2015年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题答案
一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合 题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. 1、设函数()f x 在∞∞(-,+)连续,其2阶导函数()f x ''的图形如下图所示,则曲线()y f x =的拐点个数为()
(A )0 (B )1 (C )2 (D )3 【答案】(C)
【考点】拐点的定义 【难易度】★★
【详解】拐点出现在二阶导数等于0,或二阶导数不存在的点上,并且在这点的左右两侧二阶导数异号,因此,由()f x ''的图形可知,曲线()y f x =存在两个拐点,故选(C).
2、设21123x x y e x e ??
=+- ??
?是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce "+'+=的一个特解,则()
(A )3,1, 1.a b c =-=-=- (B )3,2, 1.a b c ===- (C )3,2, 1.a b c =-== (D )3,2, 1.a b c === 【答案】(A)
【考点】常系数非齐次线性微分方程的解法 【难易度】★★ 【详解】
211,23
x x
e e -为齐次方程的解,所以2、1为特征方程2+0a b λλ+=的根,从而()123,122,a b =-+=-=?=再将特解x y xe =代入方程32x y y y ce "-'+=得: 1.c =-
3、若级数
1
n
n a
∞
=∑条件收敛,则x =
3x =依次为幂级数()1
1n
n n na x ∞
=-∑的:
(A )收敛点,收敛点 (B )收敛点,发散点 (C )发散点,收敛点 (D )发散点,发散点 【答案】(B)
【考点】级数的敛散性 【难易度】★★★ 【详解】因为
1
n n a ∞=∑条件收敛,故2x =为幂级数()1
1n
n n a x ∞
=-∑的条件收敛点,进而得
()11n
n n a x ∞
=-∑的收敛半径为1,收敛区间为()0,2,又由于幂级数逐项求导不改变收敛区间,故
()
1
1n
n
n na x ∞
=-∑的收敛区间仍为()0,2,因而x =
3x =依次为幂级数()1
1n
n n na x ∞
=-∑的收敛
点、发散点.
4、设D 是第一象限中曲线21,41xy xy ==与直线,y x y ==围成的平面区域,函数(,)f x y 在D 上连续,则
(,)D
f x y dxdy =??
(A )
12sin 21
4
2sin 2(cos ,sin )d f r r rdr π
θπθθθθ??
(B )24
(cos ,sin )d f r r rdr π
πθθθ?
(C )
13sin 21
4
2sin 2(cos ,sin )d f r r dr πθπθ
θθθ??
(D )34
(cos ,sin )d f r r dr π
πθθθ?
【答案】(D)
【考点】二重积分的极坐标变换 【难易度】★★★
【详解】由y x =得,4
π
θ=
;由y =得,3
π
θ=
由21xy =得,2
2cos sin 1,
r r θθ==
由41xy =得,2
4cos sin 1,
r r θθ==
所以
3
4
(,)(cos ,sin )D
f x y dxdy d f r r rdr π
πθθθ=???
5、设矩阵21111214A a a ?? ?= ? ???,21b d d ?? ?= ? ???
,若集合{1,2}Ω=,则线性方程组Ax b =有无穷多个解的充分必要条件为
(A ),a d ?Ω?Ω (B ),a d ?Ω∈Ω (C ),a d ∈Ω?Ω (D ),a d ∈Ω∈Ω 【答案】(D)
【考点】非齐次线性方程组的解法 【难易度】★★
【详解】[]()()
()()2
21111
1111
,12011
1
1400
1212A b a d a d a d a a d d ????
????=??→--???
?
????----????
Ax b =有无穷多解()(,)3R A R A b ?=< 1a ?=或2a =且1d =或2d =
6、设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2
2
2
1232y y y +-,其中
123(,,)P e e e =,若132(,,)Q e e e =-,则123(,,)f x x x 在正交变换x Qy =下的标准形为
(A )2
2
2
1232y y y -+ (B )2
2
2
1232y y y +- (C )2
2
2
1232y y y -- (D )2
2
2
1232y y y ++ 【答案】(A) 【考点】二次型 【难易度】★★
【详解】由x Py =,故222
123()2T T T f x Ax y P AP y y y y ===+-且:200010001T P AP ????=????-??
100200001,()010010001T T T Q P PC Q AQ C P AP C ????
????====-????????-????
所以222123()2T T T f x Ax y Q AA y y y y ===-+,故选(A)
7、若,A B 为任意两个随机事件,则
(A )()()()P AB P A P B ≤ (B )()()()P AB P A P B ≥
(C )()()()2P A P B P AB +≤
(D )()()
()2
P A P B P AB +≥
【答案】(C)
【考点】
【难易度】★★
【详解】)()(),()(AB P B P AB P A P ≥≥Θ
)(2)()(AB P B P A P ≥+∴ ()()
()2
P A P B P AB +∴≤
故选(C )
8、设随机变量X,Y 不相关,且2,1,3,EX EY DX ===则()2E X X Y +-=???? (A )-3 (B )3 (C )-5 (D )5 【答案】(D) 【考点】
【难易度】★★★ 【详解】
()()()()()()()()()22
2
22225
E X X Y E X XY X E X E XY E X D X E
X E X E Y E X ??+-=+-=+-??????
=++-=
二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在答题纸...
指定位置上. 9、2
0ln cos lim
x x
x →=
【答案】1
2
-
【考点】极限的计算 【难易度】★★
【详解】2
222200001
ln cos ln(1cos 1)cos 112lim lim lim lim 2
x x x x x x x x x x x x →→→→-+--====- 10、2-2
sin ()1cos x
x dx x
π
π
+=
+?
【答案】
2
4
π
【考点】积分的计算 【难易度】★★
【详解】2
2
20-2
sin ()21cos 4x x dx xdx x π
π
ππ+==+?? 11、若函数(,)z z x y =由方程+cos 2z
e xyz x x ++=确定,则(0,1)
dz =.
【答案】
【考点】隐函数求导 【难易度】★★
【详解】令(,,)cos 2z
F x y z e xyz x x =+++-,则1sin x F yz x '=+-,y F xz '=,z F xy '=,
又当0,1x y ==时,0z =,所以(0,1)1x z F z x F '?=-=-'
?,
(0,1)0y z F z
y F '?=-='?,因而(0,1)
dz dx =-
12、设Ω是由平面1x y z ++=与三个坐标平面所围成的空间区域,则
(23)x y z dxdydz Ω
++???=
【答案】
1
4
【考点】三重积分的计算 【难易度】★★★
【详解】由轮换对称性,得
x +2y +3z ()dx dydz W
òòò=6zdx dydz W
òòò=6zdz 01
òdx dy D z
òò
其中D z 为平面z =z 截空间区域W 所得的截面,其面积为
12
1-z ()2
.所以 x +2y +3z ()dx dydz W
òòò=6z dx dydz W
òòò=6z ×
121-z ()2dz =0
1
ò3z 3-2z 2
+z ()dz =0
1ò14
13、n 阶行列式2002-1202
002200-12L L M M O M M L
L
=
【答案】122n +- 【考点】行列式的计算 【难易度】★★★
【详解】按第一行展开得
=2n +1-2
14、设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布(1,0,1,1,0)N ,则(0)P XY Y -<=.
【答案】
12
【考点】
【难易度】★★
【详解】(,)~(1,0,1,1,0)X Y N Q ,~(1,1),~(0,1),X N Y N ∴且,X Y 独立
1~(0,1)X N ∴-,}{}{0(1)0P XY Y P X Y -<=-<
}{}{10,0100P X Y P X Y =-<>+-><,11111
22222
=?+?=
三、解答题:15~23小题,共94分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15、(本题满分10分)
设函数()ln(1)sin f x x a x bx x =+++?,3
()g x kx =,若()f x 与()g x 在0x →是等价无穷小,求a ,b ,k 值。
【考点】等价无穷小量,极限的计算
【难易度】★★★
【详解】()ln(1)sin f x x a x bx x =+++?
()()23333233!x x x x a x
x bx x x οο????=+-+++-+????????
()()233 123a a a x b x x x ο??
=++-+++ ???
3()()f x g x kx ∴=与是等价无穷小
1+0110 22133a a a b b a k k ??
??==-??
??
∴-+=?=-????
??
==-????
16、(本题满分10分)
设函数在()f x 定义域I 上的导数大于零,若对任意的0x I ∈,曲线()y f x =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成的区域的面积为4,且(0)2f =,求()f x 的表达式. 【考点】微分方程 【难易度】★★★ 【详解】如下图:
0x x =处的切线方程为l :000()()()y f x x x f x '=-+
l 与x 轴的交点为:0y =时,000()
()
f x x x f x =-
',则000()()f x AB x x f x =
=-', 因此,000011()
()()422()
f x S AB f x f x f x =
?=='.即满足微分方程:218y y '=,解得:
11
8
x c y =-+. 又因(0)2y =,所以12c =,故84y x
=-. 17、(本题满分10分)
已知函数xy y x y x f ++=),(,曲线3:2
2
=++xy y x C ,求),(y x f 在曲线C 上的最大方向导数.
【考点】方向导数,条件极值 【难易度】★★★
【详解】根据方向导数与梯度的关系可知,方向导数沿着梯度方向可取到最大值且为梯度的模.,故
()x y y x gradf ++=1,1),(
故),(y x f 在曲线C 上的最大方向导数为
()22)1(1x y +++,其中y x ,满足322=++xy y x ,
即就求函数2
2
)1()1(x y z +++=在约束条件032
2
=-++xy y x 下的最值. 构造拉格朗日函数=),,(λy x F )3()1()1(2
2
2
2
-++++++xy y x x y λ
令?????????=-++=??=+++=??=+++=??0302)1(202)1(222xy y x F x y y y
F y x x x F
λ
λλλλ可得)1,1(),1,1(--)2,1(),2,2(,-- 其中)2,1(9)1,2(,0)1,1(,4)1,1(-==-=--=z z z z 综上根据题意可知),(y x f 在曲线C 上的最大方向导数为3. 18、(本题满分10分)
(Ⅰ)设函数(),()u x v x 可导,利用导数定义证明
[()()]'='()()()()'u x v x u x v x u x v x +
(Ⅱ)设函数12(),()...()n u x u x u x 可导,12()()()...(),n f x u x u x u x =写出()f x 的求导公式.
【考点】导数定义 【难易度】★★ 【详解】()
I
()()()()()()()()[]
()()'
00
''()
lim ()()() lim
()()
x x u x x v x x u x v x u x v x x
u x x u x v x x u x v x x v x x
u x v x u x v x →→+?+-??=????+-?++?+-????==?+?V V V V V V V V V
()∏
[]{}
[][][]{}
'
'12'
'1212'
'12123'''121212()()()() ()()()()()() ()()()()()()() ()()()()()()()()n n n n n n n n f x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u =?=?+?=?+??=?+?++?L L L L L L
L L L L ()
x
19、(本题满分10分)
已知曲线L
的方程为,
z z x ?=??=??
起点为A
,终点为(0,B ,计算曲线积
分2222()()()L
I y z dx z x y dy x y dz =
++-+++?
【考点】曲线积分的计算
【难易度】★★★
【详解】曲线L
的参数方程为cos ,
,cos ,
x y z θθθ=??
=??=?
θ从2π到2π-
2222()()()L
I y z dx z x y dy x y dz =++-+++?
22
2
2
23
2
2
22
22
2
cos)sin(cos2sin)sin
1
sin2sin sin
2
sin
2
d
d
d d
π
π
π
π
ππ
π
θθθθθθθθ
θθθθθ
θθθθ
-
-
-
??
=-++-+
??
??
=+--
?
??
====
?
?
?
20、(本题满分11分)
设向量组
123
,,
ααα是3维向量空间3?的一个基,
113
22k
βαα
=+,
22
2
βα
=,313
(1)
k
βαα
=++。
(Ⅰ)证明向量组
123
,,
βββ是3?的一个基;
(Ⅱ)当k为何值时,存在非零向量ξ在基123
,,
ααα与基
123
,,
βββ下的坐标相同,并求出所有的ξ。
【考点】线性无关,基下的坐标
【难易度】★★★
【详解】(Ⅰ)
123
(,,)
βββ=
123
201
(,,)020
201
k k
ααα
??
?
?
?
+
??
因为
201
21
020240
21
201
k k
k k
==≠
+
+
,
所以
123
,,
βββ线性无关,
123
,,
βββ是3?的一个基。
(Ⅱ)设
201
020
201
P
k k
??
?
= ?
?
+
??
,P为从基123
,,
ααα到基
123
,,
βββ的过渡矩阵,又设ξ在基123
,,
ααα下的坐标为
123
(,,)T
x x x x
=,则ξ在基
123
,,
βββ下的坐标为1
P x-,
由1
x P x
-
=,得Px x
=,即()0
P E x
-=
由1
0111
100220P E k k
k k
k
-===-=,得0k =,并解得10,1x c c -??
?= ? ?
??为任意常数。
从而ξ13,c c c αα=-+为任意常数。 21、(本题满分11分)
设矩阵02-3-1331-2A a ?? ?=- ?? ??相似于矩阵1-2000031B b ??
?= ?
? ??
. (Ⅰ)求,a b 的值.
(Ⅱ)求可逆矩阵P ,使得1
P
AP -为对角阵.
【考点】相似矩阵,相似对角化
【难易度】★★★
【详解】由02313312A a -?? ?=-- ? ?-??相似于12000031B b -?? ?
= ? ???
则0311
023120,1330012031a b b a ++=++??
--??--=?
??
解得4,5a b ==
223()||1
3
3
(1)(5)01
2
4
A f E A λ
λλλλλλ-=-=-=--=--
当121,λλ==123123()123000123000E A λ--????
? ?
-=-→ ? ? ? ?--????
特征向量12231,001ξξ-????
? ?
== ? ? ? ?????
,
当35231231015,()123121011121523000E A λλ-?????? ? ? ?=-=→-→ ? ? ?
? ? ?--??????
则特征向量311,1ξ-?? ?=- ? ???所以123231(,,)101,011P ξξξ--?? ?==- ? ???
得1100010005P AP -?? ?= ? ??? 22、(本题满分11分) 设随机变量X 的概率密度为
-2ln 20
()=00x x f x x ?>?≤?
对X 进行独立重复的观测,直到第2个大于3的观测值出现时停止,记Y
为观测次数.
(Ⅰ)求Y 的概率分布; (Ⅱ)求EY . 【考点】
【难易度】★★★★ 【详解】{}23
132ln 8x P x dx +∞
->=
=
?
(I ){}122
2211
717()()
(1)()(),2,3,4 (8)
8
88
k k k P Y k C k k ---===-=
(∏)2
22221717
(1)()()(1)()88648k k K k EY k k k k +∞
+∞--===-=-∑∑
设级数2
3221112()(1)646464(1)k k k k S x k k x x x +∞+∞-==''??=-==???-??
∑∑ 7()168S =所以7
()168
EY S == 23、(本题满分11分) 设总体X 的概率密度为
1
1(;)=10
x f x θθθ
?≤≤?
-???其他
其中θ为未知参数,12.....n X X X ,为来自该总体的简单随机样本. (Ⅰ)求θ的矩估计.
(Ⅱ)求θ的最大似然估计. 【考点】
【难易度】★★★ 【详解】由题可得(I )
21
111
11|1122
112
12n
n
i i i i x x EX dx x x n n θθθ
θθθθ∧
∧
==+==?=
--+=?=-?∑∑
(∏)联合概率密度
121
(,,,;),1(1)
n i n
f x x x x θθθ=≤≤-L (1)
ln ln f n θ-=-ln 01d f n
d θθ
=>-,故取 {}12min ,,,n x x x θ∧
=L