历年高考数学真题全国卷版

历年高考数学真题全国卷

版

The pony was revised in January 2021

参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式

如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B = 球的体积公式

如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 334

V R π=

n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

普通高等学校招生全国统一考试

一、 选择题

1、

复数

131i

i

-++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i

2、已知集合A ＝m }，B ＝{1，m} ,A B ＝A, 则m=

A 0或3

B 0或3

C 13或3

3 椭圆的中心在原点，焦距为

4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为

A 216x +212y =1

B 212x +2

8

y =1

C 28x +24y =1

D 212x +2

4

y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ，AB=2，CC 1=22 E 为CC 1的中点，则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1

（5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列的前100项

和为 (A)

100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101

100

（6）△ABC 中，AB 边的高为CD ，若

a ·b=0，|a|=1，|b|=2，则

(A) （B ） (C) (D)

（7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β3

cos2α=

(A)

5 （B ）5

55

（8）已知F1、F2为双曲线C ：x2-y2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF1|=|2PF2|，则cos ∠F1PF2=

(A)1

4（B）

3

5 (C)

3

4 (D)

4

5

（9）已知x=lnπ，y=log52，

1

2

z=e，则

(A)x＜y＜z （B）z＜x＜y (C)z＜y＜x (D)y＜z＜x

(10) 已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝

（A）-2或2 （B）-9或3 （C）-1或1 （D）-3或1

（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互

不相同，则不同的排列方法共有

（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种

（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝

7

3。动点P从E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为

（A）16（B）14（C）12(D)10

二。填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。（注意：在试题卷上作答无效）

（13）若x，y满足约束条件则z=3x-y的最小值为_________。（14）当函数取得最大值时，x=___________。

（15）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中的系数为_________。

（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等， BAA1=CAA1=50°

则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。

三.解答题：

（17）（本小题满分10分）（注意：在试卷上作答无效）

△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，

a=2c，求c。

（18）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱

形，PA⊥底面ABCD，AC=22PA=2，E是PC 上的一点，PE=2EC.

（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小。

19. （本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。每次发球，胜方得1分，负方得0分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。

（20）设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]。

（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围。

21.（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效）

已知抛物线C：y=(x+1)2与圆M：（x-1）2+(

1

2

y

)2=r2(r＞0)有一个公共点，且在

A处两曲线的切线为同一直线l.（Ⅰ）求r；

（Ⅱ）设m 、n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m 、n 的交点为D ，求D 到l 的距离。

22（本小题满分12分）（注意：在试卷上作答无效．．．．．．．．

）

函数f(x)=x 2-2x-3，定义数列{x n }如下：x 1=2，x n+1是过两点P （4,5）、Q n (x n ,f(x n ))的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标。 （Ⅰ）证明：2≤ x n ＜x n+1＜3； （Ⅱ）求数列{x n }的通项公式。

高考数学(全国卷)

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i

2. 函数)

0y x =≥的反函数为

(A)()24x y x R =∈ (B) ()2

04

x y x =≥

(C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥

3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是

(A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >

4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

5.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3

π

个单位长度后，所得的

图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A) 13

(B) 3 (C) 6 (D) 9

6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若

2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于

7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 (A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种

8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A) 13

(B) 12

(C) 23

(D) 1

9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ??

-= ???

(A) 12- (B) 14- (C) 14 (D) 12

10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则

cos AFB ∠=

(A) 45 (B) 35 (C) 35- (D) 45

-

11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ，脱该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为 (A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π

12. 设向量,,a b c 满足11,,,602

a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值对于

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题

号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. (20

1的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .

14. 已知,2παπ??

∈ ???

，sin 5α=，则tan 2α= .

15. 已知12F F 、分别为双曲线22

:1927

x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为

()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则

2AF = .

16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上，且12B E EB =,

12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（本小题满分10分）

ABC ?的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+=，求C

18.（本小题满分12分）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）X 表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望。

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD 中，//,AB CD BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形， AB=BC=2，CD=SD=1. （Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;

（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。 20.（本小题满分12分）

设数列{}n a 满足1111

0,

111n n

a a a +=-=-- （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设1

1n n a b n

+-=

1

n

n k k S b ==∑，证明：1n S <。

21.（本小题满分12分）

已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

2

:12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率

为2-的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足

0.OA OB OP ++=

（Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一个圆上。 22.（本小题满分12分） （Ⅰ）设函数()()2ln 12

x

f x x x =+-

+，证明：当0x >时，()0f x > （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方

式连续抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p ，证明：19

2

91

10p e ??<< ???

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一．选择题 (1)复数

3223i

i

+=- (A)i (B)i - (C)12-13i (D) 12+13i (2)记cos(80)k -?=,那么tan100?=

A.21k k -

B. -2

1k k - C. 21k k - D. -21k k

-

(3)若变量,x y 满足约束条件1,0,20,y x y x y ≤??

+≥??--≤?

则2z x y =-的最大值为

(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

（4）已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a = (A) 52 (B) 7 (C) 6 (D) 42

(5)353(12)(1)x x +-的展开式中x 的系数是 (A) -4 (B) -2 (C) 2 (D) 4

(6)某校开设A 类选修课3门，B 类选择课4门，一位同学从中共选3门，若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有

(A) 30种 (B)35种 (C)42种 (D)48种

(7)正方体ABCD-1111A B C D 中，B 1B 与平面AC 1D 所成角的余弦值为

A

23 B 33 C 23

D 63 （8）设a=3log 2,b=In2,c=1

2

5-

,则 A a

(9)已知1F 、2F 为双曲线C:221x y -=的左、右焦点，点p 在C 上，∠1F p 2F =060，则P 到x 轴的距离为

(A)

32 (B)62

(C) 3 (D) 6 （10）已知函数F(x)=|lgx|,若0

（11）已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为俩切点，那么

PA PB ?的最小值为

(A) 42-+ (B)32-+ (C) 422-+ (D)322-+

（12）已知在半径为2的球面上有A 、B 、C 、D 四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD 的体积的最大值为

(A)

233 (B)433 (C) 23 (D) 83

3

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． (注意：在试题卷上作答无效)

(13)2211x x +≤的解集是 .

(14)已知α为第三象限的角，3cos 25

α=-,则tan(2)4

π

α+= .

(15)直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 . (16)已知F 是椭圆C 的一个焦点，B 是短轴的一个端点，线段BF 的延长线交C 于点

D ，且BF 2FD =，则C 的离心率为 .

三．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

(17)已知ABC 的内角A ，B 及其对边a ，b 满足cot cot a b a A b B +=+，求内角

C ．

(18) 投到某杂志的稿件，先由两位初审专家进行评审．若能通过两位初审专家的评审，则予以录用；若两位初审专家都未予通过，则不予录用；若恰能通过一位初审专家的评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录用．设稿件能通过各初审专家评审的概率均为0．5，复审的稿件能通过评审的概率为0．3．各专家独立评审．

(I)求投到该杂志的1篇稿件被录用的概率；

(II)记X 表示投到该杂志的4篇稿件中被录用的篇数，求X 的分布列及期望． （19）（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

）

如图，四棱锥S-ABCD 中，SD ⊥底面ABCD ，AB//DC ，AD ⊥DC ，AB=AD=1，DC=SD=2，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .

（Ⅰ）证明：SE=2EB ；

（Ⅱ）求二面角A-DE-C 的大小 . (20)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上．．．．．

作答无

．．．效．）

已知函数()(1)ln 1f x x x x =+-+.

（Ⅰ）若2'()1xf x x ax ≤++，求a 的取值范围； （Ⅱ）证明：(1)()0x f x -≥ .

（21）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

）

已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D .

（Ⅰ）证明：点F 在直线BD 上；

（Ⅱ）设89

FA FB =，求BDK ?的内切圆M 的方程 . （22）(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

）

已知数列{}n a 中，1111,n n

a a c a +==-

. （Ⅰ）设51

,2

2

n n c b a ==

-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求使不等式13n n a a +<<成立的c 的取值范围 .

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一、选择题

(1)设集合A=｛4，5，7，9｝，B=｛3，4，7，8，9｝，全集U=A B ，则集合[u

（A B ）中的元素共有

（A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个

（2）已知

1i

Z

＋=2+I,则复数z= （A ）-1+3i (B)1-3i (C)3+I (D)3-i

(3) 不等式

1

1

X X +-＜1的解集为 （A ）｛x }{}011x x x ??? (B){}01x x ??

（C ）{}10x x -?? (D){}0x x ?

(4)设双曲线22

221x y a b

-=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的

离心率等于

（A

（B ）2 （C （D

(5) 甲组有5名同学，3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学。若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有 （A ）150种 （B ）180种 （C ）300种 (D)345种

（6）设a 、b 、c 是单位向量，且a ·b ＝0，则()()a c b c -?-的最小值为 （A ）

2-（B 2 （C ）1- (D)1

（7）已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 上的射影为

BC 的中点，则异面直线AB 与1CC 所成的角的余弦值为

（A （B ）（C 34

（8）如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π??

???

，0中心对称，那么π的最小值为 （A ）6

π （B ）4

π （C ）3

π (D) 2

π

(9) 已知直线y=x+1与曲线y ln()x a =+相切，则α的值为

(A)1 (B)2 (C) -1 (D)-2

（10）已知二面角α-l-β为600 ，动点P、Q分别在面α、β内，P

Q 到α的距离为

P、Q两点之间距离的最小值为

(B)2 (C)

（11）函数()

f x的定义域为R，若(1)

f x+与(1)

f x-都是奇函数，则

(A) ()

f x是偶函数 (B) ()

f x是奇函数

(C) ()(2)

f x f x

=+ (D) (3)

f x+是奇函数

（12）已知椭圆C: 221

2

x

y

+=的又焦点为F，右准线为L，点A L

∈,线段AF 交C与点B。若3

FA FB

=,则AF=

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．（注意：在试题卷上作答无效

．．．．．．．．．

）

(13) 10

()

x y

-的展开式中，73

x y的系数与37

x y的系数之和等于 .

(14)设等差数列{}n a的前n项和为n s.若9s=72,则249

a a a

++= .

(15)直三棱柱ABC-

111

A B C各顶点都在同一球面上.若

1

2,

AB AC AA

===∠BAC=120，则此球的表面积等于 .

(16)若4

2

ππ

＜X ＜,则函数3tan 2tan y x x =的最大值为 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

）

在?ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，已知222a c b -=，且

sin cos 3cos sin A C A C =，求b.

18．（本小题满分12分） （注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

）

如图，四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 为矩

形，SD ⊥底面ABCD ，2，DC=SD=2.点M 在侧棱SC 上，∠ABM=600.

(Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点； （Ⅱ）求二面角S —AM —B 的大小。

(19)(本小题满分12分)（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

）

甲、乙二人进行一次围棋比赛，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束，假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立。已知前2局中，甲、乙各胜1局。