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2017年考研数学三真题与解析

2017年考研数学三真题

一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．

．若函数0(),0x f x b x >=?≤?

在0x =处连续，则（A ）12ab =

（B ）1

ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =

【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x

f x ax ax a

+++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11

b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（）

（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,)

【详解】

2(3)32z y x y xy y xy y x ?=---=--?，232z

x x xy y

?=--?， 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x

????=-=-==-?????? 解方程组2

2320320z y xy y x z x x xy y

??=--=??????=--=???，得四个驻点．对每个驻点验证2

AC B -，发现只有在点11(,)处满足

230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ）

3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则

（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <-

【详解】设2

()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2

()f x 是单调增加函数．也就得到

()

()2

(1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ）

4．若级数

1sin ln(1)n k n n ∞

=??--???

?∑收敛，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-

【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ??????

??--=---+=++ ? ? ? ? ?????????

显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1

的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．

5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则

（A ）T E αα-不可逆（B ）T

E αα+不可逆（C ）2T

E αα+不可逆（D ）2T

E αα-不可逆

【详解】矩阵T

αα的特征值为1和1n -个0，从而,,2,2T T T T E E E E αααααααα-+-+的特征值分别为0,1,1,1 ；2,1,1,,1 ；1,1,1,,1- ；3,1,1,,1 ．显然只有T

E αα-存在零特征值，所以不可逆，应该选（A ）．

6．已知矩阵200021001A ?? ?= ? ???，210020001B ?? ?= ? ???，100020002C ?? ?

= ? ???

，则

（A ）,A C 相似，,B C 相似（B ）,A C 相似，,B C 不相似（C ）,A C 不相似，,B C 相似（D ）,A C 不相似，,B C 不相似

【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===．是否可对解化，只需要关心2λ=的情况．

对于矩阵A ，0002001001E A ??

-=- ? ???

，秩等于1 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特

征向量，也就是可以对角化，也就是~A C ．

对于矩阵B ，010*******E B -?? ?

-= ? ???

，秩等于2 ，也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特

征向量，也就是不可以对角化，当然,B C 不相似故选择（B ）．

7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B 与C 相互独立的充分必要条件是（）

（A ）,A B 相互独立（B ）,A B 互不相容（C ）,AB C 相互独立（D ）,AB C 互不相容【详解】

(())()()()()()()()()()P A B C P AC AB P AC P BC P ABC P A P C P B P C P ABC =+=+-=+-

()()(()()())()()()()()()()P A B P C P A P B P AB P C P A P C P B P C P AB P C =+-=+-

显然，A B 与C 相互独立的充分必要条件是()()()P ABC P AB P C =，所以选择（C ）．

8．设12,,,(2)n X X X n ≥ 为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若1

i i X X n ==∑，则下列结论中不

正确的是（）

（A ）

()n

i i X μ=-∑服从2χ分布（B ）()2

12n X X -服从2χ分布

（C ）

()n

i X

X =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2χ分布

解：（1）显然22

()~(0,1)()~(1),1,2,i i X N X i n μμχ-?-= 且相互独立，所以

()n

i X

μ=-∑服从

2()n χ分布，也就是（A ）结论是正确的；

（2）

(1)()(1)~(1)n

i n S X

X n S n χσ

=--=-=

-∑，所以（C ）结论也是正确的；

（3

）注意221

~(,))~(0,1)()~(1)X N X N n X n

μμμχ?-?-，所以（D ）结论也是正确的；

（4）对于选项（B ）

：22111

()~(0,2)~(0,1)()~(1)2

n n X X N N X X χ-?

?-，所以（B ）结

论是错误的，应该选择（B ）

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9

．

3(sin x dx π

=? ．

解：由对称性知

(sin

x dx π

ππ-

+==

．

10．差分方程122t t t y y +-=的通解为．【详解】齐次差分方程120t t y y +-=的通解为2x

y C =；设122t t t y y +-=的特解为2t t y at =，代入方程，得12

a =；所以差分方程122t t t y y +-=的通解为12 2.2

t y C t =+

11．设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 .

【详解】答案为1(1)Q Q e -+-．

平均成本()1Q C Q e -=+，则总成本为()()Q C Q QC Q Q Qe -==+，从而边际成本为

()1(1).Q C Q Q e -'=+-

12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则

(,)f x y =

【详解】(,)(1)()y y y df x y ye dx x y e dy d xye =++=，所以(,)y f x y xye C =+，由(0,0)0f =，得0C =，所以(,)y f x y xye =．

13．设矩阵101112011A ??

= ? ???

，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123,,A A A ααα的秩

为．

【详解】对矩阵进行初等变换101101101112011011011011000A ??????

? ? ?

=→→ ? ? ? ? ? ???????

，知矩阵A 的秩为2，由于

123,,ααα为线性无关，所以向量组123,,A A A ααα的秩为2．

14．设随机变量X 的概率分布为{}1

P X =-=

，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．

【详解】显然由概率分布的性质，知112

a b ++

= 12133102EX a b a b =-?+?+?=+-=，解得11

,44

a b ==

29292EX a b =++=，229

()2

DX EX E X =-=．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限0

lim t x dt +

→【详解】令x t u -=，则,t x u dt du =-=-

，

t x u dt du -=?

002

lim

lim lim

lim 3

t x u u x x x x x dt e du du +

+---→→→→====

计算积分3242

(1)D

y dxdy x y ++??，其中D

是第一象限中以曲线y =与x 轴为边界的无界区域．【详解】

2422420024

242

00220(1)(1)1(1)4(1)1111411282D

y y dxdy dx dy x y x y d x y dx x y dx x x π+∞+∞

+∞=++++++=++???=

-=- ? ++????

?????

17．（本题满分10分）求21

lim

ln 1n

n k k k n n →∞=??

+ ???∑ 【详解】由定积分的定义

20111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24

n n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞

→∞==????+=+=+ ? ?????=+=∑∑??

18．（本题满分10分）已知方程

ln(1)k x x

-=+在区间(0,1)内有实根，确定常数k 的取值范围．

【详解】设11

(),(0,1)ln(1)f x x x x

-∈+，则

222

11(1)ln (1)()(1)ln (1)(1)ln (1)

x x x f x x x x x x x ++-'=-+=++++ 令22()(1)ln (1)g x x x x =++-，则2(0)0,(1)2ln 21g g ==-

2()ln (1)2ln(1)2,(0)0g x x x x g ''=+-+-=

2(ln(1))

()0,(0,1)1x x g x x x

+-''=

<∈+，所以()g x '在(0,1)上单调减少，

由于(0)0g '=，所以当(0,1)x ∈时，()0)0g x g ''<=，也就是()g x ()g x '在(0,1)上单调减少，当(0,1)

x ∈时，()(0)0g x g <=，进一步得到当(0,1)x ∈时，()0f x '<，也就是()f x 在(0,1)上单调减少．

00011ln(1)1

lim ()lim lim ln(1)ln(1)2x x x x x f x x x x x +++

→→→??-+=-== ?++?

?，1(1)1ln 2f =-，也就是得到111ln 22k -<<．

设01111

1,0,()(1,2,3),1n n n a a a na a n n +-===

+=+ ，()S x 为幂级数0

n n n a x ∞

=∑的和函数（1）证明

n n a x

∞

=∑的收敛半径不小于1．

（2）证明(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-，并求出和函数的表达式．【详解】（1）由条件11111

()(1)1

n n n n n n a na a n a na a n +-+-=

+?+=++ 也就得到11(1)()()n n n n n a a a a +-+-=--，也就得到

111

,1,2,1

n n n n a a n a a n +--=-=-+

1112110112101

(1)(1)!

n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a n ++--------=???=-----+ 也就得到1

(1)

,1,2,(1)!

n n n a a n n ++-=-=+

1112112

1()()()(1)!

k n n n n n k a a a a a a a a k +++-==-+-++-+=-∑

1n n n ρ=≤≤=，所以收敛半径1R ≥ （2）所以对于幂级数

n n a x

∞

=∑，由和函数的性质，可得1

()n n

n S x na x

∞

-='=

∑，所以

111

(1)()(1)(1)((1))()

n n n

n n n n n n n

n n n n n

n n n n

n n n n n n n n x S x x na x

na x

na x n a x na x a n a na x a x a x

x a x xS x ∞

∞

--===∞

∞

+==∞

+=∞∞

∞

+-==='-=-=-=+-=++-====∑∑∑∑∑∑∑∑∑

也就是有(1)()()0((1,1))x S x xS x x '--=∈-．

解微分方程(1)()()0x S x xS x '--=，得()1x

Ce S x x

-=-，由于0(0)1S a ==，得1C =

所以()1x

e S x x

-=-．

设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值，且3122.ααα=+ （1）证明：()2r A =；

（2）若123,βααα=+，求方程组Ax β=的通解．

【详解】（1）证明：因为矩阵有三个不同的特征值，所以A 是非零矩阵，也就是()1r A ≥．

假若()1r A =时，则0r =是矩阵的二重特征值，与条件不符合，所以有()2r A ≥，又因为

31220ααα-+=，也就是123,,ααα线性相关，()3r A <，也就只有()2r A =．

（2）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量．由于31220ααα-+=，所

以基础解系为121x ??

= ? ?-??

；

又由123,βααα=+，得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111?? ?

? ???；

方程组Ax β=的通解为112111x k ???? ? ?

=+ ? ? ? ?-????

，其中k 为任意常数．

21．（本题满分11分）设二次型2

12312

31213

23(,,)2282f x x x x x a x x x x x x x =

++-+在正交变换x Qy =下的标准形为22

1122

y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q ．【详解】二次型矩阵21411141A a -??

=- ? ?-??

因为二次型的标准形为22

1122

y y λλ+．也就说明矩阵A 有零特征值，所以0A =，故 2.a = 1

1(3)(6)4

E A λλλλλλλ---=+=+---

令

0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==．

通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-

的特征向量1111ξ???

=-???，属于特征值特征值26λ=

的特征向量2101ξ-???

=???

，30λ=

的特征向量3121ξ??

?=???，所以(

)123,,0Q ξξξ? == ?为所求正交矩阵． 22．（本题满分11分）

设随机变量,X Y 相互独立，且X 的概率分布为{}1

0{2}2

P X P X ====

，Y 的概率密度为2,01()0,y y f y <

其他．

（1）求概率P Y EY ≤（）；

（2）求Z X Y =+的概率密度．【详解】（1）1202

()2.3

Y EY yf y dy y dy +∞

-∞

==?

所以{}2

30242.39P Y EY P Y ydy ?

?≤=≤==???

（2）Z X Y =+的分布函数为

{}{}{}{}

{}{}{}[](),0,20,2,211

{}2221

()(2)2Z Y Y F z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z X P X Y z P X Y z P Y z P Y z F z F z =≤=+≤=+≤=++≤===≤+=≤-=

≤+≤-=+-

故Z X Y =+的概率密度为

[]1

()()()(2)2

,012,230,Z Z f z F z f z f z z z z z '==

+-≤≤??

=-≤

其他 23．（本题满分11分）

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了n 次测量，该物体的质量μ是已知的，设

n 次测量结果12,,,n X X X 相互独立且均服从正态分布2(,).N μσ该工程师记录的是n 次测量的绝对误

差,(1,2,,)i i Z X i n μ=-= ，利用12,,,n Z Z Z 估计参数σ．（1）求i Z 的概率密度；

（2）利用一阶矩求σ的矩估计量；（3）求参数σ最大似然估计量．【详解】（1）先求i Z 的分布函数为

{}{}()i Z i i X z F z P Z z P X z P μμσ

σ?-?=≤=-≤=≤????

当0z <时，显然()0Z F z =；

当0z ≥时，{}{}

()21i Z i i X z z

F z P Z z P X z P μμσ

σσ

?-???

=≤=-≤=≤=Φ-?

? ???

?；所以i Z

的概率密度为2

2,0()()0,0z Z Z z f z F z z σ-?≥'==

．

（2

）数学期望2

220

()z i EZ z f z dz dz σ-+∞

+∞

令11n i i EZ Z Z n ===∑，解得σ

的矩估计量1

i i Z σ===

．

（3）设12,,,n Z Z Z 的观测值为12,,,n z z z ．当0,1,2,i z i n >= 时

似然函数为21

()(,)n

i i n n

z i i L f z σ

σσ=-

=∑=

∏，

取对数得：2

ln ()ln 2ln(2)ln 22n

i n L n n z

σπσσ==---

∑

令2

ln ()10n i i d L n z d σσσσ==-+=∑，得参数σ

最大似然估计量为σ=

2017年考研数学一真题

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（） (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <- （3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（） (A)12 (B)6 (C)4 (D)2 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则（） (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t > ()s （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（） (A) T E αα-不可逆 (B) T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆 (D)2T E αα-不可逆（6）已知矩阵200021001A ????=?????? 2100200 01B ????=??????100020002C ????=??????，则（） (A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似

2017年考研数学二真题解析

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1））若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（） (A)12 ab = (B)12 ab =- (C)0ab = (D)2ab = 【答案】A 【解析】00112lim lim ,()2x x x f x ax a ++→→==Q 在0x =处连续11.22b ab a ∴=?=选A. （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且'' ()0f x >，则（） ()()1 1 110 1 1 1 10()()0 ()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><>

2017年考研数学一真题与解析汇总

2017年考研数学一真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-===，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2 ()f x 是单调增加函数．也就得到 () ()2 2 (1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 3．函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为（A ）12 （B ）6 (C ）4 （D ）2 【详解】 22,,2f f f xy x z x y z ???===???，所以函数在点(1,2,0)处的梯度为()4,1,0gradf =，所以 22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,2)n =的方向导数为 ()01 4,1,0(1,2,2)23f gradf n n ?=?=?=?应该选（D ）４．甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：米/秒），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =（单位：米/秒），三块阴影部分的面积分别为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻为0t ，则（）（A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t > 【详解】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线

2017年考研数学三真题及答案解析

2017年考研数学三真题及解析一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 【详解】 2(3)32z y x y xy y xy y x ?=---=--?，232z x x xy y ?=--?，解方程组2 2320320z y xy y x z x x xy y ??=--=??????=--=???，得四个驻点．对每个驻点验证2 AC B -，发现只有在点11(,)处满足 230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ） 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ） (1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2 ()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2 ()f x 是单调增加函数．也就得到 () ()2 2 (1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 4．若级数 21 1sin ln(1)n k n n ∞ =??--??? ?∑收敛，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2- 【详解】iv n →∞时22221111111111sin ln(1)(1)22k k k o k o n n n n n n n n n ???????? --=---+=++ ? ? ? ? ????? ???? 显然当且仅当(1)0k +=，也就是1k =-时，级数的一般项是关于1 n 的二阶无穷小，级数收敛，从而选择（C ）．

2017年考研数学一真题及答案(全)

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在x 连续，则 (A) 12 ab =． (B) 12 ab =- ． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A 【详解】由0 1 lim 2x b a + →==,得12ab =. （2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则 (A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-． (C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-. 【答案】C 【详解】2() ()()[]02 f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数2 2 (,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6． (C) 4． (D)2 ．【答案】D 【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33 = ==αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可. （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则

2016-2017年考研数学三真题及答案

2016考研数学三真题及答案一、填空题：1－6小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上. （1）()11lim ______.n n n n -→∞ +?? = ??? （2）设函数()f x 在2x =的某邻域内可导,且()() e f x f x '=，()21f =，则()2____.f '''= （3）设函数()f u 可微,且()1 02 f '= ,则()224z f x y =-在点(1,2)处的全微分() 1,2d _____.z = （4）设矩阵2112A ?? = ?-?? ，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B . （5）设随机变量X Y 与相互独立，且均服从区间[]0,3上的均匀分布，则 {}{}max ,1P X Y ≤=_______. （6）设总体X 的概率密度为()()121,,,,2 x n f x e x X X X -= -∞<<+∞为总体X 的简单随机样本，其样本方差为2 S ，则2 ____.ES = 二、选择题：7－14小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （7）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ?为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ?与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ?>，则 (A) 0d y y <

2017年考研数学三考试大纲

2017年考研数学三考试大纲考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟二、答题方式答题方式为闭卷、笔试三、试卷内容结构微积分约56% 线性代数约22% 概率论与数理统计约22% 四、试卷题型结构单项选择题选题8小题，每小题4分，共32分填空题6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题）9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求 1、理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系 2、了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念 4、掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念 5、了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念 6、了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法 7、理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型 9、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质二、一元函数微分学考试内容导数和微分的概念导数的几何意义和经济意义函数的可导性与连续性之间的关系平面曲线的切线与法线导数和微分的四则运算基本初等函数的导数复合函数、反函数和隐函数的微分法高阶导数一阶微分形式的不变性微分中值定理洛必达（L'Hospital）法则函数单调性的判别函数的极值函数图形的凹凸性、拐点及渐近线函数图形的描绘函数的最大值与最小值

2017考研数学三真题及解析

2017年考研数学真题一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定的位置上. (1) 若函数10(),0x f x ax b x ?->? =??≤? 在x =0连续，则 (A)12ab = (B)12 ab =- (C)0ab = (D)2ab = 【答】应选（A ）【解】由连续的定义可知：0 lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==，其中0 (0)lim ()x f f x b - →== ，2 0001 112lim ()lim lim 2x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，从而12b a =，也即12ab =，故选（A ）。 (2) 二元函数(3)z xy x y =--的极值点（） (A)(0,0) (B)(0,3) (C)(3,0) (D)(1,1) 【答】应选(D). 【解】(3)(32)x z y x y xy y x y '=---=-- (3)(32)y z x x y xy x x y '=---=-- 2xx z y ''=-，322xy z x y ''=--，2yy z x ''=- 验证可得（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个选项均满足00x y z z '=??'=?,其中(D)选项对应 (1,1)2xx A z ''==-，(1,1)1xy B z ''==-，(1,1)2yy C z ''==-满足2 30AC B -=>，所以该点为极值点. (3) 设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则 (A)()()11f f >- (B)()()11f f <- (C)()()11f f >- (D)()()11f f <- 【答】应选(C).

2017年考研数学三真题与解析

2017年考研数学三真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f -→==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 【详解】 2(3)32z y x y xy y xy y x ?=---=--?，232z x x xy y ?=--?， 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x ????=-=-==-?????? 解方程组2 2320320z y xy y x z x x xy y ??=--=??????=--=???，得四个驻点．对每个驻点验证2 AC B -，发现只有在点11(,)处满足 230AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ） 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2 ()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2 ()f x 是单调增加函数．也就得到 () ()2 2 (1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 4．若级数 21 1sin ln(1)n k n n ∞ =??--??? ?∑收敛，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-

2017年全国考研数学三真题

2017年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题一、选择题:1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数0(),0x f x b x >=?≤?在0x =处连续，则（A ）12ab = （B ）1 2 ab =- （C ）0ab = （D ）2ab = 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 4．若级数21 1sin ln(1)n k n n ∞ =??--??? ?∑收敛，则k =（）（A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2- 5．设α为n 单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（A ）T E αα-不可逆（B ）T E αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆（D ）2T E αα-不可逆 6．已知矩阵200021001A ?? ?= ? ???，210020001B ?? ?= ? ???，100020002C ?? ? = ? ??? ，则（A ）,A C 相似，,B C 相似（B ）,A C 相似，,B C 不相似（C ）,A C 不相似，,B C 相似（D ）,A C 不相似，,B C 不相似 7．设,A B ，C 是三个随机事件，且,A C 相互独立，,B C 相互独立，则A B U 与C 相互独立的充分必要条件是（）（A ）,A B 相互独立（B ）,A B 互不相容（C ）,AB C 相互独立（D ）,AB C 互不相容

(完整版)2017年全国考研数学三真题

（A ）,A B 相互独立（B ）,A B 互不相容（C ）,AB C 相互独立（D ）,AB C 互不相容 8．设12,, ,(2)n X X X n ≥为来自正态总体(,1)N μ的简单随机样本，若1 1n i i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是（）（A ）21()n i i X μ=-∑服从2χ分布（B ）()2 12n X X -服从2χ分布（C ）21 ()n i i X X =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2χ分布二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9 ．3(sin x dx π π -+=? ． 10．差分方程122t t t y y +-=的通解为． 11．设生产某产品的平均成本()1Q C Q e -=+，其中产量为Q ，则边际成本为 . 12．设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数，且已知(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++， (0,0)0f =，则(,)f x y = 13．设矩阵101112011A ?? ? = ? ??? ，123,,ααα为线性无关的三维列向量，则向量组123 ,,A A A ααα的秩为． 14．设随机变量X 的概率分布为{}1 22 P X =-=，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =，则DX = ．

2017年考研数二真题及答案

绝密★启用前 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）（科目代码302）考生注意事项 1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。 2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡“试卷条形码粘贴位置”框中。不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。 3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。 4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分必须使用2B铅笔填涂。 5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1 ）若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（） (A)12ab = (B)12ab =- (C)0ab = (D)2ab = （2）设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且''()0f x >，则（） ()()111 101011010()()0()0()()()()()A f x dx B f x dx C f x dx f x dx D f x dx f x dx ----><>>??，则（A ）(0,0)(1,1)f f > （B ）(0,0)(1,1)f f < （C ）(0,1)(1,0)f f > （D ）(0,1)(1,0)f f < （6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（）（A ）010t = （B ）01520t << （C ）025t = （D ）025t >

2010——2017年考研数学三真题及答案解析(精心整理)

2010年考研数学三真题与解析一.选择题 1.若1])1(1[lim =--→x o x e a x x 则a = A0 B1 C2 D3 2.设21,y y 是一阶线性非齐次微分方程)()(x q y x p y =+'的两个特解，若常数μλ,使 21y y μλ+是该方程的解，21y y μλ-是该方程对应的齐次方程的解，则 A 21,21== μλ B 21 ,21-=-=μλ C 31,32==μλ D 3 2,32==μλ 3.设函数f(x),g(x)具有二阶导数，且.0)(<''x g 若a x g =)(0是g(x)的极值，则f(g(x))在0x 取极大值的一个充分条件是 A 0)(<'a f B 0)(>'a f C 0)(<''a f D 0)(>''a f 4设10 10)(,)(,ln )(x e x h x x g x x f ===则当x 充分大时有 Ag(x)s C 若向量组II 线性无关，则s r ≤ D 若向量组II 线性相关，则r>s 6.设A 为4阶实对称矩阵，且02 =+A A ，若A 的秩为3，则A 相似于 A ??????? ??0111 B ??????? ??-0111 C ??????? ??--0111 D ???? ? ? ? ??---0111 7.设随机变量X 的分布函数?????≥-<≤<=-1 ,110,21 ,0)(x e x x x F x ，则P （X=1)=

2017考研数学三真题及答案

2017考研数学三真题及答案一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1 ．若函数0(),0x f x b x >=?≤? 在0x =处连续，则（A ）12ab = （B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】0001112lim ()lim lim 2x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f - →==，要使函数在0x =处连续，必须满足11 22 b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 【详解】 2(3)32z y x y xy y xy y x ?=---=--?，232z x x xy y ?=--?， 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x ????=-=-==-?????? 解方程组2 2320320z y xy y x z x x xy y ??=--=??????=--=???，得四个驻点．对每个驻点验证2 AC B -，发现只有在点11(,)处满足2 30AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ） 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()()f f >- （D ）11()()f f <- 【详解】设2 ()(())g x f x =，则()2()()0g x f x f x ''=>，也就是()2 ()f x 是单调增加函数．也就得到()()22 (1)(1)(1)(1)f f f f >-?>-，所以应该选（C ） 4．若级数 21 1sin ln(1)n k n n ∞ =??--??? ?∑收敛，则k =（）

2017年考研数学三考试大纲

1 2017年数学三考试大纲考试科目：微积分、线性代数、概率论与数理统计考试形式和试卷结构一、试卷满分及考试时间试卷满分为150分，考试时间为180分钟．二、答题方式答题方式为闭卷、笔试．三、试卷内容结构微积分约56% 线性代数约22% 概率论与数理统计约22% 四、试卷题型结构单项选择题选题8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题 4分，共24分解答题（包括证明题） 9小题，共94分微积分一、函数、极限、连续考试内容函数的概念及表示法函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性复合函数、反函数、分段函数和隐函数基本初等函数的性质及其图形初等函数函数关系的建立数列极限与函数极限的定义及其性质函数的左极限和右极限无穷小量和无穷大量的概念及其关系无穷小量的性质及无穷小量的比较极限的四则运算极限存在的两个准则：单调有界准则和夹逼准则两个重要极限： sin lim 1 x x x 1lim 1 e x x x 函数连续的概念函数间断点的类型初等函数的连续性闭区间上连续函数的性质考试要求 1．理解函数的概念，掌握函数的表示法，会建立应用问题的函数关系．2．了解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性． 3．理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念．4．掌握基本初等函数的性质及其图形，了解初等函数的概念．5．了解数列极限和函数极限（包括左极限与右极限）的概念． 6．了解极限的性质与极限存在的两个准则，掌握极限的四则运算法则，掌握利用两个重要极限求极限的方法． 7．理解无穷小量的概念和基本性质，掌握无穷小量的比较方法．了解无穷大量的概念及其与无穷小量的关系． 8．理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型．

2017年考研数学三真题与解析

2017年考研数学三真题一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分． 1．若函数 1cos 0(),0x x f x b x ->=?≤? 在0x =处连续，则（A ）12ab =（B ）1 2 ab =-（C ）0ab =（D ）2ab = 【详解】 0001 112lim ()lim lim 2x x x x x f x ax ax a +++→→→-=== ，0lim ()(0)x f x b f - →==，要使函数在0x =处连续，必须满足1122b ab a =?=．所以应该选（A ） 2．二元函数(3)z xy x y =--的极值点是（）（A ）(0,0) （B ）03(,) （C ）30(,) （D ）11(,) 【详解】2 (3)32z y x y xy y xy y x ?=---=--?，2 32z x x xy y ?=--?， 2222222,2,32z z z z y x x x y x y y x ????=-=-==-?????? 解方程组 22320320z y xy y x z x x xy y ??=--=??????=--=???，得四个驻点．对每个驻点验证 2 AC B -，发现只有在点11(,)处满足2 30 AC B -=>，且20A C ==-<，所以11(,)为函数的极大值点，所以应该选（D ） 3．设函数()f x 是可导函数，且满足()()0f x f x '>，则（A ）(1)(1)f f >- （B ）11()()f f <- （C ）11()() f f > - （D ） 11()()f f < -

2017年考研数学三真题与解析

考研数学真题及解析 = = - ?z n =2 2017 年考研数学三真题一、选择题 1—8 小题．每小题 4 分，共 32 分． ?1- co 1. 若函数 f (x ) = ? , x > 0 在 x = 0 处连续，则 ? ax ?? b , x ≤ 0 （A ） ab = 1 （B ） ab = - 1 （C ） ab = 0 （D ） ab = 2 【详解】 lim 2 f (x ) = lim 2 1 x = lim 2 = 1 ， lim f (x ) = b = f (0) ，要使函数在 x = 0 处连续， x →0+ x →0+ ax x →0+ ax 2a x →0- 1 必须满足 2a = b ? ab = 1 ．所以应该选（A ） 2 2. 二元函数 z = xy (3 - x - y ) 的极值点是（）（A ） (0, 0) （B ） (0, 3) （C ） (3, 0) （D ） (1,1) 【详解】 ?z = y (3 - x - y ) - xy = 3y - 2xy - y 2 ， ?z = 3x - x 2 - 2xy ， ?2 z = - ?x 2 ?x 2 y , ?2 z ?y 2 = -2x , ?2 z ?x ?y ?y ?2 z ?y ?x 3 2x ??z = 3y - 2xy - y 2 = 0 ??x 解方程组 ? ? = 3x - x 2 - 2xy = 0 ???y ，得四个驻点．对每个驻点验证 AC - B 2 ，发现只有在点(1,1) 处满足 AC - B 2 = 3 > 0 ，且 A = C = -2 < 0 ，所以(1,1) 为函数的极大值点，所以应该选（D ） 3. 设函数 f (x ) 是可导函数，且满足 f (x ) f '(x ) > 0 ，则（A ） f (1) > f (-1) （B ） f (1) < f (-1) （C ） f (1) > f (-1) （D ） f (1) < f (-1) 【详解】设 g (x ) = ( f (x ))2 ，则 g '(x ) = 2 f (x ) f '(x ) > 0 ，也就是 ( f (x ))2 是单调增加函数．也就得到 ( f (1)) 2 > ( f (-1))2 ? f (1) > f (-1) ，所以应该选（C ） ∞ ? 1 1 ? 4. 若级数∑ ?? sin n - k ln(1- n )?? 收敛，则k = （）（A ）1 （B ） 2 （C ） -1 （D ） -2 s x 1- cos x