数学建模B作业全部 部分答案
2015年数学建模B作业
（全部，共23题）
作业要求
1.作业解答写在实验报告纸上，无需抄题，但要写题号。
2.实验报告纸上要写程序，程序中可不抄数据。
3.将程序运行的重要结果有选择的展示在实验报告纸上，并做结果分析。
4.从第三周开始，每周要交1次作业。每次作业的题目根据进度由老师安排。如老师未作说明，那就是：课讲到哪里作业就做到哪里。
5.如何收作业，听任课老师安排。
6.不收作业的打印版、电子版。
第一部分多元统计
2015-1 回归分析
某种水泥在凝固时放出的热量y(k/g)与水泥中的3CaOAl2O3的成分（%），3CaOSiO2的成分x2（%）,4CaOAl2O3Fe2O3的成分x3（%）,2CaOSiO2的成分x4（%）的观测值如下表，试以y为因变量，以x1，x2，x3，x4为自变量建立多元回归方程并作显著性检验。
样本点x1 x2 x3 x4 y
1 7 26 6 60 78.5
2 1 29 15 52 74.3
3 11 56 8 20 104.3
4 11 31 8 47 87.6
5 7 52
6 33 95.9
6 11 55 9 22 109.2
7 3 71 17 6 102.7
8 1 31 22 44 72.5
9 2 54 18 22 93.1
10 21 47 4 26 115.9
11 1 40 23 34 83.8
12 11 66 9 12 113.3
13 10 68 8 12 109.4
解：考虑到变量间可能存在多重共线性，采用逐步回归，程序如下：
data ex;input x1-x4 y @@;
cards;
7 26 6 60 78.5
1 29 15 5
2 74.3
11 56 8 20 104.3
11 31 8 47 87.6
7 52 6 33 95.9
11 55 9 22 109.2
3 71 17 6 102.7
1 31 2
2 44 72.5 2 54 18 22 93.1 21 47 4 26 115.9 1 40 2
3 3
4 83.8 11 66 9 12 113.3 10 68 8 12 109.4 ;
proc reg ;
model y=x1-x4/selection =stepwise; run ;
程序运行最终结果如下：
线性回归方程为：2166.047.158.52x x y ++=，由于几处pr>F 的值均小于0.0001，故回归方程的线性性及各参数的显著性检验均通过，且拟合优度达到R 2=0.9787。
2015-2 聚类分析
DNA 是由A ，T ，C ，G 这4种碱基按一定顺序排成的序列，长短不一，其中碱基含量的百分比不同通常能揭示该序列的一些规律，试根据下表所给出的20条DNA 序列的碱基含量百分比对其20条DNA 序列进行分类。 （注，计算式下面的数据需要转置） 1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A 33 30 30 47 26 39 39 31 23 20 39 36 28 33 32 40 39 32 24 22 T 15 17 7 32 12 14 21 21 17 15 55 55 57 55 71 51 29 55 62 62 C 19 18 24 12 26 14 11 18 23 30 5 3 11 9 0 9 27 13 16 19 G 44
46
50
20
47
44
40
41
48
45
11
16
14
13
7
10
15
10
8
7
解：依题意，首先将原始数据进行处理，转化成百分比，程序如下： data ex;input a t c g@@; cards ;
0.2973 0.1351 0.1712 0.3964
0.2703 0.1532 0.1622 0.4144
0.2703 0.0631 0.2162 0.4505
0.4234 0.2883 0.1081 0.1802
0.2342 0.1081 0.2342 0.4234
0.3514 0.1261 0.1261 0.3964
0.3514 0.1892 0.0991 0.3604
0.2793 0.1892 0.1622 0.3694
0.2072 0.1532 0.2072 0.4324
0.1818 0.1364 0.2727 0.4091
0.3545 0.5000 0.0455 0.1000
0.3273 0.5000 0.0273 0.1455
0.2545 0.5182 0.1000 0.1273
0.3000 0.5000 0.0818 0.1182
0.2909 0.6455 0 0.0636
0.3636 0.4636 0.0818 0.0909
0.3545 0.2636 0.2455 0.1364
0.2909 0.5000 0.1182 0.0909
0.2182 0.5636 0.1455 0.0727
0.2000 0.5636 0.1727 0.0636
;
proc cluster method=single; /*最短距离法*/
proc tree;run;
聚类图如下，根据动态聚类图可以看出，此处20个DNA序列分成三类较为合适，具体情况如下：
第一类：4，17；
第二类：1，2，3，5，6，7，8，9，10；
第三类：11，12，13，14，15，16，18，19，20
2015-3 判别分析
观测3名健康人和4名心肌梗塞病人心电图的3项指标x1，x2，x3所得观测值如下表，试判别心电图3项指标为（400.72，49.46，2.25）的人属于两类中的哪一类，并指出哪个指标在判别分析中占有最重要的地位。
类病人编号x1x2x3
健康人1 436.70 49.59 2.32
2 290.67 30.02 2.46
3 352.53 36.26 2.36
心肌梗塞病人
1 510.47 67.64
1.73
2 510.41 62.71 1.58
3 470.30 54.4. 1.68
4 364.12 46.26 2.09
解：根据判别分析编写程序如下：
data ex;input leibie x1 x2 x3@@;
cards;
1 436.70 49.59 2.32
1 290.67 30.0
2 2.46
1 352.53 36.26 2.36
2 510.47 67.64 1.73
2 510.41 62.71 1.58
2 470.30 54.4. 1.68
2 364.12 46.26 2.09
;
data ex1;input x1 x2 x3@@;
cards;
400.72 49.46 2.25
;
proc discrim data=ex testdata=ex1 anova manova simple list testout=ex2;
class leibie;
proc print data=ex2;run;
根据运行结果知，所建立的判别规则误判率为0：
最终判别结果为该人属于第一类：
2015-4 主成分分析
某市为全面分析机械类各企业的经济效益，选择了8个不同的利润指标，14个企业关
于这8个指标的统计数据如下表，试进行主成分分析并将14个企业的经济效益进行排序。 解：编写主成分分析的程序如下： data ex;input x1-x8@@; cards ;
40.4 24.7 7.2 6.1 8.3 8.7 2.442 20.0
25.0 12.7 11.2 11.0 12.9 20.2 3.542 9.1 13.2 3.3 3.9 4.3 4.4 5.5 0.578 3.6 22.3 6.7 5.6 3.7 6.0 7.4 0.176 7.3 34.3 11.8 7.1 7.1 8.0 8.9 1.726 27.5
35.6 12.5 16.4 16.7 22.8 29.3 3.017 26.6 22.0 7.8 9.9 10.2 12.6 17.6 0.847 10.6 48.4 13.4 10.9 9.9 10.9 13.9 1.772 17.8 40.6 19.1 19.8 19.0 29.7 39.6 2.449 35.8 24.8 8.0 9.8 8.9 11.9 16.2 0.789 13.7 12.5 9.7 4.2 4.2 4.6 6.5 0.874 3.9 1.8 0.6 0.7 0.7 0.8 1.1 0.056 1.0 32.3 13.9 9.4 8.3 9.8 13.3 2.126 17.1 38.5 9.1 11.3 9.5 12.2 16.4 1.327 11.6 ;
proc princomp out =prin;var x1-x8;
proc print data =prin;var Prin1-prin8; run ;
根据运行结果，以累积贡献率超过90%为标准，可选择三个主成分：
企 业 净产值 利润率 固定资产 利润率 总产值 利润率 销售收入 利润率 产品成本 利润率
物耗利
润率 人均利 润率 流动资金 利润率 1 40.4 24.7 7.2 6.1 8.3 8.7 2.442 20.0 2 25.0 12.7 11.2 11.0 12.9 20.2 3.542 9.1 3 13.2 3.3 3.9 4.3 4.4 5.5 0.578 3.6 4 22.3 6.7 5.6 3.7 6.0 7.4 0.176 7.3 5 34.3 11.8 7.1 7.1 8.0 8.9 1.726 27.5 6 35.6 12.5 16.4 16.7 22.8 29.3 3.017 26.6 7 22.0 7.8 9.9 10.2 12.6 17.6 0.847 10.6 8 48.4 13.4 10.9 9.9 10.9 13.9 1.772 17.8 9 40.6 19.1 19.8 19.0 29.7 39.6 2.449 35.8 10 24.8 8.0 9.8 8.9 11.9 16.2 0.789 13.7 11 12.5 9.7 4.2 4.2 4.6 6.5 0.874 3.9 12 1.8 0.6 0.7 0.7 0.8 1.1 0.056 1.0 13 32.3 13.9 9.4 8.3 9.8 13.3 2.126 17.1 14
38.5
9.1
11.3
9.5
12.2
16.4
1.327
11.6
根据特征向量可以写出主成分表达式：
如第一主成分可写为如下，其它类似：
8765432136.032.037.038.038.039.030.032.01x x x x x x x x prin +++++++=
由变量前的系数大小可见，第一主成分主要是反映总产值利润率、销售收入利润率和产品成本利润率的，是用来衡量企业经营状况的一个综合指标，其它可类似分析。 另外，还可进行主成分得分分析，主成分得分的结果如下：
可见，在第一主成分上得分最高的是企业9，在第二主成分上得分最高的是企业1，在第三主成分上得分最高的是企业2。
2015-5 因子分析
有10例患者的4项肝功能指标的观测数据如下表，试作这4项指标的因子分析并对病人进行病情分析。
患者 转氨酶量 肝大指数 硫酸锌浊度
胎甲球 1 40 2.0 5 20 2 10 1.5 5 30 3 120 3.0 13 50 4 250 4.5 18 0 5 120 3.5 9 50 6 10 1.5 12 50 7 40 1.0 19 40 8
270
4.0
13
60
9 170 3.0 9 60 10
130
2.0
30
50
解：编写因子分析程序如下： data ex;
input a b c d; cards ; 40 2.0 5 20 10 1.5 5 30 120 3.0 13 50 250 4.5 18 0 120 3.5 9 50 10 1.5 12 50 40 1.0 19 40 270 4.0 13 60 170 3.0 9 60 130 2.0 30 50 ;
proc corr out=ex1;
proc factor data =ex1 outstat =ex2 method =prin priors=one
rotate =orthomax score ;
proc score data =ex score =ex2 out =ex3; proc print ;run ;
根据程序结果，按累积贡献率超过90%，选择三个公因子：
为了便于解释，旋转过后的因子模式为：
由此可写出：3211.022.096.0F F F a ++=，其它类似。 标准化因子得分系数如下：
由此有d c b a F 02.007.054.050.01+-+=，其它类似。
根据上式有因子得分结果如下：
在三个公因子上得分最高的患者依次是：4，10，8。
2015-6 典型相关分析
棉花红铃虫第一代发蛾高峰日y1（元月1日到发蛾高峰日的天数）、第一代累计百株卵量y2、发蛾高峰日百株卵量y3及2月下旬到3月中旬的平均气温x1、1月下旬到3月上旬的日照小时累计数的常用对数x2的10组观测数据如下表，试作气象指标与虫情指标间的典型相关分析。
样本点x1x2y1y2y3
1 9.
2 2.01 186 46.
3 14.3
2 9.1 2.2 169 30.7 14.0
3 8.6 2.3 171 144.6 69.3
4 10.2 2.2 171 69.2 22.7
5 5.
6 2.1 181 16.0 7.3
6 6.1 2.2 174 2.
7 1.3
7 8.2 2.1 172 26.3 7.9
8 8.8 1.9 186 247.1 85.2
9 9.7 2.1 176 53.6 25.3
10 10.3 2.2 161 62.7 29.3
解：编写程序如下：
data ex; input x1-x2 y1-y3@@;
cards;
9.2 2.01 186 46.3 14.3
9.1 2.2 169 30.7 14.0
8.6 2.3 171 144.6 69.3
10.2 2.2 171 69.2 22.7
5.6 2.1 181 1
6.0
7.3
6.1 2.2 174 2.7 1.3
8.2 2.1 172 26.3 7.9
8.8 1.9 186 247.1 85.2
9.7 2.1 176 53.6 25.3
10.3 2.2 161 62.7 29.3
;
proc cancorr;
var x1-x2;
with y1-y3; run ;
根据运行结果，按累计贡献率达到90%及显著性的要求，选定典型变量：
典型变量的表达式子可以根据以下结果写出：
21151.812.0x x V +=，321107.003.008.0y y y W +--=
可见V1主要反映的是x2,W1主要反映的是y3,由于V1和W1是关系最强的一对典型变量，也意味着x2对y3有着最重要的影响。从下面还可以看出各单个变量与典型变量间的关系强弱：
第二部分 非参数统计
2015-7 方法比较
某制造商想要比较两种不同的生产方法所花费的生产时间是否有差异。随机地选取了11个工人，每一个工人都分别使用两种不同的生产方法来完成一项相同的任务，在样本中的每一个工人都做了观察。数据见表，试用Wilcoxon秩和检验这两种方法有无差异？
工人编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
方法1 10.2 9.6 9.2 10.6 9.9 10.2 10.6 10.0 11.2 10.7 10.6 方法2 9.5 9.8 8.8 10.1 10.3 9.3 10.5 10.0 10.6 10.2 9.8 解：提出原假设，这两组方法没有显著性差异，用配对实验的符号检验法，相应代码如下：data ex;
input x1 x2@@;
y=x1-x2;
cards;
10.2 9.5
9.6 9.8
9.2 8.8
10.6 10.1
9.9 10.3
10.2 9.3
10.6 10.5
10 10
11.2 10.6
10.7 10.2
10.6 9.8
;
proc univariate;
var y;
run;
运行结果如下：
从结果中可以看出，sign统计量为3，其显著性为0.1094，大于0.05，故接受原假设，认为这两组方法没有显著性差异。
2015-8 培训方案选择
为培训大学生志愿者为社区服务，设计了4种培训方案，记作为A,B,C,D.将报名的30
名大学生随机地分为4组，分别接受不同培训。训练一周后，按规定的要求考试，评定的成绩如下，试用非参数检验方法检验这四种培训方案的有效性是否存在显著差异？
培训方案A 60,75,62,76,73,98,86
培训方案B 72,52,68,82,74,64,87
培训方案C 61,85,78,66,70,59,69,79
培训方案D 63,58,65,71,84,77,80,89
解：提出原假设，这四种培训方案方法没有显著性差异，相应代码如下：
data ex;
do a=1to4;input n@@;
do i=1to n;
input x@@;
output;end;end;
cards;
7 60 75 62 76 73 98 86
7 72 52 68 82 74 64 87
8 61 85 78 66 70 59 69 79
8 63 58 65 71 84 77 80 89
;
proc npar1way wilcoxon;class a;var x;
run;
运行结果如下：
从结果中可以看出，Chi-Square统计量为0.5537，其显著性为0.9069，大于0.05，故接受原假设，认为四种培训方案方法没有显著性差异。
2015-9 双胞胎智力的相关分析
某研究所对10对双胞胎儿童的智力进行调查，试计算其Pearson、Spearman和Kendall 相关系数并对其进行相关性检验。
双胞胎编号先出生儿童X 后出生儿童Y
1 9.0 7.8
2 16.6 19.3
3 16.2 20.1
4 11.3 7.1
5 16.2 13.0
6 7.1 4.8
7 7.8 8.9
8 4.0 7.4
9 11.2 10.0
10 1.3 1.5
解：
求其Pearson，Spearman和Kendall相关系数，代码如下：
DATA new;
INPUT x y@@;
CARDS;
9.0 7.8
16.6 19.3
16.2 20.1
11.3 7.1
16.2 13.0
7.1 4.8
7.8 8.9
4.0 7.4
11.2 10.0
1.3 1.5
;
PROC CORR pearson spearman kendall;
VAR x y;
RUN;
结果如下：
Pearson Correlation Coefficients, N = 10
Prob > |r| under H0: Rho=0
x y
x 1.00000 0.88081
0.0008
y 0.88081 1.00000
0.0008
Spearman Correlation Coefficients, N = 10
Prob > |r| under H0: Rho=0
x y
x 1.00000 0.82067
0.0036
y 0.82067 1.00000
0.0036
Kendall Tau b Correlation Coefficients, N = 10
Prob > |r| under H0: Rho=0
x y
x 1.00000 0.67420 0.0071
y 0.67420 1.00000 0.0071
可见，x 与y 的Pearson 相关系数为0.88081，概率为0.0008，达到极显著水平；Spearman 相关系数为0.82067，概率为0.0036，达到极显著水平；Kendall 相关系数0.67420，概率为0.0071达到极显著水平；故，x 与y 显著相关。
第三部分 预测预报
2015-10 灰色预测
陕西省农业总产值数据如下： 年份 1985 1986 1987 1888 1989 1990 1991 1992 1993 1994 总产值
62.9
58.8
61.4
87.2
104.9
124.8
110.7
129.0
155.3
219.03
请建立灰色系统GM （1，1）模型，并预测1995-1997三年的农业总产值。
解：有原始时间1985-1994序列)()
0(k x ，对)()
0(k x 生成1-AGO 序列)()
1(k x 另外可得Yn 见表：
)()0(k x 、1-AGO 序列)()1(k x 、Y n
k
1
2
3 4 5
6
7
8 9 10 )()0(k x 62.9 58.8
61.4
87.2
104.9 124.8 110.7
129
155.3 219.03 )()1(k x 62.9 121.7 183.1 270.3 375.2
500
610.7 739.7
895
1114.03 Y n 58.8 61.4 87.2 104.9 124.8 110.7 129 155.3 219.03
利用MATLAB 编程得：
function [X,c,error1,error2]=example9_11() %利用MATLAB 编程预测2003年中国蔬菜产量，
%并对预测结果做残差检验和后验差检验，程序如下： X0=[62.9 58.8 61.4 87.2 104.9 124.8 110.7 129.0 155.3 219.03 ]; k=3;
[X,c,error1,error2]=GM11(X0,k) plot(1985:1994,X0,'g*-') hold on
plot(1985:1997,X) %%
function [X,c,error1,error2]=GM11(X0,k)
% 建立函数[X,c,error1,error2]=example9_3_2_3(X0,k)
% 其中X0为输入序列，k为预测长度，
% X为预测输出序列，c为后验差检验数，error1为残差，error2为相对误差
format long;
n=length(X0);
X1=[];
X1(1)=X0(1);
for i=2:n
X1(i)=X1(i-1)+X0(i); %计算累加生成序列
end
for i=1:n-1
B(i,1)=-0.5*(X1(i)+X1(i+1)); %计算B，Yn
B(i,2)=1;
Y(i)=X0(i+1);
end
alpha=(B'*B)^(-1)*B'*Y'; %做最小二乘估计
a=alpha(1,1);
b=alpha(2,1);
d=b/a; %计算时间响应函数参数
c=X1(1)-d;
X2(1)=X0(1);
X(1)=X0(1);
for i=1:n-1
X2(i+1)=c*exp(-a*i)+d;
X(i+1)=X2(i+1)-X2(i); %计算预测序列
end
for i=(n+1):(n+k)
X2(i)=c*exp(-a*(i-1))+d; %计算预测序列
X(i)=X2(i)-X2(i-1);
end
for i=1:n
error(i)=X(i)-X0(i);
error1(i)=abs(error(i)); %计算残差
error2(i)=error1(i)/X0(i); %计算相对误差
end
c=std(error1)/std(X0); %计算后验差检验数
运行结果见表格：
年份1985 1986 1987 1888 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997
总产值62.9 58.8 61.4 87.2
104.
9
124.
8
110.
7
129
155.
3
219.
03
预测值62.9
58.5
8326
68.1
5687
79.2
9499
92.2
5329
107.
3292
124.
8688
145.
2748
169.
0154
196.
6357
228.
7697
266.
155
309.
6498
残差0 0.21
6
6.75
6
7.90
5
12.6
4
17.4
7
14.1
6
16.2
7
13.7
1
22.3
9
相对误差
0.00
3
0.11
0.09
0.12
0.13
9
0.12
7
0.12
6
0.08
8
0.10
2
画出预测与实际值变化曲线，如图所示：
预测与实际值变化曲线
19841986198819901992199419961998
50
100
150
200
250
300
350
实验模型以及结果检验：由表与图的结果可见，预测值与实际值偏离不大，其后验残差检验数C=0.1475小于0.35，所以模型精度为优。
2015-11 序列预测
某车站1993-1997年各月的列车运行数量数据如下表，试用时间序列建立合适的模型。并预测1998年1月的数值
1196.8 1181.3 1222.6 1229.3 1221.5 1148.4 1250.2 1174.4 1234.5 1209.7 1206.5 1204.0 1234.1 1146.0 1304.9 1221.9 1244.1 1194.4 1281.5 1277.3 1238.9 1267.5 1200.9 1245.5 1249.9 1220.1 1267.4 1182.3 1221.7 1178.1 1261.6 1274.5 1196.4 1222.6 1174.7 1212.6 1215.0 1191.0 1179.0 1224.0 1183.0 1288.0 1274.0 1218.0 1263.0 1205.0 1210.0 1243.0 1266.0 1200.0 1306.0 1209.0 1248.0 1208.0 1231.0 1244.0 1296.0 1221.0 1287.0 1191.0 解：
（1）首先进行平稳性检验：
data a;/*a为数据名*/
input lieche@@;/*lieche为变量名*/
month=intnx('month','1jan1993'd,_n_-1);/*intnx间隔取时间变量*/
format month date.;/*月按？？？？*/
cards;
1196.8 1181.3 1222.6 1229.3 1221.5 1148.4 1250.2 1174.4 1234.5
1209.7
1206.5 1204.0 1234.1 1146.0 1304.9 1221.9 1244.1 1194.4 1281.5
1277.3
1238.9 1267.5 1200.9 1245.5 1249.9 1220.1 1267.4 1182.3 1221.7
1178.1
1261.6 1274.5 1196.4 1222.6 1174.7 1212.6 1215.0 1191.0 1179.0
1224.0
1183.0 1288.0 1274.0 1218.0 1263.0 1205.0 1210.0 1243.0 1266.0
1200.0
1306.0 1209.0 1248.0 1208.0 1231.0 1244.0 1296.0 1221.0 1287.0
1191.0
;
run ;
proc gplot;/*画图*/
plot lieche*month;/*纵轴为lieche,横轴为mouth*/
symbol v=square i=join c = red;/*图形特征，v表示点的形状，i表示图形连线的情况，c代表颜色*/
proc arima data = a;/*调用arima模块*/
identify var=lieche nlag = 22;/*延迟阶数为22阶*/
run;
运行得自相关图：
由此自相关图可看出，自相关系数很快的衰减向0，且始终控制在2倍范围内，可以认为该序列为平稳序列。
时序图：
lieche
1310
1300
1290
1280
1270
1260
1250
1240
1230
1220
1210
1200
1190
1180
1170
1160
1150
1140
01JAN9301APR9301JUL9301OCT9301JAN9401APR9401JUL9401OCT9401JAN9501APR9501JUL9501OCT9501JAN9601APR9601JUL9601OCT9601JAN9701APR9701JUL9701OCT9701JAN98
month
由图可知，此车站列车运行数量数据在一个常数值附近随机波动，而且波动范围有界，无明显趋势及周期特征，基本可以视序列为平稳序列。
（2）进行随机性检验：
选取结果中The ARIMA Procedure部分：
由于统计量P值均大于0.05，则认为在0.05的显著水平下，无法拒绝原假设，即不能显著拒绝序列为纯随机序列的假定，因而认为此车站列车运行数量为纯随机波动序列，各序列之间没有任何行相关关系，即为无记忆序列，也就是说，该车站列车运行数量前后两年并无大的联系，也就是实说，我们很难根据历史信息预测未来年份此车站列车运行数量，故，该平稳序列不值得继续分析下去，对该序列分析到此结束。
2015-12 序列预测
对我国1952-1994年的社会消费品零售总额数据建立合适的时间序列模型，并预测1995-1997年的数据。
社会消费品零售总额
1952 262.7 328.8 356.1
1955 364.0 424.0 441.6 481.2 556.5
1960 595.4 537.7 543.7 544.8 572.7
1965 590.1 632.8 679.1 649.2 698.2
1970 728.8 776.9 853.5 917.7 967.4
1975 1046.4 1099.0 1174.3 1264.9 1476.0
1980 1794.0 2002.5 2181.5 2426.1 2899.2
1985 3801.4 4374.0 5115.0 6534.6 7074.2
1990 7250.3 8245.7 9704.8 12462.1 16264.7
解：（1）首先进行平稳性检验：
data a;/*a为数据名*/
input xf@@;/*xf为变量名*/
year=intnx('year','1jan1952'd,_n_-1);/*intnx间隔取时间变量*/
format year year4.; /*年按四位数显示*/
cards;
262.7 328.8 356.1
364.0 424.0 441.6 481.2 556.5
595.4 537.7 543.7 544.8 572.7
590.1 632.8 679.1 649.2 698.2
728.8 776.9 853.5 917.7 967.4
1046.4 1099.0 1174.3 1264.9 1476.0
1794.0 2002.5 2181.5 2426.1 2899.2
3801.4 4374.0 5115.0 6534.6 7074.2
7250.3 8245.7 9704.8 12462.1 16264.7
;
run ;
proc gplot;/*画图*/
plot xf*year;
symbol v=square i=join c = red;/*图形特征，v表示点的形状，i表示图形连线的情况，c代表颜色*/
proc arima data = a;/*调用arima模块*/
identify var=xf nlag = 22;/*延迟阶数为22阶*/
run;
首先分析时序图：
xf
17000
16000
15000
14000
13000
12000
11000
10000
9000
8000
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
1952195419561958196019621964196619681970197219741976197819801982198419861988199019921994
year
由时序图可得，该时间序列显著递增，初步判断此序列不平稳。
再分析自相关图：
由自相关图中，自相关系数从正数缓慢递减为到零后，又不断在负值范围内增大，该序列自相关系数并未较快的衰减为零，因此该序列并非为平稳时间序列。
（2）随机性检验：
选取结果中The ARIMA Procedure部分：
从运行结果得出，次统计量的P值均小于0.0001，则认为在0.05的显著水平下拒绝原假设，可以认为此序列为非随机序列。这说明我们可以根据历史是信息预测未来年份我国的社会消费品零售总额。
（3）模型选取
原序列自相关系数拖尾，偏自相关系数一阶截尾，根据ARMA模型相关性特征表，应该选取AR(1)模型。
首先对其进行一阶差分:
data a;/*a为数据名*/
input xf@@;/*lieche为变量名*/
year=intnx('year','1jan1952'd,_n_-1);/*intnx间隔取时间变量*/
format year year4.; /*年按四位数显示*/
dif1=dif(xf);
cards;
262.7 328.8 356.1
364.0 424.0 441.6 481.2 556.5
595.4 537.7 543.7 544.8 572.7
590.1 632.8 679.1 649.2 698.2
728.8 776.9 853.5 917.7 967.4
1046.4 1099.0 1174.3 1264.9 1476.0
1794.0 2002.5 2181.5 2426.1 2899.2
3801.4 4374.0 5115.0 6534.6 7074.2
7250.3 8245.7 9704.8 12462.1 16264.7
;
run ;
proc gplot;/*画图*/
plot dif1*year ;
symbol v=square i=join c = red;/*图形特征，v表示点的形状，i表示图形连线的情况，c代表颜色*/
proc arima data = a;/*调用arima模块*/
identify var=xf ;
proc arima data = a;/*调用arima模块*/
identify var=dif1 ;
run;
得到时序图如下：
dif1
4000
3000
2000
1000
-1000
1952195419561958196019621964196619681970197219741976197819801982198419861988199019921994
year
又该图可以简单看出差分后，数据在某个数据间波动，范围有界，无明显趋势及周期性特征，初步判断一阶差分后序列平稳。
（4）模型建立：
选取AR(1)摸型
data a;/*a?aêy?Y??*/
input xf@@;
year=intnx('year','1jan1952'd,_n_-1);/*intnx????è?ê±??±?á?*/
format year year4.; /*?ê°′????êy??ê?*/
dif1=dif(xf);
cards;
数学建模期末考试2018A试的题目与答案
华南农业大学期末考试试卷（A卷） 2012-2013学年第二学期考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试考试时间：120 分钟 学号姓名年级专业 一、(满分12分)一人摆渡希望用一条船将一只狼.一只羊.一篮白菜从河岸一边带到河岸对面.由于船的限制.一次只能带一样东西过河.绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起.怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1.2.3.4.当i在此岸时记x i = 1.否则为0；此岸的状态下用s = （x1.x2.x3.x4）表示。该问题中决策为乘船方案.记为d = (u1, u2, u3, u4).当i 在船上时记u i = 1.否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊.然后回来.带狼过河.然后把羊带回来.放下羊.带白菜过去.然后再回来把羊带过去。 或: 人先带羊过河.然后自己回来.带白菜过去.放下白菜.带着羊回来.然后放下羊.把狼带过去.最后再回转来.带羊过去。（12分） . .
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数学建模部分课后习题解答 中国地质大学 能源学院 华文静 1.在稳定的椅子问题中，如设椅子的四脚连线呈长方形，结论如何？ 解： 模型假设 （1） 椅子四条腿一样长，椅脚与地面接触处视为一点，四脚的连线呈长方形 （2） 地面高度是连续变化的，沿任何方向都不会出现间断（没有像台阶那样的情况）， 即从数学角度来看，地面是连续曲面。这个假设相当于给出了椅子能放稳的必要条件 （3） 椅子在任何位置至少有三只脚同时着地。为了保证这一点，要求对于椅脚的间 距和椅腿的长度而言，地面是相对平坦的。因为在地面上椅脚间距和椅腿长度的尺寸大小相当的范围内，如果出现深沟或凸峰（即使是连续变化的），此时三只脚是无法同时着地的。 模型建立 在上述假设下，解决问题的关键在于选择合适的变量，把椅子四只脚同时着地表示出来。首先，引入合适的变量来表示椅子位置的挪动。生活经验告诉我们，要把椅子通过挪动放稳，通常有拖动或转动椅子两种办法，也就是数学上所说的平移与旋转变换。然而，平移椅子后问题的条件没有发生本质变化，所以用平移的办法是不能解决问题的。于是可尝试将椅子就地旋转，并试图在旋转过程中找到一种椅子能放稳的情形。 注意到椅脚连线呈长方形，长方形是中心对称图形，绕它的对称中心旋转180度后，椅子仍在原地。把长方形绕它的对称中心旋转，这可以表示椅子位置的改变。于是，旋转角度θ这一变量就表示了椅子的位置。为此，在平面上建立直角坐标系来解决问题。 设椅脚连线为长方形ABCD,以对角线AC 所在的直线为x 轴，对称中心O 为原点，建立平面直角坐标系。椅子绕O 点沿逆时针方向旋转角度θ后，长方形ABCD 转至A1B1C1D1的位置，这样就可以用旋转角）0（πθθ≤≤表示出椅子绕点O 旋转θ后的位置。 其次，把椅脚是否着地用数学形式表示出来。当椅脚与地面的竖直距离为零时，椅脚就着地了，而当这个距离大于零时，椅脚不着地。由于椅子在不同的位置是θ的函数，因此，椅脚与地面的竖直距离也是θ的函数。 由于椅子有四只脚，因而椅脚与地面的竖直距离有四个，它们都是θ的函数，而由假设（3）可知，椅子在任何位置至少有三只脚同时着地，即这四个函数对于任意的θ，其函数值至少有三个同时为0。因此，只需引入两个距离函数即可。考虑到长方形ABCD 是对称中心图形，绕其对称中心O 沿逆时针方向旋转180度后，长方形位置不变，但A,C 和B,D 对换了。因此，记A ，B 两脚与地面竖直距离之和为)(θf ，C,D 两脚之和为 )(θg ，其中[]πθ，0∈，使得)()(00θθg f =成立。 模型求解 如果0)0()0(== g f ，那么结论成立。
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实验作业 对以下问题,编写M 文件: (1)用起泡法对10个数由小到大排序. 即将相邻两个数比较,将小的调到前头. (2)有一个4x5矩阵,编程求出其最大值及其所处的位置. (3)编程求 (4)一球从100米高度自由落下,每次落地后反跳回原高度的一半,再落下. 求它在第10次落地时,共经过多少米?第10次反弹有多高? (5)有一函数 ,写一程序,输入自变量的值,输出函数值. 解（1） 编写qipao.m 文件如下： function qipao(x) for j=1:10 for i=1:10-j if x(i)>x(i+1) t=x(i); x(i)=x(i+1); x(i+1)=t; end end end x 解（2） 编写maximum.m 文件如下： function maximum(x) t=max （max(x)) for i=1:4 for j=1:5 if t==x(i,j) i j end end end ∑=20 1!n n y xy x y x f 2sin ),(2++=
解(3) 编写jiehe.m文件如下所示： function jiehe(x) s=1; sum=0; for i=1:x s=s*i; sum=sum+s; end sum 解（4）: 编写high.m文件如下：function high(x) sum=0; high=100; for i=1:10 sum=sum+high; high=high/2; end high high=50; for i=1:9 sum=sum+high; high=high/2; end sum 解（5） 编写fun.m文件如下：function f=fun(x,y) f=x.^2+sin(x.*y)+2*y;
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第一部分课后习题 1.学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍。学 生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）按比例分配取整数的名额后，剩下的名额按惯例分给小数部分较大者。 （2）2.1节中的Q值方法。 （3）d’Hondt方法：将A，B，C各宿舍的人数用正整数n=1，2，3，…相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A，B，C行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位。你能解释这种方法的道理吗。 如果委员会从10人增至15人，用以上3种方法再分配名额。将3种方法两次分配的结果列表比较。 （4）你能提出其他的方法吗。用你的方法分配上面的名额。 2.在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象了吗。比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g装的3.00元，二者单位重量的价格比是1.2：1。试用比例方法构造模型解释这个现象。 （1）分析商品价格C与商品重量w的关系。价格由生产成本、包装成本和其他成本等决定，这些成本中有的与重量w成正比，有的与表面积成正比，还有与w无关的因素。 （2）给出单位重量价格c与w的关系，画出它的简图，说明w越大c越小，但是随着w的增加c减少的程度变小。解释实际意义是什么。 3.一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将调上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部 只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）： 先用机理分析建立模型，再用数据确定参数 4.用宽w的布条缠绕直径d的圆形管道，要求布条不重叠，问布条与管道轴线的夹角 应 多大（如图）。若知道管道长度，需用多长布条（可考虑两端的影响）。如果管道是其他形状呢。
数学建模寒假作业答案
数学建模协会寒假作业答案 【作业一】 某市有甲、乙、丙、丁四个居民区，自来水由A 、B 、C 三个水库供应。四个区每天必须得到保证的基本生活用水分别为30，70，10，10千吨，但由于水源紧张，三个水库每天最多只能分别供应50，60，50千吨自来水。由于地理位置的差别，自来水公司从各水库向各区送水所需付出的引水管理费不同(见表1-1，其中C 水库与丁区之间没有输水管道)，其他管理费用都是450元／千吨。根据公司规定，各区用户按照统一标准900元／千吨收费。此外，四个区都向公司申请了额外用水量，分别为每天50，70，20，40千吨。 问题一：该公司应如何分配供水量，才能获利最多? 的最大供水量都提高一倍，问那时供水方案应如何改变?公司利润可增加到多少? （灵敏度分析） 【答案】 分配供水量就是安排从三个水库向四个区送水的方案，目标是获利最多。而从题目给出的数据看，A 、B 、C 三个水库的供水量160千吨，不超过四个区的基本生活用水量与额外用水量之和300千吨，因而总能全部卖出并获利，于是自来水公司每天的总收人是900×(50+603-50)=144000元，与送水方案无关。同样，公司每天的其他管理费用为450×(50+60+50)=72000元，也与送水方案无关。所以，要使利润最大，只需使引水管理费最小即可。另外，送水方案自然要受三个水库的供应量和四个区的需求量的限制。 很明显，决策变量为A 、B 、C 三个水库(1,2,3i =)分别向甲、乙、丙、丁四个区(1,2,3,4j =)的供水量。设水库i 向j 区的日供水量为ij x 。由于C 水库与丁区之间没有输水管道，即340x =，因此只有11个决策变量。由以上分析，问题的目标可以从获利最多转化为引水费用最少，于是有： 111213142122 2324313233 min 160130220170140130190150190200230x x x x x x x x x x x =++++++++++ 约束条件有两类：一类是水库的供应量限制，另一类是各区的需求量限制。 1112131421222324313233506050x x x x x x x x x x x +++=+++=++=11213112223213233314243080 70140 1030 1050x x x x x x x x x x x ≤++≤≤++≤≤++≤≤+≤ LINGO 线性规划源程序如下所示：
数学建模模拟试题及参考答案
《数学建模》模拟试题 一、（02'） 人带着猫、鸡、米过河，船除希望要人计划之外，至多能载猫、鸡、米三者之一，而当人不在场时猫要吃鸡、鸡要吃米，设计一个安全过河方案，并使渡河次数尽量地少。 二、（02'） 雨滴的速度v 与空气密度ρ、粘滞系数μ和重力加速度g 有关，其中粘滞系数的定义是：运动物体在六题中受的摩擦力与速度梯度和接触面积的乘积成正比，比例系数为粘滞系数，用量纲分析方法给出速度v 的表达式。 三、（03'） 要在雨中从一处沿直线跑到另一处，若雨速为常数且方向不变，试建立数学，模型讨论是否跑都越快，淋雨量越少。 将人体简化成一个长方体，高m a 5.1=（颈部以下），宽m b 5.0=厚m c 2.0=，设跑步距离 ,1000m d =跑步最大速度s m v m /5=，雨速s m u /4= ，降雨量h cm w /2=，记跑步速度为v ，按以下步骤进行讨论； （1）不考虑雨的方向，设降雨淋遍全身，以最大速度跑步，估计跑完全程的总淋雨量 （2）雨从迎面吹来，雨线与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为θ，如图1建立总淋雨量与速度v 及参数θ,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算0 30,0==θθ时的总淋雨量。 （3））雨从背面吹来，雨线方向与跑步方向在同一铅直平面内，且与人体的夹角为?，如图2建立总淋雨量与速度v 及参数?,,,,,,w u d c b a 之间的关系，问速度v 多大，总淋雨量最少，计算030=θ时的总淋雨量。 四、（03'） 建立铅球掷远模型，不考虑阻力，设铅球初速度为v ，出手高度为h 出手角度为α（与地面夹角），建立投掷距离与α,,h v 的关系式，并在h v ,一定的条件下求最佳出手角度。
西南大学2016年春《数学建模》作业及答案(已整理)(共5次)
西南大学2014年春《数学建模》作业及答案(已整理) 第一次作业 1：[填空题] 名词解释: 1．原型 2．模型 3．数学模型 4．机理分析 5．测试分析 6．理想方法 7．计算机模拟 8．蛛网模型 9．群体决策 10．直觉 11．灵感 12．想象力 13．洞察力 14．类比法 15．思维模型 16．符号模型 17．直观模型 18．物理模型19．2倍周期收敛20．灵敏度分析21．TSP问题22．随机存储策略23．随机模型24．概率模型25．混合整数规划26．灰色预测 参考答案： 1．原型：原型指人们在现实世界里关心、研究或者从事生产、管理的实际对象。2．模型：指为某个特定目的将原形的某一部分信息简缩、提炼而构造的原型替代物。3．数学模型：是由数字、字母或其它数字符号组成的，描述现实对象数量规律的数学公式、图形或算法。4．机理分析：根据对客观事物特性的认识，找出反映内部机理的数量规律，建立的模型常有明显的物理意义或现实意义。5．测试分析：将研究对象看作一个"黑箱”系统，通过对系统输入、输出数据的测量和统计分析，按照一定的准则找出与数据拟合得最好的模型。6．理想方法：是从观察和经验中通过想象和逻辑思维，把对象简化、纯化，使其升华到理状态，以其更本质地揭示对象的固有规律。7．计算机模拟：根据实际系统或过程的特性，按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行情况，并依据大量模拟结构对系统或过程进行定量分析。8．蛛网模型：用需求曲线和供应曲线分析市场经济稳定性的图示法在经济学中称为蛛网模型。9．群体决策：根据若干人对某些对象的决策结果，综合出这个群体的决策结果的过程称为群体决策。10．直觉：直觉是人们对新事物本质的极敏锐的领悟、理解或推断。11．灵感：灵感是指在人有意识或下意识思考过程中迸发出来的猜测、思路或判断。12．想象力：指人们在原有知识基础上，将新感知的形象与记忆中的形象相互比较、重新组合、加工、处理，创造出新形象，是一种形象思维活动。13．洞察力：指人们在充分占有资料的基础上，经过初步分析能迅速抓住主要矛盾，舍弃次要因素，简化问题的层次，对可以用那些方法解决面临的问题，以及不同方法的优劣作出判断。14．类比法：类比法注意到研究对象与以熟悉的另一对象具有某些共性，比较二者相似之处以获得对研究对象的新认识。15．思维模型：指人们对原形的反复认识，将获取的知识以经验的形式直接储存于人脑中，从而可以根据思维或直觉作出相应的决策。16．符号模型：是在一定约束条件或假设下借助于专门的符号、线条等，按一定形式组合起来描述原型。17．直观模型：指那些供展览用的实物模型以及玩具、照片等，通常是把原型的尺寸按比例缩小或放大，主要追求外观上的逼真。18．物理模型：主要指科技工作者为一定的目的根据相似原理构造的模型，它不仅可以显示原型的外形或某些特征，而且可以用来进行模拟实验，间接地研究原型的某些规律。19．2倍周期收敛：在离散模型中，如果一个数列存在两个收敛子列就称为2倍周期收敛。20．灵敏度分析：系数的每个变化都会改变线性规划问题，随之也会影响原来求得的最优解。为制定一个应付各种偶然情况的全能方法，必须研究以求得的最优解是怎样随输入系数的变化而变化的。这叫灵敏性分析。21．TSP问题：在加权图中寻求最佳推销员回路的问题可以转化为在一个完备加权图中寻求最佳哈密顿圈的问题，称为TSP问题。22．随机存储策略：商店在订购货物时采用的一种简单的策略，是制定一个下界s和一个上界S，当周末存货不小于s时就不定货；当存货少于s 时就订货，且定货量使得下周初的存量达到S，这种策略称为随机存储策略。23．随机模型：如果随机因素对研究对象的影响必须考虑，就应该建立随机性的数学模型，简称为随机模型。24．概
数学建模优化问题经典练习
1、高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资源为金属板、劳 万元，可使用的金属板有500t，劳动力有300人/月，机器有100台/月，此外，不管每种容器制造的数量是多少，都要支付一笔固定的费用：小号为100万元，中号为150万元，大号为200万元，现在要制定一个生产计划，使获得的利润为最大， max=4*x1+5*x2+6*x3-100*y1-150*y2-200*y3; 2*x1+4*x2+8*x3<=500; 2*x1+3*x2+4*x3<=300; 1*x1+2*x2+3*x3<=100; @bin(y1); @bin(y2); @bin(y3); y1+y2+y3>=1; Global optimal solution found. Objective value: 300.0000 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 100.0000 0.000000 X2 0.000000 3.000000 X3 0.000000 6.000000 Y1 1.000000 100.0000 Y2 0.000000 150.0000 Y3 0.000000 200.0000 Row Slack or Surplus Dual Price 1 300.0000 1.000000 2 300.0000 0.000000 3 100.0000 0.000000 4 0.000000 4.000000 5 0.000000 0.000000
数学建模题目及答案
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很 可能是否定的。 因此对这个问题我们假设： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设 条件成立，那么答案是肯定的。以长方 桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图 所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、、D的初始位置在与x轴平行，再 假设有一条在x轴上的线,则也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令() fθ为A、B离地距离之和，
()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3） ，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =(0)0g >（若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，与互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 10； 10=235/1000；
数模模糊数学作业题目答案
1、（模糊聚类）已知我国31个省农业生产条件的5大指标数据。 五大指标的数据 （1）作聚类图。并告知分5类时，每一类包含的省份名称（列表显示）。 （2）若分为3类，问相似水平（就是阈值）不能低于多少 解：新建,将全部数据存入该,打开MATLAB,在命令窗口输入： >>datastruct=importdata('') 检查一下数据是否导入正确： >> %这里是31*5的数值矩阵 >>datastruct.textdata%这里是31*1的省名称文本矩阵 >>fuzzy_jlfx(3,5, %调用网站所给的模糊数学聚类程序包
9 311.000.83 0.67170.93 1 150.91 2130.91 3290.91 4260.90 5110.89 6190.89 7100.89860.88 9310.88 10160.88 11120.87 12210.8713180.87 14230.85 15220.85 16200.8517140.84 18300.83 19270.83 2070.83 21280.82 22250.82 23240.81 2480.80 2550.79 2640.79 2730.76 2820.74 2910.67 30 根据编号代表意义，可知分5类时的省份编号为： 第一类：9、上海 第二类：1、北京 2、天津 第三类：3、河北 第四类：4、山西 第五类：其余省市自治区都属于第五类 （2）若分成3类，由聚类图可知阈值应在（,）内。 2、（模糊评价）对某水源地进行综合评价，取U 为各污染物单项指标的集合，取V 为水体分级的集合。可取U(矿化度，总硬度，NO3-，NO2-，SO42-)，V （I 级水，Ⅱ级水，Ⅲ级水，Ⅳ级水，V 级水）。现得到该水源地的每个指标实 I 级水 Ⅱ级水 Ⅲ级水 Ⅳ级水 V 级水 矿化度 0 0 0 总硬度 0 0 0 硝酸盐 0 0 0 亚硝酸盐 0 0 0 硫酸盐 几级水 解：在matlab 命令窗口内输入数据： >> V=[0 0 0; 0 0 0; 0 0 0; 0 0 0; 0 0 0]; >> A=[,,,,]; >> fuzzy_zhpj(2,A,V) % 调用网站所给的模糊综合评判程序包 ans =
数学模型吕跃进数学建模A试卷及参考答案
数学建模A试卷参考答案 一．概念题（共3小题，每小题5分，本大题共15分） 1、什么是数学模型？(5分) 答：数学模型可以描述为，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的简化假设，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构。 2、数学建模有哪几个过程？(5分) 答：数学建模有如下几个过程：模型准备，模型假设，模型构成，模型求解，模型分析，模型检验，模型应用。 3、试写出神经元的数学模型。 答：神经元的数学模型是 其中x＝（x1，…x m）T输入向量，y为输出，w i是权系数；输入与输出具有如下关系： θ为阈值，f（X）是激发函数；它可以是线性函数，也可以是非线性函数．（5分） 二、模型求证题（共2小题，每小题10分，本大题共20分） 1、（l）以雇员一天的工作时间t和工资w分别为横坐标和纵坐标，画出雇员无差别曲线族的示意图。解释曲线为什么是你画的那种形状。(5分) （2）如果雇主付计时工资，对不同的工资率(单位时间的工资)画出计时工资线族。根据雇员的无差别曲线族和雇主的计时工资线族，讨论双方将在怎样的一条曲线上达成协议。(5分) 答：（l）雇员的无差别曲线族f（w，t）=C是下凸的，如图1，因为工资低时，他愿以较多的工作时间换取较少的工资；而当工资高时，就要求以较多的工资来增加一点工作时间． （2）雇主的计时工资族是w=at，a是工资率．这族直线与f（w，t）=c的切点P1，P2，P3，…的连线PQ为雇员与雇主的协议线．通常PQ是上升的（至少有一段应该是上升的），见图1． 2、试作一些合理的假设，证明在起伏不平的地面上可以将一张椅子放稳。(7分)又问命题对长凳是否成立，为什么？(3分) 答：(一)假设：电影场地面是一光滑曲面，方凳的四脚连线构成一正方形。 如图建立坐标系：其中A,B,C,D代表方凳的四个脚,以正方形ABCD的中心为坐标系原点。 记H为脚A,C与地面距离之和， G为脚B,D与地面距离之和， θ为AC连线与X轴的夹角， 不妨设H(0)>0,G(0)=0,(为什么?) 令X f(θ)=H(θ)-G(θ)图二 则f是θ的连续函数,且f(0)=H(0)>0 将方凳旋转90°,则由对称性知H(π/2)=0,G(π/2)=H(0) 从而f(π/2)=-H(0)<0 由连续函数的介值定理知，存在θ∈(0,π/2)，使f(θ)=0 (二)命题对长凳也成立，只须记H为脚A,B与地面距离之和， G为脚C,D与地面距离之和， θ为AC连线与X轴的夹角 将θ旋转1800同理可证。 三、模型计算题（共5小题，每小题9分，本大题共45分）
初等数学建模试题极其标准答案
1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。 你是否走得越快，淋雨量越少呢？ 2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书 馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？ 3.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早 6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？ 4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？ 5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家 中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？ 6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先 约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至 少存在两人他们认识的人一样多。 8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10 端小孔的 面积为0.5 9.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜
坡，计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 :顶=1：a:b ，选坐v>0,而设语雨速 L( 1q -+v x ),v≤x Q(v)= L( v x -q +1),v>x 2.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周
数学建模考试题(开卷)及答案
2010年上学期2008级数学与应用数学，信息与计算科学专业 《数学建模》课程考试供选试题 第1题 4万亿投资与劳动力就业： 2008以来，世界性的金融危机席卷全球，给我国的经济发展带来很大的困难。沿海地区许多中小企业纷纷裁员，造成大量的人员失业。据有关资料估计，从2008年底，相继有2000万人被裁员，其中有1000万人是民工。部分民工返乡虽然能够从一定程度上缓解就业压力，但2009年的600多万毕业大学生给我国就业市场带来巨大压力。但可喜的是，我国有庞大的外汇储备，民间资本实力雄厚，居民储蓄充足。中国还是发展中国家，许多方面的建设还处于落后水平，建设投资的潜力巨大。为保持我国经济快速发展，特别是解决就业问题带来希望，实行政府投资理所当然。在2009年两代会上，我国正式通过了4万亿的投资计划，目的就是保GDP增长，保就业，促和谐。但是有几个问题一直困扰着我们，请你运用数学建模知识加以解决。问题如下： 1、GDP增长8%，到底能够安排多少人就业？如果要实现充分就业，2009年的GDP到底要增长多少？ 2、要实现GDP增长8%，4万亿的投资够不够？如果不够，还需要投资多少？ 3、不同的产业(或行业)吸纳的劳动力就业能力不同，因此投资的流向会有所不同。请你决策，要实现劳动力就业最大化，4万亿的投资应该如何分配到不同的产业(或行业)里？ 4、请你给出相关的政策与建议。 第2题 深洞的估算：假如你站在洞口且身上仅带着一只具有跑秒功能的计算器，你出于好奇心想用扔下一块石头听回声的方法来估计洞的深度，假定你捡到一块质量是1KG的石头，并准确的测定出听到回声的时间T=5S，就下面给定情况，分析这一问题，给出相应的数学模型，并估计洞深。 1、不计空气阻力； 2、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度成正比，比例系数k1=0.05； 3、受空气阻力，并假定空气阻力与石块下落速度的平方成正比，比例系数k2=0.0025； 4、在上述三种情况下，如果再考虑回声传回来所需要的时间。 第3题 优秀论文评选：在某数学建模比赛的评审过程中，组委会需要在一道题目的150 篇参赛论文中选择4 篇论文作为特等奖论文。评审小组由10 名评委组成，包括一名小组组长(出题人)，4 名专业评委(专门从事与题目相关问题研究的评委)，5 名普通评委(从事数学建模的教学和组织工作，参与过数学建模论文的评审)。组委会原先制定的评审步骤如下： step1:首先由普通评委阅读所有150 篇论文，筛选出20 篇作为候选论文。 Step2:然后由小组内的所有评委阅读这些候选论文，每人选择4 篇作为推荐的论文。 Step3:接着进入讨论阶段，在讨论阶段中每个评委对自己选择的 4 篇论文给出理由，大家进行讨论，每个评委对论文的认识都会受到其他评委观点的影响。 Step4:在充分讨论后，大家对这些推荐的论文进行投票，每个评委可以投出4票，获得至少6 票的论文可以直接入选，如果入选的论文不足，对剩余的论文(从20篇候选论文中除去已经入选的论文)重复step2至step4 步的评审工作。如果三轮讨论后入选的论文仍然不够，则由评选小组组长确定剩下名额的归属。 如果有超过4 篇的论文获得了至少6票，则由评选小组组长确定最终的名额归属。问题:
数学建模：投资问题
投资的收益与风险问题 摘要 对市场上的多种风险资产和一种无风险资产（存银行）进行组合投资策略的设计需要考虑两个目标：总体收益尽可能大和总体风险尽可能小，而这两个目标在一定意义上是对立的。 本文我们建立了投资收益与风险的双目标优化模型，并通过“最大化策略”，即控制风险使收益最大，将原模型简化为单目标的线性规划模型一；在保证一定收益水平下，以风险最小为目标，将原模型简化为了极小极大规划模型二；以及引入收益——风险偏好系数，将两目标加权，化原模型为单目标非线性模型模型三。然后分别使用Matlab的内部函数linprog，fminmax，fmincon对不同的风险水平，收益水平，以及偏好系数求解三个模型。 关键词：组合投资，两目标优化模型，风险偏好
2.问题重述与分析 3.市场上有种资产（如股票、债券、…）()供投资者选择，某公司有数额为的 一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务分析人员对这种资产进行了评估，估算出在这一时期内购买的平均收益率为，并预测出购买的风险损失率为。考虑到投资越分散，总的风险越小，公司确定，当用这笔资金购买若干种资产时，总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量。 购买要付交易费，费率为，并且当购买额不超过给定值时，交易费按购买计算（不买当然无须付费）。另外，假定同期银行存款利率是, 且既无交易费又无风险。（） 1、已知时的相关数据如下： 试给该公司设计一种投资组合方案，即用给定的资金，有选择地购买若干种资产或存银行生息，使净收益尽可能大，而总体风险尽可能小。 2、试就一般情况对以上问题进行讨论，并利用以下数据进行计算。 本题需要我们设计一种投资组合方案，使收益尽可能大，而风险尽可能小。并给出对应的盈亏数据，以及一般情况的讨论。 这是一个优化问题，要决策的是每种资产的投资额，要达到目标包括两方面的要求:净收益最大和总风险最低，即本题是一个双优化的问题，一般情况下，这两个目标是矛盾的，因为净收益越大则风险也会随着增加，反之也是一样的，所以，我们很难或者不可能提出同时满足这两个目标的决策方案，我们只能做到的是：在收益一定的情况下，使得风险最小的决策，或者在风险一定的情况下，使得净收益最大，或者在收益和风险按确定好的偏好比例的情况下设计出最好的决策方案，这
优化建模练习题解答
例1（任务分配问题）某车间有甲、乙两台机床，可用于加工三种工件。假定这两台车床的可用台时数分别为800和900，三种工件的数量分别为400、600和500，且已知用不同车床加工单位数量不同工件所需的台时数和加工费用如下表。问怎样分配车床的加工任务，才能既满足加工工件的要求，又使加工费用最低？ 解：设在甲车床上加工工件1、2、3的数量分别为321,,x x x ，在乙车床上加工工件1、2、3的数量分别为654,,x x x 。建立以下线性规划模型： 6543218121110913m in x x x x x x z +++++= ???? ???????=≥≤++≤++=+=+=+6 ,,2,1,09003.12.15.08001.14.0500600 400 ..6543216352 41 i x x x x x x x x x x x x x t s i 例2 某厂每日8小时的产量不低于1800件。为了进行质量控制，计划聘请两种不同水平的 检验员。一级检验员的标准为：速度25件/小时，正确率98%，计时工资4元/小时；二级检验员的标准为：速度15件/小时，正确率95%，计时工资3元/小时。检验员每错检一次，工厂要损失2元。为使总检验费用最省，该工厂应聘一级、二级检验员各几名？ 解： 设需要一级和二级检验员的人数分别为21,x x 人,则应付检验员的工资为： 因检验员错检而造成的损失为： 故目标函数为： 约束条件为： 线性规划模型： 212124323848x x x x +=??+??2 1211282)%5158%2258(x x x x +=????+???2121213640)128()2432(m in x x x x x x z +=+++=???????≥≥≤??≤??≥??+??0,0180015818002581800 158258212121x x x x x x 2 13640m in x x z +=
数学建模题目及其答案(疾病诊断)
数学建模疾病的诊断 现要你给出疾病诊断的一种方法。 胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病者。从胃癌患者中抽 取5人（编号为1-5），从萎缩性胃炎患者中抽取5人（编号为6-10），以及非胃病者 中抽取5人（编号为11-15），每人化验4项生化指标：血清铜蓝蛋白（ X）、 1 蓝色反应（ X）、尿吲哚乙酸（3X）、中性硫化物（4X）、测得数据如表1 2 所示： 表1. 从人体中化验出的生化指标
* 根据数据，试给出鉴别胃病的方法。 论文题目：胃病的诊断 摘要 在临床医学中，诊断试验是一种诊断疾病的重要方法。好的诊断试验方法将对临床诊断的正确性和疾病的治疗效果起重要影响。因此，对于不同疾病不断发现新的诊断试验方法是医学进步的重要标志。传统的诊断试验方法有生化检测、DNA检测和影像检测等方法。而本文则通过利用多元统计分析中的判别分析及SPSS软件的辅助较好地解决了临床医学中胃病鉴别的问题。在临床医学上，既提高了临床诊断的正确性，又对疾病的治疗效果起了重要效果，同时也减轻了病人的负担。 判别分析是在分类确定的条件下，根据某一研究对象的各种特征值判别其类型归属问题的一种多变量统计分析方法。 其基本原理是按照一定的判别准则，建立一个或多个判别函数，用研究对象的大量资料确定判别函数中的待定系数，并计算判别指标。 , 首先，由判别分析定义可知，只有当多个总体的特征具有显著的差异时，进行判别分析才有意义，且总体间差异越大，才会使误判率越小。因此在进行判别分析时，有必要对总体多元变量的均值进行是否不等的显著性检验。 其次，利用判别分析中的费歇判别和贝叶斯判别进行判别函数的建立。 最后，利用所建立的判别函数进行回判并测得其误判率，以及对其修正。 本文利用SPSS软件实现了对总体间给类变量的均值是否不等的显著性检验并根据样本建立了相应的费歇判别函数和贝叶斯判别函数，最后进行了回判并测得了误判率，从而获得了在临床诊断中模型，给临床上的诊断试验提供了新方法和新建议。 关键词：判别分析；判别函数；Fisher判别；Bayes判别 一问题的提出 在传统的胃病诊断中，胃癌患者容易被误诊为萎缩性胃炎患者或非胃病患者，为了
数学建模中的优化问题与规划模型
与最大、最小、最长、最短等等有关的问题都是优化问题。 解决优化问题形成管理科学的数学方法：运筹学。运筹学主要分支：（非）线性规划、动态规划、图与网络分析、存贮学、排队伦、对策论、决策论。 6.1 线性规划 1939年苏联数学家康托洛维奇发表《生产组织与计划中的数学问题》 1947年美国数学家乔治.丹契克、冯.诺伊曼提出线性规划的一般模型及理论. 1. 问题 例1 作物种植安排 一个农场有50亩土地, 20个劳动力, 计划种蔬菜,棉花和水稻. 种植这三种农作物每亩地分别需要劳动力1/2 1/3 1/4, 预计每亩产值分别为110元, 75元, 60元. 如何规划经营使经济效益最大. 分析：以取得最高的产值的方式达到收益最大的目标. 1. 求什么？分别安排多少亩地种蔬菜、棉花、水稻？ x 1亩、 x 2 亩、 x 3 亩 2. 优化什么？产值最大 max f=10x 1+75x 2 +60x 3 3. 限制条件？田地总量 x 1+x 2 +x 3 ≤ 50 劳力总数 1/2x 1 +1/3x 2 +1/4x 3 ≤ 20 模型I : 设决策变量：种植蔬菜x1亩, 棉花x2亩, 水稻x3亩， 求目标函数f=110x1+75x2+60x3 在约束条件x1+x2+x3≤ 50 1/2x1+1/3x2+1/4x3 ≤20 下的最大值 规划问题：求目标函数在约束条件下的最值, 规划问题包含3个组成要素: 决策变量、目标函数、约束条件。 当目标函数和约束条件都是决策变量的线性函数时，称为线性规划问题, 否则称为非线性规划问题。 2. 线性规划问题求解方法 称满足约束条件的向量为可行解,称可行解的集合为可行域, 称使目标函数达最值的可行解为最优解. 命题 1 线性规划问题的可行解集是凸集. 因为可行解集由线性不等式组的解构成。两个变量的线性规划问题的可行解集是平面上的凸多边形。 命题2 线性规划问题的最优解一定在可行解集的某个极点上达到. 图解法：解两个变量的线性规划问题，在平面上画出可行域，计算目标函数在各极点处的值，经比较后，取最值点为最优解。 命题 3 当两个变量的线性规划问题的目标函数取不同的目标值时，构成一族平行直线,目标值的大小描述了直线离原点的远近。 于是穿过可行域的目标直线组中最远离(或接近)原点的直线所穿过的凸多边形的顶点即为取的极值的极点—最优解。 单纯形法: 通过确定约束方程组的基本解, 并计算相应目标函数值, 在可行解集的极点中搜寻最优解. 正则模型: 决策变量: x 1,x 2 ,…,x n . 目标函数: Z=c 1 x 1 +c 2 x 2 +…+c n x n . 约束条件: a 11 x1+…+a1n x n≤b1, ……a m1x1+…+a mn x n≤b m, 模型的标准化 10. 引入松弛变量将不等式约束变为等式约束. 若有 a i1x 1 +…+a in x n ≤b i , 则引入 x n+i ≥ 0, 使得 a i1 x 1 +…+a in x n + x n+i =b i 若有 a j1x 1 +…+a jn x n ≥b j , 则引入 x n+j ≥ 0, 使得 a j1 x 1 +…+a jn x n - x n+j =b j .
数学模型期末考试试题及答案
试卷学期《数学模型》期末考试A山东轻工业学院08/09学年II 页）本试卷共4< 题说明总号考次开试分考卷试，参加考试的同学可以携带任何资料，可以 使用计算器，但上述物品严禁相互借用。16分，每小题8分）一、简答题<本题满分得分）式，写出与§2.2录像机计数器的用途中，仔细推算一下<11、在阅卷人<2）式的差别，并解释这个差别；中不允许缺货的存储模型中为什么没有考虑生产 费用，在什么条件下可2、试说明在§3.1 以不考虑它；8分）二、简答题<本题满分16分，每小题得分1阅卷人?s)(ti的变化情时、对于1§5.1传染病的SIR 模型，叙述当0?况并加以证明。 E 2、在§6.1捕鱼业的持续收获的效益模型中，若单位捕捞强度的费用为捕捞强度的减函数，)0?0,b?c?a?bE,(a即，请问如何达到最大经济效益？本题满分16分，每小题8分）三、 简答题<得分s程是法图解说明为什么方策、1在§9.3 随机存储略中，请用)S?(x)?cI(I的最小正根。阅卷人0、请结合自身特点谈一下如何培养数学建模 的能力？2 分）四、<本题满分20得分219人，二年级有某中学有三个年级共1000名学生，一年级有人。现要选20名校级优秀学生，请用下列办316人，三年级有465 阅卷人Q ;<2））按比例加惯例的方法法分配各年级的优秀学生名额：<1值法。另外如果校级优秀学个，重新进行分配，并按照席位分配的理想生名额增加 到21化准则分析分配结果。得分分）16五、<本题满分阅
卷人大学生毕业生小李为选择就业岗位建立了层次分析模型，影响就业的因素考虑了收入情况、发展空间、社会声誉三个方面，有三个层次结构图如图，已知准则层。 选可业就岗位供择对目标层的成对比较矩阵1 / 4 选择就业岗位 71/1/43511????????23111/2/AB??41，比较矩阵分别为成，方案层对准则层的对 ????1????22171/51/1????117463????????3112/B?3B?1/41。，JhYEQB29bj ????32????1/21/6111/71/3????请根据层次分析方法为小李确定最佳的工作岗位。 16分）六、<本题满分得分某保险公司欲开发一种人寿保险，投保人需要每年缴纳一定数的阅卷人<额保险费，如果投保人某年未按时缴纳保费则视为保险合同终止保险公司需要对投保人的健康、疾病、死亡和退保的情况作出评估，从而制退保）。 定合适的投保金额和理赔金额。各种状态间相互转移的情况和概率如图。试建立马氏链模型分析在投保人投保时分别为健康或疾病状态下，平均需要经过多少年投保人就会出现退保或死亡的情况，以及出现每种情况的概率各是多少？5Y944Acbad 退保死亡II 学期《数学模型》期末考试A试卷解答山东轻工业 学院08/09学年0.05 0.03 分）分，每小题8一、简答题<本题满分160.15 0.07 m(m?1)???2mr?vt2?）得4分1、答：由<1，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。20.1 健康疾病2???knk2?)t?2r?n?(knm?代入得。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。，6分将 vv0.6 ???2r?r2??r，则得<2因为）。所以。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 crc，每天的平均费用是，则平均每天的生产费用为2、答：假设每件产品的生产费用为 33ccrT112??crC(T)?4分，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。 1132T1)TdC()TdC(11)T(TC?下面求最小，发现使，所以111dTdT12c1??TT，与生产费用无关，所以不考虑。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。81cr2分 二、简答题<本题满分16分，每小题8分） 1di??s?),(1s??i，1、答：由<14若）0?dtdi1s)(t??s,?0i时，4增 加; 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。分当0?dtdi1?i(ts),?0i时，达到最大值当；