2016年北京市各区一模二模考试-------三角函数的概念、同角关系、诱导公式(文科)
三角函数的概念、同角关系、诱导公式基础
提升
锐角三角函数的定义
锐角三角函数的定义 锐角的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。下面是小编为大家整理的关于锐角三角函数的定义，希望对您有所帮助。欢迎大家阅读参考学习! 锐角三角函数的定义 锐角角A的正弦(sin),余弦(cos)和正切(tan),余切(cot)以及正割(sec)，(余割csc)都叫做角A的锐角三角函数。 正弦等于对边比斜边 余弦等于邻边比斜边 正切等于对边比邻边 余切等于邻边比对边 正割等于斜边比邻边 余割等于斜边比对边 正切与余切互为倒数 它的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。 由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。
它有六种基本函数(初等基本表示)： 函数名正弦余弦正切余切正割余割 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为，设OP=r，P点的坐标为(x，y)有 正弦函数sin=y/r 余弦函数cos=x/r 正切函数tan=y/x 余切函数cot=x/y 正割函数sec=r/x 余割函数csc=r/y (斜边为r，对边为y，邻边为x。) 以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数： 正矢函数versin=1-cos 余矢函数covers=1-sin 同角三角函数间的关系： 平方关系： sin^2()+cos^2()=1 tan^2()+1=sec^2() cot^2()+1=csc^2() 积的关系： sin=tancos cos=cotsin
三角函数基本概念
三角函数基本概念 1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角． (3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S ＝{β|β=α＋k ·360°，k ∈Z }(或{β|β＝α＋2k π，k ∈Z })． 2．象限角 3．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示． (2)角α的弧度数：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么l ＝rα，角α的弧度数的绝对值是|α| ＝ l r . (3)角度与弧度的换算①1°＝π 180rad ；②1 rad ＝?π 180 (4)弧长、扇形面积的公式：设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，又l ＝rα，则扇形的面积为 S ＝12lr ＝12 |α|·r 2 . 4.任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么 y 叫做的正弦，记作sin x 叫做的余弦，记作cos x y 叫做的正切，记作tan α 三角函数 正弦 余弦 正切 各象限符号 Ⅰ 正 正 正 Ⅱ 正 负 负 Ⅲ 负 负 正 Ⅳ 负 正 负 各象限符号 口诀 一全正，二正弦，三正切，四余弦 5.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点P ，过P 作PM 垂直于x 轴于M ，则点M 是点P 在x 轴上的正射影．由三角函数的定义知，点P 的坐标为(cosα，sinα)，即P(cosα，sinα)，其中cosα＝OM ，sinα＝MP ，单位圆与x 轴的正半轴交于点A ，单位圆在A 点的切线与α的终边或其反向延长线相交于点T ，则tanα＝AT ．我们把有向线段OM 、MP 、AT 叫做α的余弦线、正弦线、正切线．
第一讲 角的概念推广及任意角的三角函数(高一数学)
第一讲 角的概念推广及任意角的三角函数 一、知识清单 1.角的概念： ①正角、负角、零角：按逆时针方向旋转所形成的角叫 角，按顺时针方向旋转所形成的角叫 角，未作任何旋转所形成的角叫 角. ②象限角：（概念：角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的 半轴重合. 那么，角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角.） ③非象限角：如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何一个象限,称为 . ④讨论：与60°终边相同的角有哪些？都可以用什么代数式表示？与α终边相同的角如何表示？ 结论：与α角终边相同的角，都可用式子 （Z k ∈），表示，写成集合呢？ ⑤讨论：给定顶点、终边、始边的角有多少个？ 注意：终边相同的角 相等；但相等的角，终边 相同；终边相同的角有 个，它 们 。 2. 弧度的意义： ①定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫 . 用 表示，读作 . ②讨论：半径为r 的圆心角α所对弧长为l ，则α弧度数= ？ ③规定：正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0. 半径为r 的圆心角α 所对弧长为l ，则α弧度数的绝对值为|α|＝ l r . 用弧度作单位来度量角的制度叫弧度制. ④由弧度数的定义可以得到计算弧长的公式怎样？ 。 ⑤=0 180 rad? =0 360 rad? 0 1= 弧度？1弧度= 度？ 3. 任意角的三角函数的定义： ① 讨论：锐角α的终边交单位圆于点),(y x P 的坐标与α三角函数有何关系？ 定义：设α是一个任意大小的角，角α的终边与单位圆交于点),(y x P , 则 . ② 思考：已知角终边上任一点),(y x P ，如何求它的三角函数值呢?结论：先求22r x y =+；再按公式 . ③ 例：已知角α的终边过点P(-2,-4)，求α的正弦、余弦和正切值. ④ 讨论：终边相同的角同一三角函数的值有何关系？ 结论(诱导公式一）： ，其中k Z ∈． 作用：把任意角的三角函数值问题转化为0～2π间角的三角函数值问题. ⑤ 讨论：正弦、余弦、正切值在各个象限的符号情况？特殊角的三角函数值？ 4. 三角函数线概念：正弦线、余弦线、正切线
初中数学锐角三角函数定义大全
初中数学：锐角三角函数定义大全 锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），余割（csc）都叫做角A的锐角三角函数。 正弦（sin）等于对边比斜边；sinA=a/c 余弦（cos）等于邻边比斜边；cosA=b/c 正切（tan）等于对边比邻边；tanA=a/b 余切（cot）等于邻边比对边；cotA=b/a 正割（sec)等于斜边比邻边；secA=c/b 余割(csc)等于斜边比对边。cscA=c/a 互余角的三角函数间的关系 sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα, tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα. 平方关系：
sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) 积的关系： sinα=tanα·cosα cosα=cotα·sinα tanα=sinα·secα cotα=cosα·cscα secα=tanα·cscα cscα=secα·cotα 倒数关系： tanα·cotα=1
sinα·cscα=1 cosα·secα=1 特殊的三角函数值 0°30°45°60°90° 01/2√2/2√3/21←sinA 1√3/2√2/21/20←cosA 0√3/31√3None←tanA None√31√3/30←cotA 诱导公式 sin（－α）=－sinαcos（－α）=cosα tan（－α）=－tanαcot（－α）=－cotα
sin（π/2－α）=cosαcos（π/2－α）=sinαtan（π/2－α）=cotαcot（π/2－α）=tanαsin（π/2+α）=cosαcos（π/2+α）=－sinαtan（π/2+α）=－cotαcot（π/2+α）=－tanαsin（π－α）=sinαcos（π－α）=－cosαtan（π－α）=－tanαcot（π－α）=－cotα
任意角的三角函数定义
任意角的三角函数定义 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-
教材：任意角的三角函数（定义） 目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解角与=2k+(kZ)的同 名三角函数值相等的道理。 过程：一、提出课题：讲解定义： 1．设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离0222 2>+=+=y x y x r （图示见P13略） 2．比值 r y 叫做的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做的余弦 记作： r x = αcos 比值x y 叫做的正切 记作： x y = αtan 比值 y x 叫做的余切 记作： y x =αcot 比值x r 叫做的正割 记作： x r =αsec 比值 y r 叫做的余割 记作： y r =αcsc 注意突出几个问题： ①角是“任意角”，当=2k+(kZ)时，与的同名 三角函数值应该是相等的，即凡是终边相同的角的三角函数值相等。 ②实际上，如果终边在坐标轴上，上述定义同样适用。（下面有例 子说明） ③三角函数是以“比值”为函数值的函数
④0>r ，而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号 应由象限确定（今后将专题研究） ⑤定义域： αααtan cos sin ===y y y )(2 Z k k R R ∈+≠π πα αααcsc sec cot ===y y y ) ()(2) (Z k k Z k k Z k k ∈≠∈+≠∈≠παπ παπα 二、例一 已知的终边经过点P(2,3)，求的六个三角函数值 解：13)3(2,3,22 2=-+=-==r y x ∴sin=13133 cos=1313 2 23 cot=32 213 csc=3 13 例二 求下列各角的六个三角函数值 ⑴ 0 ⑵ ⑶ 2 3π ⑷ 2 π 解：⑴ ⑵ ⑶的解答见P16-17 ⑷ 当=2 π 时 r y x ==,0 ∴sin 2π=1 cos 2π=0 tan 2π不存在 cot 2π=0 sec 2π不存在 csc 2 π =1 例三 《教学与测试》P103 例一 求函数x x x x y tan tan cos cos + =的值域 解： 定义域：cosx0 ∴x 的终边不在x 轴上
三角角的概念及任意角的三角函数
三角角的概念及任意角 的三角函数 Standardization of sany group #QS8QHH-HHGX8Q8-GNHHJ8-HHMHGN#
课题 § 角的概念及任意角的三角函数 内容归纳 一．知识精讲 ㈠角的概念和弧度制 1．角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的 图形。其中顶点，始边，终边称为角的三要素。角可以是任 意大小的。 2．角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。 3．在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的 非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限 的角。（注意前提条件，否则不能从终边的位置来判断某角 属于第几象限）。⑵若角的终边在坐标轴上，就说这个角不 属于任何象限，它叫象限界角。 4．与α角终边相同的角的集合：{}Z k k ∈+?=,360αββ 注：①终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相 同； ②终边相同的角有无数多个，它们相差 360的整数倍。 5．正确理解角：“ 90~0间的角”指的是： 900<≤θ；“第 一象限的角”，“锐角”，“小于 90的角”，这三种角的 集合分别表示为： {} Z k k k ∈+?<
锐角三角函数的认识
星火教育一对一辅导教案 学生姓名性别年级9年级学科数学 授课教师李碧瑶上课时间年月日第（）次课 共（）次课 课时：课时 教学课题锐角三角函数的认识 教学目标1.掌握锐角三角函数(sin A，cos A，tan A）的定义； 2.记牢30°、45°、60°角的三角函数值； 3.能够运用三角函数表示直角三角形中两边的比 4. 运用三角函数的关系化简或求值。 教学重点与难点1.理解正切、正弦和余弦的意义，并用它来表示两边的比. 2.添加辅助线解直角三角形 课后作业详见教案 提交时间 2014 年 12 月 12 日学科组长检查签名：
（ 注意咯，下面可是黄金部分！） 知识点1 正切 定义：在Rt △ABC 中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切．． ，记作tan A ，即的邻边 的对边 A A A ∠∠=tan . ①tan A 是一个完整的符号，它表示∠A 的正切，记号里习惯省去角的符号“∠”； ②tan A 没有单位，它表示一个比值，其大小只与锐角A 的大小有关，与所在直角三角形的大小无关； ③tan A 不表示“tan ”乘以“A ”； ④任意锐角A ，都有tanA>0，且锐角的正切值随着角的度数的增大而增大； ⑤tan A 的值越大，梯子越陡，∠A 越大； ∠A 越大，梯子越陡，tan A 的值越大． 【例1】在Rt △ABC 中，∠C=90o,AC=5,AB=13,求tanA 和tanB. 【变式】在Rt △ABC 中，∠C=90o,BC=3,tanA=12 5 ，求AC. ★坡度（或坡比） 定义：通常把坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比），用字母i 表示，即i =l h 坡度即为坡角α的正切值tan α，即i =tan α= l h （1）坡角与坡度是两个不同的概念，坡角是坡面与水平面的夹角，是个角度，单位是度. （2）坡度描述的是坡面的陡峭程度，当tan α的值越大时，坡度越大，坡面也就越陡. （3）坡度一般写成1:m 的形式（比例的前项为1），后项可以是小数. 锐角三角函数的认识 典例
高二数学三角函数——角的概念的推广和弧度制苏教版知识精讲
高二数学三角函数——角的概念的推广和弧度制苏教版 【本讲教育信息】 一. 教学内容： 三角函数——角的概念的推广和弧度制 二. 教学目标： 理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。 三. 知识要点： 1. 角α和β终边相同：)Z k (360k ∈??+=αβ 角度制与弧度制的互化：π=?180 180 1π = ? 1弧度?≈? = 3.57180π 4. 弧长公式：r l ||α= （α是圆心角的弧度数） 5. 扇形面积公式：2||2 1 21r r l S α== 【典型例题】 例1. 已知角?=45α； （1）在区间]0,720[??-内找出所有与角α有相同终边的角β； （2）集合??????∈?+??==Z k ,451802k x |x M ，? ?? ???∈?+??==Z k ,451804k x |x N
那么两集合的关系是什么？ 分析：（1）从终边相同的角的表示入手分析问题，先表示出所有与角α有相同终边的角，然后列出一个关于k 的不等式，找出相应的整数k ，代回求出所求解；（2）可对整数k 的奇、偶数情况展开讨论。 解：（1）所有与角α有相同终边的角可表示为：)(36045Z k k ∈??+?， 则令?≤??+?≤?-036045720k ， 得 ?-≤??≤?-45360765k 解得 360 45 360765-≤≤- k 从而2-=k 或1-=k 代回?-=675β或?-=315β （2）因为{}Z k k x x M ∈??+==,45)12(|表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合{}Z k k x x N ∈??+==,45)1(|表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从而：N M ? 例2. 若角α是第二象限角，则 （1）角 2 α 是哪个象限角？ （2）角α2是哪个象限角？ 分析：?+??<
5.1锐角三角函数的概念(2016年)
A B C D 图3 1. (2016 福建省龙岩市) 】．如图，若点A 的坐标为，则sin ∠1= ． 答案： 】．考点锐角三角函数的定义；坐标与图形性质． 分析根据勾股定理，可得OA 的长，根据正弦是对边比斜边，可得答案． 解答解：如图，， 由勾股定理，得 OA= =2． sin ∠1= =， 故答案为： ． 20160927091226406001 5.1 锐角三角函数的概念 填空题 基础知识 2016/9/27 2. (2016 四川省乐山市) 】．如图3，在Rt ABC ?中，90BAC ∠=，AD BC ⊥于点D ，则下列结论不正确．．． 的是 ()A sin AD B AB = ()B sin AC B BC = ()C sin AD B AC = ()D sin CD B AC =
答案：】．答案：C 考点：考查正弦函数的概念。 解析：由正弦函数的定义，知：A、B正确，又∠CAD＝∠B， 所以，sin sin CD B CAD AC =∠=，D也正确，故不正确的是C。20160925143801781255 5.1 锐角三角函数的概念选择题双基简单应用2016/9/25 3. (2016 湖北省襄阳市) 】．如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（） A． B． C． D． 答案：】． 考点勾股定理；锐角三角函数的定义． 分析直接根据题意构造直角三角形，进而利用勾股定理得出DC，AC的长，再利用锐角三角函数关系求出答案． 解答解：如图所示：连接DC， 由网格可得出∠CDA=90°， 则DC=，AC=， 故sinA===． 故选：B． 点评此题主要考查了勾股定理以及锐角三角函数关系，正确构造直角三角形是解题关键．
锐角三角函数教案
第一章 直角三角形的边角关系 1.1 锐角三角函数（2） 一、知识点 1. 认识锐角三角函数——正弦、余弦 2. 用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比, 用正弦、余弦进行简单的计算. 二、教学目标 知识与技能 1. 能利用相似的直角三角形，探索并认识锐角三角函数——正弦、余弦，理解锐角的正弦与余弦和梯子倾斜程度的关系. 2. 能够用sinA,cosA 表示直角三角形中直角边与斜边的比，能够用正弦、余弦进行简单的计算. 过程与方法 1. 经历类比、猜想等过程.发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点. 2、体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神. 情感态度与价值观 1. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，学有用的数学. 2、形成实事求是的态度以及交流分享的习惯. 三、重点与难点 重点：理解正弦、余弦的数学定义，感受数学与生活的联系. 难点：体会正弦、余弦的数学意义，并用它来解决生活中的实际问题. 四、复习引入 设计意图：以练代讲，让学生在练习中回顾正切的含义，避免死记硬背带来的负面作用（大脑负担重，而不会实际运用），测量旗杆高度的问题引发学生的疑问，激起学生的探究欲望. 五、探究新知 探究活动1（出示幻灯片4）：如图，请思考： （1）Rt △AB 1C 1和Rt △AB 2C 2的关系是 ； （2） 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； （3）如果改变B 2在斜边上的位置，则 的关系是和2 2 2111AB C B AB C B ； 思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边的比值__________，根据是______________________________________. B 1 B 2 A C 1 C 2
第1节 锐角三角函数的概念
第1节 锐角三角函数的概 念 ※知识要点 1．正切的概念 如图，在Rt △ABC 中，我们把锐角A 的 与 的 叫做角A 的正切， 记作： = = ． 注意：(1)表示锐角三角函数时，用顶点字母表示角时，角的符号“∠”可以 ，其他情况，不可 ； (2)正切的实质是 ， 大小， 单位； (3)正切的几何意义是反映斜边 的大小； (4)正切的大小只与 有关，相等的两个角的正切值 ． 2．与坡有关的概念 (1)坡的构成： 、 、 ； (2)坡角： 与 所成的角； (3)坡度：又称 ，是斜坡上两点间 与水平距离的比，常用 表示， 即坡角的 值． 注：坡角越大，坡度 ，坡面 ． 3．正弦与余弦的概念 (1)正弦：如上图，在Rt △ABC 中，我们把锐角A 的 与 的 叫做角A 的正弦，记作： = = ． (2)余弦：如上图，在Rt △ABC 中，我们把锐角A 的 与 的 叫做角A 的余弦，记作： = = ． 注：互余关系：若A +B =90°，则有下列关系成立： ※题型讲练 【例1】如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝13，AC ＝5， 求tanB 和tan ∠BCD 的值． 变式训练1： 1．如图，E 是BC 上一点，∠B ＝∠C =90°，连接AE 、DE 且 AE ⊥DE ，若tanA =3 4 ． (1)求tanD ； (2)若BC =AE =10，求DC 的长． 【例2】如图，一段河坝的横断面为梯形ABCD ，根据图中的数据，回答下列问题(单位：m )： (1)求坡面AB 的坡度； (2)求出坝底宽AD ． 变式训练2： 1．如图是拦水坝的横断面，坡AB 长65米，坡度为1∶2，另一侧堤坡DE 长8米． (1)求坡AB 的水平距离AC 的长； (2)求堤坡DE 的坡度． 【例3】如图，Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD ＝4，cosB ＝45 ． (1)求sinB 和tanB 的值； (2)求AC 和BC 的长度． 变式训练3： 1．在△ABC 中，∠C ＝90°，若tanA =2，AC =4，求cosB 、 sinB 、sinA 、cosA 、tanB 的值并思考它们之间的关系． 【例4】如图，△ABC 中，AC ＝12cm ，AB ＝16cm ，sinA =1 3 ． (1)求AB 边上的高CD ； (2)求△ABC 的面积S ； (3)求tanB ． ※课后练习 1．△ABC 中，∠C ＝90°，若BC ＝4，AB ＝5，则tanB =( ) A ．45 B ．35 C ．34 D ．43 2．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sinA ＝3 5 ，则cosB 的值是( ) A ．45 B ．35 C ．34 D ．43 3．如图是教学用的直角三角板，边AC ＝30 cm ，∠C ＝90°， tan ∠BAC ＝3 3 ，则边BC 的长为( ) A ．303cm B ．203cm C ．103cm D ．53cm 4．如图所示，河堤横断面迎水坡AB 的坡比是1:3，堤高BC ＝5 m ，则坡面AB 的长度是( ) A ．10 m B ．103m C ．15 m D ．53m 5．如图，在下列网格中，小正方形的边长均为1，点A ，B ，O 都在格点上，则∠AOB 的正弦值是( ) A ． 31010 B ．12 C ．13 D ．1010 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，sinA ＝25，则BC 的长 为 ，tanA ＝ ． 7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ＝5，BC ＝2，则sin ∠ACD = ． 8．如图，是拦水坝的横断面，斜坡AB =125米，BD =10米，AE =38米，若斜面AB 坡度为1∶2，则坡DE 的坡度为 ． 9．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，现给出下列结论： ①sinA ＝32； ②cosB ＝12； ③tanA ＝3 3 ； ④tanB ＝ 3 其中正确的是 ．(填序号) 10．已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝12，tanA ＝3 4 ． 求AC 、AB 和cosB ． 11．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AB 边上，沿CE 折叠矩形ABCD ，使点B 落在AD 边上的点F 处，若AB ＝4，BC ＝5，求tan ∠AFE 和sin ∠BCE 的值． 12．如图是一个大坝的横断面，它是一个梯形ABCD ，其中坝顶AB ＝3米，经测量背水坡AD ＝20米，坝高10米，迎水坡BC 的坡度i ＝1：0.6，求坡AD 的坡度和坝底宽CD ． 13．已知：如图，△ABC 中，AB ＝9，BC ＝6，△ABC 的面积 第3题图 第5题图 第4题图 第8题图 第7题图
理解锐角三角函数的定义
理解锐角三角函数的定义 1.理解锐角三角函数的定义、性质及应用，特殊角三角函数值的求法，运用锐角三角函数解决与直角三角形有关的实际问题.题型有选择题、填空题、解答题，多以中、低档题出现； 2.命题的热点为根据题中给出的信息构建图形，建立数学模型，然后用解直角三角形的知识解决问题. 知识网络 考点一、锐角三角函数的概念 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所对的边BC记为a，叫做∠A的对边，也叫做∠B的邻边，∠B所对的边AC记为b，叫做∠B的对边，也是∠A的邻边，直角C所对的边AB记为c，叫做斜边． 锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即；锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即；锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即. 同理；；．要点诠释： (1)正弦、余弦、正切函数是在直角三角形中定义的，反映了直角三角形边与角的关系， 是两条线段的比值．角的度数确定时，其比值不变，角的度数变化时，比值也随之变化． (2)sinA，cosA，tanA分别是一个完整的数学符号，是一个整体，不能写成 ， ，不能理解成sin与∠A，cos与∠A，tan与∠A的乘积．书写时习惯上省略∠A的角的记号“∠”，但对三个大写字母表示成的角(如∠AEF)，其正切应写成“tan∠AEF”，不能写成“tanAEF”；另外，、、常写成、、．， (3)任何一个锐角都有相应的锐角三角函数值，不因这个角不在某个三角形中而不存在． (4)由锐角三角函数的定义知： 当角度在0°＜∠A＜90°之间变化时，，，tanA＞0．考点二、特殊角的三角函数值 (1)通过该表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函数值，它的另一个应用就是：如果知道了一个锐角的三角函数值，就可以求出这个锐角的度数，例如：若 则锐角．，
三角函数基本概念和表示
第三章三角函数 第一节三角函数及概念 复习要求： 1．任意角、弧度 了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； 2．三角函数 （1）借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； （2）借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式。 知识点： 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。一条射线由原来的位置，绕着它的端点按逆时针方向旋转到终止 位置，就形成角。旋转开始时的射线叫做角的始边，叫终边，射 线的端点叫做叫的顶点。 2.角的分类 为了区别起见，我们规定: 按逆时针方向旋转所形成的角叫正角, 按顺时针方向旋转所形成的角叫负角。如果一条射线没有做任何旋转,我们称它为零角。 3.象限角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。那么，角的终边（除端点外）落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。 （1）第一象限角的集合： |22, 2 k k k Z π απαπ ?? <<+∈ ???? （2）第二象限的集合：。 O
（3）第三象限角的集合： 。 （4）第四象限角的集合： 4.轴线角 角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合。若角的终边落在坐标轴上,称这个角为轴线角。它不属于任何象限,也称为非象限角。 5.终边相同的角 所有与角α终边相同的角连同角α在内，构成的角的集合，称之为终边相同的角。记为： {} |360,S k k Z ββα==+?∈或 {} |2,S k k Z ββαπ==+∈。它们彼此相差 2()k k Z π∈，根据三角函数的定义知，终边相同的角的各种三角函数值都相等。 6.区间角 区间角是指介于两个角之间的所有角，如5| ,6 666π πππααα? ??? =≤≤ =????? ???。 7，角度制与弧度制 角度制：规定周角的1 360为1度的角，记作0 1，它不会因圆的大小改变而改变， 与r 无关 弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1rad 或1弧度或1(单位可以省略不写)。 角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定。 8.角的度量 （1）角的度量制有：角度制，弧度制 （2）换算关系：角度制与弧度制的换算主要抓住180rad π=o 。
高中数学高考总复习角的概念的推广及任意角的三角函数习题及详解
高中数学高考总复习角的概念的推广及任意角的三角函数 习题及详解 一、选择题 1．(2010·广州检测)若sin α<0且tan α>0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 [答案] C [解析] ∵sin α<0，∴α为第三、四象限角或终边落在y 轴负半轴上， ∵tan α>0，∴α为第一、三象限角， ∴α为第三象限角． 2．(2010·安徽省168中学联考)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝sin x }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝tan x }，则A ∩B ＝( ) A ．{(0,0)} B ．{(π，0)，(0,0)} C ．{(x ，y )|x ＝k π，y ＝0，k ∈Z } D ．? [答案] C [解析] 函数y ＝sin x 与y ＝tan x 图象的交点坐标为(k π，0)，k ∈Z . 3．(2010·河北正定中学模拟)已知角α终边上一点P ????sin 2π3，cos 2π 3，则角α的最小正值为( ) A.5 6π B.116π C.2 3π D.53 π [答案] B [解析] 由条件知，cos α＝sin 2π3＝sin π3＝32 ， sin α＝cos 2π3＝－cos π3＝－1 2 ， ∴角α为第四象限角，∴α＝2π－π6＝11π 6，故选B. 4．(2010·山东师大附中模拟)cos ????－52 3π＝( ) A ．－1 2 B ．－ 32
C.12 D. 32 [答案] A [解析] cos ????－52π3＝cos 52π 3＝cos ????17π＋π3 ＝－cos π3＝－1 2 . 5．(2010·河南新乡市模拟)已知角α终边上一点P (－4a,3a )(a <0)，则sin α的值为( ) A.3 5 B ．－35 C.45 D ．－45 [答案] B [解析] ∵a <0，∴r ＝(－4a )2＋(3a )2＝－5a ， ∴sin α＝3a r ＝－3 5 ，故选B. 6．(2010·广东佛山顺德区质检)函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b 2 ＝( ) A ．0 B.22 C ．－1 D ．1 [答案] D [解析] 由条件知，a ＝－π2＋2k π (k ∈Z )，b ＝π 2＋2k π，∴cos a ＋b 2＝cos2k π＝1. 7．(2010·青岛市质检)已知{a n }为等差数列，若a 1＋a 5＋a 9＝π，则cos(a 2＋a 8)的值为( ) A ．－1 2 B ．－32 C.12 D.32 [答案] A [解析] 由条件知，π＝a 1＋a 5＋a 9＝3a 5，∴a 5＝π 3， ∴cos(a 2＋a 8)＝cos2a 5＝cos 2π3＝－cos π3＝－1 2 ，故选A. 8．(2010·衡水市高考模拟)设a ＝log 12tan70°，b ＝log 12sin25°，c ＝log 1 2cos25°，则它们的 大小关系为( ) A ．a 8.锐角三角函数的定义 (20070911190543578657)第1题. （2007甘肃陇南非课改，3分） 如图，P 是∠α的边OA 上一点， 且点P 的坐标为（3，4）， 则sin α= ( ) A ． 35 B ． 4 5 C ． 34 D ． 43 答案：B (20070911190544421885)第2题. （2007福建厦门课改，4分）已知在Rt ABC △中，90C ∠= ，直角边AC 是直角边BC 的2倍，则sin A ∠的值是 ． (2007091119054531242)第3题. （2007甘肃兰州课改，4分）把Rt ABC △各边的长度都扩大3倍得Rt A B C '''△，那么锐角A ，A '的余弦值的关系为（ ） Ａ．cos cos A A '= Ｂ．cos 3cos A A '= Ｃ．3cos cos A A '= Ｄ．不能确定 答案：Ａ (20070911190546140878)第4题. （2007甘肃兰州课改，4分）下列函数中，自变量x 的取值范围是2x >的函数是（ ） Ａ．y = Ｂ．y = Ｃ．y = Ｄ．y = 答案：Ｃ (20070911190546843991)第5题. （2007广西河池课改，2分）已知在Rt ABC △中，∠C 为直角，AC = 4cm ，BC = 3cm ，sin A = ． 答案：5 3 (20070911190547625356)第6题. （2007海南课改，2分）在Rt ABC △中， 90=∠C ，如果2=AB ，1=BC ，那么B sin 的值是（ ） A ． 2 1 B ．23 C ．33 D ．3 答案：B (20070911190548859809)第7题. （2007山西太原课改，3分）在正方形网格中，α∠的位置如图所示，则sin α的值为（ ） α 锐角三角函数 一.知识框架 二.知识概念 1.Rt △ABC 中 (1∠A 的对边与斜边的比值是∠A 的正弦,记作sinA = ∠A 的对边 斜边 (2∠A 的邻边与斜边的比值是∠A 的余弦,记作cosA = ∠A 的邻边斜边 (3∠A 的对边与邻边的比值是∠A 的正切,记作tanA = ∠A 的对边 ∠A 的邻边 (4∠A 的邻边与对边的比值是∠A 的余切,记作cota = ∠A 的邻边∠A 的对边 2.特殊值的三角函数: 锐角三角函数(1 基础扫描 1. 求出下图中sinD ,sinE 的值. 2.把Rt △ABC 各边的长度都扩大2倍得Rt △A ′B ′ C ′,那么锐角A 、A ′的正弦值的关系为( . A . sinA =sinA ′ B . sinA =2sinA ′ C . 2sinA =sinA ′ D . 不能确定 3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,若AB =5,AC =4,则sinB 的值是( A . 35 B . 45 C . 34 D . 4 3 4. 如图,△ABC 中,AB=25,BC=7,CA=24.求sinA 的值. 25 24 7C B A 5. 计算:sin30°·sin 60°+sin45°. 能力拓展 6. 如图,B 是线段AC 的中点,过点C 的直线l 与AC 成60°的角,在直线上取一点P ,连接AP 、PB ,使sin ∠APB=1 2,则满足条件的点P 的个数是( A 1个 B 2个 C 3个 D 不存在 7. 如图,△ABC 中,∠A 是锐角,求证:1 sin 2 ABC S AB AC A ?= ?? 8.等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6,求sinA 、sinB . l C B A (第7题图 85 F E D 创新学习 9. 如图,△ABC的顶点都是正方形网格中的格点,则sin∠BAC等于( A. B C. 3-1角的概念的推广与任意角的三角函数 基础巩固强化 1.(文)(2012·潍坊模拟)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－4 5，则m 等于( ) A ．－114 B.11 4 C ．－4 D ．4 (理)(2012·济南一模)已知α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( ) 2．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝sin x }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝tan x }，则A ∩B ＝( ) A ．{(0,0)} B ．{(π，0)，(0,0)} C ．{(x ，y )|x ＝k π，y ＝0，k ∈Z } D ．? 3．若一个扇形的周长与面积的数值相等，则该扇形所在圆的半径不可能等于( ) A ．5 B ．2 C ．3 D ．4 4．(2012·广西田阳高中月考)若sin αtan α<0，且cos α tan α<0，则角α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三角限角 D ．第四象限角 5．已知cos θ＝1 2，角α的终边经过点P (sin2θ，sin4θ)，则6sin α＋cos α3sin α－2cos α的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．7 D.7 5 6．函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos a ＋b 2＝( ) A ．0 B. 2 2 C ．－1 D ．1 7．若点P (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x 的值为________． 8．(2011·太原调研)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴正半轴重合，点P (－4m,3m )(m >0)是角α终边上一点，则2sin α＋cos α＝________. 9．(2012·南昌调研)已知sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋7π12 )的值为________． 10．(2011·绍兴月考)角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a >0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值． 1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角： 与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合：{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合：3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数 考点二、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=；180 10.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=； 要点诠释： 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc r y α= 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线. 3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限的符号： 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2 2 1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α== ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号. 一锐角三角函数定义（2011.1.24） 学习要求： 理解一个锐角的正弦、余弦、正切的定义．能依据锐角三角函数的定义，求给定锐角的三角函数值． 一、填空题 1．如图所示，B 、B ′是∠MAN 的AN 边上的任意两点，BC ⊥AM 于C 点，B ′C ′⊥AM 于C ′点，则△B 'AC ′∽______，从而 AC B A B C C B ) ()(= '=''，又可得 ① ='' 'B A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比是一个___值； ②='' B A C A ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比也是一个______； ③=' ' 'C A C B ______，即在Rt △ABC 中(∠C ＝90°)，当∠A 确定时，它的______与______的比还是一个_____． 第1题图 第2题图 2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°． ①斜边)(sin =A ＝______， 斜边)(sin =B ＝______； ②斜边 ) (cos =A ＝______， 斜边) ( cos = B ＝______； ③的邻边 A A ∠= ) (tan ＝______， ) (tan 的对边 B B ∠=＝______． 3．因为对于锐角α 的每一个确定的值，sin α 、cos α 、tan α 分别都有____________与它______，所以 sin α 、cos α 、tan α 都是____________．又称为α 的____________． 4．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝9，b ＝12，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 5．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若a ＝1，b ＝3，则c ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 6．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若∠A ＝30°，则∠B ＝______， sin A ＝______，cos A ＝______，tan A ＝______，sin B ＝______，cos B ＝______，tan B ＝______． 7．已知：如图，Rt △TNM 中，∠TMN ＝90°，MR ⊥TN 于R 点，TN ＝4，MN ＝3． 求：sin ∠TMR 、cos ∠TMR 、tan ∠TMR ．8.锐角三角函数的定义
锐角三角函数知识点及试题(含答案).
学生版高中数学技能特训：31 角的概念的推广与任意角的三角函数
三角函数知识点汇总
锐角三角函数定义