八年级数学暑假专题辅导 培优专题

A

C

B

D

（1）已知四边形ABCD ，∠ ABC=30°∠ADC=60° AD=DC ，求证BD 2 =AB 2

+BC 2

方法一：把△ABD 绕

D 逆时针旋转60°,∵AD=DC ∴旋转后的△DCP≌△DAB,∠BDP=60°BD=BP,∴等边三角形BDP,BP=BD.

又∵∠ABD+∠CBD=30° ∴∠CBD+∠CPD=30°，∴BC⊥CP(是可以证的，∵∠BPD+∠DBC+∠DPC=直角BCP) ∴BC²+CP²=BP ² ∵CP=AB,BP=BD 如图1

方法二：做BP⊥AB,且使BP=BC,连接AP,AC,PC.∵AD=DC,∠ADC=60°∴等边三角形

ADC ∵BA⊥BP,∠ABC=30°∴∠PBC=60°∴等边三角形PBC ∵AC=DC,∠ACP=∠DCB,PC=BC ∴△ACP≌△DCB(SAS)∴AP=BD 又∵RT△ABP∴AB²+BP²=AP² ∵BP=BC，AP=BD 如图2

如图所示，在凸四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC ，求证：BD 2=AB 2+BC 2

如图：四边形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．试探索以AB、BC、BD为边，能否组成直角三角形，并说明理由．

解：分析:待证明的等式说明AB,BC,BD三条线段可组成一个直角三角形.因此,应设法将它

们集中到一起.从条件容易知道,三角形ADC是一个正三角形.这样,就可一将三角形BCD作

旋转变换.得到以下证明方法:

证明:连结AC,因为AD=DC,∠ADC=60°

则△ACD是等边三角形.

过B作BE⊥AB,使BE=BC,连结CE,AE

则∠EBC=90°－∠ABC=90°－30°=60°

∴△BCE是正三角形,

又∠ACE=∠ACB＋∠BCE

=∠ACB＋60°

∠DCB=∠ACB＋∠ACD

=∠ACB＋60°

∴∠ACE=∠DCB

又DC=AC,BC=CE

所以△DCB≌△ACE

所以AE=BD

在直角三角形ABE中AE^2=AB^2＋BE^2

即BD^2=AB^2＋BC^2

证明:过B作AB⊥BE使BE=BC

则∠ABE=90°

∵∠ABC=30°

∴∠CBE=60°

∴△BCE为正三角形

∴BC=BE=CE

∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCB

AC=DC BC=CE

∴△DCB≌△ACE

∴BD=AE

在Rt△ABE中

∵AE^2=AB^2+BE^2

∴BD平方=AB平方+BC平方

过B作AB⊥BE使BE=BC

则∠ABE=90°

∵∠ABC=30°

∴∠CBE=60°

∴△BCE为正三角形

∴BC=BE=CE

∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCB

AC=DC BC=CE

∴△DCB≌△ACE

∴BD=AE

在Rt△ABE中

∵AE^2=AB^2+BE^2

∴BD平方=AB平方+BC平方

过B作AB⊥BE使BE=BC

则∠ABE=90°

∵∠ABC=30°

∴∠CBE=60°

∴△BCE为正三角形

∴BC=BE=CE

∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCB

AC=DC BC=CE

∴△DCB≌△ACE

∴BD=AE

在Rt△ABE中

∵AE^2=AB^2+BE^2

∴BD平方=AB平方+BC平方

解答:

分析从结论想办法.结论是BD2=AB2+BC2,是勾股定理的表达式，因此要通过变形,构造直角三角形,

使BD为斜边, AB、BC为直角边。

为此我们过点B作BE垂直AB于B,

使BE=BC，点E、C在直线AB同旁，连结CE，

则三角形BCE为等边三角形。连结AE、BD，

在三角形ACE和三角形BCD中，BC=CE，

CD=AC，∠ACE=60度+∠ACB，∠BCD=60度+∠ACB，所以∠ACE=∠BCD 所以三角形BCD全等于三角形ACE，于是AE=BD ；在三角形ABE中，∠ABE=90度，所以，AE2=AB2+BE2,

BE=BC, AE2=AB2+BC2

所以，BD2=AB2+BC2

2.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，连接AC、BD．在四边形A BCD的外部以BC为一边作等边三角形BCE，连接AE．

（1）求证：BD=AE；

（2）若AB=2，BC=3，求BD的长．

(1)略；（2）BD=.

【解析】

试题分析：（1）由∠ADC=60°，AD=DC，易得△ADC是等边三角形，又由△BCE是等边三角形，可证得△BDC≌△EAC（SAS），即可得BD=AE；

（2）由△BCE是等边三角形，∠ABC=30°，易得∠ABE=90°，然后由勾股定理求得AE的长，即可求得BD的长．

试题解析：

证明：∵在△ADC中，AD=DC，∠ADC=60°，

∴△ADC是等边三角形，

∴DC=AC，∠DCA=60°；

又∵△BCE是等边三角形，

∴CB=CE，∠BCE=60°，

∴∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB，

即∠DCB=∠ACE，

在△BDC和△EAC中，

，

∴△BDC≌△EAC（SAS），

∴BD=AE；

（2）【解析】

∵△BCE是等边三角形，

∴BE=BC=3，∠CBE=60°．

∵∠ABC=30°，

∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．

在Rt△ABE中，AE===，

∴BD=AE=．

考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质

（3）三角形abc是等腰直角三角形，∠acb==90°，m，n为斜边ab上两点。满足am2+bn2=mn2求∠MCN的度数．

方法1：

给你一个提示，M N两点分别是MN=2AM=2BN,也就是说MN=1/2AB,AM=BN =1/4AB,M N分别做AC BC的高，利用三角函数求出角BCN ACM,实际上这两个角是相等的，然后用90度减去就行了

方法2

证明：作PA⊥AB，且PA=BN，连接CP

∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠CAB=∠B=45o

在⊿CPA和⊿CNB中，∠PAC=90o-∠CAB=45o=∠B，PA=NB，CA=CB

∴⊿CPA≌⊿CNB（SAS）

∴CP=CN，∠PCA=∠NCB

∵∠MCN=45o∴∠ACM+∠NCB=45o则∠PCA+∠ACM=45o即∠PCM=45o=∠MCN。

又∵CM=CM

∴⊿PCM≌⊿NCM（SAS）

∴PM=MN

∵⊿PAM是直角三角形，∴PA2+AM2=PM2

即AM2+BN2=MN2

如图，等腰直角△ABC的斜边AB上

有两点M、N，且满足MN2=BN2+AM2，

将△ABC绕着C点顺时针旋转90°后，点M、N的对应点分别为T、S．

（1）请画出旋转后的图形，并证明△MCN≌△MCS；

（2）求∠MCN的度数．

作图-旋转变换；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．

专题：综合题．

分析：（1）根据旋转角度、旋转方向、旋转点找出各点的对应点，顺次连接即可得出旋转后的图形，根据MN2=BN2+AM2，可证得MS=MN，从而利用SSS 可证得结论．

（2）根据旋转角为90°，再由（1）的结论即可得出答案．

解答：解：（1）画图形如右图所示：

证明：由旋转的性质可得：CS=CN，AS=BN，

又∵MN2=BN2+AM2，

∴MN2=AS2+AM2=MS2，

∴MS=MN，

又∵CS=CN，CM=CM，

∴△MCN≌△MCS（SSS）．

（2）由（1）得：△MCN ≌△MCS ， ∴∠NCM=∠MCS=45°．

点评：本题考查旋转作图及三角形全等的证明，难度较大，关键是掌握旋转前后线段的长度，角的度数均不变．

（4）三角形ABC 中,D 在AC 上AB=AD=2,AC=4,BD:DC=2:3 则三角形是什么三角形

设BD 的中点为E ，且BD ＝2x ，则CD ＝3x ，从而CE ＝4x ，由勾股定理得： AB 2－BE 2＝AE 2＝AC 2－CE 2 ∴22－x2＝42－(4x) 2

得：x 2＝5

4

∴BC 2＝(5x)2＝25x 2＝25×5

4

＝20

而AB 2＋AC 2＝22＋42＝20 ∴AB 2＋AC 2＝BC 2 即△ABC 是直角三角形

（5）在△ABC 中，AB=10，AC=5，D 是BC 上的一点，且BD ：DC=2：3，则AD 的取值范围是 4＜AD ＜8． 考点：三角形三边关系．

分析：已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出BC 的取值范围；根据BD ：DC=2：3，求出BD ，DC 的取值范围，再根据三角形三边关系求出AD 的取值范围．

解答：解：由三角形三边关系定理得10-5＜BC ＜10+5，即5＜BC ＜15． ∵BD ：DC=2：3， ∴2＜BD ＜6，

∴AD 的取值范围是10-6＜AD ＜10-2，即4＜AD ＜8． 故答案为4＜AD ＜8．

点评：本题考查了三角形三边关系．要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．

已知三角形ABC,点D 在边AC 上,AD:DC=2:1,BD ⊥AB, tan ∠DBC=3

1

,则sin ∠

BAC 为 答案为2

2

解：过D 做AB 的平行线交BC 于E ，则因为BD ⊥AB ，所以BD ⊥BC ，在Rt

△BED 中，因为tan ∠ DBC=31，即DE/BD=3

1

，设DE=k,则BD=3K,所以BE=^10k.

因为DE ∥AB ，DC AD =1

2

，所以EC BE =12，故CE=K 210,,在△DBC 中tan ∠DBC=31，

即DBC DBC ∠∠cos sin =3

1，解得 cos ∠DBC=3倍根10/10，由余弦定理解得DC=3k 倍根2/2,所以AD=3k 2 。所以sin ∠BAC =AD BD

=2

2.。

如图，已知△ABC ，点D 在边AC 上，AD ：DC=2：1，BD ⊥AB ，tan ∠DBC=，则sin ∠BAC 的值是 ．

首先过D 做AB 的平行线交BC 于E ，求出cos ∠DBC=

=

=

，进而得出CD 2=BD 2+BC 2

-2BD?BCcos ∠DBC ，求出CD 的长，进而得出sin ∠BAC 的值．

【解析】

过D 做AB 的平行线交BC 于E ， ∵BD ⊥AB ，∴BD ⊥DE ， 在Rt △BED 中， tan ∠DBC=， 即

=，

设DE=k ，则BD=3K ， 所以BE=k ．

∵DE ∥AB ，=2，

∴

=2，

故CE=

k ， 在△DBC 中tan ∠DBC=，

则cos∠DBC===，

由余弦定理：CD2=BD2+BC2-2BD?BCcos∠DBC，CD2=9k2+（）2k2-2×3k×k×，解得：DC=，

所以AD=3k．

所以sin∠BAC==．

故答案为：．

直角三角形斜边中线定理

如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半

其逆命题1：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。

逆命题1是正确的。以该条边的中点为圆心，以中线长为半径作圆，则该边成为圆的直径，该三角形的另一个顶点在圆上，该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角，所以逆命题1成立。

原命题2：如果BD是直角三角形ABC斜边AC上的中线，那么它等于AC的一半。

逆命题2：如果线段BD的一端B是直角三角形ABC的顶点，另一端D 在斜边AC上，且BD等于AC的一半，那么BD是斜边AC的中线。

逆命题2是不成立的。举一个反例。设直角三角形三边长分别为AB=3，

BC=4，AC=5。斜边的一半长为2.5,斜边上的高BE=（3*4）/5=2.4,在线段

AE上上必能找到一点D，使BD=2.5，但BD并不是AC边的中线，因为AC

边的中点在线段EC上。

3.阅读：定理“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，如图，Rt△ABC中，D为AB中点，则CD =AD=BD=

1

2

AB．（此定理在解决下面的问题中要用到）

应用：如图1，在△ABC中，点P为BC边中点，直线a绕顶点A旋转，若B、P在直线a的异侧，BM ⊥直线a于点M，CN⊥直线a于点N，连接PM、PN；

（1）延长MP交CN于点E（如图2）．①求证：△BPM≌△CPE；②求证：PM=PN；

（2）若直线a绕点A旋转到图3的位置时，点B、P在直线a的同侧，其它条件不变，此时PM=PN还成立吗？若成立，请给予证明：若不成立，请说明理由；

（3）若直线a绕点A旋转到与BC边平行的位置时，其它条件不变，请直接判断四边形MBCN的形状及此时PM=PN还成立吗？不必说明理由．

（1）①证明：∵BM⊥直线a，CN⊥直线a，

∴∠BMN=∠CNM=90°，

∴BM∥CN，

∴∠MBP=∠PCE，

∵点P为BC边中点，

∴BP=PC，

在△BPM和△CPE中，

∠MBP=∠PCE

BP=PC

∠BPM=∠CPE

∴△BPM≌△CPE（ASA）；

②∵△BPM≌△CPE，

∴MP=PE，

∵∠MNE=90°，

∴PN=PM；

（2）PM=PN还成立．

理由如下：如图3，延长MP与NC延长线交于F，

∵BM⊥直线a，CN⊥直线a，

∴BM∥FN，

∴∠BMP=∠PFC，

∵点P为BC边中点，

∴BP=PC，

在△BMP和△CFP中，

∠BMP=∠PFC

BP=PC

∠BPM=∠CPF

∴△BMP≌△CFP（ASA），

∴PM=PF，

∵∠MNF=90°，

∴PM=PN；

（3）四边形MBCN是矩形，PM=PN还成立．

理由如下：如图4，∵a∥BC，BM⊥a，CN⊥a，∴BM∥CN，BM=CN，

∴四边形MBCN是矩形，

∵点P是BC的中点，

∴BP=CP，

在△BMP和△CMN中，

BM=CN

∠PBM=∠PCN=90

BP=CP

∴△BMP≌△CPN（SAS），

∴PM=PN．

4.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是斜边AC的中点，DE⊥AB，垂足为E，EF∥DB交CB的延长线于点F，猜想：四边形CDEF是怎样的特殊四边形？试对你猜想的结论说明理由．

四边形CDEF是等腰梯形．

理由：

∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是斜边AC的中点，DE⊥AB，

∴BD是斜边上的中线，DE是△ABC的中位线，

∴BD=CD，DE∥BC，DE=

1

2

BC，

∵EF∥DB，

∴四边形BDEF是平行四边形，

∴BD=EF，

∴EF=CD，

∵DE∥BC，

∴四边形CDEF是梯形，

∴四边形CDEF是等腰梯形．

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，点D是斜边AB中点，作DE⊥AB，交直

线AC于点E。

（1）若∠A=30°，求线段CE的长；

（2）当点E在线段AC上时，设BC=x，CE=y，求y关于x的函数解析式，

并写出定义域；

（3）若CE=1，求BC的长。

题型：解答题难度：偏难来源：

解：（1）（1）联结BE，点D是AB中点且DE⊥AB，BE=AE

∵∠A=30°，∠ABE=30°，∠CBE=∠B-∠ABE=30°

又∵∠C=90°

∴

∵AC=6

∴；

（2）结BE，则

在Rt△BCE中，由勾股定理得

即

解得；

（3）1°当点E在线段AC上时，由（2）得

解得（负值已舍）

2°当点E在AC延长线上时，

在Rt△BCE中，由勾股定理得，即

解得（负值已舍）

综上所述，满足条件的BC的长为，。