函数综合题分类复习
题型一:关于函数的单调区间(若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开),极值,最值;不等式恒成立。例1.已知函数/(x) = -x3- bx2 +2x +a ,兀=2是/⑴的一个极值点?
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(I )求/⑴的单调递增区间;(II)若当*[1,3]时,f(x)-a2>-恒成立,求d的取值范围. 例2.已知函
数f(x) = x3+ax2 +ax + b的图象过点P(0 ,2).
(1)若函数/(兀)在x = -l处的切线斜率为6,求函数=f(x)的解析式;(2)若°〉3,求函数y = /(x)的单调区间。
、2x2
例3?设/(%) = ——, g(x) = ax + 5-2a(a >0)。
x + 1
(1)求/(X)在X€[0,l]上的值域;
(2)若对于任意x{G[0,1],总存在x0G[0,1]?使得g(x0) = /(%!)成立,求a的取值范围。
例4.已知函数/(%) = ? +血$图象上一点pg)的切线斜率为-3 ,
g(X)= x" + -~- x2 - (t + l)x + 3 (t > 0)
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(I )求a, 〃的值;(II )当XG[-1,4]时,求/(x)的值域;
(III)当"[1,4]时,不等式f(x) 例5.已知定义在/?上的函数f(x) = ax3-2ax2^bCa>0)在区间[-2,1]上的最大值是5,最小值是一 11. (I )求函数/(兀)的解析式;(II)若虫[-1,1]时,f\xUtx< 0恒成立,求实数兀的取值范围. 例6.已知函数/(%) = %3 + 3/7?%2 + nx + m2 ,在x = -l时有极值0,则加+ n = _______ 例7.已知函数/(x) = ^图象上斜率为3的两条切线间的距离为厶迥,函数 cr 5 (、“、3kx g(x) = f(x)---- +3. cr (1)若函数g(x)在x = 1处有极值,求g(尢)的解析式; (2)若函数g(兀)在区间[-1,1]上为增函数,且b2-mb + 4>g(x)在区间[-1,1]上都成立,求实数 加的取值范围. 题型二:已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围及函数与x轴即方程根的个数问题; (1)已知函数在某个区间上的单调性求参数的范围的常用方法有三种: (2)函数与x轴即方程根的个数问题解题步骤 例8?已知函数/(X)二丄疋-坐虫兀2, g(兀)=丄_总,且门兀)在区间(2,+oo)上为增函数. 3 2 3 (1)求实数£的取值范围;(2)若函数/(力与g(R的图象有三个不同的交点,求实数£的取值范围. 3 例9.已知函数f(x) = ax3 -3x2 +1--. a (I)讨论函数/(x)的单调性。 (II)若函数y = /(X)在A、B两点处取得极值,冃线段AB与X轴冇公共点,求实数a的取值范围。 例10.已知函数f(x)=x3—ax2—4x+4a,其中a为实数. (I)求导数广(x); (II)若广(一1) = 0,求f(x)在[―2, 2]上的最大值和最小值; (III)若f(x)在(一00, 一2]和[2, +oo)上都是递增的,求a的取值范围 例11.已知:函数/(兀)=x3 -ax2 +fex + c (I)若函数/(对的图像上存在点P,使点P处的切线与兀轴平行,求实数的关系式; (II)若函数/(对在x = -l和兀=3时取得极值且图像与兀轴有且只有3个交点,求实数c的取值范围. 例12.设y = /(x)为三次函数,冃图像关于原点对称,当x =-时,/(%)的极小值为-1? (I)求/⑴的解析式;(II)证明:当兀w(l,+oo)时,函数几无)图像上任意两点的连线的斜率恒大于0. 例13.在函数f(x) = ax3+bx(a^0)图像在点(1, /(D)处的切线与直线6x + y + 7 = 0.平行,导函数广W 的最小值为一12。(1)求&、方的值;(2)讨论方程f(x) = m解的情况(相同根算一根)。 例14.已知定义在R上的函数f(x) = ax3 + bx4-c(a,b,c e R),当x = -\时,/(兀)取得极大值3, /(0) = 1 ? (I )求于(兀)的解析式;(II)已知实数/能使函数f(x)在区间(t,t + 3)上既能取到极大值,又能 取到极小值,记所有的实数f组成的集合为M.请判断函数= 的零点个数. 例15?已知函数/(x) = kx3-3(k + l)x2-2k2+4,^f(x)的单调减区间为(0, 4) (I)求k的值; (II)若对任意的虫[-1,1],关于x的方程2x2+5x + 6z = /(r)总有实数解,求实数a的取值范圉。例 16.已知函数f(x) = ax3^bx2-x(xeR,a y b是常数),且当兀=1和兀=2时,函数/(兀)取得极值. (I)求函数几兀)的解析式;(II)若曲线y = f(x)^g(x) = -3x-m(-2 例17.已知函数正项数列满足:6/0=0,⑷=1,点P n(p^ pl)在圆F+于二丄上,(応眄 V J V 5 2 (neN + ) (I )求证:。卄1 + % =詁“ ;(II)若b n =a ll+l -2a n (neN + ) f求证:{仇}是等比数列;(III)求和:b[ + 2b2 + 3仇+ …+ nb n 例1&函数/(x) = x3-3t2x + m (XG/?,Z>0,m > /为常数)是奇函数。 (I )求实数加的值和函数/⑴的图像与兀轴交点坐标;(II)设g(x) =|/(x)|, "[0,1],求g(x) 的最大值 F(f). 例19.已知f (x)=x3+bx2+cx+2. ⑴若f(x)在x=l时冇极值一1,求b、c的值; ⑵若函数y=x? + x — 5的图象与函数y=上三的图象恰有三个不同的交点,求实数k的取值范围. 例20.设函数f(x) = ^x3 -x2 + ax , g(x) = 2x + h ,当x = l + Q 时',/(x)取得极值. (1)求a的值,并判断/(1 + V2)是函数/⑴的极大值还是极小值; (2)当% G[-3,4]吋,函数的图象冇两个公共点,求b的取值范围. 例21?已知f(x) = kx3 -x2 +x-5在R上单调递增,记AABC的三内角A、B、C的对应边分别为a、 b、c,若a2 +c2 > b2 -\-ac时,不等式/[/?2+sirr B+cos(4+0](27m+^)恒成立. (I )求实数R的取值范围;(II)求角cosB的取值范围;(III)求实数加的取值范围。题型三:函数的切线问题; 问题在点处的切线,易求; 问题2:过点作曲线的切线需四个步骤; 第一步:设切点,求斜率;第二步:写切线(一般用点斜式);第三步:根据切点既在曲线上又在切线上得到一个三次方程;第四步:判断三次方程根的个数;例22.已知函数f(x) = ax3 + bx2 + ex在点兀。处取得极小值一4,使其导数厂⑴〉0的x的取值范围为(1,3),求: (1)/(兀)的解析式; (2)若过点可作曲线y = f(x)的三条切线,求实数加的取值范围. 例23.已知f(x) = x3-ax2-4x (a为常数)在兀=2时取得一个极值, (1)确定实数r的取值范围,使函数/(兀)在区间[/,2]上是单调函数; (2)若经过点A (2, c) (CH-8)可作曲线y = /(x)的三条切线,求c的取值范围. 题型四:函数导数不等式线性规划交汇; 例24.设函数g(兀)= -x3 ^-ax2 -bx(a,b e R),在其图象上一点F(x,y)处的切线的斜率记为f(x). 3 2 (1)若方程/(兀)有两个实根分别为?2和4,求f(x)的表达式; (2)若g(x)在区间[-1,3]上是单调递减函数,求a2-^h2的最小值。 例25.已知函数/(兀)=—x3+ax2 -bx(a,b e R) (1)若y二/(x)图彖上的是(1-—)处的切线的斜率为-4,求y = /(X)的极人值。 (2)y = /(x)在区间[-1,2]±是单调递减函数,求d+b的最小值。 例26.已知函数f(x) = mx3 + nx2 ( m , n e 7?, m > /? m 0 )的图象在(2, /'(2))处的切线与兀轴平行. (I)试确定加、"的符号; (II)若函数y = f(x)在区间[n,zn]_t有最大值为m-n2,试求加的值. 题型五:函数导数不等式数列的交汇 例2 7.已知函数f⑴=」一⑺小为常数且a H 0)满足/(2) = l A/(x) = %有唯一解。 ax + b (1)求/(兀)的表达式; (2)记兀” =)(n G N且n > 1),且西=/(l),求数列{x n}的通项公式。 4 (3 )记y n=兀“ ?兀“+i,数列{儿}的前n项和为S“,求证S“ <- 例28.已知函数/(x) = x + — + b{x 0), H中 (I)若曲线y = /(x)在点P(2J、(2))处的切线方程为y = 3兀+ 1,求函数/⑴的解析式; (II)讨论函数/(兀)的单调性; (III)若对于任意的血|,2 ,不等式/(x)<10在£1上恒成立,求b的取值范围. 1 r * 例29.在数列{%}中,a x=2,a 2 =8 ,且已知函f(x) = -(a n^2 -a n^)x 3 -(3^,+1 -4a n)x ( n w N ) J丿 在X = 1时取得极值. (I)求数列仏}的通项Q J 9 (II )设3"仇=(-l)"a”,且血| +血| + ??? + ”"] v zn-3〃(-)"+'对于M G N*恒成立,求实数加的取值范围. 例30.已知函数/(x) = ix3+6Zx2-^ + l(xeR?t/ , 〃为实数)有极值,且在x = l处的切线与直线兀一y + l = 0平行. (1)求实数d的取值范围; (2)是否存在实数°,使得函数.f(x)的极小值为1,若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理 由; 例31.已知函数f(x) = ^ax3 -^x2 +cx + d (a、c、deR)满足/(0)二0,广⑴二0 且广(x) > 0 在R 上恒成立。 (1)求a、c、d 的值;(2) ^/:(x) = —x2 -bx + — -—,解不等式广(x)+ /?(%) < 0 ; 4 2 4 (3)是否存在实数m,使函数g(x) =在区间[m, m+2]上有 最小值一5?若存在,请求 出实数m的值,若不存在,请说明理由。 例32.设函数f(x) = -x(x-a)2( XG 7?),其中 & w 7? (1)当G =1时,求曲线y = /(x)在点(2, /(2))处的切线方程; (2)当心0时,求函数几兀)的极大值和极小值; (3)当a>3时,证明存在k e[-l,0],使得不等式f(k - cos x) > f(k2 - cos2兀)对任意的xeR恒成立。例33.已知函数/⑴=l x3 + *(p 一1)打+ qx(p,q为常数) (I)若/⑴在(坷,兀2)上单调递减,在(-8內)和(兀2冋上单调递增,且兀2 -尢1 > 1,求证:p2> 2(p + 2g); (II)若/⑴在x = l和x = 3处取得极值,且在"[-6,6]时,函数y = /(x) 的图象在直线l:\5x-y + c = 0的下方,求c的取值范围? 第五节 函数的图象 ? 基础知识 1.利用描点法作函数图象 其基本步骤是列表、描点、连线. 首先:(1)确定函数的定义域; (2)化简函数解析式; (3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);其次,列表,描点,连线. 2.函数图象的变换 (1)平移变换 ①y =f (x )的图象――――――――→a >0,右移a 个单位 a <0,左移|a |个单位y =f (x -a )的图象; ②y =f (x )的图象――――――――→ b >0,上移b 个单位b <0,下移|b |个单位 y =f (x )+b 的图象. “左加右减,上加下减”,左加右减只针对x 本身,与x 的系数,无关,上加下减指的是在f (x )整体上加减. (2)对称变换 ①y =f (x )的图象―――――→关于x 轴对称 y =-f (x )的图象; ②y =f (x )的图象―――――→关于y 轴对称 y =f (-x )的图象; ③y =f (x )的图象――――――→关于原点对称 y =-f (-x )的图象; ④y =a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y =x 对称 y =log a x (a >0且a ≠1)的图象. (3)伸缩变换 ①y =f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1,横坐标缩短为原来的1 a 纵坐标不变 01,纵坐标伸长为原来的a 倍,横坐标不变 0 导数压轴题题型 1. 高考命题回顾 例1已知函数f(x)=e x -ln(x +m).(2013全国新课标Ⅱ卷) (1)设x =0是f(x)的极值点,求m ,并讨论f(x)的单调性; (2)当m≤2时,证明f(x)>0. (1)解 f (x )=e x -ln(x +m )?f ′(x )=e x -1x +m ?f ′(0)=e 0-1 0+m =0?m =1, 定义域为{x |x >-1},f ′(x )=e x -1 x +m = e x x +1-1 x +1 , 显然f (x )在(-1,0]上单调递减,在[0,+∞)上单调递增. (2)证明 g (x )=e x -ln(x +2),则g ′(x )=e x -1 x +2 (x >-2). h (x )=g ′(x )=e x -1x +2(x >-2)?h ′(x )=e x +1 x +22>0, 所以h (x )是增函数,h (x )=0至多只有一个实数根, 又g ′(-12)=1e -13 2 <0,g ′(0)=1-1 2>0, 所以h (x )=g ′(x )=0的唯一实根在区间??? ?-1 2,0内, 设g ′(x )=0的根为t ,则有g ′(t )=e t -1 t +2=0????-12 这份资料是全部内容已经完成的一部分, 写中。此资料是必修一函数部分的总结, 同学有所帮助。 路。部分题目仅仅是题目。 的题目,总结这一类题目的思路与方法。活学活用。 第一部分典型例题解析 一、函数部分 一、函数的值域:求函数值域的常用方法有 方法、判别式、换元、分离常数法、方程法)。 1、函数y=的值域是()。A、[0,+ B、[0,4) C[0,4] D(0,4) 解析:本题是指数函数与幂函数复合, 各自的取值范围。所以本题我们用直接分析法。 [) 40160 0160,4 x x x x ∴∴≥ ≤ Q>16-4<;要根号有意义,16-4 综上可知:16-4< 2、若函数() y f x =的值域是 1 ,3 2 ?? ?? ?? ,则函 1 ()() () F x f x f x =+的值域是()。 11051010 .,3.2,.,.3, 23223 A B C D ???????? ???????? ???????? 解析:本题是复合函数求值域,可变 11 (),()(),,3 2 f x t F x F t t t t ?? ===+∈?? ?? 。 方法一:定义求单调区间 21 212121 2112 212112 12 12 12 1212 12 12 11 (),()(),,3,, 2 111 ()()()()(1). 1 011 1 11(1)0 1 1111 1 (1)0 f x t F x g t t t t t t g t g t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t ?? ===+∈?? ?? ∴-=+-+=-- -∴? - ? - Q 令> >,∴>。当>时,求得< <,<。此时<,函数递减。 当<时,求得>>,>。 此时>,函数递增 [] 1 ,1,1,3.. 2 151010 (),(1)2,(3).()2,. 2233 x x g g g F x ?? ∴∈∈ ?? ?? ?? ∴===∴∈?? ?? 。 时函数递减.时函数递增 学了不等式的话,我们可以由基本不等式求单调 11 0,2, 1. 1 1 ,3 2 t t t t t t t ∴+≥=?= = = 此时 时,函数取得最小值。然后判断 时的函数值即可。 2 34 x y x = - 的值域是() 44 ,)(,) 33 -∞+∞ U B. 22 (,)(,) 33 -∞+∞ U C.R 24 ,)(,) 33 -∞+∞ U 分离常数法。希望同学自己探究分离常数的方法。 22882 .0,. 3439129123 22 ,, 33 x y x x x =+≠∴≠ --- ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? Q U 24 .(34)2.. 3432 2 320. 3 22 ,, 33 x y y x x x x y y y ?∴-=?= -- ∴-≠?≠ ???? ∈-∞+∞ ? ? ???? U 2 1 22 x y x x + = ++ 的值域是()。 11 (,) 22 - B.(11 ,,) 22 ?? -∞-+∞ ?? ?? U C. 11 , 22 ?? -?? ?? ]1,1 - () 2 2 2 2 2 (21)210. 22110, , (21)210 11 =40.,. 22 ) yx y x y x x R y x y b a c y ?+-+-= ++=++≠ ∈ +-+-= ?? -≥∈-?? ?? 方程有意义。 在R上有根。 解得 讨论一元一次方程情况 1 1 (1) 1 y x x = ++ + ,参考例题2两个方法。 R的函数() y f x =的值域为[],a b,则函数 导数压轴题型归类总结 目 录 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1) 二、交点与根的分布 (23) 三、不等式证明 (31) (一)作差证明不等式 (二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式 四、不等式恒成立求字母范围 (51) (一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数 (三)恒成立之讨论字母范围 五、函数与导数性质的综合运用 (70) 六、导数应用题 (84) 七、导数结合三角函数 (85) 书中常用结论 ⑴sin ,(0,)x x x π<∈,变形即为sin 1x x <,其几何意义为sin ,(0,)y x x π=∈上的的点与原点连线斜率小于1. ⑵1x e x >+ ⑶ln(1)x x >+ ⑷ln ,0x x x e x <<>. 一、导数单调性、极值、最值的直接应用 1. (切线)设函数a x x f -=2)(. (1)当1=a 时,求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值; (2)当0>a 时,曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ,l 与x 轴交于点)0,(2x A 求证:a x x >>21. 解:(1)1=a 时,x x x g -=3)(,由013)(2=-='x x g ,解得3 3 ±=x . 所以当33= x 时,)(x g 有最小值9 32)33(-=g . (2)证明:曲线)(x f y =在点)2,(211a x x P -处的切线斜率112)(x x f k ='= 曲线)(x f y =在点P 处的切线方程为)(2)2(1121x x x a x y -=--. 令0=y ,得12 122x a x x +=,∴12 1 112 11222x x a x x a x x x -=-+=- ∵a x >1,∴ 021 21 <-x x a ,即12x x <. 又∵1122x a x ≠,∴a x a x x a x x a x x =?>+=+= 1 1111212222222 所以a x x >>21. 2. (2009天津理20,极值比较讨论) 已知函数22()(23)(),x f x x ax a a e x =+-+∈R 其中a ∈R ⑴当0a =时,求曲线()(1,(1))y f x f =在点处的切线的斜率; ⑵当2 3 a ≠ 时,求函数()f x 的单调区间与极值. 解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。 ⑴.3)1(')2()(')(022e f e x x x f e x x f a x x =+===,故,时,当 .3))1(,1()(e f x f y 处的切线的斜率为在点所以曲线= ⑵[] .42)2()('22x e a a x a x x f +-++= .223 2 .220)('-≠-≠-=-==a a a a x a x x f 知,由,或,解得令高中数学,函数图形考点及题型全归纳
高三导数压轴题题型归纳
高中数学必修一函数题型方法总结
高考导数压轴题型归类总结
函数与导数压轴题方法归纳与总结