高三数学一轮复习讲义三角函数的图像与性质教案新人教A版
三角函数的图象与性质
基础梳理
1．“五点法”描图
(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,0) ? ????π2，1 (π，0) ? ??
??32π，－1 (2π，0)
(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,1)，? ????π2，0，(π，－1)，? ??
??3π2，0，(2π，1)
2.三角函数的图象和性质
函数 性质
y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x
定义域 R R
{x |x ≠k π＋π
2
，
k ∈Z }
图象
值域
[－1,1]
[－1,1] R
对称性
对称轴：__ x ＝k π＋π
2
(k ∈Z )__ _； 对称中心：
_ (k π，0)(k ∈Z )__ _
对称轴：
x ＝k π(k ∈Z )___；
对称中心： _(k π＋π
2，0)
(k ∈Z )__
对称中心：_? ??
?
?k π2，0
(k ∈Z ) __
周期
2π_
2π
π
单调性
单调增区间_[2k π－π2
，
2k π
＋
π
2
](k ∈Z )___； 单调减区间[2k π＋
单调增区间[2k π－
π，2k π] (k ∈Z ) ____；
单调减区间[2k π，2k π
＋
π](k ∈Z )______
单调增区间_(k π－π
2
，k π＋π
2
)(k ∈Z )___
3.都有f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 对函数周期性概念的理解
周期性是函数的整体性质，要求对于函数整个定义域范围的每一个x 值都满足f (x ＋T )＝f (x )，其中T 是不为零的常数.如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，或找到哪怕只有一个x 值不满足f (x ＋T )＝f (x )，都不能说T 是函数f (x )的周期.
函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为 2π
|ω|
，
y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为
π
|ω|
.
4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x 、cos x 的有界性； 关于正、余弦函数的有界性
由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x ∈R ，恒有－1≤sin x ≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界. (2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.
(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题． 利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2
x －4sin x ＋5，令t ＝sin
x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.
5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ? ????2x －π4；(2)y ＝sin ? ????π4－2x .
热身练习:
1．函数y ＝cos ?
????x ＋π3，x ∈R ( )． A ．是奇函数 B ．既不是奇函数也不是偶函数
C ．是偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数
2．函数y ＝tan ?
??
??π4－x 的定义域为( )．
A .?????????
?x ?
?? x ≠k π－
π
4，k ∈Z
B.??????
???
?x ?
??
x ≠2k π－π
4，k ∈Z
C.??????????x ?
??
x ≠k π＋
π
4，k ∈Z D.??????
???
?x ?
??
x ≠2k π＋
π
4，k ∈Z
3．函数y ＝sin(2x ＋π
3
)的图象的对称轴方程可能是( )
A ．x ＝－π6
B ．x ＝－π12
C ．x ＝π6
D ．x ＝π
12
【解析】令2x ＋π3＝k π＋π2，则x ＝k π2＋π
12(k ∈Z )
∴当k ＝0时，x ＝π
12
，选D.
4．y ＝sin ? ????x －π4的图象的一个对称中心是( )．
A ．(－π，0)
B .? ????－3π4，0 C.? ??
??3π2，0
D.?
??
??π2，0
解析 ∵y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )，∴令x －π4＝k π(k ∈Z )，x ＝k π＋π
4(k ∈
Z )，由k ＝－1，x ＝－34π得y ＝sin ? ????x －π4的一个对称中心是? ????－3π4，0.
答案 B
5．下列区间是函数y ＝2|cos x |的单调递减区间的是
( )
A.(0，π)
B.? ??
??－π2，0
C.?
????3π2，2π
D .?
????－π，－π2
6．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤|f (π
6
)|对任意x ∈R 恒成立，
且f (π
2
)>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )
A ．[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )
B ．[k π，k π＋π
2](k ∈Z )
C ．[k π＋π6，k π＋2π3](k ∈Z )
D ．[k π－π
2
，k π](k ∈Z )
【解析】当x ∈R 时，f (x )≤|f (π6)|恒成立，∴f (π6)＝sin(π
3
＋φ)＝±1
可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π
6
，k ∈Z
∵f (π
2
)＝sin(π＋φ)＝－sin φ>f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ
∴sin φ<0 ∴φ＝2k π－5π
6
由－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π 得x ∈[k π＋π6，k π＋2π
3
](k ∈Z )，选C.
7.函数f (x )＝3cos ? ??
??x 2－π4x ∈R 的最小正周期为___4π_____． 8..y ＝2－3cos ? ????
x ＋π4的最大值为___5_____，此时x ＝_____34π＋2k π，k ∈Z _________.
9．函数y ＝(sin x －a )2
＋1，当sin x ＝1时，y 取最大值；当sin x ＝a 时，y 取最小值，则实
数
－1≤a ≤0.
10．函数f (x )＝sin 2
x ＋3sin x cos x 在区间[π4，π2]上的最大值是 .
【解析】∵f (x )＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝32sin2x －12cos2x ＋1
2
＝sin(2x －π6)＋1
2
，
又π4≤x ≤π2，∴π3≤2x －π6≤5π6. ∴当2x －π6＝π2即x ＝π3时，f (x )取最大值32.
题型一 与三角函数有关的函数定义域问题 例1 求下列函数的定义域：
(1)y ＝lgsin(cos x )； (2)y ＝sin x －cos x .
解 (1)要使函数有意义，必须使sin(cos x )>0. ∵－1≤cos x ≤1，∴0 利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0 ∴其定义域为 {x |－π2＋2k π 2＋2k π，k ∈Z}. (2)要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0. 利用图象.在同一坐标系中画出[0,2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示. 在[0,2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π 4 ，再结合正弦、余弦函数的周期是2π， 所以定义域为???? ??x |π4＋2k π≤x ≤5π 4＋2k π，k ∈Z . 变式训练1 (1)求函数y lg(2sin 1)tan 1 cos() 28 x x π-+--= +的定义域； 解 (1)要使函数有意义，则 ????? 2sin x －1>0 －tan x －1≥0cos ? ?? ??x 2＋π 8≠0?????? sin x >12 ， tan x ≤－1， x 2＋π8≠k π＋π2 . 图① 如图①利用单位圆得： ????? 2k π＋π6 6 ， k π＋π 2 4 ，x ≠2k π＋3π4 k ∈Z .∴函数的定义域为{x |2k π＋ π2 4 ，k ∈Z }. (2)求函数y 12 2log tan x x = ++的定义域. 要使函数有意义 则????? 2＋log 1 2 x ≥0， x >0，tan x ≥0， x ≠k π＋π2 ，k ∈Z ?? ???? 0 2 k ∈Z . 利用数轴可得图② 图② ∴函数的定义域是{x |0 2 或π≤x ≤4}. 题型二、三角函数的五点法作图及图象变换 例2已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π 6 )－1. (1)用五点法作出f (x )在一个周期内的简图； (2)该函数图象可由y ＝sin x (x ∈R )的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到？ 【解析】(1)y ＝f (x )＝4cos x sin(x ＋π 6)－1 ＝4cos x ( 32sin x ＋12 cos x )－1＝3sin2x ＋2cos 2 x －1 ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π 6) 2x ＋π6 0 π2 π 3π2 2π x － π12 2π12 5π12 8π12 11π 12 y 0 2 －2 ∴函数y ＝f (x )在[－π12，11π 12 ]上的图象如图所示． 【点评】“五点法作图”应抓住四条：①化为y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)或y ＝A cos(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的形式； ②求出周期T ＝2π ω ；③求出振幅A ；④列出一个周期内的五个特殊点．当画出某指定区 间上的图象时，应列出该区间的特殊点． 题型三 三角函数图象与解析式的相互转化 例3函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，A >0，ω>0,0<φ<π 2 )的部分图象如图所示． (1)求f (x )的解析式； (2)设g (x )＝[f (x －π12 )]2 ，求函数g (x )在 x ∈[－π6，π 3 ]上的最大值，并确定此时x 的值． 【解析】(1)由图可知A ＝2，T 4＝π3，则2πω＝4×π3 ∴ω＝3 2 . 又f (－π6)＝2sin[32×(－π6)＋φ]＝2sin(－π 4＋φ)＝0 ∴sin(φ－π 4)＝0 ∵0<φ<π2，∴－π4<φ－π4<π4∴φ－π4＝0，即φ＝π 4 ∴f (x )＝2sin(32x ＋π 4 )． (2)由(1)可得f (x －π12)＝2sin[32(x －π12)＋π4]＝2sin(32x ＋π 8 ) ∴g (x )＝[f (x －π12)]2＝4×1－cos 3x ＋ π 42＝2－2cos(3x ＋π 4 ) ∵x ∈[－π6，π3] ∴－π4≤3x ＋π4≤5π 4， ∴当3x ＋π4＝π，即x ＝π 4 时，g (x )max ＝4. 【点评】根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑： ①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点 2 ； ②K 的确定：根据图象的最高点和最低点，即K ＝最高点＋最低点 2； ③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2π ω (ω>0)来确定ω； ④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标 为－φ ω (即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω )确定φ. 例4若方程3sin x ＋cos x ＝a 在[0,2π]上有两个不同的实数根x 1，x 2，求a 的取值范围，并求此时x 1＋x 2的值． 【解析】∵3sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π 6 )，x ∈[0,2π]， 作出y ＝2sin(x ＋π 6 )在[0,2π]内的图象如图． 由图象可知，当1＜a ＜2或－2＜a ＜1时， 直线y ＝a 与y ＝2sin(x ＋π 6 )有两个交点， 故a 的取值范围为a ∈(－2,1)∪(1,2)． 当1＜a ＜2时，x 1＋π6＋x 2＋π6＝π.∴x 1＋x 2＝2π 3. 当－2＜a ＜1时，x 1＋π6＋x 2＋π6＝3π，∴x 1＋x 2＝8π 3 . 【点评】利用三角函数图象形象直观，可使有些问题得到顺利、简捷的解决，因此我们必须准确把握三角函数“形”的特征． 例4已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π 2 )的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M (2π 3 ，－2)． (1)求f (x )的解析式； (2)将函数f (x )的图象向右平移π 12 个单位后，再将所得图象上各点的横坐标缩小到原来的 12 ，纵坐标不变，得到y ＝g (x )的图象，求函数y ＝g (x )的解析式，并求满足g (x )≥2且x ∈[0，π]的实数x 的取值范围． 【解析】(1)由函数图象的最低点为M (2π 3，－2)，得A ＝2， 由x 轴上相邻两个交点间的距离为π2，得T 2＝π 2 ，即T ＝π， ∴ω＝2ππ＝2.又点M (2π3，－2)在图象上，得2sin(2×2π 3＋φ)＝－2， 即sin(4π 3＋φ)＝－1， 故4π3＋φ＝2k π－π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－11π6 ， 又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6.综上可得f (x )＝2sin(2x ＋π 6 )． (2)将f (x )＝2sin(2x ＋π6)的图象向右平移π 12个单位， 得到f 1(x )＝2sin[2(x －π12)＋π 6 ]，即f 1(x )＝2sin2x 的图象， 然后将f 1(x )＝2sin2x 的图象上各点的横坐标缩小到原来的1 2 ，纵坐标不变，得到g (x )＝ 2sin(2·2x )，即g (x )＝2sin4x . 由?? ? 0≤x ≤π g x ＝2sin4x ≥2 得? ???? 0≤x ≤πsin4x ≥2 2. 则???? ? 0≤x ≤π2k π＋π4≤4x ≤2k π＋3π 4k ∈Z 即???? ? 0≤x ≤πk π2＋π16 ≤x ≤k π2＋3π 16k ∈Z . 故 π16≤x ≤3π16 或 9π16≤x ≤11π16 . 题型四 、三角函数的奇偶性与周期性及应用 例1已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω＞0，|φ|＜π 2 . (1)若cos π4cos φ－sin 3π 4 sin φ＝0，求φ的值； (2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π 3 ，求函数f (x ) 的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数． 【解析】(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0 得cos(π 4 ＋φ)＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π 4 . (2)由已知得T 2＝π3，∴T ＝2π3，ω＝3 ∴f (x )＝sin(3x ＋π 4 )． 设函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )， 则g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]＝sin(3x ＋3m ＋π 4) g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π 2 (k ∈Z ) 即m ＝k π3＋π12(k ∈Z ) ∴最小正实数m ＝π12 . 题型五 三角函数的单调性与周期性 例2 写出下列函数的单调区间及周期： (1)y ＝sin ? ????－2x ＋π3；(2)y ＝|tan x |. 解 (1)y ＝-sin ? ????2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ? ????2x －π3的减区间，它的减区间是y ＝sin ? ????2x －π3的增区间. 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π 12，k ∈Z . 由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π 12，k ∈Z . 故所给函数的减区间为? ?????k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为? ?????k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z .最小正周期T ＝2π2＝π. (2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是? ?????k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是 ? ?? ??k π－π2，k π，k ∈Z .最小正周期：T ＝π. 探究提高 (1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ) (其中A ≠0，ω>0)的函数的单调区间，可以通过解不等式的方法去解答. 列不等式的原则是：①把“ωx ＋φ (ω>0)”视为一个“整体”；②A >0 (A <0)时，所列不等式的方向与y ＝sin x (x ∈R )，y ＝cos x (x ∈R )的单调区间对应的不等式方向相同(反). (2)对于y ＝A tan(ωx ＋φ) (A 、ω、φ为常数)，其周期T ＝π|ω|，单调区间利用ωx ＋ φ∈? ?? ??k π－π2 ，k π＋π2，解出x 的取值范围，即为其单调区间. (3)求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定. 变式训练2 (1)求函数y ＝sin ? ????π3＋4x ＋cos ? ????4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值； (2)已知函数f (x )＝4cos x sin ? ????x ＋π6－1. ①求f (x )的最小正周期； ②求f (x )在区间???? ??－π6，π4上的最大值和最小值. 解: y ＝sin ? ????π3＋4x ＋cos ? ????4x －π6114sin 44sin 422 x x x x =+++ sin 442sin(4)3 x x x π ==+ (1)周期为T=π2 242,232 k x k k Z πππ ππ-+≤+≤+∈ 函数的递增区间为??????－5π24 ＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )； 3242,2 3 2 k x k k Z π π π ππ+≤+ ≤ +∈函数的递减区间为??????π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z ) y max ＝2； y min ＝－2 (2) f (x )＝4cos x sin ? ????x ＋π6－ 11 4cos ( cos )122 x x x =+-2cos 2cos 1x x x =+- 2cos 22sin(26 )x x x π =+=+ x ∈??????－π6，π4,22[,]663x πππ+∈- 最大值为2；最小值为－1 题型六、三角函数的对称性与单调性及应用 例2已知向量m u r ＝(3sin2x －1，cos x )， n r ＝(1,2cos x )，设函数f (x )＝m n ?u r r ，x ∈R. (1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调递增区间． 【解析】(1)f (x )＝m ·n ＝3sin2x －1＋2cos 2 x ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π6 ) ∴对称轴方程为：2x ＋π6＝k π＋π2，即x ＝k π2＋π 6 (k ∈Z )． (2)由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π得－π3＋k π≤x ≤k π＋π 6 ∴f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π 6 ](k ∈Z )． 【点评】对于f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)： ①若求y ＝f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π＋π 2 (k ∈Z )，求出x ； 若求y ＝f (x )的对称中心的横坐标，只零令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求出x ； ②若求y ＝f (x )的单调增区间，只需令2k π－π2≤ωx ＋φ≤2k π＋π 2，求出x ； 若求y ＝f (x )的单调减区间，只需令2k π＋π2≤ωx ＋φ≤2k π＋3π 2 ，求出x . 题型七 三角函数的对称性与奇偶性 例3 (1)已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ? ????|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________. (2)如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点? ?? ? ?4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( ) A . π 6 B.π 4 C. π 3 D.π 2 (1)π6 f (x )＝2sin π()3x +， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ()3 x π?++图象关于x ＝0对称， 即f (x ＋φ)为偶函数．∴π3＋φ＝π 2 ＋k π，k ∈Z， 即φ＝k π＋π6，k ∈Z，所以当k ＝0时，φ＝π 6. (2)A 3cos 4(2)3π??+＝3cos 2π(2π)3?++＝3cos 2()0,3 π?+= ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z，∴φ＝k π－π 6 ，k ∈Z， 取k ＝0，得|φ|的最小值为π 6 .故选 探究提高 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则当x ＝0时，f (x )取得最大或最小值. 若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数，则当x ＝0时，f (x )＝0. 如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π 2＋k π (k ∈Z )，求x . 如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π (k ∈Z )即可. 变式训练3 (1)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象的一条对称轴是x ＝5π 3，则函数g (x ) ＝a sin x ＋cos x 的最大值是 ( ) A.22 3 B.233 C.4 3 D.26 3 由题意得f (0)＝f 10()3 π，∴a ＝－ 32－a 2 . ∴a ＝－ 33, g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233sin 2()3 x π+， ∴g (x )max ＝23 3. (2)若函数f (x )＝a sin ωx ＋b cos ωx (0<ω<5，ab ≠0)的图象的一条对称轴方程是x ＝π 4ω ， 函数f ′(x )的图象的一个对称中心是? ?? ??π8，0，则f (x )的最小正周期是________. (1)B (2)π 由题设，有π()4f ω＝±a 2＋b 2，即22(a ＋b )＝±a 2＋b 2 ，由此得到a ＝b . 又()08f π'=，所以a ω(cos sin )88 πωπω-＝0， 从而tan ωπ 8 ＝1， ωπ 8＝k π＋π 4 ，k ∈Z，即ω＝8k ＋2，k ∈Z，而0<ω<5，所以ω＝2， 于是f (x )＝a (sin 2x ＋cos 2x )＝2a sin (2)4 x π+ 故f(x)的最小正周期是π. 题型八 三角函数的值域与最值的求法及应用 例3(1)求函数y ＝2sin x cos 2 x 1＋sin x 的值域； (2)求函数y ＝sin x cos x ＋sin x ＋cos x 的最值； (3)若函数f (x )＝ 1cos 24sin() 2 x x π ++－a sin x 2·cos(π－x 2 )的最大值为2，试确定常数a 的值． 【解析】22sin (1sin ) 11sin x x x -+（）y= ＝2sin x (1－sin x )＝2sin x －2sin 2 x ＝－2(sin x －12)2＋12. ∵1＋sin x ≠0，∴－1＜sin x ≤1.∴－4＜y ≤1 2. 故函数y ＝2sin x cos 2 x 1＋sin x 的值域为(－4，1 2 ]． (2)令t ＝sin x ＋cos x ，则sin x cos x ＝t 2－1 2 ，且|t |≤ 2. ∴y ＝12(t 2－1)＋t ＝12 (t ＋1)2 －1， ∴当t ＝－1时，y min ＝－1；当t ＝2时，y max ＝2＋1 2 . (3)f (x )＝2cos 2 x 4cos x ＋a sin x 2cos x 2＝12cos x ＋a 2sin x ＝ 14＋a 2 4sin(x ＋φ)，(其中tan φ＝1a ) 由已知得 14＋a 2 4 ＝2，解得a ＝±15. 【点评】求三角函数的最值问题，主要有以下几种题型及对应解法． (1)y ＝a sin x ＋b cos x 型，可引用辅角化为y ＝a 2 ＋b 2 sin(x ＋φ)(其中tan φ＝b a )． (2)y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2 x 型，可通过降次整理化为y ＝A sin2x ＋B cos2x ＋C . (3)y ＝a sin 2 x ＋b cos x ＋c 型，可换元转化为二次函数． (4)sin x cos x 与sin x ±cos x 同时存在型，可换元转化． (5)y ＝a sin x ＋b c sin x ＋d (或y ＝a cos x ＋b c cos x ＋d )型，可用分离常数法或由|sin x |≤1(或|cos x |≤1)来解 决，也可化为真分式去求解． (6)y ＝a sin x ＋b c cos x ＋d 型，可用斜率公式来解决． 例4已知函数f (x )＝sin2x ＋a cos 2 x (a ∈R ，a 为常数)，且π4 是函数y ＝f (x )的一个零点． (1)求a 的值，并求函数f (x )的最小正周期； (2)当x ∈[0，π 2]时，求函数f (x )的最大值和最小值及相应的x 的值． 【解析】(1)由π4是y ＝f (x )的零点得 f (π4)＝sin π2＋a cos 2π 4 ＝0，求解a ＝－2， 则f (x )＝sin2x －2cos 2 x ＝sin2x －cos2x －1＝2sin(2x －π4 )－1， 故f (x )的最小正周期为T ＝2π 2 ＝π. (2)由x ∈[0，π2]得2x －π4∈[－π4，3π4]，则－22≤sin(2x －π 4 )≤1， 因此－2≤2sin(2x －π 4 )－1≤2－1，故当x ＝0时，f (x )取最小值－2， 当x ＝3π 8 时，f (x )取最大值2－1. 设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2(π 2－x )满足f (－π3)＝f (0)，求函数f (x )在[π4， 11π 24 ]上的最大值和最小值． 【解析】f (x )＝a sin x cos x －cos 2 x ＋sin 2 x ＝a 2 sin2x －cos2x 由f (－π3)＝f (0)得－32·a 2＋1 2 ＝－1，解得a ＝2 3. ∴f (x )＝3sin2x －cos2x ＝2sin(2x －π 6 ) 当x ∈[π4，π3]时，2x －π6∈[π3，π 2]，f (x )为增函数． 当x ∈[π3，11π24]时，2x －π6∈[π2，3π 4]，f (x )为减函数． ∴f (x )在[π4，11π24]上的最大值为f (π3)＝2 又∵f (π4)＝3，f (11π 24)＝ 2 ∴f (x )在[π4，11π24]上的最小值为f (11π 24 )＝ 2. 题型九 分类讨论及方程思想在三角函数中的应用 例题：已知函数f (x )＝－2a sin ? ????2x ＋π6＋2a ＋b 的定义域为? ?????0，π2，函数的最大值为1，最 小值为－5，(1)求a 和b 的值. (2)若 a ＞0，设g (x )＝f ? ????x ＋π2且lg g (x )＞0，求g (x )的单调区间． 点评 ①求出2x ＋π6的范围，求出sin(2x ＋π 6)的值域.②系数a 的正、负影响着f (x )的值， 因而要分a >0，a <0两类讨论.③根据a >0或a <0求f (x )的最值，列方程组求解. 解 (1)∵x ∈??????0，π2，∴2x ＋π6∈??????π6，7π6.∴sin ? ????2x ＋π6∈??????－12，1， ∴－2a sin ? ????2x ＋π6∈[－2a ，a ]．∴f (x )∈[b,3a ＋b ]， 又∵－5≤f (x )≤1，∴b ＝－5,3a ＋b ＝1， 因此a ＝2，b ＝－5. (2)由(1)得a ＝2，b ＝－5，∴f (x )＝－4sin ? ????2x ＋π6－1， g (x )＝f ? ? ??? x ＋π2＝－4sin ? ? ??? 2x ＋7π6－1＝4sin ? ? ??? 2x ＋π6－1， 又由lg g (x )＞0得g (x )＞1，∴4sin ? ????2x ＋π6－1＞1， ∴sin ? ????2x ＋π6＞12，∴2k π＋π6＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z ， 其中当2k π＋π6＜2x ＋π6≤2k π＋π2，k ∈Z 时，g (x )单调递增，即k π＜x ≤k π＋π 6，k ∈Z ， ∴g (x )的单调增区间为? ????k π，k π＋π6，k ∈Z . 又∵当2k π＋π2＜2x ＋π6＜2k π＋5π6，k ∈Z 时，g (x )单调递减，即k π＋π6＜x ＜k π＋π 3 ， k ∈Z . 三角函数的图象与性质练习一 一、选择题 1．对于函数f (x )＝2sin x cos x ，下列选项正确的是( ) A ．f (x )在(π4，π 2 )上是递增的 B ．f (x )的图象关于原点对称 C ．f (x )的最小正周期为2π D ．f (x )的最大值为2 【解析】f (x )＝sin2x f (x )在(π4，π 2 )上是递减的，A 错； f (x )的最小正周期为π，C 错； f (x )的最大值为1，D 错；选B. 2．若α、β∈(－π2，π 2 )，那么“α＜β”是“tan α＜tan β”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件 【解析】α、β∈(－π2，π 2 )，tan x 在此区间上单调递增． 当α＜β时，tan α＜tan β；当tan α＜tan β时，α＜β.故选C. 3．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π 2 )的最小正周期为π，将该函数的图象向左平 移π 6 个单位后，得到的图象对应的函数为奇函数，则f (x )的图象( ) A ．关于点(π12，0)对称 B ．关于直线x ＝5π 12对称 C ．关于点(5π12，0)对称 D ．关于直线x ＝π 12 对称 【解析】由已知得ω＝2，则f (x )＝sin(2x ＋φ) 设平移后的函数为g (x )，则g (x )＝sin(2x ＋π3＋φ)(|φ|<π 2 )且为奇函数 ∴φ＝－π3，f (x )＝sin(2x －π 3 ) ∴图象关于直线x ＝5π 12 对称，选B. 4．已知f (x )＝sin x ，x ∈R ，g (x )的图象与f (x )的图象关于点(π 4 ，0)对称，则在区间[0,2π] 上满足f (x )≤g (x )的x 的取值范围是( ) A ．[π4，3π4] B ．[3π4，7π4] C ．[π2，3π2] D ．[3π4，3π2] 【解析】设(x ，y )为g (x )的图象上任意一点，则其关于点(π4，0)对称的点为(π 2 －x ，－y )， 由题意知该点必在f (x )的图象上．∴－y ＝sin(π 2 －x )， 即g (x )＝－sin(π 2－x )＝－cos x ，由已知得sin x ≤－cos x ?sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤0又x ∈[0,2π] ∴3π4≤x ≤7π 4 . 5．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)，g (x )＝3cos(ωx ＋φ)，若对任意x ∈R ，都有f (π 3 ＋x )＝ f (π3－x )，则 g (π 3 )＝____. 【解析】由f (π3＋x )＝f (π3－x )，知y ＝f (x )关于直线x ＝π3对称，∴sin(ω·π 3＋φ)＝±1. ∴g (π3)＝3cos(ω·π3＋φ)＝31－sin 2 ω·π3 ＋φ＝0. 6．设函数f (x )＝2sin(πx 2＋π 5 )，若对任意x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 2－x 1| 的最小值为____. 【解析】由“f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立”，可得f (x 1)、f (x 2)分别是f (x )的最小值、最大值． ∴|x 2－x 1|的最小值为函数f (x )的半周期，又T ＝2π π2 ＝4.∴|x 2－x 1|min ＝2. 7．已知函数f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )是f (x )的导函数． (1)求f ′(x )及函数y ＝f ′(x )的最小正周期； (2)当x ∈[0，π2 ]时，求函数F (x )＝f (x )f ′(x )＋f 2 (x )的值域． 【解析】(1)f ′(x )＝cos x －sin x ＝－2sin(x －π 4 ) ∴y ＝f ′(x )的最小正周期为T ＝2π. (2)F (x )＝cos 2x －sin 2 x ＋1＋2sin x cos x ＝1＋sin2x ＋cos2x ＝1＋2sin(2x ＋π 4) ∵x ∈[0，π2]，∴2x ＋π4∈[π4，5π4] ∴sin(2x ＋π4)∈[－2 2 ，1]， ∴函数F (x )的值域为[0,1＋2]． 8．设函数f (x )＝2cos x (sin x ＋cos x )－1，将函数f (x )的图象向左平移α个单位，得到函数y ＝g (x )的图象． (1)求函数f (x )的最小正周期； (2)若0＜α＜π 2 ，且g (x )是偶函数，求α的值． 【解析】(1)∵f (x )＝2sin x cos x ＋2cos 2 x －1 ＝sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π 4)， ∴f (x )的最小正周期T ＝2π 2 ＝π. (2)g (x )＝f (x ＋α)＝2sin[2(x ＋α)＋π4]＝2sin(2x ＋2α＋π 4 )， g (x )是偶函数，则g (0)＝±2＝2sin(2α＋π 4 )， ∴2α＋π4＝k π＋π2，k ∈Z .α＝k π2＋π 8(k ∈Z )， ∵ 0＜α＜π2，∴α＝π 8 . 三角函数的图象与性质练习二 1.函数f (x )＝sin ? ????2x ＋π3图象的对称轴方程可以为 ( ) A.x ＝5π 12 B.x ＝π3 C.x ＝π 6 D .x ＝π 12 解析 令2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π 12(k ∈Z )，令k ＝0得该函数的一条对称轴为x ＝ π 12 .本题也可用代入验证法来解．答案 D 2.y ＝sin ? ????x －π4的图象的一个对称中心是 ( ) A.(－π，0) B.? ????－3π4，0 C.? ????3π2，0 D.? ?? ??π2，0 3.函数y ＝3cos(x ＋φ)＋2的图象关于直线x ＝π 4对称，则φ的可能取值是 ( ) A. 3π 4 B.－3π4 C.π4 D.π 2 二、填空题 4.函数y ＝lg(sin x )＋ cos x －12的定义域为____(2k ,2k ]3 π ππ+(k ∈Z )_________. 5.已知函数f (x )＝3sin(ωx －π 6)(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同. 若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是____32?? -???? ，3___________. 4．函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在? ?????0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么 ω等于________． 解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在? ?????0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所以2sin π4ω＝3，且0＜π4ω＜π2，因此ω＝4 3. 答案 4 3 6.关于函数f (x )＝4sin ? ????2x ＋π3 (x ∈R )，有下列命题： ①由f (x 1)＝f (x 2)＝0可得x 1－x 2必是π的整数倍；②y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ? ????2x －π6； ③y ＝f (x )的图象关于点? ????－π6，0对称；④y ＝f (x )的图象关于直线x ＝－π6对称. 其中正确命题的序号是___________.②③ 解析 函数f (x )＝4sin ? ????2x ＋π3的最小正周期T ＝π，由相邻两个零点的横坐标间的距离是T 2＝ π 2 知①错． 利用诱导公式得f (x )＝4cos ?? ?? ??π2－? ????2x ＋π3＝ 4cos ? ????π6－2x ＝4cos ? ????2x －π6，知②正确． 由于曲线f (x )与x 轴的每个交点都是它的对称中心，将x ＝－ π 6 代入得f (x )＝4sin ???? ??2×? ????－π6＋π3＝4sin 0＝0， 因此点? ?? ??－π6，0是f (x )图象的一个对称中心，故命题③正确．曲线f (x )的对称轴必经过图象的最高点或最低点，且与y 轴平行，而x ＝－π6时y ＝0，点? ????－π6，0不是最高点也不是最低点， 故直线x ＝－π 6不是图象的对称轴，因此命题④不正确． 答案 ②③ 三、解答题 7.设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π 8. (1)求φ； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间. 解 (1)－3π 4 (2)由(1)得：f (x )＝sin ? ????2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π 2＋2k π，k ∈Z ， 可解得π8＋k π≤x ≤5π 8＋k π，k ∈Z ， 因此y ＝f (x )的单调增区间为 ???? ??π8＋k π，5π8＋k π，k ∈Z . 8.(1)求函数y ＝2sin ? ????2x ＋π3 (－π6 (2)求函数y ＝2cos 2 x ＋5sin x －4的值域. 解 (1)∵－π6 ∴y ＝2sin ? ????2x ＋π3的值域为(0,2]. (2)y ＝2cos 2 x ＋5sin x －4＝2(1－sin 2 x )＋5sin x －4＝－2sin 2 x ＋5sin x －2 ＝－2? ????sin x －542＋98. ∴当sin x ＝1时，y max ＝1，当sin x ＝－1时，y min ＝－9， ∴y ＝2cos 2 x ＋5sin x －4的值域为[－9,1]. 三角函数的图象与性质练习三 一、选择题 1.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈? ?????0，π2 时，f (x )＝sin x ，则 f ? ?? ??5π3的值为 ( ) A.－1 2 B.12 C.－32 D.32 2.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间???? ??－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于 ( ) A.23 B .3 2 C.2 D.3 3.函数f (x )＝cos 2x ＋sin ? ?? ??5π2＋x 是 ( ) A.非奇非偶函数 B.仅有最小值的奇函数 C.仅有最大值的偶函数 D.有最大值又有最小值的偶函数 二、填空题 4.设定义在区间(0，π 2)上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为____2 3 _______. 5.函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在? ?????0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，那么ω ＝____4 3 _______. 解析 因为f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在? ?????0，π4上单调递增，且在这个区间上的最大值是3，所 以2sin π4ω＝3，且0＜π4ω＜π2，因此ω＝43.答案 4 3 6.给出下列命题： ①函数y ＝cos ? ????23 x ＋π2是奇函数； ②存在实数α，使得sin α＋cos α＝32； ③若α、β是第一象限角且α<β，则tan α 条对称轴； ⑤函数y ＝sin ? ????2x ＋π3的图象关于点? ????π12，0成中心对称图形. 其中正确的序号为___________. 三、解答题 7.若函数f (x )＝sin 2 ax －sin ax ·cos ax (a >0)的图象与直线y ＝m 相切，并且切点的横坐标依次成公差为π 2 的等差数列. (1)求m 的值； (2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈? ?????0，π2，求点A 的坐标. 7.解 (1)f (x )＝12(1－cos 2ax )－1 2sin 2ax ＝－12(sin 2ax ＋cos 2ax )＋1 2 ＝－ 22sin ? ? ???2ax ＋π4＋12. ∵y ＝f (x )的图象与y ＝m 相切， ∴m 为f (x )的最大值或最小值， 即m ＝1＋22或m ＝1－2 2 . (2)∵切点的横坐标依次成公差为π2的等差数列，∴f (x )的最小正周期为π 2 . T ＝ 2π|2a |＝π 2 ，a >0，∴a ＝2， 即f (x )＝－ 22sin ? ????4x ＋π4＋12. 由题意知sin ? ????4x 0＋π4＝0，则4x 0＋π4＝k π (k ∈Z )，∴x 0＝k π4－π16 (k ∈Z ). 由0≤ k π4 －π16≤π 2 (k ∈Z )得k ＝1或2， 因此点A 的坐标为? ????316π，12，? ?? ??716π，12.