微积分与数学建模学习知识情况总结
微积分与数学模型（上册）
任课教师：陈骑兵
小组成员
张程1440610405
王子尧1440610402
李昊奇1440610403
梅良玉1440610426
方旭建1440610406
李柏睿1440610428
第1章 函数，极限与连续
1.1 函数的基本概念
准备知识（掌握集合与区间的相关知识）
函数定义：设x 和y 是两个变量，D 是一个给定的数集。如果对于任意x ∈D ， 按照某一法则f ，变量y 都有确定的值和它对应，则称f 为定义在D 上的函数，数集D 称为函数的定义域，x 称为自变量，y 称为因变量。与x 对应的y 的值记做f(x)，称为函数f 在x 处的函数值。D 上所有的数值对应的全体函数值的集合称为值域 函数特性：
1：函数的有界性
设f(x)在集合X 上有定义，若存在M>=0,使得对任意x 属于X 都有f(x 的绝 对值<=M, 则称函数f(x 在)X 上有界；否则，称函数f(x)在X 上无界。 2：函数的单调性 3：函数的奇偶性 4：函数的周期性 5：分段函数 6：复合函数
1.2初等函数
常值函数 如：y=C,C 为常数； 幂函数 如：y=x α,α∈R 为常数； 指数函数 如：y=a x ,a>0且a ≠1；
对数函数 如：y=a
x
log ,a>0且a ≠1；
三角函数 如：y=sinx,y=cosx,y=tanx ；
反三角函数 如：y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx ；
以及双曲函数
1.3 极限的概念
（1) .极限的直观定义：当x 接近于某个常数x 0但不等于x 0时，若f(x)趋向于
常数A ，则 称A 为f(x)当x 趋向于x 0时的极限。
(2) .极限的精确定义：给定函数f(x)和常数A ，若对于?ε>0（无论ε多么小），总彐δ>0,使得当0<|x-x 0|<ε,则称A 为f(x)当x 趋于x 0时的极限，记做
lim
x x →f(x)=A.
(3) 单侧极限和极限的关系：（定理）lim
x x →f(x)=A.成立的充要条件是左极
限lim
-
→0x
x f(x)和右极限lim
+
→0x
x f(x)均存在且都等于A
(4) （定理）lim
x x →f(x)=A 的充要条件是lim
-
→0x
x f(x)=lim
+
→0x
x f(x)=A
1.4 极限的性质与运算
性质：唯一性：若lim
x x →f(x)存在，则必唯一
（1）局部有界性：若lim
x x →f(x)=A ，则存在M>0以及δ>0，使得当0<|x-x 0|<δ
时，有 |f(x)|≤M
（2）局部保号性：若im
x x →f(x)=A ，且A>0(或A<0)，则存在δ>0，使得当
0<|x-x 0|<δ时，有f(x)>0(或f(x)<0) 运算 若lim f(x)=A,lim g(x)=B,则
①. lim[f(x)±g(x)]存在，且lim[f(x)±g(x)]=lim f(x)±lim g(x)=A ±B; ②. lim f(x)·g(x)存在，且lim f(x)g(x)=lim f(x)·lim g(x)=AB; ③. 若B ≠0，则lim [f(x)/g(x)]存在，且 lim [f(x)/g(x)]=lim f(x)/lim g(x)=A/B 夹逼准则：
若函数f(x),g(x),h(x)满足:
（1）当x ∈U(x 0,δ)时，有g(x)≤f(x)≤h(x)；
（2) lim x →x0g(x)=A,lim x →x0h(x)=A, 则极限lim x →x0f(x)存在,且等于A 。 两个重要极限： I lim
→x x x
sin =1 通用形式：lim 0
)(→x α)()(sin x x αα=1
II lim
∞
→x (1+
x 1)x
=e 通用形式：lim ∞
→x (1+)(1x α)=e
1.5无穷小量
无穷小量的定义：若对于?ε>0，彐δ>0，使得当0<|x-x 0|<δ时，有|f(x)|<
ε,则称f(x)为x →x 0时的无穷小量。
注： （1）无穷小量是一个以零为极限的变量；
（2）无穷小量不是一个数，不要将其与非常小的数混淆； （3） 0是唯一可作为无穷小量的常数。
无穷大量的定义：若对于?M >0，彐δ>0，使得当0<|x-x 0|<δ时，有|f(x)|>M,则称f(x)为x →x 0时的无穷大量
定理：
(1)若f(x)为无穷大量，则1/f(x)为无穷小量；
(2)若f(x)为无穷小量，且f(x)≠0，则1/f(x)为无穷大量。
无穷小量的运算性质：
a 两个无穷小量的和或差仍为无穷小量；
b 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量； C 常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量； d 有限个无穷小量的乘积仍为无穷小量。 无穷小量的比较：
a 若lim(β/α)=0,则称β是α的高阶无穷小，F
b 若lim(β/α)=∞,则称β是α的低阶无穷小，
c 若lim(β/α)=C ≠0,则称β是α的同阶无穷小，
d 若lim(β/α)=1,则称β与α是等阶无穷小，记做β~α。
1.6函数的连续性
连续函数的定义：
i 若函数f(x)在包含x 0的某个领域U(x 0,δ)内有定义，且lim x →x0 f(x)=f(x 0)，则称f(x)在点x 0连续
ii 若函数f(x)在包含x 0的某个领域U(x 0,δ)内有定义，且lim Δx →0 Δy=0,其中Δy 表示对应于自)在包含x 0的某个右(左)领域内有定义，且左右极限相等，则称f(x)在点x 0右（左）连续。 间断点及其分类
满足条件：①f(x)x=x 0 ②lim
x x →f(x)存在 ③lim
x x →f(x)=f(x 0)
三者有一个不成立，则称f(x)在点x 0间断,称x 0为间断点
第一类间断点：①可去间断点 ②跳跃间断点 第二类间断点：①跳跃间断点 ②振荡型间断点 连续函数的运算性质与初等函数的连续性 连续函数的四则运算法则：若f(x),g(x)均在x 0连续，则f(x)±g(x),f(x)·g(x)及f(x)/g(x) (g(x 0)≠0)都在x 0连续；
反函数的连续性 若y=f(x)在区间I x 上单值，单增(减)，且连续，则其反函数x=φ(y)也在对应的区间I x ={y|y=f(x),x ∈I x }上单值，单增(减),且连续；
复合函数的连续性 函数u=φ(x)在点x=x 0连续，且φ(x 0)=u 0，函数y=f(u)在点u 0连续，则复合函数y=f(φ(x))在点x 0处连续。 结论：一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
1.7闭区间上连续函数的性质
最值定理：
i 闭区间上的连续函数在该区间一定有界 ii 闭区间上的连续函数一定有最大值和最小值 介值定理：
设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)≠f(b)，则对于f(a)f 与f(b)之间的任意常数C ， 在(a,b)内至少存在一点x,使得f(x)=C(a 推论： 设f(x)在[a,b]上连续，则对于?C ∈（m,M)，必存在x ∈(a,b)，使得f(x)=C 零点存在定理：设f(x)在[a,b]上连续，且f(a)?f(b)<0,则在开区间(a,b)内，至少存在一点δ， 使得f(δ)=0，即f(x)在（a,b)内至少有一个零点。 重点：i 理解并掌握初等函数的特性以及分段函数和复合函数。 ii . 理解并掌握极限的定义；性质和四则运算 iii 掌握夹逼准则的定理及应用 iv 掌握无穷小量的实质和性质 v 理解连续函数的定义 难点：I 掌握极限与连续函数间的内在联系 II 掌握两个重要极限的形式并且能熟练运用 III 能熟练运用等价无穷小之间的转换求极限 IV 能牢记并准确判断出函数间断点的类型 V 能运用数学建模解决实际问题 第二章 导数与微分 2.1导数的定义 设函数y =f (x )在0x 点及其某领域内有定义，当自变量x 在0x 处取得增量y ?f =(0x +x ?)f -(0x )，如果0 lim -x x y ??=o x -?lim x x f x x f ?-?+)()(00存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并称此极限值为函数)(x f y =在点0x 处的导数，记为)(0x f '。 常见的导数表达式还有：0 00) ()(lim )(0 x x x f x f x f x x --='-和 h x f h x f x f h ) ()(lim )(000 0-+='-。 2.1.3单侧倒数 如果极限x x f x x f x ?-?+- -?) ()(lim 000存在，则称此极限值为函数)(x f y =在 0x 的左导数，记做)(0_x f '，如果极限x x f x x f x ?-?++ - ?) ()(lim 000存在，则称此 极限值为函数)(x f y =的右导数，记做)(0x f +'。 2.2函数的运算法则 （1）νυνυ'+'='+)(； （2）（2）νυνυυν'+'=')(； （3）2 )(ννυνυνυ' +'='； （4） 基本初等函数的导数公式 （1）0)(='C ； （2）1)(-='ααx x a ； （3）ln )(a x x a a ='； （4）x x e e =')(； （5）ln log 1)(a x a x = '； （6）x x 1)(ln ='； （7）x x cos )(sin =' ； (8)x sin )(cos -='； （9）x x 2sec )(tan ='； （10）x x 2csc )(cot -='； （11）x x x tan sec )(sec ='； （12） x x 2csc )(csc -='； （13）2 11)(arcsin x x -='； （14）2 11)(arccos x x --= '； （15）211 )(arctan x x +='； （16）2 11 )cot (x x arc +-= '； 2.3 隐函数的导数，由参数方程所确定的函数的导数 若因变量y 表示为自变量x 的明确表达式)(x f y =，则称)(x f y =为显函数而有时变量x 和y 的关系不用显式给出，甚至某些情况下不能用显式给出，就产生了隐函数。 一般地，称由方程F(x ，y )0=所确定的函数为隐函数。 隐函数的求导发 设由方程0),(=y x F ，确定了隐函数)(x y y =，于是对方程两端关于x 求导，遇到x 直接求导，遇到y 就将y 看成x 的函数，再乘以y 对x 的导数y '，得到一个含有y '的方程，然后从中解除y '即可。 2.4 高阶导数 一般地，函数)(x f y =的导数)(x f '任然是x 的函数，它称为)(x f 的一阶导数，如果)(x f '的导数存在，就称其为函数)(x f y =的二阶 导数，记做y ''，)(x f ''或22dx y d ， 根据导数的定义，x x f x x f x f x ?'-?+'=''-?) ()(lim )(0 ，类似的，函数 )(x f y =的三阶导数，...，)1(-n 阶导数的导数就称为n 阶导数， 分别记做 ,y ''' ... ，) (n y 或)(x f '''，... ，)() (x f n 或33dx y d . 2.5 微 分 设函数)(x f y =在点0x 及其领域有定义，若)(x f 在点0x 处的增量 )()(x f x x f y -?+=?与自变量增量x ?满足如下关系 )(x x A y ?+?=?ο， 其中A 是与x ?无关的常数，)(x ?ο是x ?→0时的高阶无穷小，则称函数)(x f y =在点0x 处可微，x A ??称为函数)(x f y =在点0x 处的微分，并记为dy 丨x A x x ?==0 ，)0(≠?A x A 称为y ?的线性主部。 2.5.2微分的运算法则 （1）0)(=C d （C 为常数）； （2）dx x dx 1-=ααα； （3) dx a da a x x ln = ； (4dx e de x x = (5))1,0(ln 1)(log ≠>= a a dx a x d x a ； (6)dx x x d 1 )(ln = (7)xdx x d cos )(sin = ； (8)xdx x d sin )(cos -=； (9)xdx x d 2sec )(tan =； (10）xdx x d 2csc )(cot -=； （11）xdx x x d tan sec )(sec =； （12）xdx x x d cot csc )(csc -=； （13）dx x x d 2 11)(arcsin -= ； （14）dx x x d 2 11)(arccos --= ； （15）dx x x d 211)(arctan += ； （16）dx x x arc d 2 11 )cot (+-=； 2.微分的四则运算法则 由函数的和，差，积，商的求导法则，可得到微分的四则运算法则，设函数)(x υυ=，)(x νν=在点x 处可微，则有 （1）νυνυd d d +=+)(； （2）υυCd C d =)(； （3）dv d d μμνμν+=)(； （4）2 )(νν μμνυμ d d d -=； 第三章 微分中值定理与导数的应用 第一节 微分中值定理 一、 费马引理： 设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，并且在0x 处可导，如果对 任意的0()x U x ∈，有0()()f x f x ≤（或0()()f x f x ≥），那么0()0f x '=。 证：不妨设0()x U x ∈时，0()()f x f x ≤，对于00()x x U x +?∈，有 00()()f x x f x +?≤，故当0x ?>时， 00()() 0f x x f x x +?-≤?； 当0x ?<时，00()() 0f x x f x x +?-≥?， 由保号性 00000()() ()()lim 0 x f x x f x f x f x x + +?→+?-''==≤?， ()00000()() ()lim 0x f x x f x f x f x x --→+?-''==≥?，故0()0f x '=。 罗尔定理（Rolle ） 如果函数()f x 满足：（1）在闭区间[,]a b 上连续 （2）在开区间(,)a b 内可导，（3） ()()f a f b =，则至少存在一点()a b ξξ<<，使得()f x 在该点的导数等于零：()f ξ'=0 二、拉格朗日中值定理 1）Lagrange 中值定理（或有限增量定理，微分中值定理）： 如果函数()f x 满足：（1）在闭区间[,]a b 上连续，（2）在开区间(,)a b 内可导。 则至少存在一点(,)a b ξ∈，使()()()()f b f a f b a ξ'-=- 注1：拉格朗日中值公式反映了可导函数在[],a b 上整体平均变化率与在 (,)a b 内某点ξ处函数的局部变化率的关系.因此,拉格朗日中值定理是联结局部 与整体的纽带. 2：直线()() :()()f b f a AB y f a x a b a --= --， 故()()M N AB x f x y y y ?=-=-直线既为有向线段NM 值的函数。 3：当()()f a f b =时，此定理即为罗尔定理，故罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形。 几何意义：若连续曲线()y f x =的弧? AB 上除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，那么这弧上至少有一点C ，使曲线在C 点处切线平行于弦AB 。 Lagrange 公式变形：设[,]x a b ∈，[,]x x a b +?∈，则有在[,]x x x +?(0)x ?>或 [,]x x x +?(0)x ?<上就有 ()()()f x x f x f x x x θ'+?-=+???（01θ<<） 或记()f x y =，则有()y f x x x θ'?=+??，[故也叫有限增量定理] 定理：如果函数()f x 在区间I 上的导数恒为零，则()f x C ≡（x I ∈，C 为常数） 推论：连续函数(),()f x g x 在区间I 上有()()f x g x ''=，则()()f x g x C =+ 二、 柯西中值定理 柯西中值定理： 如果函数()f x 及()F x 在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且()F x '在 (,)a b 内的每一点处均不为零，那么在(,)a b 内至少有一点ξ，使 ()()() ()()() f b f a f F b F a F ξξ'-='-成立。 第二节 洛必达法则 一、未定式：当x a →()x →∞或时，函数()f x 与()F x 都趋于零或都趋于无穷大，那么，极限() () lim ()x a x f x F x →→∞可能存在，也可能不存在，称此极限为未定式，分别记为： 00型或∞ ∞ 型。 定理1：洛必达法则：（00 型）（x a →） 设①lim ()0x a f x →=，lim ()0x a F x →= ②在点a 的某去心邻域，()f x '及()F x '存在，且()0F x '≠ ③() lim () x a f x F x →''存在（或为无穷大） 则()() lim lim ()() x a x a f x f x F x F x →→'=' ∞∞ 型 ①lim (),x a f x →=∞lim ()x a F x →=∞ ②()()(),f x F x U a o 与在内可导且()0F x '≠ ③() lim () x a f x F x →''存在（或为∞） 那么()() lim lim ()() x a x a f x f x F x F x →→'=' 对于0?∞型，∞-∞（同时为+∞或同时为-∞型），00，1∞，0∞型的未定式，可 以转化为00或∞ ∞ 型未定式来计算。 解决方法：取倒数，通分，取对数 二、其它类型：∞?0型，∞-∞型，00,1,0∞∞型 (1) 对于∞?0型，可将乘积化为除的形式，即化为0 0或∞ ∞ 型的未定式来计算. (2) 对于∞-∞型，可利用通分化为0 0型的未定式来计算. (3) 对于00,1,0∞∞型，可先化以e 为底的指数函数的极限，再利用指数函数的连续性，化为直接求指数的极限，指数的极限为∞?0的形式，再化为0 0或∞ ∞型的未定式来计算. 第三节 泰勒公式 三、 泰勒（Taylor ）中值定理： 如果函数()f x 在含有0x 的某个开区间(,)a b 内具有直到(1)n +阶的导数，则对 (,)x a b ?∈时，[()f x 可以表示为0()x x -的一个n 次多项式与一个余项()n R x 之 和。] ()2 0000000()()()()()()()()()2!!n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-+-+L （*） (1)10() ()()(1)! n n n f R x x x n ξ++=-+称为Lagrange 型余项，其中ξ是0x 与x 之间的某个值。 且公式（*）称为()f x 按0()x x -的幂展开的n 阶泰勒公式。 注： 当 n = 0 时, 泰勒公式变为拉格朗日中值定理 ()f x =()f x =0()()f x x ξ'+-0() x x ξ在与之间 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、 函数的单调性的判定法： 设函数()y f x =在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导。 ①若(,)x a b ?∈时，()0f x '>，则()y f x =在[,]a b 上单调增加 ②若(,)x a b ?∈时，()0f x '<，则()y f x =在[,]a b 上单调减少 二、曲线的凹凸性与拐点 定义：设()f x 在区间Ⅰ上连续，如果对I x x ∈?21,，恒有 1212()() ( )22 x x f x f x f ++< 那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凹的（或凹弧） 反之若恒有 1212()() ( )22 x x f x f x f ++> 那么称()f x 在I 上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。 定理：[利用二阶导数符号判别曲线凹凸性] 设()f x 在[,]a b 上连续，在[,]a b 内具有一阶和二阶导数，那么 （1）若在(,)a b 内，()0f x ''>，则()f x 在[,]a b 上的图形是凹的 （2）若在(,)a b 内，()0f x ''<，则()f x 在[,]a b 上的图形是凸的 第五节 函数的极值与最大值最小值 一、函数的极值及其求法 定义：设函数()f x 在点0x 的某邻域0()U x 内有定义，如果对于去心邻域0()U x ? 中的任一x ，有0()()f x f x <（或0()()f x f x >）就称0()f x 是()f x 的一个极大值（或极小值）x 在0x 附近一局部范围内时，0()f x 为最大值，但整个定义域内未必是最大值。 定理1：函数取得极值的必要条件： 设函数()f x 在点0x 处可导,且在0x 处取得极值，那么0()0f x '= 驻点：使0()0f x '=的点0x 为函数()f x 的驻点。 1、可导函数的极值点必定是它的驻点，但函数的驻点却不一定是极值点。 2、一个函数只能在它的驻点及不可导点处取得极值。 定理2：（函数取得极值的第一充分条件）： 设在()f x 在点0x 处连续，且在0x 的某一个邻域内可导，且0()0f x '=：若在点0x 附近时， （1）当0x x <时，()0f x '>，当0x x >时，()0f x '<，则()f x 在0x 处取得极大值。 （2）若当0x x <时，()0f x '<， 0x x >时，()0f x '>，则()f x 在0x 处取得极小值。 （3）若当0x x <及0x x >时，都有()0f x '>或()0f x '<，则()f x 在0x 处无极值。 定理3：（函数取得极值的第二充分条件）： 设()f x 在点0x 处具有二阶导数，且0()0f x '=，0()0f x ''≠，（不是不存在），那么：（1）当0()0f x ''<时，()f x 在0x 处取极大值； （2） 当0()0f x ''>时，()f x 在0x 取极小值。 求函数的极值点和极值的步骤： （1） 确定函数()f x 的定义域，并求其导数()f x '; （2） 解方程()0f x '=求出()f x 的全部驻点与不可导点; （3）讨论()f x '在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点; （4） 求出各极值点的函数值，就得到函数()f x 的全部极值. 二、 最大值 最小值问题 求函数在[,]a b 上的最大（小）值的步骤如下： 计算函数()f x 在一切可能极值点12,,,m x x x L 的函数值，并将它们与 (),f a ()f b 相比较，这些值中最大的就是最大值，最小的就是最小值；即 {}12max (),(), ,(), (),() m M f x f x f x f a f b =L {}12min (),(), ,(), (),() m m f x f x f x f a f b =L 第六节 函数图形的描绘 内容要点：1、渐近线的概念 水平渐近线 铅直渐近线 斜渐近线； 2、函数图形的描绘： 一、曲线渐近线： 如果动点沿某一曲线无限远离原点时，动点到一条定直线的距离趋于0，称此直线为该曲线的一条渐近线。 水平渐近线：b x f x =+∞ →)(lim （常数），称直线y=b 是水平渐近线 铅直渐近线：∞=→)(lim 0 x f x x ，称直线0x x =铅直渐近线 （即在间断点处） 斜渐近线：() () lim x x f x a x →+∞→-∞= （常数）() lim [()]x x f x ax b →+∞→-∞-=（常数） 则直线y ax b =+是斜渐近线 二、描绘函数图形的一般步骤 1、确定()y f x =的定义域（函数的奇偶性、周期性）求(),()f x f x ''' 2、求出0)(0)(=''='x f x f 及的全部实根（在定义域为），及)(x f '不存在的点， 将定义域划分成几个部分区间 3、列表 4、确定每个区间内)()(x f x f '''及的符号，判定图形升降和凹凸性，极值点和拐点。 5、确定水平，铅直及斜渐近线， 6、描一些特殊点： 极值点、拐点、曲线与坐标轴交点等，联结这些点利用性质画图 第四章 不定积分 一、不定积分的概念 1、原函数 设在区间I 上可导，且))()()(()('dx x f x dF x f x F ==或就称)(x F 为)(x f 在I 的一个原函数。 2、不定积分 若函数)(x F 是)(x f 的一个原函数，则)(x f 的原函数的一般表达式C x F +)(称为)(x f 的不定积分，记作 ?+=C x F dx x f )()( 其中?称为积分号，)(x f 称为被积函数，dx x f )(称为被积表达式， x 称为积 分 变量，dx 称为积分微元。 3、不定积分的几何意义 在平面直角坐标系中，)(x f 的任一个原 函数)(x F 的图形，称为)(x f 的一条积分曲线，其方程为)(x F y =，而?+=C x F dx x f )()(称为)(x f 的积分曲线族 二、本章教学的重难点 重点：熟悉不定积分的概念及性质，牢记不定积分的基本公式，理解并运用不定积分的的凑微分法与换元法。 难点：换元法、分部积分法等基本积分方法以及抽象函数的积分 三、不定积分的性质 性质1：?=dx x f dx x f d )()( 或 )()')((x f dx x f =? 性质2：?+=C x f x df )()( 或 ?+=C x f dx x f )()(' 性质3：?=dx x f k dx x kf )()( 其中k 为非零常数 性质4：??+=+dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([ 四、不定积分的基本积分公式 1.?+=C kx kdx 为常数）（k 2.C x u dx x u u ++=+?1 1 1 3.C x dx x +=?||ln 1 4.C x x dx +=+? arctan 12 5.C x x dx +=-? arcsin 12 6.?+=C x xdx sin cos 7.?+-=C x xdx cos sin 8.?+=C x xdx tan sec 2 9.?+-=C x xdx cot csc 2 10.?+=C x xdx x sec tan sec 11.?+-=C x xdx x csc cot csc 12.C e dx e x x +=? 13.?+= C a a dx a x x ln 1 14.?+=C chx shxdx 15.?+=C shx chxdx 16.?+-=C x xdx |cos |tan 17.?+=C x xdx |sin |ln cot 18.?++=C x x xdx |tan sec |ln sec 19.?+-=C x x xdx |cot csc |ln csc 20.?+=+C a x a x a dx arctan 122 21.C a x a x a a x dx ++-=-? ||ln 2122 22.C a x x a dx +=-?arcsin 2 2 23.C a x x x x dx +++=+?)ln(2222 24.C a x x a x dx +-+=-? )ln(222 2 五、不定积分的计算方法 1、第一类换元法（凑微分法） ??+=+==C x F C u F du u f dx x x f )]([)()()(')]([??? ))((x u ?= （其中)(x ?可导，)(u F 为?)(x f 的一个原函数） 2、第二类换元法 ?? +=+==-C x F C t F dt t t f dx x f )]([)()()]([)(1 ??? ()(t x ?=) （其中)(t x ?=单调可导，且0)(=t ?，)(t F 为)(')]([t t f ??的一个原函数） 常用的代换有三种，即三角代换、根式代换和倒代换。 3、分布积分法 ??-=)()()()()()(x du x v x v x u x dv x u （其中)()(x v x u 具有连续导数） 六、有理函数与三角函数有理式的积分 两个多项式的商所表示的函数称为有理函数，有理函数总可以化为多项式与真分式的代数和，而真分式总可以分解为部分分式的代数和，所以有理函数的积分可化为整式和下列四中部分分式的积分。 （1）?-dx a x 1 （2）dx a x n ?-) (1 （3）dx q px x c bx ?+++2 （4）dx q px x c bx n ?+++) (2 而求这四种积分也可以凑微积分法或第二类换元法。 三角函数有理式的积分，总可用万能代换2 tan x u =将原不定积分化为u 为积分变量的有理函数的积分，但对有些三角有理式的积分，有时用三角公式转化，再用前所述的基本积分公式或积分方法求解，可能更简便些。 第五章 定积分及其应用 5.1定积分的概念与性质 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下， 求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数。所以，微分与积分互为逆运算。 定积分就是求函数f(X)在区间[a,b]中图线下包围的面积。即由y=0,x=a,x=b,y=f(X)所围成图形的面积。这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (x n-1,x n]，其中x0=a，x n=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0, △x2=x2-x1, …, △x n=x n-x n-1。在每个子区间(x i-1,x i] 中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式 。设λ=max{△x1, △x2, …, △x n}（即λ是最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b] 的定积分，记为 其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。 根据上述定义，若函数f(x)在区间[a,b]上可积分，则有n等分的特殊分法： 特别注意，根据上述表达式有，当[a,b]区间恰好为[0,1]区间时，则[0,1]区间积分表达式为： 5.2微积分基本公式 牛顿-莱布尼兹公式 设在上连续，是在上的任一原函数 则 证明：与均是在上的原函数 则( 为常数，)令， 而 故 从而 即 若令，得： 第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理 大一高等数学期末考试试卷 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3分）定积分22 π π-?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 241 (sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 20 1 lim sin x x x →= . 4. （3分） 3223y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15) lim .sin 3x x x x →+ 2. （6分）设2 ,1 y x =+求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ?≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt +=??所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞ ? ?+ ??? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 22y x x π π??=-≤≤ ???与x 轴所围成图形绕着x 轴 旋转一周所得旋转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().22b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=++--? ? 标准答案 一、 1 B; 2 C; 3 D; 4 A. 二、 1 31;y x =+ 2 2 ;3 3 0; 4 0. 三、 1 解 原式205lim 3x x x x →?= 5分 5 3 = 1分 2 解 22ln ln ln(1),12 x y x x ==-++ 2分 第一章 函数 一、本章提要 基本概念 函数，定义域，单调性，奇偶性，有界性，周期性，分段函数，反函数，复合函数，基本初等函数，初等函数 第二章 极限与连续 一、本章提要 1.基本概念 函数的极限，左极限，右极限，数列的极限，无穷小量，无穷大量，等价无穷小，在一点连续，连续函数，间断点，第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点），第二类间断点. 2.基本公式 (1) 1sin lim 0=→口 口口， (2) e )11(lim 0=+→口口口 (口代表同一变量). 3.基本方法 ⑴ 利用函数的连续性求极限； ⑵ 利用四则运算法则求极限； ⑶ 利用两个重要极限求极限； ⑷ 利用无穷小替换定理求极限； ⑸ 利用分子、分母消去共同的非零公因子求0 0形式的极限； ⑹ 利用分子，分母同除以自变量的最高次幂求 ∞∞形式的极限； ⑺ 利用连续函数的函数符号与极限符号可交换次序的特性求极限； ⑻ 利用“无穷小与有界函数之积仍为无穷小量”求极限. 4.定理 左右极限与极限的关系，单调有界原理，夹逼准则，极限的惟一性，极限的保号性，极限的四则运算法则，极限与无穷小的关系，无穷小的运算性质，无穷小的替换定理，无穷小与无穷大的关系，初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质. 第三章 导数与微分 一、本章提要 瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分． 2.基本公式 基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式． 3.基本方法 ⑴利用导数定义求导数； ⑵利用导数公式与求导法则求导数； ⑶利用复合函数求导法则求导数； ⑷隐含数微分法； ⑸参数方程微分法； ⑹对数求导法； ⑺利用微分运算法则求微分或导数． 第四章微分学的应用 一、本章提要 1. 基本概念 未定型,极值点,驻点,尖点,可能极值点,极值,最值,曲率,上凹,下凹,拐点,渐近线,水平渐近线,铅直渐近线． 2.基本方法 ⑴用洛必达法则求未定型的极限； ⑵函数单调性的判定； ⑶单调区间的求法； ⑷可能极值点的求法与极大值（或极小值）的求法； ⑸连续函数在闭区间上的最大值及最小值的求法； ⑹求实际问题的最大（或最小）值的方法； ⑺曲线的凹向及拐点的求法； ⑻曲线的渐近线的求法； ⑼一元函数图像的描绘方法． 3. 定理 柯西中值定理,拉格朗日中值定理,罗尔中值定理, 洛必达法则,函数单调性的判定定理,极值的必要条件,极值的第一充分条件,极值的第二充分条件,曲线凹向的判别法则． 第五章不定积分 一、本章提要 1. 基本概念 原函数，不定积分． 微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限 数学模型课后答案 《数学模型》作业答案 第二章(1)（2012年12月21日） 1．学校共1000名学生，235人住在A宿舍，333人住在B宿舍，432人住在C宿舍.学生们要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q值方法； （3）.d’Hondt方法：将A、B、C各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， , 432 ,333 ,235321 ===p p p ∑==3 1 . 1000i i p 方法一（按比例分配） , 35.23 1 11 == ∑=i i p N p q , 33.33 1 22 == ∑=i i p N p q 32 .43 1 33 == ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321 ===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分 配）为： 4 ,3 ,2321===n n n 第10个席位：计算Q 值为 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ??+=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π ) 2 2 2 n wk k(r n πvt +=∴ . 2 2 2n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日） 1. 在 3.1节存贮模型的总费用中增加购买货物本身的费用,重新确定最优订货周期和订货批量．证明在不允许缺货模型中结果与原来的一样，而在允许缺货模型中最优订货周期和订货批量都比原来结果减少． 【第五部分】不定积分 1.书本知识（包含一些补充知识） （1）原函数：F ’（x ）=f （x ），x ∈I ，则称F （x ）是f （x ）的一个“原函数”。 （2）若F （x ）是f （x ）在区间上的一个原函数，则f （x ）在区间上的全体函数为F （x ）+c （其中c 为常数） （3）基本积分表 c x dx x +?+?=?+???11 1 （α≠1，α为常数） （4）零函数的所有原函数都是c （5）C 代表所有的常数函数 （6）运算法则 []??????±?=?±??=??dx x g dx x f dx x g x f dx x f a dx x f a )()()()()()(②① （7 ）[][]c x F dx x x f +=??)()(')(???复合函数的积分： c b x F dx b x f c b ax F a b ax d b ax f a dx b ax f ++=?+++?=+?+?=?+???)()()(1)()(1)(一般地， （9）连续函数一定有原函数，但是有原函数的函数不一定连续，没有原函数的函数一定不连续。 （10）不定积分的计算方法 数乘运算 加减运算 线性运算 （8） ①凑微分法（第一换元法），利用复合函数的求导法则 ②变量代换法（第二换元法），利用一阶微分形式不变性 ③分部积分法： 【解释：一阶微分形式不变性】 释义：函数 对应：y=f(u) 说明： （11）分段函数的积分 例题说明：{}dx x? ?2,1 max （12）在做不定积分问题时，若遇到求三角函数奇次方的积分，最好的方法是将其中的一 （16）隐函数求不定积分 例题说明： （17）三角有理函数积分的万能变换公式 （18）某些无理函数的不定积分 ②欧拉变换 （19）其他形式的不定积分 （1） 1，补集的记号 2，什么是笛卡尔乘积 3，什么是邻域，记号，中心，半径 4，去心邻域，记号，左邻域，右邻域 5，两个闭区间的直积 6，映射的概念，原像，满射，单射，一一映射7，泛函，变换，函数 8，逆映射，复合映射 9，多值函数，单值分支 10，绝对值，符号函数，取整函数，最值函数11，上界、下界，有界，无界的定义 12，奇偶性、周期性 13，初等函数，基本初等函数 （2） 1，数列极限的定义，用符号语言 2，收敛数列的四个性质 3 (3) 1,函数在某点的极限定义，符号语言 2，函数在无穷大处的极限，符号语言 3，函数极限的性质 （4） 1，无穷小的定义 2，函数极限的充分必要条件，用无穷小表示3，无穷大 4，无穷大和无穷小的定义 （5） 1，有限个无穷小的和 2，有界函数与无穷小的乘积 3，极限的四则运算 4，函数y1始终大于y2，那么极限的关系是 （6） 1，极限存在的夹逼准则 2，单调有界的数列是否存在极限 3，（1+1/x）^x的极限 4，柯西审敛准则 1，什么是高阶无穷小，低阶无穷小，同阶无穷小，k阶无穷小，等价无穷小 2，等价无穷小的充要条件 3，两组等价无穷小之间的比例关系 （8） 1，函数连续性的定义，左连续，右连续 2，什么是连续函数 3，间断点的三种情况 4，第一类间断点，第二类间断点，可去间断点，条约间断点，无穷间断点，振荡间断点 （9） 1，连续函数的四则运算后的连续性 2，反函数和复合函数的连续性 3，初等函数的连续性 （10） 1，有界性与最大最小值定理 2，零点定理 3，介值定理和推论 第二章 （1） 1，导数的定义 2，函数在一点可导的充要条件，用等式表示 3，可导和连续的关系 （2） 1，函数的和差积商如何求导 2，tanx、secx的导数，cscx和cotx 3，反函数的求导法则是什么 4，arcsinx的导数，arccos的导数，arctanx, areccotx的导数 5，复合函数求导法则 （3） 1，二阶导数的微分表示法 2，莱布尼兹公式 3，a^x\sinkx\coskx\x^a\lnx\1/x\的n阶导 4，隐函数的求导 5，对数求导法的应用 6，参数所表示的函数怎样求导 7，什么是相关变化率 微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+ 第十二周习题课 一．关于积分的不等式 1． 离散变量的不等式 （1） Jensen 不等式：设 )(x f 为],[b a 上的下凸函数，则 1),,,2,1),1,0(],,[1 ==∈?∈?∑=n k k k k n k b a x λλΛ，有 2),(1 1≥≤??? ??∑∑==n x f x f k n k k k n k k λλ （2） 广义AG 不等式：记x x f ln )(=为),0(+∞上的上凸函数，由Jesen 不等式可得 1),,,2,1),1,0(,01 ==∈?>∑=n k k k k n k x λλΛ，有 ∑==≤∏n k k k k n k x x k 1 1 λλ 当),2,1(1 n k n k Λ==λ时，就是AG 不等式。 （3） Young 不等式：由（2）可得 设111,1,,0,=+>>q p q p y x ，q y p x y x q p +≤1 1 。 （4） Holder 不等式：设11 1, 1,),,,2,1(0,=+>=≥q p q p n k y x k k Λ，则有 q n k q k p n k p k n k k k y x y x 111 11?? ? ????? ??≤∑∑∑=== 在（3）中，令∑∑======n k q k n k p k p k p k y Y x X Y y y X x x 1 1,,,即可。 （5） Schwarz 不等式： 2 1122 1 121?? ? ????? ??≤∑∑∑===n k k n k k n k k k y x y x 。 （6） Minkowski 不等式：设1),,,2,1(0,>=≥p n k y x k k Λ，则有 ()p n k p k p n k p k p n k p k k y x y x 11111 1?? ? ??+??? ??≤??????+∑∑∑=== 证明： ()()() () () ∑∑∑∑=-=-=-=+++=+?+=+n k p k k k n k p k k k n k p k k k k n k p k k y x y y x x y x y x y x 1 1 1 1 1 1 1 教育类别+ 241 第四章 矢量代数与空间解析几何 微积分二大纲要求 了解 两个向量垂直、平行的条件，曲面方程和空间曲线方程的概念，常用二次曲面的方程及其图 形，空间曲线的参数方程和一般方程.空间曲线在坐标平面上的投影. 会 求平面与平面、平面与直线、 直线与直线之间的夹角，利用平面、直线的相互絭（平行、 垂直、相交等）解决有关问题，点到直线以及点到平面的距离，求简单的柱面和旋转曲面的方程，求空间曲线在坐标平面上的投影方程. 理解 空间直角坐标系，向量的概念及其表示，单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式 掌握 向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），用坐标表达式进行向量运算的方法， 平面方程和直线方程及其求法. 第一节 矢量代数 一、内容精要 （一） 基本概念 1.矢量的概念 定义4.1 一个既有大小又有方向的量称为矢量，长度为0的矢量称为零矢量，用0表示，方向可任意确定。长度为1的矢量称为单位矢量。 定义4.2两个矢量a 与b ，若它们的方向一致，大小相等，则称这两个矢量相等，记作b a . 换句话说一个矢量可按照我们的意愿把它平移到任何一个地方（因为既没有改变大小，也没改 变方向），这种矢称为自由矢量，这样在解问题时将更加灵活与方便。 k a j a i a a 3211( 称为按照k j i ,,的坐标分解式，},,{321a a a a 称为坐标式。 .||2 32221a a a a 若,0 a 记| |0a a a 。知0a 是单位矢量且与a 的方向一致，且0||a a a 。 因此，告诉我们求矢量a 的一种方法，即只要求出a 的大小||a 和与a 方向一致的单位矢量0 a ，则 .||0a a a 若},{321a a a a ，知 },cos ,cos ,{cos }, , { 2 3 2 22 13 2 3 2 22 12 2 3 2 22 11 0 a a a a a a a a a a a a a 其中 ..是a 分别与Ox 轴，Oy 轴，Oz 轴正向的夹角，而 ,cos ,cos ,cos 2 3 2 22 13 2 3 2 22 12 3 3 22211 a a a a a a a a a a a a 且.1cos cos cos 2 2 2 2.矢量间的运算 设}.,,{},,,{},,,{321321321c c c c b b b b a a a a 《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ B ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ D ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ C ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ A ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ A ）. 《数学模型》作业答案 第二章(1)（2012年12月21日） 1． 学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍.学生们 要组织一个10人的委员会，试用下列办法分配各宿舍的委员数： （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法； （3）.d ’Hondt 方法：将A 、B 、C 各宿舍的人数用正整数n=1,2,3,……相除，其商数如下表： 将所得商数从大到小取前10个（10为席位数），在数字下标以横线，表中A 、B 、C 行有横线的数分别为2，3，5，这就是3个宿舍分配的席位.你能解释这种方法的道理吗？ 如果委员会从10个人增至15人，用以上3种方法再分配名额，将3种方法两次分配的结果列表比较. 解：先考虑N=10的分配方案， ,432 ,333 ,235321===p p p ∑==3 1 .1000i i p 方法一（按比例分配） ,35.23 1 11== ∑=i i p N p q ,33.33 1 22== ∑=i i p N p q 32.43 1 33== ∑=i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n 第10个席位：计算Q 值为 ,17.92043223521=?=Q ,75.92404333322=?=Q 2.9331544322 3=?=Q 3Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法） 此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n 此方法的道理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）. i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 2． 试用微积分方法，建立录像带记数器读数n 与转过时间的数学模型. 解： 设录像带记数器读数为n 时，录像带转过时间为t.其模型的假设见课本. 考虑t 到t t ?+时间内录像带缠绕在右轮盘上的长度，可得,2)(kdn wkn r vdt π+=两边积分，得 ?? +=n t dn wkn r k vdt 0 )(2π )22 2 n wk k(r n πvt +=∴ .2 22n v k w n v rk t ππ+=∴ 《数学模型》作业解答 第三章1（2008年10月14日） 1、常用无穷小量替换 2、关于邻域:邻域的定义、表示(区间表示、数轴表示、简单表示);左右邻域、空心邻域、有 界集。 3、初等函数:正割函数sec就是余弦函数cos的倒数;余割函数就是正弦函数的倒数;反三角 函数:定义域、值域 4、收敛与发散、常数A为数列的极限的定义、函数极限的定义及表示方法、函数极限的几 何意义、左右极限、极限为A的充要条件、极限的证明。 5、无穷小量与无穷大量:无穷小量的定义、运算性质、定理(无穷小量与极限的替换)、比较、 高阶无穷小与同阶无穷小的表示、等价无穷小、无穷大量于无穷小量的关系。 6、极限的性质:局部有界性、唯一性、局部保号性、不等式性质(保序性)。 7、极限的四则运算法则。 8、夹逼定理(适当放缩)、单调有界定理(单调有界数列必有极限)。 9、两个重要极限及其变形 10、等价无穷小量替换定理 11、函数的连续性:定义(增量定义法、极限定义法)、左右连续 12、函数的间断点:第一类间断点与第二类间断点,左、右极限都存在的就是第一类间断 点,第一类间断点有跳跃间断点与可去间断点。左右极限至少有一个不存在的间断点就是第二类间断点。 13、连续函数的四则运算 14、反函数、复合函数、初等函数的连续性 15、闭区间上连续函数的性质:最值定理、有界性定理、零值定理、介值定理。 16、导数的定义、左右导数、单侧导数、左右导数的表示、可导则连续。 17、求导法则与求导公式:函数线性组合的求导法则、函数积与商的求导法则、反函数 的求导法则、复合函数求导法则、对数求导法、基本导数公式 18、隐函数的导数。 19、高阶导数的求法及表示。 20、微分的定义及几何意义、可微的充要条件就是可导。 21、A微分的基本公式与运算法则dy=f’(x0)Δx、 专升本高等数学知识点汇总 常用知识点： 一、常见函数的定义域总结如下： （1） c bx ax y b kx y ++=+=2 一般形式的定义域：x ∈R （2）x k y = 分式形式的定义域：x ≠0 （3）x y = 根式的形式定义域：x ≥0 （4）x y a log = 对数形式的定义域：x ＞0 二、函数的性质 1、函数的单调性 当21x x <时，恒有)()(21x f x f <，)(x f 在21x x ，所在的区间上是增加的。 当21x x <时，恒有)()(21x f x f >，)(x f 在21x x ，所在的区间上是减少的。 2、 函数的奇偶性 定义：设函数)(x f y =的定义区间D 关于坐标原点对称（即若D x ∈，则有D x ∈-） (1) 偶函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f =-。 (2) 奇函数)(x f ——D x ∈?，恒有)()(x f x f -=-。 三、基本初等函数 1、常数函数：c y =，定义域是),(+∞-∞，图形是一条平行于x 轴的直线。 2、幂函数：u x y =， (u 是常数)。它的定义域随着u 的不同而不同。图形过原点。 3、指数函数 定义: x a x f y ==)(， (a 是常数且0>a ，1≠a ).图形过（0,1）点。 4、对数函数 定义: x x f y a log )(==， (a 是常数且0>a ，1≠a )。图形过（1,0）点。 5、三角函数 (1) 正弦函数: x y sin = π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (2) 余弦函数: x y cos =. π2=T ， ),()(+∞-∞=f D ， ]1,1[)(-=D f 。 (3) 正切函数: x y tan =. π=T ， },2 )12(,|{)(Z R ∈+≠∈=k k x x x f D π ， ),()(+∞-∞=D f . (4) 余切函数: x y cot =. π=T ， },,|{)(Z R ∈≠∈=k k x x x f D π， ),()(+∞-∞=D f . 5、反三角函数 (1) 反正弦函数: x y sin arc =，]1,1[)(-=f D ，]2 ,2[)(π π- =D f 。 (2) 反余弦函数: x y arccos =，]1,1[)(-=f D ，],0[)(π=D f 。 (3) 反正切函数: x y arctan =，),()(+∞-∞=f D ，)2 ,2()(π π- =D f 。 (4) 反余切函数: x y arccot =，),()(+∞-∞=f D ，),0()(π=D f 。 极限 一、求极限的方法 1、代入法 代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。 2、传统求极限的方法 （1）利用极限的四则运算法则求极限。 （2）利用等价无穷小量代换求极限。 （3）利用两个重要极限求极限。 （4）利用罗比达法则就极限。 《高数》习题1（上） 一．选择题 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? - + ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 10．设()f x 为连续函数，则()10 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -????（C ）()()1 202f f -??? ?（D ）()()10f f - 二．填空题 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3． ()21ln dx x x = +?. 三．计算 1．求极限 ①21lim x x x x →∞+?? ??? ②() 20sin 1 lim x x x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分x xe dx -? 习题8.1 1?指出下列微分方程的阶数，并指出哪些方程是线性微分方程: (3) x 2 y 4y (sin x)y = 0 ⑷^P p= sin 2 r d6 解(1)1阶非线性 (2) 1阶线性 (3) 3阶线性 (4) 1阶线性 2?验证下列函数是否是所给微分方程的解 /八 、亠 sinx (1) xy y = cosx, y = x (2) (4 - x 2)y ' xy = 2x,y = 2 ? C" - x 2 (C 为任意常数) (3) y 2y ： y = 0, y 二 Ce x (C 为任意常数) (4) y" — (X , + 丸2 )y ' +餌丸2 y = 0, y = C 4e" + C 2e'2 x (C 1 ? 为任意常数) (5) (x -2y)y" =2x - y, x 2 - xy ? y 2 =C (C 为任意常数) (6) (xy -x)y xy 2 yy 1 -2y = 0, y = ln( xy) xcosx — sinx sin x 亠 解⑴是，左=x 2 cosx =右 x x (2) 是，左=(4 — X 2 )-^= + x(2 +C 訥—X 2) = 2x =右 訥-x 2 (3) 是，左=Ce x -2Ce x Ce x =0 =右 (4) 是，左= G ：e i x C 2 2e 2 x )-(「-g re 4 x C 2 -e 2 x ) i 2(Se 4 x C 2e?0 =右 2x — y (5) 是，左=(x - 2y) 2x - y 二右 2 ⑴ x(y ) -2yy xy = 0 2 (2) x y - xy y = 0 一、第一换元积分法(凑微分法) C x F C u F du u g dx x x g +=+=='??)]([)()()()]([???. 二、常用凑微分公式 三、第二换元法 C x F C t F dt t t f dx x f +=+='=??)]([)()()]([)(ψ??, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 a) ,22x a - 可令 ;sin t a x = b) ,22a x + 可令 ;tan t a x = c) ,22a x - 可令 .sec t a x = 当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换t x 1 =. 四、积分表续 4.3分部积分法 x u x u x u x u x u x u a u e u x u x u b ax u x d x f dx x x f x d x f dx x x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f x d x f xdx x f da a f a dx a a f de e f dx e e f x d x f dx x x f x d x f dx x x f a b ax d b ax f a dx b ax f x x x x x x x x x x arcsin arctan cot tan cos sin ln ) (arcsin )(arcsin 11 ) (arcsin .11) (arctan )(arctan 11)(arctan .10cot )(cot csc )(cot .9tan )(tan sec )(tan .8cos )(cos sin )(cos .7sin )(sin cos )(sin .6)(ln 1)(.5)()(..4)(ln )(ln 1 )(ln .3)0()()(1)(.2) 0()()(1 )(.1法 分 积元换一第换元公式 积分类型2 2 2 2 1==========+=-=-= +-==-=?=?=?=?=?≠=≠++= +?????? ????????????????-μμ μμμμμ 浙江大学2007-2008学年春季学期 《微积分Ⅱ》课程期末考试试卷 一 、填空题（每小题5分，共25分，把答案填在题中横线上） 1.点M （1,－1, 2）到平面2210x y z -+-=的距离d = . 2.已知2a = ,3b = ,3a b ?= ,则a b += . 3.设(,)f u v 可微，(,)y x z f x y =,则dz = . 4.设()f x 在[0，1]上连续，且()f x ＞0, a 与b 为常数.()}{,01,01D x y x y = ≤≤≤≤,则 ()() ()() D af x bf y d f x f y σ++?? = . 5.设(,)f x y 为连续函数，交换二次积分次序 2220 (,)x x dx f x y dy -=? ? . 二 、选择题（每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题 目要求的，把所选字母填入题后的括号内） 6.直线l 1: 155 121x y z --+==-与直线l 2:623 x y y z -=??+=?的夹角为 （A ） 2π . （B ）3π . （C ）4π . （D ）6 π . [ ] 7.设(,)f x y 为连续函数，极坐标系中的二次积分 cos 2 0d (cos ,sin )d f r r r r π θθθθ? ? 可以写成直角坐标中的二次积分为 （A ）100(,)dy f x y dx ?? （B ）1 00(,)dy f x y dx ?? （C ） 10 (,)dx f x y dy ? ? （D ）10 (,)dx f x y dy ?? [ ] 8.设1, 02 ()122, 12 x x f x x x ? ≤≤??=??-≤?? ()S x 为()f x 的以2为周期的余弦级数，则5()2S -= （A ） 12. （B ）12-. （C ）34. （D ）3 4 -. [ ] ＜ 一.教材和大纲（3--6月） 教材往往容易被很多同学忽略，其实教材真的很重要，除非你的基础很好，比如我今年，就只看了一遍陈文灯复习指南，600题都没有做完。 就做了些模拟题。然后就上考场。但是同学们必须知道我08年是怎么复习的。我大概在6月份之前把4本教材和教材的课后习题全部都做了。其实 我想说，很多同学都说自己看了多少书，做了多少题为什么最后考得还是不好。我希望大家能够做到，不是你做了多少题，但是我们做题不能只 做不想，不懂脑。当然做题还是要一定的量，人家政治不也说“量变引起质变”吗。 我想说的是，大家如果有资源的话尽量用起来，有那种数学强人的话，尽量让他们给你们答疑。把你们不会的，全部问清楚，这一点真的很重要。 我男朋友是数学系的，我可以说即使计算不会都问他，因为说不定他们就能说出怎么样计算更简单，更不容易出错。 二。复习指南（7--10月） 其实我觉得复习指南的话，用谁的吧，我不细说，因为每个人的情况不一样，而且基础不同吧。但是还是给个建议吧，如果你的基础还可以的话 ，个人建议用陈文灯的，如果你觉得你的基础一般的话，那还是用李永乐的吧。 我的好多学弟学妹们常问我怎么用复习指南。我个人觉得复习指南吧，一般要看2遍吧。第一遍和第二遍，有一定的笔记差距。我看的时候一般是： 首先，我想说，同学们请你不要看一个题目是怎么做的，而是要你自己去做，因为咱们已经看过一遍教材了，所以我们看书时，把答案先盖住，然后 自己做，做完后看和答案有什么差距，然后调整下自己的思维，希望你在第二次或第三次的时候能会。 第一遍：如果这个题基本不怎么会的话，就用红色笔打上大大的问号，以便第二次的时候可以重点看看。如果是计算错误的话，还是用蓝色的笔标记吧。 也许很多同学都觉得我方法都对了，计算是小问题。那我告诉你，你错了。像我09年数学考134，就是因为忽略了计算。说实话，一般来说， 130和150的区别也许就是谁细心了，实力差距个人觉得不是很大，所以希望同学们不要忽略计算问题。 第二遍：其实做题还是和第一遍一样，盖住答案，多注意下第一遍画红色的部分。蓝色笔的部分，希望大家不要再计算错了。 三。600题和模拟题（11--12月） 希望大家买的600题是那种答案和题目分开比较远那种，不要前面是题，下面就是答案，这样的书不便于同学们去发现自己的弱点。 咱们怎么用这个600题呢，首先，咱们每天规定做30题吧，但是不是连续20天都做题。这里有个建议必须说一下，希望同学们，在做600题的时候， 不要再去翻复习指南了。如果你不会，说明这就是你的弱点了，你是不是该好好地补习下这部分呢。比如说，我先做的60题，发现我自己对间断点的类型 不是很清楚。咱们不会，没有关系，我用红笔在这页的上面写上，间断点的类型。说明这是你的弱点，然后你自己在第二天再看看，做点别的练习，然后 再继续600题。 其实是模拟题。我一般都是采取考试的形式来要求自己，我自己对自己的要求比较高，我多元函数微分学知识点梳理
大一高等数学期末考试试卷及答案详解
微积分知识点小结
大一微积分期末试卷及答案
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一元微积分多元微积分高等数学复习提纲(同济大学版)
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数学模型课后答案
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经济类微积分课后习题答案解析