苏科初中数学八上 第二章 轴对称图形 10 趣味对策问题一例知识拓展

趣味对策问题一例

你有没有平心静气地想过，大量的游戏实际上都是数学趣题？在游戏中如何使自己成为赢家，由此产生了现代数学的最新分支之一——对策论．国际象棋和跳棋以及其他棋类比赛都是典型的大家熟悉的数学对策的例子，但是由于它们有太多的不同走法，迄今为止还没有人对它们作出全面的分析．因此，人们无从知道如果两位对手都玩的有道理，游戏是否是和局？或先手或后手总有确定方法获胜？如果有人知道，那么棋类比赛就不会变得那么令人感兴趣了．不过一些简单的例子，人们通过推理则不难得出答案．请看下面的例子：取多于2个的筹码（可以是硬币、卡片、棋子、石头等）把它们摆成一个圆圈．下图是用10枚卡片摆成的开局．两位游戏者轮流从中取走一枚或两枚卡片，但如果取两枚筹码，这两卡片必须相邻，即它们中间既无其他筹码，也无取走筹码后留下的空档．谁取走最后一枚卡片谁胜．如果双方都玩的合理，谁肯定能获胜？他应该采取什么样的策略？

在解本题之前，人们关心的问题是如果让你选择，你选先手，还是后手？为了获得正确答案，我们不妨首先考虑最简单的情形，只有三枚卡片，这时无论先手取一枚还是两枚卡片，后手只须对应地取两枚或一枚卡片，则不难看出后手一定获胜．因此，后手无疑是最佳选择．

可以证明上面猜测是正确的．后手如果采用下述的两个步骤，他就总能获得这个游戏的胜利：

1．当先手取走一枚或两枚卡片之后，圆圈的某一个位置将出现单独的空档．于是，后手从圆圈中与这个空档相对的一侧取走一枚或两枚片，使得余下的卡片被分成两个空档成数目相等的两群．

2．从这以后无论先手从哪一群中取走一枚或两枚卡片，后手总是对称地从另一群中取走相同数量的卡片．

如果实践一下下面给出的游戏过程的例子，就可以明白这种策略．这里的数字是图中每枚卡片的编号．

先手后手

1、2 6、7

8 3

10 5

4 9（胜）

用这种策略对付你的朋友，你很快地发现，无论用多少个筹码摆成圆圈，只要你选择后手，就一定立于不败之地．不过对于奇数个筹码的情况，在第一步，后手的策略应稍微作一下变化，当先手取走一枚或两枚筹码后，后手应从圆圈中与这个空档相对一侧取走两枚或一枚筹码，于是余下的筹码仍可被两个空档分成数目相等的两群，这时获胜的仍是后手．