粉碎基础理论的研究进展
粉碎基础理论的研究
前言
1 粉碎能耗理论——粉碎过程热力学理论
[盖国胜，陶珍东，丁明.粉体工程[M].北京：清华大学出版社，2009 P77] [李凤生. 超细粉体技术[M].北京：国防工业出版社，2004 P16]
[陶珍东，郑少华.粉体工程与设备（2版）[M].北京：化学工业出版社，2010 P69] [应德标，张育才，张云洪. 超细粉体技术[M].北京：化学工业出版社，2006 P58]
[张峻，齐巍，韩志慧.微胶囊、超微粉碎加工技术[M].北京：化学工业出版社，2005 P225]
粉碎过程中，能量消耗主要体现在如下几个方面：（1）颗粒经过粉碎，比表面积增大，将一部分输入能量转化为颗粒的表面能；（2）颗粒在受力的作用包括拉(折、弯)、压(挤)和剪切(磨、撕)等过程中的弹、塑性变形，弹性变形的恢复将机械能转变为热量，塑性变形消耗的能量以颗粒内部及表面结构和形状的变化表现出来；（3）颗粒、流体介质和器壁自身及相互之间的摩擦，将输入的能量转变为热量或噪声；（4）机械运动件之间的摩擦，将输入的能量转变为磨损和发热；（5）电机的发热，等等。表面能的需要是不可避免的，其他能耗可通过改善粉碎方式、工艺和设备等得到降低[袁惠新，俞建峰. 超微粉碎的理论、实践及其对食品工业发展的作用[J].包装与食品机械，2001，19（1）：5-10]。
目前，经典功耗粉碎理论主要有表面积粉碎学说、体积粉碎学说和裂缝学说。 1.1 体积粉碎学说
1874年基尔皮切夫提出体积学说：“在相同条件下，将物料破碎成与原物料几何形状相似的成品时，所消耗的能量与物料的体积或重量成正比”[郎宝贤，郎世平[M].北京：冶金工业出版社，2008 P9]。基尔皮切夫体积学说的物理基础是任何物料受到外力时，在其内部引起应力和产生应变，应力和应变随外力增加而增加，当应力达到强度极限后，物料被破碎。应力与应变近似看作线性关系，经数学诱导可得粉碎功耗表达式[张代湘. 关于粉碎理论的论述[J].西北轻工业学院学报，1983（2）：45-63]：
E
V W 22
max σ=
式中，σmax ——物料强度极限，Pa ； V ——物料体积，m 3
； E ——弹性模量，Pa 。
1885年，F.Kick 也提出了体积粉碎理论。Kick 基于“物料粉碎前后粒度的变化，并从一个颗粒每破碎一次粒度减小一半，每次的破碎功耗相等”这一假设，认为物体粉碎时所需的功耗与颗粒体积的变化成正比。数学表达式为：
)
lg (lg )
1
lg
1(lg
12'
12
S S C D D C E K K -=-=
式中，E ——粉碎功耗；
D 1、D 2——分别为粉碎前、后物料的平均粒径或代表性粒径； S 1、S 2——分别为粉碎前、后物料的比表面积； C K ——常数。
1.2 裂缝学说
裂缝学说，也称为“Bond 学说”，是由F.C. Bond 和王仁东于1952年提出的介于表面积学说和体积学说之间的一种粉碎功耗理论。裂缝学说认为物体在外力作用下先产生变形，当物体内部的变形能积累到一定程度时，在某些薄弱点或面首先产生裂缝，这时变形能集中到裂缝附近，使裂缝扩大而形成破碎，输入功的有用部分转化为新生表面上的表面能，其他部分则成为热损失[周仕学，张明林.粉体工程导论[M].北京：科学出版社，2010 P85][贾如磊. 常温下热塑性塑料的湍流超细粉碎机理研究[D].兰州：兰州理工大学，2006]。因此，粉碎所需的功应考虑变形能和表面能两项，粉碎所需的功应当与体积和表面积的乘积成正比，即与(VS)
0.5
成正比。
根据Bond 所作的解释，粉碎物料消耗的能量与物料产生的裂缝长度成正比，而裂缝又
与物料粒径的平方根成反比[郎宝贤，郎世平[M].北京：冶金工业出版社，2008 P9]裂缝学说表达式为：
)
()
1
1(
22'
12
S S C D D C E B B -
=-
= 式中，E ——粉碎功耗；
D 1、D 2——分别为粉碎前、后物料的平均粒径或代表性粒径； S 1、S 2——分别为粉碎前、后物料的比表面积； C B ——常数。
邦德功指数是评价物料被磨碎难易程度的一种指标[孙伟亮. 水泥辊压机的能耗模型与状态分析[D].济南：济南大学，2010] [吴建明. Bond 粉磨功指数研究与应用的进展[J].有色设备，2005（3）：1-4]，它认为“磨碎过程中矿块所产生的新的裂缝的长度与输入的能量成比例”，即：
82180
80
)1010(
A A A F P W W i ?????-
=
则，粉碎功指数为
8
2180
80
0)1010(
A A A F P W W i ?????-?=
η
式中，W ——实测功耗，kW·h/t ；
W i0——粉碎功指数，即物料对粉碎的阻力参数，kW·h/t ； η——电动机和传动系统效率； P 80—产品中80%通过的粒度，μm;
F 80—给料中80%通过的粒度，μm ；
A 1-A 8——修正系数，分别修正干式粉磨、开路球磨、磨机直径、过大给料粒度、球
磨细度、棒磨粉碎比、球磨低粉碎比和棒磨回路等条件变化。
目前，Bond 功指数已成为粉碎工程设计和应用中不可缺少的重要参数和指标。 1.3表面积学说
1867年，德国的P .R.Rittinger 提出了表面积假说，是最早的、系统性的粉碎理论，也称为“Rittinger 学说”。Rittinger 认为，物料粉碎时外力做的功用于产生新表面，即粉碎功耗与粉碎过程中物料新生成的表面积成正比[付敏. 木质生物质粉碎及规模化制粉机械设计及理论研究[D].哈尔滨：东北林业大学，2010] [王习魁. 高压微射流超细粉碎关键技术研究[D].
无锡：江南大学，2005]。数学表达式为：
dS C dE R = )
()1
1(
12'
12
S S C D D C E R R -=-
=
式中，E ——粉碎功耗；
D 1、D 2——分别为粉碎前、后物料的平均粒径或代表性粒径；
S 1、S 2——分别为粉碎前、后物料的比表面积； C R ——常数。
Rittinger 学说只能应用于比较理想的情况，要求物料在破碎过程中没有变形，各向均匀，无节理和层次结构。当破碎比相当大时(i >10)，这种假说的结果和实际情况较为接近。
物料粉碎新生表面积只占粉碎能耗的1%都不到，所以Rittinger 的“表面积学说”并未反映粉碎时能量转换的真正物理过程。而Kikc 学说把物料视为性质均匀的弹性体，粉碎能耗只取决于粉碎比D 2/D 1，而与颗粒尺寸本身大小无关，实际上颗粒越小粉碎越困难，而且各种物料在一定条件下都存在粉碎下限，所以Kikc 学说的解释也是片面的。Bond 的“裂缝学说”提出的裂缝长度的概念仅仅是人为的假定，并无确切的物理意义。
虽然都存在着一定的局限性，但是三大粉碎理论都存在着一定的适用条件，分别反映了粉碎过程的某一阶段的能耗规律，从而组成了整个粉碎过程，即弹性变形阶段（Kick 学说）——裂纹产生及扩展阶段（Bond 学说）——形成新表面（Rittinger 学说），它们相互补充，互不矛盾[王介强，宋守志. 关于料层粉碎的理论研究[J].中国矿业，1987，7（5）：48-50]。对于粗粒物料(大于10mm)的粉碎过程，Kikc 学说比较接近实际；对于细粒物料(10μm-lmm)的粉碎过程，Rittinger 学说与实际过程较为吻合；Bond 学说适用于中等粒度物料(l-10mm)的粉碎过程。但是，三大经典粉碎功耗理论并不是针对超细粉碎提出的，都不适用于产物粒度小于10μm 的超细粉碎中的功耗计算。因为在超细粉碎过程中，外加的机械能不仅用于颗粒粒度的减小或比表面积的增大，还有因为强烈的和长时间的机械力作用导致的颗粒机械化学变化以及机械传动、研磨介质之间的摩擦、振动等消耗。
1.4 Lewis 一般式[应德标，张育才，张云洪. 超细粉体技术[M].北京：化学工业出版社，2006 P58]
由于粉碎是以减小粒径为目的，通常粉碎功耗就以粒径函数来表示。1957年，R.L.Charles 提出了一个基于粒度减小的粉碎功耗微分式：
dx x C dE n
L --=
?
--=
21
x x n
L dx x
C E
式中，E ——粉碎功耗；
x 1、x 2——分别为粉碎前、后物料的平均粒径或代表性粒径； n ——系数，由试验确定； C L ——Lewis 系数。
实际上，随着粉碎过程的不断进行，物料的粒度不断减小，其宏观缺陷也减小，强度增大，减小同样的粒度所消耗的能量也要增加，因而粗粉碎和细粉碎阶段的比功耗是不同的。显然用Lewis 公式来表示整个粉碎过程的功耗是不确切的。
将Lewis 公式中，若取n =2，积分得到Rittinger 粉碎功耗公式；若取n =1，积分得到Kick 粉碎功耗公式；若取 n =l.5，积分得到Bond 粉碎功耗公式[蔡光先. 中药粉体工程学[M].
北京：人民卫生出版社，2008]。因此，这三种学说可认为是对Lewis 公式的具体修正，从不同角度解释了粉碎现象的某些方面。
一般地，对于n >1，对Lewis 公式积分，可得
)
11(
)
1/()11(1
11
1
2
2m m n n L x
x k n x
x C E -
=--=--
1-=n m 1
-=
n C k L
令粉碎比2
1x x i =
，上式可写成
)1(1
-=
m
m
i x k E
m 与物料性质、粉碎设备类型、给料粒度及产物粒度等有关，还与被粉碎物料的硬度有关。
1.5 粉碎功耗新理论
（1）田中达夫粉碎定律[盖国胜，陶珍东，丁明.粉体工程[M].北京：清华大学出版社，2009 P77] 由于颗粒形状、表面粗糙度等因素的影响，上述各式中的平均粒径或代表性粒径很难精确测定。而随着比表面积测定技术的发展，采用比表面积比采用平均粒径更加精确，目前已得到广泛应用。
在粉碎理论的研究中，粉碎产物的粒度大小是人们关心的问题。粉碎是否有极限，若有，极限是多少。随着技术的发展，研究人员发现:当粉碎颗粒达到一定细度时，颗粒会出现微塑性变形。由于微塑性变形的影响，颗粒会发生锻焊或焊合作用而相互聚合长大，使颗粒变粗，因此把该细度范围称作粉碎极限，于是出现了“极限表面理论”。
1954年，田中达夫提出了带有结论性质的用比表面积表示的粉碎功耗定律：比表面积增加量对功耗增加量的比值与极限比表面积和瞬时比表面积的差值成正比，即为有界粉碎能耗关系式
)(S S K dE
dS -=∞
式中，S ∞——极限比表面积，与粉碎设备、粉碎工艺及物料性质有关，m 2； S ——瞬时比表面积，m 2； K ——常数，由试验确定。
此式表明，物料越细时，单位能耗所产生的新表面积越小，即越难粉碎。 将上式积分，当S << S ∞时，可得
)1(KE
e
S S -∞-=
此式相当于Lewis 公式中n >2的情形，适用于微细粉碎。
（2）Hiorns 公式[盖国胜，陶珍东，丁明.粉体工程[M].北京：清华大学出版社，2009 P77]
英国的Hiorns 假设粉碎过程符合Rittinger 粉碎学说，粉碎产品的粒度符合Rosin-Rammler 分布，设固体颗粒间的摩擦力为k r ，推推导出如下公式：
)11(
11
2
x x k C E r
R -
-=
可见，k r 越大，粉碎能耗越大。
由于粉碎的结果是增加固体的比表面积，则将固体比表面能γ与新生表面积相乘可得粉碎功耗计算公式，
)(112S S k E r
--=
γ
（3）Rebinder 公式[陶珍东，郑少华.粉体工程与设备（2版）[M].北京：化学工业出版社，2010]
前苏联的Rebinder 和Chodakow 提出：在粉碎过程中，固体粒度变化的同时还伴随着其晶体结构及表面物理化学性质等的变化。他们在将Kick 学说和田中达夫粉碎定律结合的基础上，考虑增加表面能σ、转化为热能的弹性能的储存及固体表面某些机械化学性质的变化，提出了如下功耗公式：
S
S S S S S S E m --+++=∞∞∞00
ln
])([ln
σβααη
式中，ηm ——粉碎机械效率； α——与弹性有关的系数；
β——与固体表面物理化学性质有关的常数； S 0——粉碎前的初始比表面积。
（4）Hukki 公式
[王介强，宋守志. 关于料层粉碎的理论研究[J].中国矿业，1987，7（5）：48-50]
1961年，R.T.Hukki 做了更为广泛和精致的验证，研究了输入能量与产物粒度的关系，认为能耗规律是随产物粒度变细由Kick 学说向Bond 学说再向Rittinger 学说连续地过渡的，传统的三大能耗学说不过是具有代表意义的三个特殊情况，大量的破碎现象是处于它们之间的， 但对于10μm 以下超细粉碎的能耗规律，Hukki 并未作讨论。
其方程为：
)
(x f x
dx C
dE -=
式中，f (x )——随粒度x 而变化的函数。
如图所示的lgE-lgx 曲线中，曲线斜率为0、0．5和1的三个特殊点分别代表Kick 、Bond 和Rittinger 的三个学说。
（4）列宾杰尔功耗公式
[母福生. 破碎理论的研究现状及发展要求[J]. 硫磷设计与粉体工程，2006（4）：20-24]
列宾杰尔通过研究，发现石英粉碎后不仅存在极限比表面积，也存在塑性变形，还因机
械的活化作用使石英无定形化。1962年，列宾杰尔提出了粉碎石英所需能量的关系式：
∞+++
=
?S l a ec S S a ec F
F
)()ln(
σβεη
式中，η———粉碎机械效率，1；
Δε———输入粉碎机的比有用能量， J/cm 3
； e ———比弹性变形能， J/cm 3 ； c ———比例系数，1；
a F ———粉体形状系数，1； β———比塑性变形能，J/cm 3 ； l ———无定形层的厚度，cm ； ζ———比表面自由能，J/cm 2
。
（5）K. Tkavova 公式
[母福生. 破碎理论的研究现状及发展要求[J]. 硫磷设计与粉体工程，2006（4）：20-24] 1979年，K. Tkavova 首次从热力学的角度研究粉碎系统的内能、熵、自由焓等参数的变化规律及与粉碎能耗之间的关系。认为粉碎是一个不可逆的热力学过程，并把该过程作为一个物理化学过程来研究，以此为基础建立了热力学能量平衡方程式。
Q U U E i m -?+?=
式中，ΔU m ———被粉碎物料内能的增加量，J ；
ΔU i ———粉碎介质内能的增加量，J ；
Q ———总的热损失，J 。
（6）神保元二粉碎功耗公式
神保元二在英国Horins 研究的基础上，提出粉碎农业物料所消耗的功除了用于生成新的物料表面积和变形所耗之功外，必然还有其他能量消耗。如物料在粉碎过程中所发生的化学变化和物理变化以及物料表面结晶构造变化等消耗的能量。对此，他只给出定性的结论，并未给出定量分析[王春光. 农业物料粉碎理论发展现状[J].农牧与食品机械，1991（1）：6-9]。
)(112S S k E r
--=
δ
式中，δ——物料表面变化所需功耗
2 现代粉碎理论 2.1 料层粉碎理论
[张世礼. 振动粉碎理论及设备[M].北京：冶金工业出版社，2005 P2] [王晓峰. 超微粉碎过程粉碎腔流场的研究[D].无锡：江南大学，2008] 2.1.1 料层粉碎理论的形成
早期的粉碎理论研究，大多是揭示粉碎机械能量消耗与被碎物料粒度减少量之间的关系。19世纪后期，才出现了一些有价值的能耗理论，如Rittinger 表面积假说、Kick 体积假说、Bond 裂缝假说以及Lewis 统一能量方程式。但是，用粉碎能耗来研究粉碎过程或固体破碎程度的方法是不完善的。因为粉碎机械本身的一些能量损失无法估算，如颗粒受到摩擦而不碎裂造成的能量损失、动能和势能的损失、颗粒弹性和塑性变形造成的能量损失、粉碎过程中的机械化学行为造成的能量损失等。由此，国内外学者开始在物料粉碎机理、能量平衡及粉碎过程定量描述等方面进行了广泛的试验研究，在现代断裂力学和实验技术的基础上，提出了高压料层挤压粉碎理论[张起民，张显铎. 料层挤压粉碎技术及装备的发展[J].中国水泥，
2003（3）:49-52]。
早在1962年，美国的Bergstrom等人便提出了采用层压粉碎以提高能量利用率的观点。随后的十多年里，Rumpf、K.Klotz、Schmitt等也对单颗粒粉碎和料层粉碎进了理论探索和实验分析，得到了一些有价值的成果[孟宪红，宋守志，徐小荷. 关于粉碎、超细粉碎理论的实验研究新进展[J].中国矿业，1996，5（1）：51-56]。而德国的K.Schonert在众多学者的研究基础上，进行了一系列层压粉碎实验，指出:“物料不是在破碎机工作面上或其他粉磨介质间作单颗粒粉碎(破碎或粉磨)，而是作为一层(或一个料层)得到粉碎。该料层在高压下形成，压力导致颗粒挤压其它临近颗粒，直到其主要部分破碎、断裂，产生裂缝或劈碎”[徐友军.筒辊磨粉磨机理与粉磨效果研究[D].武汉：武汉理工大学，2002]。1979年和1984 年，他发表文章从粉碎物料的能量观点出发，对传统的粉磨方式进行了系统的实验研究和理论探讨，首次提出了高压作用下的“料床粉碎”(Pr essure Comminution in the Material Bed)概念，标志着料层粉碎理论的形成[张起民. 反求工程在料层挤压粉碎技术及装备研究中的应用[J].国外建材科技，2002，23（2）：42-45]。
2.1.2 料层粉碎理论
料层粉碎理论可概括为：固体物料受外部压力作用时会产生压缩变形，造成内部应力集中，当应力达到颗粒在某一最弱轴向上的破坏应力时，该颗粒就会在该轴向上发生碎裂和粉碎行为。料层粉碎理论的基本观点是物料在每个移动循环中相邻颗粒改变其相对方位，相互作用力矢量也不断改变，由此达到被粉碎物料的负载改变方向的目的。同时，造成强制性自磨的条件，使结构缺陷少的、最坚硬的颗粒可破碎相邻粒子间键力弱的颗粒。而在等硬度颗粒中，剪切力与位错滑动力相重合处的颗粒被破碎[杨啟梁，刘旺，汪建春. 料层粉碎理论在新型行星辊磨机上的应用[J].机械设计与制造，2009（7）：85-86]
。
2.1.3料层粉碎过程
层压粉碎大致可以分为三个阶段：
（1）满料密实阶段
当物料在重力和拉入力（辊面摩擦力）共同作用下进入粉碎作业区后，即受到较小压力的作用，物料颗粒因此而互相靠紧、密实，故松散容积变化较大；随着物料的推进，物料密实度逐渐增大。由于两辊间隙越来越小，各颗粒之间已由点接触过渡到面接触，有些颗粒开始沿解理面破碎，但这种破碎与寻常破碎机基本相同。这一阶段颗粒的密实度大约10%增大到45%。
（2）层压粉碎阶段
随着料层向两辊间隙最小处推进，物料便进一步密实为由颗粒群构成的料层，应力强度继续升高到物料的挤压强度极限由于密实度增高（例如密实度由45%增大到80%-85%），颗粒之间的间隙几乎趋向于零。因此，在高应力作用下，密实状态的颗粒之间进行着应力传递，各颗粒之间出现强烈的作用和反作用（交互作用力）力，于是有众多的颗粒被粉碎或者产生许多微裂纹，此时压力或应力曲线表现为很陡的斜率。鉴于物料的几何、物理性质的差异，颗粒层压粉碎行为一般在较大的应力范围内发生，曲线斜率也开始由陡变平缓。
（3）结团排料阶段
由于颗粒粉碎概率增高，已碎颗粒必然在高应力作用下重新排列各自的位置，料层松散容积亦不断变化，个别粗颗粒被众多细颗粒所包围，此时粒间应力传递相当分散。由于各颗粒重新排列的密实料层已被挤到两辊间隙最小处，各颗粒间的间隙几乎趋向于零，其料层密实度更高，有时甚至高达85%，于是产生了排料结团现象，这就是所谓料饼料坯，此时层压力增大到极大值，料饼通过两辊最小间隙处，遂以连续料坯的形态排出粉碎腔[戴少生. 层压粉碎机理和倒悬挂细碎颚式破碎机[J].四川水泥，1998（4）：4-6] [苏亚娟，崔亚伟，张先锋. 粉碎理论的探讨[J].武汉工业大学学报，1993，15（3）：49-53][朱军. 层压粉碎技术应用实践的探讨[J].湖北地矿，2004，，1（1）：49-52]
。
2.1.4 料层粉碎特点
[包玮，马克，王志凌，等. 料层粉碎的基本规律及在水泥粉磨工艺中应用的探讨[J].中国水泥，2010（7）：61-65]
（1）选择性粉碎。由于粉碎力在物料之间传递，强度较弱、颗粒较大的物料首先被粉碎，而颗粒较小、强度较大的物料最后被粉碎．甚至没被粉碎直接排除。因此，相同物料、相同比表面积，颗粒分布宽的产品能耗更高。若需粉碎颗粒分布宽的产品，可减小料层厚度，增加压力，以减小选择性粉碎的影响。
（2）由于选择性粉碎的影响，随着系统循环负荷的加大，其成品颗粒分布都朝着更加均齐的方向发展。
（3）物料的最大粒度和颗粒分布影响拉入角的大小，从而影响最大料层厚度。 2.1.4 料层粉碎理论研究新进展
[甘建国. 高压对辊粉碎的微分剪切理论及数学模型[J].机械工程学报，2008，44（3）：241-248]
甘建国认为，层压粉碎理论研究中，“产生结团行为而生成料饼”的说法，没有很好的解释在高压对辊粉碎作用下粉状料饼的形成机理。他提出了“高压对辊粉碎的微分剪切理论”，即当块状脆性材料被引进高压对辊后，在等速相向转动的两辊轮作用下，物料料层受到辊轮法向作用力而被逐步压缩，且物料料层在与辊轮径向方向平行的任一微分断面上， 处处同时存在连续的剪切作用和切应力在辊轮法向压缩力和微分切应力的共同作用下，块状脆性材料通过高压对辊时，被剪切形成均匀细密的粉状料饼，打散后即成为粉末。
通过微分剪切理论，推导出物料受辊压时单个辊轮所消耗功率的数学模型为：
θθθθθ
θθθθθθθθωθθbd G W R W bRd E W f R
f W P n
)()arctan arctan 2(sin )sin (21)(sin arctan ])(sin )([1322
000+?-+???????--?
=?
式中，f (θ0)——物料料层被辊轮拉入时的初始厚度；
E(θ0)——物料料层受压缩时的弹性模量；
G(θ0)——物料料层受到剪切时的切变模量；
b——辊轮宽度。
料层粉碎技术是当今世界粉碎工程领域中最新型实用的粉碎机械技术之一，更是对三大粉碎理论的综合继承和发展。尽管对于层压粉碎技术的粉碎机理和力学特性仍然还没有被完全揭示，但应用层压粉碎技术开发研制的各类粉碎机械，在粉碎工程的工业实际应用中都表现出明显的优越性[朱军. 层压粉碎技术应用实践的探讨[J].湖北地矿，2004，18（1）：49-52]。
2.2 分形理论及其在粉碎工程中的应用
2.2.1分形理论的发展
分形理论的雏形可以追溯到19世纪，如1872年，德国数学家K. Weierestrass构造了一条处处连续但处处不可微的Weierestrdss曲线；1883年，集合论创始人德国数学家G. Cantor构造了有许多奇异性质的三分Cantor集；1915年，波兰数学家W. Sierpinski在二维与三维空间中设计出了象地毯和海绵一样的Sierpinski三角形[甘龙. 分形理论及其在图像边缘检测中的应用研究[J].合肥：合肥工业大学，2003]；1919年，Hausdorff和Besicovitch研究了几何学中的“病态”结构，将维数定义从整数维推广到分数维。但由于历史原因，他们的工作却不能被当时的数学界所接受，因此，长期以来没有什么突破性进展。直到1973年，美国数学家Mandelbrot首先提出“fractal（分形）”一词，并揭示了它与物理学的关系，分形理论最终得到科学界的公认。“分形”来源于拉丁语“fractus”，其原义是“不规则的、分数的、支离破碎的”物体，是没有特征长度的图形、构造以及现象的总称，Mandelbrot 是想用此词来描述自然界中传统欧几里德几何学所不能描述的一大类复杂无规则的几何对象[邹明清.分形理论的
若干应用[J].武汉：华中科技大学，2007]。1975年Mandelbrot在法国出版了《Les obiects fractals: forme，basard et dimension》，1977年他在英国出版了《Fractal: Form，Chance and Dimension》[李水根. 分形[M].北京：高等教育出版社，2004]，标志着分形理论的正式诞生。1982年，他又出版了专著《The Fractal Geometry of Nature》（《大自然的分形几何学》），至此分形理论初步形成。
1982年，Mandelbrot在最初的论述中，曾经定义“分形”为：它是豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合，但是它把一些明显属于分形集（如Peano曲线）排除在外了。1986年，Mandelbrot给出了更广泛、更通俗的定义：“分形是局部和整体有某种方式相似的形”，它强调局部和整体之间的自相似性，但是相似性并不能包含分形的全部属性[孙霞，吴自勤，黄畇.分形原理及其应用[M].北京：中国科学技术出版社，2003][于建梅.基于分形理论的图像压缩和边缘检测研究[D].哈尔滨：哈尔滨工程大学，2008]。之后，人们做了各种各样的努力企图给分形一个严格的数学定义，但是这些定义都很难适用于一般的情形。K.Falconer认为，对“分形”的定义可以采用与生物中对“生命”定义的方法来处理，即对分形并不给其一个严格和明确的定义，而是列出其一系列的性质来加以区分。
1990年，英国数学家K.Falconer在其专著《Fractal Geometry——Mathematical Foundations and Applications》中，对“分形”作了如下描述[Kenneth Flaconer著，曾文曲译. 分形几何数学基础及其应用（2版）[M].北京：人民邮电出版社，2007][沙震，阮火军.分形与拟合[J].杭州：浙江大学出版社，2005]：
一般地，称集F是分形，即认为它具有以下一些典型的几何性质：
（1）F具有精细的结构，即在任意小的尺度下，它总局有复杂的细节；
（2）F是如此的不规则，以至于它的整体和局部都不能用传统的欧式几何（Euclid Geometry）语言来描述；
（3）F通常具有某种自相似的形式，可能是近似的或是统计的；
（4）一般地，F的“分形维数”（以某种方式定义）大于它的拓扑维数；
（5）在大多数令人感兴趣的情形下，F 以非常简单的方法定义，可能由迭代产生。 对于各种不同的分形，有的可能同时具有上述的全部性质，有的可能只有其中的大部分性质，而对某个性质有例外，但这并不影响我们把这个集合称为分形。
2.2.2分形的特征
分形具有两个重要特征——自相似性和标度不变性。自相似性和标度不变性是相互关联的，具有标度不变性的结构或图形一定会满足自相似性，反之亦然[137张济忠．分形[M]．北京：清华大学出版社，1995]。
2.2.2.1自相似性
一个系统的自相似性是指某种结构或过程的特征从不同的空间尺度或时间尺度来看都是相似的，或者某系统或结构的局域性质或局域结构与整体类似。另外，在整体与整体之间或部分与部分之间，也会存在自相似性。
一般情况下自相似性有比较复杂的表现形式，而不是局域放大一定倍数以后简单地和整体完全重合。在大多数情况下，这种相似性都是统计意义下的相似性。但是，表征自相似系统或结构的定量性质如分形维数，并不会因为放大或缩小等操作而变化（这一点被称为伸缩对称性），所改变的只是其外部的表现形式。简而言之，自相似性是指整体可以通过局部的放大而得到，局部与整体在形态、功能和信息等方面具有统计意义下的相似性。
2.2.2.2标度不变性
所谓标度不变性，是指在分形上任选一局部区域对它进行放大或缩小，这时得到的放大或缩小图又会显示出原图的形态特征。因此，对于分形不论放大或缩小，它的形态、复杂程度、不规则性等各种特性均不会发生变化，所以标度不变性又称为伸缩对称性。通俗一点说，如果用放大镜来观察一个分形，不管放大倍数如何变化，看到的情形都是一样的，从观察到的图像来看，无法判断所用放大镜的倍数。以云为例，当用某一倍数的望远镜来进行观察时，会看到某种复杂的不规则的凹凸形态；如果继续用较高倍数的望远镜再来观察云的一个局部时，还会看到同样复杂而不规则的凹凸形态，与前面看到的图像完全类似；如果再用更高倍数的望远镜来观察，情况也是如此[137张济忠．分形．北京：清华大学出版社，1995]。
2.2.3分形维数
集合的“分形维数”的概念几乎是整个分形几何的中心。大多维数的定义都依赖于对集F “在尺度δ下的度量”，通过这样的尺度观测集合可以确定集合的不规则性。于是维数通常是依据这些度量值当δ→0时服从的幂定律的状况来定义[133肯尼斯·法尔科内（英国）．分形几何—数学基础及其应用[M]．沈阳：东北大学出版社，1991，137]。
2.2.
3.1豪斯道夫维数(Hausdorff Dimension)
[张省现. 散体的分形特性和热物性的分形表征[D].北京：北京科技大学，2005]
1919年，Hausdorff 推广了维数的概念，提出了Hausdorff 测度。 设{U i }为R n
的一个有限或可数的子集簇，如果对任意i ，δ≤i U 且 ∞
=?
1
i i
U
F ，则称
{U i }是n R F ?的一个δ-覆盖。
设F 为R n 的子集，s ≥0，对任意δ>0，定义
覆盖的是-F }{U :}inf{
)(i 1
δδs i i
s
U
F H ∑∞
==（2.1）
随着δ的减小，F 的δ-覆盖簇是减少的，所以上式中下确界是非降的，且δ→0时趋近一个极限。于是定义
)()(lim 0
F H F H s
s
→=
δ
（2.2）
这个极限对所有n R F ?都存在，其值可以是（并且通常是）0或∞。称)(F H s 为F 的s 维豪斯道夫测度。
由以上两式（2.1）和（2.2）容易证明，对任意集合n R F ?，存在数dim H F 满足：如果F s H
dim
<，∞=)(F H s
；如果F s H
dim
>，0)(=F H s
。称dim H F 为F 的豪斯道夫
维数，简写为D H ，即：
}0)(:sup{}0)(:inf{dim
=====F H s F H s F D s
s H
H （2.3）
豪斯道夫维数是使∞“跳跃”到0发生的s 的数，于是集合F 的豪斯道夫维数可以认为是这样的一个数s ，使得在s 处H s (F)从∞“跳跃”到0，见图2.1。
2.2.
3.2盒维数(Box Dimension)
[Kenneth Flaconer 著，曾文曲译. 分形几何数学基础及其应用（2版）[M].北京：人民邮电出版社，2007]
在实际应用中，盒维数是应用最广泛的维数之一，这主要是由于它的数学计算及经验估计相对容易一些，还可以通过实验近似地估算；并且在一些比较“规则”的集上，这种维数与豪斯道夫维数是相等的[曾文曲，王向阳，孙炜，等．分形理论与分形的计算机模拟[M]．沈阳：东北大学版社，2001]。
F 是R n
上任意非空的有界子集，N δ (F)是覆盖F 的最大直径为δ的集合的最少个数，则F 的下、上盒维数分别定义为：
δ
δδlog )(log dim lim
-=
→F N F B （2.4）
δ
δδ
log )(log dim lim 0
-=
→F N F B （2.5）
如果它们相等，则把这相等的值称为F 的盒维数，记为：
δ
δδ
log )(log dim
lim 0
-=
=→F N F D B
B （2.6）
在实际应用过程中，我们会用到以下一些等价形式。如果N δ(F ) 取以下任意一个数，
则式（2.4）-（2.6）的极限值不变：
（1）覆盖F 的直径最大为δ的集的最少个数； （2）覆盖F 的半径为δ的闭球的最少个数； （3）覆盖F 的边长为δ的立方体的最少个数； （4）中心在F 内半径为δ的不交球的最多个数； （5）与F 相交的δ-网立方体个数。
2.2.
3.3 相似维数(Similarity Dimension)
相似维数是基于标度不变性的维数。
设分形整体S 由N 个非重叠的部分s 1，s 2，…，s N 组成，每一个部分s i 经过放大1/r i 倍后可与S 全等（0 11 =∑=N i D i S r 如果r i 全相等，且r i =r ，则相似分形维数可表示为： ) /1lg(lg r N D S = 相似维数虽然是由严格自相似分形得出的，但其对近似或统计自相似分形仍然适用。在自然界中，真正的严格自相似分形并不存在，存在的大都是近似或统计自相似分形。因此，相似维数在实际应用中有着特殊的重要意义。 2.2. 3.4 关联维数（Correlation Dimension ） [刘代俊. 分形理论在化学工程中的应用[M].北京：化学工业出版社，2006] 1983年，Grassberger 和 Procaccia 提出了关联维数:若分形中某两点间的距离为δ，其关联函数为C(δ)，则关联维数为 ) /1ln()(ln lim δδδC D g →= 式中， ∑∑=== --= n i i n j i j i P x x H n C 1 2 1 ,2 )(1)(δ δ 式中，H ——Heivisit 函数，具有如下性质 ?? ? ? ?≤>=) 0(1) 0(0)(x x x H 当分布具有分形特征时，相关函数为幂型，即 g D C -δ δ)( H g D d D -= 式中，d ——Euclid 空间维数 关联维数便于从实验中直接测定，既可用于空间序列，又可用于时间序列。 2.2.4物料粉碎过程的粒度分布分形模型研究 目前，描述粉体颗粒大小和形状时，会采用各种不同的等效粒径参数。不过，对于不同表面积的颗粒，可能会具有相同的等效粒径，但其物理性质和化学性质一般是不同的。因此，仅从颗粒的等效粒径参数来描述颗粒的外貌是不完善的。究其本质，是因为传统的对于粉体颗粒的研究模型建立在欧氏几何的理论基础上，而欧氏几何模型绝大多数是线性模型。但在对于粉体的研究中，物料粉碎形成凹凸不圆润、破碎不连续的复杂几何体，因此很多问题无法或是很难用欧氏几何的方法来解决。而分形直接从非线性复杂系统的本身入手，从未经简化的抽象的研究对象本身去认识其内在的规律性，所以可采用分形理论来研究粉体颗粒的问题。 众所周知，物料粉碎的机理是将物料通过机械力的作用破碎成小颗粒，然后再将小颗粒粉碎成微观颗粒。显然，物料破碎的过程具有自相似性，而具有自相似性的物体必定满足标度不变性，或者说没有特征长度。因此，可以确定物料的粉碎过程具有分形特征，可以应用分形理论来研究粉碎机理及其产物的表征[龚莉. 基于球磨法的超细石英粉体分形研究[D].哈尔滨：哈尔滨工业大学，2007] [李德建，贾雪娜，苗金丽，等. 花岗岩岩爆试验碎屑分形特征分析[J]. 岩石力学与工程学报，2010，29（增1）：3280-3289] [孟凤英，丁启朔，鹿飞，等. 冲击作用下粘性土壤破碎体的分形维数与影响因素[J]. 农业机械学报，2009，40（3）：108-112]。 2.2.4.1粒度分布的分形模型的建立 为建立物料粉碎过程的分形模型，特作以下两个假设[张省现. 散体的分形特性和热物性的分形表征[D].北京：北京科技大学，2005][夏德宏，张省现，吴祥宇. 煤粉碎粒度分布的分形模型[J].矿冶，2005，14（1）：36-40]： （1）物料颗粒的粉碎概率为一常数，设为P ； （2）每一物料颗粒粉碎后产生m 种粒径的小颗粒，其概率分布和粉碎相似比固定不变， 设为},...,,{21m f f f f =和},...,,{21m r r r r =，其中，∑==m i i f 1 1，10< 从以上两个假设条件出发可以得出，每次粉碎出来的颗粒都是原来颗粒的缩小，这符合自相似分形的生成条件，因而可以用分形理论来求取物料粉碎的粒度分布。 由第二个假设可知，每个颗粒在粉碎后可以得到3 322311...---++=m m r f r f r f n 个小颗粒。 为方便，称颗粒群在第j 次粉碎时未粉碎的颗粒为j 次颗粒。设初始颗粒的粒径为d 0，总数为N 0，则粉碎后所生成的粉体中各次颗粒的个数可表示为： ,...2,1...)1()1(1 33 223111 01 1 0=??? ?? ? ? ??-=-=-------j r f r f r f P P N n P P N N j m m j j j j （3.1） 根据自相似分形原理和相似维数公式（2.7），粉碎后物料颗粒的粒度分布的分形维数D f 满足下式： 11 3=∑=+-m i D i i f r f P （3.2） 由公式（3.1）和（3.2）所确定的物料粉碎过程的数学模型太过于复杂，不便于实际应 用，因而有必要对其进行简化。在此，采用统计平均的简化处理方法。简化后的统计平均粒径j d 和粉碎比r 分别由以下两式确定： ,...2,11 == ∑ =j d f d m i ji i j （3.3） ,...2,11 1== = ∑ =-j r f d d r m i i i j j （3.4） 在统计平均的条件下，根据相似维数公式（2.8）可求得粒度分布维数为： r P r r P D f ln ln 3) /1ln()/ln(3 - == （3.5） 设)(j d N 和)(k d N 分别是粒径为j d 和k d 的颗粒个数，则有： ,...2,1,) )( ()(==-k j d d d N d N f D k j k j （3.6） 从模型的构造过程中可以看出，最终得到的颗粒粒径是间断配比的，而实际粉碎得到的颗粒粒径的配比是连续的。为此，把上述模型推广到连续的情形，对（3.6）式稍加改动并微分可以得到粒径位于区间（x ，x +dx ）内的颗粒的个数-dN (x )为： dx x x D x N x dN f f D D f ) 1(max max )()(+-=-（3.7） 引入颗粒的形状系数k v ，有： 3 )(x k x V v = 设颗粒的真密度为ρ，由上述两式可得粒径位于区间（x ，x +dx 内的颗粒的质量dN (x )为： f f D D f v x x x N D k x dM -=2max max )()(ρ（3.9） 定义颗粒的质量分布函数G (x )为： t M x M x G )()(= （3.10） 式中，M (x )、M t ——粒径不大于x 的颗粒的质量和颗粒系统的总质量。 ? =x x x dM x M min )()( ? = max min )(x x t x dM M 并联立式（3.9）和（3.10）得： f f f f D D D D x x x x x G ------= 3min 3max 3min 3)(（3.11） 式中，x max ——颗粒的最大粒径； x min ——颗粒的最小粒径。 对（3.11）式微分，可得颗粒的质量分布密度函数g (x )为： f f f D D D f x x x D x g -----= 23min 3max 3)(（3.12） 参照公式（3.5），公式（3.7）和（3.9-3.12）中的粒度分布维数D f 由下式确定： r P D f ln ln 3- =（3.13） 从上面的推导过程中可以看出，随着x min 的减小，其对应的颗粒个数会急剧增加，所以x min 对颗粒的个数分布有着比较大的影响。但是，对于破碎而言，在x min 减小到一定程度之后，虽然颗粒个数很多，但在颗粒群中所占的质量份额却非常小，因而可以忽略不计。尤其是对实际破碎得到的颗粒群来说，不仅x min 很难确定，而且有x min →0，所以x min 对颗粒质量分布的影响非常小，可以忽略不计。据此，对式（3.11）和（3.12）进一步简化，令x min =0可以得到以下更适合于实际破碎的分形粒度分布公式： f D x x x G -=3max ) ( )(（3.14） f f D D f x x D x g ---= 23max 3)(（3.15） 式（3.11）-（3.15）即为物料粉碎粒度分布的分形公式。其中，前两个公式适合于粉磨，后两个公式适合于破碎。 2.2.4.2传统粒度分布的分形本质 目前，国内外最常用的粒度分布有Gaudin-Schuhmann 、Alfred 和Rosin-Rammler 分布，这三种均为经验式。 Gaudin-Schuhmann 粒度分布又简称G-S 分布，如下式所示： n x x y )( max =(3.16) 式中，y ——小于粒度x 的粒级含量； x ——某个粒度； x max ——颗粒体系中的最大粒度； n ——模型参数 Alfred 粒度分布是在G-S 分布的基础上改进而来的，它克服了后者在x=0时无意义这一缺点，如下式所示： n n n n x x x x y min max min --= （3.17） 式中，y ——小于粒度x 的粒级含量； x ——某个粒度； x max ——颗粒体系中的最大粒度； x min ——颗粒体系中的最小粒度； n ——模型参数 Rosin-Rammler 粒度分布又简称R-R 分布，如下式所示： m M x x R )exp(- =（3.18） 式中，x ——某个粒度； R ——大于粒度x 的粒级含量； x M ——与R =0.386相对应的粒度； m ——模型参数。 其中，此处的R 与前式中的y 满足关系式R +y =1。 上述三种常用的经验型粒度分布是研究工作者在各自大量实验研究的基础上总结得出的。但是，从分形角度看，这三种粒度分布都可以找出其分形分布的本质；或者可以这样认为，上述这些经验型粒度分布都是分形粒度分布的特例和近似，而分形粒度分布则是一种全面的粒度分布描述。 通过式（3.16）和（3.17）分别与式（3.14）和（3.11）相比较可以得出： n D f -=3（3.19） 所以，G-S 粒度分布和Alfred 粒度分布在形式上和分形粒度分布非常相似。 对于R-R 粒度分布，把式（18）中的指数项m M x x )exp(- 按幂级数展开，可得： ...) (! 1...) (! 21)(1) exp(2+- ++- + - +=- nm M m M m M m M x x n x x x x x x （3.20） 在x< m M m M )x x ( 1) x x (-exp -==R （3.21） 由R +y =1，近似可得： m D f ?（3.22） 因此，可以认为R-R 粒度分布是在粒度较小时分形粒度分布的近似表示。 图3.6给出了分形粒度分布与上述三种常用粒度分布的比较。由图中可以看出，Alfred 粒度分布和分形粒度分布是一致的；G-S 粒度分布与破碎的分形粒度分布是一致的，与粉磨的分形粒度分布相比稍有偏差，但总体上来说还是比较相近；对于R-R 粒度分布，只是在粒度较小时和分形粒度分布相近，而在粒度较大时有一定偏差，但总体趋势相同。至于图3.6（a ）中所示的Alfred 粒度分布与G-S 粒度分布相一致的问题，由公式（3.16）与（3.17）的比较就可以得出，G-S 粒度分布可以认为是Alfred 粒度分布在x min =0时的特例。 以上分析表明，分形粒度分布包含了常用的经验型粒度分布，如G-S 、Alfred 和R-R 粒度分布。但是，分形粒度分布与常用的经验型粒度分布是在不同的物理背景下得出的，其殊途同归的原因就在于分形粒度分布是物料粉碎粒度分布的本质。 2.2.5 粉碎功耗的分形特征 近年来大量的研究表明，物料内部缺陷分布及裂纹演化具有统计自相似性[董绍华，吕英民，陈忠辉．韧性硬化材料裂纹扩展分形研究[J]．机械工程学报，2002，38（1）：47-51] [谢和平．裂纹扩展分形运动学．力学学报，1994，26（6）：757～762]，物料颗粒表面具有分形结构[曾凡桂．煤粉碎的分形机理．北京：煤炭工业出版社，2001 曾凡桂，王祖讷．煤粉碎过程中颗粒形状的分形特征．煤炭转化，1999，22（1）：27～30; 杨志远，曲建林，周安宁．超细煤颗粒形状分形维数与球磨工艺的研究．煤炭学报，2004，29（3）：342～345；董学仁，岳云龙，张仲，等．粉体颗粒表面的定量描述．中国粉体技术，2000，6（3）：1～2；李功伯，徐小荷．矿岩粉碎颗粒分形结构及其与粉碎能耗的关系．金属学报，1993，29（2）：854～858] [石修松，程展林．堆石料颗粒破碎的分形特性[J]．岩石力学与工程学报，2010，29（增2）：3852-3857]。因而，可建立粉碎功耗的分形规律。 Kaye 等人[王介强，宋守志. 关于料层粉碎的理论研究[J].中国矿业，1987，7（5）：48-50]首先用分维数的概念表征超细粉体颗粒表面的不规则性，采用气体分子吸附法测定颗粒的比表面积和当量平均直径，用表面构造的分维数D s 定量描述粉体颗粒表面的不规则性。按照能量输入正比于表面积增量原理，可得 dx x C dE s D --=41 如果考虑产品的粒度组成，则有 ?? '-= -m s d d D D dx x f dx x C E 0 4)()1 ( 式中，D f ——颗粒表面的分形维数； C ——常数。 李功伯、邓越红等运用分形理论推导出了强度与缺陷分布分数维之间的关系，建立了与Kaye 相似的粉碎颗粒粒度分布模型[李功伯，徐小荷. 矿岩粉碎颗粒分形结构与粉碎能耗的关系[J].金属学报，1993，29（2）：54-59] [邓越红，张智铁. 物料粉碎分形行为的研究[J].矿冶工程，1998，18（3）：32-36]。如果分别取D f =2、3和2.5，则积分后可分别得到Rittinger 学说、Kick 学说和Bond 学说的功耗表达式。 姚宇新[姚宇新，周传波. 粉碎能耗与粒度分布指数的相关性[J].爆破，2005，22（2）：27-30]等利用分形原理，推导出单位体积粉碎能耗的分型模型及单位体积粉碎能耗与粒度分 布的值指数的相关性，即 )11( )11( 30 30 αα ----- =- =s W W D Ds D D x x C x x C W 式中，D W ——单位体积粉碎能耗的分维数； D S ——颗粒表面的分维数； α——粒度分布指数。 2.3 突变理论（Catastrophe Theory ） 一百多年来，各国学者以粉碎过程的功耗问题为研究重心．以“面积说”、“体积说”、“裂缝说”为重心，进行了卓有成效的大量研究，揭示了粉碎过程中能耗与粉碎效果的关系。但这些研究基本上局限于动力学、平衡态、连续渐变过程和稳定过程，没有反映物料粉碎过程的不可逆、不连续、突变、非线性、开放系统等显著特点[张智铁. 物料粉碎的突变理论和耗散结构[J].国外金属矿选矿，1998（专刊）：97-101]。随着粉碎理论的发展，人们逐渐认识到物料粉碎其实是经历了非线性压实、线弹性变形、裂纹的扩展、非弹性变形破坏等过程，并非任何小的外力都能引起物料颗粒的粉碎，只有当外力足以克服内部质点间的内聚力，宏观裂纹快速扩展，粉碎才能突然发生，从这个角度来说物料粉碎是突变过程[吴浩. 高油脂物料微细粉碎技术及实验研究[D].无锡：江南大学，2008]。因此，运用突变理论和耗散结构来研究物料粉碎过程就是顺理成章的了。 2.3.1 突变理论 突变理论的数学渊源是常微分方程的三要素：结构稳定性、动态稳定性和临界集。1930年出现的Morse 引理成为突变理论的重要数学基础，1955年美国的Whitney 在《曲面到平面的映射》中阐释了光滑映射的奇异现象，1972年法国的R.Thom 出版了专著《结构稳定性和形态生成学》，标志着突变理论的诞生。而后，E.C.Zeeman 、https://www.wendangku.net/doc/609416946.html,rnold 等人完善了突变理论，使突变理论从理论研究走向实际应用。 “突变”愿意指某种导致本身崩溃、毁坏、消灭的变化。托姆的突变理论并不是强调“突变”的结果是灾难性的，而是突出研究的过程是从原有形态、结构突然地跳跃到根本不同的另一种新形态、新结构的不连续的过程[樊松. 基于突变理论的图像边缘检测技术研究[D].哈尔滨：哈尔滨工程大学，2008]。突变论综合运用拓扑学、奇点理论和结构稳定性等数学工具处理，以系统结构稳定性为出发点，处理现实世界具有矛盾性的不连续现象。 一般所讲的突变理论实际上是初等突变理论，它的主要数学渊源是根据势函数把临界点分类，进而研究系统在平衡状态下各种临界点附近非连续性态的特征，即为有限个数的若干个初等突变。把这样得到的知识与对不连续现象的理论分析和观察资料相结合，就可以建立数学模型，更深刻地认识不连续现象的机理并做预测[邹建成，赵占军. 基于突变理论的图像匹配[J].北方工业大学学报，2010，22（1）：1-8]。Thom 通过数学推导得出自然界的各种突变共有7种基本的方式，分别为折叠型、尖点型、燕尾型、蝴蝶型、双曲脐型、椭圆脐型和抛物脐型，这些模型的控制变量都不多于4个，状态变量不多于2个[毕晓君，樊松. 基于突变理论的图像边缘检测技术[J].应用科技，2008，35（6）：1-7]。由突变模型(系统)的势函数和分歧方程导出了各常用初等突变模型的归一化公式，如表2-1所示[戚杰. 突变理论在环境建模中的应用研究[D].武汉：华中科技大学，2005] 2.3.2 突变理论在粉碎工程中的应用研究 突变理论中，状态变量反映了控制变量对系统作用的效果，用来衡量粉碎程度。一般可以用粒度分布、比表面积等参数作为状态变量，由这些控制变量和状态变量组成的势函数，反映了物料系统的粉碎特性。物料粉碎系统的势函数，既可以有明确的物理意义，也可以只是一个数学概念。 关于突变模型的运用有两种类型。一种是直接运用数学模型，并给模型中的状态变量、控制变量赋予明确的物理意义。这种处理方法直观、简单，各参量物理意义清晰，但模型缺乏严密的数学推导的过程。张浩[张智铁.物料粉碎理论[M]. 长沙: 中南工业大学出版社， 1995] 采用这种方法，提出以破碎力作为状态变量，物料所接受能量、颗粒尺寸、颗粒瞬时强度作为控制变量的突变模型。梁焱等采用R-R 粒度分布式中的参数x e 和n 作为状态变量， 反映粉碎产物的均匀性和破碎程度，并构造状态变量) /(0D x e n z -=，计算表明该状态变量可 以准确地反映系统破碎状态[梁焱，郭有仪，郁永章. 橡胶低温破碎条件的突变分析[J].低温工程，2010（3）：34-40]。 另一种是通过严格的数学运算导出突变模型，它综合地反映了影响物料粉碎的主要因素对于状态变量、控制变量乃至势函数的影响，而要定义状态变量和控制变量的物理意义则是困难的。母福生[母福生，张智铁，秦龙头.破碎过程能量消耗规律的规定[J].焦作工学院学报， 1996，15 ( 4) : 54-58]利用物料系统消耗的能量作为势函数，将其进行泰勒展开，经截断和扩展处理，转化成尖点突变的标准形式。 20世纪8 0年代以来，中南工业大学的张志铁教授运用突变理论，从物料系统状态的失稳和稳定性研究出发， 将物料粉碎机理研究推进到非线形热力学和非线性动力学范畴，阐明了物料粉碎是一个由定态到失稳再到新定态过程的耗散结构[张志铁．物料粉碎理论[M]．长沙：中南工业大学出版社，1995]。 张智铁等的研究发现：物料粉碎过程的体现了不可逆性、不连续性、突变性、相关性和远离平衡态的非线性等显著特点，将对物料粉碎过程中状态演变行为的研究转化为对系统势函数突变行为的研究，并提出了粉碎功耗的三种突变模型，即尖点模型 Z a Z a Z W 22 14 ++=，燕尾模型PF DF EF F F V +++=2 3 5 )(和 R vR uR R R V ω+++=2 3 5 )( 3 粉碎过程动力学研究——粉碎速度论模型 研究表明，单纯的粉碎功耗理论不能代表全部的粉碎理论，也无法完整地描述整个粉碎过程。另外，古典的粉碎理论把固体物料的粉碎过程描写为物料的平均粒度随时间减小或平均粒、比表面积随时间增加的连续速度过程，但事实上，实际的粉碎过程是固体物料多次反复破碎的非线性过程，并非单一的速度过程。 在粉碎过程中，多数粉碎机都反复地执行着单一的粉碎操作，所以可把粉碎过程看作速度过程来处理，于是便提出了“粉碎速度论”的概念，它是把粉碎过程数式化，然后求解基本数式，并且跟踪其现象的过程。 [盖国胜. 超细粉碎分级技术——理论研究、工艺设计、生产应用[M].北京：中国轻工业出版社，2000 P25] [蒋阳，陶珍东.粉体工程[M].武汉：武汉理工大学出版社，2008 P92] [应德标，张育才，张云洪. 超细粉体技术[M].北京：化学工业出版社，2006 P63] 3.1 粉碎动力学 [盖国胜，陶珍东，丁明.粉体工程[M].北京：清华大学出版社，2009 P77] [陶珍东，郑少华.粉体工程与设备（2版）[M].北京：化学工业出版社，2010 P71] 粉碎过程动力学研究目的在于了解粉碎过程进行的速度以及与之有关的影响因素，从而实现对粉碎过程的有效控制，具体而言，就是研究物料中不同粒度级别的质量随粉碎时间的变化规律。 假设：粗颗粒级别物料随粉碎时间的变化率为-d Q /d t ，影响粉碎过程进行速度的因素及其影响程度分别为A 、B 、C …和α、β、γ...，则粉碎速度可用以下动力学方程表示： ...γ β α C B KA dt dQ =- 式中，K ——比例系数； α+β+γ+...??动力学级数，若其和值分别为0、1、2，则分别称为零级、一级、二级粉碎动力学。 3.1.1 零级粉碎动力学 设：粉碎前的粉碎设备内的物料无合格细颗粒，则粗颗粒的浓度为1，在粉碎条件不变时，待磨粗颗粒量的减少仅与时间成正比，即 0K dt dQ =- 此即物料的零级粉碎动力学。 阿尔比特等认为，粉磨过程中细颗粒的生成速率符合零级粉碎动力学，指出当磨机中存在大于预期细颗粒的粗颗粒时，这些粗颗粒优先被粉磨，因而对细颗粒产生屏蔽作用。预期细颗粒的产生速率为常数，则有 a x x x x t k t k m )( 0== 式中，x 0——细颗粒临界粒径； k 0——细颗粒生成速率，有 a x x x k k )( 0= 3.1.2 一级粉碎动力学 一级粉碎动力学认为，粉磨速度与无聊中不合格粗颗粒含量（R ）成正比。 1925 年，E.W.Daris 首先提出了粉磨动力学微分方程，1930 年，A.W.Faren.Wold 进一步做了工作，求得粉磨动力学一阶方程式：[陈华. 磨内筛分技术在管磨机高细高产粉磨中的应用研究[D].无锡：江南大学，2007]。 R K dt dQ 1=- 将上式积分，可得 C t K R +-=1ln 若t =0时，R =R 0，则C =ln R 0，代入上式