中考数学压轴题大集合(一)
中考数学压轴题大集合（一）
、函数与几何综合的压轴题
1.如图①，在平面直角坐标系中， AB 、CD 都垂直于 x 轴，垂足分别为 B 、D 且 AD 与 B 相 交
于 E 点.已知： A （-2,-6）, C （1,-3） （1） 求证： E 点在 y 轴上；
（2） 如果有一抛物线经过 A ，E ，C 三点，求此抛物线方程 .
（3） 如果 AB 位置不变，再将 DC 水平向右移动 k （k>0）个单位，此时 AD 与 BC 相交于 E ′
点， 如图②，求△ AE ′C 的面积 S 关于 k 的函数解析式 .
x
联立①②得
y
∴E 点坐标（ 0， （2）设抛物线的方程 y=ax 2+bx+c （a ≠0过） A （-2，-6），C （ 1，-3）
方法一：过 E 作 EO ′⊥x 轴，垂足
O ′∴AB ∥EO ′∥DC ∴ EO AB 又∵ DO ′ ∴ EO AB ∵AB=6， DO
DO ,EO BO
DB ,
CD DB B +O ′D =B EO
1 DC DC =3，∴ EO ′=
2 又∵ EO
，∴ DO DB AB ∴DO ′D =O ，即 O ′与 O 重合， 方法
二：由 D （ 1，0）， A （-2，-6），得 DA 直线方程： 再由 B （ -2，0），
EO
2
DB 3 1 AB 6
E 在 y 轴上
C （1， -3），得 BC 直线方程： y=-x-2 y=2x-2①
②
-2），即 E 点在 y 轴上
［解］ （ 1）（本小题介绍二种方法，供
参考）
∴S=3+k 为所求函数解析式
2.已知：如图，在直线坐标系中，以点 M （1，0）为圆心、直径 AC 为 2 2 的圆与 y 轴交
于 A 、D 两点 . （ 1）求点 A 的坐标；
（2）设过点 A 的直线 y ＝x ＋b 与x 轴交于点 B.探究：直线 AB 是否⊙ M 的切线？并对你的 结论加以证明；
Sh
3）连接 BC ，记△ ABC 的外接圆面积为 S 1、⊙ M 面积为 S 2，若 S 2 4，抛物线
y ＝ax 2＋bx ＋c 经过B 、M 两点，且它的顶点到 x 轴的距离为 h .求这条抛物线的解析式 [ 解]
（ 1）解：由已知 AM ＝ 2 ，OM ＝1， 在Rt △AOM 中，AO ＝ AM 2 OM 2 1， ∴点 A 的坐标为 A （0， 1）
（2）证：∵直线 y ＝x ＋b 过点 A （0，1）∴1＝0＋b 即b ＝1 ∴y ＝x ＋1 令 y ＝ 0 则 x ＝－ 1
∴B （ — 1， 0），
E （0，-2）三点，得方程组 4a 2b c 6
a b c 3 c2
解得 a=-1,b=0,c=-2
∴抛物线方程 y=-x 2-2 （3）（本小题给出三种方法，供参考） 由（1）当 DC 水平向右平移 k 后，过 AD 与 BC 的交点 E ′作E ′F ⊥x 轴垂足为 F 。 同（ 1）可得： EF EF 1 得： E ′F =2
AB DC
方法一：又∵ E ′F ∥AB EF DF ，∴ DF
AB DB
S △AE ′C = S △ADC - S △E ′DC = DC?DB
2
1
= DC?DB =DB=3+ k 3
1
DC ?DF 2
DB
3 12
DC? DB 23
S=3+k 为所求函数解析式
方法二：∵ BA ∥DC ，∴ S △ BCA =S △BDA
11
∴S △AE ′C = S △BDE ′ BD?E F 3 k 2 3 k
22
∴S=3+k 为所求函数解析式 .
证法三： S △DE ′C ∶S △AE ′C =DE ′∶ 同S △DE ′C ∶S △DE ′B =1∶2,又∵
∴
S AEC
9
S
梯形 ABCD
1
AB CD ?BD 2
3k
AB ＝
BO 2 AO 2 12 12 2
在△ABM 中，AB ＝ 2 ，AM ＝ 2 ，BM ＝2 AB 2 AM 2 ( 2)2 ( 2) 2 4 BM 2 ∴△ ABM 是直角三角形，∠ BAM ＝ 90° ∴直线 AB 是⊙ M 的切线
3）解法一：由⑵得∠ BAC ＝90°， AB ＝ 2 ，AC ＝2 2 ，
∴BC ＝ AB 2 AC 2 ( 2)2 (2 2) 2 10
∵∠ BAC ＝ 90° ∴△ ABC 的外接圆的直径为 BC ，
由已知所求抛物线经过点 B （—1，0）、M （1、0），则抛物线的对称
轴是 y 轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（ 0， ±5）
∴抛物线的解析式为 y ＝a （x － 0）2±5
又 B （－ 1,0）、M （1,0）在抛物线上，∴ a ±5＝0， a ＝±5
∴抛物线的解析式 为 y ＝ 5x 2－ 5 或
y ＝－ 5x 2＋5
解法三：（接上）求得 ∴ h ＝ 5
因为抛物线的方程为 y ＝
ax 2＋
bx ＋c （a ≠0)
abc 0
a ＝ －
5
a5
由已知得 a b c
0 解得 b 0 或 b 0 4ac b 2
5
c 5
c5
4a
∴抛物线的解析式 为 y ＝ 5x 2
－ 5 或 y ＝
－
5x 2＋5.
∴ S 1 (B 2C )2 ?
( 120)2 ?
而
S 2 (
A 2C )2?
(222)2?
S 1
S
2
h 即
4
，
h
, 4
设经过点 y ＝a （＋ 1）（x －1），（a ≠0）即 y ＝ax 2－ a ，∴－ a ＝±5， ∴抛物线的解析式为 y ＝5x 2－5或 y ＝－ 5x 2＋5 解
法二：（接上） 求得∴ h ＝5
B （—1， 0）、M 1，0） 的抛物线的解析式为：
∴ a ＝ ±5
3.如图，在直角坐标系中，以点 P （1，－1）为圆心，2为半径作圆，交 x 轴于 A 、B 两点，抛物
2
线y ax 2 bx c （a 0）过点A 、B ，且顶点 C 在⊙P 上. （1）求⊙ P 上劣弧 AB 的长；
（2）求抛物线的解析式； （3）在抛物线上是否存在一点 D ，使线段 OC 与PD 互相平分？若存在，求出点 D 的坐标；若不存 在，请说明理由 . ［解］
（ 1）如图，连结 PB ，过 P 作 PM ⊥ x 轴，垂足为 M. 在 Rt △PMB 中， PB=2,PM=1, ∴∠ MPB ＝ 60°，∴∠ APB ＝120 AB 的长＝
120
180
2)在 Rt △PMB 中， PB=2,PM=1,则 MB ＝MA ＝ 3. 点 A 、B 、C 在抛物线上，则 0 a(1 3)2 b(1 3) c a1 0 a(1
3)2 b(1 3) c 解之得 b 2 3 a bc c2
又 OM=1，∴A （1－ 3 ，0），B （1＋ 3 ，0）， 由抛物线及圆的对称性得知点 C 在直线 PM 上， 则 C （1 ，－ 3）. y
C
抛物线解析式为 y x 2 2x 2 3）假设存在点 D ，使 OC 与 PD 互相平分，则四边形 OPCD 为平行四边形，且 PC ∥ OD. 又 PC ∥y 轴，∴点 D 在 y 轴上，∴ OD ＝ 2，即 D （0，－ 2） 又点 D （0，－ 2）在抛物线 y 2
x 2 2x 2上，故存在点 D （0，－ 2）， 使线段 OC 与 PD 互相平分 . 4. 如图，在平面直角坐标系内， Rt △ABC 的直角顶点 C （0， 3）在 y 轴的正半轴上， A 、 B 是x 轴上是两点，且 OA ∶OB ＝3∶1，以 OA 、OB 为直径的圆分别交 AC 于点 E ，交 BC 于点 F.直线 EF 交 OC 于点 Q. （1）求过 A 、 B 、C 三点的抛物线的解析式； （2）请猜想：直线 EF 与两圆有怎样的位置关系？ 并证明你的猜想 . （3）在△ AOC 中，设点 M 是 AC 边上的一个动点， 过 M 作 MN ∥AB 交 OC 于点 N.试问：在 x 轴上是否 存在点 P ，使得△ PMN 是一个以 MN 为一直角边的 等腰直角三角形？若存在，求出 P 点坐标；若不存 在，请说明理由 .
(2)EF 与⊙ O 1、 证明：连结 O 1E 、OE 、OF.
∵∠ ECF ＝∠ AEO ＝∠ BFO ＝90°, ∴四边形 EOFC 为矩形 . ∴QE ＝ QO. ∴∠ 1＝∠ 2.
∵∠ 3＝∠ 4,∠2+∠4＝ 90°， ∴ EF 与⊙ O 1 相切 . 同理： EF 理⊙ O 2 相切 .
(3) 作 MP ⊥OA 于 P ，设 MN ＝ a,由题意可得 MP ＝MN ＝a. ∵MN ∥OA, ∴△ CMN ∽△ CAO.
∴
MN CN . ∴
AO CO .
3a
3
2
3
,0). 考虑到四边形 PMNO 此时为正方形， ∴点 P 在原点时仍可满足△ PNN 是
以 MN 为一直角边的等腰直角三角形 . 故 x 轴上 存在点 P 使得△PMN 是一个以 MN
为一 直角边 的等腰 直角三 角形 且
3
3 3 P( 3 3
3
,0) 或P(0,0).
2
［解］ (1)在Rt △ABC 中， OC ⊥
AB ， ∴△ AOC ≌△ COB. ∴OC 2＝OA ·OB. ∵OA ∶OB ＝3∶1,C(0, 3 ), ∴ ( 3)2 3OBgOB. ∴OB ＝ 1.∴ OA ＝ 3. ∴A(-3,0),B(1,0). 设抛物线的解析式为 y ax 2 bx
9a 则a
3b c 0, bc 0, 解之，得
3.
c. 3
,
3, 2
3, 3 3.
∴经过 A 、
B 、
C 三点的抛物线的解析式
为
33 x 2 2
3 3x 3.
⊙ O 2 都相切 .
解之， 得a
此时， 四边形 ∴
MN OP
2
OPMN 是正方形 .
3 3 3
. 2.
∴P( 3 3
15 23
5.如图，已知点 A （0 ，1）、C （4 ，3）、E （ ， ），P 是以 AC 为对角线的矩形 ABCD 内部 （不 48
在各边上 ）的—个动点，点 D 在 y 轴，抛物线 y ＝ax 2+bx+1 以 P 为顶点． （1）说明点 A 、C 、E 在一条条直线上； （2）能否判断抛物线 y ＝ax 2+bx+1 的开口方向 ?请说明理由； （3）设抛物线 y ＝ax 2+bx+1与x 轴有交点 F 、G （F 在G 的左侧 ）， 3，且这条抛物线与线段 b 的值；若不能，请确定 （本题图形仅供分析参考用 AE 有两个不同的交点． 这时能确定 b 的取值范围． a 、 ［解］
（ 1）由题意， A （0 ，1）、C （4，3）确定的解析式为： 将点 E 的坐标 E （145 ， 283 ）代入 y= 12 x+1中，左边= 边=1×15 +1= 23 ， 2 4 8
△ GAO 与△FAO 的面积差为 a 、b 的值吗 ?若能， 请求出 a 、 1 ∵左边 =右边，∴点 E 在直线 y= 1
x+1 上，即点 A 、C 、E 在一条直线上 . 2 （2）解法一：由于动点 P 在矩形 ABCD 内部，∴点 P 的纵坐标大于点 A 的纵坐标， 而点 A 与点 P 都在抛物线上，且 P 为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下 解法二：∵
抛物线 y=ax 2+bx+c 的顶点 P 的纵坐标为 4a —b ，且 P 在矩形 ABCD 内部，∴ 4a 1<
4a — b <3，由 1< 1— b 得— b >0， 4a 4a 4a
∴ a < 0，∴抛物线的开口向下 3）连接 GA 、FA ，∵ S △GAO — S △
FAO =3 GO —FO=6. 设 F （ x 1,0）、G （x 2,0），则 x 1、 1 ∵a <0，∴ x 1·x 2= <0，∴ x 1< 0< x 2，
a
∴GO= x 2， FO= —x 1，∴ x 2— 即 x 2+x 1=6，∵ x 2+x 1= — b a 11 ∴ GO ·AO — FO · AO=3 ∵ OA=1 ，∴ 22 x 2 为方程 ax 2
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