的特征可知只能有（1）、（3）、（4），而（2）的底面重合在一起了.

答案：

由四棱柱的特征可知（1）、（3）、（4）可折成一个棱柱.

例6、把半径为10cm的半圆折成一个圆锥，则这个圆锥的底面积是多少平方厘米？

分析：

如图所示，把半圆折成圆锥时发现，半圆的弧长就是圆锥底面圆的周长

解：

设底面圆的半径为r，则有

丰富的图形世界（二）

一、重点知识归纳及讲解

1、用平面截几何体所得截面的形状

用一个平面从不同的方向去截同一个几何体，所得到的截面形状可能是不同的．在用一个平面去截几何体时，注意观察几何体在切截过程中的变化，充分想像截面可能的形状，可以先找出平面和几何体的面相交而成的线，然后再判断这些线围成的截面形状.

2、从不同方向观察物体

从不同方向观察同一物体时，可能看到不一样的结果．当观察画在纸上面的立体图形时，只能通过想像，推出从其他方向观察这个物体所可能得到的结果.

3、物体的主视图、左视图、俯视图

从不同的方向观察同一物体时，可能看到不同的图形，其中，把正面看到的图叫做主视图，从左面看到的图叫做左视图，从上面看到的图叫做俯视图，合称三视图.

这里所说的主视图、俯视图、左视图是相对于观察者而言的，位于物体不同方向的观察者，他们所画出的主视图、俯视图、左视图可能是不同的.

4、多边形

多边形是由一些线段首尾顺次相连围成的封闭图形，多边形根据它的边数可以分为三角形（即三边形）、四边形、五边形等，多边形的边数为n（n≥3）的叫做n边形．在多边形中，三角形是最基本的图形.

从一个多边形的某个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个多边形分割成若干个三角形，n边形可以分割成(n－2)个三角形，这样，多边形可以化归为三角形来研究．5、圆、弧及扇形

一条线段绕着它的一端旋转一周形成的图形叫做圆.

圆上两点之间的部分叫做弧，弧是一条曲线.

由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形，扇形是由一条曲线和两条线段组成的封闭图形.

一个圆可以被它的半径分割成若干个扇形.

二、难点知识剖析

1、物体三视图的画法及识别

对于简单物体的三视图，要能识别观察方向，能够想像出物体的原形.

对于简单物体以及立方体的简单组合，画它的三视图的关键是确定它们有几列，以及每列方块的个数.

由俯视图画主视图和左视图的方法有二：一是先摆出几何体，再画出主视图和左视图；二是先由俯视图确定主视图，左视图的列及每列方块的个数，主视图与俯视图列数相同，其每列方块数是俯视图该列中最大数字，左视图的列数与俯视图的行数相同，其每列的方块数是俯视图该行中的最大数字.

2、平面图形的组合和分割

再复杂的平面图形都是由若干简单的基本图形组合而成的，生活中许多美丽的图案，就是由三角形、正方形、长方形、多边形、圆、扇形等基本图形组成．对于平面图形能进行简单的分割和组合.

三、典型例题解析

例1、一正方体截去一角后，剩下的几何体有多少条棱？多少个面？多少个顶点？

分析：

因为截去一角有多种截法，所以应分情况讨论

解：

（1）如图（1），剩下的几何体有15条棱，7个面，10个顶点．

（2）如图（2），剩下的几何体有14条棱，7个面，9个顶点．

（3）如图（3），剩下的几何体有13条棱，7个面，8个顶点．

（4）如图（4），剩下的几何体有12条棱，7个面，7个顶点．

例2、一几何体被一平面所截后，得一圆形截面，则原几何体是什么形状？分析：

要使截面是一个圆形，则必须使原几何体有一个曲面，这样的几何体可能是圆锥、圆柱、圆台或球. 解：

如图所示，原几何体可能是：（1）圆锥；（2）圆柱；（3）圆台，（4）球

例3、分别画出如图所示由五块方块摆成两种不同形状的三视图

分析：

在画三视图前，要仔细观察物体形状，充分发挥空间想像能力，分析它的三视图的可能形状. 解：（1）的三视图如图（1）所示. （2）的三视图如图（2）所示

例4、如图所示是由几个小立方体所搭几何体的俯视图，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出这个几何体的主视图、左视图

分析：

从正面看，它有三列，每列的方块数依次是2、3、2；从左面看，它有两列，每列的方块数分别是3、2. 解：这个几何体的主视图、左视图如图所示

例5、从一个七边形的某个顶点出发，分别连结这个点和其余各顶点，可以把这个七边形分割成多少个三角形？先想一想，再画一画. 分析：

按这种方式分割，四边形可分成两个三角形；五边形可分成三个三角形；六边形可分成四个三角形；七边形可分成五个三角形，一般地，n 边形可分成（n －2）个三角形.

解：七边形可被分割成五个三角形，如图所示

正数与负数

一、定义

1、正数：像，3，2，1.8%这样大于0的数叫做正数．

2、负数：像－3，－2，－2.7%这样在正数前面加上负号“－”的数叫做负数．

3、0：0既不是正数，也不是负数．

一般地“＋”号往往省略不写，但负数前面的“－”号不能省略.

对于正数和负数的概念，不能简单地理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数.

学会用正、负数表示具有相反意义的量．相反意义的量包含两个要素：一是意义相反.如向东的反向是向西，上升与下降，收入与支出．二是他们都是数量．数0既不是正数又不是负数，是正数和负数的分界，是基准．

二、例题讲解

例1、下列四组数中，都是正数或都是负数的是（）①4，1，，0.3②2，－3，0③－1，

－0.1，④－2009，－2，0

A．①③④B．②④C．①③D．①②③

分析：根据正数和负数的特征判断．

答案：C

例2、将下列各数填入相应的括号内：－2.5，3.14，－2，

＋72，－0.6，0，．

分析：

要想判断一个数是正数还是负数，首先看它是否为零，如果不是零，就看它前面有没有负号，如果有负号那么它就是负数．

答案：

正数，负数

注意：

正数前面的“＋”号通常省略.正负数形式上的区别是符号不同，与已学的数的联系是在以前学习的非0整数和分数前加上符号．

例3、下列说法中不正确的是（）

A．0是自然数B．0是正数C．0是整数D．0表示没有

答案：B

例4、一个物体沿着南北方向在运动，若规定向南记作正，向北记作负，则该物体：（1）向南运动20米记作__________，向北运动50米记作__________；（2）＋25表示向____运动__________米，－26表示向__________运动__________米；（3）原地不动记作__________．

答案：

（1）＋20米，－50米；

（2）南，25，北，26；

（3）0

注意：

如果没有规定哪种意义的量用正数表示，所以先要指明哪种意义的量用正数表示，其相反意义的量用负数表示. 负数表示的是与其具有相反关系的量.

例5、学校篮球队选拔男队员，按规定队员的标准身高为175cm，高于标准身高记录为正，低于标准身高记录为负，现有参选队员5人，量得他们的身高后，分别记录为－6cm，－4cm，＋1cm，＋2cm，－7cm，若实际选拔的男队员的身高为170cm～180cm，那么上述五人中有几人可入选？

答案：3人可入选．

例6、数学考试成绩以96分以上为优秀，以96分为标准，老师将某组的八名同学的成绩简记为：＋4，－3，＋10，－10，＋16，－17，0，＋7.5．

（1）分别写出这八名同学的实际成绩；

（2）求出这八名同学的平均分．

答案：

（1）100，93，106，86，112，79，96，103.5．

（2）96.9375．

例7、小虫从某点O出发在同一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，爬过的各段路程依次记为（单位：厘米）：＋5，－3，＋10，－8，－6，＋12，－10．

（1）小虫离开出发点O最远时是多少厘米？

（2）小虫从出发到最后停下来回共爬行多少厘米？答案：

（1）5，5＋（－3）＝2，2＋10＝12，12＋（－8）＝4，4＋（－6）＝－2，－2＋12＝10，10＋（－10）＝0，最远时是12cm．

（2）5＋3＋10＋8＋6＋12＋10=54cm．

例8、观察下列一列数：1，－2，－3，4，－5，－6，7，－8，－9，……

（1）请写出这一列数中的第100个数和第2009个数．

（2）在前2010个数中，正数和负数分别有多少个？

（3）2011和－2011是否在这一列数中，若在，请写出它们分别是第几个数？若不存在，请说明理由．

答案：

（1）100，－2009．

（2）670个正数，1340个负数．

（3）因为第2011个数是正数，所以存在2011，而不存在－2011．

有理数

一、有理数的分类

整数：正整数、0、负整数统称为整数；

分数：正分数和负分数统称为分数；

有理数：整数和分数统称为有理数；

二、例题讲解

例1、下列说法正确的是（）

A．有理数是正数

B．有理数包括正数和负数

C．零不是有理数

D．有理数包括正有理数、0和负有理数

答案：D

例2、下列关于有理数分类正确的是（）

A．有理数分为正有理数和负有理数；

B．有理数分为正整数、负整数、正分数、负分数；C．有理数分为正有理数，0，分数；

D．有理数分为自然数，负整数，分数．

答案：D

例3、把下列各数填在相应的大括号里：

－5，2，，－2，0，2008，－25，6.3，－3.7 答案：

负数{－5，，－2，－25，－3.7}；

整数{－5，2，－2，0，2008，－25}；

自然数{2，0，2008}；

分数{，6.3，－3.7}．

例4、在数6.4，－π，－0.6，，10.1，－2010中（）

A．有理数有6个B．－π是负数C．非正数有3个D．以上都不对

答案：BC 例5、下列各数：3，－5，，0.2，0.97，－0.21，－

6，3009，，1．其中正数有________个，负数________

个，正分数有________个，负分数有________个，非负整数有________个．

答案：6；4；3；2；3

例6、按规律填空：

（1）－1，－2，3，－4，－5，6，________，________，________；

（2）________，________，________；

（3）－1，－3，－5，－7，________，________，________．答案：

（1）－7，－8，9；

（2）

（3）－9，－11，－13．

例7、将一串有理数按下列规律排列，回答下列问题：

（1）在A处的数是正数还是负数？

（2）负数排在A、B、C、D中的什么位置？

（3）第2010个数是正数还是负数？排在对应于A、B、C、D中的什么位置？

解：

（1）在A处的数是正数；

（2）B和D位置是负数；

（3）第2010个数是正数，排在C的位置．

例8、已知A、B、C三个集合，每个集合中所包含的数都写在各自的大括号内，请把这些数填在下图圈内的相应位置．

A={－2，－3，－8，6，7}；

B={－3，－5，1，2，6}；

C={－1，－3，－8，2，5}．

答案：

数轴

一、数轴三要素：原点、正方向、单位长度．

1、包含三个内容：第一是数轴是一条直线，可以向两方无限延伸；

第二是数轴的三要素——原点、正方向、单位长度，缺一不可；

第三是原点的选定、正方向的取向、单位长度的确定都是规定的，通常取向右为正方向．

所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的不都是有理数．

2、数轴的画法

（1）画直线（一般画水平的）；

（2）在直线上取一点定为原点“0”（在原点下方标上“0”）；

（3）取原点向右的方向为正方向，并用箭头表示出来；

（4）选取适当的长度作为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3，4，…，从原点向左，每隔一个单位长度取一点依次表示为－1，－2，－3，…零用原点表示．如图：

二、例题讲解

例1、下列各图中，是数轴的是（）

．

B ．

．

D ．

分析：

数轴的三要素——原点、正方向、单位长度，缺一不可．

答案：D

例2、数轴上原点及原点左边的点表示__________．

分析：

0和负数叫做非正数，所以数轴上原点及原点左边的点表示的是非正数.

答案：非正数

例3、如图，指出数轴上A、B、C、D、E分别表示什么数．

A点表示__________；B点表示__________；C点表示__________；D点表示__________；E点表示__________．

答案：A：1；B：－3；C：2.5；D：－1；E：－5．

例4、在数轴上距原点2010个单位长度的点表示的数是（）

A．2010B．－2010 C．2010或－2010D．以上都不对

答案：C

例5、2008年8月第29届奥运会在北京开幕，5个城市的国际标准时间（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（）

A．伦敦时间2008年8月8日11时

B．巴黎时间2008年8月8日13时

C．纽约时间2008年8月8日5时

D．首尔时间2008年8月8日19时

答案：B

例6、数轴上点A和点B表示的数分别是－1.2和2.2，点C到A，B两点的距离相等，则点C表示的数是（）A．1B．0.5

C．0.6D．0.8

答案：B

例7、已知数轴上有三个点A、B、C，点A表示的数是2，点B在点A的左侧5个单位长度，点C在点B的右侧4个单位长度，则点B表示的数是__________，点C 表示的数是__________．

答案：－3；1

例8、在数轴上，一只蚂蚁从原点出发，它先向右爬了4个单位长度到达点A，再向右爬了2个单位长度到达点B，然后又向左爬了10个单位长度到达点C．（1）写出A、B、C三点表示的数；

（2）根据点C在数轴上的位置，C点可以看作是蚂蚁从原点出发，向哪个方向爬了几个单位长度得到的？

解：

（1）A表示4，B表示6，C表示－4：

（2）C点可以看作是蚂蚁从原点出发向左爬了4

个单位长度．

例9、已知在一条只有正方向的不完整的数轴上有A，B，C，D四个点，如图所示，

（1）若点C是原点，单位长度是1，则A，B，C，D四点分别表示什么数？

（2）若点B是原点，点C表示的数为10，则A，D两点所表示的数分别是什么数？

（3）若D点表示的数是6，A点表示的数是－12，则在图中标出原点的位置，并写出B，C两点各表示什么数？

解：

（1）A，B，C，D四点分别表示－3，－1，0，3；（2）A，D两点分别表示－20，40；（3）原点在点C右边的一点，B，C两点分别表示－6，－3．

例10、（1）一只蝈蝈在数轴上跳动，先从A处向左跳1个单位长度到B，然后由B向右跳2个单位长度到C，若C表示的数为－3，则点A所表示的数为__________．（2）若蝈蝈第一步从P0向左跳1个单位长度到P1，第二步从P1向右跳2个单位长度到P2，第三步由P2向左跳3个单位长度到P3，第四步由P3向右跳4个单位长度到P4，……，按以上规律跳了100步，蝈蛔落在数轴上的点P100所表示的数是2010，则这只蝈蝈初始位置P0所表示的数是__________．

答案：（1）－4（2）1960

相反数

一、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．

（1）代数意义：只有符号不同的两个数叫互为相反数，其中一个数叫另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．零的相反数是零．

（2）几何意义：在数轴上的原点两旁，离原点的距离相等的两个点所表示的数互为相反数.

（3）性质：互为相反数的和为0，即a＋b＝0a、b两数互为相反数.

（4）符号：在一个数前面加“－”号表示这个数的相反数，如数a的相反数是－a.

强调：“只有符号不同的两个数”中的“只有”指的是除了符号不同以外完全相同．不能理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数．

二、除零外的两个相反数在数轴上，位于原点的两侧，且到原点的距离相等，即一个正数的相反数是一个负数；一个负数的相反数是一个正数；0的相反数仍是0．三、例题讲解

例1、如图，表示互为相反数的两个数的点是（）

A．A和C B．A和D

C．B和C D．B和D

答案：C

例2、化简下列各数的符号：

（1）－（＋5）（2）＋（－3）

（3）－[－（＋6）]（4）－[－（－8）] 答案：（1）－（2）－（3）＋（4）－

例3、下列各对数中，互为相反数的有（）

①（－1）与＋（－1）

②＋（＋2）与－2

③－（－3）与＋（－3）④

⑤＋[－（＋4）]与[＋（－4）]

⑥－[－（＋2）]与＋[＋（－2）]

A．1对B．2对C．3对D．4对

答案：C

例4、点A，B，C，D在数轴上的位置如图所示，其中表示－2的相反数的点是__________．

答案：B

例5、如图所示，是一个正方体纸盒的展开图，若在其中的三个正方形A、B、C内分别填入适当的数，使得它们折成正方体后相对的面上的两个数互为相反数，则填入正方形A、B、C内的三个数依次为（）

A．1，－2，0B．0，－2，1 C．－2，0，1D．－2，1，0

答案：A

例6、数轴上的点A向右移5个单位长度后到点A′，若A与A′表示的数恰好互为相反数，那么点A表示的数是（）

A．2.5B．－2.5

C．5D．－5

答案：B

例7、已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示：

（1）在数轴上表示出－a、－b；

（2）比较a、b、－a、－b的大小（用“＞”连接）．答案：－a＞b＞-b＞a．

例8、如图所示，已知A，B，C，D四个点在一条没有标明原点的数轴上，

（1）若点A和点C表示的数互为相反数，则原点为__________；

（2）若点B和点D表示的数互为相反数，则原点为__________；

（3）若点A和点D表示的数互为相反数，在数轴上表示出原点的位置．解：

（1）B

（2）C

（3）在点B和点C正中间的点即为原点，如图．

例9、数轴上到原点的距离小于2的整数点的个数为x，不大于2的整数点的个数为y，等于2的整数点的个数为z，求x＋y＋z的值．

解：

在数轴上到原点的距离小于2的整数点有－1，0，1的对应点，即x=3；不大于2的整数点有－2，－1，0，1，2的对应点，即y=5；等于2的整数点有－2，2，即z=2，所以x＋y＋z=10．

绝对值

一、绝对值的意义：

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|．

绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作|a|.

绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

注意：取绝对值也是一种运算，运算符号是“||”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. 二、绝对值的性质：

①一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.

②绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或

0. 如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0.

例如：若|a|＋|b|＋|c|＝0，则a＝0，b＝0，c＝0.

③任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：－5符号是负号，绝对值是5.

非负数的绝对值等于它本身；非正数的绝对值等于它的相反数．

三、例题讲解

例1、一个数的绝对值是2010，则这个数是__________；绝对值小于6的整数有__________个，它们是__________．

答案：±2010；11个；±5，±4，±3，±2，±1，0 例2、如果a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，那么a＋b＝__________．

答案：1 例3、如图，数轴上的点A所表示的是有理数a，则点A到原点的距离是__________．

答案：－a

例4、绝对值不大于4的非负整数有（）

A．4个B．5个C．7个D．9个

答案：B

例5、下列各对数中，互为相反数的是（）

A．－（－20）和|－20|

B．|－3|和|＋3|

C．－（－12）和－|－12|

D．|a|和|－a|

答案：C

例6、|3.14－π|的值为（）

A．0B．3.14－πC．π－3.14 D．0.14

答案：C

例7、如果|－a|=－a，下列成立的是（）

A．a＜0B．a≤0C．a＞0 D．a≥0

答案：B

例8、下列各题正确的是（）

①若m=n，则|m|=|n|

②若m=－n，|m|=|n|

③若|m|=|n|，则m=－n

④若|m|=|n|，则m=n

A．①②B．③④C．①④D．②③

答案：A

例9、当x＝__________时，|x|＋5取最小值，这个最小

值是__________；当a＝__________时，36－|a－2|取最__________值，这个值为__________．

答案：0；5；2；大；36

例10、已知|a|＝2，|b|＝3，|c|＝3，且有理数a，b，c在数轴上的位置如图，计算a＋（－b）＋c的值．

答案：8

例11、已知|a＋2|＋|b－1|=0，求a、b的值．答案：a＝－2，b＝1

例12、按规定，食品包装袋上都应标明袋内装食品有多少克，下表是几种饼干的检验结果，“＋”“－”号分别表示比标准重量多和少，用绝对值判断哪一种食品最符合标准．

威化咸味甜味酥脆

＋10（g）－8.5（g）＋5（g）－3（g）

解：“酥脆”最符合标准

利用绝对值比较有理数的大小

正数＞0＞负数

（1）一个数的绝对值越大，表示这个数在数轴上

表示的点离原点越远．

（2）两个正数，绝对值大的正数大；两个负数，

绝对值大的反而小．

有理数大小比较小结：能化简的先化简

,然后按照

有理数大小比较法则进行比较：

异号两数比较大小，负数总是小于正数；

两正数比较大小：绝对值大的数大于绝对值小的

数；

两负数比较大小：绝对值大的反而小；

负数小于零；零小于正数.

例1、（1）两个正数，绝对值大的__________；两个负

数，绝对值大的__________．（填“大”或“小”）

（2）用“＞”或“＜”填空：

①－5__________－7；②；

③－（－5）__________－|－7|．

答案：（1）大；小

（2）①＞；②＜；③＞

例2、如图的数轴，填空：

（1）|a|________|b|；（2）|a|________|c|；

（3）－a________－b；（4）－|a|________|b|；

（5）b________－c；（6）－a________|c|．

答案：（1）＞（2）＞（3）＞（4）＜（5）

＜（6）＞

例3、如果m＞0，n＜0，m＜|n|，那么m，n，－m，－

n的大小关系是（）

A．－n＞m＞－m＞n B．m＞n＞－

m＞－n

C．－n＞m＞n＞－m D．n＞m＞－

n＞－m

答案：A

例4、如图所示，已知有理数a，b，c在数轴上的对应

点，试比较a，－a，b，－b，c，－c，0的大小．

解：

先在数轴上标出－a，－b，－c的位置，然后根据

数轴上的点表示的数越靠右边越大可知．c＜－b＜a＜0

＜－a＜b＜－c.

例5、绝对值小于5且大于1的负整数有__________个，

分别是__________．

答案：3；－4，－3，－2

例6、用不等号连接：－4，－|－（－2）|，|－（－2）|，

－（－3），－[＋（－5）]，|－[－（－1.2）]|

解：－[＋（－5）]＞－（－3）＞|－（－2）|＞|－[－（－

1.2）]|＞－|－（－2）|＞－4

例7、下列说法中正确的是（）

A．若a和b都是负数，且|a|＞|b|，则a＜b

B．若a和b都是负数，且有|a|＞|b|，则a＞b

C．若a＞0，b＜0，且|a|＞|b|，则a＜b

D．若a和b都是正数，且有|a|＞|b|，则a＜b

答案：A

例8、正式排球比赛对所用排球的质量有严格的规定．下

面是8个排球的质量检测结果（用正数记超过规定质量

的克数，用负数记不足规定质量的克数）．

－25，＋10，－11，＋30，－16，＋14，＋11，

－39．

请指出哪个排球质量好一些，并用绝对值的知识进

行说明．

解：第2个球质量好一些．

例9、已知，且a＞b，求a、b的值．有理数的加法

一、有理数的加法法则

1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；

2、绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

3、互为相反数的两个数的和为0；

4、任何数同零相加都等于它本身．

二、有理数加法运算律

1、交换律：a＋b＝b＋a；

2、结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）.

三、例题讲解

例1、计算：

（1）（－18）＋（－22）；

（3）（－3）＋（－3）；

（4）（－2010）＋0

答案：（1）－40；（2）；（3）－6；（4）－2010

例2、列式计算：

（1）比－18的相反数大－30的数；

（2）75的相反数与－24的绝对值的和．

解：

（1）－（－18）＋（－30）=－12；

（2）－75＋|－24|=－51．

例3、已知|a|=15，|b|=14，且a＞b，则a＋b的值等于（）A．29或1B．－29或1 C．－29或－1D．29或－1

答案：A

例4、若|a－2|与|b＋5|互为相反数，求a＋b的值．

答案：－3 例5、已知a＋c=－2009，b＋（－d）=2010，则a＋b ＋c＋（－d）=__________．

答案：1

例6、如果|a＋1.2|＋|b－1|=0，那么a＋（－1）＋（－1.8）＋b=__________．

答案：－3

例7、用适当的方法计算：

（1）（－51）＋（＋12）＋（－7）＋（－11）＋（＋36）

（2）（－3.45）＋（－12.5）＋（＋19.9）＋（＋3.45）＋（－7.5）

（视频中去掉（4），将（5）作为（4））

答案：

（1）－21；（2）－0.1；（3）；（4）

例8、在抗洪抢险中，人民解放军的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民，早晨从A地出发，晚上到达B地，规定向东为正，当天航行记录如下：（单位：千米）16，－8，13，－9，12，－6，10．

（1）B在A的哪一侧？相距多远？

（2）若冲锋舟每千米耗油0.45升，则这一天共消耗了多少升汽油？

答案：

（1）B在A东侧，相距28千米．

（2）（|16|＋|－8|＋|13|＋|－9|＋|12|＋|－6|＋|10|）30.45=33.3L．

有理数的减法及加减混合运算

一、有理数的减法法则

1、交换律：a＋b=b＋a

2、结合律：（a＋b）＋c=a＋(b＋c)

3、有理数的减法法则：

减去一个数，等于加这个数的相反数．即a－b=a＋（－b）

小结：

1．有理数的加减法可统一成加法．

加减法统一成加法算式，按减法法则减去一个数可写成加上它们的相反数，这样便把加减法统一成加法算式．几个正数或负数的和称为代数和．

2．因为有理数加减法可统一成加法，所以在加减运算时，适当运用加法运算律，把正数与负数分别相加，可使运算简便．但要注意交换加数的位置时，要连同前面的符号一起交换．

3、有理数加减混合运算的方法和步骤

（1）将有理数加减法统一成加法，然后省略括号和加号．

（2）运用加法法则、加法运算律进行简便运算．

4、有理数加减混合运算的技巧方法

（1）把正数、负数分别相加．

（2）把和为零或整数的分别相加．

（3）把整数、分数分别相加．

（4）把同分母的、易通分的分数分别相加．

二、例题讲解

例1、将下列括号内填上适当的数．

（1）（－7）－（－3）=（－7）＋__________；

（2）（－5）－4=（－5）＋__________；

（3）0－（－2.5）=0＋__________；

（4）8－（＋2010）=8＋__________

答案：（1）3；（2）（－4）；（3）2.5；（4）（－2010）例2、已知：|x|=5，y=3，则x－y=__________．

答案：2或－8

例3、当时，x，x＋y，x－y，y中最大的是（）

A．x B．x＋y

C．x－y D．y

答案：C

例4、已知|m|=5，|n|=27，且|m＋n|=m＋n，则m－n=__________．

答案：－22或－32

例5、如图，数轴上A点表示的数减去B点表示的数，结果是（）

A．8B．－8C．2D．－2

答案：B

例6、把18－（＋33）＋（－21）－（－42）写成省略括号的和是（）

A．18＋（－33）＋（－21）＋42

B．18－33－21＋42

C．18－33－21－42

D．18＋33－21－42

答案：B

例7、计算：

（1）（－5）－（－10）＋（－32）－（－7）

（2）

（3）1－2＋3－4＋5－6＋…＋99－100

答案：

（1）－20

（2）0

（3）－50

例8、一只蚂蚁在一张棋盘的一条直线上爬行，规定向右为正方向，第一次它从A点向右爬了1个单位，第二次向左爬了2个单位到B点，第三次又向右爬了3个单位后到了C点，第四次再向左爬了4个单位到达D点…，这样它一直爬了20次，爬到了A0点．已知A0点表示－18，那么A点表示什么数呢？

解：

设A点表示的数是a，则

a＋1－2＋3－4＋…＋19－20=－18

a＋(－10)=－18

a=－8

例9、阅读第（1）小题的计算方法，再计算第（2）小题．

以上这种解题的方法叫做拆项法．

例10、先阅读下面的解题过程，然后解答后面的题目．

答案：（1

）；（2

）

有理数的乘法

一、有理数的乘法法则

（1）同号得正；

（2）异号得负；

（3）n个数相乘，当负因数的个数为奇数个时，积为负；当负因数的个数为偶数个时，积为正；

（4）任何数同0相乘，都得0；

（5）互为倒数的两个数乘积为1．

二、有理数乘法的运算律(1)乘法交换律：两个数相乘,交换因数的位置,积不变.即：ab＝ba.

(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或先把后两个数相乘，积不变. 即：(ab)c＝a(bc).

(3)分配律：一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加.即：a(b＋c)＝ab＋ac.

三、例题讲解

例1、计算：

（－3）35=________；

（－2）3（－3）=________；

（－3.125）30=________．

答案：－15；6；0

例2、的倒数与的相反数的积是________．

答案：

例3、（1）下列说法正确的是（）

A．若ab＞0，则a＞0，b＞0

B．若ab=0，则a=0，b=0

C．若ab＞0，且a＋b＞0，则a＞0，b＞0

D．a为任一有理数，则a2（－a）＜0

答案：C

（2）若a2b＜|a2b|，则一定有（）

A．a＜0，b＜0B．a＞0，b＜0

C．a＜0，b＞0D．a2b＜0

答案：D

（3）比较a与3a的大小，正确的是（）

A．3a＞a B．3a＜a

C．3a=a D．上述情况都有可能答案：D

（4）若a、b满足a＋b＞0，ab＜0，则下列结论正确的是（）

A．|a|＞|b|

B．a＞0，b＜0时，|a|＞|b|

C．a＜0，b＞0时，|a|＞|b|

D．|a|＜|b|

答案：B

（5）x、y、z是三个有理数，若x＜y，x＋y=0，且xyz ＞0．

①判断x、y、z的正负性；

②试判断（x＋z）（x－y）的符号．

解：

①∵x＜y，x＋y=0，

∴x＜0，y＞0．

又xyz＞0，∴z＜0．②（视频中应写上②）∴x＋z＜0，x－y＜0，∴（x＋z）（x－y）＞0．

例4、已知｜a｜=2，｜b｜=4，a>b，ab<0．求－2ab－2a＋2b的值．

答案：4

例5、（1－2）3（2－3）3…3（2007－2008）3（2008－2009）=__________．

答案：1

例6、计算：

答案：（1）－7；（2）15；（3）0

例7、用简便方法计算：

（1）（－8）3（－5）3（－0.125）；

；

．

答案：

（1）－5；

（2）－2；

（3）－176（视频中后应加“3”）；

（4

）

有理数的除法

一、有理数的除法法则

除法是已知两个因数的积及其中一个因数，求另一个因数的运算.

1、除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，可

以表示成：a÷b=a 2，其中b≠0．

2、两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何不等于0的数都得0．

3、0不能作除数．

乘积为1的两个有理数互为倒数.

正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.

注意：(1)0没有倒数.(2)互为倒数的两数为同号. 二、例题讲解

例1、计算：

说明：

直接利用法则进行计算．首先确定商的符号，然后再把绝对值相除.另外注意：负数在有理数运算中一定要加上括号.

例2、（1）若a、b、c 均为负数，则_______0．（填“＞”或“＜”）；

（2）若=0，则一定有（）

A．a=0B．b=0且a≠0

C．a=b=0D．a=0或b=0

（3）当x=_______时，式子没有意义；

（4）如果，那么a是（）

A．正数B．负数

C．非正数D．非负数

答案：（1）＜；（2）B；（3）；（4）B

例3、化简下列分数：

答案：（1）－6；（2）；（3）；（4）－6

例4、计算：

答案：（1）－1；（2）179；（3）；（4）；

（5）－28（视频中后加“3”）.

例5、当a=－2，b=－4，c=－7，d=－3.5时，计算下列各式的值：

（1）a÷b－c÷d；

（2）（d－c）÷（b－a）．

答案：（1）；（2）

例6、设a=1÷2÷3÷4，b=1÷（2÷3÷4），c=1÷（2÷3）÷4，d=1÷2÷（3÷4）．

计算（b÷a）÷（c÷d）的值.

答案：256

例7、（1）若ab＜0，求的值．（2）三个有理数a、b、c为不等于0的有理数，其

积为负数，其和为正数．求的值．（3）a、b、c均为不等于零的有理数，

求

的值．

答案：（1）－1（2）1（3）±3，±1

有理数的加减乘除混合运算

一、有理数的加减乘除混合运算

1、在带有括号的运算中，先算小括号，再算中括号，最后算大括号．

2、在没有括号的不同级运算中，先算乘方再算乘除，最后算加减，注意运算律．

3、合理运用运算律

合理运用运算律是提高有理数运算能力的基本保证，在运用时，首先要搞清楚各种运算律的名称和使用的方法.

(1)加法交换律和结合律通常在加、减运算中同时使用，交换的目的在于结合，结合时一般是按正负结合，按相反数结合，总之，将容易计算的数进行结合.

(2)乘法交换律和结合律通常在乘、除运算中使用，交换的目的同样是为了结合，结合时一般将能约分的数

结合.

(3)分配律是乘法对加法的分配，它既可以正用(即a(b＋c)＝ab＋ac)，也可以逆用(即ab＋ac＝a(b＋c))，要特别注意除法对加法没有分配律，不要出现12÷(4＋3)＝12÷4＋12÷3＝3＋4＝7的错误.

4、含多重括号时，要注意灵活去括号，没必要墨守成规，总是先去小括号，再去中括号，最后去大括号，也可以先去大括号，再去小括号．

有理数的加减乘除混合运算，应按照“先乘除，后加减”的顺序进行．若有括号，则应先计算括号内的数．二、例题讲解

例1、（1）若x2（－4）=，则x=__________；

（2）已知a=－3，b=－2，c=5，则=__________；

（3）等式[（－8）－△]÷（－2）=4中，△表示的数是_______．

答案：（1）；（2）；（3）0

例2、当a＞b＞0时，则__________0．

答案：＜

例3、下列计算正确的是（）

A．（－1）÷（－7）3=1÷73=1÷1=1

B．12÷（3＋4）=12÷3＋12÷4=4＋3=7

C ．（）÷3=－66÷3－÷3=

D．0÷（5－2＋3－6）=0÷0=0

答案：C

例4、阅读下面解题过程：

计算．

解：原式=．

回答：

（1）上面解题过程有两个错误，第一处是第二步，错误的原因是运算顺序错了，第二处是第三步，错误的原因是结果错了．

（2）求出正确的结果．解：原式=．

例5、计算：

答案：

例6、在如图所示的运算流程中，若输出的数y=3，则输入的数x=_________．

答案：6或5

例7、小强在自学了简单的电脑编程后，设计了如图所示的程序，他若输入的数为－1，那么执行程序后输出的数是多少？

答案：－105

例8、计算：

答案：（1）；（2）1

例9、某市质量监督局从某食品厂生产的罐头中，随意抽取20听进行检查，超过标准质量的用正数表示，不足标准质量的用负数表示，抽查的结果如下表：

与标准质量的

偏差（单位：

－10 －5 0 ＋5 ＋10 ＋15

克）

听数

试问：这批样品的平均质量比标准质量多或者少多少克？解：

[－1032＋（－5）35＋034＋536＋1032＋1531]÷20

＝20÷20 =1

所以这批样品的平均质量比标准质量多1克．

有理数的乘方

一、定义有理数的乘方

一般地，n 个相同的因数a 相乘，即

，

记作an ，读作a 的n 次方．求n 个相同的因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an 中，a 叫做底数，n 叫做指数，当an 看作a 的n 次方的结果时，也可以读作a 的n 次幂.

幂的读法，关键是分清底数和指数．如－24读作“2的四次方的相反数”或“2的四次幂的相反数”，不能读作“－2的四次方”或“－2的四次幂”.

注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写．二、乘方的性质

正数的任何次幂都是正数；

负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数． 0 的任何正整数次幂都是 0.

注意：负数的乘方，在书写时一定要把整个负数（连同负号）用小括号括起来，分数的乘方，在书写时，也应加小括号．如不加括号则表达的是另外一个意义. 三、例题讲解例1、在（－6）2中，底数是_______，指数是________，运算结果是________；

在－62中，底数是_________，指数是_________，运算结果是_________.

答案：－6，2，36；6，2，－36

例2、（－3）2的意义是_________；－32的意义是__________.

答案：2个－3相乘，32的相反数例3、计算：

（1）（－4）3；（2）（－2）4；（3）；（4）

答案：（1）－64，（2）16，（3）

，（4）8

例4、下列各对数中，数值相等的是（）

A ．－32和－23

B ．－23和（－2）3

C ．－32和（－3）2

D ．（－332）2与－3322

答案：B

例5、已知a ＋b=0，且a ≠0，则当n 是自然数时，下列各式一定成立的是（）

A ．a2n=b2n

B ．a4n ＋b4n=0

C ．a2n ＋1=b2n ＋1

D ．an ＋bn=0 答案：A

例6、在（－1）2009，（－1）2010，－22，（－3）2这四个数中，最大的数与最小的数的和等于（） A ．6 B ．8 C ．－5 D ．5 答案：D

例7、（1）如果一个有理数的平方等于（－2）2，那么这个有理数等于_________；答案：±2

（2）若|a3|=27，则a 的值为（）

A ．9

B ．3

C ．3或－3

D ．－3 答案：C

（3）若a3=－8，则a=_________. 答案：－2

例8、一根长1m 的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第六次剪后剩下的绳子长度为（）

A ．

B ．

C ．

D ．

答案：C

例9、已知|x －2|＋(y ＋3)2=0，则（xy ）2=_________.

答案：36 例10、观察下列算式：21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，通过观察，用你发现的规律写出22010的末位数字是________. 答案：4

例11、（1）看一看下面的算式：（235）2与22352

，

，每组两个算式的结果是否相

同，请算出结果来.

（2）想一想：（ab ）3等于什么？

（3）猜一猜：当n 是整数时，（ab ）n 等于什么？说明你的结论正确性

（2）(ab)3=a3b3

（3）猜想：（ab ）

n=anbn

有理数的混合运算

一、有理数的混合运算的运算顺序 1、先乘方，再乘除，最后加减； 2、同级运算，从左到右进行；

3、如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行.

注意：①加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算。②可以应用运算律，适当改变运算顺序，使运算简便．

有理数的运算律：加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；加法结合律：(a ＋b)＋c ＝a ＋(b ＋c)；乘法交换律：ab ＝ba ；乘法结合律：(ab)c ＝a(bc)；

乘法分配律：a(b ＋c)＝ab ＋ac

有理数的混合运算的关键是运算的顺序，运算法则和性质，为此，必须进一步对加、减、乘、除、乘方运算法则和性质的理解与强化，熟练掌握，在此基础上对其运算顺序也应熟知，在运算过程中，始终遵循四个方面：一是运算法则，二是运算律，三是运算顺序，四是近似计算.为了提高运算适度，要灵活运用运算律，还要能创造条件利用运算律，如拆数，移动小数点等，对于复杂的有理数运算，要善于观察，分析，类比与联想，从中找出规律，再运用运算律进行计算，至此，便可在有理数的混合运算中稳操胜劵．二、例题讲解

例1、（1）若x 、y 互为倒数，则

（2）

（3）（n 为自然数）的值为__________.

答案：（1），（2）－8，（3）－1或0

例2、设a=－3342，b=（334）2，c=－(334)2，则a 、b 、c 的大小关系为（）

A ．a

B ．c

C ．c

D ．a

例3、下列各式计算正确的是（）

．

B ． C

．

D ．

答案：B

例4、观察下列按顺序排列的等式

0＋1=12，231＋2=22，332＋3=32，433＋4=42请你猜想第10个等式应为____________. 答案：1039＋10=102 例5、计算：

解：（1）（2）－72（3）4（4）

22009

例6、已知（x－3）2＋|x＋y|=0，求（－x）3＋（－y）

3－的值.

答案：1

例7、（1）若a、b互为相反数，c、d互为倒数，|m|=4，求2a－(cd)2010＋2b－3m的值.

（2）当x=－1，y=2时，求

的值.

答案：（1）11或－13（2）

例8、如图，某计时装置有一数据输入口A和一运算结果的输出口B，下表是小明输入的一些数据和这些数据经该装置计算后输出的相应结果

. A 1 2 3 4 5

B －1 2 7 14 23

（1）按照这个计算装置的计算规律，请你设计出它的运算程序；

（2）若输入10，则输出的数是多少？

答案：

（1）设输入的数为n，则输出的数为n2－2

（2）98

例9、观察下面三行数：

2，－4，8，－16…①

－1，2，－4，8…②

3，－3，9，－15…③

（1）第①行数按什么规律排列？

（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？

（3）取每行数的第9个数，计算这三个数的和.

解：

（1）后面一个数是前面一个数乘以－2得到的;

（2）第②行每一个数是第①行每个数除以－2得到的；

第③行每个数是第①行每个数加1得到的.

（3）－2563（－2）＋（－256）＋[－2563（－2）＋1]=769

字母表示数（一）

一、重点知识归纳及讲解

1、用字母表示数的意义

用字母可以表示我们已经学过的和今后要学到的任何一个数，用字母表示数可以简明地表达数学运算律、表达公式、表达问题中的数量关系，还可以用字母表示未知数．

2、代数式的概念

用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式，单独的一个数或一个字母，也是代数式．代数式中除含有数、字母和运算符号外，还可以有括号，但不能含“=”、“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”符号．

3、代数式书写格式的规定

（1）在代数式中出现的乘号，通常简写作“2”或省略不写；数字与字母相乘时，数字应写在字母前，带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数，然后与字母相乘，但数字与数字相乘时，一般仍用“3”号．

（2）在代数式中出现了除法运算时，一般按照分数的写法来写，被除数作分子，除数作分母，“÷”号转化为分数线，分数线具有“÷”号和括号的双重作用，如被除数或除数含有括号时，括号也可省略．

（3）在一些实际问题中，表示某一数量的代数式往往是有单位名称的，如果代数式是积或商的形式，就将单位名称写在式子的后面即可；如果代数式是和或差的形式，则必须把代数式括起来，再将单位名称写在式子的后面．

4、列代数式及方法

在解决实际问题时，把实际问题中的数量关系用代数式表示出来，就是列代数式．

列代数式时，首先要认真审题，弄清问题中各数量之间的关系和运算顺序，然后按代数式书写格式的规定规范地书写出来．列代数式的关键在于认真审题，要注意分析问题中各术语的含义，如：和、差、积、商、大、小、多、少、几倍、几分之几、增加、减少、扩大、缩

小等．

5、代数式的值及求法

用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值．代数式的值一般不是某一个固定的量，而是随着代数式中字母取值的变化而变化．

代数式求值时，第一步是“代入”，即用数值代替代数式里的字母；第二步是“计算”，即按照代数式指明的运算，计算出结果.

二、典型例题解析

例1、如图所示，把一个长、宽分别为a、b的长方形铁片在四角各剪去一个边长为c的正方形（2c

分析：

欲求长方体的体积，需知长方体的底面的长和宽及长方体的高，由题意可知长方体的长、宽、高，根据长方体的体积公式，可用字母表示出它的容积．

解：

由题意知，该长方体的底面长为(a－2c)，宽为(b－2c)，高为c，根据长方体的体积公式，该长方体盒子的容积为(a－2c)(b－2c)c.

例2、设甲数为x，乙数为y，用代数式表示.

（1）甲、乙两数的平方差；

（2）甲、乙两数差的平方；

（3）甲、乙两数的和与甲、乙两数的差的积；

（4）甲数的相反数与乙数的立方的和.

分析：

列代数式时要理清运算顺序，找到关键词，符合书写要求，要仔细分析，注意各题间的区别，如（1）是先平方后作差，而（2）是先作差后平方.

解：（1）x2－y2

（2）(x－y)2

（3）(x＋y)(x－y)

（4）－x＋y3

例3、用代数式表示如图所示中各阴影部分的面积.

分析：在计算面积时，注意割补思想方法的运用．解：（1）大半圆的半径为(R＋r)，面积为.

两个小半圆的面积分别为.

阴影部分的面积为大半圆的面积减去两个小半圆的面积.

即.

（2）上半部分长方形面积为，

上半部分三角形的面积为，

上半部分的阴影部分面积

为

．

下半部分长方形面积为a 3，

下半部分半圆面积为，

下半部分阴影部分面积，

所以整个阴影部分面积

为

．

例4、当a=3，b=2，c=时，求代数式的值.

分析：

此代数式中有三个字母，代入时，必须将a、b、c 的值同时相应地代替代数式相应的字母，再进行计算. 解：

当a=3，b=2，c=时，

例5、当x=7时，代数式ax3＋bx－5的值为7，当x=

－7时，代数式ax3＋bx ＋5的值为多少？分析：

把 x=7代入条件中不可能求出a 、b ，但可以把ax3＋bx 作为一个整体来看，用整体代入的方法可以求值. 解：

把x=7代入ax3＋bx －5，得：343a ＋7b －5=7. ∴ 343a ＋7b=12.

当 x=－7时，ax3＋bx ＋5=－343a －7b ＋5=－(343a ＋7b)＋5=－12＋5=－7.

例6、在治理沙漠的植树造林活动中，某县今年派出的青年志愿者为100人，每人完成的植树任务为50棵，计划明年派出的人数增加p%，每人的植树任务增加q%，写出明年总植树数的代数式，并求出当p=10，q=20时的植树总数. 分析：

分清两个百分比所指的对象，利用题中包含的数量及它们之间的关系，列出代数式，然后代入求值 . 解：

依题意知，明年的植树总数为：

100（1＋p%）3503（1＋q%）=5000（1＋p%）（1＋q%）

当 p=10，q=20时，5000（1＋p%）（1＋q%） =50003（1＋10%）3（1＋20%）=6600. 即当p=10，q=20时，植树总数为6600颗．

整式

一、定义 1、单项式：

（1）由数与字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；

（2）单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；（3）单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数. 2、多项式：

（1）几个单项式的和叫做多项式；

（2）多项式中每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项；

（3）多项式里次数（视频中应加上“次数”）最高项的次数，叫做多项式的次数.

3、整式：单项式和多项式统称为整式. 二、例题讲解

例1、在代数式中，单项

式有____________.

答案：

例2、填表单项

式－x2y a 2x2

πx2yz

－

22ab2c3 系数－1 1 2

π －22 次数 3

例3、下列各式中，书写符合规范要求的是（）

答案：A

例4、（1）已知单项式2xa －1y 的次数是3，则a 的值为（）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

（2）已知－mx2yn 是一个关于xy 的单项式，且系数为2，次数为5，则m=_______，n=________. 答案：（1）B （2）－2，3

例5、已知（a －3）x2y|a|＋（b ＋2）是关于xy 的五次单项式，求a2－3ab ＋b2的值. 解：

∵（a －3）x2y|a|＋（b ＋2）是关于xy 的五次单项式 ∴b ＋2=0，且a －3≠0

∴ b=－2 ，2＋|a|=5，∴a=±3，∵a ≠3，∴ a=－3，即a=－3 ，b=－2．

原式=（－3）2－33（－3）3（－2）＋（－2）2=9－18＋4=－5．

例6、（1）多项式2a5－5a2b ＋43a2b4－7ab ＋5中最高次项是________，常数项是_______，它是_____次_______项式.

（2）若（a －2）x2－3x －(a －3)是关于x 的一次式，则a=_______，若它是关于x 的二次二项式，则a=_______.

（3）如果是三次三项式，则

k 的值为（）

A ．±2

B ．2

C ．－3

D ．±3 答案：

（1）43a2b4，5，六，五（2）2，3 （3）C

例7、下列说法错误的是（）

A ．的项是

B．3－4t中的t的系数是－4

C ．是整式

D ．都是整式

答案：D

例8、指出下列多项式的次数和项数：

（1）3x2－2x2y＋4x2y2

（2）－2＋4x2y －

解：（1）四次三项式（2）四次五项式

例9、若关于x的多项式－5x3－（2m－1）x2＋（2－3n）x－1不含二次项和一次项.求m，n的值.

解：

因为多项式－5x3－（2m－1）x2＋（2－3n）x－1不含二次项和一次项，所以2m－1=0，2－3n=0

，即

例10、已知多项式是六次四

项式，单项式3x2ny5－m与该多项式的次数相同，求m、n的值.

解：

依题意，得m＋1＋2=6，2n＋5－m=6，

所以m=3 ，n=2．

新人教版七年级数学上册重要知识点汇总

七年级数学上册重要知识点汇总第一章有理数 1.有理数： (1)凡能写成 )0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；?不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ? ????? ????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)注意：有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性； (4)自然数? 0和正整数； a ＞0 ? a 是正数； a ＜0 ? a 是负数； a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数； a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 2．数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度（数轴的三要素）的一条直线. 3．相反数：(1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)注意： a-b+c 的相反数是-(a-b+c)= -a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. (4)相反数的商为-1. （5）相反数的绝对值相等 4.绝对值： (1)正数的绝对值等于它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值等于它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离； (2) 绝对值可表示为：??? ??<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或 ???≤-≥=)0()0(a a a a a ； (3) 0a 1a a >?= ； 0a 1a a

人教版七年级数学知识点归纳总结

第一章有理数（一）正负数 1．正数：大于0的数。 2．负数：小于0的数。 3．0即不是正数也不是负数。 4．正数大于0，负数小于0，正数大于负数。（二）有理数 1．有理数：由整数和分数组成的数。包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。可以写成两个整之比的形式。（无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。如：π） 2．整数：正整数、0、负整数，统称整数。 3．分数：正分数、负分数。（三）数轴 1．数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。（画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向；选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。） 2．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 3．相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数还是0。4．绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，两个负数，绝对值大的反而小。（四）有理数的加减法 1．先定符号，再算绝对值。

2．加法运算法则：同号相加，到相同符号，并把绝对值相加。异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加减，仍得这个数。 3．加法交换律：a+b= b+ a 两个数相加，交换加数的位置，和不变。 4．加法结合律：（a+b）+ c = a +（b+ c ）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 5． a?b = a +（?b）减去一个数，等于加这个数的相反数。（五）有理数乘法（先定积的符号，再定积的大小） 1．同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。2．乘积是1的两个数互为倒数。 3．乘法交换律：ab= b a 4．乘法结合律：（ab）c = a （b c） 5．乘法分配律：a（b +c）= a b+ ac （六）有理数除法 1．先将除法化成乘法，然后定符号，最后求结果。 2．除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 3．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。（七）乘方 1．求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。写作a n 。（乘方的结果叫幂，a 叫底数，n叫指数） 2．负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是

完整版初中数学知识点总汇

初中数学知识点汇总（最新版）

初中数学知识点总汇一、数与代数A：数与式： 1：有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。 ④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他本身/负数的绝对值是他的相反数/0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2：实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数/0的立方根是0/负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。

初一数学知识点汇总全册

初一数学知识点归纳代数初步知识 1. 代数式：用运算符号“＋－ × ÷ …… ”连接数及表示数的字母的式子称为代数式.注意：用字母表示数有一定的限制，首先字母所取得数应保证它所在的式子有意义，其次字母所取得数还应使实际生活或生产有意义；单独一个数或一个字母也是代数式 2. 列代数式的几个注意事项：（1）数与字母相乘，或字母与字母相乘通常使用“· ” 乘，或省略不写；（2）数与数相乘，仍应使用“×”乘，不用“· ”乘，也不能省略乘号；（3）数与字母相乘时，一般在结果中把数写在字母前面，如a ×5应写成5a ；（4）带分数与字母相乘时，要把带分数改成假分数形式，如a ×211应写成2 3 a ；（5）在代数式中出现除法运算时，一般用分数线将被除式和除式联系，如3÷a 写成a 3 的形式；（6）a 与b 的差写作a-b ，要注意字母顺序；若只说两数的差，当分别设两数为a 、b 时，则应分类，写做a-b 和 b-a . 3. 几个重要的代数式：（m 、n 表示整数）（1）a 与b 的平方差是： a 2 -b 2 ； a 与b 差的平方是：（a-b ）2 ；（2）若a 、b 、c 是正整数，则两位整数是： 10a+b ,则三位整数是：100a+10b+c ；（3）若m 、n 是整数，则被5除商m 余n 的数是： 5m+n ；偶数是：2n ，奇数是：2n+1；三个连续整数是： n-1、 n 、n+1 ；（4）若b ＞0，则正数是:a 2 +b ，负数是： -a 2 -b ，非负数是： a 2 ，非正数是：-a 2 . 有理数 1.有理数： (1)凡能写成 )0p q ,p (p q ≠为整数且形式的数，都是有理数.正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数；

初一数学第一学期知识点归纳

初一数学上册知识点 BY HILBERT 人教版初一数学上册主要包含了有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的认识初步四个章节的内容. 第一章有理数一、知识框架二、知识概念 1、有理数： (1)正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数.注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；π不是有理数； (2)有理数的分类: ① ??? ??????????负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数 ② ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 2、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 3、相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 ? a+b=0 ? a 、b 互为相反数. 4、绝对值： (1)正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离；

(2) 绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a 或 ???<-≥=)0a (a )0a (a a ；绝对值的问题经常分类讨论； 5、有理数比大小：（1）正数的绝对值越大，这个数越大；（2）正数永远比0大，负数永远比0小；（3）正数大于一切负数；（4）两个负数比大小，绝对值大的反而小；（5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大；（6）大数-小数＞ 0，小数-大数＜ 0. 6、互为倒数：乘积为1的两个数互为倒数；注意：0没有倒数；若 a≠0，那么a 的倒数是 a 1；若ab=1? a 、b 互为倒数；若ab=-1? a 、b 互为负倒数. 7. 、有理数加法法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，取绝对值较大的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；（3）一个数与0相加，仍得这个数. 8、有理数加法的运算律：（1）加法的交换律：a+b=b+a ；（2）加法的结合律：（a+b ）+c=a+（b+c ）. 9、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数；即a-b=a+（-b ）. 10、有理数乘法法则：（1）两数相乘，同号为正，异号为负，并把绝对值相乘；（2）任何数同零相乘都得零；（3）几个数相乘，有一个因式为零，积为零；各个因式都不为零，积的符号由负因式的个数决定. 11、有理数乘法的运算律：（1）乘法的交换律：ab=ba ；（2）乘法的结合律：（ab ）c=a （bc ）；（3）乘法的分配律：a （b+c ）=ab+ac . 12、有理数除法法则：除以一个数等于乘以这个数的倒数；注意：零不能做除数，无意义即0 a .

初一数学知识点整理

2017初一上册数学知识点归纳整理第一章有理数（一）正负数 1.正数：大于0的数。 2.负数：小于0的数。 3.0即不是正数也不是负数。 4.正数大于0，负数小于0，正数大于负数。（二）有理数 1．有理数：由整数和分数组成的数。包括：正整数、0、负整数，正分数、负分数。可以写成两个整之比的形式。（无理数是不能写成两个整数之比的形式，它写成小数形式，小数点后的数字是无限不循环的。如：π） 2．整数：正整数、0、负整数，统称整数。 3．分数：正分数、负分数。（三）数轴 1．数轴：用直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。（画一条直线，在直线上任取一点表示数0，这个零点叫做原点，规定直线上从原点向右或向上为正方向；选取适当的长度为单位长度，以便在数轴上取点。） 2．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 3．相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数还是0。 4．绝对值：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0，两个负数，绝对值大的反而小。（四）有理数的加减法 1．先定符号，再算绝对值。 2．加法运算法则：同号相加，到相同符号，并把绝对值相加。异号相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。一个数同0相加减，仍得这个数。 3．加法交换律：a+b=b+a两个数相加，交换加数的位置，和不变。 4．加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 5．a-b=a+（-b）减去一个数，等于加这个数的相反数。（五）有理数乘法（先定积的符号，再定积的大小） 1．同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。 2．乘积是1的两个数互为倒数。 3．乘法交换律：ab=ba 4．乘法结合律：（ab）c=a（bc） 5．乘法分配律：a（b+c）=ab+ac （六）有理数除法 1．先将除法化成乘法，然后定符号，最后求结果。 2．除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。 3．两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0。（七）乘方 1．求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。写作an。（乘方的结果叫幂，a叫底数，n叫指数） 2．负数的奇数次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0。 3．同底数幂相乘，底不变，指数相加。 4．同底数幂相除，底不变，指数相减。（八）有理数的加减乘除混合运算法则 1．先乘方，再乘除，最后加减。 2．同级运算，从左到右进行。 3．如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。（九）科学记数法、近似数、有效数字。第二章整式（一）整式 1．整式：单项式和多项式的统称叫整式。 2．单项式：数与字母的乘积组成的式子叫单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。

初中数学知识点总结大全(经典版)

初中数学必考知识点总结一、基本知识㈠、数与代数 A、数与式： 1、有理数有理数： ①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数数轴： ①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。 ②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。 ③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。 ④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。绝对值： ①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。 ②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。有理数的运算：加法： ①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。 ②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 ③一个数与0相加不变。减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法：

①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。 ②任何数与0相乘得0。 ③乘积为1的两个有理数互为倒数。除法： ①除以一个数等于乘以一个数的倒数。 ②0不能作除数。乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数。平方根： ①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。 ②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。 ③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。 ④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。立方根： ①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。 ②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。 ③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。实数： ②实数分有理数和无理数。 ②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样。 ③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。合并同类项：

初一数学知识点总结大全

第一章有理数 1.1正数和负数以前学过的0以外的数前面加上负号“-”的书叫做负数. 以前学过的0以外的数叫做正数. 数0既不是正数也不是负数,0是正数与负数的分界. 在同一个问题中,分别用正数和负数表示的量具有相反的意义 1.2有理数 1.2.1有理数正整数、0、负整数统称整数,正分数和负分数统称分数. 整数和分数统称有理数. 1.2.2数轴规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴. 数轴的作用：所有的有理数都可以用数轴上的点来表达. 注意事项：⑴数轴的原点、正方向、单位长度三要素,缺一不可. ⑵同一根数轴,单位长度不能改变. 一般地,设是一个正数,则数轴上表示a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度. 1.2.3相反数只有符号不同的两个数叫做互为相反数. 数轴上表示相反数的两个点关于原点对称. 在任意一个数前面添上“-”号,新的数就表示原数的相反数. 1.2.4绝对值一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值. 一个正数的绝对值是它的本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0.

在数轴上表示有理数,它们从左到右的顺序,就是从小到大的顺序,即左边的数小于右边的数. 比较有理数的大小：⑴正数大于0,0大于负数,正数大于负数. ⑵两个负数,绝对值大的反而小. 1.3有理数的加减法 1.3.1有理数的加法有理数的加法法则： ⑴同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加. ⑵绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得0. ⑶一个数同0相加,仍得这个数. 两个数相加,交换加数的位置,和不变. 加法交换律：a+b=b+a 三个数相加,先把前面两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变. 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 1.3.2有理数的减法有理数的减法可以转化为加法来进行. 有理数减法法则：减去一个数,等于加这个数的相反数. a-b=a+(-b) 1.4有理数的乘除法 1.4.1有理数的乘法有理数乘法法则：两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘. 任何数同0相乘,都得0.

初一数学上册知识点总结

初一数学上册知识点总结（一）有理数及其运算复习一、有理数的基础知识 1、三个重要的定义：（1）正数：像1、、这样大于0的数叫做正数；（2）负数：在正数前面加上“－”号，表示比0小的数叫做负数；（3）0即不是正数也不是负数. 2、有理数的分类：（1）按定义分类：（2）按性质符号分类: ?????????????????负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0 ???? ???????????负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 3、数轴数轴有三要素：原点、正方向、单位长度.画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴.在数轴上的所表示的数，右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.

4、相反数如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数.0的相反数是0，互为相反的两上数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等. 5、绝对值（1）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离. （2）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；0的绝对值是0；一个负数的绝对值是它的相反数，可用字母a 表示如下： ?? ???<-=>=)0()0(0)0(a a a a a a （3）两个负数比较大小，绝对值大的反而小. 二、有理数的运算 1、有理数的加法（1）有理数的加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数.

初一数学知识点全总结

初一数学知识点全总结第一章有理数 1.1 正数与负数在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数negative number。与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数positive number根据需要，有时在正数前面也加上“+”。 1.2 有理数正整数、0、负整数统称整数integer，正分数和负分数统称分数fraction。整数和分数统称有理数rational number。通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴number axis。数轴三要素：原点、正方向、单位长度。在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点origin。只有符号不同的两个数叫做互为相反数opposite number。例：2的相反数是-2;0的相反数是0 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值absolute value,记作|a|。一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。两个负数，绝对值大的反而小。 1.3 有理数的加减法有理数加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加，仍得这个数。有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。 1.4 有理数的乘除法

有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。乘积是1的两个数互为倒数。有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。mì 求n个相同因数的积的运算，叫乘方，乘方的结果叫幂power。在a的n次方中，a 叫做底数base number，n叫做指数exponent。负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。正数的任何次幂都是正数，0的任何次幂都是0。把一个大于10的数表示成a×10的n次方的形式，用的就是科学计数法。从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有数字都是这个数的有效数字significant digit。第二章一元一次方程 2.1 从算式到方程方程是含有未知数的等式。方程都只含有一个未知数元x，未知数x的指数都是1次，这样的方程叫做一元一次方程linear equation with one unknown。解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解solution。等式的性质： 1.等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等。 2.等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。 2.2 从古老的代数书说起——一元一次方程的讨论1 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。第三章图形认识初步 3.1 多姿多彩的图形几何体也简称体solid。包围着体的是面surface。

初一数学知识点汇总

初一数学知识点汇总 ?1.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。 2.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、b是数，且a≠0)。 3.条件：一元一次方程必须同时满足4个条件： (1)它是等式; (2)分母中不含有未知数; (3)未知数最高次项为1; (4)含未知数的项的系数不为0. 4.等式的性质：等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外)，等式仍然成立。等式的性质三：等式两边同时乘方(或开方)，等式仍然成立。解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立。 5.合并同类项 (1)依据：乘法分配律 (2)把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项;常数计

算后合并成一项 (3)合并时次数不变，只是系数相加减。 6.移项 (1)含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。 (2)依据：等式的性质 (3)把方程一边某项移到另一边时，一定要变号。 7.一元一次方程解法的一般步骤：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。一般解法： (1)去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数; (2)去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号;(记住如括号外有减号的话一定要变号) (3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边;移项要变号 (4)合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式; (5)系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a. 8.同解方程如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。 9.方程的同解原理： (1)方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程

初中数学知识点大全(超全、超好用)

初中数学知识点大全 1、一元一次方程根的情况 △=b2-4ac 当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根；当△<0时，一元二次方程没有实数根 2、平行四边形的性质： ①两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ②平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫他的对角线。 ③平行四边形的对边/对角相等。 ④平行四边形的对角线互相平分。菱形：①一组邻边相等的平行四边形是菱形 ②领心的四条边相等，两条对角线互相垂直平分，每一组对角线平分一组对角。 ③判定条件：定义/对角线互相垂直的平行四边形/四条边都相等的四边形。矩形与正方形： ①有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形。 ②矩形的对角线相等，四个角都是直角。

③ 对角线相等的平行四边形是矩形。 ④ 正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质。 ⑤一组邻边相等的矩形是正方形。多边形： ①N 边形的内角和等于（N-2）180度 ②多边心内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角，在每个顶点处取这个多边形的一个外角，他们的和叫做这个多边形的内角和（都等于360度）平均数：对于N 个数X 1，X 2…X N ，我们把（X 1+X 2+…+X N ）/N 叫做这个N 个数的算术平均数，记为X 加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一个权，这就是加权平均数。二、基本定理 1、过两点有且只有一条直线 2、两点之间线段最短 3、同角或等角的补角相等 4、同角或等角的余角相等 5、过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

初一数学知识点大全

初一(七年级)上册数学知识点：一元一次方程 1.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。 2.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0)。 3.条件：一元一次方程必须同时满足4个条件： (1)它是等式; (2)分母中不含有未知数; (3)未知数最高次项为1; (4)含未知数的项的系数不为0. 4.等式的性质：等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外)，等式仍然成立。等式的性质三：等式两边同时乘方(或开方)，等式仍然成立。解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立。 5.合并同类项 (1)依据：乘法分配律 (2)把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项;常数计算后合并成一项 (3)合并时次数不变，只是系数相加减。 6.移项 (1)含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。 (2)依据：等式的性质 (3)把方程一边某项移到另一边时，一定要变号。 7.一元一次方程解法的一般步骤：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。一般解法： (1)去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数; (2)去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号;(记住如括号外有减号的话一定要变号) (3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边;移项要变号 (4)合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式; (5)系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a. 8.同解方程如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。 9.方程的同解原理： (1)方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。 (2)方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。 10.列一元一次方程解应用题：

初一下册数学知识点汇总

第一章整式的运算知识点汇总一、整式单项式和多项式统称整式。 1、单项式 a)由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独一个数或字母也是单项式。 b)单项式的系数是这个单项式的数字因数，作为单项式的系数，必须连同数字前面的性质符号，如果一个单项式只是字母的积，并非没有系数，系数为1或-1。 c)一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数（注意：常数项的单项式次数为0） 2、多项式 a)几个单项式的和叫做多项式。在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。其中，不含字母的项叫做常数项。一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数. b)单项式和多项式都有次数，含有字母的单项式有系数，多项式没有系数。多项式的每一项都是单项式，一个多项式的项数就是这个多项式作为加数的单项式的个数。多项式中每一项都有它们各自的次数，但是它们的次数不可能都作是为这个多项式的次数，一个多项式的次数只有一个，它是所含各项的次数中最高的那一项次数. 二、整式的加减 a)整式的加减实质上就是去括号后，合并同类项，运算结果是一个多项式或是单项式. b)括号前面是“－”号，去括号时，括号内各项要变号，一个数与多项式相乘时，这个数与括号内各项都要相乘。三、同底数幂的乘法 1、同底数幂的乘法法则： m a n m n ?(m，n都是整数)是幂的运算中最基本的法则，在应用法则运算时，要= a a+ 注意以下几点： a)法则使用的前提条件是：幂的底数相同而且是相乘时，底数a可以是一个具体的数字式字母，也可以是一个单项或多项式； b)指数是1时，不要误以为没有指数；

c) 不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加； d) 当三个或三个以上同底数幂相乘时，法则可推广为p n m p n m a a a a ++=??（其中m 、 n 、p 均为整数）； e) 公式还可以逆用：n m n m a a a ?=+（m 、n 均为整数）四、幂的乘方与积的乘方 a) 幂的乘方法则：mn n m a a =)((m ，n 都是整数数)是幂的乘法法则为基础推导出来的，但两者不能混淆。 b) ),()()(都为整数n m a a a mn m n n m ==。 c) 底数有负号时，运算时要注意，底数是a 与(-a)时不是同底，但可以利用乘方法则化成同底，如将（-a ）3化成-a 3 ???-=-).(),()(,为奇数时当为偶数时当一般地n a n a a n n n d) 底数有时形式不同，但可以化成相同。 e) 要注意区别（ab ）n 与（a+b ）n 意义是不同的，不要误以为（a+b ）n =a n +b n （a 、 b 均不为零）。 f) 积的乘方法则：积的乘方，等于把积每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，即n n n b a ab =)(（n 为正整数）。 g) 幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。五、同底数幂的除法 a) 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即n m n m a a a -=÷ (a ≠0). b) 在应用时需要注意以下几点: 1) 法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数，所以法则中a ≠0。 2) 任何不等于0的数的0次幂等于1，即)0(10≠=a a ，如1100=，(-2.50=1)，则00无意义。 c) 任何不等于0的数的-p 次幂(p 是正整数)，等于这个数的p 的次幂的倒数，即 p p a a 1=-( a ≠0，p 是正整数)，而0-1，0-3都是无意义的；当a>0时，a -p 的值一定是正的，当a<0时，a -p 的值可能是正也可能是负的，如41(-2)2-=，8 1)2(3-=-- d) 运算要注意运算顺序。

初一数学知识点归纳部分习题

初一数学知识点总结（初一上学期）有理数 1、有理数： (1)凡能写成 a b （a 、b 都是整数且a≠0）形式的数，都是有理数。正整数、0、负整数统称整数；正分数、负分数统称分数；整数和分数统称有理数。（注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数；p 不是有理数） (2)有理数中，1、0、-1是三个特殊的数，它们有自己的特性；这三个数把数轴上的数分成四个区域，这四个区域的数也有自己的特性。 (3)自然数是指0和正整数；a ＞0，则a 是正数；a ＜0，则a 是负数；a≥0 ，则a 是正数或0（即a 是非负数）；a≤0，则a 是负数或0（即a 是非正数）。例题：下列说法中不正确的是（） A. -3.14既是负数，分数，也是有理数 B. 0既不是正数，也不是负数，但是整数 C. -2000既是负数，也是整数，但不是有理数 D. 0是非正数例题：下列说法错误的是：（） A 所有的有理数均能可以数轴上的点表示. B 数轴上的原点表示数0. C 数轴上表示数-a 的点在原点的左边. D 0是正数与负数的分界点. 2、数轴：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的一条直线. 例题：在数轴上,下面说法中不正确的是：（） A 两个有理数,绝对值大的离原点远. B 两个有理数,大的在数轴的右边. C 两个负有理数,大的离原点近. D 两个有理数,大的离原点远. 3、相反数： (1)只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数；0的相反数还是0。 (2)注意：a-b+c 的相反数是-a+b-c ；a-b 的相反数是b-a ；a+b 的相反数是-a-b ； (3)相反数的和为0时，则a+b=0；即a 、b 互为相反数。

初一数学下册基本知识点总结

初一数学下册基本知识点总结初一数学下册基本知识点总结第一章有理数 1.1 正数与负数在以前学过的0以外的数前面加上负号“—”的数叫负数(negative number)。与负数具有相反意义，即以前学过的0以外的数叫做正数(positive number)(根据需要，有时在正数前面也加上“+”)。 1.2 有理数正整数、0、负整数统称整数(integer)，正分数和负分数统称分数(fraction)。整数和分数统称有理数(rational number)。通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫数轴(number axis)。数轴三要素：原点、正方向、单位长度。在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点(origin)。只有符号不同的两个数叫做互为相反数(opposite number)。(例：2的相反数是-2;0的相反数是0) 数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值(absolute value),记作|a|。一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。两个负数，绝对值大的反而小。 1.3 有理数的加减法有理数加法法则： 1.同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 2.绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。 3.一个数同0相加，仍得这个数。有理数减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数。 1.4 有理数的乘除法有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。任何数同0相乘，都得0。乘积是1的两个数互为倒数。

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初中数学知识点总结一、基本知识㈠、数与代数A、数与式： 1、有理数有理数：①整数→正整数/0/负整数 ②分数→正分数/负分数数轴：①画一条水平直线，在直线上取一点表示0（原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴。②任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。③如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另外一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点距离相等。④数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。正数大于0，负数小于0，正数大于负数。绝对值：①在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。②正数的绝对值是他的本身、负数的绝对值是他的相反数、0的绝对值是0。两个负数比较大小，绝对值大的反而小。有理数的运算：加法：①同号相加，取相同的符号，把绝对值相加。②异号相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。③一个数与0相加不变。减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。乘法：①两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。②任何数与0相乘得0。③乘积为1的两个有理数互为倒数。除法：①除以一个数等于乘以一个数的倒数。②0不能作除数。乘方：求N个相同因数A的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫幂，A叫底数，N叫次数。混合顺序：先算乘法，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里的。 2、实数无理数：无限不循环小数叫无理数平方根：①如果一个正数X的平方等于A，那么这个正数X就叫做A的算术平方根。②如果一个数X的平方等于A，那么这个数X就叫做A的平方根。③一个正数有2个平方根/0的平方根为0/负数没有平方根。④求一个数A的平方根运算，叫做开平方，其中A叫做被开方数。立方根：①如果一个数X的立方等于A，那么这个数X就叫做A的立方根。②正数的立方根是正数、0的立方根是0、负数的立方根是负数。③求一个数A的立方根的运算叫开立方，其中A叫做被开方数。实数：①实数分有理数和无理数。②在实数范围内，相反数，倒数，绝对值的意义和有理数范围内的相反数，倒数，绝对值的意义完全一样。③每一个实数都可以在数轴上的一个点来表示。 3、代数式代数式：单独一个数或者一个字母也是代数式。合并同类项：①所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项。②把同类项合并成一项就叫做合并同类项。③在合并同类项时，我们把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。 4、整式与分式整式：①数与字母的乘积的代数式叫单项式，几个单项式的和叫多项式，单项式和多项式统称整式。②一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数。③一个多项式中，次数最高的项的次数叫做这个多项式的次数。整式运算：加减运算时，如果遇到括号先去括号，再合并同类项。幂的运算：AM+AN=A（M+N）（AM）N=AMN （A/B）N=AN/BN 除法一样。整式的乘法：①单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同他的指数不变，作

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