根式与分数指数幂题型总结

根式与分数指数幂

一、根式性质的应用 求下列各式的值：

(1)3(－4)3； (2)(－9)2； (3)4

(3－π)4； (4)(a －b )2. （5）(a －1)2＋(1－a )2＋3

(1－a )3＝________. 根式与分数指数幂的互化 (a >0，b >0)：

(1)3a ·4a ； (2)a a a ； (3)3a 2·a 3； (4)(3

a )2·a

b 3.

(5)3

x 6； (6)1x

3； (7)35x -； (8)2

132

x y -.

练习

1．当a ，b ∈R 时，下列各式总能成立的是

( )

A ．(6a －6b )6＝a －b B.8(a 2＋b 2)8＝a 2＋b 2 C.4a 4－4

b 4＝a －b

D.

10

(a ＋b )10＝a ＋b

2．设k ∈Z,2－2k ＋2－2k －1－22k ＋

1等于 ( )

A ．2

B ．－2

－2k

C ．2

－2k ＋1

D ．－2

－2k －1

3.4

a －2＋(a －4)0有意义，则a 的取值范围是 ( )

A ．a ≥2

B ．2≤a <4或a >4

C ．a ≠2

D ．a ≠4

4．若xy ≠0，则可使4x 2y 2＝－2xy 成立的条件是 ( )

A ．x >0，y >0

B ．x >0，y <0

C ．x <0，y ≥0

D ．x <0，y <0

5．若a <1

2

，则化简4(2a －1)2的结果是

( )

A.2a －1 B ．－2a －1 C.1－2a

D ．－1－2a

6. x －2x －1＝x －2x －1成立的条件是

( )

A.x －2x －1

≥0 B ．x ≠1 C ．x <1

D ．x ≥2

7．若x 2－2x ＋1＋y 2＋6y ＋9＝0，则y x ＝________.

8．设a ＝424，b ＝3

12，c ＝6，则a ，b ，c 的大小关系是________．

9．把a －1

a

根号外的a 移入根号内等于________．

10．计算下列各式的值：

(1)(－3)2； (2)3(－3)3； (3)n

(－3)n (n ∈N *，且n >1)； (4)4(3－π)2；(5)(a －3)2； (6)3(－2)3＋4(π－2)4＋3

(2－π)3.

11．求使等式(x －2)(x 2－4)＝(2－x )x ＋2成立的x 的取值范围．

浙教版八下二次根式题型归纳总结

最新浙教版八下二次根式题 型归纳总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

最新浙教版八下二次根式题型归纳总结 - 百度文库1、知识框架 1. 二次根式：式子（≥0 ）叫做二次根式。 2. 最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴ 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；⑵ 被开方数中不含分母； ⑶ 分母中不含根式。 3. 同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质： （ 1 ）（） 2 = （≥0 ）；（ 2 ） 5. 二次根式的运算： （ 1 ）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式， ? 变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （ 2 ）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （ 3 ）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． = ·（a≥0 ，b≥0 ）；（b≥0 ， a>0 ）． （ 4 ）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律， ? 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 三、例题讲解 1 、概念与性质

例 1 下列各式 1 ），其中是二次根式的是 _________ （填序号）． 例 2 、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）；（ 2 ） 例 3 、在根式 1) ，最简二次根式是（） A ． 1) 2) B ． 3) 4) C ． 1) 3) D ． 1) 4) 例 4 、已知： 例 5 、已知数 a ， b ，若=b － a ，则 ( ) A. a>b B. a

二次根式知识点归纳及题型总结精华版

二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理；

(3) 乘法公式的推广： 2．二次根式的加减运算 先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3）45++x x (6). （7）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （8）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<)0() 0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ） A.x ≤0 B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.．已知a

二次根式考试题型汇总

题型一二次根式的定义 例1、(1) Vf 斥是整数，求自然数n 的值. 题型二二次根式有意义的条件 例2、当x _________ 时，二次根式VTTT 有意义。 例3、已知x 、y 为实数，y= — ,求5x+6y 的值. x-3 例 4、已知 y =厶-3 + 丁3-x + 4 ,求 +8y + 16-的值。 a b I 鼻 1 ] I 1 ! ] I * ； -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 题型三二次根式的性质与化简 例5、已知实数“ b 在数轴上的位置如图所示: 二次根式 试化简 -2ab + b 2 时, 式子 長 3 有意义.

例6、计算 例7、化简求值 (1) 化简：-\a+b\ + yl^c-ay +|/? + c| 力 G 0 (3)若 x -|-2| + Vi8 （3）已知/ b 、c 为正数，d 为负数,化简 ab-c 2d 2 yfab + yjc 2d 1 （2）先化简再求值: 其中 X = yj2 + \,y = y/2-\

6）当 a<0, b<0 时，-a+2^b~b 可变形为（ ） 题型四最简二次根式 例8、（1）下列式子中，属于最简二次根式的是（ （2）届,J |, 7^7都不是最简二次根式.（ ） 题型五二次根式的乘除法 例10、计算 (1) ( - y/3 + ^2 ) ( y/5 - V3 - A /2 ) 2 ? (A) - (B)-- x x (5)化简(a<0)得( ) a (A) (B) — 4ci (C) —2x (D) 2x (C) — J_a (D)需 例 A. ) 一5 V m< ~4 D ? 一6/20 (C) (V- a +

二次根式知识点总结及常见题型

二次根式知识点总结及常见题型 资料编号:20190802 一、二次根式的定义 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a 叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=（a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: （1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性: () a a =2 （a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性:? ??≤-≥==)0() 0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简） 重要结论: （1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值.

（2） ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简. （3）()() ??????=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2 1 11+ -+-=x x y ,化简:11--y y . 分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12 1 2100<=++=y ∴ 11 11 1-=--= --y y y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x x y 21-= ,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________.

根式与分数指数幂的互化

根式与分数指数幂的互化（一） 一．标教学目 1.知识与技能 ①初步了解指数幂和指数函数； ②通过类比平方根、立方根，认识n次方根，进而初步理解根式的概念． 2.过程与方法 会求或化简根指数为正整数的根式。 3.情感.态度与价值观 通过具体的情景，引发学生思考，激发求知欲，培养学生对数学的情感。 二．重点 利用n次方根式性质化简n次方根式。 三．难点 指数幂的含义与根式互化 四、教学过程设计 （一）教学基本流程 （二）教学情景 1．本章学习引导 问题1：给出化石图片，归纳出函数关系式。 设计意图：引导同学对本章内容有一个概括性的认识，并大致清楚学习的目标和方法．问题2：对于a n，当n是正整数时的意义我们已经知道；当n是有理数时，它的意义又是什么呢？ 设计意图：引导同学建立与根式的联系．

2．概念的引入 问题3：我们知道，如果x2=a，那么x叫做a的平方根（2次方根）；如果x3=a，那么x 叫做a的立方根（3次方根）．请问： （1）你由此想到，还有哪些方根？ （2）你能否根据上述定义，给你所说的这些方根进行定义？ 设计意图：通过回顾平方根和立方根，让同学在已有认知基础上，与同类概念进行比较，通过类比得到对新概念的认识方法上的启发，并为领会新概念找到一个固着点，从而引出n 次方根的定义．以此促进概括，明确n次方根概念的内涵，进而准确把握此概念．师生活动：为了帮助同学进行类比，可以将平方根和立方根的定义上下对齐写在黑板上，然后让同学将类比出的定义写在它们的下面． 3．概念的形成 问题4：根据平方根和立方根的定义，我们可以举例，例如，由于（±2）2=4，所以±2就是4的平方根；由于23=8，所以2就是8的立方根．类似地，请根据你所给出的其他方根的定义，举出相应的例子． 设计意图：当n较大时，同学举例困难了，于是引入n次方根的表示． 师生活动：可引导同学类比平方根和立方根的表示，给出n次方根的表示： （1）我们知道，4的平方根是±2，可以表示为±4=±2；8的立方根是2，可以表 =-2．那么类似地，16的4次方根怎样表示为38=2；-8的立方根是-2，可以表示为38 示？32的5次方根怎样表示？-32的5次方根怎样表示？a的n次方根又怎样表示？ （2）从上述例子中我们是否能看出什么规律？也就是： n是奇数时，正数a的n次方根有几个？是正数，负数，还是零？怎样表示？负数a的n次方根有几个？是正数，负数，还是零？怎样表示？ n是偶数时，正数a的n次方根有几个？是正数，负数，还是零？怎样表示？ （3）负数有没有偶次方根？ （4）0的n次方根是多少？可以怎样表示？ 4．概念的明确

二次根式考试题型汇总

二次根式 题型一 二次根式的定义 例1、（1）18n -是整数，求自然数n 的值． （2）当x __________时，式子3 1 -x 有意义． 题型二 二次根式有意义的条件 例2、当x 时，二次根式1x +有意义。 例3、已知x 、y 为实数，22991 3 x x y x -+-+=-，求5x+6y 的值． 例4、已知334y x x =-+-+，求 23 8163y y xy ++-的值。 例5、已知实数a ，b 在数轴上的位置如图所示： 试化简( ) ( ) 2 2 223 23 2a b a ab b +- ---+

例6、计算 （1）() 13218---+ （2）()211111x x x ??-?- ?-+?? （3）已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简2 2 22d c ab d c ab +-＝______． 例7、化简求值 （1）化简：() 2 2a a b c a b c -++-++ （2）先化简再求值：2 22 11xy x y x y x y ??-÷ ?-+-??，其中21,21x y =+=- （3）若x ＜y ＜0，则222y xy x +-＋222y xy x ++＝（ ） （A ）2x （B ）2y （C ）－2x （D ）－2y （4）若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1 (2-+x x 等于（ ）

（A ） x 2 （B ）－x 2 （C ）－2x （D ）2x （5）化简a a 3 -(a ＜0)得（ ） （A ）a - （B ）－a （C ）－a - （D ）a （ 6）当a ＜0，b ＜0时，－a ＋2ab －b 可变形为（ ） （A ）2)(b a + （B ）－2)(b a - （C ）2)(b a -+- （D ）2)(b a --- 题型四 最简二次根式 例8、（1）下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A （2）x 8， 3 1 ，29x +都不是最简二次根式．（ ） 题型五 二次根式的乘除法 例9、已知(m ?=?- ?? ，则有（ ） A ．5＜m ＜6 B ．4＜m ＜5 C ．-5＜m ＜-4 D ．-6＜m ＜-5 例10、计算 （1）（235+-）（235--） （2）（a ＋b a ab b +-）÷（b ab a +＋a ab b -－ab b a +）（a ≠b ）．

二次根式_题型归纳总结

【二次根式典型题型训练】 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1）;2-x （2）1 21+-x （3）x x -++21 （4）45++x x （5）1213-+-x x （6）若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是 （7）若131 3++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 4.若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 5..当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 6. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________． 7．若433+-+-=x x y ，则=+y x 8. 设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 9. 若m 适合关系式35223199199x y m x y m x y x y +--++-= -+?--，求m 的值． 10.若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 11.方程0|84|=--+-m y x x ，当0>y 时，m 的取值范围是（ ） A 、10<

二．利用二次根式的性质2a =|a |=?? ???<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来 解题 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ） A.x ≤0 B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.．已知a

【教案】4.1.1 《n次方根与分数指数幂》教案

4.1.1 n 次方根与分数指数幂 教学设计 从本节开始我们将在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数．进而推广到有理数指数，并将幂的运算性 质由整数指数幂推广到分数指数幂．通过对有理数指数幂；1≠ ，且0>(a a a n m 、实数指数幂R)∈1；；≠ 且a 0，(a>a x 含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质． 1．掌握n 次方根及根式的概念，正确运用根式的运算性质进行根式的运算； 2．了解分式指数幂的含义，学会根式与分数指数幂之间的相互转化； 3．理解有理数指数幂的含义及其运算性质． 教学重难点 【教学重点】 理解n 次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点) 【教学难点】 能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点) 课前准备 引导学生复习回顾初中相关知识，做好衔接，为新知识的学习奠定基础． 二、教学过程： （一）自主预习——探新知： 问题导学 预习教材P104－P109，并思考以下问题：1．n 次方根是怎样定义的？ 2．根式的定义是什么？它有哪些性质？ 3．有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？4．有理指数幂有哪些运算性质？ （二）创设情景，揭示课题 （1）以牛顿首次使用任意实数指数引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性． （2）简单复习正整数指数幂的概念和运算，并且思考一下问题： ４的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？ -27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？ 如果x 2＝a ，那么x 叫做a 的平方根，如果x 3＝a ，那么x 叫做a 的立方根， 类似的，（±2）4 ＝16，我们可以把±2叫做16的4次方根，（2）5＝32，2叫做32的5次方根？ 推广到一般情形，a 的n 次方根是一个什么概念？给出定义． （3）当n 是奇数时，a 的n n a n 是偶数时，若a >0，则a 的n 次方根为n a 若a =0，则a 的n 次方根为0； 若a <0，则a 的n 次方根不存在．即：

二次根式知识点归纳及题型总结 精华版

二次根式知识点归纳和题型归类 二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质： 鳥<0)； ［爲工Og叭2“)= 9-0)；3^ ★4 L 4. 积的算术平方根的性质：、’、：、「??「〔； E=^a>Of Z>>0) 5. 商的算术平方根的性质：* . 6. 若7 '. 知识点二、二次根式的运算 1. 二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号 (2) 注意每一步运算的算理； 2. 二次根式的加减运算先化简，再运算， 3. 二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用

.利用二次根式的双重非负性来解题 （岛 0 （a > 0）,即一个非负数的算术平方根是一个非负数。 ） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。A 、弋3 ； i" 2 2 ?等式 J （X 1） = 1 — x 成立的条件是 _____________ . 3?当x _____________ 时，二次根式 J2x 3有意义. 4. x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 (2) （4）若 x （x 1） . X I X 1，则x 的取值范围是 _______ （ 5）若X 3 . X 3 ,则x 的取值范围是 ______________________ \ X 1 J x 1 6若J3m 1有意义，则m 能取的最小整数值是 _____________ ;若J 20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是 ___________ 7. 当X 为何整数时， ______________________________________ 10X 1 1有最小整数值，这个最小整数值为 。 8. 若 2004 a V a 2005 a ，则 a 20042= _____________________ ;若 y 4，则 x y _________ m 2 9 . 9 m 2 2 — 9. 设 m 、n 满足 n ，贝V . mn = ________ 。 m 3 10. 若三角形的三边 a b 、c 满足a 2 4a 4 - b 3=0,则第三边c 的取值范围是 ____________________________ 11. 若 |4x 8| x y m 0，且 y0 时，则（ ） A 、0 m 1 B 、m 2 C 、m 2 D m 2 二.利用二次根式的性质 a 2=|a|= a （a b ） （即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 ）来解题 u （a 0） a （a 0） 3.若化简| 1-x | - x 2 8x 16的结果为2x-5则（ ） 4.已知a , b , c 为三角形的三边，则 (a b c)2 , (b c a)2 . (b c a)2 = 5.当-3— 3 D. — 3< x w 0 2..已知a

二次根式知识点归纳及题型总结

二次根式知识点及题型归纳 1. 二次根式的概念 二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义． 2. 二次根式的性质 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a 3. ???<-≥==) 0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． 4. 二次根式混合运算 二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a =?来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥?=b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥=?b a ab b a 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥=b a b a b a 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥=b a b a b a 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 6. 二次根式计算——二次根式的加减 二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤： ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式；

分数指数幂公开课教案

《分数指数幂》教学设计 陈炜明(2013/3/5公开课) 一、教学目标： 知识与技能：理解分数指数幂的含义，了解分数指数幂的运算性质，掌握根式与分数指数幂的互化。通过具体实例了解实数指数幂的意义。 过程与方法：回顾整数指数幂的定义过程，学生通过观察，模仿，并进行合作交流，对整数指数幂进行推广，寻求分数指数幂最合理自然的规定方式。 情感、态度与价值观：通过对指数的推广，感受从特殊到一般的思想方法，提高数学的基本运算能力，体会数学的理性精神以及数学的美学意义。 二、教学重点：分数指数幂的意义和运算性质 三、教学难点：分数指数幂的概念 四、教学过程： 【问题情境】 里氏震级是目前国际通用的地震震级标准。它是根据离震中一定距离所观测到的地震波幅度和周期，并且考虑从震源到观测点的地震波衰减，经过一定公式，计算出来的震源处地震的大小。 假设第0级地震所释放的能量为1，且在估算能量的时候，里氏震级每增加1级，释放的能量大约增加31.6227倍，则 （1）第3级地震所释放的能量为多少？ 31.6227 答：3 （2）第x级地震所释放的能量为多少？ y 答：31.6227x （3）上一问中的x会出现为分数的情况吗？ 教师举例

引导学生提出问题：当指数为分数时，应该如何定义？又该如何计算？ （此时教师在黑板上画出函数2,x y x Z =∈的图像辅助说明该问题的提出） 【温故知新】 问题一：m a 表示什么含义（当m 为正整数的时候）？当指数为正整数时候，指数的运 算都有哪些运算性质？ 答：m 个a 相乘。 , ,(,0)(), ()m n m n m m n n m n mn m m m a a a a a m n a a a a a b a b +-==>≠== （此处板书） 在这里,m n 均为正整数。 问题二：若在计算m n a -时，遇到m n =时，有无意义？怎样计算？得出什么结果？ 若m n <呢？ 答：当扩展到整数指数幂时候，若要求维持原来的运算性质，可以得到 01a =(0)a ≠。同理，可以对负分数指数幂进行规定。 小结：负整指数幂的实质是分式（或分数）形式。在将正整数指数幂推广到整数指数幂时，保持了原有的运算性质不变。（对刚刚运算性质的板书修改）。 问题三：为什么对于熟悉的分式还需要用负指数幂来表示呢？

二次根式知识点总结及常见题型

二次根式知识点总结及常见题型 一、二次根式的定义 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a 叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=（a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: （1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性: () a a =2 （a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性:? ??≤-≥==)0() 0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简） 重要结论: （1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值. （2） ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简.

（3）()() ??????=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2 1 11+ -+-=x x y ,化简:11--y y . 分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12 1 2100<=++=y ∴ 11 11 1-=--= --y y y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x x y 21-= ,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________. 例3. 若04412=+-+-b b a ,则ab 的值等于 【 】

初二数学八下二次根式所有知识点总结和常考题型练习题

二次根式知识点 一、二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 二、最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 三、同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 四、二次根式性质： 五、二次根式运算： 二次根式练习 一、选择题 1. =成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x D. 2x ≥ 2. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） 3．已知10182 22=++x x x x ，则x 等于（ ）

A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±4 4．下列说法正确的是( )． (A)被开方数相同的二次根式可以合并 (B)8与80可以合并 (C)只有根指数为2的根式才能合并 (D)2与50不能合并 5. 下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（ ） A 、x 25和x 3 B 、2 375 b a 和a 12 C 、y x 2和2xy D 、a 和21 a 6. 已知a>b>0， 的值为（ ） A ．2 B ．2 C ．12 7. 下列根式中，不能与合并的是（ ） A ． B ． C ． D ． 8．下列运算正确的是（ ） A ． 5a 2+3a 2=8a 4 B ． a 3?a 4=a 12 C ．（a +2b ）2=a 2+4b 2 D ．﹣ =﹣4 二、填空题 1． 在27,8,3 1 , 12， 是同类二次根式的有 个。 2. 已知三角形底边的边长是6cm,面积是12cm 2 , 则此边的高线长 。 3. 若()2 240a c --=，则=+-c b a 。 4. 若=3﹣x ，则x 的取值范围是 ． 5. 1 1 m +有意义，则m 的取值范围是 6．已知411+=-+-y x x ，则x y 的平方根为______。 7．已知a ，b ，c 为三角形的三边，则2 2 2 )()()(a c b a c b c b a -++--+-+= 。 8．若菱形的两条对角线长分别为)2352(+和)2352(-则此菱形的面积为______． 9. 比较大小：________5 8.（填"">，""<，或""=） 10．设67，67-=+= b a ，则a 2007b 2008的值是___________．

第一课时根式及分数指数幂教案

第一课时根式及分数指数幂 教学目的： 1. 掌握根式的概念和性质，并能熟练应用于相关计算中 2. 理解分数指数幂的概念.掌握有理指数幂的运算性质. 3.会对根式、分数指数幂进行互化. 4．培养学生用联系观点看问题. 教学重点：1.分数指数幂的概念. 2.分数指数幂的运算性质. 教学难点：对分数指数幂概念的理解. 授课类型：新授课 教学过程： 一、复习引入 1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个； )0(10≠=a a ； *),0(1 N n a a a n n ∈≠= - 2．运算性质： ) ()(),()() ,(Z n b a ab Z n m a a Z n m a a a n n n mn n m n m n m ∈?=∈=∈=?+ 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=n m a - ② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?=n n b a 二、讲解新课 1、根式 知识回顾：中学的平方根和立方根是如何定义的呢？ 一般地，如果2 x a =，那么x 叫做a 的平方根， a 的正平方根叫做a 的算术平方根，正数有两个平方根， 负数没有平方根，0的平方根是0，0的算术平方根也是0。 一般地，如果3x a =，那么x 叫做a 的立方根。 类比上述两定义，一般地，如果 一个数的四次方等于a ，则这个数叫做a 的四次方根； 一个数的五次方等于a ，则这个数叫做a 的五次方根；…… 定义形成：

一般地，如果n x a =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1,且n ∈ N+. 定义1：如果n x a = (n>1, * n N ∈)，那么x 叫做a 的n 次方根。 定义2：式子n x a =叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数。 【小试牛刀1】 一、填空： （1）27的立方根等于 （2）-32的五次方根等于 （3）6a 的三次方根等于 （4）25的平方根等于 （5）16的四次方根等于 （6）0的七次方根等于 总结：根式性质： ① 当n 为奇数时：正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根为负数。 记作：n a x = ② 当n 为偶数时，正数的n 次方根有两个（互为相反数）。记作： n a x ±= ； 负数没有偶次方根。 ③ 0的任何次方根为0。记作：00=n ④ a a n n =)( 【师生探究1】a a n n =一定成立吗？ 总结：当n 为奇数时，a a n n =。 当n 为偶数时，{ )0(a ) 0(><-= =a a a n a a n 二、化简下列等式 （1）33 8-）（ （2）2 10-）（ （3）44 -3）（π （4）)(a 2 b a b >-） （ 【变式】去掉‘a>b ’结果如何？ 2、分数指数幂 【师生探究2】：观察下列式子，并总结出一定的规律（a>0）

二次根式知识点总结及常见题型

二次根式知识点总结及常见题型 一、二次根式的定义 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号,a 叫做被开方 数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. ！ （3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=（a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: （1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性: () a a =2 （a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性:???≤-≥==) 0() 0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简）

重要结论: （1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值. … （2） ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简. （3）()() ??????=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0.

根式与分数指数幂计算

指数与指数幂的运算（一） 一、学习目标 1.了解指数函数的产生背景，认识学习指数与指数幂运算的必要性，理解根式的概念。 2.通过列举，认识根式产生的背景，理解根式的表示、含义，掌握根式化简公式与方法，培养观察、概括能力。 3.于学习过程中理解运算及其要义，建构正确的运算心理与观点。 二、学习过程 （一）阅读课本，梳理知识 1.阅读课本4750P P -的内容。 2.梳理知识： （1）n 次方根的定义： （2）____，它是____运算的结果，n 叫做____，a 叫做_______。 （3）乘方与开方互为逆运算。因此： ① _____n = ；②2_____= ，_____=。 （二）基础自测 1.下列说法正确的是___________(符合条件的都填上) （1）加法运算的结果叫和；（2）减法运算的结果叫差；（3）乘法运算的结果叫商；（4）除法运算的结果叫积；（5）乘方运算的结果叫幂；（6）开方运算的结果叫方根。 ____=，____=。 ____=____=，____=。 4. 2 ____=，(2 ____=， 5 ____=，(5 ____=。 ____=____=，____=，____=。 （三）疑惑摘要 自学之后，你还有哪些没有弄清的问题请记在下面，课堂上我们共同探讨： 三、课中互动 （一）概念形成 1.本课时的核心概念是什么、它是如何产生的？ 2.小组合作，解决自学“疑惑”，举正、反例理解核心概念。 （二）展示交流 例1 求下列各式的值：

(1) (2)； (3) ) (4) 例2 设33x -<< 例3 2x =-，求x 的取值范围。 （三）课堂小结 四、课外延伸 （一）练习 1．下列说法错误的是（ ） A ．正数有两个偶次方根 B ．零的偶次方根是零 C ．负数只有一个偶次方根 D ．负数没有偶次方根 2．已知5 3x =，则x = ________。 3．化简：2____+= 。 4．已知0,1a b n <<>且n N * ∈